Wizara ya Elimu ya Jamhuri ya Belarus
Taasisi ya elimu
"Gomeli Chuo Kikuu cha Jimbo yao. F. Skorina"
Kitivo cha Hisabati
Idara ya MPM
Mabadiliko sawa ya misemo na njia za kufundisha wanafunzi jinsi ya kuzifanya
Mtekelezaji:
Mwanafunzi Starodubova A.Yu.
Mfereji. fizikia na hisabati Sayansi, Profesa Mshiriki Lebedeva M.T.
Gomel 2007
Utangulizi
1 Aina kuu za mabadiliko na hatua za masomo yao. Hatua za kusimamia matumizi ya mabadiliko
Hitimisho
Fasihi
Utangulizi
Mabadiliko rahisi zaidi ya misemo na fomula, kulingana na mali ya shughuli za hesabu, hufanywa katika Shule ya msingi na darasa la 5 na 6. Uundaji wa ujuzi na uwezo wa kufanya mabadiliko hufanyika katika kozi ya aljebra. Hii ni kwa sababu ya kuongezeka kwa kasi kwa idadi na anuwai ya mabadiliko yanayofanywa, na kwa ugumu wa shughuli za kuzihalalisha na kufafanua hali ya utumiaji, kwa kitambulisho na kusoma dhana za jumla za kitambulisho, mabadiliko sawa, mabadiliko sawa.
1. Aina kuu za mabadiliko na hatua za masomo yao. Hatua za kusimamia matumizi ya mabadiliko
1. Mwanzo wa algebra
Mfumo usiogawanyika wa mabadiliko hutumiwa, unaowakilishwa na sheria za kufanya vitendo kwenye sehemu moja au zote mbili za fomula. Kusudi ni kufikia ufasaha katika kukamilisha kazi za kutatua milinganyo rahisi, kurahisisha fomula zinazofafanua kazi, na kufanya hesabu kwa busara kulingana na sifa za vitendo.
Mifano ya kawaida:
Tatua milinganyo:
A); b); V) .
Mabadiliko sawa (a); sawa na kufanana (b).
2. Uundaji wa ujuzi katika kutumia aina maalum za mabadiliko
Hitimisho: fomula zilizofupishwa za kuzidisha; mabadiliko yanayohusiana na udhihirisho; mabadiliko yanayohusiana na madarasa mbalimbali ya kazi za msingi.
Shirika mfumo mzima mabadiliko (muundo)
Lengo ni kuunda kifaa chenye kunyumbulika na chenye nguvu kinachofaa kutumika katika kutatua aina mbalimbali za kazi za elimu . Mpito kwa hatua hii unafanywa wakati wa marudio ya mwisho ya kozi katika mwendo wa kuelewa nyenzo inayojulikana kujifunza kwa sehemu, na aina fulani mabadiliko huongeza mabadiliko ya misemo ya trigonometric kwa aina zilizosomwa hapo awali. Mabadiliko haya yote yanaweza kuitwa "algebraic"; mabadiliko ya "kichanganuzi" yanajumuisha yale ambayo yanategemea sheria za upambanuzi na ujumuishaji na ubadilishaji wa misemo iliyo na vifungu hadi mipaka. Tofauti ya aina hii iko katika asili ya seti ambayo vigezo katika vitambulisho (seti fulani za kazi) hupitia.
Vitambulisho vinavyosomwa vimegawanywa katika vikundi viwili:
I - vitambulisho vya kuzidisha kwa kifupi halali katika pete ya kubadilisha na utambulisho
haki katika uwanja.
II - vitambulisho vinavyounganishwa shughuli za hesabu na kazi za kimsingi za kimsingi.
2 Vipengele vya shirika la mfumo wa kazi wakati wa kusoma mabadiliko ya kitambulisho
Kanuni kuu ya kuandaa mfumo wa kazi ni kuziwasilisha kutoka rahisi hadi ngumu.
Mzunguko wa mazoezi- kuchanganya katika mlolongo wa mazoezi vipengele kadhaa vya kusoma na mbinu za kupanga nyenzo. Wakati wa kusoma mabadiliko ya kitambulisho, mzunguko wa mazoezi unahusishwa na uchunguzi wa kitambulisho kimoja, ambacho vitambulisho vingine ambavyo viko kwenye uhusiano wa asili huwekwa. Mzunguko huo, pamoja na watendaji, unajumuisha majukumu, inayohitaji utambuzi wa kutumika kwa utambulisho husika. Utambulisho unaofanyiwa utafiti hutumika kufanya mahesabu kwenye vikoa mbalimbali vya nambari. Kazi katika kila mzunguko zimegawanywa katika vikundi viwili. KWA kwanza Hizi ni pamoja na kazi zilizofanywa wakati wa kufahamiana kwa kwanza na utambulisho. Wanatumikia nyenzo za elimu kwa masomo kadhaa mfululizo yaliyounganishwa na mada moja.
Kundi la pili mazoezi huunganisha utambulisho unaosomwa na matumizi mbalimbali. Kikundi hiki hakiunda umoja wa utunzi - mazoezi hapa yametawanyika kwenye mada anuwai.
Miundo iliyoelezewa ya mzunguko inarejelea hatua ya kukuza ujuzi wa kutumia mabadiliko maalum.
Katika hatua ya awali, mizunguko inabadilika, vikundi vya kazi vinajumuishwa katika mwelekeo wa matatizo na kuunganisha mizunguko inayohusiana na vitambulisho mbalimbali, ambayo husaidia kuongeza jukumu la vitendo kutambua utumiaji wa kitambulisho fulani.
Mfano.
Mzunguko wa kazi za utambulisho:
Kundi la majukumu:
a) iko katika mfumo wa bidhaa:
b) Angalia usawa:
c) Panua mabano katika usemi:
.
d) Kuhesabu:
e) Fanya:
f) kurahisisha usemi:
.
Wanafunzi wamefahamu uundaji wa kitambulisho, uandishi wake katika mfumo wa utambulisho, na uthibitisho wake.
Kazi a) inahusishwa na kurekebisha muundo wa kitambulisho kinachosomwa, na kuanzisha uhusiano na seti za nambari(ulinganisho wa miundo ya ishara ya utambulisho na usemi uliobadilishwa; uingizwaji wa herufi na nambari katika utambulisho). KATIKA mfano wa mwisho bado ni muhimu kuipunguza kwa aina inayochunguzwa. Katika mifano ifuatayo (e na g) kuna utata unaosababishwa na jukumu lililotumika utambulisho na utata wa muundo wa ishara.
Kazi za aina b) zinalenga kukuza ujuzi wa uingizwaji 
juu ya. Jukumu la kazi c) ni sawa.
Mifano ya aina d), ambayo ni muhimu kuchagua moja ya maelekezo ya mabadiliko, kukamilisha maendeleo ya wazo hili.
Kazi za Kundi la I zinalenga katika kusimamia muundo wa kitambulisho, uendeshaji wa uingizwaji katika kesi rahisi zaidi, muhimu zaidi, na wazo la urejeshaji wa mabadiliko yanayofanywa na kitambulisho. Sana muhimu ina utajiri pia njia za kiisimu kuonesha nyanja mbalimbali vitambulisho. Maandishi ya mgawo hutoa wazo la mambo haya.
II kikundi cha kazi.
g) Kwa kutumia kitambulisho cha , weka alama ya polynomial .
h) Kuondoa kutokuwa na busara katika denominator ya sehemu.
i) Thibitisha kwamba ikiwa - nambari isiyo ya kawaida, basi inaweza kugawanywa na 4.
j) Kitendaji kimetolewa usemi wa uchambuzi
.
Ondoa ishara ya moduli kwa kuzingatia kesi mbili:,.
k) Tatua mlingano 
.
Kazi hizi zinalenga iwezekanavyo matumizi kamili na kwa kuzingatia maelezo mahususi ya utambulisho huu, tuseme uundaji wa ujuzi katika kutumia utambulisho unaosomwa kwa tofauti ya miraba. Lengo ni kuongeza uelewa wa kitambulisho kwa kuzingatia matumizi yake mbalimbali katika hali tofauti, pamoja na matumizi ya nyenzo zinazohusiana na mada nyingine katika kozi ya hisabati.
au 
.
