Kuweka tu, hizi ni mboga zilizopikwa kwenye maji kulingana na mapishi maalum. Nitazingatia vipengele viwili vya awali (saladi ya mboga na maji) na matokeo ya kumaliza - borscht. Kijiometri, inaweza kudhaniwa kama mstatili, huku upande mmoja ukiwakilisha lettusi na upande mwingine ukiwakilisha maji. Jumla ya pande hizi mbili itaonyesha borscht. Ulalo na eneo la mstatili kama huo wa "borscht" ni dhana za kihesabu na hazitumiwi kamwe katika mapishi ya borscht.
Je, lettuce na maji hugeukaje kuwa borscht kutoka kwa mtazamo wa hisabati? Je, jumla ya sehemu mbili za mistari inawezaje kuwa trigonometria? Ili kuelewa hili, tunahitaji kazi za angular za mstari.
Hutapata chochote kuhusu kazi za angular za mstari kwenye vitabu vya kiada vya hesabu. Lakini bila wao hakuwezi kuwa na hisabati. Sheria za hisabati, kama sheria za asili, hufanya kazi bila kujali kama tunajua kuhusu kuwepo kwao au la.
Vitendaji vya angular ya mstari ni sheria za kuongeza. Tazama jinsi aljebra inavyobadilika kuwa jiometri na jiometri inabadilika kuwa trigonometria.
Inawezekana kufanya bila kazi za angular za mstari? Inawezekana, kwa sababu wanahisabati bado wanasimamia bila wao. Ujanja wa wanahisabati ni kwamba kila wakati wanatuambia tu juu ya shida hizo ambazo wao wenyewe wanajua jinsi ya kutatua, na hawazungumzi kamwe juu ya shida hizo ambazo hawawezi kutatua. Tazama. Ikiwa tunajua matokeo ya kujumlisha na neno moja, tunatumia kutoa ili kupata neno lingine. Wote. Hatujui matatizo mengine na hatujui jinsi ya kuyatatua. Tufanye nini ikiwa tunajua tu matokeo ya nyongeza na hatujui maneno yote mawili? Katika kesi hii, matokeo ya nyongeza lazima yamegawanywa kwa maneno mawili kwa kutumia kazi za angular za mstari. Ifuatayo, sisi wenyewe tunachagua neno moja linaweza kuwa nini, na kazi za angular za mstari zinaonyesha nini muda wa pili unapaswa kuwa ili matokeo ya kuongeza ndiyo hasa tunayohitaji. Kunaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya jozi kama hizo za istilahi. Katika maisha ya kila siku, tunapatana vizuri bila kuoza jumla ya kutoa ni ya kutosha kwa ajili yetu. Lakini katika utafiti wa kisayansi juu ya sheria za asili, kuoza jumla katika sehemu zake kunaweza kuwa muhimu sana.
Sheria nyingine ya nyongeza ambayo wanahisabati hawapendi kuizungumzia (hila zao nyingine) inahitaji masharti yawe na vitengo sawa vya kipimo. Kwa saladi, maji, na borscht, hizi zinaweza kuwa vitengo vya uzito, ujazo, thamani, au kipimo cha kipimo.
Kielelezo kinaonyesha viwango viwili vya tofauti vya hisabati. Ngazi ya kwanza ni tofauti katika uwanja wa nambari, ambazo zinaonyeshwa a, b, c. Hivi ndivyo wanahisabati hufanya. Kiwango cha pili ni tofauti katika uwanja wa vitengo vya kipimo, ambavyo vinaonyeshwa kwenye mabano ya mraba na iliyoonyeshwa na barua. U. Hivi ndivyo wanafizikia hufanya. Tunaweza kuelewa kiwango cha tatu - tofauti katika eneo la vitu vinavyoelezewa. Vitu tofauti vinaweza kuwa na idadi sawa ya vitengo sawa vya kipimo. Jinsi hii ni muhimu, tunaweza kuona katika mfano wa trigonometry ya borscht. Ikiwa tutaongeza usajili kwenye muundo wa kitengo sawa kwa vitu tofauti, tunaweza kusema ni kiasi gani cha hisabati kinaelezea kitu fulani na jinsi kinavyobadilika kwa wakati au kwa sababu ya vitendo vyetu. Barua W Nitachagua maji kwa barua S Nitachagua saladi na barua B- borsch. Hivi ndivyo kazi za angular za mstari za borscht zitakavyoonekana.
