Sehemu- aina ya kuwakilisha nambari katika hisabati. Sehemu ya sehemu inaashiria operesheni ya mgawanyiko. Nambari sehemu inaitwa gawio, na dhehebu- mgawanyiko. Kwa mfano, katika sehemu nambari ni 5 na denominator ni 7.

Sahihi Sehemu inaitwa ambayo moduli ya nambari ni kubwa kuliko moduli ya denominator. Ikiwa sehemu ni sahihi, basi moduli ya thamani yake daima ni chini ya 1. Sehemu nyingine zote ni vibaya.

Sehemu inaitwa mchanganyiko, ikiwa imeandikwa kama nambari kamili na sehemu. Hii ni sawa na jumla ya nambari hii na sehemu:

Mali kuu ya sehemu

Ikiwa nambari na dhehebu ya sehemu inazidishwa na nambari sawa, basi thamani ya sehemu haitabadilika, ambayo ni, kwa mfano,

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Ili kuleta sehemu mbili kwa dhehebu la kawaida, unahitaji:

1. Zidisha nambari ya sehemu ya kwanza kwa denominator ya pili
2. Zidisha nambari ya sehemu ya pili kwa dhehebu ya kwanza
3. Badilisha madhehebu ya sehemu zote mbili na bidhaa zao

Uendeshaji na sehemu

Nyongeza. Ili kuongeza sehemu mbili unahitaji

1. Ongeza nambari mpya za sehemu zote mbili na uache denominator bila kubadilika

Mfano:

Kutoa. Ili kuondoa sehemu moja kutoka kwa nyingine, unahitaji

1. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida
2. Ondoa nambari ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na uache denominata bila kubadilika.

Mfano:

Kuzidisha. Ili kuzidisha sehemu moja baada ya nyingine, zidisha nambari na denomineta zao:

Mgawanyiko. Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, zidisha nambari ya sehemu ya kwanza na denominator ya pili, na kuzidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na nambari ya pili:

Ufafanuzi wa sehemu ya kawaida

Ufafanuzi 1

Sehemu za kawaida hutumiwa kuelezea idadi ya sehemu. Hebu tuangalie mfano ambao unaweza kutumika kufafanua sehemu ya kawaida.

Apple iligawanywa katika hisa $8$. Katika kesi hii, kila hisa inawakilisha moja ya nane ya apple nzima, yaani $\frac(1)(8)$. Hisa mbili zimeashiriwa na $\frac(2)(8)$, hisa tatu kwa $\frac(3)(8)$, n.k., na $8$ hisa kwa $\frac(8)(8)$ . Kila moja ya maingizo yaliyowasilishwa inaitwa sehemu ya kawaida.

Wacha tutoe ufafanuzi wa jumla wa sehemu ya kawaida.

Ufafanuzi 2

Sehemu ya kawaida inaitwa nukuu ya fomu $\frac(m)(n)$, ambapo $m$ na $n$ ni nambari zozote za asili.

Mara nyingi unaweza kupata nukuu ifuatayo kwa sehemu ya kawaida: $m/n$.

Mfano 1

Mifano ya sehemu za kawaida:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Kumbuka 1

Nambari $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ sio sehemu za kawaida, kwa sababu hailingani na ufafanuzi hapo juu.

Numerator na denominator

Sehemu ya kawaida inajumuisha nambari na denominator.

Ufafanuzi 3

Nambari Sehemu ya kawaida $\frac(m)(n)$ ni nambari asilia $m$, ambayo inaonyesha idadi ya sehemu sawa zilizochukuliwa kutoka kwa jumla moja.

Ufafanuzi 4

Denominator Sehemu ya kawaida $\frac(m)(n)$ ni nambari asilia $n$, ambayo inaonyesha ni sehemu ngapi sawa zima imegawanywa katika sehemu ngapi.

Picha 1.

Nambari iko juu ya mstari wa sehemu, na denominator iko chini ya mstari wa sehemu. Kwa mfano, nambari ya nambari ya sehemu ya kawaida $\frac(5)(17)$ ni nambari $5$, na denominator ni nambari $17$. Nambari inaonyesha kuwa kipengee kimegawanywa katika hisa $17$, na nambari inaonyesha kuwa hisa kama hizo $5$ zimechukuliwa.

Nambari asilia kama sehemu yenye denominata 1

Denominator ya sehemu ya kawaida inaweza kuwa moja. Katika kesi hii, kitu kinachukuliwa kuwa haiwezi kutenganishwa, i.e. inawakilisha jumla moja. Nambari ya sehemu kama hiyo inaonyesha ni vitu vingapi vilivyochukuliwa. Sehemu ya kawaida ya fomu $\frac(m)(1)$ ina maana ya nambari asili $m$. Kwa hivyo, tunapata usawa ulio na msingi mzuri $\frac(m)(1)=m$.

Ikiwa tutaandika upya usawa katika fomu $m=\frac(m)(1)$, basi itafanya iwezekane kuwakilisha nambari yoyote asilia $m$ kama sehemu ya kawaida. Kwa mfano, nambari $5$ inaweza kuwakilishwa kama sehemu $\frac(5)(1)$, nambari $123\456$ inaweza kuwakilishwa kama sehemu $\frac(123\456)(1)$.

