Somo la video "makazi ya Trigonometric ya hoja ya nambari" inatoa nyenzo za kuona ili kuhakikisha uwazi wakati wa kueleza mada darasani. Wakati wa maandamano, kanuni ya kuunda thamani ya kazi za trigonometric kutoka kwa nambari inazingatiwa, mifano kadhaa imeelezewa ambayo inafundisha jinsi ya kuhesabu maadili ya kazi za trigonometric kutoka kwa nambari. Kwa kutumia mwongozo huu Ni rahisi kukuza ujuzi katika kutatua shida zinazofaa na kufikia kukariri nyenzo. Kutumia mwongozo huongeza ufanisi wa somo na husaidia kufikia malengo ya kujifunza haraka.
Mwanzoni mwa somo, kichwa cha mada kinaonyeshwa. Kisha kazi ni kupata cosine sambamba na baadhi hoja ya nambari. Imebainishwa kuwa kazi hii Suluhisho ni rahisi na inaweza kuonyeshwa wazi. Skrini inaonyesha mduara wa kitengo na kituo chake kwenye asili. Imebainishwa kuwa hatua ya makutano ya duara na mhimili mzuri wa nusu ya mhimili wa abscissa iko kwenye hatua A (1;0). Mfano wa nukta M imetolewa, ambayo inawakilisha hoja t=π/3. Hatua hii alibainisha juu ya mduara wa kitengo, na kutoka kwake perpendicular inashuka kwenye mhimili wa abscissa. Abscissa iliyopatikana ya uhakika ni cosine ya cos t. KATIKA kwa kesi hii abscissa ya uhakika itakuwa x=1/2. Kwa hivyo cos t=1/2.
Kwa muhtasari wa ukweli unaozingatiwa, inabainika kuwa inaeleweka kuzungumza juu ya kazi s=cos t. Ikumbukwe kwamba wanafunzi tayari wana ujuzi fulani kuhusu kazi hii. Baadhi ya maadili yamehesabiwa cosine cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Pia zinazohusiana na chaguo hili la kukokotoa ni kazi s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Inabainisha kuwa wana jina la kawaida kwa wote - kazi za trigonometric.
Mahusiano muhimu ambayo hutumiwa katika kutatua matatizo na kazi za trigonometric: msingi dhambi ya utambulisho 2 t+ cos 2 t=1, usemi wa tanjiti na kotanji kupitia sine na kosine tg t=sin t/cos t, ambapo t≠π/2+πk kwa kϵZ, ctg t= cos t/sin t, ambapo t≠πk kwa kϵZ, pamoja na uwiano wa tangent kwa cotangent tg t·ctg t=1 ambapo t≠πk/2 kwa kϵZ.
Ifuatayo, tunapendekeza kuzingatia uthibitisho wa uhusiano 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, na t≠π/2+πk kwa kϵZ. Ili kuthibitisha utambulisho, ni muhimu kuwakilisha tan 2 t kwa namna ya uwiano wa sine na cosine, na kisha kupunguza maneno upande wa kushoto dhehebu la kawaida 1+ tan 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Kwa kutumia kitambulisho cha msingi cha trigonometric, tunapata 1 katika nambari, yaani, usemi wa mwisho 1/ cos 2 t. Q.E.D.
Utambulisho wa 1+ kitanda 2 t=1/ sin 2 t umethibitishwa kwa njia sawa, kwa t≠πk kwa kϵZ. Kama ilivyo katika uthibitisho wa awali, kotanjiti hubadilishwa na uwiano unaolingana wa kosine na sine, na maneno yote mawili upande wa kushoto yamepunguzwa kuwa dhehebu la kawaida 1+ kitanda 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( dhambi 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Baada ya kutumia kuu kitambulisho cha trigonometric kwa nambari tunapata 1/ dhambi 2 t. Huu ndio usemi tunaoutafuta.
Suluhisho la mifano ambayo ujuzi uliopatikana hutumiwa huzingatiwa. Katika kazi ya kwanza, unahitaji kupata maadili ya gharama, tgt, ctgt, ikiwa sine ya nambari sint=4/5 inajulikana, na t ni ya muda π/2.< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.