Ikiwa tunachukua sehemu fulani ya maji na sehemu fulani ya saladi, pamoja watageuka kuwa sehemu moja ya borscht. Hapa napendekeza uchukue mapumziko kidogo kutoka kwa borscht na ukumbuke utoto wako wa mbali. Unakumbuka jinsi tulivyofundishwa kuweka bunnies na bata pamoja? Ilihitajika kupata wanyama wangapi kutakuwa na. Tulifundishwa kufanya nini basi? Tulifundishwa kutenganisha vitengo vya kipimo kutoka kwa nambari na kuongeza nambari. Ndiyo, nambari yoyote inaweza kuongezwa kwa nambari nyingine yoyote. Hii ni njia ya moja kwa moja ya tawahudi ya hisabati ya kisasa - tunaifanya bila kueleweka ni nini, bila kueleweka kwa nini, na kwa hafifu sana kuelewa jinsi hii inahusiana na ukweli, kwa sababu ya viwango vitatu vya tofauti, wanahisabati hufanya kazi na moja tu. Itakuwa sahihi zaidi kujifunza jinsi ya kuhama kutoka kitengo kimoja cha kipimo hadi kingine.
Bunnies, bata, na wanyama wadogo wanaweza kuhesabiwa vipande vipande. Kitengo kimoja cha kawaida cha kipimo cha vitu tofauti huturuhusu kuviongeza pamoja. Hili ni toleo la watoto la tatizo. Wacha tuangalie shida kama hiyo kwa watu wazima. Unapata nini unapoongeza bunnies na pesa? Hapa tunaweza kutoa suluhisho mbili.
Chaguo la kwanza. Tunaamua thamani ya soko ya bunnies na kuiongeza kwa kiasi kinachopatikana cha pesa. Tumepokea jumla ya thamani ya utajiri wetu katika masuala ya fedha.
Chaguo la pili. Unaweza kuongeza idadi ya bunnies kwa idadi ya noti tulizo nazo. Tutapokea kiasi cha mali inayohamishika vipande vipande.
Kama unavyoona, sheria sawa ya kuongeza hukuruhusu kupata matokeo tofauti. Yote inategemea ni nini hasa tunataka kujua.
Lakini wacha turudi kwenye borscht yetu. Sasa tunaweza kuona kitakachotokea kwa maadili tofauti ya pembe za kazi za angular za mstari.
Pembe ni sifuri. Tuna saladi, lakini hakuna maji. Hatuwezi kupika borscht. Kiasi cha borscht pia ni sifuri. Hii haimaanishi kabisa kwamba zero borscht ni sawa na maji sifuri. Kunaweza kuwa na zero borscht na saladi ya sifuri (pembe ya kulia).
Kwangu mimi binafsi, huu ndio uthibitisho mkuu wa kihisabati wa ukweli kwamba . Sufuri haibadilishi nambari inapoongezwa. Hii hutokea kwa sababu nyongeza yenyewe haiwezekani ikiwa kuna muhula mmoja tu na muhula wa pili haupo. Unaweza kuhisi juu ya hii kama unavyopenda, lakini kumbuka - shughuli zote za hesabu na sifuri ziligunduliwa na wanahisabati wenyewe, kwa hivyo tupa mantiki yako na usome kwa ujinga ufafanuzi uliobuniwa na wanahisabati: "mgawanyiko kwa sifuri hauwezekani", "nambari yoyote iliyozidishwa na sifuri ni sawa na sifuri” , “zaidi ya nukta sifuri” na upuuzi mwingine. Inatosha kukumbuka mara moja kwamba sifuri sio nambari, na hautawahi tena kuwa na swali ikiwa sifuri ni nambari ya asili au la, kwa sababu swali kama hilo linapoteza maana yote: ni vipi kitu ambacho sio nambari kinaweza kuzingatiwa kuwa nambari. ? Ni kama kuuliza rangi isiyoonekana inapaswa kuainishwa kama rangi gani. Kuongeza sifuri kwa nambari ni sawa na uchoraji na rangi ambayo haipo. Tulipunga brashi kavu na kumwambia kila mtu kwamba "tulipaka rangi." Lakini mimi hupunguka kidogo.
Pembe ni kubwa kuliko sifuri lakini chini ya digrii arobaini na tano. Tuna lettuce nyingi, lakini hakuna maji ya kutosha. Matokeo yake, tutapata borscht nene.
Pembe ni digrii arobaini na tano. Tuna kiasi sawa cha maji na saladi. Hii ni borscht kamili (nisamehe, wapishi, ni hesabu tu).
Pembe ni kubwa kuliko digrii arobaini na tano, lakini chini ya digrii tisini. Tuna maji mengi na saladi kidogo. Utapata borscht ya kioevu.
Pembe ya kulia. Tuna maji. Yote iliyobaki ya saladi ni kumbukumbu, tunapoendelea kupima angle kutoka kwenye mstari ambao mara moja uliweka alama ya saladi. Hatuwezi kupika borscht. Kiasi cha borscht ni sifuri. Katika kesi hii, shikilia na kunywa maji wakati unayo)))
Hapa. Kitu kama hiki. Ninaweza kusimulia hadithi zingine hapa ambazo zingefaa zaidi hapa.
Marafiki wawili walikuwa na hisa zao katika biashara ya pamoja. Baada ya kumuua mmoja wao, kila kitu kilikwenda kwa mwingine.
Kuibuka kwa hisabati kwenye sayari yetu.
