Ni wakati wa kutatua njia za uchimbaji wa mizizi. Wao ni msingi wa mali ya mizizi, hasa, juu ya usawa, ambayo ni kweli kwa nambari yoyote isiyo ya hasi b.
Hapo chini tutaangalia njia kuu za kuchimba mizizi moja kwa moja.
Hebu tuanze na kesi rahisi zaidi - kuchimba mizizi kutoka kwa namba za asili kwa kutumia meza ya mraba, meza ya cubes, nk.
Ikiwa meza za mraba, cubes, nk. Ikiwa huna karibu, ni busara kutumia njia ya kuchimba mzizi, ambayo inahusisha kuoza namba kali katika mambo makuu.
Inastahili kutaja maalum kile kinachowezekana kwa mizizi yenye vielelezo visivyo vya kawaida.
Mwishowe, hebu tuchunguze njia ambayo inaruhusu sisi kupata mlolongo wa nambari za thamani ya mzizi.
Tuanze.
Kutumia meza ya mraba, meza ya cubes, nk.
Katika kesi rahisi zaidi, meza za mraba, cubes, nk hukuwezesha kuchimba mizizi. Jedwali hizi ni nini?
Jedwali la miraba ya nambari kamili kutoka 0 hadi 99 ikiwa ni pamoja (iliyoonyeshwa hapa chini) ina kanda mbili. Ukanda wa kwanza wa jedwali iko kwenye msingi wa kijivu; kwa kuchagua safu maalum na safu maalum, hukuruhusu kutunga nambari kutoka 0 hadi 99. Kwa mfano, wacha tuchague safu ya makumi 8 na safu ya vitengo 3, na hii tuliweka nambari 83. Ukanda wa pili unachukua sehemu iliyobaki ya meza. Kila seli iko kwenye makutano ya safu mlalo fulani na safu wima fulani, na ina mraba wa nambari inayolingana kutoka 0 hadi 99. Katika makutano ya safu tuliyochagua ya makumi 8 na safu wima ya 3 ya hizo kuna seli iliyo na nambari 6,889, ambayo ni mraba wa nambari 83.
Majedwali ya cubes, meza za nguvu za nne za nambari kutoka 0 hadi 99, na kadhalika ni sawa na meza ya mraba, tu zina vyenye cubes, nguvu za nne, nk katika ukanda wa pili. nambari zinazolingana.
Majedwali ya mraba, cubes, nguvu za nne, nk. kuruhusu kuchimba mizizi ya mraba, mizizi ya mchemraba, mizizi ya nne, nk. ipasavyo kutoka kwa nambari katika majedwali haya. Hebu tueleze kanuni ya matumizi yao wakati wa kuchimba mizizi.
Wacha tuseme tunahitaji kutoa mzizi wa nth wa nambari a, wakati nambari a iko kwenye jedwali la nguvu za nth. Kwa kutumia jedwali hili tunapata nambari b kiasi kwamba a=b n. Kisha 
, kwa hivyo, nambari b itakuwa mzizi unaohitajika wa digrii ya nth.
Kama mfano, hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia jedwali la mchemraba kutoa mzizi wa mchemraba wa 19,683. Tunapata nambari 19,683 kwenye jedwali la cubes, kutoka kwake tunapata kuwa nambari hii ni mchemraba wa nambari 27, kwa hivyo, 
.
Ni wazi kwamba meza za nguvu za nth ni rahisi sana kwa kuchimba mizizi. Walakini, mara nyingi hazipo karibu, na kuzikusanya kunahitaji muda. Zaidi ya hayo, mara nyingi ni muhimu kutoa mizizi kutoka kwa nambari ambazo hazipo kwenye meza zinazofanana. Katika kesi hii, unapaswa kutumia njia zingine za uchimbaji wa mizizi.
Kuweka idadi kubwa katika mambo makuu
Njia rahisi ya kutoa mzizi wa nambari asilia (ikiwa, bila shaka, mzizi umetolewa) ni kuoza nambari kali kuwa sababu kuu. Yake uhakika ni huu: baada ya hapo ni rahisi kuiwakilisha kama nguvu iliyo na kielelezo kinachohitajika, ambacho hukuruhusu kupata thamani ya mzizi. Hebu tufafanue jambo hili.
