Katika makala hii tutazingatia kuweka mabano kizidishi cha kawaida . Kwanza, hebu tuone ni nini ubadilishaji huu wa usemi unajumuisha. Ifuatayo, tutawasilisha sheria ya kuweka sababu ya kawaida kutoka kwa mabano na fikiria kwa undani mifano ya matumizi yake.
Urambazaji wa ukurasa.
Kwa mfano, maneno katika usemi 6 x + 4 y yana kipengele cha 2 cha kawaida, ambacho hakijaandikwa kwa uwazi. Inaweza kuonekana tu baada ya kuwakilisha nambari 6 kama bidhaa ya 2 · 3, na 4 kama bidhaa ya 2 · 2. Kwa hiyo, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Mfano mwingine: katika usemi x 3 +x 2 +3 x maneno yana sababu ya kawaida x, ambayo inaonekana wazi baada ya kuchukua nafasi ya x 3 na x x 2 (katika kesi hii tulitumia) na x 2 na x x. Baada ya kuiondoa kwenye mabano, tunapata x·(x 2 +x+3) .
Wacha tuseme tofauti juu ya kuweka minus nje ya mabano. Kwa kweli, kuweka minus nje ya mabano kunamaanisha kuweka minus moja nje ya mabano. Kwa mfano, hebu tutoe minus katika usemi −5−12·x+4·x·y. Usemi wa asili unaweza kuandikwa upya kama (−1) 5+(-1) 12 x-(-1) 4 x y, kutoka ambapo sababu ya kawaida -1 inaonekana wazi, ambayo tunachukua nje ya mabano. Kwa hivyo, tunafika kwenye usemi (−1)·(5+12·x−4·x·y) ambamo mgawo −1 unabadilishwa kwa urahisi na minus kabla ya mabano, kwa sababu hiyo tuna −( 5+12·x−4·x· y) . Kutoka hapa inaonekana wazi kwamba wakati minus inachukuliwa nje ya mabano, jumla ya awali inabakia kwenye mabano, ambayo ishara za masharti yake yote yamebadilishwa kinyume chake.
Kwa kumalizia kwa kifungu hiki, tunaona kuwa kuweka mabano sababu ya kawaida hutumiwa sana. Kwa mfano, inaweza kutumika kuhesabu kwa ufanisi zaidi maadili ya misemo ya nambari. Pia, kuweka jambo la kawaida kutoka kwa mabano hukuruhusu kuwakilisha misemo katika mfumo wa bidhaa; haswa, moja ya njia za kuainisha polynomial ni msingi wa kuweka mabano.
Bibliografia.
- Hisabati. Daraja la 6: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [N. Ya. Vilenkin na wengine]. - Toleo la 22., Mch. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00897-2.
Hapo awali nilitaka kujumuisha njia za kutupwa dhehebu la kawaida katika sehemu ya “Kuongeza na kutoa visehemu.” Lakini kulikuwa na habari nyingi, na umuhimu wake ulikuwa mkubwa sana (baada ya yote, sio tu sehemu za nambari), kwamba ni bora kusoma suala hili tofauti.
Hivyo hebu sema tuna sehemu mbili na madhehebu tofauti. Na tunataka kuhakikisha kwamba madhehebu yanakuwa sawa. Mali ya msingi ya sehemu huja kwa uokoaji, ambayo, wacha nikukumbushe, inasikika kama hii:
Sehemu haitabadilika ikiwa nambari na denominata yake itazidishwa kwa nambari sawa isipokuwa sifuri.
Kwa hivyo, ukichagua mambo kwa usahihi, madhehebu ya sehemu yatakuwa sawa - mchakato huu unaitwa kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida. Na nambari zinazohitajika, "jioni nje" madhehebu, huitwa sababu za ziada.
Kwa nini tunahitaji kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida? Hapa kuna sababu chache tu:
- Kuongeza na kutoa sehemu na madhehebu tofauti. Hakuna njia nyingine ya kufanya operesheni hii;
- Kulinganisha sehemu. Wakati mwingine kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida hurahisisha sana kazi hii;
- Kutatua matatizo yanayohusisha sehemu na asilimia. Asilimia kwa kweli, ni maneno ya kawaida ambayo yana sehemu.
Kuna njia nyingi za kupata nambari ambazo, zikizidishwa nao, zitafanya madhehebu ya sehemu kuwa sawa. Tutazingatia tatu tu kati yao - ili kuongeza ugumu na, kwa maana, ufanisi.