Hadithi hizi zote husimuliwa kwa lugha ya hisabati kwa kutumia vitendawili vya angular. Wakati mwingine nitakuonyesha mahali pa kweli pa kazi hizi katika muundo wa hisabati. Wakati huo huo, wacha turudi kwenye trigonometry ya borscht na tuzingatie makadirio.
Jumamosi, Oktoba 26, 2019
Nilitazama video ya kuvutia kuhusu Mfululizo wa Grundy Moja toa moja pamoja na moja toa moja - Numberphile. Wanahisabati wanadanganya. Hawakufanya ukaguzi wa usawa wakati wa hoja zao.
Hii inarudi mawazo yangu kuhusu.
Hebu tuangalie kwa makini ishara ambazo wataalamu wa hisabati wanatudanganya. Mwanzoni kabisa mwa hoja, wanahisabati wanasema kuwa jumla ya mfuatano HUTEGEMEA ikiwa ina idadi hata ya vipengele au la. Huu ni UKWELI ULIOWEKA KWA LENGO. Nini kitatokea baadaye?
Ifuatayo, wanahisabati huondoa mlolongo kutoka kwa umoja. Je, hii inaongoza kwa nini? Hii inasababisha mabadiliko katika idadi ya vipengele vya mlolongo - nambari hata inabadilika kuwa nambari isiyo ya kawaida, nambari isiyo ya kawaida inabadilika kuwa nambari sawa. Baada ya yote, tuliongeza kipengele kimoja sawa na moja kwa mlolongo. Licha ya kufanana kwa nje, mlolongo kabla ya mabadiliko si sawa na mlolongo baada ya mabadiliko. Hata ikiwa tunazungumza juu ya mlolongo usio na kikomo, lazima tukumbuke kwamba mlolongo usio na idadi na idadi isiyo ya kawaida ya vipengele si sawa na mlolongo usio na idadi sawa ya vipengele.
Kwa kuweka ishara sawa kati ya mifuatano miwili yenye idadi tofauti ya vipengele, wanahisabati wanadai kuwa jumla ya mfuatano HAITEGEMEI idadi ya vipengele katika mfuatano huo, ambao unakinzana na UKWELI ULIOWEKA KWA LENGO. Hoja zaidi kuhusu jumla ya mlolongo usio na kikomo ni ya uwongo, kwa kuwa inategemea usawa wa uongo.
Ikiwa unaona kwamba wataalamu wa hisabati, katika mwendo wa uthibitisho, huweka mabano, kupanga upya vipengele vya kujieleza kwa hisabati, kuongeza au kuondoa kitu, kuwa makini sana, uwezekano mkubwa wanajaribu kukudanganya. Kama wachawi wa kadi, wanahisabati hutumia hila mbalimbali za kujieleza ili kuvuruga umakini wako ili hatimaye kukupa matokeo ya uwongo. Ikiwa huwezi kurudia hila ya kadi bila kujua siri ya udanganyifu, basi katika hisabati kila kitu ni rahisi zaidi: hata haushuku chochote juu ya udanganyifu, lakini kurudia udanganyifu wote na usemi wa hisabati hukuruhusu kuwashawishi wengine juu ya usahihi. matokeo yaliyopatikana, kama vile wakati -walikushawishi.
Swali kutoka kwa hadhira: Je, infinity (kama idadi ya vipengele katika mfuatano S) ni sawa au isiyo ya kawaida? Unawezaje kubadilisha usawa wa kitu ambacho hakina usawa?
Infinity ni ya wanahisabati, kama Ufalme wa Mbinguni ni wa makuhani - hakuna mtu aliyewahi kuwa huko, lakini kila mtu anajua jinsi kila kitu kinavyofanya kazi huko))) Ninakubali, baada ya kifo hautajali kabisa ikiwa uliishi nambari moja au isiyo ya kawaida. ya siku, lakini ... Kuongeza siku moja tu katika mwanzo wa maisha yako, tutapata mtu tofauti kabisa: jina lake la mwisho, jina la kwanza na patronymic ni sawa, tu tarehe ya kuzaliwa ni tofauti kabisa - alikuwa. aliyezaliwa siku moja kabla yako.
Sasa hebu tufikie hatua))) Hebu tuseme kwamba mlolongo wa mwisho ambao una usawa unapoteza usawa huu wakati wa kwenda kwa infinity. Kisha sehemu yoyote ya kikomo ya mfuatano usio na kikomo lazima ipoteze usawa. Hatuoni hii. Ukweli kwamba hatuwezi kusema kwa uhakika ikiwa mfuatano usio na kikomo una idadi sawa au isiyo ya kawaida ya vipengele haimaanishi kuwa usawa umetoweka. Usawa, ikiwa upo, hauwezi kutoweka bila kuwaeleza katika ukomo, kama katika sleeve ya sharpie. Kuna mlinganisho mzuri sana kwa kesi hii.