Vipengele vya mizunguko ya kazi inayohusiana na vitambulisho vya kazi za kimsingi:
1) zinasomwa kwa msingi wa nyenzo za kazi;
2) utambulisho wa kikundi cha kwanza huonekana baadaye na husomwa kwa kutumia ujuzi uliotengenezwa tayari kufanya mabadiliko ya utambulisho.
Kundi la kwanza la kazi katika mzunguko linapaswa kujumuisha kazi za kuanzisha miunganisho kati ya maeneo haya mapya ya nambari na eneo la asili la nambari za busara.
Mfano.
Hesabu:
;
.
Madhumuni ya kazi kama hizo ni kujua sifa za rekodi, pamoja na alama za shughuli mpya na kazi, na kukuza ustadi wa hotuba ya hisabati.
Mengi ya matumizi ya mabadiliko ya utambulisho yanayohusiana na kazi za msingi, huanguka kwenye suluhisho la milinganyo isiyo na mantiki na ya kupita maumbile. Mlolongo wa hatua:
a) pata kazi φ ambayo kupewa mlinganyo f(x)=0 inaweza kuwakilishwa kama:
b) badilisha y=φ(x) na utatue mlingano
c) suluhisha kila milinganyo φ(x)=y k, ambapo y k ni seti ya mizizi ya mlinganyo F(y)=0.
Wakati wa kutumia njia iliyoelezwa, hatua b) mara nyingi hufanywa kwa uwazi, bila kuanzisha nukuu kwa φ(x). Aidha, wanafunzi mara nyingi wanapendelea njia tofauti na kusababisha kupata jibu, chagua lile linaloongoza kwa mlinganyo wa aljebra haraka na rahisi zaidi.
Mfano. Tatua mlingano 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (hatua a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (hatua b)
Mfano. Tatua mlinganyo:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Pendekeza kwa suluhisho huru.)
Uainishaji wa kazi katika mizunguko inayohusiana na suluhisho la equations ya transcendental, pamoja na utendaji wa kielelezo:
1) milinganyo ambayo hupunguza milinganyo ya fomu a x =y 0 na kuwa na jibu rahisi, la jumla:
2) milinganyo ambayo hupunguza milinganyo ya umbo a x = a k, ambapo k ni nambari kamili, au x = b, ambapo b≤0.
3) milinganyo ambayo hupunguza milinganyo ya umbo a x =y 0 na kuhitaji uchambuzi wa wazi fomu ambayo nambari y 0 imeandikwa kwa uwazi.
Kazi ambazo mabadiliko ya utambulisho hutumiwa kuunda grafu wakati wa kurahisisha fomula zinazofafanua kazi.
a) Grafu kazi y=;
b) Tatua mlingano lgx+lg(x-3)=1
c) logi ya fomula(x-5)++logi(x+5)= log(x 2 -25)) ni kitambulisho kwenye seti gani?
Matumizi ya mabadiliko ya utambulisho katika hesabu (Journal of Mathematics at School, No. 4, 1983, p. 45)
Kazi nambari 1. Chaguo la kukokotoa limetolewa na fomula y=0.3x 2 +4.64x-6. Pata maadili ya chaguo za kukokotoa katika x=1.2
y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.
Kazi nambari 2. Kuhesabu urefu wa mguu pembetatu ya kulia, ikiwa urefu wa hypotenuse yake ni 3.6 cm, na mguu mwingine ni 2.16 cm.
Kazi nambari 3. Ni eneo gani la njama umbo la mstatili, kuwa na vipimo a) 0.64 m na 6.25 m; b) 99.8m na 2.6m?
a)0.64*6.25=0.8 2 *2.5 2 =(0.8*2.5) 2;
b)99.8*2.6=(100-0.2)2.6=100*2.6-0.2*2.6=260-0.52.
Mifano hii inafanya uwezekano wa kutambua matumizi ya vitendo mabadiliko ya utambulisho. Mwanafunzi anapaswa kufahamishwa na masharti ya uwezekano wa mabadiliko (tazama michoro).
| |
- picha ya polinomia, ambapo polinomia yoyote inalingana na mtaro wa duara. (Mchoro 1)
-
hali ya uwezekano wa kubadilisha bidhaa ya monomial na kujieleza ambayo inaruhusu mabadiliko katika tofauti ya mraba hutolewa. (mpango 2)
-
hapa vivuli vinamaanisha monomia sawa na usemi umetolewa ambao unaweza kubadilishwa kuwa tofauti ya miraba.(Mpango wa 3)
| |
| |
- usemi unaoruhusu jambo la kawaida.
Ustadi wa wanafunzi katika kutambua hali unaweza kukuzwa kwa kutumia mifano ifuatayo:
Ni ipi kati ya misemo ifuatayo inaweza kubadilishwa kwa kutoa sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:
2) 
3) 0.7a 2 +0.2b 2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Hesabu nyingi katika mazoezi hazikidhi masharti ya kuridhika, kwa hivyo wanafunzi wanahitaji ujuzi wa kuzipunguza kwa fomu inayoruhusu kuhesabu mabadiliko. Katika kesi hii, kazi zifuatazo zinafaa:
wakati wa kusoma kuchukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:
badilisha usemi huu, ikiwezekana, kuwa usemi unaoonyeshwa kwenye mchoro wa 4:
4) 2a*a 2 *a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Wakati wa kuunda wazo la "mabadiliko sawa", ikumbukwe kwamba hii haimaanishi tu kwamba usemi uliopewa na matokeo kama matokeo ya mabadiliko huchukua maadili sawa kwa maadili yoyote ya herufi zilizojumuishwa ndani yake, lakini pia kwamba wakati wa mabadiliko yanayofanana tunahama kutoka kwa usemi unaofafanua njia moja ya kukokotoa hadi usemi unaofafanua njia nyingine ya kukokotoa thamani sawa.
Mpango wa 5 (kanuni ya kubadilisha bidhaa ya monomial na polynomial) inaweza kuonyeshwa kwa mifano.
0.5a(b+c) au 3.8(0.7+).
Mazoezi ya kujifunza jinsi ya kuondoa sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:
Kuhesabu thamani ya usemi:
a) 4.59*0.25+1.27*0.25+2.3-0.25;
b) a+bc kwa a=0.96; b=4.8; c=9.8.
c) a(a+c)-c(a+b) na =1.4; b=2.8; c=5.2.
Hebu tuonyeshe kwa mifano uundaji wa ujuzi katika hesabu na mabadiliko ya utambulisho (Journal of Mathematics at School, No. 5, 1984, p. 30)
1) ustadi na uwezo hupatikana haraka na kuhifadhiwa kwa muda mrefu ikiwa malezi yao yanatokea kwa ufahamu ( kanuni ya didactic fahamu).
1) Unaweza kuunda sheria ya kuongeza sehemu na kama denominators au awali mifano maalum kuzingatia kiini cha kuongeza hisa sawa.
2) Wakati wa kuzingatia kwa kuchukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano, ni muhimu kuona hili kizidishi cha kawaida na kisha kutumia sheria ya usambazaji. Wakati wa kufanya mazoezi ya kwanza, ni muhimu kuandika kila neno la polynomial kama bidhaa, moja ya mambo ambayo ni ya kawaida kwa maneno yote:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Ni muhimu sana kufanya hivyo wakati moja ya monomia ya polynomial imetolewa kwenye mabano:
II. Hatua ya kwanza malezi ya ustadi - ustadi wa ustadi (mazoezi hufanywa na maelezo ya kina na kumbukumbu)
(suala la ishara linatatuliwa kwanza)
Awamu ya pili- hatua ya ustadi otomatiki kwa kuondoa shughuli zingine za kati
III. Nguvu ya ujuzi hupatikana kwa kutatua mifano ambayo ni tofauti katika maudhui na fomu.
Mada: "Kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano."