Acha mzizi wa nth wa nambari asilia uchukuliwe na thamani yake iwe sawa na b. Katika kesi hii, usawa a=b n ni kweli. Nambari b, kama nambari yoyote asilia, inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya vipengele vyake vyote vikuu p 1 , p 2 , …, p m katika umbo p 1 ·p 2 ·…·p m , na nambari kali a katika hali hii. inawakilishwa kama (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Kwa kuwa mtengano wa nambari katika vipengele vikuu ni wa kipekee, mtengano wa nambari kali a katika vipengele vikuu utakuwa na umbo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ambayo hufanya iwezekane kukokotoa thamani ya mzizi. kama.
Kumbuka kwamba ikiwa mtengano katika vipengele vikuu vya nambari kali a hauwezi kuwakilishwa katika muundo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, basi mzizi wa nth wa nambari kama hiyo haujatolewa kabisa.
Wacha tufikirie hii wakati wa kutatua mifano.
Mfano.
Chukua mzizi wa mraba wa 144.
Suluhisho.
Ukiangalia jedwali la mraba lililotolewa katika aya iliyotangulia, unaweza kuona wazi kwamba 144 = 12 2, ambayo ni wazi kuwa mzizi wa mraba wa 144 ni sawa na 12.
Lakini kwa kuzingatia hatua hii, tunavutiwa na jinsi mzizi unavyotolewa kwa kuoza nambari kali 144 kuwa sababu kuu. Hebu tuangalie suluhisho hili.
Hebu kuoza 144 kwa sababu kuu:
Yaani 144=2·2·2·2·3·3. Kulingana na mtengano unaosababishwa, mabadiliko yafuatayo yanaweza kufanywa: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Kwa hivyo, 
.
Kutumia mali ya shahada na mali ya mizizi, suluhisho linaweza kutengenezwa tofauti kidogo:.
Jibu:
Ili kuunganisha nyenzo, fikiria suluhisho kwa mifano miwili zaidi.
Mfano.
Kuhesabu thamani ya mizizi.
Suluhisho.
Kipengele kikuu cha nambari ya radical 243 kina fomu 243=3 5 . Hivyo, 
.
Jibu:
Mfano.
Je, thamani ya mzizi ni nambari kamili?
Suluhisho.
Ili kujibu swali hili, hebu tuangazie nambari kali katika vipengele vikuu na tuone kama inaweza kuwakilishwa kama mchemraba wa nambari kamili.
Tuna 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Upanuzi unaotokana hauwezi kuwakilishwa kama mchemraba wa nambari kamili, kwani nguvu ya kipengele kikuu cha 7 sio kizidishi cha tatu. Kwa hiyo, mzizi wa mchemraba wa 285,768 hauwezi kuondolewa kabisa.
Jibu:
Hapana.
Kuchimba mizizi kutoka kwa nambari za sehemu
Ni wakati wa kujua jinsi ya kutoa mzizi wa nambari ya sehemu. Acha nambari ya radical ya sehemu iandikwe kama p/q. Kulingana na mali ya mzizi wa mgawo, usawa ufuatao ni kweli. Kutoka kwa usawa huu inafuata kanuni ya kuchimba mzizi wa sehemu: Mzizi wa sehemu ni sawa na mgawo wa mzizi wa nambari iliyogawanywa na mzizi wa denominator.
Wacha tuangalie mfano wa kuchimba mzizi kutoka kwa sehemu.
Mfano.
Nini mzizi wa mraba wa sehemu ya kawaida 25/169?
Suluhisho.
Kwa kutumia jedwali la miraba, tunapata kwamba mzizi wa mraba wa nambari ya sehemu ya asili ni 5, na mzizi wa mraba wa dhehebu ni sawa na 13. Kisha 
. Hii inakamilisha uchimbaji wa mzizi wa sehemu ya kawaida 25/169.
Jibu:
Mzizi wa sehemu ya desimali au nambari mchanganyiko hutolewa baada ya kubadilisha nambari za radical na sehemu za kawaida.
Mfano.
Chukua mzizi wa mchemraba wa sehemu ya decimal 474.552.
Suluhisho.
Wacha tufikirie sehemu asilia ya decimal kama sehemu ya kawaida: 474.552=474552/1000. Kisha 
. Inabakia kutoa mizizi ya mchemraba ambayo iko kwenye nambari na denominator ya sehemu inayosababisha. Kwa sababu 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 na 1 000 = 10 3, basi 
Na 
. Kilichobaki ni kukamilisha mahesabu 
.
Jibu:
.
