Kutatua milinganyo tofauti ya kistochastiki. Uchanganuzi wa mbinu za kiidadi za kusuluhisha milinganyo ya tofauti za kistochastiki

Sanaa ya Ereshko. F.,

Kituo cha Kompyuta kilichopewa jina lake. RAS,

Świętokrzyska Academy huko Kielce, Poland

UCHAMBUZI WA MBINU WAZI WA HESABU

SULUHU ZA STOKA

EQUATIONS TOFAUTI

Kanuni za msingi za kujenga njia za nambari za kutatua equations tofauti za stochastic (SDE) zinazingatiwa. Tatizo la ugumu wa mifumo ya CDS linachambuliwa. Kwa Ito SDE ya mwelekeo mmoja, usahihi wa kukadiria wa mbinu za nambari zilizo wazi hulinganishwa.

1. Utangulizi

Uchambuzi na awali ya mifumo ya nguvu ya stochastic mara nyingi huhusishwa na matumizi ya ufumbuzi wa nambari za SDEs. Kwa idadi ya kazi kama vile kuchuja, kitambulisho, utabiri na udhibiti bora, ushirikiano wa ufumbuzi wa nambari wa SDE lazima ufanyike kwa wakati halisi na, zaidi ya hayo, kwa usahihi na utulivu fulani. Katika suala hili, matatizo kadhaa hutokea. Kwa upande mmoja, SDE chache sana zina suluhu za uchanganuzi (zaidi hizi ni SDE za mstari zilizo na kelele ya kuongeza au kuzidisha au SDE zisizo za mstari zinazoweza kupunguzwa kwa zile za mstari), na kwa upande mwingine, sifa za kimwili za mifumo halisi ya nguvu husababisha udhihirisho wa rigidity. , ambayo ina athari isiyofaa kwenye ufumbuzi wa nambari unaosababishwa. Kwa hiyo, hatua muhimu hasa katika kubuni ya mfumo wa nguvu wa stochastic ni uchaguzi wa mpango wa ufumbuzi wa nambari wa SDE.

2. Kanuni za kujenga njia za ufumbuzi wa nambari

milinganyo ya tofauti ya stochastic

Hivi sasa, kuna mbinu kadhaa za kuunda mipango ya nambari ya kutatua SDE. Mojawapo ya uwezekano ni kurekebisha miradi iliyopo kwa mizunguko ya kawaida ya kutofautisha (ODCs) kwa kuzingatia mali ya viambatanisho vya stochastiki, nyingine ni kutengeneza njia maalum za kutatua ODE. Watafiti wengi hutumia mbinu ya kwanza, kwani nadharia ya suluhisho la nambari ya ODE imeendelezwa vizuri na ni rahisi sana kuchora mlinganisho kati ya ODE na SDE.

Njia rahisi zaidi ya kukadiria suluhisho la nambari la SDE (kutoka kwa maoni ya hesabu) ni njia ya Euler, iliyotengenezwa na Maruyama mnamo 1955. Mpango huu unakidhi mali nyingi muhimu zinazohitajika kwa njia za nambari (ina utaratibu wa kuunganishwa), lakini wakati huo huo ina idadi ya mapungufu (sio daima imara, kosa la takriban ni la juu kabisa, nk). Ili kuondoa mapungufu haya, na pia kuongeza mpangilio wa muunganisho wa skimu za nambari za kutatua SDE, utafiti umefanywa na bado unafanywa, maagizo ambayo yanaweza kuwasilishwa kwa njia ya mchoro (tazama Mtini. 1).

Kwa mlinganisho na ukuzaji wa skimu za suluhisho la nambari za ODE, ili kuongeza mpangilio wa muunganisho, usahihi wa makadirio na uthabiti, mtu anaweza kutumia upanuzi wa safu kwenye hatua ya makadirio, i.e., tumia derivatives ya maagizo anuwai, ya kutofautisha na ya kutofautisha. drift na mgawo wa uenezi. Katika fasihi, mbinu hii inaitwa njia ya Taylor. Hata hivyo, ubaya wa miradi ya Taylor ni kwamba katika kila hatua ya kukadiria ni muhimu kukokotoa viambatanisho vingi vya stochastiki vinavyohusishwa na derivatives hapo juu. Ili kuepuka matatizo ya kimahesabu, unaweza kutumia mgawanyiko mbalimbali wa hatua ya kukadiria (mbinu za Runge-Kutta) au matokeo ya ukadiriaji wa hatua za awali (mbinu za hatua nyingi).

Mifumo ya kawaida na ya stochastic ya milinganyo tofauti ambayo inaelezea matukio mengi ya kimwili, ya kibaiolojia au ya kiuchumi, wakati kompyuta inapoigwa kwa kutumia mifumo ya kawaida ya nambari, huonyesha tabia "isiyohitajika" na inaweza kuainishwa kama matatizo yaliyosababishwa. Katika hali nyingi, tabia "isiyohitajika" inahusu kutokuwa na utulivu wa juu sana wa ufumbuzi wa nambari, unaohusishwa na kinachojulikana kuwa uzushi wa rigidity. Kuna maelezo kadhaa yanayowezekana kwa jambo hili.