1. Andika kipengele kinachokosekana badala ya polynomial:
2. Factorize ili kabla ya mabano kuna monomial na mgawo hasi:
3. Factor ili polynomial katika mabano iwe na coefficients integer:
4. Tatua mlinganyo:
IV. Ukuzaji wa ujuzi huwa mzuri zaidi wakati baadhi ya hesabu za kati au mabadiliko yanafanywa kwa mdomo.
(kwa mdomo);
V. Ustadi na uwezo unaokuzwa lazima uwe sehemu ya mfumo ulioundwa hapo awali wa maarifa, ujuzi na uwezo wa wanafunzi.
Kwa mfano, wakati wa kufundisha jinsi ya kuhesabu polynomials kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha, mazoezi yafuatayo yanatolewa:
Factorize:
VI. Haja ya utekelezaji wa busara wa mahesabu na mabadiliko.
V) kurahisisha usemi:
Rationality iko katika kufungua mabano, kwa sababu
VII. Kubadilisha misemo iliyo na vipeo.
Nambari 1011 (Alg.9) Rahisisha usemi:
Nambari 1012 (Alg.9) Ondoa kizidishi kutoka chini ya ishara ya mizizi:
Nambari 1013 (Alg.9) Weka kipengele chini ya ishara ya msingi:
Nambari 1014 (Alg.9) Rahisisha usemi:
Katika mifano yote, kwanza fanya ama uchanganuzi, au kutoa kipengele cha kawaida, au "tazama" fomula inayolingana ya kupunguza.
Nambari 1015 (Alg.9) Punguza sehemu:
Wanafunzi wengi hupata shida katika kubadilisha misemo iliyo na mizizi, haswa wakati wa kusoma usawa:
Kwa hivyo, ama kuelezea kwa undani maneno ya fomu au 
au uende kwa digrii na kipeo cha busara.
Nambari 1018 (Alg.9) Tafuta thamani ya usemi:
Nambari 1019 (Alg.9) Rahisisha usemi:
2.285 (Skanavi) Rahisisha usemi
na kisha kupanga kazi y Kwa
Nambari 2.299 (Skanavi) Angalia uhalali wa usawa:
Mabadiliko ya misemo iliyo na digrii ni ujanibishaji wa ujuzi na uwezo uliopatikana katika utafiti wa mabadiliko sawa ya polynomials.
Nambari 2.320 (Skanavi) Rahisisha usemi:
Kozi ya Algebra 7 inatoa ufafanuzi ufuatao.
Def. Semi mbili ambazo maadili yake yanayolingana ni sawa kwa maadili ya vigeuzi husemwa kuwa sawa sawa.
Def. Usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya vigezo vinavyoitwa. utambulisho.
Nambari 94 (Alg.7) Je, ni usawa:
a) 
c) 
d) 
Ufafanuzi wa maelezo: Kubadilisha usemi mmoja na usemi mwingine unaofanana kunaitwa badiliko linalofanana au badiliko la usemi. Mabadiliko sawa ya misemo na vigezo hufanywa kulingana na mali ya shughuli kwenye nambari.
No. (Alg.7) Miongoni mwa misemo
tafuta zile ambazo ni sawa sawa.
Mada: "Mabadiliko sawa ya misemo" (mbinu ya swali)
Mada ya kwanza ya "Algebra-7" - "Maonyesho na mabadiliko yao" husaidia kujumuisha ustadi wa hesabu uliopatikana katika darasa la 5-6, kupanga na kujumlisha habari juu ya mabadiliko ya misemo na suluhisho la hesabu.
Kupata maadili ya nambari na maneno halisi inafanya uwezekano wa kurudia na wanafunzi sheria za utekelezaji na nambari za busara. Uwezo wa kufanya shughuli za hesabu na nambari za busara ni muhimu kwa kozi nzima ya algebra.
Wakati wa kuzingatia mabadiliko ya misemo, ujuzi rasmi na wa uendeshaji unabaki katika kiwango sawa na kilichopatikana katika darasa la 5-6.
Walakini, hapa wanafunzi hupanda hadi kiwango kipya katika nadharia ya umilisi. Dhana za "maneno sawa", "kitambulisho", "mabadiliko sawa ya misemo" yanaletwa, yaliyomo yatafunuliwa kila wakati na kuimarishwa wakati wa kusoma mabadiliko ya anuwai. maneno ya algebra. Inasisitizwa kuwa msingi wa mabadiliko ya utambulisho ni mali ya shughuli kwenye nambari.
Wakati wa kusoma mada "Polynomials", ujuzi rasmi wa uendeshaji wa mabadiliko sawa ya maneno ya algebraic huundwa. Njia zilizofupishwa za kuzidisha zinachangia mchakato zaidi wa kukuza uwezo wa kufanya mabadiliko sawa ya misemo yote; uwezo wa kutumia fomula za kuzidisha kwa muhtasari na uainishaji wa polynomials hutumiwa sio tu katika kubadilisha misemo nzima, lakini pia katika operesheni na sehemu, mizizi. , mamlaka yenye kipeo cha busara .
Katika daraja la 8, ujuzi uliopatikana wa mabadiliko ya utambulisho unafanywa kwa vitendo na sehemu za algebra, kipeo na misemo iliyo na mamlaka yenye kipeo kamili.
Katika siku zijazo, mbinu za mabadiliko ya utambulisho huonyeshwa katika misemo iliyo na digrii na kipeo cha busara.
Kundi maalum la mabadiliko ya utambulisho linajumuisha maneno ya trigonometric na maneno ya logarithmic.
Matokeo ya lazima ya kujifunza kwa kozi ya aljebra katika darasa la 7-9 ni pamoja na:
1) mabadiliko ya utambulisho wa maneno kamili
a) kufungua na kufunga mabano;
b) kuleta wanachama sawa;
c) kuongeza, kutoa na kuzidisha polynomials;
d) kuangazia polima kwa kuweka kipengele cha kawaida nje ya mabano na fomula zilizofupishwa za kuzidisha;
e) mtengano quadratic trinomial kwa kuzidisha.
“Hisabati shuleni” (B.U.M.) uk.110
2) mabadiliko ya kitambulisho maneno yenye mantiki: kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya sehemu, na pia kutumia ujuzi ulioorodheshwa wakati wa kufanya mabadiliko rahisi yaliyounganishwa [uk. 111]
3) wanafunzi wanapaswa kuwa na uwezo wa kufanya mabadiliko ya maneno rahisi yenye digrii na mizizi. (uk. 111-112)
Aina kuu za matatizo zilizingatiwa, uwezo wa kutatua ambayo inaruhusu mwanafunzi kupokea daraja nzuri.
Mojawapo ya vipengele muhimu zaidi vya mbinu ya kusoma mabadiliko ya utambulisho ni ukuzaji wa malengo ya mwanafunzi ya kufanya mabadiliko ya utambulisho.
1) 
- kurahisisha thamani ya nambari maneno
2) ni mabadiliko gani yanapaswa kufanywa: (1) 
au (2) Uchanganuzi wa chaguo hizi ni motisha (inapendekezwa (1), kwani katika (2) upeo wa ufafanuzi umepunguzwa)
3) Tatua equation:
Factoring wakati wa kutatua equations.
4) Kuhesabu:
Wacha tutumie fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Tafuta thamani ya usemi:
Ili kupata thamani, zidisha kila sehemu kwa muunganisho wake:
6) Grafu kazi:
Wacha tuchague sehemu nzima:.
Uzuiaji wa makosa wakati wa kufanya mabadiliko ya utambulisho unaweza kupatikana kwa mifano tofauti ya utekelezaji wao. Katika kesi hii, mbinu "ndogo" zinafanywa, ambazo, kama vipengele, zinajumuishwa katika mchakato mkubwa wa mabadiliko.
Kwa mfano:
Kulingana na maelekezo ya equation, matatizo kadhaa yanaweza kuzingatiwa: kuzidisha polynomials kutoka kulia kwenda kushoto; kutoka kushoto kwenda kulia - factorization. Upande wa kushoto ni nyingi ya moja ya sababu upande wa kulia, nk.
Mbali na mifano tofauti, unaweza kutumia msamaha kati ya utambulisho na usawa wa nambari.
Mbinu inayofuata ni maelezo ya utambulisho.
Ili kuongeza hamu ya wanafunzi, tunaweza kujumuisha kutafuta kwa njia mbalimbali kutatua tatizo.
Masomo ya kusoma mabadiliko ya utambulisho yatakuwa ya kuvutia zaidi ikiwa utayatolea kutafuta suluhu la tatizo .
