Jinsi ya kupata kwa usahihi thamani ya usemi. Misemo yenye vitendaji vya trigonometric

Semi za nambari huundwa na nambari, alama za hesabu, na mabano. Ikiwa usemi kama huo una vigeu, utaitwa algebraic. Usemi wa trigonometriki ni usemi ambapo kigezo kimo chini ya ishara za utendaji wa trigonometriki. Matatizo yanayohusisha kubainisha thamani za usemi wa nambari, trigonometric, na aljebra mara nyingi hupatikana katika kozi za hisabati za shule.

Maagizo

Ili kupata thamani ya usemi wa nambari, tambua mpangilio wa shughuli katika mfano uliopeanwa. Kwa urahisi, weka alama kwa penseli juu ya ishara zinazolingana. Fanya vitendo vyote vilivyoonyeshwa kwa utaratibu fulani: vitendo katika mabano, ufafanuzi, kuzidisha, mgawanyiko, kuongeza, kutoa. Nambari inayotokana itakuwa thamani ya usemi wa nambari.

Mfano. Tafuta thamani ya usemi (34 10+(489–296) 8):4–410. Amua mwendo wa hatua. Tekeleza kitendo cha kwanza katika mabano ya ndani 489–296=193. Kisha, zidisha 193 8=1544 na 34 10=340. Hatua inayofuata: 340+1544=1884. Kisha, gawanya 1884:4=461 na kisha utoe 461–410=60. Umepata maana ya usemi huu.

Ili kupata thamani ya usemi wa trigonometric kwa pembe inayojulikana?, kwanza. Ili kufanya hivyo, tumia fomula zinazofaa za trigonometric. Kuhesabu maadili uliyopewa ya kazi za trigonometric na ubadilishe kwa mfano. Fuata hatua.

Mfano. Tafuta maana ya usemi 2sin 30? kwa 30? Tg 30? ctg 30? Rahisisha usemi huu. Ili kufanya hivyo, tumia formula tg? ctg?=1. Pata: 2sin 30? kwa 30? 1=2 dhambi 30? kwa 30?. Inajulikana kuwa dhambi 30?=1/2 na cos 30?=?3/2. Kwa hivyo, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Umepata maana ya usemi huu.

Maana ya usemi wa aljebra inategemea thamani ya kutofautisha. Ili kupata thamani ya usemi wa aljebra kutokana na viambatisho, rahisisha usemi huo. Badilisha maadili fulani kwa vigeu. Kamilisha hatua zinazohitajika. Kama matokeo, utapokea nambari, ambayo itakuwa thamani ya usemi wa algebra kwa vigeu vilivyopewa.

Mfano. Tafuta thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye a=21 na y=10. Rahisisha usemi huu na upate: a–2y. Badilisha thamani zinazolingana za vigeu na ukokote: a–2y=21–2 10=1. Hii ndiyo thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye =21 na y=10.

Kumbuka

Kuna misemo ya aljebra ambayo haina maana kwa baadhi ya maadili ya vigezo. Kwa mfano, usemi x/(7–a) hauna maana ikiwa a=7, kwa sababu katika kesi hii, denominator ya sehemu inakuwa sifuri.

Kwa hivyo, ikiwa usemi wa nambari umeundwa na nambari na ishara +, -, · na:, basi ili kutoka kushoto kwenda kulia lazima kwanza ufanye kuzidisha na kugawanya, na kisha kuongeza na kutoa, ambayo itakuruhusu kupata thamani inayotakiwa ya usemi.

Hebu tutoe mifano kwa ufafanuzi.

Mfano.

Kokotoa thamani ya usemi 14−2·15:6−3.

Suluhisho.

Ili kupata thamani ya kujieleza, unahitaji kufanya vitendo vyote vilivyotajwa ndani yake kwa mujibu wa utaratibu uliokubaliwa wa kufanya vitendo hivi. Kwanza, ili kutoka kushoto kwenda kulia, tunafanya kuzidisha na kugawanya, tunapata 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sasa pia tunafanya vitendo vilivyobaki kwa mpangilio kutoka kushoto kwenda kulia: 14-5-3=9-3=6. Hivi ndivyo tulivyopata thamani ya usemi asilia, ni sawa na 6.

Jibu:

14−2·15:6−3=6.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi.

Suluhisho.

Katika mfano huu, kwanza tunahitaji kufanya kuzidisha 2·(-7) na kugawanya kwa kuzidisha katika usemi . Tukikumbuka jinsi , tunapata 2·(−7)=−14. Na kufanya vitendo katika usemi kwanza , basi , na kutekeleza: .