Kwa hivyo, nambari yoyote asilia $m$ inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida yenye kipunguzo $1$, na sehemu yoyote ya kawaida ya fomu $\frac(m)(1)$ inaweza kubadilishwa na nambari asilia $m$.

Upau wa sehemu kama ishara ya mgawanyiko

Kuwakilisha kitu katika mfumo wa sehemu $n$ ni mgawanyiko katika sehemu $n$ sawa. Baada ya kugawa kipengee katika hisa $n$, kinaweza kugawanywa kwa usawa kati ya watu $n$ - kila mmoja atapokea mgao mmoja.

Acha kuwe na vitu $m$ vinavyofanana vilivyogawanywa katika sehemu $n$. Bidhaa hizi $m$ zinaweza kugawanywa kwa usawa kati ya watu $n$ kwa kumpa kila mtu sehemu moja ya kila moja ya vitu $m$. Katika hali hii, kila mtu atapokea hisa $m$ za $\frac(1)(n)$, ambayo hutoa sehemu ya kawaida $\frac(m)(n)$. Tumegundua kuwa sehemu ya kawaida $\frac(m)(n)$ inaweza kutumika kuashiria mgawanyo wa vitu $m$ kati ya watu $n$.

Uunganisho kati ya sehemu za kawaida na mgawanyiko unaonyeshwa kwa ukweli kwamba bar ya sehemu inaweza kueleweka kama ishara ya mgawanyiko, i.e. $\frac(m)(n)=m:n$.

Sehemu ya kawaida inafanya uwezekano wa kuandika matokeo ya kugawanya nambari mbili za asili ambazo mgawanyiko mzima haufanyiki.

Mfano 2

Kwa mfano, matokeo ya kugawanya tufaha $7$ kwa watu $9$ yanaweza kuandikwa kama $\frac(7)(9)$, i.e. kila mtu atapokea sehemu saba kwa tisa za tufaha: $7:9=\frac(7)(9)$.

Sehemu sawa na zisizo sawa, kulinganisha kwa sehemu

Matokeo ya kulinganisha sehemu mbili za kawaida zinaweza kuwa usawa wao au kutokuwa na usawa. Wakati sehemu za kawaida ni sawa, zinaitwa sawa; vinginevyo, sehemu za kawaida huitwa zisizo sawa.

sawa, ikiwa usawa $a\cdot d=b\cdot c$ ni kweli.

Sehemu za kawaida $\frac(a)(b)$ na $\frac(c)(d)$ zinaitwa. zisizo sawa, ikiwa usawa $a\cdot d=b\cdot c$ haushiki.

Mfano 3

Jua ikiwa sehemu $\frac(1)(3)$ na $\frac(2)(6)$ ni sawa.

Usawa umeridhika, ambayo ina maana kwamba sehemu $\frac(1)(3)$ na $\frac(2)(6)$ ni sawa: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) $.

Mfano huu unaweza kuchukuliwa kwa kutumia tufaha: moja ya tufaha mbili zinazofanana imegawanywa katika hisa tatu sawa, ya pili katika hisa za $6$. Inaweza kuonekana kuwa sehemu mbili za sita za tufaha hujumuisha hisa $\frac(1)(3)$.

Mfano 4

Angalia ikiwa sehemu za kawaida $\frac(3)(17)$ na $\frac(4)(13)$ ni sawa.

Wacha tuangalie ikiwa usawa $a\cdot d=b\cdot c$ unashikilia:

\ \

Usawa haushiki, ambayo inamaanisha kuwa sehemu $\frac(3)(17)$ na $\frac(4)(13)$ si sawa: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

Kwa kulinganisha sehemu mbili za kawaida na kugundua kuwa sio sawa, unaweza kujua ni ipi kubwa na ambayo ni ndogo kuliko nyingine. Ili kufanya hivyo, tumia sheria ya kulinganisha sehemu za kawaida: unahitaji kuleta sehemu kwa dhehebu la kawaida na kisha kulinganisha nambari zao. Sehemu yoyote iliyo na nambari kubwa, sehemu hiyo itakuwa kubwa zaidi.

Sehemu kwenye ray ya kuratibu

Nambari zote za sehemu zinazolingana na sehemu za kawaida zinaweza kuonyeshwa kwenye mionzi ya kuratibu.

Ili kuweka alama kwenye ray ya kuratibu ambayo inalingana na sehemu $\frac(m)(n)$, ni muhimu kupanga sehemu za $m$ kutoka asili ya kuratibu kwa mwelekeo chanya, urefu ambao ni $\ frac(1)(n)$ sehemu ya sehemu ya kitengo . Sehemu kama hizo hupatikana kwa kugawa sehemu ya kitengo katika sehemu sawa za $n$.

Ili kuonyesha nambari ya sehemu kwenye ray ya kuratibu, unahitaji kugawanya sehemu ya kitengo katika sehemu.

Kielelezo cha 2.

Sehemu sawa zinaelezewa na nambari ya sehemu sawa, i.e. sehemu sawa zinawakilisha viwianishi vya nukta moja kwenye miale ya kuratibu. Kwa mfano, viwianishi $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ vinaelezea sawa nukta sawa kwenye miale ya kuratibu, kwani sehemu zote zilizoandikwa ni sawa.