Kwa mfano: 1) punguza sehemu:
3) thibitisha muundo wa "radical tata"
Zingatia:
Wacha tubadilishe upande wa kulia wa usawa:
-
jumla ya maneno ya kuunganisha. Zinaweza kuzidishwa na kugawanywa kwa unganishi wao, lakini operesheni kama hiyo ingetupeleka kwenye sehemu ambayo madhehebu yake ni tofauti ya radicals.
Kumbuka kuwa neno la kwanza katika sehemu ya kwanza ya kitambulisho ni nambari kubwa kuliko ya pili, kwa hivyo tunaweza mraba sehemu zote mbili:
Somo la vitendo №3.
Mada: Mabadiliko sawa ya misemo (mbinu ya swali).
Fasihi: "Warsha juu ya MPM", ukurasa wa 87-93.
Ishara utamaduni wa juu mahesabu na mabadiliko ya utambulisho kwa wanafunzi ni maarifa thabiti mali na algorithms ya shughuli kwa idadi halisi na takriban na matumizi yao ya ustadi; mbinu za busara mahesabu na mabadiliko na uthibitishaji wao; uwezo wa kuhalalisha utumiaji wa njia na sheria za mahesabu na mabadiliko, ustadi wa kiotomatiki wa utekelezaji usio na makosa wa shughuli za hesabu.
Ni katika daraja gani wanafunzi wanapaswa kuanza kufanyia kazi ujuzi ulioorodheshwa?
Mstari wa mabadiliko sawa ya misemo huanza na matumizi ya mbinu hesabu ya busara huanza na utumiaji wa mbinu za kuhesabu kwa busara maadili ya misemo ya nambari. (darasa la 5)
Wakati wa kusoma mada kama hizo kozi ya shule hisabati wapewe Tahadhari maalum!
Utekelezaji wa ufahamu wa wanafunzi wa mabadiliko ya utambulisho unawezeshwa na uelewa wa ukweli kwamba usemi wa aljebra haupo peke yao, lakini kwa uhusiano usioweza kutenganishwa na seti fulani ya nambari, ni rekodi za jumla za usemi wa nambari. Milinganisho kati ya usemi wa aljebra na nambari (na mabadiliko yao) ni ya kimantiki; matumizi yake katika ufundishaji husaidia kuzuia wanafunzi kufanya makosa.
Mabadiliko sawa sio mada tofauti katika kozi ya hisabati ya shule; husomwa katika kipindi chote cha aljebra na mwanzo wa uchanganuzi wa hisabati.
Mpango wa hisabati wa darasa la 1-5 ni nyenzo za uenezi za kusoma mabadiliko sawa ya misemo na kigezo.
Katika kozi ya algebra ya daraja la 7. ufafanuzi wa utambulisho na mabadiliko ya utambulisho huletwa.
Def. Maneno mawili ambayo maadili yanayolingana ni sawa kwa maadili yoyote ya vigezo huitwa. sawa sawa.
ODA. Usawa ambao ni kweli kwa maadili yoyote ya vigezo huitwa kitambulisho.
Thamani ya utambulisho iko katika ukweli kwamba inaruhusu usemi uliotolewa kubadilishwa na mwingine ambao ni sawa nayo.
Def. Kubadilisha usemi mmoja na usemi mwingine sawa kunaitwa mabadiliko ya kufanana au kwa urahisi mabadiliko maneno.
Mabadiliko sawa ya misemo na vigezo hufanywa kulingana na mali ya shughuli kwenye nambari.
Msingi wa mabadiliko ya utambulisho unaweza kuchukuliwa kuwa mabadiliko sawa.
ODA. Sentensi mbili, ambayo kila moja ni matokeo ya kimantiki ya nyingine, huitwa. sawa.
ODA. Sentensi yenye viambishi A inaitwa. matokeo ya sentensi yenye viambishi B, ikiwa eneo la ukweli B ni sehemu ndogo ya eneo la ukweli A.
Ufafanuzi mwingine wa sentensi sawa unaweza kutolewa: sentensi mbili zilizo na vigeuzo ni sawa ikiwa nyanja zao za ukweli zinapatana.
a) B: x-1=0 juu ya R; A: (x-1) 2 juu ya R => A~B, kwa sababu maeneo ya ukweli (suluhisho) sanjari (x=1)
b) A: x=2 juu ya R; B: x 2 =4 juu ya R => kikoa cha ukweli A: x = 2; ukweli kikoa B: x=-2, x=2; kwa sababu kikoa cha ukweli cha A kimo katika B, basi: x 2 =4 ni tokeo la pendekezo x = 2.
Msingi wa mabadiliko ya kitambulisho ni uwezo wa kuwakilisha nambari sawa ndani fomu tofauti. Kwa mfano,
-
Uwakilishi huu utasaidia wakati wa kusoma mada "sifa za kimsingi za sehemu."
Ujuzi katika kufanya mabadiliko ya utambulisho huanza kukua wakati wa kutatua mifano sawa na ifuatayo: "Tafuta thamani ya nambari ya usemi 2a 3 +3ab+b 2 na = 0.5, b = 2/3," ambayo hutolewa kwa wanafunzi katika daraja. 5 na kuruhusu dhana ya utendaji kazi wa propaedeutics.
Wakati wa kusoma fomula zilizofupishwa za kuzidisha, unapaswa kuzingatia uelewa wao wa kina na uigaji mkubwa. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia kielelezo kifuatacho cha picha:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Swali: Jinsi ya kuelezea kwa wanafunzi kiini cha fomula zilizotolewa kulingana na michoro hii?
Kosa la kawaida ni kuchanganya maneno "mraba wa jumla" na "jumla ya miraba." Dalili ya mwalimu kwamba maneno haya yanatofautiana katika utaratibu wa operesheni haionekani kuwa muhimu, kwani wanafunzi wanaamini kwamba vitendo hivi vinafanywa kwa idadi sawa na kwa hiyo matokeo hayabadilika kwa kubadilisha utaratibu wa vitendo.
Kazi: Unda mazoezi ya mdomo ili kukuza ujuzi wa wanafunzi katika kutumia fomula zilizo hapo juu bila makosa. Je, tunawezaje kueleza jinsi semi hizi mbili zinavyofanana na jinsi zinavyotofautiana?
Aina mbalimbali za mabadiliko yanayofanana hufanya iwe vigumu kwa wanafunzi kujielekeza wenyewe kuhusu madhumuni ambayo yanatekelezwa. Ujuzi usioeleweka wa madhumuni ya kufanya mabadiliko (katika kila moja kesi maalum) huathiri vibaya ufahamu wao, hutumika kama chanzo makosa makubwa wanafunzi. Hii inapendekeza kuwa kueleza wanafunzi malengo ya kufanya mabadiliko mbalimbali ya utambulisho ni muhimu. sehemu muhimu mbinu za kuzisoma.
Mifano ya motisha za mabadiliko ya utambulisho:
1. kurahisisha eneo thamani ya nambari misemo;
2. kuchagua mabadiliko ya equation ambayo haina kusababisha hasara ya mizizi;
3. Wakati wa kufanya mabadiliko, unaweza kuashiria eneo lake la hesabu;
4. matumizi ya mabadiliko katika mahesabu, kwa mfano, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Ili kusimamia mchakato wa uamuzi, ni muhimu kwa mwalimu kuwa na uwezo wa kutoa maelezo sahihi ya kiini cha kosa lililofanywa na mwanafunzi. Uainishaji sahihi wa makosa ni muhimu chaguo sahihi hatua zinazofuata zilizochukuliwa na mwalimu.
Mifano ya makosa ya wanafunzi:
1. kufanya kuzidisha: mwanafunzi alipokea -54abx 6 (seli 7);
2. Kwa kuinua hadi mamlaka (3x 2) 3 mwanafunzi alipata 3x 6 (madaraja 7);
3. kubadilisha (m + n) 2 katika polynomial, mwanafunzi alipokea m 2 + n 2 (daraja la 7);
4. Kwa kupunguza sehemu aliyopokea mwanafunzi (madaraja 8);
5. kufanya kutoa: 
, mwanafunzi anaandika (darasa la 8)
6. Akiwakilisha sehemu katika mfumo wa sehemu, mwanafunzi alipokea: 
(darasa 8);
7. Kuondoa mzizi wa hesabu mwanafunzi alipata x-1 (darasa la 9);
8. kutatua equation (daraja la 9);
9. Kwa kubadilisha usemi, mwanafunzi anapokea: (darasa la 9).
Hitimisho
Utafiti wa mabadiliko ya utambulisho unafanywa kwa uhusiano wa karibu na seti za nambari zilizosomwa katika darasa fulani.