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana kwa usemi asilia: .

Lakini vipi ikiwa kuna usemi wa nambari chini ya ishara ya mizizi? Ili kupata thamani ya mzizi kama huo, lazima kwanza upate thamani ya usemi mkali, ukizingatia utaratibu unaokubalika wa kufanya vitendo. Kwa mfano, .

Katika misemo ya nambari, mizizi inapaswa kutambuliwa kama nambari kadhaa, na inashauriwa kuchukua nafasi ya mizizi mara moja na maadili yao, na kisha kupata thamani ya usemi unaosababishwa bila mizizi, ukifanya vitendo katika mlolongo uliokubaliwa.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi wenye mizizi.

Suluhisho.

Kwanza hebu tupate thamani ya mzizi . Ili kufanya hivyo, kwanza, tunahesabu thamani ya usemi mkali, tunayo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Na pili, tunapata thamani ya mizizi.

Sasa hebu tuhesabu thamani ya mzizi wa pili kutoka kwa usemi wa asili: .

Hatimaye, tunaweza kupata maana ya usemi asilia kwa kubadilisha mizizi na maadili yake: .

Jibu:

Mara nyingi, ili kupata maana ya usemi na mizizi, ni muhimu kwanza kuibadilisha. Wacha tuonyeshe suluhisho la mfano.

Mfano.

Nini maana ya usemi .

Suluhisho.

Hatuwezi kuchukua nafasi ya mzizi wa tatu na thamani yake halisi, ambayo inatuzuia kuhesabu thamani ya usemi huu kwa njia iliyoelezwa hapo juu. Walakini, tunaweza kuhesabu thamani ya usemi huu kwa kufanya mabadiliko rahisi. Inatumika formula tofauti ya mraba:. Kwa kuzingatia, tunapata . Kwa hivyo, thamani ya usemi asilia ni 1.

Jibu:

.

Na digrii

Ikiwa msingi na kielelezo ni nambari, basi thamani yao inahesabiwa kwa kuamua shahada, kwa mfano, 3 2 = 3 · 3 = 9 au 8 -1 =1/8. Pia kuna maingizo ambapo msingi na/au kipeo ni baadhi ya misemo. Katika visa hivi, unahitaji kupata thamani ya usemi katika msingi, thamani ya usemi katika kielelezo, na kisha uhesabu thamani ya shahada yenyewe.

Mfano.

Tafuta thamani ya usemi wenye uwezo wa fomu 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

Suluhisho.

Katika usemi asilia kuna nguvu mbili 2 3·4-10 na (1-1/2) 3.5-2 · 1/4. Thamani zao lazima zihesabiwe kabla ya kufanya vitendo vingine.

Wacha tuanze na nguvu 2 3 · 4−10. Kiashiria chake kina usemi wa nambari, hebu tuhesabu thamani yake: 3·4−10=12−10=2. Sasa unaweza kupata thamani ya shahada yenyewe: 2 3 · 4−10 =2 2 =4.

Msingi na kipeo (1-1/2) 3.5-2 1/4 vina vielezi; tunakokotoa thamani zake ili kupata thamani ya kipeo. Tuna (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Sasa tunarudi kwa usemi wa asili, badilisha digrii ndani yake na maadili yao, na tupate thamani ya usemi tunaohitaji: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Jibu:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

Inafaa kumbuka kuwa kuna kesi za kawaida zaidi wakati inashauriwa kufanya utangulizi kurahisisha kujieleza kwa nguvu kwenye msingi.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi .

Suluhisho.

Kwa kuzingatia wawakilishi katika usemi huu, haitawezekana kupata maadili halisi ya watangazaji. Wacha tujaribu kurahisisha usemi wa asili, labda hii itasaidia kupata maana yake. Tuna

Jibu:

.

Nguvu katika misemo mara nyingi huambatana na logariti, lakini tutazungumza juu ya kupata maana ya misemo yenye logariti katika moja ya.

Kupata thamani ya usemi na sehemu

Semi za nambari zinaweza kuwa na sehemu katika nukuu zao. Wakati unahitaji kupata maana ya usemi kama huu, sehemu zingine isipokuwa sehemu zinapaswa kubadilishwa na maadili yao kabla ya kuendelea na hatua zingine.