Umewahi kuuliza cuckoo ameketi saa ambayo mkono wa saa huzunguka upande gani? Kwa ajili yake, mshale huzunguka kinyume na kile tunachoita "saa ya saa". Ingawa inaweza kusikika kama kitendawili, mwelekeo wa mzunguko unategemea tu upande gani tunaona mzunguko kutoka. Na kwa hivyo, tuna gurudumu moja linalozunguka. Hatuwezi kusema ni mwelekeo gani mzunguko unatokea, kwa kuwa tunaweza kuuona wote kutoka upande mmoja wa ndege ya mzunguko na kutoka kwa nyingine. Tunaweza tu kushuhudia ukweli kwamba kuna mzunguko. Ulinganisho kamili na usawa wa mlolongo usio na kikomo S.
Sasa hebu tuongeze gurudumu la pili linalozunguka, ndege ya mzunguko ambayo ni sawa na ndege ya mzunguko wa gurudumu la kwanza linalozunguka. Bado hatuwezi kusema kwa uhakika ni upande gani magurudumu haya yanazunguka, lakini tunaweza kujua kabisa ikiwa magurudumu yote mawili yanazunguka katika mwelekeo mmoja au katika mwelekeo tofauti. Kulinganisha mifuatano miwili isiyo na kikomo S Na 1-S, nilitumia hisabati kuonyesha kwamba mfuatano huu una mishororo tofauti na kuweka ishara sawa kati yao ni kosa. Binafsi, ninaamini hisabati, siwaamini wanahisabati))) Kwa njia, kuelewa kikamilifu jiometri ya mabadiliko ya mlolongo usio na kipimo, ni muhimu kuanzisha dhana. "simultaneity". Hii itahitaji kuchorwa.
Jumatano, Agosti 7, 2019
Kuhitimisha mazungumzo kuhusu, tunahitaji kuzingatia seti isiyo na mwisho. Jambo ni kwamba wazo la "infinity" linaathiri wanahisabati kama vile mkandarasi wa boa huathiri sungura. Hofu ya kutetemeka ya kutokuwa na mwisho huwanyima wanahisabati akili ya kawaida. Hapa kuna mfano:
Chanzo asili iko. Alpha inawakilisha nambari halisi. Ishara sawa katika maneno hapo juu inaonyesha kwamba ikiwa unaongeza nambari au infinity kwa infinity, hakuna kitu kitakachobadilika, matokeo yatakuwa infinity sawa. Ikiwa tutachukua seti isiyo na kikomo ya nambari za asili kama mfano, basi mifano inayozingatiwa inaweza kuwakilishwa katika fomu hii:
Ili kuthibitisha wazi kwamba walikuwa sahihi, wanahisabati walikuja na mbinu nyingi tofauti. Binafsi, mimi hutazama njia hizi zote kama shamans wakicheza na matari. Kimsingi, wote huchemka kwa ukweli kwamba aidha baadhi ya vyumba havina mtu na wageni wapya wanaingia, au kwamba baadhi ya wageni hutupwa nje kwenye ukanda ili kutoa nafasi kwa wageni (kibinadamu sana). Niliwasilisha maoni yangu juu ya maamuzi kama haya kwa namna ya hadithi ya fantasy kuhusu Blonde. Hoja yangu inatokana na nini? Kuhamisha idadi isiyo na kikomo ya wageni huchukua muda usio na kipimo. Baada ya kuondoka kwenye chumba cha kwanza kwa ajili ya mgeni, mmoja wa wageni atatembea kando ya ukanda kutoka chumba chake hadi kingine hadi mwisho wa wakati. Kwa kweli, sababu ya wakati inaweza kupuuzwa kijinga, lakini hii itakuwa katika kitengo cha "hakuna sheria iliyoandikwa kwa wapumbavu." Yote inategemea kile tunachofanya: kurekebisha ukweli kwa nadharia za hisabati au kinyume chake.
"Hoteli isiyo na mwisho" ni nini? Hoteli isiyo na kikomo ni hoteli ambayo daima ina idadi yoyote ya vitanda tupu, bila kujali ni vyumba vingapi vinavyokaliwa. Ikiwa vyumba vyote katika ukanda wa "mgeni" usio na mwisho huchukuliwa, kuna ukanda mwingine usio na mwisho na vyumba vya "wageni". Kutakuwa na idadi isiyo na kikomo ya korido kama hizo. Zaidi ya hayo, "hoteli isiyo na kikomo" ina idadi isiyo na kikomo ya sakafu katika idadi isiyo na kikomo ya majengo kwenye idadi isiyo na kikomo ya sayari katika idadi isiyo na kikomo ya ulimwengu iliyoundwa na idadi isiyo na kikomo ya Miungu. Wanahisabati hawawezi kujitenga na shida za kila siku za banal: daima kuna Mungu mmoja tu-Allah-Buddha, kuna hoteli moja tu, kuna ukanda mmoja tu. Kwa hivyo wataalamu wa hesabu wanajaribu kuchanganya nambari za mfululizo za vyumba vya hoteli, na kutusadikisha kwamba inawezekana "kusukuma jambo lisilowezekana."