Mara ya kwanza, unapaswa kumwomba mwanafunzi kuelezea kila hatua ya mabadiliko, kuunda kanuni na sheria zinazotumika.
Katika mabadiliko ya kufanana ya maneno ya algebraic, sheria mbili hutumiwa: uingizwaji na uingizwaji kwa sawa. Kubadilisha hutumiwa mara nyingi, kwa sababu Kuhesabu kwa kutumia fomula ni msingi wake, i.e. pata thamani ya usemi a*b na a=5 na b=-3. Mara nyingi, wanafunzi hupuuza mabano wakati wa kufanya shughuli za kuzidisha, wakiamini kuwa ishara ya kuzidisha ina maana. Kwa mfano, kuingia kwafuatayo kunawezekana: 5 * -3.
Fasihi
1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Inayofanya kazi na mbinu za graphic kutatua matatizo ya mitihani”, Mn..Aversev, 2004
2. O.N. Piryutko "Makosa ya kawaida katika upimaji wa kati", M..Aversev, 2006
3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Kazi za mtego katika upimaji wa kati", Mn..Aversev, 2006
4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Njia za suluhisho matatizo ya trigonometric", M..Aversev, 2005
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Kwa mfano, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdoti 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 \)
inaweza kurahisishwa.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials mtazamo wa kawaida:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdoti (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial \(12a^2b - 7b\) ina shahada ya tatu, na trinomial \(2b^2 -7b + 6\) ina pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya usambazaji ya kuzidisha, unaweza kubadilisha (kurahisisha) bidhaa ya monomial na polynomial kuwa polynomial. Kwa mfano:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdoti (-5ab) + 9a^2b \cdoti (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Na baadhi ya maneno katika mabadiliko ya algebra kuwa na kushughulika mara nyingi zaidi kuliko wengine. Labda maneno ya kawaida zaidi ni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) na \(a^2 - b^2 \), yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya mraba. Umegundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, \(a + b)^2 \) bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. . Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Semi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) zinaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi hii wakati wa kuzidisha polynomia:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - mraba wa jumla sawa na jumla mraba na bidhaa mara mbili.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya miraba bila bidhaa iliyoongezwa mara mbili.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Vidokezo muhimu!
1. Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Jinsi ya kufanya hivyo kwenye kivinjari chako imeandikwa hapa:
2. Kabla ya kuanza kusoma makala, makini na navigator wetu kwa wengi rasilimali muhimu Kwa
Mara nyingi tunasikia hii neno lisilopendeza: "rahisisha usemi." Kawaida tunaona aina fulani ya monster kama hii:
"Ni rahisi zaidi," tunasema, lakini jibu kama hilo kawaida haifanyi kazi.
Sasa nitakufundisha usiogope kazi zozote kama hizo.
Zaidi ya hayo, mwishoni mwa somo utarahisisha mfano huu kwa (tu!) nambari ya kawaida(ndio, kuzimu na barua hizi).
Lakini kabla ya kuanza shughuli hii, unahitaji kuwa na uwezo kushughulikia sehemu Na sababu polynomials.
Kwa hivyo, ikiwa haujafanya hivi hapo awali, hakikisha unajua mada "" na "".
Je, umeisoma? Ikiwa ndio, basi uko tayari sasa.
Twende! (Twende!)
Uendeshaji Msingi wa Kurahisisha Usemi
Sasa hebu tuangalie mbinu za kimsingi zinazotumiwa kurahisisha misemo.
Rahisi zaidi ni
1. Kuleta sawa
Je, zinafanana nini? Ulichukua hii katika daraja la 7, wakati herufi badala ya nambari zilionekana kwa mara ya kwanza kwenye hisabati.
Sawa- haya ni maneno (monomials) yenye sehemu ya barua sawa.
Kwa mfano, kwa jumla masharti yanayofanana- hii ni i.
Unakumbuka?
Toa sawa- inamaanisha kuongeza maneno kadhaa yanayofanana kwa kila mmoja na kupata muhula mmoja.
Tunawezaje kuweka barua pamoja? - unauliza.
Hii ni rahisi sana kuelewa ikiwa unafikiri kwamba barua ni aina fulani ya vitu.
Kwa mfano, barua ni mwenyekiti. Kisha usemi ni sawa na nini?
Viti viwili pamoja na viti vitatu, vitakuwa vingapi? Hiyo ni kweli, viti:.
Sasa jaribu usemi huu: .
Ili kuepuka kuchanganyikiwa, basi barua tofauti kuwakilisha vitu mbalimbali.
Kwa mfano, - ni (kama kawaida) mwenyekiti, na - ni meza.
viti meza viti meza viti viti meza
Nambari ambazo herufi katika maneno kama haya huzidishwa huitwa mgawo.
Kwa mfano, katika monomial mgawo ni sawa. Na ndani yake ni sawa.
Kwa hivyo, sheria ya kuleta zinazofanana ni:
Mifano:
Nipe zinazofanana:
Majibu:
2. (na sawa, kwa kuwa, kwa hiyo, maneno haya yana sehemu ya barua sawa).
2. Factorization
Hii ni kawaida zaidi sehemu muhimu katika kurahisisha misemo.
Baada ya kutoa zinazofanana, mara nyingi usemi unaosababishwa unahitajika kiwanda, yaani, iliyotolewa kwa namna ya bidhaa.
Hasa hii muhimu katika sehemu: baada ya yote, ili kuweza kupunguza sehemu, Nambari na denominator lazima iwakilishwe kama bidhaa.
Ulipitia njia za kuweka misemo kwa undani katika mada "", kwa hivyo hapa lazima ukumbuke kile ulichojifunza.
Ili kufanya hivyo, suluhisha mifano kadhaa (unahitaji kuzibadilisha)
Mifano:
Ufumbuzi:
3. Kupunguza sehemu.
Kweli, ni nini kinachoweza kupendeza zaidi kuliko kuvuka sehemu ya nambari na dhehebu na kuzitupa nje ya maisha yako?
Huo ndio uzuri wa kupunguza.
Ni rahisi:
Ikiwa nambari na denominator zina mambo sawa, zinaweza kupunguzwa, yaani, kuondolewa kutoka kwa sehemu.
Sheria hii inafuata kutoka kwa mali ya msingi ya sehemu:
Hiyo ni, kiini cha operesheni ya kupunguza ni hiyo Tunagawanya nambari na denominator ya sehemu kwa nambari sawa (au kwa usemi sawa).
Ili kupunguza sehemu unahitaji:
1) nambari na denominator kiwanda
2) ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida, zinaweza kuvuka.
Mifano:
Kanuni, nadhani, iko wazi?
Ningependa kuteka mawazo yako kwa jambo moja kosa la kawaida wakati wa kuambukizwa. Ingawa mada hii ni rahisi, watu wengi hufanya kila kitu kibaya, bila kuelewa hilo kupunguza- hii inamaanisha kugawanya nambari na denominator ni nambari sawa.
Hakuna vifupisho ikiwa nambari au denominator ni jumla.
Kwa mfano: tunahitaji kurahisisha.
Watu wengine hufanya hivi: ambayo ni makosa kabisa.
Mfano mwingine: kupunguza.
"Mwenye akili zaidi" atafanya hivi:
Niambie kuna nini hapa? Inaweza kuonekana: - hii ni multiplier, ambayo ina maana inaweza kupunguzwa.
Lakini hapana: - hii ni sababu ya neno moja tu katika nambari, lakini nambari yenyewe kwa ujumla haijajumuishwa.
Hapa kuna mfano mwingine:.