Nambari na denominator ya sehemu (ambazo ni tofauti na sehemu za kawaida) zinaweza kuwa na nambari na misemo. Ili kuhesabu thamani ya sehemu kama hiyo, unahitaji kuhesabu thamani ya usemi kwenye nambari, uhesabu thamani ya usemi kwenye dhehebu, na kisha uhesabu thamani ya sehemu yenyewe. Mpangilio huu unafafanuliwa na ukweli kwamba sehemu a/b, ambapo a na b ni baadhi ya misemo, kimsingi inawakilisha nukuu ya umbo (a):(b), kwani .

Wacha tuangalie suluhisho la mfano.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi wenye sehemu .

Suluhisho.

Kuna sehemu tatu katika usemi asilia wa nambari Na. Ili kupata thamani ya usemi asilia, kwanza tunahitaji kubadilisha sehemu hizi na thamani zao. Hebu tufanye.

Nambari na denominator ya sehemu ina nambari. Ili kupata thamani ya sehemu kama hiyo, badilisha upau wa sehemu na ishara ya mgawanyiko na ufanye kitendo hiki: .

Katika nambari ya sehemu kuna usemi 7−2 · 3, thamani yake ni rahisi kupata: 7-2 · 3=7-6=1. Hivyo,. Unaweza kuendelea kutafuta thamani ya sehemu ya tatu.

Sehemu ya tatu katika nambari na dhehebu ina maneno ya nambari, kwa hivyo, kwanza unahitaji kuhesabu maadili yao, na hii itakuruhusu kupata thamani ya sehemu yenyewe. Tuna .

Inabakia kubadilisha maadili yaliyopatikana katika usemi asilia na kutekeleza vitendo vilivyosalia: .

Jibu:

.

Mara nyingi, wakati wa kupata maadili ya misemo na sehemu, lazima ufanye kurahisisha misemo ya sehemu, kulingana na kufanya shughuli na sehemu na kupunguza sehemu.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi .

Suluhisho.

Mzizi wa tano hauwezi kutolewa kabisa, kwa hivyo ili kupata thamani ya usemi wa asili, hebu kwanza tuirahisishe. Kwa hii; kwa hili tuachane na ujinga kwenye denominator sehemu ya kwanza: . Baada ya hayo, usemi wa asili utachukua fomu . Baada ya kuondoa sehemu, mizizi itatoweka, ambayo itaturuhusu kupata thamani ya usemi uliopewa hapo awali:.

Jibu:

.

Na logarithm

Ikiwa usemi wa nambari una , na ikiwa inawezekana kuwaondoa, basi hii inafanywa kabla ya kufanya vitendo vingine. Kwa mfano, wakati wa kupata thamani ya logi ya kujieleza 2 4+2·3, logarithm logi 2 4 inabadilishwa na thamani yake 2, baada ya hapo vitendo vilivyobaki vinafanywa kwa utaratibu wa kawaida, yaani, logi 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Wakati kuna misemo ya nambari chini ya ishara ya logarithm na/au kwa msingi wake, maadili yao hupatikana kwanza, baada ya hapo thamani ya logarithm huhesabiwa. Kwa mfano, fikiria usemi wenye logariti ya fomu . Chini ya logarithm na chini ya ishara yake kuna misemo ya nambari; tunapata maadili yao: . Sasa tunapata logarithm, baada ya hapo tunakamilisha mahesabu:.

Ikiwa logarithm hazijahesabiwa kwa usahihi, basi kurahisisha kwa awali kwa kutumia . Katika kesi hii, unahitaji kuwa na amri nzuri ya nyenzo za makala kubadilisha misemo ya logarithmic.

Mfano.

Tafuta thamani ya usemi wenye logariti .

Suluhisho.

Wacha tuanze kwa kuhesabu logi 2 (logi 2 256) . Kwa kuwa 256=2 8, basi ingia 2 256=8, kwa hivyo, gogo 2 (logi 2 256)=logi 2 8=logi 2 2 3 =3.

Logarithms logi 6 2 na logi 6 3 zinaweza kuunganishwa. Jumla ya logariti logi 6 2+logi 6 3 ni sawa na logariti ya logi ya bidhaa 6 (2 3), kwa hivyo, gogo 6 2+logi 6 3=logi 6 (2 3)=logi 6 6=1.

Sasa hebu tuangalie sehemu. Kuanza, tutaandika tena msingi wa logarithm kwenye dhehebu kwa namna ya sehemu ya kawaida kama 1/5, baada ya hapo tutatumia mali ya logarithms, ambayo itaturuhusu kupata thamani ya sehemu hiyo:
.

Kilichobaki ni kubadilisha matokeo yaliyopatikana kwa usemi asilia na kumaliza kupata thamani yake:

Jibu:

Jinsi ya kupata thamani ya usemi wa trigonometric?

