Hisabati ni ishara ya hekima ya sayansi,
mfano wa ukali wa kisayansi na unyenyekevu,
kiwango cha ubora na uzuri katika sayansi.
Mwanafalsafa wa Urusi, profesa A.V. Voloshinov
Kutokuwepo kwa usawa na moduli
Shida ngumu zaidi kusuluhisha katika hisabati ya shule ni ukosefu wa usawa, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli. Ili kutatua kwa ufanisi usawa huo, lazima uwe na ujuzi mzuri wa mali ya moduli na uwe na ujuzi wa kutumia.
Dhana za kimsingi na mali
Modulus (thamani kamili) ya nambari halisi iliyoonyeshwa na na hufafanuliwa kama ifuatavyo:
Sifa rahisi za moduli ni pamoja na mahusiano yafuatayo:
NA .
Kumbuka, kwamba mali mbili za mwisho ni halali kwa digrii yoyote sawa.
Zaidi ya hayo, ikiwa, wapi, basi na
Sifa ngumu zaidi za moduli, ambayo inaweza kutumika kwa ufanisi wakati wa kusuluhisha milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli, zimeundwa kupitia nadharia zifuatazo:
Nadharia 1.Kwa kazi zozote za uchambuzi Na usawa ni kweli.
Nadharia 2. Usawa sawa na ukosefu wa usawa.
Nadharia 3. Usawa sawa na ukosefu wa usawa.
Kukosekana kwa usawa kwa kawaida katika hisabati ya shule, iliyo na vigeu visivyojulikana chini ya ishara ya moduli, ni kutofautiana kwa fomu na wapi baadhi chanya mara kwa mara.
Nadharia 4. Kutokuwa na usawa ni sawa na kutokuwa na usawa maradufu, na suluhisho la ukosefu wa usawainapunguza kutatua seti ya usawa Na.
Nadharia hii ni kisa maalum cha Nadharia 6 na 7.
Kukosekana kwa usawa ngumu zaidi, zenye moduli ni kutofautiana kwa fomu, Na.
Mbinu za kutatua usawa huo zinaweza kutengenezwa kwa kutumia nadharia tatu zifuatazo.
Nadharia 5. Kutokuwa na usawa ni sawa na mchanganyiko wa mifumo miwili ya kutofautiana
mimi (1)
Ushahidi. Tangu wakati huo
Hii inamaanisha uhalali wa (1).
Nadharia 6. Kutokuwa na usawa ni sawa na mfumo wa kutokuwepo usawa
Ushahidi. Kwa sababu, kisha kutoka kwa usawa inafuata hiyo . Chini ya hali hii, ukosefu wa usawana katika hali hii mfumo wa pili wa kukosekana kwa usawa (1) utageuka kuwa hauendani.
Nadharia imethibitishwa.
Nadharia 7. Kutokuwa na usawa ni sawa na mchanganyiko wa ukosefu wa usawa mmoja na mifumo miwili ya kutofautiana
mimi (3)
Ushahidi. Tangu , basi ukosefu wa usawa daima kutekelezwa, Kama .
Acha, kisha kutokuwa na usawaitakuwa sawa na ukosefu wa usawa, ambayo hufuata seti ya tofauti mbili Na.
Nadharia imethibitishwa.
Wacha tuangalie mifano ya kawaida ya kutatua shida kwenye mada "Kukosekana kwa usawa, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli."
Kutatua usawa na moduli
Njia rahisi zaidi ya kutatua usawa na moduli ni njia, kulingana na upanuzi wa moduli. Njia hii ni ya ulimwengu wote, hata hivyo, kwa ujumla, matumizi yake yanaweza kusababisha mahesabu magumu sana. Kwa hivyo, wanafunzi wanapaswa kujua njia na mbinu zingine (zinazofaa zaidi) za kutatua usawa kama huo. Hasa, ni muhimu kuwa na ujuzi katika kutumia nadharia, iliyotolewa katika makala hii.
Mfano 1.Tatua ukosefu wa usawa
. (4)
Suluhisho.Tutatua usawa (4) kwa kutumia njia ya "classical" - njia ya kufunua modules. Kwa kusudi hili, tunagawanya mhimili wa nambari nukta na kwa vipindi na kuzingatia kesi tatu.
1. Ikiwa , basi , , , na ukosefu wa usawa (4) huchukua fomu au .
Kwa kuwa kesi hiyo inazingatiwa hapa, ni suluhisho la usawa (4).
2. Kama, basi kutoka kwa usawa (4) tunapata au . Tangu makutano ya vipindi Na ni tupu, basi kwa muda wa suluhisho zinazozingatiwa hakuna usawa (4).
3. Kama, basi ukosefu wa usawa (4) huchukua fomu au . Ni dhahiri kwamba pia ni suluhisho la ukosefu wa usawa (4).
Jibu:,.
Mfano 2. Tatua ukosefu wa usawa.
Suluhisho. Hebu tuchukulie hivyo. Kwa sababu, basi usawa uliopewa huchukua fomu au . Tangu wakati huo na kutoka hapa inafuata au .
Walakini, kwa hivyo au.
Mfano 3. Tatua ukosefu wa usawa
. (5)
Suluhisho. Kwa sababu, basi ukosefu wa usawa (5) ni sawa na ukosefu wa usawa au . Kuanzia hapa, kulingana na Theorem 4, tuna seti ya kutofautiana Na.
Jibu:,.
Mfano 4.Tatua ukosefu wa usawa
. (6)
Suluhisho. Hebu tuashiria. Kisha kutokana na ukosefu wa usawa (6) tunapata ukosefu wa usawa , , au .
Kuanzia hapa, kwa kutumia njia ya muda, tunapata. Kwa sababu, basi hapa tuna mfumo wa kutofautiana
Suluhisho la usawa wa kwanza wa mfumo (7) ni muunganisho wa vipindi viwili Na, na suluhu la ukosefu wa usawa wa pili ni kutokuwa na usawa maradufu. Hii ina maana, kwamba suluhisho la mfumo wa kukosekana kwa usawa (7) ni muungano wa vipindi viwili Na.
Jibu:,
Mfano 5.Tatua ukosefu wa usawa
. (8)
Suluhisho. Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa (8) kama ifuatavyo:
Au .
Kutumia njia ya muda, tunapata suluhisho la ukosefu wa usawa (8).
Jibu:.
Kumbuka. Ikiwa tutaweka na katika masharti ya Theorem 5, tunapata .
Mfano 6. Tatua ukosefu wa usawa
. (9)
Suluhisho. Kutoka kwa usawa (9) inafuata. Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa (9) kama ifuatavyo:
Au
Tangu, basi au.
Jibu:.
Mfano 7.Tatua ukosefu wa usawa
. (10)
Suluhisho. Tangu na, basi au.
Katika suala hili na ukosefu wa usawa (10) huchukua fomu
Au
. (11)
Inafuata hiyo au. Kwa kuwa , basi ukosefu wa usawa (11) pia unamaanisha au .
Jibu:.