Usemi huu umebadilishwa, ambayo inamaanisha unaweza kuipunguza, ambayo ni, kugawanya nambari na dhehebu na, na kisha kwa:
Unaweza kuigawanya mara moja kuwa:
Ili kuepuka makosa hayo, kumbuka njia rahisi jinsi ya kuamua ikiwa usemi umebadilishwa:
Operesheni ya hesabu ambayo inafanywa mwisho wakati wa kuhesabu thamani ya usemi ni operesheni ya "bwana".
Hiyo ni, ikiwa utabadilisha nambari (zozote) badala ya herufi na kujaribu kuhesabu thamani ya usemi, basi ikiwa hatua ya mwisho kutakuwa na kuzidisha, ambayo ina maana tuna bidhaa (usemi ni factorized).
Ikiwa kitendo cha mwisho ni kuongeza au kutoa, hii inamaanisha kuwa usemi haujafanywa (na kwa hivyo hauwezi kupunguzwa).
Ili kusisitiza hili, suluhisha mifano michache mwenyewe:
Mifano:
Ufumbuzi:
4. Kuongeza na kupunguza sehemu. Kupunguza sehemu kwa denominator ya kawaida.
Kuongeza na kutoa sehemu za kawaida- operesheni inajulikana sana: tunatafuta dhehebu la kawaida, kuzidisha kila sehemu kwa sababu inayokosekana na kuongeza / kuondoa nambari.
Hebu tukumbuke:
Majibu:
1. Madhehebu na ni kiasi kikubwa, yaani, hawana mambo ya kawaida. Kwa hiyo, LCM ya nambari hizi ni sawa na bidhaa zao. Hii itakuwa dhehebu la kawaida:
2. Hapa kiashiria cha kawaida ni:
3. Jambo la kwanza hapa sehemu zilizochanganywa tunazibadilisha kuwa zisizo sahihi, na kisha kufuata muundo wa kawaida:
Ni jambo tofauti kabisa ikiwa sehemu zina herufi, kwa mfano:
Wacha tuanze na kitu rahisi:
a) Madhehebu hayana herufi
Kila kitu hapa ni sawa na kawaida sehemu za nambari: tafuta dhehebu la kawaida, zidisha kila sehemu kwa sababu inayokosekana na ongeza/ondoa nambari:
Sasa kwenye nambari unaweza kutoa zinazofanana, ikiwa zipo, na kuzizingatia:
Jaribu mwenyewe:
Majibu:
b) Madhehebu huwa na herufi
Wacha tukumbuke kanuni ya kupata dhehebu la kawaida bila herufi:
· kwanza kabisa, tunaamua mambo ya kawaida;
· kisha tunaandika mambo yote ya kawaida moja baada ya nyingine;
· na kuzizidisha kwa vipengele vingine vyote visivyo vya kawaida.
Kuamua sababu za kawaida za madhehebu, kwanza tunaziweka kwa sababu kuu:
Hebu tusisitize mambo ya kawaida:
Sasa hebu tuandike sababu za kawaida moja baada ya nyingine na tuziongezee mambo yote yasiyo ya kawaida (hayajapigiwa mstari):
Hili ndilo dhehebu la kawaida.
Hebu turudi kwenye barua. Madhehebu yanatolewa kwa njia sawa kabisa:
· kipengele cha madhehebu;
· kuamua mambo ya kawaida (yanayofanana);
· Andika mambo yote ya kawaida mara moja;
· kuzizidisha kwa vipengele vingine vyote visivyo vya kawaida.
Kwa hivyo, kwa utaratibu:
1) sababu ya madhehebu:
2) kuamua mambo ya kawaida (yanayofanana):
3) andika sababu zote za kawaida mara moja na uzizidishe kwa sababu zingine zote (zisizopigwa mstari):
Kwa hivyo kuna dhehebu la kawaida hapa. Sehemu ya kwanza lazima iongezwe na, ya pili - na:
Kwa njia, kuna hila moja:
Kwa mfano: .
Tunaona mambo sawa katika madhehebu, yote tu na viashiria tofauti. Denominator ya kawaida itakuwa:
kwa kiwango
kwa kiwango
kwa kiwango
kwa kiwango.
Wacha tufanye kazi ngumu:
Jinsi ya kufanya sehemu kuwa na denominator sawa?
Hebu tukumbuke mali ya msingi ya sehemu:
Hakuna mahali inaposema kwamba nambari sawa inaweza kutolewa (au kuongezwa) kutoka kwa nambari na denominator ya sehemu. Kwa sababu sio kweli!
Jionee mwenyewe: chukua sehemu yoyote, kwa mfano, na uongeze nambari fulani kwa nambari na denominator, kwa mfano, . Umejifunza nini?
Kwa hivyo, sheria nyingine isiyoweza kubadilika:
Unapopunguza sehemu hadi dhehebu la kawaida, tumia operesheni ya kuzidisha tu!
Lakini unahitaji kuzidisha nini ili kupata?
Kwa hivyo zidisha kwa. Na zidisha kwa:
Tutaita misemo ambayo haiwezi kuzingatiwa "sababu za kimsingi."
Kwa mfano, - hii ni sababu ya msingi. - Sawa. Lakini hapana: inaweza kuwa factorized.
Vipi kuhusu usemi huo? Je, ni ya msingi?
Hapana, kwa sababu inaweza kuzingatiwa:
(tayari umesoma kuhusu factorization katika mada "").
Kwa hivyo, sababu za kimsingi ambazo unapanua usemi na herufi ni analog sababu kuu, ambamo unatenganisha nambari. Na tutawashughulikia kwa njia sawa.
Tunaona kwamba madhehebu yote mawili yana kizidishi. Itaenda kwa dhehebu la kawaida hadi digrii (kumbuka kwanini?).
Sababu ni ya msingi, na hawana sababu ya kawaida, ambayo inamaanisha kuwa sehemu ya kwanza italazimika kuzidishwa nayo:
Mfano mwingine:
Suluhisho:
Kabla ya kuzidisha madhehebu haya kwa hofu, unahitaji kufikiria jinsi ya kuwahesabu? Wote wawili wanawakilisha:
Kubwa! Kisha:
Mfano mwingine:
Suluhisho:
Kama kawaida, wacha tubadilishe madhehebu. Katika dhehebu la kwanza tunaiweka tu nje ya mabano; katika pili - tofauti ya mraba:
Inaweza kuonekana kuwa hakuna sababu za kawaida. Lakini ukiangalia kwa makini, zinafanana... Na ni kweli:
Kwa hivyo tuandike:
Hiyo ni, ikawa kama hii: ndani ya mabano tulibadilisha maneno, na wakati huo huo ishara mbele ya sehemu ilibadilika kuwa kinyume. Kumbuka, itabidi ufanye hivi mara nyingi.
Sasa wacha tuilete kwa dhehebu la kawaida:
Nimeelewa? Hebu tuangalie sasa.
Kazi za suluhisho la kujitegemea:
Majibu:
5. Kuzidisha na mgawanyiko wa sehemu.
Kweli, sehemu ngumu zaidi imekwisha sasa. Na mbele yetu ni rahisi zaidi, lakini wakati huo huo muhimu zaidi:
Utaratibu
Je! ni utaratibu gani wa kuhesabu usemi wa nambari? Kumbuka kwa kuhesabu maana ya usemi huu:
Je, ulihesabu?
Inapaswa kufanya kazi.
Kwa hiyo, ngoja nikukumbushe.
Hatua ya kwanza ni kuhesabu digrii.
Ya pili ni kuzidisha na kugawanya. Ikiwa kuna kuzidisha na mgawanyiko kadhaa kwa wakati mmoja, zinaweza kufanywa kwa utaratibu wowote.
Na hatimaye, tunafanya kuongeza na kutoa. Tena, kwa utaratibu wowote.
Lakini: usemi katika mabano unatathminiwa bila kubadilika!
Ikiwa mabano kadhaa yanazidishwa au kugawanywa kwa kila mmoja, sisi kwanza tunahesabu kujieleza katika kila mabano, na kisha kuzidisha au kugawanya.
Je, ikiwa kuna mabano zaidi ndani ya mabano? Kweli, wacha tufikirie: usemi fulani umeandikwa ndani ya mabano. Wakati wa kuhesabu usemi, unapaswa kufanya nini kwanza? Hiyo ni kweli, hesabu mabano. Kweli, tulifikiria: kwanza tunahesabu mabano ya ndani, kisha kila kitu kingine.