Ifuatayo, tunazingatia suluhisho la shida kama hiyo ambayo tangent tgt = -8/15 inajulikana, na hoja ni mdogo kwa maadili 3π/2. Ili kupata thamani ya sine, tunatumia ufafanuzi wa tangent tgt= sint/cost. Kutoka humo tunapata sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Tukijua kuwa kotanji ni kazi kinyume cha tangent, tunapata ctgt=1/(-8/15)=-15/8. Somo la video "Utendaji wa Trigonometric wa hoja ya nambari" hutumiwa kuongeza ufanisi wa somo la hisabati shuleni. Wakati wa kujifunza kwa umbali, nyenzo hii inaweza kutumika kama msaada wa kuona kwa kukuza ujuzi katika kutatua matatizo ambayo yanahusisha utendaji wa trigonometric wa nambari. Ili kupata ujuzi huu, mwanafunzi anaweza kushauriwa kuchunguza kwa kujitegemea nyenzo za kuona. KUSUMBUA MAANDIKO: Mada ya somo ni "kazi za Trigonometric za hoja ya nambari." Nambari yoyote halisi T inaweza kuhusishwa na nambari iliyofafanuliwa kipekee cos t. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya yafuatayo: 1) weka mduara wa nambari kwenye ndege ya kuratibu ili katikati ya duara ifanane na asili ya kuratibu, na hatua ya kuanzia A ya mduara iko kwenye hatua (1;0); 2) pata uhakika kwenye mduara unaofanana na nambari t; 3) pata abscissa ya hatua hii. Hii ni cos t. Kwa hiyo, tutazungumzia kuhusu kazi s = cos t (es sawa na cosine te), ambapo t ni nambari yoyote halisi. Tayari tumepata wazo fulani la kazi hii: Kazi hizi zote huitwa kazi za trigonometric za hoja ya nambari t. Kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent, baadhi ya mahusiano hufuata: 1) dhambi 2 t + cos 2 t = 1 (sine mraba te plus cosine square te ni sawa na moja) 2)tgt = kwa t ≠ + πk, kϵZ (tangent te ni sawa na uwiano wa sine te na cosine te na te isiyo sawa na pi kwa mbili pamoja na pi ka, ka ni ya zet) 3) ctgt = kwa t ≠ πk, kϵZ (cotangent te ni sawa na uwiano wa cosine te na sine te wakati te si sawa na pi ka, ka ni zet). 4) tgt ∙ ctgt = 1 kwa t ≠ , kϵZ (bidhaa ya tangent te kwa cotangent te ni sawa na moja wakati te si sawa na kilele ka, ikigawanywa na mbili, ka ni ya zet) Wacha tuthibitishe fomula mbili muhimu zaidi: Moja plus tangent squared te ni sawa na uwiano wa moja kwa cosine squared te wakati te si sawa na pi kwa mbili plus pi ka. Ushahidi. Hebu tupunguze usemi mmoja pamoja na tangent ya mraba te hadi kibainishi cha kawaida cosine squared te. Tunapata katika nambari jumla ya miraba ya cosine te na sine te, ambayo ni sawa na moja. Na denominator inabaki mraba wa cosine te. Jumla ya umoja na mraba wa cotangent te ni sawa na uwiano wa umoja na mraba wa sine te wakati te si sawa na pi ka. Ushahidi. Usemi one plus cotangent squared te, vile vile, tunaleta kwa kiashiria cha kawaida na kutumia uhusiano wa kwanza. Hebu tuangalie mifano. MFANO 1. Tafuta gharama, tgt, ctgt ikiwa sint = na< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи) Suluhisho. Kutoka kwa uhusiano wa kwanza tunapata cosine squared te ni sawa na minus moja minus squared te: cos 2 t = 1 - sin 2 t. Hii ina