Nitaonyesha mantiki ya hoja yangu kwako kwa kutumia mfano wa seti isiyo na kikomo ya nambari asilia. Kwanza unahitaji kujibu swali rahisi sana: ni seti ngapi za nambari za asili - moja au nyingi? Hakuna jibu sahihi kwa swali hili, kwa kuwa tulivumbua nambari sisi wenyewe; Ndio, Asili ni nzuri kwa kuhesabu, lakini kwa hili hutumia zana zingine za hesabu ambazo hatujazoea. Nitakuambia nini Nature inafikiria wakati mwingine. Kwa kuwa tuligundua nambari, sisi wenyewe tutaamua ni seti ngapi za nambari za asili. Wacha tuzingatie chaguzi zote mbili, kama inavyofaa wanasayansi wa kweli.
Chaguo la kwanza. "Hebu tupewe" seti moja ya nambari za asili, ambazo hulala kwa utulivu kwenye rafu. Tunachukua seti hii kutoka kwa rafu. Hiyo ndiyo yote, hakuna nambari zingine za asili zilizobaki kwenye rafu na hakuna mahali pa kuzipeleka. Hatuwezi kuongeza moja kwenye seti hii, kwa kuwa tayari tunayo. Nini kama unataka kweli? Hakuna shida. Tunaweza kuchukua moja kutoka kwa seti ambayo tayari tumechukua na kuirudisha kwenye rafu. Baada ya hayo, tunaweza kuchukua moja kutoka kwenye rafu na kuiongeza kwa kile tulichoacha. Kama matokeo, tutapata tena seti isiyo na kikomo ya nambari za asili. Unaweza kuandika udanganyifu wetu wote kama hii:
Niliandika vitendo katika nukuu za aljebra na katika nukuu ya nadharia iliyowekwa, na uorodheshaji wa kina wa vipengee vya seti. Usajili unaonyesha kuwa tunayo nambari moja tu ya nambari asili. Inabadilika kuwa seti ya nambari za asili itabaki bila kubadilika tu ikiwa mtu ametolewa kutoka kwake na kitengo sawa kinaongezwa.
Chaguo la pili. Tuna seti nyingi tofauti zisizo na kikomo za nambari asili kwenye rafu yetu. Ninasisitiza - TOFAUTI, licha ya ukweli kwamba wao ni kivitendo kutofautishwa. Hebu tuchukue moja ya seti hizi. Kisha tunachukua moja kutoka kwa seti nyingine ya nambari za asili na kuiongeza kwenye seti ambayo tumechukua tayari. Tunaweza hata kuongeza seti mbili za nambari za asili. Hii ndio tunayopata:
Maandishi "moja" na "mbili" yanaonyesha kuwa vipengele hivi vilikuwa vya seti tofauti. Ndiyo, ukiongeza moja kwa seti isiyo na kikomo, matokeo pia yatakuwa seti isiyo na kikomo, lakini haitakuwa sawa na seti ya awali. Ukiongeza seti nyingine isiyo na kikomo kwa seti moja isiyo na kikomo, matokeo yake ni seti mpya isiyo na kikomo inayojumuisha vipengele vya seti mbili za kwanza.
Seti ya nambari za asili hutumiwa kwa kuhesabu kwa njia sawa na mtawala wa kupima. Sasa fikiria kwamba umeongeza sentimita moja kwa mtawala. Hii itakuwa mstari tofauti, si sawa na wa awali.
Unaweza kukubali au kutokubali hoja yangu - ni biashara yako mwenyewe. Lakini ikiwa utawahi kukutana na matatizo ya hisabati, fikiria ikiwa unafuata njia ya mawazo ya uwongo iliyokanyagwa na vizazi vya wanahisabati. Baada ya yote, kusoma hisabati, kwanza kabisa, huunda mtindo thabiti wa fikra ndani yetu, na kisha tu huongeza uwezo wetu wa kiakili (au, kinyume chake, hutunyima mawazo ya bure).
pozg.ru
Jumapili, Agosti 4, 2019
Nilikuwa nikimaliza maandishi ya nakala kuhusu na nikaona maandishi haya mazuri kwenye Wikipedia:
Tunasoma: "... msingi tajiri wa kinadharia wa hisabati ya Babeli haukuwa na tabia kamili na ulipunguzwa kwa seti ya mbinu tofauti, zisizo na mfumo wa kawaida na msingi wa ushahidi."
Lo! Jinsi tulivyo nadhifu na jinsi tunavyoweza kuona mapungufu ya wengine. Je, ni vigumu kwetu kuangalia hisabati ya kisasa katika muktadha huo huo? Kwa kufafanua kidogo maandishi hapo juu, mimi binafsi nilipata yafuatayo:
Msingi wa kinadharia wa hisabati ya kisasa sio jumla katika asili na umepunguzwa kwa seti ya sehemu tofauti, bila mfumo wa kawaida na msingi wa ushahidi.