Sababu ya kwanza inahusishwa na uwezo wa kiufundi wa kompyuta. Kwa hiyo, ili kufikia usahihi uliotaka, unaweza kutumia mgawanyiko mbalimbali wa hatua ya kuunganisha. Kwa upande mmoja, hii inasababisha mkusanyiko wa makosa ya kuzunguka, na kwa sababu hiyo, kufurika kwa rejista za kompyuta hufanyika. Kwa upande mwingine, kutumia maadili madogo sana ya hatua ya ujumuishaji inahitaji rasilimali nyingi za wakati na pia husababisha mkusanyiko wa makosa ya kuzunguka. Sababu ya pili ni kuhusiana na upande wa kimwili wa mfumo unaozingatiwa. Hii ina maana kwamba mfumo unaelezea michakato ya kasi tofauti au gradient (hasa hii ni kawaida kwa matatizo yaliyotokana na ugonjwa). Jambo hili kawaida huonekana katika matatizo ya safu ya mpaka (hydrodynamics), athari ya ngozi (umeme), athari za kinetics za kemikali, nk Hatimaye, rigidity inaweza kusababishwa na sababu zote mbili. Kwa hiyo, wakati wa kuendeleza njia za nambari za imara, ni muhimu kuzingatia hali zilizo juu.

Mchanganuo wa fasihi ya kisasa umeonyesha kuwa uundaji wa njia za nambari za kutatua mifumo ngumu ni katika hali nyingi kulingana na maoni yaliyotolewa na Hairer na Wanner. Katika kazi zao, walisema kwamba mifumo ngumu haiwezi kutatuliwa kwa njia wazi na mbinu zilizowasilishwa kulingana na utumiaji wa njia zisizo wazi. Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba matumizi ya moja kwa moja ya njia hizi daima huhusishwa na utaratibu ngumu sana wa kuamua vigezo vya mzunguko, kwa kuzingatia eneo la utulivu lililotengwa tayari kwa mfumo unaozingatiwa. Hali hii hufanya mbinu zilizopendekezwa zisikubalike kwa programu nyingi zilizo hapo juu, lakini huturuhusu kuangazia sifa mbili muhimu za hisabati za uthabiti. Kwanza, mifumo yote ya rigid ina wigo mpana sana (au uwepo wa watoaji wa Lyapunov tofauti sana). Pili, kulingana na nadharia ya umoja na uwepo wa suluhisho, mifumo ngumu ina sifa ya maadili makubwa ya Lipschitz mara kwa mara.

Kwa hivyo, uchambuzi wa kanuni za kuunda mifumo ya nambari ya kutatua SDE imeonyesha hitaji la uchunguzi wa kina wa zilizopo na, ikiwezekana, kutafuta njia mpya wakati wa kutatua shida fulani.

3. Mipango ya nambari yenye nguvu ya wazi

Hebu tuandike SDE katika uwakilishi wa Ito kwa fomu ya jumla

wapi - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 height=28" height="28">; -https://pandia.ru/text/78/ 507/images/image009_18.gif" width="79 height=28" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - kazi zinazoendelea kutofautishwa mara mbili za kuteleza na kueneza - vekta ya dimensional ; vigezo.

Kupata ufumbuzi wa nguvu wa SDE (3.1) ni hatua muhimu katika matatizo mengi ya vitendo;

Hebu fikiria kesi ya kawaida katika fasihi ya kifedha - kesi ya equation moja-dimensional (3.1), kwa kutumia mipango ifuatayo: Euler, Milstein, Taylor, Runge-Kutta na hatua mbili. Katika kesi ya mwelekeo mmoja, mpango wa Euler una fomu:

Wapi Na (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">, inaonekana kama

Mpango wa agizo la Taylor https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" height="212"> (3.4)

na mpango wa utaratibu wa hatua mbili:

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" height="52 src=">

Mpango wa Runge-Kutta, ambapo mpangilio wa muunganisho https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" height="28 src=">.gif" width="345" height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> na suluhisho la uchanganuzi la SDE (3.1) mwishoni mwa muda wa ujumuishaji DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

yuko wapi mwendeshaji wa matarajio ya hisabati.

Hebu tubadilishe thamani ya kinadharia ya kigezo cha "kosa kabisa" (4.1) na analogi yake ya takwimu, kulingana na simulation ya Monte Carlo..gif" width="44" height="28">..gif" width="29" urefu="27 src" =">, kisha analogi ya takwimu ya kigezo (4.1) ni

(4.2)

Wacha tulinganishe miradi iliyo hapo juu kwa kutumia kigezo cha makosa kabisa. Kama mfano wa jaribio la kwanza, tunasoma SDE ya mstari yenye coefficients ya homogeneous mara kwa mara

ambaye suluhisho lake la uchanganuzi lina fomu

.

Mfano wa pili wa jaribio ni Ito SDE isiyo ya mstari ya fomu

na kazi inayoweza kutofautishwa na suluhisho la jumla

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" height="57 src=">.

Hasa, kwa equation

(4.4)

kuna suluhisho la uchambuzi

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" height="19">, idadi ya trajectories na usahihi wa kukadiria (4.2). Matokeo ya hesabu yametolewa katika jedwali la 1 – 3, Hebu tuzichambue kwa kutumia kigezo cha wastani (4.2).

Kwa milinganyo ya jaribio la kwanza na la pili (tazama Jedwali 1 na Jedwali 2), urefu wa hatua ya ujumuishaji unavyopungua na mpangilio wa muunganisho wa mpango wa nambari unavyoongezeka, usahihi wa kukadiria huongezeka kwa mifumo yote ya nambari inayochunguzwa.

Hata hivyo, hii haiwezi kusema katika kesi ya tatu, ambayo iliwakilisha SDE rigid (tazama Jedwali 3). Iliwezekana kuhesabu thamani ya kosa kamili kwa michanganyiko yote ya urefu wa hatua ya ujumuishaji na idadi ya trajectories tu kwa mpango wa Euler na mpango wa hatua mbili.