Kwa hivyo, utaratibu wa usemi hapo juu ni kama ifuatavyo (hatua ya sasa imeangaziwa kwa nyekundu, ambayo ni, hatua ambayo ninafanya hivi sasa):
Sawa, yote ni rahisi.
Lakini hii sio sawa na usemi na herufi?
Hapana, ni sawa! Badala yake tu shughuli za hesabu unahitaji kufanya algebraic, ambayo ni, vitendo vilivyoelezewa katika sehemu iliyopita: kuleta sawa, kuongeza sehemu, kupunguza sehemu, na kadhalika. Tofauti pekee itakuwa hatua ya uundaji wa polynomials (mara nyingi tunatumia hii tunapofanya kazi na sehemu). Mara nyingi, ili kuunda, unahitaji kutumia I au tu kuweka sababu ya kawaida nje ya mabano.
Kawaida lengo letu ni kuwakilisha usemi kama bidhaa au mgawo.
Kwa mfano:
Hebu kurahisisha usemi.
1) Kwanza, tunarahisisha usemi kwenye mabano. Hapo tuna tofauti ya sehemu, na lengo letu ni kuiwasilisha kama bidhaa au mgawo. Kwa hivyo, tunaleta sehemu kwa dhehebu la kawaida na kuongeza:
Haiwezekani kurahisisha usemi huu zaidi; mambo yote hapa ni ya msingi (bado unakumbuka hii inamaanisha nini?).
2) Tunapata:
Kuzidisha sehemu: nini kinaweza kuwa rahisi zaidi.
3) Sasa unaweza kufupisha:
Sawa yote yamekwisha Sasa. Hakuna ngumu, sawa?
Mfano mwingine:
Rahisisha usemi.
Kwanza, jaribu kutatua mwenyewe, na kisha tu uangalie suluhisho.
Suluhisho:
Kwanza kabisa, hebu tuamue utaratibu wa vitendo.
Kwanza, wacha tuongeze sehemu kwenye mabano, kwa hivyo badala ya sehemu mbili tunapata moja.
Kisha tutafanya mgawanyiko wa sehemu. Kweli, wacha tuongeze matokeo na sehemu ya mwisho.
Nitahesabu hatua kwa utaratibu:
Hatimaye nitakupa mbili ushauri muhimu:
1. Ikiwa kuna zinazofanana, lazima ziletwe mara moja. Katika hatua yoyote kama hiyo itatokea katika nchi yetu, inashauriwa kuwaleta mara moja.
2. Vile vile hutumika kwa kupunguza sehemu: mara tu fursa ya kupunguza inaonekana, ni lazima ichukuliwe. Isipokuwa ni kwa visehemu unavyoongeza au kupunguza: ikiwa sasa wanazo madhehebu sawa, basi kupunguzwa kunapaswa kushoto kwa baadaye.
Hapa kuna baadhi ya kazi za kutatua peke yako:
Na kile kilichoahidiwa mwanzoni kabisa:
Majibu:
Suluhisho (kifupi):
Ikiwa umeshughulikia angalau mifano mitatu ya kwanza, basi umeijua mada.
Sasa juu ya kujifunza!
KUGEUZA MANENO. MUHTASARI NA FOMU ZA MSINGI
Shughuli za kurahisisha msingi:
- Kuleta sawa: kuongeza (kupunguza) maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuwapa sehemu ya barua.
- Factorization: kuweka sababu ya kawaida nje ya mabano, kuitumia, nk.
- Kupunguza sehemu: Nambari na denominator ya sehemu inaweza kuzidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, ambayo haibadilishi thamani ya sehemu.
1) nambari na denominator kiwanda
2) ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida, zinaweza kuvuka.MUHIMU: tu kuzidisha kunaweza kupunguzwa!
- Kuongeza na kupunguza sehemu:
; - Kuzidisha na kugawanya sehemu:
;
Naam, mada imekwisha. Ikiwa unasoma mistari hii, inamaanisha kuwa wewe ni mzuri sana.
Kwa sababu ni 5% tu ya watu wanaweza kusimamia kitu peke yao. Na ukisoma hadi mwisho, basi uko kwenye hii 5%!
Sasa jambo muhimu zaidi.
Umeelewa nadharia juu ya mada hii. Na, narudia, hii ... hii ni super tu! Tayari wewe ni bora kuliko idadi kubwa ya wenzako.
Shida ni kwamba hii inaweza kuwa haitoshi ...
Kwa ajili ya nini?
Kwa mafanikio kufaulu Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa ajili ya kujiunga na chuo kwa bajeti na, MUHIMU ZAIDI, kwa maisha yote.
Sitakushawishi chochote, nitasema jambo moja tu ...
Watu waliopokea elimu nzuri, kulipwa zaidi ya wale ambao hawakupokea. Hizi ni takwimu.
Lakini hii sio jambo kuu.
Jambo kuu ni kwamba wana FURAHA ZAIDI (kuna masomo kama haya). Labda kwa sababu kuna mengi zaidi wazi mbele yao uwezekano zaidi na maisha yanakuwa angavu? Sijui...
Lakini fikiria mwenyewe ...
Je, inachukua nini ili kuwa na uhakika wa kuwa bora zaidi kuliko wengine kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja na hatimaye kuwa... furaha zaidi?
PATA MKONO WAKO KWA KUTATUA MATATIZO JUU YA MADA HII.
Hutaulizwa nadharia wakati wa mtihani.
Utahitaji kutatua matatizo kwa wakati.
Na, ikiwa haujayatatua (MENGI!), hakika utafanya makosa ya kijinga mahali fulani au hutakuwa na wakati.
Ni kama katika michezo - unahitaji kurudia mara nyingi ili kushinda kwa hakika.
Tafuta mkusanyiko popote unapotaka, lazima na suluhisho, uchambuzi wa kina na kuamua, kuamua, kuamua!
Unaweza kutumia kazi zetu (hiari) na sisi, bila shaka, tunazipendekeza.
Ili kufanya vyema katika kutumia kazi zetu, unahitaji kusaidia kupanua maisha ya kitabu cha kiada cha YouClever unachosoma kwa sasa.
Vipi? Kuna chaguzi mbili:
- Fungua kazi zote zilizofichwa katika nakala hii -
- Fungua ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa katika nakala zote 99 za kitabu - Nunua kitabu cha maandishi - 499 RUR
Ndio, tuna nakala kama hizo 99 kwenye kitabu chetu cha maandishi na ufikiaji wa kazi zote na maandishi yote yaliyofichwa ndani yao yanaweza kufunguliwa mara moja.
Ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa hutolewa kwa maisha YOTE ya tovuti.
Hitimisho...
Ikiwa hupendi majukumu yetu, tafuta mengine. Usiishie kwenye nadharia.
"Kueleweka" na "naweza kutatua" ni ujuzi tofauti kabisa. Unahitaji zote mbili.
Tafuta shida na utatue!
Sifa za kimsingi za kuongeza na kuzidisha nambari.
Sifa ya ubadilishaji ya nyongeza: kupanga upya masharti hakubadilishi thamani ya jumla. Kwa nambari yoyote a na b usawa ni kweli
Mali ya pamoja ya nyongeza: ili kuongeza nambari ya tatu kwa jumla ya nambari mbili, unaweza kuongeza jumla ya nambari ya pili na ya tatu kwa nambari ya kwanza. Kwa nambari zozote a, b na c usawa ni kweli
Sifa ya kubadilisha ya kuzidisha: kupanga upya vipengele hakubadilishi thamani ya bidhaa. Kwa nambari zozote a, b na c usawa ni kweli
Mali ya pamoja ya kuzidisha: kuzidisha bidhaa ya nambari mbili kwa nambari ya tatu, unaweza kuzidisha nambari ya kwanza kwa bidhaa ya pili na ya tatu.
Kwa nambari zozote a, b na c usawa ni kweli
Sifa ya Usambazaji: Ili kuzidisha nambari kwa jumla, unaweza kuzidisha nambari hiyo kwa kila neno na kuongeza matokeo. Kwa nambari zozote a, b na c usawa ni kweli
Kutoka kwa sifa za kubadilisha na za kuchanganya za kuongeza ifuatavyo: kwa jumla yoyote unaweza kupanga upya masharti kwa njia yoyote unayopenda na kuchanganya kiholela katika vikundi.