Sitafika mbali kuthibitisha maneno yangu - ina lugha na kaida ambazo ni tofauti na lugha na kaida za matawi mengine mengi ya hisabati. Majina sawa katika matawi tofauti ya hisabati yanaweza kuwa na maana tofauti. Ninataka kutoa mfululizo mzima wa machapisho kwa makosa ya wazi zaidi ya hisabati ya kisasa. Nitakuona hivi karibuni.
Jumamosi, Agosti 3, 2019
Jinsi ya kugawanya seti katika sehemu ndogo? Ili kufanya hivyo, unahitaji kuingiza kitengo kipya cha kipimo kilichopo katika baadhi ya vipengele vya seti iliyochaguliwa. Hebu tuangalie mfano.
Tupate mengi A yenye watu wanne. Seti hii imeundwa kwa msingi wa "watu." A, usajili ulio na nambari utaonyesha nambari ya mfululizo ya kila mtu katika seti hii. Hebu tuanzishe kitengo kipya cha kipimo "jinsia" na tukiashiria kwa herufi b. Kwa kuwa sifa za ngono ni asili kwa watu wote, tunazidisha kila kipengele cha seti A kulingana na jinsia b. Ona kwamba seti yetu ya "watu" sasa imekuwa seti ya "watu wenye sifa za kijinsia." Baada ya haya tunaweza kugawanya sifa za kijinsia kwa wanaume bm na za wanawake bw sifa za ngono. Sasa tunaweza kutumia chujio cha hisabati: tunachagua mojawapo ya sifa hizi za ngono, bila kujali ni ipi - ya kiume au ya kike. Ikiwa mtu anayo, basi tunaizidisha kwa moja, ikiwa hakuna ishara hiyo, tunaizidisha kwa sifuri. Na kisha tunatumia hisabati ya shule ya kawaida. Tazama kilichotokea.
Baada ya kuzidisha, kupunguza na kupanga upya, tuliishia na sehemu ndogo mbili: kikundi kidogo cha wanaume Bm na sehemu ndogo ya wanawake Bw. Wanahisabati husababu kwa takriban njia sawa wanapotumia nadharia iliyowekwa katika vitendo. Lakini hawatupi maelezo, lakini wanatupa matokeo yaliyokamilika - "watu wengi wanajumuisha kikundi kidogo cha wanaume na kikundi kidogo cha wanawake." Kwa kawaida, unaweza kuwa na swali: je, hisabati imetumika kwa usahihi vipi katika mabadiliko yaliyoainishwa hapo juu? Ninathubutu kukuhakikishia kwamba, kimsingi, mabadiliko yalifanyika kwa usahihi; inatosha kujua msingi wa hisabati wa hesabu, algebra ya Boolean na matawi mengine ya hisabati. Ni nini? Wakati mwingine nitakuambia juu ya hii.
Kuhusu supersets, unaweza kuchanganya seti mbili kwenye seti moja kuu kwa kuchagua kipimo kilichopo katika vipengele vya seti hizi mbili.
Kama unavyoona, vitengo vya kipimo na hisabati ya kawaida hufanya nadharia iliyowekwa kuwa masalio ya zamani. Ishara kwamba kila kitu sio sawa na nadharia iliyowekwa ni kwamba wanahisabati wamekuja na lugha yao wenyewe na nukuu ya nadharia iliyowekwa. Wanahisabati walifanya kama shamans walifanya mara moja. Ni shaman pekee wanaojua jinsi ya kutumia “maarifa” yao “kwa usahihi”. Wanatufundisha "maarifa" haya.
Kwa kumalizia, nataka kukuonyesha jinsi wanahisabati wanavyoendesha
Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Katika muda ambao Achilles huchukua kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia kuelekea uelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ... majadiliano yanaendelea hadi leo, jumuiya ya kisayansi bado haijaweza kufikia maoni ya pamoja juu ya kiini cha utata ... uchambuzi wa hisabati, nadharia iliyowekwa, mbinu mpya za kimwili na za kifalsafa zilihusika katika utafiti wa suala hilo; ; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhu inayokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Kwa kadiri ninavyoelewa, vifaa vya hisabati vya kutumia vitengo tofauti vya kipimo bado havijatengenezwa, au havijatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. Kwa mtazamo wa kimaumbile, hii inaonekana kana kwamba muda unapungua hadi unakoma kabisa wakati Achilles anapokutana na kobe. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha kwa kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Baki katika vitengo vya muda vya kudumu na usibadilishe kwa vitengo vinavyofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Katika muda unaofuata sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini hii sio suluhisho kamili kwa shida. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kuwa kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linapaswa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kuamua ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja kwa wakati tofauti, lakini huwezi kuamua umbali kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka kwa pointi tofauti katika nafasi kwa wakati mmoja, lakini kutoka kwao huwezi kuamua ukweli wa harakati (bila shaka, bado unahitaji data ya ziada kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia. ) Ninachotaka kuzingatia ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Nitakuonyesha mchakato na mfano. Tunachagua "nyekundu kwenye pimple" - hii ni "nzima" yetu. Wakati huo huo, tunaona kwamba mambo haya yana upinde, na kuna bila upinde. Baada ya hayo, tunachagua sehemu ya "nzima" na kuunda seti "kwa upinde". Hivi ndivyo shamans hupata chakula chao kwa kuunganisha nadharia yao iliyowekwa na ukweli.