Jedwali 1. Usahihi wa ukadiriaji wa suluhu ya nambari ya mlinganyo (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

Mpango	Urefu wa hatua ya ujumuishaji,
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta

Kwa saketi za Milstein, Taylor na Runge-Kutta katika , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" height="23">, , , ) rejista kufurika ilitokea, ambayo ilifanya kuwa haiwezekani kufanya mahesabu zaidi.

Kwa hivyo, inaweza kuzingatiwa kuwa, tofauti na ODE, wakati wa kuunganisha kwa nambari suluhisho la SDE ngumu, mtu anapaswa kutumia njia "rahisi" za suluhisho la wazi, i.e., epuka njia zinazotumia mgawanyiko mwingi wa hatua ya makadirio au derivatives ya kazi za kuteleza na kueneza. . Ikiwa kuna hitaji la suluhisho la nambari la SDE katika kazi kama vile kuchuja au kutambua vigezo vya SDE kwa kutumia utaratibu wa Monte Carlo, urefu wa hatua unaopendekezwa ni DIV_ADBLOCK222">

Jedwali 2. Usahihi wa ukadiriaji wa suluhu ya nambari ya equation (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" height="25 src=">)

Mpango	Urefu wa hatua ya ujumuishaji,
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta

Jedwali 3. Usahihi wa makadirio ya suluhisho la nambari ya equation

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" height="20 src=">.gif" width="100" height="25 src="> )

mpango	urefu wa hatua ya ujumuishaji,
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta
Milshtein
hatua mbili
Runge-Kutta Fasihi 1. Oksendal B. Milinganyo ya tofauti ya Stochastic. Berlin: Springer, 2000. 2. , Njia za kutatua shida zinazowezekana. M.: Nauka, 1986. 3. Kloden P. E., Platen E. Suluhisho la nambari la Milinganyo ya Tofauti ya Stochastic. Berlin: Springer, 1999. 4. Burrage K., Tian T. Mbinu sahihi za Runge-Kutta za milinganyo ngumu ya stochastic // Mawasiliano ya Fizikia ya Kompyuta. 2001. V. 142. P. 186 - 190. 5. Burrage K., Burrage P., Mitsui T. Ufumbuzi wa nambari za hesabu za tofauti za stochastic - maswala ya utekelezaji na utulivu // Jarida la hisabati ya hesabu na inayotumika. 2000. V. 125. P. 171 - 182. 6. Kuznetsov D. F. Mbinu za nambari zenye nguvu za hatua tatu za maagizo ya usahihi 1.0 na 1.5 kwa milinganyo ya kutofautisha ya Ito Stochastic // Jarida la Sayansi ya Kiotomatiki na Habari. 2002. V. 34. No. 12. P. 22 - 35. 7. Faida JG., Lyons T.J. Udhibiti wa ukubwa wa hatua unaobadilika katika suluhu la nambari la milinganyo tofauti ya kistochastiki // Jarida la SIAM la Hisabati Inayotumika. 1997. V. 57. No. 5. P. 1455 - 1484. 8. Nywele E., Wanner G. Kutatua Milinganyo ya Kawaida ya II: Matatizo magumu na ya Tofauti ya Aljebra. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 9. Lamberton D., Lapeyre B. Utangulizi wa hesabu ya stochastiki inayotumika kwa fedha. London: Chapman na Hall. 2000. 10. Shiryaev A.N. Misingi ya hisabati ya kifedha ya stochastic. M.: FAZIS, 1998. 11. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Mbinu zilizosawazishwa zisizo wazi za mifumo migumu ya stochastiki // Jarida la SIAM la Uchambuzi wa Nambari. 1998. V. 35. P. 1010 - 1019. 12. Filatova D., Grzywaczewski M., McDonald D. Kukadiria vigezo vya milinganyo tofauti ya stokastiki kwa kutumia chaguo za kukokotoa za kigezo kulingana na takwimu za Kolmogorov-Smirnov // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. V. 8. - P. 93 - 99. 13. Nielsen J. N., Madsen H. Utumiaji wa EKF kwa milinganyo tofauti ya stochastic na athari za kiwango // Automatica. 2001. V. 37. P. 107 - 112. 14. Nielsen J. N., Madsen H., Young P. C. Ukadiriaji wa parametric katika milinganyo tofauti ya stochastic: muhtasari // Mapitio ya Kila Mwaka katika Udhibiti. 2000. V. 24. P. 83 - 94.

Wacha turudi kwenye mlingano wa nguvu wa mpangilio wa kwanza (mfumo wenye digrii 1/2 za uhuru), mfano ambao ulikuwa mlinganyo wa kushuka kwa kiwango kidogo cha amplitude katika kioscillator binafsi [fomula ya kwanza (29.1)], yaani, mlinganyo ya fomu

Tunashughulika na mlinganyo sawa katika matatizo kuhusu kasi na mwendo wa mwelekeo mmoja wa chembe ya wingi katika wastani na msuguano wa KINATACHO, au kuhusu uhamishaji wa chembe hii, lakini isiyo na wingi na iliyofungwa kwenye chemchemi yenye mgawo wa elasticity, au kuhusu voltage V juu ya capacitance-mzunguko, au kuhusu sasa mimi katika mzunguko, nk.

Kwa mujibu wa kile kilichosemwa katika § 28, tunatarajia kwamba wakati mfumo unaobadilika (35.1) utakapotekelezwa kwa "mnene" wa kutosha (ikilinganishwa na wakati wa kuanzisha) mishtuko ya homogeneous, jibu litakuwa sawa.