Kuchukua mzizi wa nambari hasi
Inafaa kukaa juu ya kuchimba mizizi kutoka kwa nambari hasi. Wakati wa kusoma mizizi, tulisema kwamba wakati kielelezo cha mizizi ni nambari isiyo ya kawaida, basi kunaweza kuwa na nambari hasi chini ya ishara ya mizizi. Tulipa maingizo haya maana ifuatayo: kwa nambari hasi −a na kipeoshi kisicho cha kawaida cha mzizi 2 n−1, 
. Usawa huu unatoa sheria ya kutoa mizizi isiyo ya kawaida kutoka kwa nambari hasi: kutoa mzizi wa nambari hasi, unahitaji kuchukua mzizi wa nambari chanya iliyo kinyume, na uweke alama ya minus mbele ya matokeo.
Wacha tuangalie suluhisho la mfano.
Mfano.
Tafuta thamani ya mizizi.
Suluhisho.
Wacha tubadilishe usemi asilia ili kuwe na nambari chanya chini ya ishara ya mizizi: 
. Sasa badilisha nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida: 
. Tunatumia sheria ya kuchimba mzizi wa sehemu ya kawaida: 
. Inabakia kuhesabu mizizi kwenye nambari na dhehebu ya sehemu inayosababisha: 
.
Hapa kuna muhtasari mfupi wa suluhisho: 
.
Jibu:
.
Uamuzi wa bitwise wa thamani ya mizizi
Katika hali ya jumla, chini ya mzizi kuna nambari ambayo, kwa kutumia mbinu zilizojadiliwa hapo juu, haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya nth ya nambari yoyote. Lakini katika kesi hii kuna haja ya kujua maana ya mzizi uliopewa, angalau hadi ishara fulani. Katika kesi hii, ili kutoa mzizi, unaweza kutumia algorithm ambayo hukuruhusu kupata nambari ya kutosha ya nambari ya nambari inayotaka.
Hatua ya kwanza ya algorithm hii ni kujua ni sehemu gani muhimu zaidi ya thamani ya mizizi. Ili kufanya hivyo, nambari 0, 10, 100, ... zinainuliwa kwa mlolongo kwa nguvu n hadi wakati ambapo nambari inazidi nambari kali hupatikana. Kisha nambari ambayo tuliinua kwa nguvu n katika hatua ya awali itaonyesha nambari inayolingana zaidi.
Kwa mfano, fikiria hatua hii ya algorithm wakati wa kutoa mzizi wa mraba wa tano. Chukua nambari 0, 10, 100, ... na uifanye mraba hadi tupate nambari kubwa kuliko 5. Tuna 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ambayo ina maana kwamba tarakimu muhimu zaidi itakuwa tarakimu hizo. Thamani ya kidogo hii, pamoja na ya chini, itapatikana katika hatua zifuatazo za algorithm ya uchimbaji wa mizizi.
Hatua zote zinazofuata za algorithm zinalenga kufafanua kwa usawa thamani ya mzizi kwa kupata maadili ya bits inayofuata ya thamani inayotaka ya mzizi, kuanzia na ile ya juu zaidi na kuhamia ya chini kabisa. Kwa mfano, thamani ya mizizi katika hatua ya kwanza inageuka kuwa 2, kwa pili - 2.2, ya tatu - 2.23, na kadhalika 2.236067977 .... Wacha tueleze jinsi maadili ya nambari hupatikana.
Nambari zinapatikana kwa kutafuta maadili yanayowezekana 0, 1, 2, ..., 9. Katika kesi hii, nguvu za nth za nambari zinazolingana zinahesabiwa kwa usawa, na zinalinganishwa na nambari kali. Ikiwa katika hatua fulani thamani ya digrii inazidi nambari kali, basi thamani ya nambari inayolingana na thamani ya hapo awali inazingatiwa kupatikana, na mpito kwa hatua inayofuata ya algorithm ya uchimbaji wa mizizi hufanywa; ikiwa hii haifanyiki. basi thamani ya nambari hii ni 9.
Hebu tufafanue hoja hizi kwa kutumia mfano ule ule wa kutoa mzizi wa mraba wa tano.