Kumbuka. Ikiwa tutatumia Nadharia ya 1 kwenye upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa (10), basi tunapata . Kutoka kwa hili na usawa (10) inafuata, nini au. Kwa sababu, basi usawa (10) huchukua fomu au .
Mfano 8. Tatua ukosefu wa usawa
. (12)
Suluhisho. Tangu wakati huo na kutoka kwa usawa (12) inafuata au . Walakini, kwa hivyo au. Kutoka hapa tunapata au.
Jibu:.
Mfano 9. Tatua ukosefu wa usawa
. (13)
Suluhisho. Kulingana na Nadharia 7, suluhu la kukosekana kwa usawa (13) ni au .
Hebu iwe sasa. Kwa kesi hii na ukosefu wa usawa (13) huchukua fomu au .
Ikiwa unachanganya vipindi Na, kisha tunapata suluhu la kukosekana kwa usawa (13) ya fomu.
Mfano 10. Tatua ukosefu wa usawa
. (14)
Suluhisho. Wacha tuandike tena ukosefu wa usawa (14) kwa njia inayolingana: . Ikiwa tutatumia Nadharia ya 1 kwenye upande wa kushoto wa ukosefu huu wa usawa, tunapata ukosefu wa usawa .
Kutoka hapa na kutoka kwa Theorem 1 inafuata, kwamba ukosefu wa usawa (14) umeridhika kwa maadili yoyote.
Jibu: nambari yoyote.
Mfano 11. Tatua ukosefu wa usawa
. (15)
Suluhisho. Kutumia Nadharia ya 1 kwenye upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa (15), tunapata . Hii na ukosefu wa usawa (15) hutoa mlinganyo, ambayo ina fomu.
Kulingana na nadharia ya 3, mlinganyo sawa na ukosefu wa usawa. Kutoka hapa tunapata.
Mfano 12.Tatua ukosefu wa usawa
. (16)
Suluhisho. Kutoka kwa usawa (16), kulingana na Theorem 4, tunapata mfumo wa kutofautiana
Wakati wa kutatua usawaWacha tutumie Nadharia ya 6 na tupate mfumo wa kukosekana kwa usawaambayo inafuata.
Fikiria ukosefu wa usawa. Kulingana na nadharia ya 7, tunapata seti ya usawa Na. Ukosefu wa usawa wa pili wa idadi ya watu ni halali kwa ukweli wowote.
Kwa hivyo, suluhisho la kukosekana kwa usawa (16) ni.
Mfano 13.Tatua ukosefu wa usawa
. (17)
Suluhisho. Kulingana na Theorem 1, tunaweza kuandika
(18)
Kwa kuzingatia usawa (17), tunahitimisha kuwa usawa wote (18) hugeuka kuwa usawa, i.e. kuna mfumo wa milinganyo
Kwa nadharia ya 3, mfumo huu wa equations ni sawa na mfumo wa kutofautiana
au
Mfano 14.Tatua ukosefu wa usawa
. (19)
Suluhisho. Tangu, basi. Wacha tuzidishe pande zote mbili za usawa (19) kwa usemi , ambayo inachukua tu maadili chanya kwa maadili yoyote. Kisha tunapata ukosefu wa usawa ambao ni sawa na ukosefu wa usawa (19), wa fomu
Kutoka hapa tunapata au, wapi. Tangu na basi suluhisho la kukosekana kwa usawa (19) ni Na.
Jibu:,.
Kwa uchunguzi wa kina zaidi wa njia za kutatua usawa na moduli, tunapendekeza kugeukia vitabu vya kiada., iliyotolewa katika orodha ya fasihi iliyopendekezwa.
1. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa waombaji wa vyuo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Amani na Elimu, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: njia za kutatua na kudhibitisha usawa. - M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 p.
3. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: njia zisizo za kawaida za kutatua shida. - M.: CD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.
Bado una maswali?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli.
Maelezo ya maelezo.
Kozi hii imejitolea kwa uwasilishaji wa kimfumo wa nyenzo za kielimu zinazohusiana na dhana ya moduli ya nambari na vipengele vya matumizi yake. Inajadili mbinu mbalimbali za kutatua milinganyo na usawa kwa kutumia moduli kulingana na ufafanuzi wake, mali na tafsiri ya picha.
Kozi hiyo ina sifa ya mwelekeo wa vitendo. Maudhui yake kuu yanajumuisha kazi za elimu. Baadhi yao hutolewa kwa suluhisho kamili inayoonyesha njia moja au nyingine. Wengine wamejumuishwa kwa kazi ya kujitegemea. Uwasilishaji wa ufumbuzi wa vitendo unaambatana na habari muhimu ya kinadharia.
Kozi hiyo inalenga kukuza kwa wanafunzi uelewa mpana wa moduli. Kwa kuongezea, kazi za mtihani wa umoja katika hesabu zinahitaji uwezo wa kufanya kazi na moduli. Kwa hivyo, jukumu kuu la kozi ni kuandaa wanafunzi kufaulu kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja.
Mpango wa elimu na mada
Nyenzo kwa madarasa
Somo la 1. Kuamua moduli ya nambari na matumizi yake katika kutatua milinganyo.
Ufafanuzi. Modulus ya nambari halisi isiyo hasi X piga nambari hii yenyewe: | x | = X; Moduli ya nambari hasi halisi x ni nambari iliyo kinyume: | x | = - x .
Kwa kifupi imeandikwa hivi:
| x | =
Neno "moduli" (kutoka kwa Kilatini modulus - kipimo) ilianzishwa na mtaalamu wa hisabati wa Kiingereza R. Cortes (1682-1716), na ishara ya modulus ilianzishwa na mwanahisabati wa Ujerumani K. Weierstrass (1815-1897) mwaka wa 1841. Kwa kutumia ufafanuzi hapo juu, unaweza kutatua milinganyo na usawa ambao una moduli. Sasa hebu tuangalie mifano rahisi.
Mfano 1. Tatua mlinganyo |3-3x|= -1.
Suluhisho. Kwa mali ya moduli, usemi | 3-3x | sio hasi, kwa hivyo haiwezi kuwa sawa na (-1).
Jibu. Hakuna masuluhisho.
Mfano 2. Tatua mlinganyo | 3x -x 2 -2 | = 3x -x 2
Suluhisho. Hatutatua equation hii kwa njia za jadi, lakini kumbuka kuwa ina fomu ifuatayo:
|A | = A.
Kumbuka kwamba, kwa ufafanuzi wa moduli, usawa huu ni lazima utosheke wakati A>0, na wakati A<0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству 3х – х 2 - 2 >0, ambayo tayari tunajua jinsi ya kutatua.
Jibu. .
Mfano 3. Tatua mlinganyo | x + 2 | = | 2x - 1 |.
Suluhisho. Wacha tuweke pande zote mbili za equation. Hili linaweza kufanywa kwa sababu pande zote mbili za mlinganyo wa asili sio hasi. Tunapata
| x + 2 | 2 = | 2x - 1 | 2.
Ni wazi, katika equation hii tunaweza kuondoa moduli na kuandika equation sawa ya quadratic.