Kuzidisha kwa msalaba
Rahisi zaidi na njia ya kuaminika, ambayo imehakikishwa kusawazisha madhehebu. Tutatenda "kwa njia ya kichwa": tunazidisha sehemu ya kwanza na denominator ya sehemu ya pili, na ya pili kwa denominator ya kwanza. Kama matokeo, madhehebu ya sehemu zote mbili zitakuwa sawa na bidhaa madhehebu ya asili. Angalia:
Kama sababu za ziada, fikiria madhehebu ya sehemu za jirani. Tunapata:
Ndiyo, ni rahisi hivyo. Ikiwa unaanza kusoma sehemu, ni bora kufanya kazi kwa kutumia njia hii - kwa njia hii utajihakikishia dhidi ya makosa mengi na umehakikishiwa kupata matokeo.
Upungufu pekee njia hii- lazima uhesabu mengi, kwa sababu madhehebu yanazidishwa "kote", na matokeo yanaweza kuwa mengi. idadi kubwa. Hii ndio bei ya kulipa kwa kuegemea.
Njia ya Kawaida ya Kugawanya
Mbinu hii husaidia kupunguza kwa kiasi kikubwa mahesabu, lakini, kwa bahati mbaya, hutumiwa kabisa mara chache. Mbinu ni kama ifuatavyo:
- Kabla ya kwenda moja kwa moja (yaani, kwa kutumia njia ya criss-cross), angalia madhehebu. Labda moja yao (ile ambayo ni kubwa) imegawanywa katika nyingine.
- Nambari inayotokana na mgawanyiko huu itakuwa sababu ya ziada kwa sehemu yenye denominator ndogo.
- Katika kesi hii, sehemu iliyo na dhehebu kubwa haihitaji kuzidishwa na chochote - hapa ndipo uhifadhi ulipo. Wakati huo huo, uwezekano wa kosa umepunguzwa sana.
Kazi. Tafuta maana za misemo:
Kumbuka kwamba 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Kwa kuwa katika hali zote mbili dhehebu moja imegawanywa bila salio na nyingine, tunatumia njia ya mambo ya kawaida. Tuna:
Kumbuka kuwa sehemu ya pili haikuzidishwa na chochote. Kwa kweli, tunapunguza kiasi cha hesabu kwa nusu!
Kwa njia, sikuchukua sehemu katika mfano huu kwa bahati. Ikiwa una nia, jaribu kuzihesabu kwa kutumia njia ya criss-cross. Baada ya kupunguzwa, majibu yatakuwa sawa, lakini kutakuwa na kazi nyingi zaidi.
Hii ni nguvu ya njia ya kawaida ya kugawanya, lakini, tena, inaweza kutumika tu wakati moja ya madhehebu inaweza kugawanywa na nyingine bila salio. Ambayo hutokea mara chache sana.
Angalau njia nyingi za kawaida
Tunapopunguza visehemu kuwa dhehebu moja, kimsingi tunajaribu kutafuta nambari ambayo inaweza kugawanywa na kila moja ya madhehebu. Kisha tunaleta madhehebu ya sehemu zote mbili kwa nambari hii.
Kuna nambari nyingi kama hizo, na ndogo kati yao haitakuwa sawa bidhaa moja kwa moja madhehebu ya sehemu asili, kama inavyodhaniwa katika mbinu ya criss-cross.
Kwa mfano, kwa madhehebu 8 na 12, nambari ya 24 inafaa kabisa, tangu 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nambari hii ni nyingi bidhaa kidogo 8 12 = 96.
Nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa na kila moja ya madhehebu inaitwa nyingi yao ya kawaida zaidi (LCM).
Dokezo: Kizidishio kidogo cha a na b kinaonyeshwa na LCM(a ; b) . Kwa mfano, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .
Ikiwa utaweza kupata nambari kama hiyo, jumla ya mahesabu yatakuwa ndogo. Angalia mifano:
Kazi. Tafuta maana za misemo:
Kumbuka kwamba 234 = 117 2; 351 = 117 3. Sababu 2 na 3 ni coprime (hazina sababu za kawaida isipokuwa 1), na sababu ya 117 ni ya kawaida. Kwa hiyo LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.
Vivyo hivyo, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Sababu 3 na 4 ni coprime, na sababu ya 5 ni ya kawaida. Kwa hiyo LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Sasa hebu tulete sehemu kwa madhehebu ya kawaida:
Angalia jinsi ilivyokuwa muhimu kuainisha madhehebu asili:
- Baada ya kugundua sababu zinazofanana, tulifika mara moja kwa idadi ndogo ya kawaida, ambayo, kwa ujumla, ni shida isiyo ya kawaida;
- Kutoka kwa upanuzi unaosababishwa unaweza kujua ni mambo gani "yamekosa" katika kila sehemu. Kwa mfano, 234 · 3 = 702, kwa hivyo, kwa sehemu ya kwanza sababu ya ziada ni 3.