Wakati usemi wa nambari una au, nk, maadili yao huhesabiwa kabla ya kufanya vitendo vingine. Ikiwa kuna misemo ya nambari chini ya ishara ya kazi za trigonometric, basi maadili yao yanahesabiwa kwanza, baada ya hapo maadili ya kazi za trigonometric hupatikana.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi .

Suluhisho.

Kugeuka kwa makala, tunapata na cosπ=−1 . Tunabadilisha maadili haya kwa usemi wa asili, inachukua fomu . Ili kupata thamani yake, kwanza unahitaji kufanya ufafanuzi, na kisha kumaliza mahesabu:.

Jibu:

.

Inafaa kumbuka kuwa kuhesabu maadili ya misemo na sines, cosines, nk. mara nyingi huhitaji kabla kubadilisha usemi wa trigonometric.

Mfano.

Ni nini thamani ya usemi wa trigonometriki .

Suluhisho.

Wacha tubadilishe usemi asilia kwa kutumia , katika kesi hii tutahitaji fomula ya pembe mbili ya cosine na jumla ya fomula ya cosine:

Mabadiliko tuliyofanya yalitusaidia kupata maana ya usemi huo.

Jibu:

.

Kesi ya jumla

Kwa ujumla, usemi wa nambari unaweza kuwa na mizizi, nguvu, sehemu, baadhi ya kazi na mabano. Kupata maadili ya misemo kama hii ni pamoja na kufanya vitendo vifuatavyo:

• mizizi ya kwanza, nguvu, sehemu, nk. hubadilishwa na maadili yao,
• hatua zaidi katika mabano,
• na ili kutoka kushoto kwenda kulia, shughuli zilizobaki zinafanywa - kuzidisha na mgawanyiko, ikifuatiwa na kuongeza na kutoa.

Vitendo vilivyoorodheshwa vinafanywa hadi matokeo ya mwisho yanapatikana.

Mfano.

Tafuta maana ya usemi .

Suluhisho.

Aina ya usemi huu ni ngumu sana. Katika usemi huu tunaona sehemu, mizizi, nguvu, sine na logarithms. Jinsi ya kupata thamani yake?

Kupitia rekodi kutoka kushoto kwenda kulia, tunakutana na sehemu ya fomu . Tunajua kwamba wakati wa kufanya kazi na sehemu ngumu, tunahitaji kuhesabu tofauti ya thamani ya nambari, kando dhehebu, na hatimaye kupata thamani ya sehemu.

Katika nambari tuna mzizi wa fomu . Kuamua thamani yake, kwanza unahitaji kuhesabu thamani ya usemi mkali . Kuna sine hapa. Tunaweza kupata thamani yake tu baada ya kuhesabu thamani ya usemi . Hii tunaweza kufanya:. Kisha wapi na kutoka .

Denominator ni rahisi:.

Hivyo, .

Baada ya kubadilisha tokeo hili katika usemi asilia, itachukua fomu . Usemi unaotokana una shahada . Ili kupata thamani yake, tunapaswa kwanza kupata thamani ya kiashiria, tunayo .

Kwa hiyo,.

Jibu:

.

Ikiwa haiwezekani kuhesabu maadili halisi ya mizizi, nguvu, nk, basi unaweza kujaribu kuwaondoa kwa kutumia mabadiliko fulani, na kisha kurudi kuhesabu thamani kulingana na mpango maalum.

Njia za busara za kuhesabu maadili ya misemo

Kuhesabu maadili ya misemo ya nambari kunahitaji uthabiti na usahihi. Ndiyo, ni muhimu kuzingatia mlolongo wa vitendo vilivyoandikwa katika aya zilizopita, lakini hakuna haja ya kufanya hivyo kwa upofu na mechanically. Tunachomaanisha kwa hili ni kwamba mara nyingi inawezekana kurekebisha mchakato wa kupata maana ya usemi. Kwa mfano, sifa fulani za utendakazi zilizo na nambari zinaweza kuongeza kasi na kurahisisha kupata thamani ya usemi.

Kwa mfano, tunajua mali hii ya kuzidisha: ikiwa moja ya mambo katika bidhaa ni sawa na sifuri, basi thamani ya bidhaa ni sawa na sifuri. Kutumia mali hii, tunaweza kusema mara moja kwamba thamani ya kujieleza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) ni sawa na sufuri. Ikiwa tungefuata mpangilio wa kawaida wa utendakazi, kwanza tungelazimika kukokotoa thamani za vielezi gumu kwenye mabano, ambayo ingechukua muda mwingi, na matokeo yake bado yangekuwa sufuri.