(x + 2) 2 = (2x – 1) 2,
Kubadilisha ambayo, sisi kupata
x 2 + 4x + 4 = 4x 2 – 4x + 1, 3x 2 – 8x – 3 = 0.
Jibu. ( -1/3 .3).
Sasa hebu tuendelee kwenye kazi zaidi za jadi.
Mbinu kuu ya kusuluhisha hesabu na kukosekana kwa usawa iliyo na usemi |f (x)| ni kufunua moduli kwa ufafanuzi, ambayo ni, anuwai nzima ya maadili yanayoruhusiwa M imegawanywa katika sehemu ndogo mbili M 1 na M 2 ili kwamba.
f (x)>0 kwa zote x M 1, kisha |f (x)| =f(x)
f(x)<0 для всех х ∊ М 2 ,тогда |f (x )| = - f (x )
Mfano 4. Tatua mlinganyo | 2x - 3 | = 3x - 7.
Suluhisho. Zingatia kesi: 1. 2x – 3 >0, 2x – 3 = 3x – 7, x = 4
2. 2x - 3<0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2 2х-3>0. Jibu: 4.
Njia hii sio pekee. Wakati wa kutatua equation ya fomu
| f(x) | = g(x)
Njia mbili zifuatazo zinatumiwa sana.
Ya kwanza, ya kawaida, inategemea ufichuaji wa moduli, kulingana na ufafanuzi wake, na inajumuisha mpito kwa seti sawa ya mifumo.
| f(x) | = g(x)
Njia ya pili ni kuhama kutoka kwa mlinganyo wa asili kwenda kwa mfumo sawa
| f(x) | = g(x)
Njia ya kwanza inapaswa kutumika katika kesi ya usemi changamano kwa chaguo za kukokotoa g (x) na si changamano sana kwa chaguo za kukokotoa f (x); ya pili, kinyume chake, ni bora kutumia ikiwa usemi wa g (x) ni rahisi.
Mfano 5. Tatua mlinganyo |x | = x - √2x +1 + 1 (Kwa kutumia njia ya kwanza)
Mfano 6. Tatua mlingano 3|x 2 -2x -1| = 5x +1 (Kwa kutumia njia ya pili)
Kutokuwa na usawa wa fomu | f(x) |< g (x ) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств
| f(x) | g(x) -g(x) f(x) g(x)
Vile vile, usawa wa fomu
| f(x) | g(x)
Tatua milinganyo
3|y 2 - 6y + 7| = miaka 5 - 9 |x | - |x - 1| = 1 |x 2 – 1| = (x - 1)
x 2 + |x – 1| = 1 |x 2 + 2x – 3| = x 2 + x – 20
Tatua ukosefu wa usawa
| 2x - 5|< 3 |x 2 – 2x – 3| < 3x - 3
x 2 – 6 > |x | |3 - |x - 2| |< 1
Somo la 2. Mbinu ya muda ya kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa iliyo na moduli.
Tatua mlinganyo | x -2| + |2x -3| = 5. Kupanua kwa mfuatano moduli zilizojumuishwa katika mlinganyo unaozingatiwa, tutalazimika kuzingatia mifumo minne na kesi isiyofaa. Na ikiwa kuna moduli tatu au zaidi katika equation, idadi ya mifumo itaongezeka zaidi. Kwa hiyo, ili kutatua matatizo ambayo yanahusisha moduli mbili au zaidi, ni busara zaidi kutumia njia ya muda.
Ili kutumia njia ya muda wakati wa kusuluhisha equations na moduli, mstari wa nambari lazima ugawanywe kwa vipindi kwa njia ambayo kwa kila moja yao maneno ya submodular huhifadhi ishara za mara kwa mara na, kwa hiyo, kwa kila muda moduli zote zinafunuliwa kwa njia fulani.
Mfano 1. Tatua mlinganyo | 3x +4| + 2|x -3| = 16
Hebu tuweke alama ya pointi x = - 4/3 na x = 3 kwenye mhimili wa nambari, ambapo maneno ya submodular hupotea. Wacha tuamue ishara za misemo ya submodular kwenye vipindi vitatu vinavyotokana.
Uchunguzi 1. Wakati x>3, moduli zote mbili hufunguliwa kwa ishara "+". Tunapata mfumo
x>3,
3x+4+2(x-3) = 16 x=18/5 (18/5>3)
Kesi 2. Saa -4/3 4/3 3x+4+2(-x+3) = 16. Equation ya mfumo huu ina mzizi x = 6, ambayo haikidhi usawa wa mfumo, kwa hiyo, sio mzizi wa equation iliyotolewa. Kesi ya 3. Katika x< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем x< -4/3, 3x-4+(-x+3) = 16. Mfumo huu una suluhisho la kipekee x = -14/5. Jibu:(-14/5; 18/5). Suluhisho la ukosefu wa usawa ulio na moduli, mara nyingi, hujengwa sawa na suluhisho la milinganyo inayolingana. Tofauti kuu ni kwamba baada ya kujikomboa kutoka kwa moduli, tunahitaji kutatua, kwa kawaida, si equation, lakini usawa. Kuna tofauti moja zaidi. Ikiwa wakati wa kutatua equations mtu anaweza kutumia sana uthibitishaji wa ufumbuzi uliopatikana, basi katika kesi ya kutofautiana inaweza kuwa vigumu kukataa ufumbuzi wa nje kwa uthibitishaji. Hii ina maana kwamba wakati wa kutatua usawa, wanajaribu kutumia hasa mabadiliko sawa. Mfano 2. Tatua ukosefu wa usawa |x - 4| + |x + 1|<7 Suluhisho. Kwenye mstari wa nambari ni muhimu kuashiria nambari x=-1 na x=4, ambapo maneno chini ya ishara za moduli hugeuka hadi sifuri. Kisha tunaweka ishara za kujieleza kwenye vipindi vitatu vinavyotokana (x-4) na (x+1). ___________________________________ Seti zinazotokana za ishara zinaonyesha kwetu ni kesi zipi zinahitajika kuzingatiwa. Kama matokeo ya kupanua moduli katika kesi hizi tatu, tunapata mifumo mitatu. Kutatua mifumo hii na kuchanganya majibu, tunapata Jibu: (-2;5). Mazoezi ya kazi ya kujitegemea Tatua milinganyo: | x - 1| + |x - 2| + |x – 3| = 4 | 6 - 2x | + |3x + 7| - 2|4x + 11| = x - 3 | | 3x - 1 | - |2x + 1| | = 1 Tatua ukosefu wa usawa: |x - 1| + |x + 2|< 3
|x - 1|< |2x
– 3| - |x
– 2| |x
2 – 3| + x
2 + x
< 7. Somo la 4. Kutatua milinganyo na kukosekana kwa usawa na moduli kwenye mstari wa kuratibu. Wakati wa kusoma umbali kati ya pointi mbili A (x 1) na B (x 2) kwenye mstari wa kuratibu, formula inatokana kulingana na ambayo AB = | x 1 - x 2 |. Kwa kutumia fomula hii, unaweza kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa wa fomu |x – a | = b , |x – a | = |x – b |, |x – a | | x – a |>|x – b |, pamoja na milinganyo na ukosefu wa usawa unaoweza kupunguzwa kwao. Mfano 1. Tatua mlingano |x - 3| = 1. Suluhisho. Kutafsiri mlinganyo huu katika "lugha ya umbali," tunapata sentensi "umbali kutoka kwa uhakika na kuratibu x hadi uhakika na kuratibu 3 ni 1." Kwa hiyo, kutatua equation inakuja chini ya kupata pointi mbali na uhakika na kuratibu 3 kwa umbali wa 1. Hebu tugeuke kwenye kielelezo cha kijiometri. _______________________________________________________ Mizizi ya equation ni nambari 2 na 4. Mfano 2. Tatua mlinganyo | 2x + 1 | = 3 Kupunguza mlingano huu kwa fomu | x – (-1/2) | = 3/2, tumia fomula ya umbali. Jibu: -2;1. Mfano wa 3: Tatua mlinganyo |x + 2| = |x - 1|. Suluhisho. Hebu tuandike mlingano huu katika mfumo |x – (-2)| = |x - 1|. Kulingana na mazingatio ya kijiometri, si vigumu kuelewa kwamba mzizi wa equation ya mwisho ni uratibu wa usawa wa uhakika kutoka kwa pointi zilizo na kuratibu 1 na -2. Jibu: -0.5. Mfano wa 4: Tatua ukosefu wa usawa |x - 1|<2. Suluhisho. Kwa msingi wa dhana za kijiometri, tunafikia hitimisho kwamba suluhisho la usawa huu ni kuratibu za alama ziko umbali wa chini ya 2 kutoka kwa uhakika na kuratibu 1. Jibu: (-1;3) Mazoezi ya kazi ya kujitegemea | x - 2 | = 0.4 | 10 - x |< 7 | x