Ikiwa hatua inaelezewa na kuratibu na sehemu kubwa zaidi, basi itakuwa iko upande wa kulia kwenye ray ya kuratibu ya usawa iliyoelekezwa kwa haki kutoka kwa uhakika ambao uratibu ni sehemu ndogo. Kwa mfano, kwa sababu sehemu $\frac(5)(6)$ ni kubwa kuliko sehemu $\frac(2)(6)$, kisha sehemu yenye coordinate $\frac(5)(6)$ iko upande wa kulia wa uhakika na kuratibu $\frac(2) (6)$.

Vivyo hivyo, nukta iliyo na kuratibu ndogo italala upande wa kushoto wa nukta na kuratibu kubwa.

Sehemu za kitengo na inawakilishwa kama \frac(a)(b).

Nambari ya sehemu (a)- nambari iliyo juu ya mstari wa sehemu na kuonyesha idadi ya hisa ambazo kitengo kiligawanywa.

Kipunguzo cha sehemu (b)- nambari iko chini ya mstari wa sehemu na kuonyesha ni sehemu ngapi kitengo kimegawanywa.

Ficha Show

Mali kuu ya sehemu

Ikiwa ad=bc basi sehemu mbili \frac(a)(b) Na \frac(c)(d) wanachukuliwa kuwa sawa. Kwa mfano, sehemu zitakuwa sawa \frac35 Na \frac(9)(15), kwa kuwa 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Na \frac(24)(14), tangu 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Kutoka kwa ufafanuzi wa usawa wa sehemu inafuata kwamba sehemu zitakuwa sawa \frac(a)(b) Na \frac(am)(bm), kwa kuwa a(bm)=b(am) ni mfano wazi wa matumizi ya sifa shirikishi na za kubadilishana za kuzidisha nambari asilia kwa vitendo.

Maana \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- hii ndio inaonekana mali kuu ya sehemu.

Kwa maneno mengine, tunapata sehemu sawa na ile iliyotolewa kwa kuzidisha au kugawanya nambari na denominator ya sehemu asilia kwa nambari asilia sawa.

Kupunguza sehemu ni mchakato wa kuchukua nafasi ya sehemu ambayo sehemu mpya ni sawa na ile ya asili, lakini kwa nambari ndogo na denominator.

Ni kawaida kupunguza sehemu kulingana na mali ya msingi ya sehemu.

Kwa mfano, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(nambari na denominator imegawanywa na nambari 3); sehemu inayosababisha inaweza tena kupunguzwa kwa kugawanya na 5, yaani \frac(15)(20)=\frac 34.

Sehemu isiyoweza kupunguzwa ni sehemu ya fomu \frac 34, ambapo nambari na denominator ni nambari kuu za pande zote. Kusudi kuu la kupunguza sehemu ni kufanya sehemu isiweze kupunguzwa.

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Wacha tuchukue sehemu mbili kama mfano: \frac(2)(3) Na \frac(5)(8) na madhehebu tofauti 3 na 8. Ili kuleta sehemu hizi kwa dhehebu la kawaida, kwanza tunazidisha nambari na denominator ya sehemu. \frac(2)(3) kwa 8. Tunapata matokeo yafuatayo: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Kisha tunazidisha nambari na denominator ya sehemu \frac(5)(8) kwa 3. Kama matokeo, tunapata: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Kwa hivyo, sehemu asili hupunguzwa hadi dhehebu la kawaida 24.

Shughuli za hesabu kwenye sehemu za kawaida

Ongezeko la sehemu za kawaida

a) Ikiwa madhehebu ni sawa, nambari ya sehemu ya kwanza huongezwa kwa nambari ya sehemu ya pili, na kuacha denominator sawa. Kama unaweza kuona katika mfano:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Kwa madhehebu tofauti, sehemu ndogo hupunguzwa kwanza kwa dhehebu la kawaida, na kisha nambari zinaongezwa kulingana na sheria a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdoti 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Kutoa sehemu

a) Ikiwa madhehebu ni sawa, toa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, ukiacha dhehebu sawa:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Ikiwa madhehebu ya sehemu ni tofauti, basi kwanza sehemu hizo huletwa kwa dhehebu la kawaida, na kisha vitendo vinarudiwa kama katika hatua a).

Kuzidisha sehemu za kawaida

Kuzidisha sehemu kunafuata sheria ifuatayo:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

yaani, wanazidisha nambari na denomineta tofauti.

Kwa mfano:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Kugawanya sehemu

Vipande vimegawanywa kwa njia ifuatayo:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

yaani sehemu \frac(a)(b) kuzidishwa kwa sehemu \frac(d)(c).

Mfano: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Nambari za kubadilishana

Ikiwa ab=1 , basi nambari b ni nambari ya kubadilishana kwa nambari a.

Mfano: kwa nambari ya 9 ni sawa \frac(1)(9), kwa sababu 9\cdot\frac(1)(9)=1, kwa nambari 5 - \frak(1)(5), kwa sababu 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Desimali

Nukta inayoitwa sehemu inayofaa ambayo denominator yake ni 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Kwa mfano: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Nambari zisizo za kawaida zilizo na dhehebu ya 10^n au nambari zilizochanganywa zimeandikwa kwa njia ile ile.

Kwa mfano: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Sehemu yoyote ya kawaida yenye denominata ambayo ni kigawanyo cha nguvu fulani ya 10 inawakilishwa kama sehemu ya desimali.