Ili kufahamu ni kiasi gani cha tofauti ambacho mbinu nyingi huleta, jaribu kukokotoa mifano hii kwa kutumia mbinu ya criss-cross. Bila shaka, bila calculator. Nadhani baada ya maoni haya itakuwa sio lazima.
Usifikiri kuwa kuna vile sehemu ngumu haitakuwa hivyo katika mifano halisi. Wanakutana kila wakati, na kazi zilizo hapo juu sio kikomo!
Shida pekee ni jinsi ya kupata NOC hii sana. Wakati mwingine kila kitu kinaweza kupatikana kwa sekunde chache, halisi "kwa jicho," lakini kwa ujumla hii ni kazi ngumu ya computational ambayo inahitaji kuzingatia tofauti. Hatutagusa hilo hapa.
\(5x+xy\) inaweza kuwakilishwa kama \(x(5+y)\). Hii ni kweli maneno yanayofanana, tunaweza kuthibitisha hili ikiwa tutafungua mabano: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Kama unaweza kuona, kama matokeo tunapata usemi wa asili. Hii ina maana kwamba \(5x+xy\) ni sawa na \(x(5+y)\). Kwa njia, hii ni njia ya kuaminika ya kuangalia usahihi wa mambo ya kawaida - kufungua bracket kusababisha na kulinganisha matokeo na kujieleza awali.
Kanuni kuu ya kuweka mabano:
Kwa mfano, katika usemi \(3ab+5bc-abc\) \(b\) pekee ndio unaoweza kutolewa kwenye mabano, kwa sababu ndio pekee uliopo katika maneno yote matatu. Mchakato wa kuchukua mambo ya kawaida kutoka kwa mabano umeonyeshwa kwenye mchoro hapa chini:
Sheria za mabano
Katika hisabati, ni kawaida kuchukua mambo yote ya kawaida mara moja.
Mfano:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Tafadhali kumbuka kuwa hapa tunaweza kupanua kama hii: \(3(xy-xz)\) au kama hii: \(x(3y-3z)\). Walakini, hizi zitakuwa mtengano usio kamili. C na X lazima zitolewe nje.
Wakati mwingine wanachama wa kawaida hawaonekani mara moja.
Mfano:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Katika kesi hii, neno la kawaida (tano) lilifichwa. Walakini, baada ya kupanua \(10\) kama \(2\) ikizidishwa na \(5\), na \(15\) kama \(3\) ikizidishwa na \(5\) - "tulivuta tano kwenye nuru ya Mungu”, baada ya hapo waliweza kuitoa nje ya mabano kwa urahisi.
Ikiwa monomial imeondolewa kabisa, mtu hubakia kutoka kwake.
Mfano: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Tunaweka \(x\) nje ya mabano, na monomia ya tatu inajumuisha x tu. Kwa nini mtu anabaki kutoka kwake? Kwa sababu usemi wowote ukizidishwa na moja, hautabadilika. Hiyo ni, \(x\) hii hii inaweza kuwakilishwa kama \(1\cdot x\). Kisha tuna mlolongo ufuatao wa mabadiliko:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Aidha, hii ndiyo pekee Njia sahihi kuondolewa, kwa sababu ikiwa hatutaacha moja, basi tunapofungua mabano hatutarudi kwenye usemi wa asili. Hakika, tukifanya uchimbaji kama huu \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), basi tukipanuliwa tutapata \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Mwanachama wa tatu hayupo. Hii ina maana kwamba taarifa kama hiyo si sahihi.
Unaweza kuweka ishara ya kutoa nje ya mabano, na ishara za maneno kwenye mabano zinabadilishwa.
Mfano:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Kimsingi, hapa tunaweka "minus moja", ambayo inaweza "kuchaguliwa" mbele ya monomial yoyote, hata ikiwa hapakuwa na minus mbele yake. Tunatumia hapa ukweli kwamba mtu anaweza kuandikwa kama \((-1) \cdot (-1)\). Hapa kuna mfano huo huo, ulioelezewa kwa undani:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Mabano pia yanaweza kuwa sababu ya kawaida.