+ 4 | = | x
– 4 | | x + 3 | = 0.7 | x + 1 | > 1 | x + 2.5| = | x - 3.3| | x - 2.5|< 0,5 | x
+ 8 | >0.7 | x | > | x - 2 | | x - 5 |< | x – 1 |
. Kikokotoo hiki cha hesabu mtandaoni kitakusaidia suluhisha mlingano au usawa na moduli. Mpango kwa kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli sio tu inatoa jibu la shida, inaongoza ufumbuzi wa kina na maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kupata matokeo. Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule za sekondari katika shule za elimu ya jumla wakati wa kuandaa mitihani na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, na kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina. Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kutatua matatizo kikiongezeka. Weka mlingano au ukosefu wa usawa ukitumia moduli Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi. Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni. Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni. Michezo yetu, puzzles, emulators: Katika kozi ya msingi ya aljebra ya shule, unaweza kukutana na milinganyo rahisi zaidi na ukosefu wa usawa na moduli. Ili kuzitatua, unaweza kutumia mbinu ya kijiometri kulingana na ukweli kwamba \(|x-a| \) ni umbali kwenye mstari wa nambari kati ya pointi x na a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Kwa mfano, ili kutatua equation \(|x-3|=2\) unahitaji kupata pointi kwenye mstari wa nambari ambazo ziko mbali kutoka kwa pointi 3 kwa umbali wa 2. Kuna pointi mbili kama hizo: \(x_1=1 \) na \(x_2=5\) . Kutatua ukosefu wa usawa \(|2x+7| Lakini njia kuu ya kutatua hesabu na usawa na moduli inahusishwa na kile kinachojulikana kama "ufunuo wa moduli kwa ufafanuzi": Mbali na ufafanuzi hapo juu, kauli zifuatazo hutumiwa: Ikiwa \(x-1 \geq 0\), basi \(|x-1| = x-1\) na mlinganyo uliotolewa huchukua fomu. MFANO 2. Tatua mlingano \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Njia ya kwanza(upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi). 1) Ikiwa \(x^2-6x+7 \geq 0 \), basi \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) na mlinganyo uliotolewa huchukua fomu \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Mshale wa kulia 3x^2-23x+30=0 \). Baada ya kusuluhisha mlinganyo huu wa quadratic, tunapata: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). 2) Ikiwa \(x^2-6x+7 Thamani \(x_3=3\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 Thamani \(x_4=\frac(4)(3) \) haikidhi hali \ (x^2-6x+7 Kwa hivyo, equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6, \; x=3 \). Njia ya pili. Ikiwa equation \(|f(x)| = h(x) \) imetolewa, basi na \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \mwisho(safu)\kulia. \) Njia ya tatu(mchoro). Ni muhimu kwamba hatua x = 1.8 ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa iko upande wa kulia wa hatua ya kushoto ya makutano ya parabola na mhimili wa abscissa - hii ndiyo hatua \(x=3-\). sqrt(2) \) (kwa kuwa \(3-\sqrt(2 ) 3) Kwa kuzingatia mchoro, grafu hupishana katika sehemu mbili - A(3; 2) na B(6; 7).Kuchukua nafasi ya abscissas hizi. pointi x = 3 na x = 6 katika equation iliyotolewa, tuna hakika kwamba wote Katika thamani nyingine, usawa sahihi wa nambari hupatikana.Hii ina maana kwamba hypothesis yetu ilithibitishwa - equation ina mizizi miwili: x = 3 na x = 6. Jibu: 3; 6. Maoni. Njia ya graphical, kwa uzuri wake wote, sio ya kuaminika sana. Katika mfano uliozingatiwa, ilifanya kazi tu kwa sababu mizizi ya equation ni nambari kamili. MFANO 3. Tatua mlingano \(|2x-4|+|x+3| = 8\) Njia ya kwanza Fikiria muda wa kwanza: \((-\infty; \; -3) \). Kwa maneno rahisi, moduli ni "nambari isiyo na minus." Na ni haswa katika uwili huu (katika sehemu zingine sio lazima ufanye chochote na nambari ya asili, lakini kwa zingine utalazimika kuondoa aina fulani ya minus) hapo ndipo ugumu wote upo kwa wanafunzi wanaoanza. Pia kuna ufafanuzi wa kijiometri. Ni muhimu pia kujua, lakini tutaigeukia tu katika hali ngumu na zingine maalum, ambapo mbinu ya kijiometri ni rahisi zaidi kuliko ile ya algebraic (spoiler: sio leo). Ufafanuzi. Acha alama $a$ iwekwe alama kwenye mstari wa nambari. Kisha moduli $\left| x-a \kulia|$ ni umbali kutoka kwa uhakika $x$ hadi kuelekeza $a$ kwenye mstari huu. Ukichora picha, utapata kitu kama hiki: Njia moja au nyingine, kutoka kwa ufafanuzi wa moduli mali yake muhimu hufuata mara moja: moduli ya nambari daima ni wingi usio hasi. Ukweli huu utakuwa uzi mwekundu unaopitia simulizi letu zima leo. Sasa hebu tuangalie ukosefu wa usawa. Kuna mengi yao, lakini kazi yetu sasa ni kuwa na uwezo wa kutatua angalau rahisi zaidi yao. Wale ambao hupunguza usawa wa mstari, na vile vile kwa njia ya muda. Nina masomo mawili makubwa juu ya mada hii (kwa njia, muhimu sana, ni muhimu sana - ninapendekeza kuyasoma): Ikiwa unajua haya yote, ikiwa kifungu "wacha tuondoke kutoka kwa usawa hadi equation" haifanyi kuwa na hamu isiyo wazi ya kujigonga dhidi ya ukuta, basi uko tayari: karibu kuzimu kwa mada kuu ya somo. :) Hili ni mojawapo ya matatizo ya kawaida na moduli. Inahitajika kutatua usawa wa fomu: \[\kushoto| f\kulia| \ltg\] Kazi $f$ na $g$ zinaweza kuwa chochote, lakini kwa kawaida ni polynomials. Mifano ya usawa kama huo: \[\anza(linganisha) & \kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7; \\ & \kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia|+3\kushoto(x+1 \kulia) \lt 0; \\ & \kushoto| ((x)^(2))-2\kushoto| x \kulia|-3 \kulia| \lt 2. \\\malizia(panga)\] Zote zinaweza kutatuliwa halisi katika mstari mmoja kulingana na mpango ufuatao: \[\kushoto| f\kulia| \lt g\Mshale wa kulia -g \lt f \lt g\quad \kushoto(\Mshale wa kulia \kushoto\( \anza(panga) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\mwisho(panga) \kulia.