Mfano: 5 ni kigawanyo cha 100, kwa hivyo ni sehemu \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Operesheni za hesabu kwenye desimali

Kuongeza Desimali

Ili kuongeza sehemu mbili za desimali, unahitaji kuzipanga ili kuwe na nambari zinazofanana chini ya kila mmoja na koma chini ya koma, kisha ongeza sehemu kama nambari za kawaida.

Kutoa Desimali

Inafanywa kwa njia sawa na kuongeza.

Kuzidisha Desimali

Wakati wa kuzidisha nambari za desimali, inatosha kuzidisha nambari ulizopewa, bila kuzingatia koma (kama nambari asili), na katika jibu linalotokana, koma upande wa kulia hutenganisha nambari nyingi kama ilivyo baada ya nukta ya decimal katika mambo yote mawili. kwa ujumla.

Wacha tuzidishe 2.7 kwa 1.3. Tuna 27 \cdot 13=351 . Tunatenganisha tarakimu mbili upande wa kulia na koma (nambari za kwanza na za pili zina tarakimu moja baada ya uhakika wa desimali; 1+1=2). Kama matokeo, tunapata 2.7 \cdot 1.3=3.51.

Ikiwa matokeo yana tarakimu chache kuliko haja ya kutenganishwa na koma, basi zero zinazokosekana zimeandikwa mbele, kwa mfano:

Ili kuzidisha na 10, 100, 1000, unahitaji kusonga nambari ya decimal 1, 2, 3 kwa haki (ikiwa ni lazima, idadi fulani ya zero imepewa haki).

Kwa mfano: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700.

Mgawanyiko wa decimal

Kugawanya sehemu ya desimali kwa nambari asilia hufanywa kwa njia sawa na kugawanya nambari asilia na nambari asilia. Comma katika mgawo huwekwa baada ya mgawanyiko wa sehemu nzima kukamilika.

Ikiwa sehemu kamili ya gawio ni chini ya kigawanyaji, basi jibu ni nambari sifuri, kwa mfano:

Wacha tuangalie kugawanya desimali na desimali. Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 2.576 na 1.12. Kwanza kabisa, wacha tuzidishe gawio na kigawanyo cha sehemu kwa 100, ambayo ni, hoja ya desimali kwenda kulia kwenye gawio na kigawanyiko kwa nambari nyingi kama ilivyo kwenye kigawanyiko baada ya nukta ya desimali (katika mfano huu, mbili). Kisha unahitaji kugawanya sehemu 257.6 na nambari ya asili 112, ambayo ni, shida imepunguzwa kwa kesi ambayo tayari imezingatiwa:

Inatokea kwamba sehemu ya mwisho ya decimal haipatikani kila wakati wakati wa kugawa nambari moja na nyingine. Matokeo yake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Katika hali kama hizi, tunaendelea kwa sehemu za kawaida.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1) (9).

Numerator na denominator ya sehemu. Aina za sehemu. Wacha tuendelee kuangalia sehemu. Kwanza, kanusho ndogo - wakati tunazingatia sehemu na mifano inayolingana nao, kwa sasa tutafanya kazi tu na uwakilishi wake wa nambari. Pia kuna maneno ya herufi ya sehemu (pamoja na bila nambari).Walakini, "kanuni" zote na sheria pia zinatumika kwao, lakini tutazungumza juu ya misemo kama hiyo kando katika siku zijazo. Ninapendekeza kutembelea na kusoma (kukumbuka) mada ya sehemu hatua kwa hatua.

Cha muhimu ni kuelewa, kukumbuka na kutambua kuwa FRACTION ni NAMBA!!!

Sehemu ya kawaida ni idadi ya fomu:

Nambari iko "juu" (katika kesi hii m) inaitwa nambari, nambari iliyo chini (nambari n) inaitwa denominator. Wale ambao wamegusa tu juu ya mada mara nyingi huwa na mkanganyiko juu ya kile wanachokiita.

Hapa kuna ujanja wa jinsi ya kukumbuka milele nambari iko wapi na dhehebu iko wapi. Mbinu hii inahusishwa na uhusiano wa maneno-tamathali. Hebu fikiria mtungi wa maji ya mawingu. Inajulikana kuwa maji yanapotulia, maji safi hubaki juu, na uchafu (uchafu) kutua, kumbuka:

CHISS kuyeyusha maji JUU (CHISS litel top)

Grya Maji ya Z33NN yako CHINI (Amenata ya ZNNNN iko hapa chini)

Kwa hivyo, mara tu hitaji linapotokea la kukumbuka nambari iko wapi na dhehebu iko wapi, tulifikiria mara moja mtungi wa maji yaliyotulia, na maji SAFI juu na maji MACHAFU chini. Kuna hila zingine za kumbukumbu, ikiwa zinakusaidia, basi nzuri.

Mifano ya sehemu za kawaida:

Je, mstari wa mlalo kati ya nambari unamaanisha nini? Hii si kitu zaidi ya ishara ya mgawanyiko. Inabadilika kuwa sehemu inaweza kuzingatiwa kama mfano wa hatua ya mgawanyiko. Kitendo hiki kinarekodiwa katika fomu hii. Hiyo ni, nambari ya juu (nambari) imegawanywa na chini (denominator):

Kwa kuongezea, kuna aina nyingine ya nukuu - sehemu inaweza kuandikwa kama hii (kupitia kufyeka):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 na kadhalika...