Mchakato wa Markov wenye uwezekano wa mpito unaotosheleza mlingano wa Einstein-Fokker

yaani, equation (29.2), lakini katika kesi moja-dimensional, wakati hakuna utegemezi wa v juu ya kutofautiana kwa pili. Kulingana na mbinu iliyohamasishwa katika § 28, mgawo katika (35.2) ni sawa na usemi wa x, yaani, upande wa kulia wa mlinganyo (35.1):

Chini ya hali ya awali

suluhisho la equation (35.2) linaonyeshwa na sheria ya kawaida

[sentimita. (29.5) na (29.6)]. Katika kikomo katika , yaani kwa t, fomula (35.3) inabadilika kuwa usambazaji wa stationary usiotegemea . Katika shida ya kasi na chembe katika kati ya viscous, wakati usambazaji lazima uwe Maxwellian:

kwa hivyo kutoka ambapo misemo sawa ya B inaweza kuandikwa katika shida zilizobaki zilizoorodheshwa hapo juu - tu kama tokeo la nadharia ya mgawanyo wa nishati juu ya digrii za uhuru: wastani wa nishati ya mfumo na 1/2 digrii ya uhuru inapaswa kuwa sawa. kwa (katika kesi hii

Hii ni, chini ya mawazo ya awali yaliyofanywa, mpango wa uwezekano wa kutatua tatizo la kushuka kwa thamani. Sasa tutafanya mambo kwa njia tofauti. Wacha tuanzishe nguvu ya nasibu (au mabadiliko) katika mlinganyo (35.1):

Ikiwa, kwa ajili ya maalum, tunajadili tatizo la mwendo wa chembe katika njia isiyo na kikomo ya viscous, basi tunazungumzia juu ya equation ya mwendo.

ambayo ushawishi wa mazingira kwenye chembe umegawanywa katika sehemu mbili: nguvu ya msuguano wa utaratibu na nguvu ya nasibu

Kwa kuchukulia kuwa nguvu ya msuguano ya utaratibu inaonyeshwa na sheria ya Stokes (kwa chembe ya duara ya radius a tuna , ambapo mnato wa kioevu), tunatoa mawazo mawili.

Kwanza, hali ya mtiririko wa lamina karibu na chembe lazima itimizwe, i.e., nambari ya Reynolds ni ndogo:

msongamano wa kioevu uko wapi. Ikiwa kwa na tunachukua thamani ya mzizi wa kasi ya mraba ya mwendo wa joto [na ni msongamano wa dutu ya chembe], yaani, kuzingatia mitetemo ya haraka zaidi ya chembe, basi

Saa tuna hiyo hata kwa saizi za Masi inatoa thamani Kwa hivyo, hali ya laminarity imeridhika.

Pili, jumla ya nguvu ya kimfumo inayofanya kazi kwenye mpira unaosonga kwenye giligili isiyoweza kubatilika ni sawa, kulingana na Bussinet,

iko wapi misa iliyoongezwa, sawa na nusu ya misa iliyohamishwa na chembe ya kioevu. Katika mlinganyo (35.6), muhula wa kwanza pekee ndio unaobaki kutoka kwa jumla ya nguvu F. Lakini wakati maneno ya pili na ya tatu yana mpangilio sawa na. Kwa uhusiano, hii sio muhimu, kwani jukumu la neno hili limepunguzwa tu kwa mabadiliko katika wingi wa ufanisi wa chembe. Muhimu zaidi ni neno la tatu, ambalo linaonyesha athari ya hydrodynamic ya viscous (tazama §§ 15 na 21), inapozingatiwa, mfumo hupata idadi isiyo na kipimo ya digrii za uhuru.

Kwa uwepo wa athari ya viscous (na hivyo inayowezekana), uhamishaji wa wastani wa chembe ulipatikana na V.V. Terletsky. Usemi wa kawaida unageuka kuwa halali kwa vipindi vya muda tu ambavyo ni vikubwa vya kutosha ikilinganishwa na wakati wa kupumzika Tutajiwekea uundaji uliorahisishwa wa tatizo kulingana na mlingano (35.5).

Tutachukulia mlingano huu wa stochastic kana kwamba ni mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha.

Kuiunganisha chini ya hali ya awali tunayopata

Kwa kuwa, kwa kudhaniwa, wastani (35.7) juu ya mkusanyiko wa vikosi vya nasibu hutoa

yaani, kwa x sheria inayobadilika inapatikana kama kutoka kwa mlinganyo (35.1) na kutoka kwa mlinganyo wa Einstein-Fokker (35.2). Wacha sasa tupate tofauti. Kulingana na (35.7) na (35.8)

na, kwa hivyo, ili kuipata ni muhimu kuweka kitendakazi cha uunganisho wa nguvu nasibu. Unaweza kutaja kazi yoyote ya uunganisho inayoruhusiwa na vizuizi vya jumla vya fomu yake, lakini tutafanya dhana maalum, ambayo ni, tutafikiria kuwa mchakato unaohusiana na delta-stationary:

ambapo C ni mara kwa mara. Kumbuka kwamba kwa hivyo msukumo wa nguvu

ni chaguo za kukokotoa zisizo nasibu zenye nyongeza zinazojitegemea na kwa hivyo kwa kawaida husambazwa kwa t yoyote (§ 34).

Kubadilisha (35.10) hadi (35.9), tunapata

(35.11)

Ikiwa tutaweka , basi hii itaambatana na usemi (35.4) kwa kupatikana kutoka kwa usawa wa Einstein-Fokker (35.2).