\kulia)\] Ni rahisi kuona kwamba tunaondoa moduli, lakini kwa kurudi tunapata usawa mara mbili (au, ambayo ni kitu kimoja, mfumo wa kutofautiana mbili). Lakini mpito huu unazingatia kabisa shida zote zinazowezekana: ikiwa nambari iliyo chini ya moduli ni chanya, njia hiyo inafanya kazi; ikiwa hasi, bado inafanya kazi; na hata kwa utendakazi duni zaidi badala ya $f$ au $g$, njia bado itafanya kazi. Kwa kawaida, swali linatokea: haiwezi kuwa rahisi zaidi? Kwa bahati mbaya, haiwezekani. Hili ndilo jambo zima la moduli. Hata hivyo, kutosha na falsafa. Wacha tusuluhishe shida kadhaa: Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7\] Suluhisho. Kwa hivyo, tunayo usawa wa kawaida wa fomu "moduli ni kidogo" - hakuna kitu cha kubadilisha. Tunafanya kazi kulingana na algorithm: \[\anza(linganisha) & \kushoto| f\kulia| \lt g\mshale wa kulia -g \lt f \lt g; \\ & \kushoto| 2x+3 \kulia| \lt x+7\Mshale wa Kulia -\kushoto(x+7 \kulia) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\malizia(panga)\] Usikimbilie kufungua mabano yaliyotanguliwa na "minus": inawezekana kabisa kwamba kwa sababu ya haraka yako utafanya kosa la kukera. \[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\] \[\kushoto\( \anza(panga) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \malizia(panga) \kulia.\] \[\kushoto\( \anza(panga) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \mwisho(panga) \kulia.\] \[\kushoto\( \anza(panga) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \malizia(panga) \kulia.\] Tatizo lilipunguzwa kwa usawa mbili za msingi. Wacha tuangalie suluhisho zao kwenye mistari ya nambari inayofanana: Makutano ya seti hizi itakuwa jibu. Jibu: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \kulia)$ Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia|+3\kushoto(x+1 \kulia) \lt 0\] Suluhisho. Kazi hii ni ngumu zaidi kidogo. Kwanza, hebu tutenge moduli kwa kusogeza muhula wa pili kulia: \[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \lt -3\kushoto(x+1 \kulia)\] Kwa wazi, tuna tena usawa wa fomu "moduli ni ndogo", kwa hivyo tunaondoa moduli kwa kutumia algorithm inayojulikana tayari: \[-\kushoto(-3\kushoto(x+1 \kulia) \kulia) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kushoto(x+1 \kulia)\] Sasa tahadhari: mtu atasema kwamba mimi ni mpotovu kidogo na mabano haya yote. Lakini nikukumbushe tena kwamba lengo letu kuu ni kwa usahihi kutatua ukosefu wa usawa na kupata jibu. Baadaye, unapofahamu kikamilifu kila kitu kilichoelezwa katika somo hili, unaweza kuipotosha mwenyewe kama unavyotaka: fungua mabano, ongeza minuses, nk. Kuanza, tutaondoa minus mara mbili upande wa kushoto: \[-\kushoto(-3\kushoto(x+1 \kulia)\kulia)=\kushoto(-1 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(x+1 \kulia) =3\kushoto(x+1 \kulia)\] Sasa wacha tufungue mabano yote katika usawa mara mbili: Wacha tuendelee kwenye usawa maradufu. Wakati huu mahesabu yatakuwa mazito zaidi: \[\kushoto\( \anza(panga) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \mwisho(linganisha) \kulia.\] \[\kushoto\( \anza(panga) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \mwisho( panga)\kulia.\] Ukosefu wote wa usawa ni wa quadratic na unaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya muda (ndiyo sababu nasema: ikiwa hujui hii ni nini, ni bora kutochukua moduli bado). Wacha tuendelee kwenye equation katika ukosefu wa usawa wa kwanza: \[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\kushoto(x+5 \kulia)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2)))=-5. \\\mwisho(patanisha)\] Kama unaweza kuona, matokeo ni equation ya quadratic isiyo kamili, ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi. Sasa hebu tuangalie usawa wa pili wa mfumo. Huko utalazimika kutumia nadharia ya Vieta: \[\anza(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kushoto(x-3 \kulia)\kushoto(x+2 \kulia)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2)))=-2. \\\mwisho(patanisha)\] Tunaweka alama kwa nambari zinazosababishwa kwenye mistari miwili inayofanana (tofauti kwa usawa wa kwanza na tofauti kwa pili): Jibu: $x\in \left(-5;-2 \kulia)$ Nadhani baada ya mifano hii mpango wa suluhisho ni wazi sana: Algorithm sawa ipo kwa usawa wa aina ifuatayo, wakati moduli ni kubwa kuliko chaguo la kukokotoa. Walakini, kuna "lakini" kadhaa kubwa. Tutazungumza juu ya "lakini" hizi sasa. Wanaonekana kama hii: \[\kushoto| f\kulia| \gtg\] Sawa na uliopita? Inaonekana. Na bado matatizo hayo yanatatuliwa kwa njia tofauti kabisa. Rasmi, mpango ni kama ifuatavyo: \[\kushoto| f\kulia| \gt g\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(panga) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\malizia(panga) \kulia.\] Kwa maneno mengine, tunazingatia kesi mbili: Katika kesi hii, chaguzi zinajumuishwa na bracket ya mraba, i.e. Tunayo mchanganyiko wa mahitaji mawili mbele yetu. Tafadhali kumbuka tena: huu sio mfumo, lakini jumla, kwa hivyo katika jibu seti zimeunganishwa badala ya kuingiliana. Hii ni tofauti ya kimsingi na ile iliyotangulia! Kwa ujumla, wanafunzi wengi wamechanganyikiwa kabisa na vyama vya wafanyakazi na makutano, kwa hivyo wacha tutatue suala hili mara moja na kwa wote: Ili kuifanya iwe rahisi kukumbuka, chora tu miguu kwa ishara hizi kutengeneza glasi (usinishtaki sasa hivi kwa kukuza ulevi wa dawa za kulevya na ulevi: ikiwa unasoma somo hili kwa umakini, basi tayari wewe ni mlevi wa dawa za kulevya): Ilitafsiriwa kwa Kirusi, hii ina maana yafuatayo: umoja (jumla) inajumuisha vipengele kutoka kwa seti zote mbili, kwa hiyo sio chini ya kila mmoja wao; lakini makutano (mfumo) ni pamoja na vitu vile tu ambavyo viko wakati huo huo katika seti ya kwanza na ya pili. Kwa hivyo, makutano ya seti sio kubwa kuliko seti za chanzo. Kwa hivyo ikawa wazi zaidi? Hiyo ni nzuri. Tuendelee na mazoezi. Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| 3x+1 \kulia| \gt 5-4x\] Suluhisho. Tunaendelea kulingana na mpango: \[\kushoto| 3x+1 \kulia| \gt 5-4x\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(linganisha) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\kushoto(5-4x \kulia) \\\malizia(panga) \ haki.