Mfano 1 Wacha tuhesabu jumla 1.23+13.5+4.27.
Ili kufanya hivyo, ni rahisi kuchanganya muhula wa kwanza na wa tatu. Tunapata:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Kutoka kwa mali ya kubadilisha na ya kuchanganya ya kuzidisha ifuatavyo: katika bidhaa yoyote unaweza kupanga upya mambo kwa njia yoyote na kuchanganya kiholela katika vikundi.
Mfano 2 Hebu tupate thamani ya bidhaa 1.8 · 0.25 · 64 · 0.5.
Kuchanganya sababu ya kwanza na ya nne, na ya pili na ya tatu, tunayo:
1.8·0.25 · 64 · 0.5=(1.8·0.5)·(0.25·64)=0.9·16=14.4.
Sifa ya ugawaji pia ni kweli nambari inapozidishwa kwa jumla ya maneno matatu au zaidi.
Kwa mfano, kwa nambari yoyote a, b, c na d usawa ni kweli
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Tunajua kuwa kutoa kunaweza kubadilishwa na kuongeza kwa kuongeza kwenye minuend nambari tofauti ya manukuu:
Hii inaruhusu usemi wa nambari aina a-b kuzingatiwa jumla ya nambari a na -b, usemi wa nambari wa fomu a+b-c-d uchukuliwe kuwa jumla ya nambari a, b, -c, -d, nk. Sifa zinazozingatiwa za vitendo pia ni halali kwa hesabu kama hizo.
Mfano 3 Wacha tupate thamani ya usemi 3.27-6.5-2.5+1.73.
Usemi huu ni jumla ya nambari 3.27, -6.5, -2.5 na 1.73. Kutumia mali ya kuongeza, tunapata: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.
Mfano 4 Hebu tuhesabu bidhaa 36 · ().
Kizidishi kinaweza kuzingatiwa kama jumla ya nambari na -. Kutumia mali ya usambazaji ya kuzidisha, tunapata:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Vitambulisho
Ufafanuzi. Maneno mawili ambayo maadili yake yanayolingana ni sawa kwa maadili yoyote ya vigezo huitwa sawa sawa.
Ufafanuzi. Usawa ambao ni kweli kwa maadili yoyote ya vigezo huitwa kitambulisho.
Wacha tupate maadili ya misemo 3(x+y) na 3x+3y kwa x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Tulipata matokeo sawa. Kutoka kwa mali ya usambazaji inafuata kwamba, kwa ujumla, kwa maadili yoyote ya vigezo, maadili yanayolingana ya maneno 3 (x+y) na 3x+3y ni sawa.
Hebu sasa tuzingatie misemo 2x+y na 2xy. Wakati x=1, y=2 wanachukua maadili sawa:
Walakini, unaweza kutaja maadili ya x na y hivi kwamba maadili ya misemo haya si sawa. Kwa mfano, ikiwa x=3, y=4, basi
Semi 3(x+y) na 3x+3y ni sawa, lakini semi 2x+y na 2xy si sawa sawa.
Usawa 3(x+y)=x+3y, kweli kwa thamani zozote za x na y, ni kitambulisho.
Usawa wa kweli wa nambari pia huzingatiwa vitambulisho.
Kwa hivyo, vitambulisho ni usawa unaoelezea mali ya msingi ya shughuli kwenye nambari:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Mifano mingine ya vitambulisho inaweza kutolewa:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Mabadiliko sawa ya misemo
Kubadilisha usemi mmoja na usemi mwingine sawa kunaitwa badiliko linalofanana au badiliko la usemi.
Mabadiliko sawa ya misemo na vigezo hufanywa kulingana na mali ya shughuli kwenye nambari.
Ili kupata thamani ya usemi xy-xz wakati maadili yaliyopewa x, y, z, unahitaji kufanya vitendo vitatu. Kwa mfano, na x=2.3, y=0.8, z=0.2 tunapata:
xy-xz=2.3·0.8-2.3·0.2=1.84-0.46=1.38.
Matokeo haya yanaweza kupatikana kwa kutekeleza hatua mbili tu, ikiwa utatumia usemi x(y-z), ambao ni sawa sawa na usemi xy-xz:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3·0.6=1.38.
Tumerahisisha hesabu kwa kubadilisha usemi wa xy-xz kwa kufanana kujieleza sawa x(y-z).
Mabadiliko sawa ya misemo hutumiwa sana katika kuhesabu maadili ya misemo na kutatua shida zingine. Baadhi ya mabadiliko yanayofanana tayari yamefanywa, kwa mfano, kuleta maneno sawa, kufungua mabano. Wacha tukumbuke sheria za kufanya mabadiliko haya:
kuleta maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuzidisha matokeo kwa sehemu ya barua ya kawaida;
ikiwa kuna ishara ya pamoja kabla ya mabano, basi mabano yanaweza kuachwa, kuhifadhi ishara ya kila neno lililofungwa kwenye mabano;
Ikiwa kuna ishara ya kutoa kabla ya mabano, basi mabano yanaweza kuachwa kwa kubadilisha ishara ya kila neno iliyoambatanishwa kwenye mabano.
Mfano 1 Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika jumla ya 5x+2x-3x.
Wacha tutumie sheria kupunguza maneno kama haya:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Mabadiliko haya yanategemea mali ya usambazaji ya kuzidisha.
Mfano 2 Hebu tufungue mabano katika usemi 2a+(b-3c).
Kutumia sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara ya kuongeza:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Mabadiliko yaliyofanywa yanategemea mali ya ushirika nyongeza.
Mfano 3 Hebu tufungue mabano katika usemi a-(4b-c).
Wacha tutumie sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara ya kuondoa:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Mabadiliko yaliyofanywa yanategemea mali ya usambazaji ya kuzidisha na mali ya pamoja ya kuongeza. Hebu tuonyeshe. Hebu fikiria ndani usemi huu muhula wa pili -(4b-c) katika mfumo wa bidhaa (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Kwa kuomba mali maalum vitendo, tunapata:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Nambari na misemo inayounda usemi asilia inaweza kubadilishwa na misemo inayofanana. Mabadiliko kama haya ya usemi asilia husababisha usemi ambao ni sawa nayo.
Kwa mfano, katika usemi 3+x, nambari 3 inaweza kubadilishwa na jumla ya 1+2, ambayo itasababisha usemi (1+2)+x, ambao ni sawa sawa na usemi wa asili. Mfano mwingine: katika usemi 1+a 5, nguvu a 5 inaweza kubadilishwa na bidhaa inayofanana, kwa mfano, ya umbo a·a 4. Hii itatupa usemi 1+a·a 4 .
Mabadiliko haya bila shaka ni ya bandia, na kwa kawaida ni maandalizi ya mabadiliko mengine zaidi. Kwa mfano, katika jumla ya 4 x 3 +2 x 2, kwa kuzingatia sifa za digrii, neno 4 x 3 linaweza kuwakilishwa kama bidhaa 2 x 2 2 x. Baada ya mabadiliko haya, usemi asilia utachukua fomu 2 x 2 2 x+2 x 2. Kwa wazi, maneno katika jumla inayotokana yana sababu ya kawaida ya 2 x 2, kwa hivyo tunaweza kufanya mabadiliko yafuatayo - kuweka mabano. Baada yake tunakuja kwa usemi: 2 x 2 (2 x+1) .
Kuongeza na kupunguza idadi sawa
Mabadiliko mengine ya bandia ya usemi ni kuongeza na kutoa kwa wakati mmoja kwa nambari sawa au usemi. Mabadiliko haya yanafanana kwa sababu kimsingi ni sawa na kuongeza sifuri, na kuongeza sifuri hakubadilishi thamani.
Hebu tuangalie mfano. Hebu tuchukue usemi x 2 +2·x. Ikiwa utaongeza moja kwake na kutoa moja, hii itakuruhusu kufanya mabadiliko mengine sawa katika siku zijazo - mraba ya binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografia.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa darasa la 7. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 17. - M.: Elimu, 2008. - 240 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 7. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. - Toleo la 17, ongeza. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-02432-3.