Tunaweza kuandika sehemu zilizo hapo juu kama hii:

Matokeo ya mgawanyiko ni jinsi nambari hii inajulikana.

Tuligundua - HII NI NAMBA YA FRACTION!!!

Kama vile umeona, katika sehemu ya kawaida nambari inaweza kuwa chini ya dhehebu, inaweza kuwa kubwa kuliko denominator, na inaweza kuwa sawa nayo. Kuna mambo mengi muhimu hapa ambayo yanaeleweka kwa intuitively, bila uboreshaji wowote wa kinadharia. Kwa mfano:

1. Sehemu ya 1 na 3 inaweza kuandikwa kama 0.5 na 0.01. Wacha turuke mbele kidogo - hizi ni sehemu za desimali, tutazungumza juu yao chini kidogo.

2. Sehemu ya 4 na 6 husababisha nambari kamili 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Sehemu ya 5 husababisha moja 155:155 = 1.

Ni hitimisho gani hujipendekeza? Inayofuata:

1. Nambari ikigawanywa na dhehebu inaweza kutoa nambari yenye kikomo. Inaweza isifanye kazi, gawanya na safu 7 kwa 13 au 17 na 11 - hapana! Unaweza kugawanya bila mwisho, lakini pia tutazungumza juu ya hii hapa chini.

2. Sehemu inaweza kusababisha nambari nzima. Kwa hivyo, tunaweza kuwakilisha nambari yoyote kama sehemu, au tuseme safu isiyo na kikomo ya sehemu, angalia, sehemu hizi zote ni sawa na 2:

Zaidi! Tunaweza kuandika nambari yoyote kama sehemu - nambari yenyewe iko kwenye nambari, kitengo kiko kwenye dhehebu:

3. Tunaweza kuwakilisha kitengo kila wakati kama sehemu na kiashiria chochote:

*Alama hizi ni muhimu sana kwa kufanya kazi na sehemu wakati wa hesabu na mabadiliko.

Aina za sehemu.

Na sasa juu ya mgawanyiko wa kinadharia wa sehemu za kawaida. Wamegawanywa katika sahihi na mbaya.

Sehemu ambayo nambari yake ni chini ya denominator yake inaitwa sehemu sahihi. Mifano:

Sehemu ambayo nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator inaitwa sehemu isiyofaa. Mifano:

Sehemu iliyochanganywa(nambari iliyochanganywa).

Sehemu iliyochanganywa ni sehemu iliyoandikwa kama nambari nzima na sehemu inayofaa na inaeleweka kama jumla ya nambari hii na sehemu yake ya sehemu. Mifano:

Sehemu iliyochanganywa inaweza kuwakilishwa kila wakati kama sehemu isiyofaa na kinyume chake. Hebu tuendelee!

Sehemu za decimal.

Tayari tumewagusa hapo juu, hii ni mifano (1) na (3), sasa kwa undani zaidi. Hapa kuna mifano ya sehemu za decimal: 0.3 0.89 0.001 5.345.

Sehemu ambayo denominator yake ni nguvu ya 10, kama vile 10, 100, 1000, nk., inaitwa desimali. Si vigumu kuandika sehemu tatu za kwanza zilizoonyeshwa kwa namna ya sehemu za kawaida:

Ya nne ni sehemu iliyochanganywa (idadi iliyochanganywa):

Sehemu ya desimali ina fomu ifuatayo - nasehemu nzima huanza, kisha kitenganishi cha sehemu nzima na sehemu ni nukta au koma na kisha sehemu ya sehemu, idadi ya nambari ya sehemu ya sehemu imedhamiriwa madhubuti na kipimo cha sehemu ya sehemu: ikiwa hizi ni sehemu ya kumi, sehemu ya sehemu imeandikwa kama tarakimu moja; ikiwa elfu - tatu; elfu kumi - nne, nk.

Sehemu hizi zinaweza kuwa na mwisho au zisizo na mwisho.

Mifano ya kumalizia sehemu za decimal: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

Mifano haina mwisho. Kwa mfano, nambari ya Pi ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo, pia - 0.3333333333333…... 0.16666666666…. na wengine. Pia matokeo ya kuchimba mzizi wa nambari 3, 5, 7, nk. itakuwa sehemu isiyo na mwisho.

Sehemu ya sehemu inaweza kuwa ya mzunguko (ina mzunguko), mifano miwili hapo juu ni kama hii, na mifano zaidi:

0.123123123123…... mzunguko 123

0.781781781718...... mzunguko 781

0.0250102501…. Mzunguko wa 02501

Zinaweza kuandikwa kama 0,(123) 0,(781) 0,(02501).

Nambari ya Pi sio sehemu ya mzunguko, kama, kwa mfano, mzizi wa tatu.

Katika mifano hapa chini, maneno kama "kugeuza" sehemu yatasikika - hii inamaanisha kuwa nambari na dhehebu hubadilishwa. Kwa kweli, sehemu kama hiyo ina jina - sehemu ya kubadilishana. Mifano ya sehemu zinazofanana:

Muhtasari mdogo! Sehemu ni:

Kawaida (sahihi na sio sahihi).

Desimali (iliyo na mwisho na isiyo na mwisho).