Kwanza tunapata thamani ya tarakimu ya vitengo. Tutapitia maadili 0, 1, 2, ..., 9, kuhesabu 0 2, 1 2, ..., 9 2, mtawaliwa, hadi tupate thamani kubwa kuliko nambari kali 5. Ni rahisi kuwasilisha mahesabu haya yote kwa namna ya meza: 
Kwa hivyo thamani ya nambari ya vitengo ni 2 (tangu 2 2<5
, а 2 3 >5). Wacha tuendelee kutafuta thamani ya mahali pa kumi. Katika kesi hii, tutaweka mraba nambari 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, kulinganisha maadili yanayotokana na nambari kali 5: 
Tangu 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, basi thamani ya nafasi ya kumi ni 2. Unaweza kuendelea kutafuta thamani ya sehemu ya mia: 
Hivi ndivyo thamani inayofuata ya mzizi wa tano ilipatikana, ni sawa na 2.23. Na kwa hivyo unaweza kuendelea kupata maadili: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua uchimbaji wa mizizi kwa usahihi wa mia kwa kutumia algorithm inayozingatiwa.
Kwanza tunaamua nambari muhimu zaidi. Ili kufanya hivyo, tunapunguza nambari 0, 10, 100, nk. mpaka tupate idadi kubwa zaidi ya 2,151,186. Tuna 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , kwa hivyo tarakimu muhimu zaidi ni tarakimu ya makumi.
Wacha tuamue thamani yake. 
Tangu 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, basi thamani ya mahali pa kumi ni 1. Wacha tuendelee kwenye vitengo. 
Kwa hivyo, thamani ya nambari moja ni 2. Wacha tuendelee kwenye sehemu ya kumi. 
Kwa kuwa hata 12.9 3 ni chini ya nambari kali 2 151.186, basi thamani ya nafasi ya kumi ni 9. Inabakia kufanya hatua ya mwisho ya algorithm; itatupa thamani ya mzizi kwa usahihi unaohitajika. 
Katika hatua hii, thamani ya mzizi hupatikana kwa usahihi hadi mia: 
.
Kwa kumalizia makala hii, ningependa kusema kwamba kuna njia nyingine nyingi za kuchimba mizizi. Lakini kwa kazi nyingi, zile tulizosoma hapo juu zinatosha.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: kitabu cha maandishi kwa darasa la 8. taasisi za elimu.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).
Kuinua nambari hadi nguvu ni njia fupi ya kuandika operesheni ya kuzidisha nyingi, ambapo mambo yote ni sawa na nambari asili. Na kuchimba mzizi kunamaanisha operesheni ya kinyume - kuamua sababu ambayo lazima ihusishwe katika utendakazi wa kuzidisha mara nyingi ili matokeo yake ni nambari kali. Kipeo na kipeo mzizi zinaonyesha kitu kimoja - ni mambo ngapi yanapaswa kuwa katika operesheni kama hiyo ya kuzidisha.
Utahitaji
- Ufikiaji wa Mtandao.
Maagizo
- Iwapo unahitaji kutumia utendakazi wote wa kutoa mzizi na kuuinua hadi kwa nguvu kwa nambari au usemi, punguza shughuli zote mbili kuwa moja - kuinua hadi nguvu na kipeo cha sehemu. Nambari ya sehemu lazima iwe na kielelezo, na denominator lazima iwe na mzizi. Kwa mfano, ikiwa unahitaji mraba mraba mzizi, basi shughuli hizi mbili zitakuwa sawa na moja kuongeza nambari hadi ⅔ nguvu.
- Ikiwa hali zinahitaji squaring mzizi na kielelezo sawa na mbili, hii sio kazi ya kuhesabu, lakini mtihani wa ujuzi wako. Tumia njia kutoka hatua ya kwanza na utapata sehemu 2/2, i.e. 1. Hii ina maana kwamba matokeo ya squaring mzizi wa mraba wa idadi yoyote itakuwa kwamba idadi yenyewe.
- Mraba ikiwa ni lazima mzizi na kielelezo hata, daima kuna uwezekano wa kurahisisha operesheni. Kwa kuwa mbili (nambari ya kielelezo cha sehemu) na nambari yoyote hata (denominator) ina kigawanyiko cha kawaida, basi baada ya kurahisisha sehemu hiyo, moja itabaki kwenye nambari, ambayo inamaanisha kuwa hakuna haja ya kuongeza nguvu katika mahesabu, inatosha kuchimba mzizi na nusu ya kipeo. Kwa mfano, squaring mizizi ya sita ya nane inaweza kupunguzwa kwa kuchimba mchemraba mizizi kutoka humo, kwa sababu 2/6=1/3.