Sasa hebu tufanye hila kidogo. Hebu tuchukue "imara na pimple na upinde" na kuchanganya "zima" hizi kulingana na rangi, kuchagua vipengele nyekundu. Tulipata "nyekundu" nyingi. Sasa swali la mwisho: je, seti zinazosababisha "kwa upinde" na "nyekundu" ni seti sawa au seti mbili tofauti? Waganga tu ndio wanajua jibu. Kwa usahihi, wao wenyewe hawajui chochote, lakini kama wanasema, itakuwa hivyo.
Mfano huu rahisi unaonyesha kuwa nadharia ya kuweka haina maana kabisa linapokuja suala la ukweli. Nini siri? Tuliunda seti ya "nyekundu imara na pimple na upinde." Uundaji ulifanyika katika vitengo vinne tofauti vya kipimo: rangi (nyekundu), nguvu (imara), ukali (pimply), mapambo (kwa upinde). Seti tu ya vitengo vya kipimo huturuhusu kuelezea vya kutosha vitu halisi katika lugha ya hisabati.. Hivi ndivyo inavyoonekana.
Herufi "a" yenye fahirisi tofauti inaonyesha vitengo tofauti vya kipimo. Vitengo vya kipimo ambavyo "zima" vinatofautishwa katika hatua ya awali vinaonyeshwa kwenye mabano. Kitengo cha kipimo ambacho seti huundwa hutolewa nje ya mabano. Mstari wa mwisho unaonyesha matokeo ya mwisho - kipengele cha kuweka. Kama unaweza kuona, ikiwa tunatumia vitengo vya kipimo kuunda seti, basi matokeo hayategemei mpangilio wa vitendo vyetu. Na hii ni hisabati, na sio kucheza kwa shamans na matari. Shamans wanaweza "kwa intuitively" kufikia matokeo sawa, wakisema kuwa ni "dhahiri," kwa sababu vitengo vya kipimo sio sehemu ya silaha zao za "kisayansi".
Kwa kutumia vitengo vya kipimo, ni rahisi sana kugawanya seti moja au kuchanganya seti kadhaa katika superset moja. Hebu tuangalie kwa karibu algebra ya mchakato huu.
Mduara wa trigonometric ni moja ya vipengele vya msingi vya jiometri ya kutatua equations na sine, cosine, tangent na cotangent.
Ufafanuzi wa neno hili ni nini, jinsi ya kujenga mduara huu, jinsi ya kuamua robo katika trigonometry, jinsi ya kujua pembe katika mduara wa trigonometric uliojengwa - tutazungumzia kuhusu hili na mengi zaidi.
Mduara wa Trigonometric
Fomu ya trigonometric ya mduara wa nambari katika hisabati ni duara ambayo ina radius moja na inazingatia asili ya ndege ya kuratibu. Kama sheria, huundwa na nafasi ya fomula za sine na cosine, tangent na cotangent kwenye mfumo wa kuratibu.
Madhumuni ya nyanja kama hiyo yenye nafasi ya n-dimensional ni kwamba shukrani kwa hiyo kazi za trigonometric zinaweza kuelezewa. Inaonekana rahisi: mduara, ndani ambayo kuna mfumo wa kuratibu na pembetatu nyingi za kulia zinazoundwa kutoka kwa mduara huu kwa kutumia kazi za trigonometric.
Sine, kosine, tangent, cotangent katika pembetatu ya kulia ni nini
Pembetatu ya kulia ni moja ambayo moja ya pembe ni 90 °. Inaundwa na miguu na hypotenuse na maana zote za trigonometry. Miguu ni pande mbili za pembetatu ambazo ziko karibu na angle ya 90 °, na ya tatu ni hypotenuse, daima ni ndefu zaidi kuliko miguu.
Sine ni uwiano wa moja ya miguu kwa hypotenuse, cosine ni uwiano wa mguu mwingine kwa hiyo, na tangent ni uwiano wa miguu miwili. Uhusiano unaashiria mgawanyiko. Tangenti pia ni mgawanyiko wa pembe ya papo hapo kwa sine na kosine. Kotanjenti ni uwiano kinyume wa tangent.
Kanuni za uwiano wa mbili za mwisho ni kama ifuatavyo: tg(a) = sin(a) / cos(a) na ctg(a) = cos(a)/sin(a).
Kuunda mduara wa kitengo
Ujenzi wa mduara wa kitengo unakuja chini ili kuchora kwa radius ya kitengo katikati ya mfumo wa kuratibu. Kisha, ili kujenga, unahitaji kuhesabu pembe na, kusonga kinyume na saa, zunguka mzunguko mzima, ukiweka mistari ya kuratibu inayofanana nao.