Tulipata muda mfupi tu, lakini mengi zaidi yanaweza kusemwa. Kwa kuwa ongezeko la kasi husambazwa kawaida kwa thamani yoyote ile, tofauti ni, kulingana na (35.7), jumla (au, kwa usahihi zaidi, kikomo cha jumla) cha kiasi kinachosambazwa kawaida. Kwa hivyo, usambazaji pia hutolewa na sheria ya Gaussian na utawanyiko (35.11). Usambazaji huu wa masharti (mradi ) unalingana tu na (35.3). Zaidi ya hayo, ni rahisi kuthibitisha kwa uingizwaji wa moja kwa moja kwamba uwezekano wa masharti wa aina hii unakidhi equation ya Smoluchowski (ni uwezekano wa mpito), yaani, mchakato unageuka kuwa Markovian. Kwa hivyo, ikiwa katika usawa wa tofauti wa stochastic (35.5) nguvu ya nasibu ) ni ya stationary na inayohusiana na delta [tazama. (35.10)], basi jibu ni mtawanyiko wa mchakato wa Markov ambao uwezekano wake wa mpito unakidhi mlinganyo wa Einstein-Fokker na

Mbinu zote mbili - kulingana na mlinganyo wa Einstein-Fokker na kulingana na mlinganyo wa tofauti wa kistochastiki kwa chaguo za kukokotoa nasibu - zinageuka kuwa sawa katika tatizo linalozingatiwa. Hii, bila shaka, haimaanishi kuwa wanafanana zaidi ya kazi hii. Equation ya Einstein-Fokker ina, kwa mfano, faida isiyo na shaka katika hali ambapo vizuizi fulani vimewekwa kwa seti ya maadili yanayowezekana ya kazi ya nasibu (uwepo wa kutafakari au kunyonya kuta, nk), ikizingatiwa tu na masharti ya mipaka inayolingana. Katika uundaji wa Langevin wa tatizo, kuanzisha vikwazo vile ni vigumu sana. Kwa upande mwingine, kama ilivyosisitizwa tayari, njia ya Langevin haihitaji kwamba nguvu ihusishwe na delta.

Labda inafaa kuzingatia kwamba haswa katika kesi ya nguvu inayohusiana na delta, inayofanya kazi na mlinganyo wa kutofautisha (35.5) ina, kwa maana fulani, tabia ya masharti. Mlinganyo huu haujaandikwa kwa x, lakini kwa thamani ya papo hapo . Lakini kwa mshtuko wa mara kwa mara, majibu sio kazi inayoweza kutofautishwa, ambayo ni, haipo (kwa maana yoyote ya uwezekano wa dhana ya derivative). Kwa hivyo, "mlinganyo tofauti" wote una maana fulani tu ya ishara. Hii lazima ieleweke kama ifuatavyo.

Ujumuishaji rasmi wa equation (35.5) husababisha suluhisho (35.7) kwa , ambayo haina shida tena kwani ina dila inayohusiana na delta chini ya kiunganishi. Kwa maneno mengine, mlinganyo (35.5) ni

hii (katika kesi ya nguvu inayohusiana na delta inayozingatiwa) ni nukuu isiyo sahihi ya kihisabati kwa inayofuata - ambayo tayari ina maana kabisa na, mwishowe, pekee ya kupendeza kwetu - suluhisho la mlingano huu. Uhalali wa mbinu hii ni faida zinazojulikana za kufanya kazi na hesabu za kutofautisha wakati wa kuunda shida - uwezo wa kuendelea kutoka kwa sheria za jumla zinazobadilika, uwezo wa kutumia safu nzima ya zana za hesabu kupata suluhisho, nk. bila hata kuzungumza juu ya ukweli kwamba kutoridhishwa kwa kila kitu kisicho na uhusiano wa delta huwa sio lazima: hesabu za kutofautisha za kazi za nasibu zenyewe basi hupata yaliyomo kabisa ya kihesabu na, zaidi ya hayo, ruhusu mtu kupita zaidi ya darasa la michakato ya Markov.

C ya mara kwa mara katika utendaji wa uunganisho (35.10) ni wazi inaangazia ukubwa wa mishtuko isiyo ya kawaida. Wacha turudi kwenye vigeuzo ambavyo nguvu na mwitikio wa mfumo huunganishwa kwa nguvu, ambayo ni, bidhaa ya nguvu na derivative ya majibu inawakilisha nguvu iliyotolewa kwa mfumo. Hii ni kweli, kwa mfano, kwa nguvu katika equation (35.6), kwani nguvu iliyohamishwa kwa chembe ni sawa na . Equation (35.6) inakuwa (35.5), ikigawanywa na wingi wa chembe m Kwa hivyo, kazi ya uunganisho wa nguvu iliyopo kwa mujibu wa (35.10) ni sawa na

Tulianzisha juu ya nini na nini katika shida ya kasi ya chembe ya Brownian. Kwa hiyo, C mara kwa mara katika kazi ya uwiano wa nguvu ni sawa na

yaani, inahusishwa tu na mgawo wa msuguano wa utaratibu h. Katika tatizo la sasa katika mzunguko, ni lazima tuelewe mafuta ya nasibu (§ 28), na h upinzani hai wa mzunguko R, hivyo uwiano wa mara kwa mara utakuwa.

Equation ya tofauti ya Stochastic(SDE) - equation tofauti ambayo maneno moja au zaidi ni ya asili ya stochastic, yaani, wanawakilisha mchakato wa stochastic (jina lingine ni mchakato wa random). Kwa hivyo, suluhisho za equation pia zinageuka kuwa michakato ya stochastic. Mfano maarufu na unaotumiwa mara kwa mara wa SDE ni mlinganyo wenye neno linaloelezea kelele nyeupe (ambayo inaweza kuchukuliwa kuwa mfano wa derivative ya mchakato wa Wiener). Walakini, kuna aina zingine za mabadiliko ya nasibu, kama vile mchakato wa kuruka (kwa maelezo zaidi, ona).