Mchanganyiko (nambari zilizochanganywa).

Ni hayo tu!

Kwa dhati, Alexander.

1 Sehemu za kawaida ni nini? Aina za sehemu.
Sehemu kila wakati inamaanisha sehemu ya jumla. Ukweli ni kwamba idadi haiwezi kuonyeshwa kila wakati kwa nambari za asili, ambayo ni, kuhesabiwa tena: 1, 2, 3, nk. Je, kwa mfano, unawezaje kuteua nusu ya tikiti maji au robo ya saa? Hii ndiyo sababu sehemu au nambari zilionekana.

Kuanza, ni lazima kusema kwamba kwa ujumla kuna aina mbili za sehemu: sehemu za kawaida na sehemu za decimal. Sehemu za kawaida zimeandikwa kama hii:
Sehemu za decimal zimeandikwa tofauti:

Sehemu za kawaida zinajumuisha sehemu mbili: juu ni nambari, chini ni denominator. Nambari na denominator hutenganishwa na mstari wa sehemu. Kwa hivyo kumbuka:

Sehemu yoyote ni sehemu ya jumla. Kawaida huchukuliwa kwa ujumla 1 (kitengo). Denominata ya sehemu inaonyesha ni sehemu ngapi nzima imegawanywa katika ( 1 ), na nambari ni sehemu ngapi zilichukuliwa. Ikiwa tutakata keki katika sehemu 6 sawa (katika hisabati wanasema hisa ), basi kila sehemu ya keki itakuwa sawa na 1/6. Ikiwa Vasya alikula vipande 4, inamaanisha alikula 4/6.

Kwa upande mwingine, kufyeka sio kitu zaidi ya ishara ya mgawanyiko. Kwa hivyo, sehemu ni mgawo wa nambari mbili - nambari na denominator. Katika maandishi ya shida au katika mapishi, sehemu kawaida huandikwa kama hii: 2/3, 1/2, nk. Sehemu zingine zina majina yao wenyewe, kwa mfano, 1/2 - "nusu", 1/3 - "tatu", 1/4 - "robo"
Sasa hebu tuone ni aina gani za sehemu za kawaida zilizopo.

2 Aina za sehemu za kawaida

Kuna aina tatu za sehemu za kawaida: sahihi, zisizofaa na zilizochanganywa:

Sehemu inayofaa

Ikiwa nambari ni chini ya denominator, basi sehemu kama hiyo inaitwa sahihi, Kwa mfano: Sehemu inayofaa kila wakati huwa chini ya 1.

Sehemu isiyofaa

Ikiwa nambari ni kubwa kuliko denominator au sawa na denominator, sehemu kama hiyo inaitwa vibaya, Kwa mfano:

Sehemu isiyofaa ni kubwa kuliko moja (ikiwa nambari ni kubwa kuliko denominator) au sawa na moja (ikiwa nambari ni sawa na denominator)

Sehemu iliyochanganywa

Ikiwa sehemu ina nambari nzima (sehemu kamili) na sehemu inayofaa (sehemu ya sehemu), basi sehemu kama hiyo inaitwa. mchanganyiko, Kwa mfano:

Sehemu iliyochanganywa daima ni kubwa kuliko moja.

3 Uongofu wa Sehemu

Katika hisabati, sehemu za kawaida mara nyingi zinapaswa kubadilishwa, yaani, sehemu iliyochanganywa lazima ibadilishwe kuwa sehemu isiyofaa na kinyume chake. Hii ni muhimu kufanya shughuli fulani, kama vile kuzidisha na kugawanya.

Kwa hiyo, sehemu yoyote iliyochanganywa inaweza kubadilishwa kuwa sehemu isiyofaa. Ili kufanya hivyo, sehemu nzima inazidishwa na dhehebu na nambari ya sehemu ya sehemu huongezwa. Kiasi kinachosababishwa kinachukuliwa kama nambari, na dhehebu inaachwa sawa, kwa mfano:

Sehemu yoyote isiyofaa inaweza kubadilishwa kuwa sehemu iliyochanganywa. Ili kufanya hivyo, gawanya nambari kulingana na kihesabu (na salio). Nambari inayotokana itakuwa sehemu kamili, na iliyobaki itakuwa nambari ya sehemu ya sehemu, kwa mfano:

Wakati huo huo wanasema: "Tumetenga sehemu nzima kutoka kwa sehemu isiyofaa."

Sheria moja zaidi ya kukumbuka: Nambari kamili yoyote inaweza kuwakilishwa kama sehemu na kiashiria cha 1, Kwa mfano:

Wacha tuzungumze juu ya jinsi ya kulinganisha sehemu.

4 Ulinganisho wa sehemu

Wakati wa kulinganisha sehemu, kunaweza kuwa na chaguzi kadhaa: Ni rahisi kulinganisha sehemu na madhehebu sawa, lakini ni ngumu zaidi ikiwa madhehebu ni tofauti. Na pia kuna kulinganisha kwa sehemu zilizochanganywa. Lakini usijali, sasa tutaangalia kila chaguo kwa undani na kujifunza jinsi ya kulinganisha sehemu.