maana kwamba cos 2 t = 1 -() 2 = (cosine square te ni sawa na tisa ishirini na tano), yaani, gharama = (cosine te ni sawa na tano tano) au gharama = - (cosine te ni sawa na ondoa theluthi tatu). Kwa hali, hoja t ni ya robo ya pili, na ndani yake cos t< 0 (косинус тэ отрицательный). Hii ina maana kwamba cosine te ni sawa na minus tatu-tano, gharama = - . Hebu tuhesabu tangent te: tgt = = ׃ (-)= - ;(tangent te ni sawa na uwiano wa sine te na cosine te, na kwa hivyo nne-tano hadi toa tatu-tano na ni sawa na toa theluthi nne) Ipasavyo, tunahesabu (cotangent ya nambari te. kwani cotangent te ni sawa na uwiano wa kosine ya te hadi sine ya te,) ctgt = = - . (cotangent te ni sawa na minus tatu-robo). Jibu: gharama = - , tgt= - ; ctgt = - . (tunajaza jibu tunapolitatua) MFANO 2. Inajulikana kuwa tgt = - na< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt. Suluhisho. Wacha tutumie uhusiano huu na tubadilishe thamani kwenye fomula hii ili kupata: 1 + (-) 2 = (moja kwa kila mraba te ni sawa na jumla ya moja na mraba minus nane kumi na tano). Kutoka hapa tunapata cos 2 t = (cosine square te ni sawa na mia mbili ishirini na tano mia mbili themanini na tisa). Hii ina maana gharama = (cosine te ni kumi na tano ya kumi na saba) au gharama =. Kwa masharti, hoja $t $ $ ni ya robo ya nne, ambapo cost>0. Kwa hivyo gharama = .(cosenus te ni kumi na tano ya kumi na saba) Wacha tupate thamani ya hoja sine te. Kwa kuwa kutoka kwa uhusiano (onyesha uhusiano tgt = kwa t ≠ + πk, kϵZ) sine te ni sawa na bidhaa ya tangent te kwa cosine te, kisha kubadilisha thamani ya hoja te..tangent te ni sawa na minus nane kumi na tano .. kwa hali, na cosine te ni sawa na kutatuliwa mapema, tunapata sint = tgt ∙ gharama = (-) ∙ = - , (sine te ni sawa na minus ya kumi na saba) ctgt = = - . (kwa kuwa cotangent te ni mlingano wa tangent, ambayo ina maana kwamba cotangent ni sawa na minus kumi na tano kumi na nane) Utendakazi wa trigonometric za hoja ya nambari.
Utendakazi wa trigonometric za hoja ya nambarit ni kazi za fomu y= gharama t, Kutumia fomula hizi, kupitia thamani inayojulikana ya kazi moja ya trigonometric, unaweza kupata maadili yasiyojulikana ya kazi zingine za trigonometric. Maelezo. 1) Chukua fomula cos 2 t + sin 2 t = 1 na uitumie kupata fomula mpya. Ili kufanya hivyo, gawanya pande zote mbili za formula kwa cos 2 t (kwa t ≠ 0, yaani, t ≠ π/2 + π. k) Kwa hivyo: cos 2 t dhambi 2 t 1 Neno la kwanza ni sawa na 1. Tunajua kwamba uwiano wa sine na conis ni tangent, ambayo ina maana neno la pili ni sawa na tg 2 t. Kwa hivyo, tunapata fomula mpya (na ambayo tayari unaijua): 2) Sasa gawanya cos 2 t + dhambi 2 t = 1 kwa dhambi 2 t (kwa t ≠ π k): cos 2 t dhambi 2 t 1 Uwiano wa cosine na sine ni cotangent. Maana: dhambi 2 t 1 dhambi 2 t cos 2 t + dhambi 2 t 1 Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata urahisi jumla ya moja na mraba wa cotangent, pamoja na vitambulisho vingine vingi. Utendakazi wa trigonometriki za hoja ya angular.