Hadithi

Katika fasihi, matumizi ya kwanza ya SDE ni jadi yanayohusiana na kazi juu ya maelezo ya mwendo wa Brownian, uliofanywa kwa kujitegemea na Marian Smoluchowski (g.) na Albert Einstein (g.). Hata hivyo, SDEs zilitumiwa mapema kidogo (miaka) na mtaalamu wa hisabati wa Kifaransa Louis Bouchelier katika tasnifu yake ya udaktari "Nadharia ya Mawazo". Kulingana na mawazo ya kazi hii, mwanafizikia wa Kifaransa Paul Langevin alianza kutumia SDE katika kazi za fizikia. Baadaye, yeye na mwanafizikia wa Urusi Ruslan Stratonovich walitengeneza uthibitisho mkali zaidi wa kihesabu kwa SDE.

Istilahi

Katika fizikia, SDE kwa kawaida huandikwa katika mfumo wa mlinganyo wa Langevin. Na mara nyingi, sio kwa usahihi kabisa, wanaiita equation ya Langevin yenyewe, ingawa SDE inaweza kuandikwa kwa njia zingine nyingi. SDE katika mfumo wa mlinganyo wa Langevin inajumuisha mlinganyo wa kawaida usio wa kistochastiki na sehemu ya ziada inayoelezea kelele nyeupe. Aina ya pili ya kawaida ni mlinganyo wa Fokker–Planck, ambao ni mlinganyo wa sehemu tofauti na unaelezea mabadiliko ya msongamano wa uwezekano baada ya muda. Aina ya tatu ya SDE hutumiwa mara nyingi zaidi katika hisabati na hisabati ya kifedha, inafanana na milinganyo ya Langevin, lakini imeandikwa kwa kutumia tofauti za stochastic (tazama maelezo hapa chini).

Hesabu ya Stochastic

Wacha, na wacha

Kisha equation ya tofauti ya stochastic kwa masharti ya awali yaliyotolewa

Kwa

ina suluhu ya kipekee (kwa maana ya “hakika”) na -endelevu kama vile - mchakato uliorekebishwa wa kuchuja, unaotolewa na , , na

Utumiaji wa milinganyo ya stochastic

Fizikia

Katika fizikia, SDE mara nyingi huandikwa katika mfumo wa equation ya Langevin. Kwa mfano, mfumo wa SDE wa agizo la kwanza unaweza kuandikwa kama:

ambapo ni seti ya haijulikani, na ni kazi za kiholela, na ni kazi za nasibu za wakati, ambazo mara nyingi huitwa maneno ya kelele. Aina hii ya nukuu inatumika kwa sababu kuna mbinu ya kawaida ya kubadilisha mlinganyo wenye viasili vya juu zaidi kuwa mfumo wa milinganyo ya mpangilio wa kwanza kwa kutambulisha zisizojulikana mpya. Ikiwa ni thabiti, basi mfumo unasemekana kuwa chini ya kelele ya nyongeza. Mifumo yenye kelele za kuzidisha pia inazingatiwa wakati . Kati ya kesi hizi mbili zinazozingatiwa, kelele ya kuongeza ni rahisi zaidi. Suluhisho la mfumo wenye kelele za nyongeza mara nyingi linaweza kupatikana kwa kutumia njia za kawaida za uchanganuzi wa kihesabu. Hasa, njia ya kawaida ya utungaji wa kazi zisizojulikana inaweza kutumika. Hata hivyo, katika kesi ya kelele za kuzidisha, mlinganyo wa Langevin haufafanuliwa vizuri kwa maana ya uchanganuzi wa kawaida wa hisabati na lazima ufasiriwe kulingana na calculus ya Ito au calculus ya Stratonovich.

Katika fizikia, njia kuu ya kutatua SDEs ni kupata suluhisho kwa namna ya wiani wa uwezekano na kubadilisha equation ya asili kuwa equation ya Fokker-Planck. Mlinganyo wa Fokker-Planck ni mlinganyo wa sehemu tofauti bila masharti ya kistochastiki. Huamua mabadiliko ya wakati wa msongamano wa uwezekano, kama vile mlinganyo wa Schrödinger huamua utegemezi wa muda wa utendaji kazi wa wimbi la mfumo katika mekanika ya quantum au mlingano wa usambaaji huamua mabadiliko ya wakati wa ukolezi wa kemikali. Suluhisho pia linaweza kutafutwa kwa nambari, kwa mfano kwa kutumia njia ya Monte Carlo. Mbinu zingine za suluhisho hutumia muunganisho wa njia, mbinu hii inategemea mlinganisho kati ya fizikia ya takwimu na mechanics ya quantum (kwa mfano, mlinganyo wa Fokker-Planck unaweza kubadilishwa kuwa mlinganyo wa Schrödinger kwa kutumia mabadiliko fulani ya vigeu), au kutatua milinganyo ya kawaida ya tofauti kwa wakati wa msongamano wa uwezekano.