- Ili kuhesabu matokeo kwa kipeo chochote cha mizizi, tumia, kwa mfano, calculator iliyojengwa kwenye injini ya utafutaji ya Google. Labda hii ndiyo njia rahisi zaidi ya kufanya malipo ikiwa una ufikiaji wa Mtandao kutoka kwa kompyuta yako. Kibadala kinachokubalika kwa ujumla cha ishara ya utendakazi wa ufafanuzi ni "kifuniko" hiki: ^. Itumie unapoingiza hoja ya utafutaji kwenye Google. Kwa mfano, ikiwa unataka mraba mzizi nguvu ya tano kutoka kwa nambari 750, tengeneza swali kama ifuatavyo: 750^(2/5). Baada ya kuiingiza, injini ya utafutaji, hata bila kushinikiza kitufe cha kutuma kwa seva, itaonyesha matokeo ya hesabu sahihi kwa maeneo saba ya decimal: 750 ^ (2 / 5) = 14.1261725.
Mara nyingi, wakati wa kutatua shida, tunakabiliwa na idadi kubwa ambayo tunahitaji kutoa Kipeo. Wanafunzi wengi huamua kuwa hili ni kosa na kuanza kusuluhisha tena mfano mzima. Kwa hali yoyote usifanye hivi! Kuna sababu mbili za hii:
- Mizizi ya idadi kubwa huonekana katika matatizo. Hasa katika maandishi;
- Kuna algorithm ambayo mizizi hii huhesabiwa karibu kwa mdomo.
Tutazingatia algorithm hii leo. Labda baadhi ya mambo yataonekana kutoeleweka kwako. Lakini ukizingatia somo hili, utapokea silaha yenye nguvu dhidi ya mizizi ya mraba.
Kwa hivyo, algorithm:
- Punguza mzizi unaohitajika juu na chini kwa nambari ambazo ni zidishi za 10. Kwa hivyo, tutapunguza safu ya utafutaji hadi nambari 10;
- Kutoka kwa nambari hizi 10, ondoa zile ambazo hakika haziwezi kuwa mizizi. Matokeo yake, nambari 1-2 zitabaki;
- Mraba nambari hizi 1-2. Yule ambaye mraba wake ni sawa na nambari ya asili itakuwa mzizi.
Kabla ya kuweka algorithm hii katika vitendo, hebu tuangalie kila hatua ya mtu binafsi.
Kizuizi cha mizizi
Kwanza kabisa, tunahitaji kujua kati ya nambari gani mizizi yetu iko. Inastahili sana kwamba nambari ziwe nyingi za kumi:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Tunapata mfululizo wa nambari:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Nambari hizi zinatuambia nini? Ni rahisi: tunapata mipaka. Chukua, kwa mfano, nambari 1296. Iko kati ya 900 na 1600. Kwa hiyo, mzizi wake hauwezi kuwa chini ya 30 na zaidi ya 40:
[Maelezo ya picha]
Jambo hilo hilo linatumika kwa nambari nyingine yoyote ambayo unaweza kupata mzizi wa mraba. Kwa mfano, 3364:
[Maelezo ya picha]Kwa hivyo, badala ya nambari isiyoeleweka, tunapata safu maalum ambayo mzizi wa asili uko. Ili kupunguza zaidi eneo la utafutaji, nenda kwenye hatua ya pili.
Kuondoa idadi dhahiri isiyo ya lazima
Kwa hivyo, tuna nambari 10 - wagombea wa mzizi. Tulizipata kwa haraka sana, bila kufikiri na kuzidisha changamano katika safu. Ni wakati wa kuendelea.
Amini usiamini, sasa tutapunguza idadi ya watahiniwa hadi wawili - tena bila hesabu ngumu! Inatosha kujua sheria maalum. Hii hapa:
Nambari ya mwisho ya mraba inategemea tu nambari ya mwisho nambari ya asili.
Kwa maneno mengine, angalia tu tarakimu ya mwisho ya mraba na tutaelewa mara moja ambapo nambari ya awali inaisha.
Kuna tarakimu 10 pekee zinazoweza kuja mahali pa mwisho. Wacha tujaribu kujua wanageuka kuwa nini wakati wa mraba. Angalia meza:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Jedwali hili ni hatua nyingine kuelekea kuhesabu mzizi. Kama unavyoona, nambari kwenye safu ya pili ziligeuka kuwa za ulinganifu kwa zile tano. Kwa mfano:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Kama unaweza kuona, nambari ya mwisho ni sawa katika visa vyote viwili. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, mzizi wa 3364 lazima uishie kwa 2 au 8. Kwa upande mwingine, tunakumbuka kizuizi kutoka kwa aya iliyotangulia. Tunapata:
[Maelezo ya picha] Mraba nyekundu zinaonyesha kuwa bado hatujui takwimu hii. Lakini mzizi uko katika safu kutoka 50 hadi 60, ambayo kuna nambari mbili tu zinazoisha kwa 2 na 8:
[Maelezo ya picha]Ni hayo tu! Kati ya mizizi yote inayowezekana, tuliacha chaguzi mbili tu! Na hii ni katika kesi ngumu zaidi, kwa sababu tarakimu ya mwisho inaweza kuwa 5 au 0. Na kisha kutakuwa na mgombea mmoja tu wa mizizi!