Katika utendajikatika =
cost,
katika =
dhambit,
katika =
tgt,
katika =
ctgt kutofautianat inaweza kuwa zaidi ya hoja ya nambari. Inaweza pia kuchukuliwa kuwa kipimo cha pembe - yaani, hoja ya angular. Kwa kutumia mduara wa nambari na mfumo wa kuratibu, unaweza kupata kwa urahisi sine, kosine, tanjiti, na cotangent ya pembe yoyote. Ili kufanya hivyo, masharti mawili muhimu lazima yakamilishwe: 2) moja ya pande za pembe lazima iwe boriti chanya ya mhimili x. Katika kesi hii, uratibu wa hatua ambayo mduara na upande wa pili wa pembe huingiliana ni sine ya pembe hii, na abscissa ya hatua hii ni cosine ya pembe hii. Maelezo. Wacha tuchore pembe, upande mmoja ambao ni ray chanya ya mhimili x, na upande wa pili hutoka kutoka kwa asili ya mhimili wa kuratibu (na kutoka katikati ya mduara) kwa pembe ya 30º (tazama takwimu). Kisha hatua ya makutano ya upande wa pili na mduara inafanana na π/6. Tunajua kuratibu na abscissa ya hatua hii. Pia ni cosine na sine ya pembe yetu: √3 1 Na kujua sine na kosine ya pembe, unaweza kupata tangent yake na cotangent kwa urahisi. Kwa hivyo, mduara wa nambari, ulio katika mfumo wa kuratibu, ni njia rahisi ya kupata sine, cosine, tangent, au cotangent ya pembe. Lakini kuna njia rahisi zaidi. Sio lazima kuteka mduara na mfumo wa kuratibu. Unaweza kutumia fomula rahisi na rahisi: Mfano: tafuta sine na kosine ya pembe sawa na 60º. Suluhisho: π 60 π √3 π 1 Maelezo: tuligundua kuwa sine na cosine ya pembe ya 60º inalingana na maadili ya nukta kwenye mduara π/3. Ifuatayo, tunapata tu maadili ya hatua hii kwenye meza - na hivyo kutatua mfano wetu. Jedwali la sines na cosines ya pointi kuu za mzunguko wa nambari iko katika sehemu ya awali na kwenye ukurasa wa "Jedwali". Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili. Malengo ya somo: Aina ya somo: mafunzo. Aina ya somo: somo la ujuzi na uwezo. Fomu ya masomo: kikundi Aina ya vikundi:
kundi wakiwa wamekaa pamoja. Wanafunzi wa viwango tofauti vya mafunzo, ufahamu wa somo fulani, wanafunzi wanaolingana, ambayo huwaruhusu kukamilishana na kutajirisha kila mmoja. Vifaa: bodi; chaki; meza "Trigonometer"; karatasi za njia; kadi na barua (A, B, C.) kwa ajili ya kukamilisha mtihani; sahani zilizo na majina ya wafanyakazi; karatasi za alama; meza zilizo na majina ya hatua za safari; sumaku, multimedia tata. Wanafunzi hukaa katika vikundi: vikundi 4 vya watu 5-6. Kila kikundi ni wafanyakazi wa gari na majina yanayolingana na majina ya kazi za trigonometric, inayoongozwa na usukani. Kila wafanyakazi hupewa karatasi ya njia na lengo limedhamiriwa: kukamilisha njia iliyotolewa kwa ufanisi, bila makosa. Somo linaambatana na uwasilishaji. Mwalimu anajulisha mada ya somo, madhumuni ya somo, kozi ya somo, mpango wa kazi wa vikundi, jukumu la waendeshaji. Maneno ya ufunguzi ya mwalimu: –
Jamani! Andika nambari na mada ya somo: "Utendaji wa trigonometric wa hoja ya nambari." Leo darasani tutajifunza: Ili kufanya hivyo, unahitaji kujua: Imejulikana kwa muda mrefu kuwa kichwa kimoja ni nzuri, lakini mbili ni bora, hivyo leo unafanya kazi kwa vikundi. Inajulikana pia kwamba anayetembea atamiliki barabara. Lakini tunaishi katika enzi ya kasi na wakati ni wa thamani, ambayo inamaanisha tunaweza kusema hivi: "Barabara itadhibitiwa na wale wanaoendesha," kwa hivyo leo somo letu litafanyika kwa namna ya mchezo "Mathematics