Kulinganisha sehemu na madhehebu sawa

Kati ya sehemu mbili zilizo na dhehebu sawa lakini nambari tofauti, sehemu iliyo na nambari kubwa ni kubwa zaidi, kwa mfano:

Kulinganisha sehemu na nambari sawa

Kati ya sehemu mbili zilizo na nambari zinazofanana lakini madhehebu tofauti, sehemu iliyo na kiashiria kidogo ni kikubwa zaidi, kwa mfano:

Kulinganisha sehemu zilizochanganywa na zisizofaa na sehemu zinazofaa

Sehemu isiyofaa au iliyochanganywa kila wakati ni kubwa kuliko sehemu inayofaa, kwa mfano:

Kulinganisha sehemu mbili zilizochanganywa

Wakati wa kulinganisha sehemu mbili zilizochanganywa, sehemu ambayo sehemu yake yote ni kubwa zaidi, kwa mfano:

Ikiwa sehemu zote za sehemu zilizochanganywa ni sawa, sehemu ambayo sehemu yake ni kubwa zaidi, kwa mfano:

Kulinganisha sehemu na nambari tofauti na denomineta

Huwezi kulinganisha sehemu na nambari tofauti na denomineta bila kuzibadilisha. Kwanza, sehemu lazima zipunguzwe kwa denominator sawa, na kisha nambari zao zilinganishwe. Kubwa zaidi ni sehemu ambayo nambari yake ni kubwa. Lakini tutaangalia jinsi ya kupunguza sehemu kwa dhehebu sawa katika sehemu mbili zifuatazo za kifungu. Kwanza tutaangalia mali ya msingi ya sehemu na kupunguza sehemu, na kisha kupunguza moja kwa moja sehemu kwa dhehebu sawa.

5 Mali kuu ya sehemu. Kupunguza sehemu. Dhana ya GCD.

Kumbuka: Unaweza tu kuongeza na kupunguza na kulinganisha visehemu ambavyo vina madhehebu sawa. Ikiwa madhehebu ni tofauti, basi kwanza unahitaji kuleta sehemu kwa dhehebu moja, ambayo ni, kubadilisha moja ya sehemu ili dhehebu yake iwe sawa na ile ya sehemu ya pili.

Vipande vina mali moja muhimu, inayoitwa pia mali kuu ya sehemu:

Ikiwa nambari na dhehebu la sehemu zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa, basi thamani ya sehemu haibadilika:

Shukrani kwa mali hii tunaweza kupunguza sehemu:

Kupunguza sehemu ni kugawanya nambari na denominator kwa nambari sawa.(tazama mfano hapo juu). Tunapopunguza sehemu, tunaweza kuandika vitendo vyetu kama hii:

Mara nyingi zaidi katika daftari sehemu hiyo imefupishwa kama ifuatavyo:

Lakini kumbuka: unaweza kupunguza tu sababu. Ikiwa nambari au denominator ina jumla au tofauti, huwezi kupunguza masharti. Mfano:

Lazima kwanza ubadilishe jumla kuwa kizidishi:

Wakati mwingine, wakati wa kufanya kazi na idadi kubwa, ili kupunguza sehemu, ni rahisi kupata kigawanyiko kikuu cha kawaida cha nambari na denominator (GCD)

Mgawanyiko Mkuu wa Kawaida (GCD) nambari kadhaa ndio nambari asilia kubwa zaidi ambayo nambari hizi zinaweza kugawanywa bila salio.

Ili kupata gcd ya nambari mbili (kwa mfano, nambari na denominator ya sehemu), unahitaji kuainisha nambari zote mbili kuwa sababu kuu, weka alama sawa katika uainishaji wote, na kuzidisha sababu hizi. Bidhaa inayotokana itakuwa GCD. Kwa mfano, tunahitaji kupunguza sehemu:

Wacha tupate gcd ya nambari 96 na 36:

GCD inatuonyesha kwamba nambari zote mbili na dhehebu zina sababu ya 12, na tunaweza kupunguza sehemu hiyo kwa urahisi.

Wakati mwingine, kuleta sehemu kwa dhehebu moja, inatosha kupunguza moja ya sehemu. Lakini mara nyingi zaidi ni muhimu kuchagua vipengele vya ziada kwa sehemu zote mbili. Sasa tutaangalia jinsi hii inafanywa. Kwa hivyo:

6 Jinsi ya kupunguza sehemu kwa denominator sawa. Angalau nyingi za kawaida (LCM).

Tunapopunguza sehemu hadi denominator sawa, tunachagua nambari ya kipunguzo ambayo inaweza kugawanywa na denominator ya kwanza na ya pili (yaani, itakuwa kizidishio cha madhehebu yote mawili, katika maneno ya hisabati). Na ni kuhitajika kuwa nambari hii iwe ndogo iwezekanavyo, ni rahisi zaidi kuhesabu. Kwa hivyo, lazima tupate LCM ya madhehebu yote mawili.

Idadi isiyo ya kawaida ya nambari mbili (LCM) ndio nambari asilia ndogo kabisa ambayo inaweza kugawanywa na nambari hizi zote mbili bila salio. Wakati mwingine LCM inaweza kupatikana kwa mdomo, lakini mara nyingi zaidi, haswa wakati wa kufanya kazi na idadi kubwa, lazima utafute LCM kwa maandishi, ukitumia algorithm ifuatayo:

Ili kupata LCM ya nambari kadhaa, unahitaji:

1. Fanya nambari hizi kuwa sababu kuu
2. Chukua upanuzi mkubwa zaidi na uandike nambari hizi kama bidhaa
3. Chagua katika mtengano mwingine nambari ambazo hazionekani katika mtengano mkubwa zaidi (au kutokea mara chache ndani yake), na uwaongeze kwenye bidhaa.
4. Zidisha nambari zote kwenye bidhaa, hii itakuwa LCM.