Mahesabu ya mwisho
Kwa hivyo, tumebakiza nambari 2 za wagombea. Unajuaje mizizi ni ipi? Jibu ni dhahiri: mraba nambari zote mbili. Ile yenye mraba inatoa nambari asilia itakuwa mzizi.
Kwa mfano, kwa nambari 3364 tulipata nambari mbili za watahiniwa: 52 na 58. Wacha tuziweke mraba:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.
Ni hayo tu! Ilibadilika kuwa mzizi ni 58! Wakati huo huo, ili kurahisisha mahesabu, nilitumia fomula ya mraba wa jumla na tofauti. Shukrani kwa hili, sikuhitaji hata kuzidisha nambari kwenye safu! Hii ni kiwango kingine cha uboreshaji wa hesabu, lakini, kwa kweli, ni hiari kabisa :)
Mifano ya kuhesabu mizizi
Nadharia ni, bila shaka, nzuri. Lakini hebu tuangalie kwa vitendo.
[Maelezo ya picha]
Kwanza, hebu tujue kati ya nambari gani nambari 576 iko:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Sasa hebu tuangalie nambari ya mwisho. Ni sawa na 6. Hii inatokea lini? Ikiwa tu mzizi unaisha kwa 4 au 6. Tunapata nambari mbili:
Kilichobaki ni kuweka mraba kila nambari na kuilinganisha na asili:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Kubwa! Mraba wa kwanza uligeuka kuwa sawa na nambari asili. Kwa hivyo huu ndio mzizi.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
1369 → 9;
33; 37.
Mraba:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.
Jibu ni hili: 37.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
2704 → 4;
52; 58.
Mraba:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Tulipokea jibu: 52. Nambari ya pili haitahitaji tena kuwa mraba.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
4225 → 5;
65.
Kama unaweza kuona, baada ya hatua ya pili kuna chaguo moja tu iliyobaki: 65. Huu ndio mzizi unaotaka. Lakini wacha tuifanye mraba na tuangalie:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Kila kitu ni sahihi. Tunaandika jibu.
Hitimisho
Ole, hakuna bora. Hebu tuangalie sababu. Kuna mawili kati yao:
- Katika mtihani wowote wa kawaida wa hisabati, uwe Mtihani wa Jimbo au Mtihani wa Jimbo la Umoja, matumizi ya vikokotoo ni marufuku. Na ukileta kikokotoo darasani, unaweza kufukuzwa kwa urahisi nje ya mtihani.
- Usiwe kama Wamarekani wajinga. Ambayo sio kama mizizi - haiwezi kuongeza nambari mbili kuu. Na wanapoona sehemu, kwa ujumla huwa na wasiwasi.
Hisabati ilianza wakati mwanadamu alipojitambua na kuanza kujiweka kama kitengo cha uhuru cha ulimwengu. Tamaa ya kupima, kulinganisha, kuhesabu kile kinachokuzunguka ndiyo inayosisitiza moja ya sayansi za kimsingi za siku zetu. Hapo awali, hizi zilikuwa chembe za hesabu za kimsingi, ambazo zilifanya iwezekane kuunganisha nambari na misemo yao ya mwili, baadaye hitimisho zilianza kuwasilishwa tu kinadharia (kwa sababu ya uondoaji wao), lakini baada ya muda, kama mwanasayansi mmoja alivyosema, " hisabati ilifikia upeo wa utata walipotoweka kutoka kwayo." nambari zote." Dhana ya "mizizi ya mraba" ilionekana wakati inaweza kuungwa mkono kwa urahisi na data ya majaribio, kwenda zaidi ya ndege ya mahesabu.