Rally." Kila kundi ni wafanyakazi wa magari, wakiongozwa na usukani. Kusudi la mchezo: Jina la wafanyakazi linalingana na muundo wa gari unaloendesha. Wafanyakazi na waendeshaji wao huletwa: Kauli mbiu ya mbio: "Fanya haraka polepole!" Lazima upitie "eneo la hisabati" lenye vizuizi vingi. Karatasi za njia zilitolewa kwa kila wafanyakazi. Wafanyakazi wanaojua ufafanuzi na fomula za trigonometric wataweza kushinda vikwazo. Wakati wa kukimbia, kila nahodha huwaongoza wafanyakazi, kusaidia, na kutathmini mchango wa kila wahudumu ili kushinda njia kwa njia ya "faida" na "hasara" kwenye laha ya alama. Kwa kila jibu sahihi kikundi hupokea "+" na jibu lisilo sahihi "-". Unapaswa kushinda hatua zifuatazo za safari: Awamu ya I. SDA (sheria za trafiki). Na kwa hivyo tunaenda! 1) Katika kila kikundi, waongozaji husambaza tikiti zilizo na maswali ya kinadharia kwa kila mshiriki: 2) Kusanya fomula "zilizotawanyika". Kuna meza kwenye ubao wa siri (tazama hapa chini). Wahudumu lazima walinganishe fomula. Kila timu huandika jibu ubaoni kwa namna ya mstari wa herufi zinazolingana (kwa jozi). Jibu: ab, vg, de, hedgehog, zi, yk. Kazi ya mdomo: mtihani. Kwenye ubao wa siri imeandikwa: kazi: kurahisisha usemi. Chaguzi za majibu zimeandikwa karibu nao. Wafanyakazi huamua majibu sahihi katika dakika 1. na kuchukua seti sambamba ya barua. Jibu: C V A. Wafanyakazi wana dakika 3 kwa mkutano wa kuamua kazi, na kisha wawakilishi wa wafanyakazi wanaandika uamuzi kwenye bodi. Wakati wawakilishi wa wafanyakazi wanamaliza kuandika suluhisho la kazi ya kwanza, wanafunzi wote (pamoja na mwalimu) angalia usahihi na busara ya ufumbuzi na kuandika katika daftari. Waongoza waendeshaji hutathmini mchango wa kila mshiriki kwa kutumia ishara "+" na "-" kwenye karatasi za tathmini. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi: –
Gari lako limeharibika. Gari lako linahitaji kutengenezwa. Taarifa zinatolewa kwa kila wafanyakazi, lakini kuna makosa ndani yao. Tafuta makosa haya na ueleze kwa nini yalifanywa. Taarifa hutumia vipengele vya trigonometriki vinavyolingana na muundo wa gari lako. Umechoka na unahitaji kupumzika. Wakati wafanyakazi wanapumzika, waendeshaji wa helms wanajumuisha matokeo ya awali: wanahesabu "faida" na "hasara" za wanachama wa wafanyakazi na wafanyakazi kwa ujumla. Kwa wanafunzi: 3 au zaidi "+" - alama "5"; Kwa wafanyakazi:"+" na "-" kufuta kila mmoja nje. Wahusika waliobaki pekee ndio wanaohesabiwa. Nadhani charade. Kutoka kwa nambari unazochukua silabi yangu ya kwanza, Neno "trigonometry" (kutoka kwa maneno ya Kigiriki "trigonon" - pembetatu na "metreo" - kipimo) inamaanisha "kipimo cha pembetatu." Kuibuka kwa trigonometry kunahusishwa na maendeleo ya jiografia na astronomy - sayansi ya harakati za miili ya mbinguni, muundo na maendeleo ya Ulimwengu. Kama matokeo ya uchunguzi wa angani uliofanywa, hitaji liliibuka ili kuamua nafasi ya taa, kuhesabu umbali na pembe. Kwa kuwa umbali fulani, kwa mfano, kutoka kwa Dunia hadi sayari zingine, haukuweza kupimwa moja kwa moja, wanasayansi walianza kukuza mbinu za kupata uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu, ambayo wima mbili ziko duniani, na ya tatu. ni sayari au nyota. Mahusiano hayo yanaweza kupatikana kwa kujifunza pembetatu mbalimbali na mali zao. Ndiyo maana mahesabu ya astronomia yalisababisha ufumbuzi (yaani, kutafuta vipengele) vya pembetatu. Hivi ndivyo trigonometry hufanya. Mwanzo wa trigonometry uligunduliwa katika Babeli ya kale. Wanasayansi wa Babeli waliweza kutabiri kupatwa kwa jua na mwezi. Habari fulani ya asili ya trigonometric inapatikana katika makaburi ya kale ya watu wengine wa kale. Ili kuvuka mstari wa kumalizia kwa mafanikio, unachotakiwa kufanya ni kujikaza na kufanya "sprint". Ni muhimu sana katika trigonometry kuweza kuamua haraka maadili ya sin t, gharama, tgt, ctg t, ambapo 0 ≤ t ≤ . Funga vitabu vya kiada. Wahudumu kwa njia mbadala hutaja thamani za utendaji kazi sin t, gharama, tgt, ctg t ikiwa: Matokeo ya mchezo. Waongozaji wakikabidhi karatasi za tathmini. Wafanyikazi ambao walikua bingwa wa "Mathematics Rally" wamedhamiriwa na kazi ya vikundi vilivyobaki ina sifa. Yanayofuata ni majina ya waliopata daraja la "5" na "4". Muhtasari wa somo. - Wavulana! Umejifunza nini darasani leo? (rahisisha misemo ya trigonometric; pata maadili ya kazi za trigonometric). Unahitaji kujua nini kwa hili? - Nadhani unaelewa kuwa unahitaji kujua fomula vizuri ili kuzitumia kwa usahihi. Pia uligundua kuwa trigonometry ni sehemu muhimu sana ya hisabati, kama inavyotumika katika sayansi zingine: unajimu, jiografia, fizikia, n.k. Kazi ya nyumbani: Nambari yoyote halisi t inachukuliwa, inaweza kuhusishwa na nambari iliyofafanuliwa kipekee sin t. Ukweli, sheria ya kulinganisha ni ngumu sana; kama tulivyoona hapo juu, ni kama ifuatavyo. Ili kupata thamani ya sin t kwa kutumia nambari t, unahitaji: 1) weka mduara wa nambari kwenye ndege ya kuratibu ili katikati ya duara iendane na asili ya kuratibu, na hatua ya kuanzia A ya duara iko kwenye hatua (1; 0); 2) pata uhakika kwenye mduara unaofanana na nambari t; 3) pata mpangilio wa hatua hii. Uratibu huu ni dhambi t. Kwa kweli, tunazungumza juu ya kazi u = sin t, ambapo t ni nambari yoyote halisi. Kazi hizi zote zinaitwa kazi za trigonometriki za hoja ya nambari t. Kuna idadi ya mahusiano ambayo huunganisha maadili ya kazi mbalimbali za trigonometric; tayari tumepata baadhi ya mahusiano haya: dhambi 2 t+cos 2 t = 1 Kutoka kwa fomula mbili za mwisho ni rahisi kupata uhusiano unaounganisha tg t na ctg t: Njia hizi zote hutumiwa katika hali ambapo, kwa kujua thamani ya kazi ya trigonometric, ni muhimu kuhesabu maadili ya kazi nyingine za trigonometric. Maneno "sine", "cosine", "tangent" na "cotangent" yalijulikana, hata hivyo, bado yalitumiwa kwa tafsiri tofauti kidogo: katika jiometri na fizikia walizingatia sine, cosine, tangent na cotangent. kichwani(lakini sivyo nambari, kama ilivyokuwa katika aya zilizopita). Kutoka kwa jiometri inajulikana kuwa sine (cosine) ya pembe ya papo hapo ni uwiano wa miguu ya pembetatu ya kulia kwa hypotenuse yake, na tangent (cotangent) ya angle ni uwiano wa miguu ya pembetatu ya kulia. Mtazamo tofauti wa dhana za sine, kosine, tanjiti na kotanji uliendelezwa katika aya zilizopita. Kwa kweli, mbinu hizi zinahusiana. Hebu tuchukue pembe yenye kipimo cha shahada b o na kuiweka katika “mduara wa nambari katika mfumo wa kuratibu wa mstatili” kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 14 kilele cha pembe ni sambamba na katikati miduara (na asili ya mfumo wa kuratibu), na upande mmoja wa pembe unaendana na mionzi chanya ya mhimili wa x. Kusimama kamili makutano ya upande wa pili wa