Nadharia ya uwezekano na hisabati ya kifedha

Biolojia

Kemia

Viungo

• Ulimwengu wa Stochastic - Utangulizi Rahisi wa Milinganyo ya Tofauti ya Stochastic

Fasihi

• Adomia George Mifumo ya Stochastic. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983.
• Adomia George Milinganyo ya waendeshaji stochastiki isiyo ya mstari. - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
• Adomia George Nadharia ya mifumo ya stochastiki isiyo ya mstari na matumizi kwa fizikia. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
• Oksendal Bernt K. Milinganyo ya Tofauti ya Stochastic: Utangulizi na Maombi. - Berlin: Springer, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
• Teugels, J. na Sund B. (wahariri.) Encyclopedia of Actuarial Science. - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523-527.
• C. W. Gardiner Mwongozo wa Mbinu za Stochastic: kwa Fizikia, Kemia na Sayansi Asilia. - Springer, 2004. - P. 415.
• Thomas Mikosch Calculus ya Msingi ya Stochastic: yenye Mwonekano wa Fedha. - Singapore: World Scientific Publishing, 1998. - P. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
• Bachelier, L. Théorie de la speculation (kwa Kifaransa), Thesis ya PhD. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. - ISBN Kwa Kiingereza mwaka wa 1971 kitabu "The Random Character of the Stock Market" Eds. P.H. Cootner

1. Miongoni mwa michakato ya Ito X = (Xt) t^o, kuwa na tofauti ya stochastic
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
jukumu muhimu linachezwa na zile ambazo viambajengo a(t, a>) na (3(t, u) hutegemea a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t. ,u> ) = b(t,Xt (si)), (2)
ambapo a = a (t, x) na b = b (t, x) ni kazi zinazoweza kupimika kwenye M+ x K. Kwa hiyo, kwa mfano, mchakato
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
inayoitwa kijiometri, au kiuchumi, mwendo wa Brownian (tazama § Kwa), ina (kulingana na fomula ya Ito) tofauti ya stochastic
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Mchakato
=f
Joe wa 3
du (5)
ina, kama ilivyo rahisi kuthibitisha, tena kwa kutumia fomula ya Ito, tofauti
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Mchakato Y = (Yt)t^o una jukumu muhimu katika matatizo ya kugundua kwa haraka mabadiliko katika mwendo wa ndani wa mwendo wa Brownian; ona.) Iwapo
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = st
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Jo Jo.
na baadhi ya vipengele c\\ na c2, basi, tena kwa kutumia fomula ya Ito, inathibitishwa kuwa
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
Katika mifano iliyotolewa, tulianza kutoka kwa fomu "wazi" ya michakato S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) na kwa kutumia fomula ya Ito tulipata tofauti zao za stochastic (4), (6) na (8).
Inawezekana, hata hivyo, kubadilisha mtazamo, yaani, kuzingatia (4), (6) na (8) kama milinganyo ya tofauti ya kistochastic kuhusiana na michakato isiyojulikana S = (St),Y = (Yt), Z = (Zt) na kujaribu kuanzisha , kwamba masuluhisho yao yaliyopatikana (3), (5) na (7) ndio (kwa maana fulani) masuluhisho pekee ya milinganyo hii.
Kwa kawaida, ni muhimu kutoa maana sahihi kwa dhana ya "stochastic differential equation", kuamua "suluhisho" lake ni nini, na kwa maana gani "pekee" ya suluhisho inapaswa kueleweka.
Katika kufafanua dhana hizi zote, zilizojadiliwa hapa chini, jukumu muhimu linachezwa na dhana ya kiungo cha stochastic kilicholetwa hapo juu.
2. Tutachukulia kuwa nafasi iliyochujwa ya uwezekano (msingi wa stochastic) (ft, (^t)t^Oi P) imetolewa kwa masharti ya kawaida (kipengee 2, §7a) na kuruhusu B = (Bt,&t)f^ o kuwa mwendo wa Brownian.
Acha a = a(t, x) na b = b(t, x) ziwe vitendaji vinavyoweza kupimika kwenye K+ x M.
Ufafanuzi 1. Mlinganyo wa tofauti wa kistokatiki unasemekana kuwa
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
na ^-hali ya awali inayoweza kupimika Xo ina suluhu thabiti endelevu (au suluhu tu) X = (Xt)t^o, ikiwa kwa kila t > O
Xt ni ^-inaweza kupimika,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b(s,Xa)dBa. Jo Jo
Ufafanuzi 2. Michakato miwili inayoendelea ya nasibu X = (Xt)t^o na Y = (Yt)t^0 inaitwa isiyoweza kutambulika ikiwa kwa t > O yoyote.
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va na (R-p.n.)
Ufafanuzi 3. Tutasema kwamba kazi inayoweza kupimika / ¦ f(t, x), iliyofafanuliwa kwenye R+ x K, inakidhi (kuhusiana na mabadiliko ya awamu x) hali ya ndani ya Lipschitz ikiwa kwa kila n ^ 1 kuna K mara kwa mara. (n) kwamba kwa wote t > 0 na |x| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Nadharia ya 1 (K. Ito, ; ona pia, kwa mfano, , ) Ruhusu viambajengo a(t,x) ub(t,x) vikidhi hali ya eneo la Lipschitz na hali ya ukuaji wa mstari:
la(t,x)\\ + \\b(t,x)\\ na acha hali ya awali ya XQ iwe ^-inayopimika.
Kisha mlinganyo wa kutofautisha wa stochastiki (9) una kipekee (hadi kutotofautisha stochastiki) suluhisho endelevu X = (Xt,&t), ambayo ni mchakato wa Markov.
Kuna ujanibishaji wa matokeo haya katika mwelekeo tofauti: hali ya Lipschitz ya ndani imedhoofika, utegemezi (lakini wa asili maalum) wa coefficients kwenye u> inaruhusiwa, kesi za utegemezi wa coefficients a - a (t, Xt) na. b = b(t,Xt) huzingatiwa kutoka kwa "zamani" (kwa nukuu iliyolegea kwa kiasi fulani: a = a(t; Xs, s) Pia kuna ujumuishaji wa hali nyingi, wakati X = (X1,... ,Xd) ni mchakato wa vekta, a = a(t,x) - vekta, b = b(t,x) - matrix na B = (B1,... ,Bd) - mwendo wa d-dimensional wa Brownian Tazama juu ya hili jambo, kwa mfano,,,.
Kutoka kwa jumla tofauti, tunawasilisha moja tu, kwa kiasi fulani zisizotarajiwa, matokeo ya A.K
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
Hakuna haja hata kidogo ya kuhitaji utimilifu wa hali ya ndani ya Lipschitz, lakini upimaji tu katika (?, x) na mpaka sare wa mgawo a(t, x) unatosha. (Ujumla wa aina nyingi wa matokeo haya ulipatikana na A. Yu. Veretennikov, .)
Kwa hivyo, kwa mfano, equation ya tofauti ya stochastic
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
na mgawo "mbaya".
G 1, x > O,
I. -1, x ina, na, zaidi ya hayo, ufumbuzi wa kipekee, wenye nguvu.
Kumbuka, hata hivyo, kwamba ikiwa badala ya equation (16) tunazingatia equation
dXt=a(Xt)dBt, Xo = 0, (18)
na kazi sawa ср(х), hali inabadilika sana, kwani, kwanza, kuna nafasi za uwezekano ambazo equation hii ni wazi ina angalau suluhisho mbili kali, na, pili, kwenye nafasi zingine za uwezekano equation hii inaweza kukosa suluhisho kali. hata kidogo.
Ili kuonyesha uhalali wa kauli ya kwanza, zingatia nafasi ya vitendakazi vinavyoendelea u> = (u>t)t>o na Wiener kupima mchakato wa Wiener uliotolewa kwa uratibu W = (Wt)t^Oi, yaani, kwamba Wt( w)=wt ,t>0.
Kisha, kwa mujibu wa nadharia ya Levy (tazama hoja ya 3 katika §3b), mchakato B = (Bt) t^o kwa
Bt= С o(Ws)dWa Jo
pia itakuwa mchakato wa Wiener (mwendo wa Brownian). Na ni rahisi kuona hivyo
[ o(Wa)dBa = [ o2(Wa)dWa=Wt, Jo Jo
kwa kuwa cr2(x) = 1.
Kwa hivyo, mchakato W =¦ (Wt)t^o ni (kwenye nafasi ya uwezekano inayozingatiwa) suluhisho la equation (18) na mwendo wa Brownian uliochaguliwa maalum B¦ Lakini, kwa kuwa cr(-x) = -cr(x) ), basi
[ o(Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o (-Wa) dBa = - Jo
hizo. pamoja na W = (Wt)t^о mchakato -W = (-Wt)t>о pia ni suluhisho la equation (18).
Kuhusu kauli ya pili, tunachukulia kwamba Mlingano wa 1
Xt= [ o(Xa)dBs Jo
kuna suluhu kali (inayohusiana na mtiririko wa a-algebra (iliyotolewa na mwendo wa Brownian B). Kutoka kwa nadharia ya Levy inafuata kwamba basi mchakato X = (Xt, o ni mwendo wa Brownian.
Kulingana na fomula ya Taiak (tazama zaidi § 5c na ulinganishe na mfano katika § lb, Sura ya II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
wapi t
Lt(0) = kikomo- f I(\\Xa\\^e)da
ej.0 AZ Jo
- wakati wa ndani (Lévy) wa mwendo wa Brownian X, ambao hutumia kwa sifuri kwa muda. Kwa hivyo (R-p.n.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt(0) Jo
na, kwa hivyo, C
Dhana ya hapo juu kwamba X imebadilishwa kwa heshima na flux = (&t)t^o ina maana ya kujumuisha C\