Kwa mfano, wacha tupate LCM ya nambari 28 na 21:

Walakini, wacha turudi kwenye sehemu zetu. Baada ya kupata au kuandika kukokotoa LCM ya denomineta zote mbili, lazima tuzidishe nambari za sehemu hizi kwa vizidishio vya ziada. Unaweza kuzipata kwa kugawa LCM na dhehebu la sehemu inayolingana, kwa mfano:

Kwa hivyo, tulipunguza sehemu zetu kwa dhehebu sawa - 15.

7 Kuongeza na kupunguza sehemu

Kuongeza na kutoa sehemu kwa kutumia denominata kama hizo

Ili kuongeza sehemu zilizo na dhehebu sawa, unahitaji kuongeza nambari zao, lakini acha denominator sawa, kwa mfano:

Ili kutoa sehemu zilizo na dhehebu sawa, unahitaji kutoa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na kuacha denominator sawa, kwa mfano:

Kuongeza na kutoa visehemu vilivyochanganyika kwa kutumia madhehebu kama hayo

Ili kuongeza sehemu zilizochanganywa, unahitaji kuongeza kando sehemu zao zote, na kisha ongeza sehemu zao, na uandike matokeo kama sehemu iliyochanganywa:

Ikiwa, unapoongeza sehemu za sehemu, unapata sehemu isiyofaa, chagua sehemu nzima kutoka kwayo na uiongeze kwa sehemu nzima, kwa mfano:

Utoaji unafanywa kwa njia ile ile: sehemu kamili hutolewa kutoka kwa sehemu nzima, na sehemu ya sehemu imetolewa kutoka kwa sehemu ndogo:

Ikiwa sehemu ya sehemu ya subtrahend ni kubwa kuliko sehemu ndogo ya minuend, "tunakopa" moja kutoka kwa sehemu nzima, na kugeuza minuend kuwa sehemu isiyofaa, na kisha kuendelea kama kawaida:

Vivyo hivyo toa sehemu kutoka kwa nambari nzima:

Jinsi ya kuongeza nambari nzima na sehemu

Ili kuongeza nambari nzima na sehemu, unaongeza nambari hiyo kabla ya sehemu ili kuunda sehemu iliyochanganywa, kwa mfano:

Ikiwa sisi kuongeza nambari nzima na sehemu iliyochanganywa, tunaongeza nambari hii kwa sehemu nzima ya sehemu, kwa mfano:

Kuongeza na kutoa sehemu na madhehebu tofauti.

Ili kuongeza au kutoa sehemu zilizo na dhehebu tofauti, lazima kwanza uzilete kwa dhehebu moja, na kisha uendelee kama wakati wa kuongeza sehemu na denominator sawa (ongeza nambari):

Wakati wa kuondoa, tunaendelea kwa njia ile ile:

Ikiwa tunafanya kazi na sehemu zilizochanganywa, tunapunguza sehemu zao kwa dhehebu moja na kisha kutoa kama kawaida: sehemu nzima kutoka kwa sehemu nzima, na sehemu ya sehemu kutoka kwa sehemu ndogo:

8 Kuzidisha na kugawanya sehemu.

Kuzidisha na kugawanya sehemu ni rahisi zaidi kuliko kuongeza na kupunguza kwa sababu sio lazima kuzipunguza hadi denominator sawa. Kumbuka sheria rahisi za kuzidisha na kugawanya sehemu:

Kabla ya kuzidisha nambari kwenye nambari na dhehebu, inashauriwa kupunguza sehemu, ambayo ni, kuondoa mambo sawa katika nambari na dhehebu, kama katika mfano wetu.

Kugawanya sehemu kwa nambari asilia, unahitaji kuzidisha dhehebu kwa nambari hii, na uache nambari bila kubadilika:

Kwa mfano:

Kugawanya sehemu kwa sehemu

Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, unahitaji kuzidisha mgao kwa mgawanyiko (sehemu ya kuheshimiana).Hii ni sehemu ya aina gani?

Ikiwa tunageuza sehemu, yaani, tunabadilisha nambari na denominator, tunapata sehemu ya kubadilishana. Bidhaa ya sehemu na inverse yake inatoa moja. Katika hisabati, nambari kama hizo huitwa reciprocals:

Kwa mfano, nambari - ni kinyume, kwani

Kwa hivyo, wacha turudi kugawanya sehemu kwa sehemu:

Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, unahitaji kuzidisha mgawanyiko kwa upatanisho wa mgawanyiko:

Kwa mfano:

Wakati wa kugawanya sehemu zilizochanganywa, kama tu wakati wa kuzidisha, lazima kwanza ubadilishe kuwa sehemu zisizofaa:

Wakati wa kuzidisha na kugawanya sehemu kwa nambari za asili, unaweza pia kuwakilisha nambari hizi kama sehemu zilizo na dhehebu 1 .

Na lini kugawanya nambari nzima kwa sehemu wakilisha nambari hii kama sehemu yenye dhehebu 1 :