pembe na onyesha kwa duara herufi M. Ordina- Kielelezo 14 b o, na abscissa ya hatua hii ni cosine ya angle b o. Ili kupata sine au kosine ya pembe b o sio lazima kabisa kufanya miundo hii ngumu sana kila wakati. Inatosha kutambua kwamba arc AM hufanya sehemu sawa ya urefu wa mduara wa nambari kama angle b o hufanya kutoka kona ya 360 °. Ikiwa urefu wa arc AM unaonyeshwa na herufi t, tunapata: Hivyo, Kwa mfano, Inaaminika kuwa 30 ° ni kipimo cha digrii ya angle, na kipimo cha radian cha angle sawa: 30 ° = rad. Kabisa: Hasa, ninafurahi ambapo, kwa upande wake, tunapata kutoka. Kwa hivyo 1 radian ni nini? Kuna vipimo mbalimbali vya urefu wa makundi: sentimita, mita, yadi, nk. Pia kuna hatua mbalimbali za kuonyesha ukubwa wa pembe. Tunazingatia pembe za kati za mzunguko wa kitengo. Pembe ya 1 ° ni pembe ya kati iliyopunguzwa na arc ambayo ni sehemu ya duara. Pembe ya radian 1 ni pembe ya kati iliyopunguzwa na arc ya urefu wa 1, i.e. kwenye arc ambayo urefu wake ni sawa na radius ya duara. Kutoka kwa formula, tunaona kwamba 1 rad = 57.3 °. Wakati wa kuzingatia kazi u = sin t (au kazi nyingine yoyote ya trigonometric), tunaweza kuzingatia kigezo huru t kuwa hoja ya nambari, kama ilivyokuwa katika aya zilizopita, lakini pia tunaweza kuzingatia utofauti huu kuwa kipimo cha pembe, i.e. hoja ya pembeni. Kwa hiyo, wakati wa kuzungumza juu ya kazi ya trigonometric, kwa maana fulani haina tofauti ya kuzingatia kuwa kazi ya hoja ya namba au angular. Ufafanuzi 1: Kitendaji cha nambari kinachotolewa na fomula y=sin x inaitwa sine. Curve hii inaitwa - wimbi la sine. Sifa za chaguo za kukokotoa y=sin x 2. Kiwango cha thamani ya utendakazi: E(y)=[-1; 1] 3. Utendakazi wa usawa: y=dhambi x - isiyo ya kawaida,. 4. Periodicity: sin(x+2πn)=sin x, ambapo n ni nambari kamili. Chaguo hili la kukokotoa huchukua maadili sawa baada ya kipindi fulani. Sifa hii ya kazi inaitwa masafa. Muda ni kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kwa chaguo za kukokotoa y=sin x kipindi ni 2π. Chaguo za kukokotoa y=sin x ni za muda, na kipindi Т=2πn, n ni nambari kamili. Kipindi chanya kidogo zaidi ni T=2π. Kihisabati, hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: sin(x+2πn)=sin x, ambapo n ni nambari kamili. Ufafanuzi2: Kitendaji cha nambari kilichotolewa na fomula y=cosx kinaitwa cosine. Sifa za chaguo za kukokotoa y=cos x 1. Kikoa cha kazi: D(y)=R 2. Eneo la thamani ya kazi: E(y)=[-1;1] 3. Utendakazi wa usawa: y=cos x - hata. 4. Muda: cos(x+2πn)=cos x, ambapo n ni nambari kamili. Chaguo za kukokotoa y=cos x ni za mara kwa mara, zenye kipindi Т=2π. Ufafanuzi wa 3: Kitendaji cha nambari kilichotolewa na fomula y=tan x inaitwa tangent. Sifa za chaguo za kukokotoa y=tg x 1. Kikoa cha kazi: D (y) - nambari zote halisi isipokuwa π/2+πk, k - nambari kamili. Kwa sababu katika pointi hizi tangent haijafafanuliwa. 2. Masafa ya utendakazi: E(y)=R. 3. Utendakazi wa usawa: y=tg x - isiyo ya kawaida. 4. Muda: tg(x+πk)=tg x, ambapo k ni nambari kamili. Chaguo za kukokotoa y=tg x ni za muda na kipindi π. Ufafanuzi wa 4: Kitendakazi cha nambari kilichotolewa na fomula y=ctg x inaitwa cotangent. Sifa za chaguo za kukokotoa y=ctg x 1. Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: D(y) - nambari zote halisi isipokuwa πk, k ni nambari kamili. Kwa sababu katika pointi hizi cotangent haijafafanuliwa.