Pia ni rahisi kutumia mali ya kutoa nambari sawa: ukiondoa nambari sawa kutoka kwa nambari, matokeo ni sifuri. Mali hii inaweza kuzingatiwa kwa upana zaidi: tofauti kati ya maneno mawili ya nambari yanayofanana ni sifuri. Kwa mfano, bila kuhesabu thamani ya misemo kwenye mabano, unaweza kupata thamani ya usemi (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), ni sawa na sifuri, kwani usemi asilia ni tofauti ya misemo inayofanana.

Mabadiliko ya utambulisho yanaweza kuwezesha ukokotoaji wa kimantiki wa thamani za kujieleza. Kwa mfano, masharti na vipengele vya kupanga vinaweza kuwa muhimu; kuweka kipengele cha kawaida kwenye mabano haitumiki mara kwa mara. Kwa hivyo thamani ya usemi 53·5+53·7−53·11+5 ni rahisi sana kupata baada ya kuchukua sababu 53 kwenye mabano: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Hesabu ya moja kwa moja ingechukua muda mrefu zaidi.

Kuhitimisha jambo hili, wacha tuzingatie mbinu ya busara ya kuhesabu maadili ya misemo na sehemu - sababu zinazofanana katika nambari na dhehebu la sehemu zimefutwa. Kwa mfano, kupunguza misemo sawa katika nambari na denominator ya sehemu hukuruhusu kupata mara moja thamani yake, ambayo ni sawa na 1/2.

Kupata thamani ya usemi halisi na usemi wenye viambajengo

Thamani ya usemi halisi na usemi wenye vigeu hupatikana kwa thamani maalum zilizotolewa za herufi na vigeu. Hiyo ni, tunazungumza juu ya kupata thamani ya usemi halisi wa nambari fulani za herufi, au juu ya kupata thamani ya usemi wenye viambishi vya thamani tofauti zilizochaguliwa.

Kanuni kupata thamani ya usemi halisi au msemo wenye viambishi vya thamani fulani za herufi au thamani zilizochaguliwa za vigeu ni kama ifuatavyo: unahitaji kubadilisha thamani ulizopewa za herufi au vigeu kwenye usemi asilia, na kuhesabu. thamani ya usemi wa nambari unaotokana; ni thamani inayotakiwa.

Mfano.

Kokotoa thamani ya usemi 0.5·x−y kwa x=2.4 na y=5.

Suluhisho.

Ili kupata thamani inayohitajika ya usemi, kwanza unahitaji kubadilisha maadili uliyopewa ya vigeu kwenye usemi asilia, na kisha fanya hatua zifuatazo: 0.5 · 2.4-5 = 1.2-5 = -3.8.

Jibu:

−3,8 .

Kama dokezo la mwisho, wakati mwingine kufanya ubadilishaji kwenye misemo halisi na tofauti kutatoa maadili yao, bila kujali maadili ya herufi na vigeu. Kwa mfano, usemi x+3−x unaweza kurahisishwa, baada ya hapo utachukua fomu ya 3. Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kwamba thamani ya usemi x+3−x ni sawa na 3 kwa thamani yoyote ya kutofautiana x kutoka kwa anuwai ya maadili yanayoruhusiwa (APV). Mfano mwingine: thamani ya usemi ni sawa na 1 kwa maadili yote chanya ya x, kwa hivyo anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x katika usemi wa asili ni seti ya nambari chanya, na katika safu hii usawa. anashikilia.

Bibliografia.

• Hisabati: kitabu cha maandishi kwa daraja la 5. elimu ya jumla taasisi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Toleo la 21, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: mgonjwa. ISBN 5-346-00699-0.
• Hisabati. Daraja la 6: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [N. Ya. Vilenkin na wengine]. - Toleo la 22., Mch. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Aljebra: kitabu cha kiada kwa darasa la 7 elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 17. - M.: Elimu, 2008. - 240 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljebra: Daraja la 9: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2009. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M.: Elimu, 2004 - 384 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.

Wewe, kama wazazi, katika mchakato wa kuelimisha mtoto wako, zaidi ya mara moja utakutana na hitaji la msaada katika kutatua shida za kazi za nyumbani katika hisabati, algebra na jiometri. Na moja ya ujuzi wa kimsingi ambao unahitaji kujifunza ni jinsi ya kupata maana ya usemi. Watu wengi wamekufa, kwa sababu ni miaka mingapi imepita tangu tuliposoma darasa la 3-5? Mengi tayari yamesahauliwa, na mengine hayajajifunza. Sheria za shughuli za hisabati zenyewe ni rahisi na unaweza kuzikumbuka kwa urahisi. Wacha tuanze na misingi ya usemi wa hisabati ni nini.