Ambapo yote yalianzia
Kutajwa kwa kwanza kwa mzizi, ambao kwa sasa hufafanuliwa kama √, ilirekodiwa katika kazi za wanahisabati wa Babeli, ambao waliweka msingi wa hesabu ya kisasa. Bila shaka, walikuwa na kufanana kidogo na fomu ya sasa - wanasayansi wa miaka hiyo walitumia kwanza vidonge vya bulky. Lakini katika milenia ya pili KK. e. Walipata fomula ya hesabu iliyokadiriwa ambayo ilionyesha jinsi ya kutoa mzizi wa mraba. Picha hapa chini inaonyesha jiwe ambalo wanasayansi wa Babeli walichonga mchakato wa kutoa √2, na ikawa sahihi sana kwamba tofauti katika jibu ilipatikana tu katika nafasi ya kumi ya decimal.
Kwa kuongeza, mizizi ilitumiwa ikiwa ni lazima kupata upande wa pembetatu, ikiwa ni pamoja na kwamba wengine wawili walijulikana. Kweli, wakati wa kutatua hesabu za quadratic, hakuna njia ya kutoroka kutoka kwa kuchimba mzizi.
Pamoja na kazi za Babeli, lengo la makala hiyo pia lilisomwa katika kitabu cha Kichina “Hisabati katika Vitabu Tisa,” na Wagiriki wa kale walifikia mkataa kwamba nambari yoyote ambayo mzizi huo hauwezi kutolewa bila salio hutoa matokeo yasiyo na maana. .
Asili ya neno hili inahusishwa na uwakilishi wa Kiarabu wa nambari: wanasayansi wa zamani waliamini kuwa mraba wa nambari ya kiholela hukua kutoka kwa mzizi, kama mmea. Kwa Kilatini, neno hili linasikika kama radix (unaweza kufuata muundo - kila kitu ambacho kina maana ya "mizizi" ni konsonanti, iwe radish au radiculitis).
Wanasayansi wa vizazi vilivyofuata walichukua wazo hili, na kulitaja kama Rx. Kwa mfano, katika karne ya 15, ili kuonyesha kwamba mzizi wa mraba wa nambari ya kiholela a ulichukuliwa, waliandika R 2 a. "Jibu", inayojulikana kwa macho ya kisasa, ilionekana tu katika shukrani ya karne ya 17 kwa Rene Descartes.
Siku zetu
Katika maneno ya hisabati, mzizi wa mraba wa nambari y ni nambari z ambayo mraba wake ni sawa na y. Kwa maneno mengine, z 2 =y ni sawa na √y=z. Walakini, ufafanuzi huu ni muhimu tu kwa mzizi wa hesabu, kwani inamaanisha thamani isiyo hasi ya usemi. Kwa maneno mengine, √y=z, ambapo z ni kubwa kuliko au sawa na 0.
Kwa ujumla, ambayo inatumika katika kubainisha mzizi wa aljebra, thamani ya usemi inaweza kuwa chanya au hasi. Kwa hivyo, kutokana na ukweli kwamba z 2 =y na (-z) 2 =y, tuna: √y=±z au √y=|z|.
Kutokana na ukweli kwamba upendo wa hisabati umeongezeka tu na maendeleo ya sayansi, kuna maonyesho mbalimbali ya upendo kwa hiyo ambayo hayajaonyeshwa katika mahesabu kavu. Kwa mfano, pamoja na matukio ya kupendeza kama Siku ya Pi, likizo za mizizi ya mraba pia huadhimishwa. Wanaadhimishwa mara tisa kila baada ya miaka mia moja, na imedhamiriwa kulingana na kanuni ifuatayo: nambari zinazoonyesha ili siku na mwezi lazima iwe mizizi ya mraba ya mwaka. Kwa hivyo, wakati ujao tunapoadhimisha likizo hii ni Aprili 4, 2016.
Sifa za mzizi wa mraba kwenye shamba R
Takriban usemi wote wa hisabati una msingi wa kijiometri, na √y, ambayo inafafanuliwa kama upande wa mraba wenye eneo y, haijaepuka hatima hii.
Jinsi ya kupata mzizi wa nambari?
Kuna algorithms kadhaa za hesabu. Rahisi zaidi, lakini wakati huo huo ni ngumu sana, ni hesabu ya kawaida ya hesabu, ambayo ni kama ifuatavyo.
1) kutoka kwa nambari ambayo mzizi wake tunahitaji, nambari zisizo za kawaida hutolewa kwa zamu - hadi salio kwenye pato ni chini ya ile iliyopunguzwa au hata sawa na sifuri. Idadi ya hatua hatimaye itakuwa nambari inayotakiwa. Kwa mfano, kuhesabu mzizi wa mraba wa 25:
Nambari isiyo ya kawaida inayofuata ni 11, iliyobaki ni: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Kwa visa kama hivyo kuna upanuzi wa safu ya Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , ambapo n inachukua maadili kutoka 0 hadi
+∞, na |y|≤1.