y= dhambi t, y=tg t, y= ctg t.
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
--- + --- = ---, ambapo t ≠ π k + π k, k- nambari kamili
dhambi 2 t dhambi 2 t dhambi 2 t
Kujua kanuni za msingi za hisabati na kujifunza kanuni za msingi za trigonometria, unaweza kupata kwa urahisi vitambulisho vingine vya trigonometric peke yako. Na hii ni bora zaidi kuliko kukumbuka tu: kile unachojifunza kwa moyo kinasahauliwa haraka, lakini kile unachoelewa kinakumbukwa kwa muda mrefu, ikiwa sio milele. Kwa mfano, si lazima kukariri nini jumla ya moja na mraba wa tangent ni sawa. Ikiwa umesahau, unaweza kukumbuka kwa urahisi ikiwa unajua jambo rahisi zaidi: tangent ni uwiano wa sine na cosine. Kwa kuongezea, tumia sheria rahisi ya kuongeza sehemu na madhehebu tofauti na upate matokeo:
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
1) vertex ya angle lazima iwe katikati ya mduara, ambayo pia ni katikati ya mhimili wa kuratibu;
--; --
2 2
dhambi 60º = dhambi --- = dhambi -- = --
180 3 2
cos 60º = cos -- = -
3 2
Rudi mbele
Wakati wa madarasa
I. Wakati wa shirika.
Hatua ya II. Ukaguzi wa kiufundi.
Hatua ya III. Mbio za kuvuka nchi.
Hatua ya IV. Kusimama ghafla ni ajali.
Hatua ya V. Sitisha.
Hatua ya VI. Maliza.
Hatua ya VII. Matokeo.Awamu ya I. SDA (sheria za trafiki).
A
tg 2 t + 1
e
1
V
tg t
na
cos t / sin t, t ≠ k, kZ.
d
dhambi 2 t + cos 2 t
Na
1/ dhambi 2 t, t ≠ k, kZ.
e
ctg t
Kwa
1,t ≠ k / 2, kZ.
h
1 + ctg 2 t
G
dhambi t / cos t, t ≠ /2 + k, kZ.
th
tg t ∙ctg t
b
1/ cos 2 t, t ≠ /2 + k, kZ.
Hatua ya II. Ukaguzi wa kiufundi.
№
Kujieleza
Chaguzi za kujibu
A
KATIKA
NA
1.
1 - cos 2 t
kwani 2 t
- dhambi 2 t
dhambi 2 t
2.
dhambi 2 t - 1
kwani 2 t
- cos 2 t
2 cos 2 t
3.
(cos t - 1) (1+ cos t)
-dhambi 2 t
(1+ gharama t) 2
(cos t - 1) 2
Hatua ya III. Mbio za kuvuka nchi.
Hatua ya IV. Kusimama ghafla ni ajali.
Hatua ya V. Sitisha.
2 "+" - alama "4";
1 "+" - alama "3".
Ya pili ni kutoka kwa neno "kiburi".
Na utawaendesha farasi wa tatu,
Ya nne itakuwa mlio wa kondoo.
Silabi yangu ya tano ni sawa na ya kwanza
Herufi ya mwisho katika alfabeti ni ya sita,
Na ikiwa unadhani kila kitu kwa usahihi,
Kisha katika hisabati utapata sehemu kama hii.
(Trigonometry)Hatua ya VI. Maliza.
Hatua ya VII. Matokeo.
Utendakazi wa trigonometric za hoja ya nambari. Sifa na grafu za kazi za trigonometric.