Mfano:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Mara nyingi tunakutana na hali hii (kuondoa mabano kutoka kwa mabano) wakati wa kuweka alama kwa kutumia njia ya kambi au
Makala hii inaeleza jinsi ya kupata denominator ya chini kabisa Na jinsi ya kupunguza sehemu kwa denominator ya kawaida. Kwanza, ufafanuzi wa denominator ya kawaida ya sehemu na denominator ndogo ya kawaida hutolewa, na inaonyeshwa jinsi ya kupata denominator ya kawaida ya sehemu. Chini ni sheria ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida na mifano ya matumizi ya sheria hii inazingatiwa. Kwa kumalizia, mifano ya kuleta tatu na zaidi sehemu kwa denominator ya kawaida.
Urambazaji wa ukurasa.
Ni nini kinachoitwa kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida?
Sasa tunaweza kusema ni nini kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida. Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida- Huu ni kuzidisha kwa nambari na denomineta za sehemu zilizotolewa kwa sababu za ziada hivi kwamba matokeo yake ni sehemu zilizo na madhehebu sawa.
Denominator ya kawaida, ufafanuzi, mifano
Sasa ni wakati wa kufafanua denominator ya kawaida ya sehemu.
Kwa maneno mengine, dhehebu la kawaida la seti fulani ya sehemu za kawaida ni yoyote nambari ya asili, ambayo inaweza kugawanywa na madhehebu yote ya sehemu hizi.
Kutoka kwa ufafanuzi uliotajwa inafuata kwamba seti hii ya sehemu ina madhehebu mengi ya kawaida, kwani kuna seti isiyo na mwisho mawimbi ya kawaida ya madhehebu yote ya seti asili ya sehemu.
Kuamua dhehebu la kawaida la sehemu hukuruhusu kupata madhehebu ya kawaida ya sehemu zilizopewa. Hebu, kwa mfano, kutokana na sehemu 1/4 na 5/6, madhehebu yao ni 4 na 6, kwa mtiririko huo. Vizidishi vyema vya kawaida vya nambari 4 na 6 ni nambari 12, 24, 36, 48, ... Nambari yoyote kati ya hizi ni dhehebu la kawaida la sehemu 1/4 na 5/6.
Ili kuunganisha nyenzo, fikiria suluhisho la mfano unaofuata.
Mfano.
Je, sehemu 2/3, 23/6 na 7/12 zinaweza kupunguzwa hadi dhehebu la kawaida la 150?
Suluhisho.
Ili kujibu swali tunahitaji kujua ikiwa nambari 150 ni mgawo wa kawaida wa madhehebu 3, 6 na 12. Ili kufanya hivyo, hebu tuangalie ikiwa 150 inaweza kugawanywa na kila moja ya nambari hizi (ikiwa ni lazima, angalia sheria na mifano ya kugawanya nambari za asili, pamoja na sheria na mifano ya kugawanya nambari za asili na salio): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (zilizosalia 6) .
Kwa hiyo, 150 haiwezi kugawanywa kwa 12, kwa hivyo 150 sio kizidishio cha kawaida cha 3, 6, na 12. Kwa hivyo, nambari 150 haiwezi kuwa dhehebu la kawaida la sehemu za asili.
Jibu:
Ni marufuku.
Denominator ya chini kabisa, jinsi ya kuipata?
Katika seti ya nambari ambazo ni madhehebu ya kawaida ya sehemu zilizopewa, kuna nambari ndogo ya asili, ambayo inaitwa dhehebu ndogo zaidi. Hebu tutengeneze ufafanuzi wa denominator ya chini kabisa ya sehemu hizi.
Ufafanuzi.
Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida-Hii nambari ndogo zaidi, kutoka kwa madhehebu yote ya kawaida ya sehemu hizi.
Inabakia kukabiliana na swali la jinsi ya kupata mgawanyiko mdogo wa kawaida.
Kwa kuwa ni chanya ndogo zaidi mgawanyiko wa kawaida ya seti fulani ya nambari, basi LCM ya madhehebu ya sehemu ulizopewa ni denominator ndogo ya kawaida ya sehemu zilizotolewa.
Kwa hivyo, kupata dhehebu la chini kabisa la visehemu kunakuja chini kwa madhehebu ya sehemu hizo. Wacha tuangalie suluhisho la mfano.
Mfano.
Pata dhehebu la chini kabisa la sehemu 3/10 na 277/28.
Suluhisho.
Madhehebu ya sehemu hizi ni 10 na 28. Kiashiria cha chini kabisa kinachohitajika kinapatikana kama LCM ya nambari 10 na 28. Kwa upande wetu ni rahisi: tangu 10=2 · 5, na 28=2 · 2 · 7, kisha LCM(15, 28)=2·2·5 ·7=140.
Jibu:
140 .