Zaidi juu ya mada § Ze. Milinganyo ya tofauti ya Stochastic:

1. Sura ya 9. Vipengele vya nadharia ya milinganyo ya kawaida ya tofauti
2. Mapema miaka ya 70, F. Black na M. Scholes walitengeneza modeli ya kukadiria malipo ya chaguo la simu la Uropa kwenye hisa ambazo hazilipi gawio. Fomula iliyosababisha ilikuwa matokeo ya suluhisho lao kwa mlinganyo wa tofauti wa Black-Schole. Tunazingatia equation hii katika aya inayofuata.
3. Sehemu ya II Uchambuzi wa hisabati na milinganyo tofauti
4. 6. Mlinganyo unaohusiana na bei ya derivative kwa bei ya soko ya hatari. Miundo ya muda endelevu ya viwango vya muda mfupi na bei ya dhamana
5. NYONGEZA 2. 2.1. Mlinganyo tofauti wa mali inayotokana na kila hisa ambayo hulipa mgao unaoendelea kuongezwa
6. Mfumo wa milinganyo inayotegemeana (mfumo wa milinganyo ya pamoja ya wakati mmoja)
7. Gharama za Kuongezeka (zinazoongezeka, au tofauti).

- Hakimiliki - Utetezi - Sheria ya usimamizi - Mchakato wa usimamizi - Antimonopoly na sheria ya ushindani - Mchakato wa Usuluhishi (kiuchumi) - Ukaguzi - Mfumo wa benki - Sheria ya benki - Biashara - Uhasibu - Sheria ya mali - Sheria na utawala wa serikali - Sheria na taratibu za kiraia - Mzunguko wa sheria za fedha , fedha na mikopo - Pesa - Sheria ya Diplomasia na kibalozi - Sheria ya Mkataba - Sheria ya Nyumba - Sheria ya Ardhi - Sheria ya Uchaguzi - Sheria ya Uwekezaji - Sheria ya habari - Utekelezaji wa kesi - Historia ya serikali na sheria - Historia ya mafundisho ya kisiasa na kisheria -