Ufafanuzi wa Usemi

Usemi wa hisabati ni mkusanyiko wa nambari, ishara za vitendo (=, +, -, *, /), mabano, na vigeuzo. Kwa kifupi, hii ni fomula ambayo thamani yake itahitaji kupatikana. Njia kama hizo hupatikana katika kozi za hisabati tangu shuleni, na kisha huwasumbua wanafunzi ambao wamechagua utaalam unaohusiana na sayansi halisi. Maneno ya hisabati yamegawanywa katika trigonometric, algebraic, na kadhalika; tusiingie kwenye kichaka.

1. Fanya hesabu zozote kwanza kwenye rasimu, na kisha uzinakili kwenye kitabu chako cha kazi. Kwa njia hii utaepuka kuvuka na uchafu usiohitajika;
2. Kokotoa upya jumla ya idadi ya shughuli za hisabati ambazo zitahitajika kufanywa katika usemi. Tafadhali kumbuka kuwa kwa mujibu wa sheria, shughuli katika mabano hufanywa kwanza, kisha mgawanyiko na kuzidisha, na mwisho wa kutoa na kuongeza. Tunapendekeza kuangazia vitendo vyote kwenye penseli na kuweka nambari juu ya vitendo kwa mpangilio ambao zilifanywa. Katika kesi hii, itakuwa rahisi kwako na mtoto wako kuabiri;
3. Anza kufanya mahesabu kwa kufuata utaratibu wa vitendo. Acha mtoto, ikiwa hesabu ni rahisi, jaribu kuifanya kichwani mwake, lakini ikiwa ni ngumu, basi andika kwa penseli nambari inayolingana na nambari ya usemi na ufanye hesabu kwa maandishi chini ya fomula;
4. Kwa kawaida, kupata thamani ya usemi rahisi si vigumu ikiwa mahesabu yote yanafanywa kulingana na sheria na kwa utaratibu sahihi. Watu wengi hukutana na tatizo haswa katika hatua hii ya kutafuta maana ya usemi, kwa hivyo kuwa mwangalifu na usifanye makosa;
5. Piga marufuku kikokotoo. Njia za hisabati na matatizo yenyewe yanaweza yasiwe na manufaa katika maisha ya mtoto wako, lakini hilo sio kusudi la kujifunza somo. Jambo kuu ni maendeleo ya kufikiri kimantiki. Ikiwa unatumia calculators, maana ya kila kitu itapotea;
6. Kazi yako kama mzazi si kutatua matatizo kwa mtoto wako, lakini kumsaidia katika hili, kumwongoza. Hebu afanye mahesabu yote mwenyewe, na uhakikishe kwamba hafanyi makosa, kueleza kwa nini anahitaji kufanya hivyo kwa njia hii na si vinginevyo.
7. Mara jibu la usemi limepatikana, liandike baada ya ishara "=";
8. Fungua ukurasa wa mwisho wa kitabu chako cha hesabu. Kwa kawaida, kuna majibu kwa kila zoezi katika kitabu. Hainaumiza kuangalia ikiwa kila kitu kimehesabiwa kwa usahihi.

Kupata maana ya usemi ni, kwa upande mmoja, utaratibu rahisi; jambo kuu ni kukumbuka sheria za kimsingi ambazo tulijifunza katika kozi ya hesabu ya shule. Hata hivyo, kwa upande mwingine, unapohitaji kumsaidia mtoto wako kukabiliana na kanuni na kutatua matatizo, suala hilo linakuwa gumu zaidi. Baada ya yote, wewe sasa si mwanafunzi, lakini mwalimu, na elimu ya Einstein ya baadaye iko kwenye mabega yako.

Tunatumahi kuwa nakala yetu ilikusaidia kupata jibu la swali la jinsi ya kupata maana ya usemi, na unaweza kujua formula yoyote kwa urahisi!

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Amua mwendo wa hatua. Tekeleza kitendo cha kwanza katika mabano ya ndani 489–296=193. Kisha, zidisha 193∙8=1544 na 34∙10=340. Hatua inayofuata: 340+1544=1884. Kisha, gawanya 1884:4=461 na kisha utoe 461–410=60. Umepata maana ya usemi huu.