\] Tunatatua kila ukosefu wa usawa katika idadi ya watu: \[\kushoto[ \anza(pangilia) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \mwisho(panga) \kulia.\] \[\kushoto[ \anza(panga) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \mwisho(panga) \kulia.\] \[\kushoto[ \anza(panga) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \malizia(panga) \kulia.\] Tunaweka alama kwa kila matokeo kwenye mstari wa nambari, na kisha kuchanganya: Ni dhahiri kabisa kuwa jibu litakuwa $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ Jibu: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \kulia)$ Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \gt x\] Suluhisho. Vizuri? Hakuna - kila kitu ni sawa. Tunahama kutoka kwa ukosefu wa usawa na moduli hadi seti ya tofauti mbili: \[\kushoto| ((x)^(2))+2x-3 \kulia| \gt x\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(panga) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\mwisho(linganisha) \kulia.\] Tunatatua kila ukosefu wa usawa. Kwa bahati mbaya, mizizi hapo haitakuwa nzuri sana: \[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\mwisho(patanisha)\] Ukosefu wa usawa wa pili pia ni wa porini kidogo: \[\anza(linganisha) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\mwisho(patanisha)\] Sasa unahitaji kuashiria nambari hizi kwenye shoka mbili - mhimili mmoja kwa kila usawa. Walakini, unahitaji kuweka alama kwa mpangilio sahihi: nambari kubwa, ndivyo hatua inasonga kwenda kulia. Na hapa tunangojea usanidi. Ikiwa kila kitu kiko wazi na nambari $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (maneno katika nambari ya kwanza sehemu ni chini ya masharti katika nambari ya pili , kwa hivyo jumla pia ni kidogo), na nambari $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ pia hakutakuwa na ugumu (nambari chanya ni wazi kuwa mbaya zaidi), basi na wanandoa wa mwisho kila kitu sio wazi sana. Ni lipi kubwa zaidi: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ au $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Uwekaji wa pointi kwenye mistari ya nambari na, kwa kweli, jibu litategemea jibu la swali hili. Basi hebu tulinganishe: \[\anza(tumbo) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\mwisho(matrix)\] Tulitenga mzizi, tukapata nambari zisizo hasi kwa pande zote za ukosefu wa usawa, kwa hivyo tuna haki ya mraba pande zote mbili: \[\anza(matrix) ((\kushoto(2+\sqrt(13) \kulia))^(2))\vee ((\kushoto(\sqrt(21) \kulia))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\mwisho(matrix)\] Nadhani sio akili kwamba $4\sqrt(13) \gt 3$, kwa hivyo $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, alama za mwisho kwenye shoka zitawekwa kama hii: Acha nikukumbushe kwamba tunatatua seti, kwa hivyo jibu litakuwa umoja, sio makutano ya seti za kivuli. Jibu: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \kulia)\bicup \left(\frac(-1+\sqrt(13)))(2) );+\infty \kulia)$ Kama unaweza kuona, mpango wetu hufanya kazi vizuri kwa shida rahisi na ngumu sana. "Hatua dhaifu" pekee katika njia hii ni kwamba unahitaji kulinganisha kwa usahihi nambari zisizo na maana (na niniamini: hizi sio mizizi tu). Lakini somo tofauti (na zito sana) litatolewa kwa maswala ya kulinganisha. Na tunaendelea. Sasa tunafika kwenye sehemu ya kuvutia zaidi. Hizi ni usawa wa fomu: \[\kushoto| f\kulia| \gt\kushoto| g\kulia|\] Kwa ujumla, algorithm ambayo tutazungumza sasa ni sahihi tu kwa moduli. Inafanya kazi katika ukosefu wote wa usawa ambapo kuna misemo isiyo hasi iliyohakikishwa upande wa kushoto na kulia: Nini cha kufanya na kazi hizi? Kumbuka tu: Katika usawa na "mkia" usio na hasi, pande zote mbili zinaweza kuinuliwa kwa nguvu yoyote ya asili. Hakutakuwa na vikwazo vya ziada. Kwanza kabisa, tutapendezwa na squaring - inachoma moduli na mizizi: \[\anza(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ kushoto(\sqrt(f) \kulia))^(2))=f. \\\mwisho(patanisha)\] Usichanganye hii kwa kuchukua mzizi wa mraba: \[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kulia|\ne f\] Makosa mengi yalifanywa wakati mwanafunzi alisahau kusakinisha moduli! Lakini hii ni hadithi tofauti kabisa (hizi ni, kana kwamba, hesabu zisizo na maana), kwa hivyo hatutaingia kwenye hii sasa. Wacha tusuluhishe shida kadhaa bora: Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| x+2 \kulia|\ge \kushoto| 1-2x \kulia|\] Suluhisho. Wacha tuangalie mambo mawili mara moja: Kwa hivyo, tunaweza mraba pande zote mbili za usawa ili kuondoa moduli na kutatua shida kwa kutumia njia ya kawaida ya muda: \[\anza(linganisha) & ((\kushoto(\kushoto| x+2 \kulia| \kulia))^(2))\ge ((\kushoto(\kushoto| 1-2x \kulia| \kulia) )^(2)); \\ & ((\kushoto(x+2 \kulia))^(2))\ge ((\kushoto(2x-1 \kulia))^(2)). \\\mwisho(patanisha)\] Katika hatua ya mwisho, nilidanganya kidogo: Nilibadilisha mlolongo wa maneno, nikichukua fursa ya usawa wa moduli (kwa kweli, nilizidisha usemi $1-2x$ na -1). \[\anza(linganisha) & ((\kushoto(2x-1 \kulia))^(2))-((\kushoto(x+2 \kulia))^(2))\le 0; \\ & \kushoto(\kushoto(2x-1 \kulia)-\kushoto(x+2 \kulia) \kulia)\cdot \kushoto(\kushoto(2x-1 \kulia)+\kushoto(x+2 \ kulia)\kulia)\le 0; \\ & \kushoto(2x-1-x-2 \kulia)\cdot \kushoto(2x-1+x+2 \kulia)\le 0; \\ & \kushoto(x-3 \kulia)\cdot \kushoto(3x+1 \kulia)\le 0. \\\malizia(patanisha)\] Tunatatua kwa kutumia njia ya muda. Wacha tuhame kutoka kwa usawa kwenda kwa equation: \[\anza(linganisha) & \kushoto(x-3 \kulia)\kushoto(3x+1 \kulia)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2)))=-\frac(1)(3). \\\mwisho(patanisha)\] Tunaweka alama ya mizizi iliyopatikana kwenye mstari wa nambari. Kwa mara nyingine tena: pointi zote zimetiwa kivuli kwa sababu usawa wa awali sio mkali! Acha nikukumbushe kwa wale ambao ni mkaidi sana: tunachukua ishara kutoka kwa usawa wa mwisho, ambao uliandikwa kabla ya kuendelea na usawa. Na tunapiga rangi juu ya maeneo yanayohitajika kwa usawa sawa. Kwa upande wetu ni $\left(x-3 \kulia)\left(3x+1 \kulia)\le 0$. Sawa yote yamekwisha Sasa. Tatizo linatatuliwa. Jibu: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \kulia]$. Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| ((x)^(2))+x+1 \kulia|\le \kushoto| ((x)^(2))+3x+4 \kulia|\] Suluhisho. Tunafanya kila kitu sawa. Sitatoa maoni - angalia tu mlolongo wa vitendo. Mraba: \[\anza(linganisha) & ((\kushoto(\kushoto| ((x)^(2))+x+1 \kulia| \kulia))^(2))\le ((\kushoto(\kushoto | ((x)^(2))+3x+4 \kulia| \kulia))^(2)); \\ & ((\ kushoto(((x)^(2)))+x+1 \kulia))^(2))\le ((\kushoto(((x)^(2)))+3x+4 \kulia))^(2)); \\ & ((\kushoto(((x)^(2)))+x+1 \kulia))^(2))-((\kushoto(((x)^(2)))+3x+4 \ kulia))^(2))\le 0; \\ & \kushoto(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kulia)\mara \\ & \mara \kushoto(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kulia)\le 0; \\ & \kushoto(-2x-3 \kulia)\kushoto(2((x)^(2))+4x+5 \kulia)\le 0. \\\mwisho(patanisha)\] Mbinu ya muda: \[\anza(panga) & \kushoto(-2x-3 \kulia)\kushoto(2((x)^(2))+4x+5 \kulia)=0 \\ & -2x-3=0\ Mshale wa kulia x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(patanisha)\] Kuna mzizi mmoja tu kwenye mstari wa nambari: Jibu: $x\in \left[ -1.5;+\infty \kulia)$. Ujumbe mdogo kuhusu kazi ya mwisho. Kama mmoja wa wanafunzi wangu alivyoona kwa usahihi, misemo yote miwili katika ukosefu huu wa usawa ni chanya, kwa hivyo ishara ya moduli inaweza kuachwa bila madhara kwa afya. Lakini hii ni kiwango tofauti kabisa cha kufikiria na mbinu tofauti - inaweza kuitwa njia ya matokeo. Kuhusu hilo - katika somo tofauti. Sasa hebu tuendelee kwenye sehemu ya mwisho ya somo la leo na tuangalie algorithm ya ulimwengu ambayo inafanya kazi daima. Hata wakati mbinu zote za hapo awali hazikuwa na nguvu. :) Je, ikiwa mbinu hizi zote hazisaidii? Ikiwa usawa hauwezi kupunguzwa kwa mikia isiyo ya hasi, ikiwa haiwezekani kutenganisha moduli, ikiwa kwa ujumla kuna maumivu, huzuni, melanini? Kisha "silaha nzito" ya hisabati yote inakuja kwenye eneo-njia ya nguvu ya kinyama. Kuhusiana na kukosekana kwa usawa na moduli inaonekana kama hii: Hivyo jinsi gani? Dhaifu? Kwa urahisi! Kwa muda mrefu tu. Wacha tuone kwa vitendo: Kazi. Tatua ukosefu wa usawa: \[\kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-\frac(3)(2)\] Suluhisho. Ujanja huu haujitokezi kwa usawa kama $\left| f\kulia| \lt g$, $\left| f\kulia| \gt g$ au $\left| f\kulia| \lt \kushoto| g \kulia|$, kwa hivyo tunachukua hatua mbele. Tunaandika maneno ya submodular, sawasawa na sifuri na kupata mizizi: \[\anza(linganisha) & x+2=0\Mshale wa kulia x=-2; \\ & x-1=0\Mshale wa Kulia x=1. \\\mwisho(patanisha)\] Kwa jumla, tuna mizizi miwili ambayo inagawanya mstari wa nambari katika sehemu tatu, ambayo kila moduli inafunuliwa kipekee: Hebu tuangalie kila sehemu tofauti. 1. Acha $x \lt -2$. Kisha usemi wa submodular zote mbili ni mbaya, na ukosefu wa usawa wa asili utaandikwa tena kama ifuatavyo: \[\anza(linganisha) & -\kushoto(x+2 \kulia) \lt -\kushoto(x-1 \kulia)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\mwisho(patanisha)\] Tulipata kizuizi rahisi sana. Wacha tuipitishe na dhana ya awali kwamba $x \lt -2$: \[\kushoto\( \anza(panga) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \varnothing \] Ni wazi, kigezo cha $x$ hakiwezi kuwa chini ya −2 kwa wakati mmoja na zaidi ya 1.5. Hakuna suluhisho katika eneo hili. 1.1. Hebu tuzingatie kando kesi ya mpaka: $x=-2$. Wacha tubadilishe nambari hii kwa usawa asili na tuangalie: ni kweli? \[\anza(panga) & ((\kushoto. \kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-1.5 \kulia|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kushoto| -3\kulia|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(patanisha)\] Ni dhahiri kwamba mlolongo wa hesabu umetupeleka kwenye usawa usio sahihi. Kwa hivyo, usawa wa asili pia ni wa uwongo, na $x=-2$ haijajumuishwa kwenye jibu. 2. Hebu sasa $-2 \lt x \lt 1$. Moduli ya kushoto tayari itafungua na "plus", lakini moja ya kulia bado itafungua na "minus". Tuna: \[\anza(panga) & x+2 \lt -\kushoto(x-1 \kulia)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\mwisho(patanisha)\] Tena tunaingiliana na hitaji la asili: \[\kushoto\( \anza(panga) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \varnothing \] Na tena, seti ya suluhu ni tupu, kwani hakuna nambari ambazo zote ni chini ya -2.5 na kubwa kuliko -2. 2.1. Na tena kesi maalum: $x=1$. Tunabadilisha katika usawa wa asili: \[\anza(panga) & ((\kushoto. \kushoto| x+2 \kulia| \lt \kushoto| x-1 \kulia|+x-1.5 \kulia|)_(x=1)) \\ & \kushoto| 3\kulia| \lt \kushoto| 0\kulia|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\mwisho(patanisha)\] Sawa na "kesi maalum" iliyotangulia, nambari $x=1$ ni wazi haijajumuishwa kwenye jibu. 3. Sehemu ya mwisho ya mstari: $x \gt 1$. Hapa moduli zote zinafunguliwa na ishara ya kuongeza: \[\anza(patanisha) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \mwisho(panga)\ ] Na tena tunaingilia seti iliyopatikana na kizuizi cha asili: \[\kushoto\( \anza(panga) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\mwisho(panga) \kulia.\Kulia x\katika \kushoto(4.5;+\infty \kulia)\ ] Hatimaye! Tumepata muda ambao utakuwa jibu. Jibu: $x\in \left(4,5;+\infty \kulia)$ Hatimaye, maoni moja ambayo yanaweza kukuokoa kutokana na makosa ya kijinga wakati wa kutatua matatizo halisi: Suluhu za kukosekana kwa usawa na moduli kawaida huwakilisha seti zinazoendelea kwenye mstari wa nambari - vipindi na sehemu. Pointi zilizotengwa ni za kawaida sana. Na hata mara chache, hutokea kwamba mpaka wa suluhisho (mwisho wa sehemu) unafanana na mpaka wa safu inayozingatiwa. Kwa hiyo, ikiwa mipaka ("kesi maalum" sawa) hazijumuishwa katika jibu, basi maeneo ya kushoto na kulia ya mipaka hii karibu hayatajumuishwa katika jibu. Na kinyume chake: mpaka uliingia kwenye jibu, ambayo ina maana kwamba baadhi ya maeneo karibu nayo pia yatakuwa majibu. Kumbuka hili unapokagua masuluhisho yako.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.Nadharia kidogo.
Milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli
ikiwa \(a \geq 0 \), basi \(|a|=a \);
ikiwa \(a Kama sheria, mlingano (kutokuwa na usawa) na moduli hupunguzwa hadi seti ya milinganyo (kutokuwa na usawa) ambayo haina ishara ya moduli.
1) Ikiwa \(c > 0\), basi equation \(|f(x)|=c \) ni sawa na seti ya milinganyo: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \mwisho(safu)\kulia. \)
2) Ikiwa \(c > 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| 3) Ikiwa \(c \geq 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| > c \) sawa na seti ya ukosefu wa usawa : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ikiwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa \(f(x) MFANO 1. Tatua mlingano \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 +2x -8 = 0 \).
Ikiwa \(x-1 \(x^2 -2(x-1)) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 -2x -4 = 0 \).
Kwa hivyo, equation iliyotolewa inapaswa kuzingatiwa tofauti katika kila kesi mbili zilizoonyeshwa.
1) Hebu \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). Kutoka kwa mlinganyo \(x^2 +2x -8 = 0\) tunapata \(x_1=2, \; x_2=-4\). Hali \(x \geq 1 \) inatoshelezwa na thamani \(x_1=2\) pekee).
2) Hebu \(x-1 Jibu: \(2; \;\; 1-\sqrt(5)) \)
Kuzingatia kama katika mfano 1, tunafikia hitimisho kwamba equation iliyotolewa inahitaji kuzingatiwa kando ikiwa masharti mawili yametimizwa: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) au \(x^2-6x+7)
Hebu tujue kama thamani \(x_1=6\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0\). Ili kufanya hivyo, badilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) ni ukosefu wa usawa wa kweli. Hii inamaanisha kuwa \(x_1=6\) ndio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.
Hebu tujue kama thamani \(x_2=\frac(5)(3)\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0\). Ili kufanya hivyo, badilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(\ kushoto(\frac(5)(3) \kulia)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ni usawa usio sahihi. Hii ina maana kwamba \(x_2=\frac(5)(3)\) sio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.
Equation hizi zote mbili zilitatuliwa hapo juu (kwa kutumia njia ya kwanza ya kusuluhisha equation iliyotolewa), mizizi yake ni kama ifuatavyo: \(6,\; \frac(5)(3),\;3,\;\frac(4) )(3)\). Hali \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ya maadili haya manne inatimizwa na mbili tu: 6 na 3. Hii ina maana kwamba equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6) , \; x=3 \ ).
1) Wacha tujenge grafu ya chaguo la kukokotoa \(y = |x^2-6x+7| \). Kwanza, hebu tutengeneze parabola \(y = x^2-6x+7\). Tuna \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = (x-3)^2-2\) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = x^2\) kwa kuihamisha mizani 3 kulia (kando ya x-mhimili) na vitengo 2 vya mizani chini ( kando ya mhimili wa y). Mstari wa moja kwa moja x=3 ni mhimili wa parabola tunayovutiwa nayo. Kama sehemu za udhibiti wa kupanga njama sahihi zaidi, ni rahisi kuchukua hatua (3; -2) - kipeo cha parabola, ncha (0; 7) na uhakika (6; 7) ulinganifu kwake kuhusiana na mhimili wa parabola. .
Ili sasa kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa \(y = |x^2-6x+7| \\), unahitaji kuacha bila kubadilika sehemu hizo za parabola iliyojengwa ambayo haiko chini ya mhimili wa x, na kuakisi sehemu hiyo ya mhimili wa x. parabola ambayo iko chini ya mhimili wa x unaohusiana na mhimili wa x.
2) Wacha tujenge grafu ya kitendakazi cha mstari \(y = \frac(5x-9)(3)\). Ni rahisi kuchukua pointi (0; -3) na (3; 2) kama pointi za udhibiti. 
Usemi 2x-4 unakuwa 0 kwenye hatua x = 2, na usemi x + 3 inakuwa 0 kwenye hatua x = -3. Pointi hizi mbili zinagawanya mstari wa nambari katika vipindi vitatu: \(x
Ikiwa x Fikiria muda wa pili: \([-3; \; 2) \).
Ikiwa \(-3 \leq x Fikiria muda wa tatu: \(
Ufafanuzi wa moduli ya picha Kutatua ukosefu wa usawa. Mbinu ya muda
1. Kutokuwepo kwa usawa kwa fomu "Modulus ni chini ya kazi"
Makutano ya wengi 
Tena, kwa kuwa tunasuluhisha mfumo wa kukosekana kwa usawa, tunavutiwa na makutano ya seti zenye kivuli: $x\in \left(-5;-2 \kulia)$. Hili ndilo jibu. 2. Kutokuwepo kwa usawa kwa fomu "Modulus ni kubwa kuliko kazi"
Tofauti kati ya makutano na muungano wa seti
Umoja wa seti 
Kesi ya mizizi mbaya 3. Kutokuwepo kwa usawa na "mikia" isiyo ya hasi
Kuondoa ishara ya moduli 
Jibu ni muda wote 4. Njia ya kuhesabu chaguzi
Kugawanya mstari wa nambari kwa sufuri za kazi ndogo za moduli