Jinsi ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida? Sheria, mifano, suluhisho
Kwa kawaida sehemu za kawaida kusababisha madhehebu ya chini kabisa ya kawaida. Sasa tutaandika sheria ambayo inaelezea jinsi ya kupunguza sehemu hadi denominator yao ya chini kabisa.
Sheria ya kupunguza sehemu hadi kiashiria cha chini kabisa cha kawaida lina hatua tatu:
- Kwanza, pata dhehebu la chini kabisa la sehemu.
- Pili, kipengele cha ziada kinahesabiwa kwa kila sehemu kwa kugawanya denominator ya chini kabisa na denominator ya kila sehemu.
- Tatu, nambari na denominator ya kila sehemu huzidishwa na sababu yake ya ziada.
Wacha tutumie sheria iliyotajwa kutatua mfano ufuatao.
Mfano.
Punguza sehemu 5/14 na 7/18 hadi dhehebu lao la chini kabisa.
Suluhisho.
Wacha tufanye hatua zote za algorithm ya kupunguza sehemu hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida.
Kwanza tunapata dhehebu la kawaida zaidi, ambalo ni sawa na kizidishio cha kawaida kabisa cha nambari 14 na 18. Tangu 14=2 · 7 na 18=2 · 3 · 3, kisha LCM(14, 18)=2 · 3 · 3 · 7 = 126.
Sasa tunahesabu mambo ya ziada kwa msaada ambao sehemu 5/14 na 7/18 zitapunguzwa hadi dhehebu 126. Kwa sehemu ya 5/14 kipengele cha ziada ni 126:14=9, na kwa sehemu 7/18 kipengele cha ziada ni 126:18=7.
Inabakia kuzidisha nambari na madhehebu ya sehemu 5/14 na 7/18 kwa vipengele vya ziada 9 na 7, kwa mtiririko huo. Tuna na 
.
Kwa hivyo, kupunguza sehemu 5/14 na 7/18 hadi denominator ya chini kabisa imekamilika. Sehemu zilizosababisha zilikuwa 45/126 na 49/126.
Denominator ya sehemu ya hesabu a / b ni nambari b, ambayo inaonyesha saizi ya sehemu za kitengo ambacho sehemu hiyo imeundwa. Denominator ya sehemu ya algebraic A / B inaitwa usemi wa algebra B. Kufanya shughuli za hesabu pamoja na sehemu lazima zipunguzwe hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida.
Utahitaji
- Ili kufanya kazi na sehemu za aljebra na kupata kiashiria cha chini kabisa cha kawaida, unahitaji kujua jinsi ya kuhesabu polynomia.
Maagizo
Zingatia punguzo hadi dhehebu la chini kabisa la mbili sehemu za hesabu n/m na s/t, ambapo n, m, s, t ni nambari kamili. Ni wazi kwamba sehemu hizi mbili zinaweza kupunguzwa kwa denominator yoyote inayogawanyika kwa m na t. Lakini wanajaribu kuongoza kwa dhehebu la chini kabisa. Ni sawa na kizidishio kidogo cha kawaida cha madhehebu m na t ya sehemu zilizotolewa. Nambari ndogo zaidi (LMK) ya nambari ndiyo ndogo zaidi inayoweza kugawanywa na zote kwa wakati mmoja. nambari zilizopewa. Wale. kwa upande wetu, tunahitaji kupata idadi ndogo ya kawaida ya nambari m na t. Inajulikana kama LCM (m, t). Ifuatayo, sehemu zinazidishwa na zile zinazolingana: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Wacha tupate dhehebu la chini kabisa la sehemu tatu: 4/5, 7/8, 11/14. Kwanza, hebu tupanue madhehebu 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ifuatayo, hesabu LCM (5, 8, 14) kwa kuzidisha. nambari zote zimejumuishwa katika angalau moja ya upanuzi. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Kumbuka kwamba ikiwa sababu inaonekana katika upanuzi wa nambari kadhaa (sababu 2 katika upanuzi wa denominators 8 na 14), basi chukua sababu katika kwa kiasi kikubwa zaidi(2^3 kwa upande wetu).
Kwa hivyo, ya jumla inapokelewa. Ni sawa na 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Hapa tunapata nambari ambazo tunahitaji kuzidisha sehemu na madhehebu yanayolingana ili kuwaleta kwa denominator ya chini kabisa. Tunapata 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Kupunguza hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida sehemu za algebra kufanywa kwa mlinganisho na hesabu. Kwa uwazi, hebu tuangalie tatizo kwa kutumia mfano. Acha sehemu mbili (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) na (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) zitolewe. Wacha tuangalie madhehebu yote mawili. Kumbuka kwamba denominator ya sehemu ya kwanza ni mraba kamili: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Kwa