Mfano. Pata thamani ya usemi 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Rahisisha usemi huu. Ili kufanya hivyo, tumia fomula tg α∙ctg α=1. Pata: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Inajulikana kuwa sin 30º=1/2 na cos 30º=√3/2. Kwa hivyo, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Umepata maana ya usemi huu.

Thamani ya usemi wa aljebra kutoka . Ili kupata thamani ya usemi wa aljebra kutokana na viambatisho, rahisisha usemi huo. Badilisha maadili fulani kwa vigeu. Kamilisha hatua zinazohitajika. Kama matokeo, utapokea nambari, ambayo itakuwa thamani ya usemi wa algebra kwa vigeu vilivyopewa.

Mfano. Tafuta thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye a=21 na y=10. Rahisisha usemi huu na upate: a–2y. Badilisha thamani zinazolingana za vigeu na ukokotoe: a–2y=21–2∙10=1. Hii ndiyo thamani ya usemi 7(a+y)–3(2a+3y) wenye =21 na y=10.

Kumbuka

Kuna misemo ya aljebra ambayo haina maana kwa baadhi ya maadili ya vigezo. Kwa mfano, usemi x/(7–a) hauna maana ikiwa a=7, kwa sababu katika kesi hii, denominator ya sehemu inakuwa sifuri.

Vyanzo:

• pata thamani ndogo zaidi ya usemi
• Tafuta maana za misemo ya c 14

Kujifunza kurahisisha misemo katika hisabati ni muhimu tu ili kutatua kwa usahihi na haraka shida na hesabu kadhaa. Kurahisisha usemi kunahusisha kupunguza idadi ya hatua, ambayo hurahisisha mahesabu na kuokoa muda.

Maagizo

Jifunze kuhesabu nguvu za c. Wakati wa kuzidisha nguvu c, nambari hupatikana ambayo msingi wake ni sawa, na vielelezo vinaongezwa b^m+b^n=b^(m+n). Wakati wa kugawanya mamlaka na misingi sawa, nguvu ya nambari hupatikana, msingi ambao unabaki sawa, na wawakilishi wa mamlaka hupunguzwa, na mtangazaji wa mgawanyiko b ^ m huondolewa kutoka kwa mgawanyiko wa mgawanyiko. : b^n=b^(m-n). Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, nguvu ya nambari hupatikana, ambayo msingi wake unabaki sawa, na vielelezo vinazidishwa (b^m)^n=b^(mn) Wakati wa kuinua kwa nguvu, kila kipengele. inainuliwa kwa uwezo huu.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Factor polynomials, i.e. kufikiria yao kama bidhaa ya sababu kadhaa - na monomials. Ondoa kipengele cha kawaida kwenye mabano. Jifunze kanuni za kimsingi za kuzidisha kwa kifupi: tofauti ya miraba, tofauti ya mraba, jumla, tofauti ya cubes, mchemraba wa jumla na tofauti. Kwa mfano, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Fomula hizi ndizo kuu katika kurahisisha. Tumia mbinu ya kutenga mraba kamili katika utatu wa fomu ax^2+bx+c.

Futa sehemu mara nyingi iwezekanavyo. Kwa mfano, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Lakini kumbuka kwamba unaweza tu kupunguza multipliers. Ikiwa nambari na denominator ya sehemu ya aljebra inazidishwa na nambari sawa isipokuwa sifuri, basi thamani ya sehemu haitabadilika. Unaweza kubadilisha misemo kwa njia mbili: minyororo na kwa vitendo. Njia ya pili ni bora, kwa sababu ni rahisi kuangalia matokeo ya vitendo vya kati.

Mara nyingi ni muhimu kutoa mizizi katika maneno. Hata mizizi hutolewa tu kutoka kwa maneno au nambari zisizo hasi. Mizizi isiyo ya kawaida inaweza kutolewa kutoka kwa usemi wowote.

Vyanzo:

• kurahisisha usemi kwa kutumia nguvu

Kazi za trigonometric kwanza ziliibuka kama zana za mahesabu ya kihesabu ya hesabu ya utegemezi wa maadili ya pembe za papo hapo kwenye pembetatu ya kulia kwenye urefu wa pande zake. Sasa hutumiwa sana katika nyanja za kisayansi na kiufundi za shughuli za binadamu. Kwa mahesabu ya vitendo ya kazi za trigonometric za hoja zilizopewa, unaweza kutumia zana tofauti - kadhaa za kupatikana zaidi zimeelezewa hapa chini.