Uwakilishi wa mchoro wa chaguo za kukokotoa z=√y
Hebu tuzingatie kipengele cha msingi cha kukokotoa z=√y kwenye uga wa nambari halisi R, ambapo y ni kubwa kuliko au sawa na sifuri. Ratiba yake inaonekana kama hii:
Curve hukua kutoka kwa asili na lazima kuingiliana na uhakika (1; 1).
Sifa za chaguo za kukokotoa z=√y kwenye sehemu ya nambari halisi R
1. Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazozingatiwa ni muda kutoka sifuri hadi plus infinity (sifuri imejumuishwa).
2. Aina mbalimbali za thamani za chaguo za kukokotoa zinazozingatiwa ni muda kutoka sifuri hadi plus infinity (sifuri imejumuishwa tena).
3. Kazi inachukua thamani yake ya chini (0) tu kwa uhakika (0; 0). Hakuna thamani ya juu zaidi.
4. Chaguo za kukokotoa z=√y si sawa wala isiyo ya kawaida.
5. Chaguo za kukokotoa z=√y si za mara kwa mara.
6. Kuna sehemu moja tu ya makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa z=√y na mihimili ya kuratibu: (0; 0).
7. Sehemu ya makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa z=√y pia ni sufuri ya chaguo hili la kukokotoa.
8. Kitendaji z=√y kinaendelea kukua.
9. Kazi z=√y inachukua maadili mazuri tu, kwa hiyo, grafu yake inachukua angle ya kwanza ya kuratibu.
Chaguo za kuonyesha chaguo za kukokotoa z=√y
Katika hisabati, ili kuwezesha hesabu ya maneno changamano, aina ya nguvu ya kuandika mizizi ya mraba wakati mwingine hutumiwa: √y=y 1/2. Chaguo hili linafaa, kwa mfano, katika kuinua kitendakazi hadi kwa nguvu: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Njia hii pia ni uwakilishi mzuri wa kutofautisha na ujumuishaji, kwani shukrani kwake mzizi wa mraba unawakilishwa kama kazi ya kawaida ya nguvu.
Na katika programu, kuchukua nafasi ya ishara √ ni mchanganyiko wa herufi sqrt.
Ni muhimu kuzingatia kwamba katika eneo hili mzizi wa mraba unahitajika sana, kwa kuwa ni sehemu ya fomula nyingi za kijiometri zinazohitajika kwa mahesabu. Algorithm ya kuhesabu yenyewe ni ngumu sana na inategemea kujirudia (kazi inayojiita yenyewe).
Mzizi wa mraba katika uwanja tata C
Kwa kiasi kikubwa, ilikuwa mada ya nakala hii ambayo ilichochea ugunduzi wa uwanja wa nambari ngumu C, kwani wanahisabati waliteswa na swali la kupata mzizi hata wa nambari hasi. Hivi ndivyo kitengo cha kufikiria nilivyoonekana, ambacho kina sifa ya mali ya kuvutia sana: mraba wake ni -1. Shukrani kwa hili, equations za quadratic zilitatuliwa hata kwa ubaguzi mbaya. Katika C, mali sawa ni muhimu kwa mzizi wa mraba kama katika R, jambo pekee ni kwamba vizuizi kwenye usemi mkali huondolewa.
Mizizi formula. Mali ya mizizi ya mraba.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Katika somo lililopita tuligundua mzizi wa mraba ni nini. Ni wakati wa kujua ni zipi zipo formula kwa mizizi ni nini mali ya mizizi, na nini kifanyike kwa haya yote.
Njia za mizizi, mali ya mizizi na sheria za kufanya kazi na mizizi- hii kimsingi ni kitu kimoja. Kuna njia chache za kushangaza za mizizi ya mraba. Ambayo hakika inanifurahisha! Au tuseme, unaweza kuandika formula nyingi tofauti, lakini kwa kazi ya vitendo na ya ujasiri na mizizi, tatu tu zinatosha. Kila kitu kingine kinatiririka kutoka kwa hizi tatu. Ingawa watu wengi huchanganyikiwa katika fomula tatu za mizizi, ndio ...
Wacha tuanze na rahisi zaidi. Huyu hapa:
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.