Maagizo

Tumia, kwa mfano, programu ya calculator iliyowekwa na default na mfumo wa uendeshaji. Inafungua kwa kuchagua kipengee cha "Calculator" kwenye folda ya "Utilities" kutoka kwa kifungu cha "Standard", kilichowekwa kwenye sehemu ya "Programu zote". Sehemu hii inaweza kufunguliwa kwa kubofya kitufe cha "Anza" kwenye orodha kuu ya uendeshaji. Ikiwa unatumia toleo la Windows 7, unaweza tu kuandika "Calculator" kwenye uwanja wa "Tafuta programu na faili" kwenye orodha kuu, na kisha ubofye kiungo kinachofanana katika matokeo ya utafutaji.

Hesabu idadi ya hatua zinazohitajika na fikiria juu ya utaratibu ambao zinapaswa kufanywa. Ikiwa swali hili ni gumu kwako, tafadhali kumbuka kuwa shughuli zilizofungwa kwenye mabano zinafanywa kwanza, kisha kugawanya na kuzidisha; na kutoa hufanywa mwisho. Ili iwe rahisi kukumbuka algorithm ya vitendo vilivyofanywa, katika usemi ulio juu ya kila ishara ya waendeshaji wa hatua (+,-,*,:), na penseli nyembamba, andika nambari zinazolingana na utekelezaji wa vitendo.

Endelea na hatua ya kwanza, kufuata utaratibu uliowekwa. Hesabu katika kichwa chako ikiwa vitendo ni rahisi kutekeleza kwa maneno. Ikiwa mahesabu yanahitajika (katika safu), yaandike chini ya usemi, ukionyesha nambari ya serial ya kitendo.

Fuatilia kwa uwazi mlolongo wa vitendo vilivyofanywa, tathmini kile kinachohitaji kupunguzwa kutoka kwa nini, kugawanywa katika nini, nk. Mara nyingi jibu katika usemi sio sahihi kwa sababu ya makosa yaliyofanywa katika hatua hii.

Kipengele tofauti cha usemi ni uwepo wa shughuli za hisabati. Inaonyeshwa na ishara fulani (kuzidisha, mgawanyiko, kutoa au kuongeza). Mlolongo wa kufanya shughuli za hisabati hurekebishwa na mabano ikiwa ni lazima. Kufanya shughuli za hisabati inamaanisha kupata .

Nini si kujieleza

Sio kila nukuu ya hisabati inaweza kuainishwa kama usemi.

Usawa sio maneno. Ikiwa shughuli za hisabati zipo katika usawa au la haijalishi. Kwa mfano, a=5 ni usawa, si usemi, lakini 8+6*2=20 pia haiwezi kuchukuliwa kuwa usemi, ingawa ina kuzidisha. Mfano huu pia ni wa kategoria ya usawa.

Dhana za usemi na usawa hazitengani; ya kwanza imejumuishwa katika mwisho. Ishara sawa inaunganisha misemo miwili:
5+7=24:2

Mlinganyo huu unaweza kurahisishwa:
5+7=12

Usemi daima huchukulia kuwa shughuli za hisabati inayowakilisha zinaweza kufanywa. 9+:-7 sio usemi, ingawa kuna ishara za shughuli za hisabati hapa, kwa sababu haiwezekani kufanya vitendo hivi.

Pia kuna zile za hisabati ambazo ni misemo rasmi, lakini hazina maana. Mfano wa usemi kama huu:
46:(5-2-3)

Nambari 46 lazima igawanywe na matokeo ya vitendo katika mabano, na ni sawa na sifuri. Huwezi kugawanya kwa sifuri; hatua inachukuliwa kuwa marufuku.

Semi za nambari na algebra

Kuna aina mbili za maneno ya hisabati.

Ikiwa usemi una nambari na alama tu za shughuli za hisabati, usemi kama huo huitwa nambari. Ikiwa katika usemi, pamoja na nambari, kuna vigezo vinavyoonyeshwa na barua, au hakuna nambari kabisa, usemi huo unajumuisha tu vigezo na alama za shughuli za hisabati, inaitwa algebraic.

Tofauti ya kimsingi kati ya thamani ya nambari na thamani ya aljebra ni kwamba usemi wa nambari una thamani moja tu. Kwa mfano, thamani ya usemi wa nambari 56–2*3 daima itakuwa sawa na 50; hakuna kinachoweza kubadilishwa. Usemi wa aljebra unaweza kuwa na thamani nyingi, kwa sababu nambari yoyote inaweza kubadilishwa. Kwa hivyo, ikiwa katika usemi b-7 tunabadilisha 9 kwa b, thamani ya usemi itakuwa 2, na ikiwa 200, itakuwa 193.

Vyanzo:

• Semi za nambari na algebra