Ujenzi huanza baada ya kuchora mduara na kuweka hatua katikati yake kwa kuweka mfumo wa kuratibu wa OX. Pointi O juu ya mhimili wa kuratibu ni sine, na X ni kosine. Ipasavyo, wao ni abscissa na kuratibu. Kisha unahitaji kuchukua vipimo ∠. Zinafanywa kwa digrii na radians.
Ni rahisi kutafsiri viashiria hivi - duara kamili ni sawa na pi radians mbili. Pembe kutoka sifuri kinyume cha saa inakuja na ishara +, na ∠ kutoka 0 mwendo wa saa inakuja na - ishara. Maadili chanya na hasi ya sine na cosine hurudiwa kila mapinduzi ya duara.
Pembe kwenye mduara wa trigonometric
Ili kujua nadharia ya mduara wa trigonometric, unahitaji kuelewa jinsi ∠ inavyohesabiwa juu yake na kwa njia gani wanapimwa. Wao ni mahesabu kwa urahisi sana.
Mduara umegawanywa na mfumo wa kuratibu katika sehemu nne. Kila sehemu huunda ∠ 90°. Nusu ya pembe hizi ni digrii 45. Ipasavyo, sehemu mbili za duara ni sawa na 180 °, na sehemu tatu ni 360 °. Jinsi ya kutumia habari hii?
Ikiwa ni muhimu kutatua tatizo la kupata ∠, wanatumia nadharia kuhusu pembetatu na sheria za msingi za Pythagorean zinazohusiana nao.
Pembe hupimwa kwa radiani:
- kutoka 0 hadi 90 ° - maadili ya pembe kutoka 0 hadi ∏/2;
- kutoka 90 hadi 180 ° - maadili ya pembe kutoka ∏/2 hadi ∏;
- kutoka 180 hadi 270 ° - kutoka ∏ hadi 3 * ∏/2;
- robo ya mwisho kutoka 270 0 hadi 360 0 - thamani kutoka 3*∏/2 hadi 2*∏.
Ili kujua kipimo maalum, kubadilisha radians hadi digrii au kinyume chake, unapaswa kuamua kwenye karatasi ya kudanganya.
Kubadilisha pembe kutoka digrii hadi radiani
Pembe zinaweza kupimwa kwa digrii au radiani. Inahitajika kufahamu uhusiano kati ya maana zote mbili. Uhusiano huu unaonyeshwa kwa trigonometry kwa kutumia fomula maalum. Kwa kuelewa uhusiano, unaweza kujifunza jinsi ya kudhibiti haraka pembe na kusonga kutoka digrii hadi radians nyuma.
Ili kujua ni nini hasa radian moja ni sawa, unaweza kutumia fomula ifuatayo:
Radi 1. = 180 / ∏ = 180 / 3.1416 = 57.2956
Hatimaye, radiani 1 ni sawa na 57°, na kuna radiani 0.0175 katika digrii 1:
Shahada 1 = (∏ /180) rad. = 3.1416 / 180 rad. = rad 0.0175.
Cosine, sine, tangent, cotangent kwenye mduara wa trigonometric
Cosine yenye sine, tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric - kazi za pembe za alpha kutoka digrii 0 hadi 360. Kila chaguo la kukokotoa lina thamani chanya au hasi kulingana na ukubwa wa pembe. Zinaashiria uhusiano na pembetatu za kulia zilizoundwa kwenye duara.
Ishara ya kazi ya trigonometric inategemea tu juu ya quadrant ya kuratibu ambayo hoja ya nambari iko. Mara ya mwisho tulijifunza kubadilisha hoja kutoka kipimo cha radian hadi kipimo cha digrii (angalia somo " Kipimo cha radi na digrii cha pembe"), na kisha kubainisha robo hii ya kuratibu. Sasa hebu tubainishe ishara ya sine, cosine na tangent.
Sini ya pembe α ni kuratibu (y kuratibu) ya nukta kwenye mduara wa trigonometriki ambayo hutokea wakati radius inazungushwa kwa pembe α.
Kosini ya pembe α ni abscissa (x kuratibu) ya hatua kwenye mduara wa trigonometric, ambayo hutokea wakati radius inazungushwa na angle α.
Tanjiti ya pembe α ni uwiano wa sine na kosine. Au, ambayo ni kitu kimoja, uwiano wa y kuratibu kwa x kuratibu.
Dokezo: dhambi α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Ufafanuzi huu wote unaufahamu kutoka kwa aljebra ya shule ya upili. Hata hivyo, hatupendezwi na ufafanuzi wenyewe, lakini kwa matokeo yanayotokea kwenye mzunguko wa trigonometric. Angalia:
Rangi ya bluu inaonyesha mwelekeo mzuri wa mhimili wa OY (mhimili wa kuratibu), nyekundu inaonyesha mwelekeo mzuri wa mhimili wa OX (mhimili wa abscissa). Kwenye "rada" hii ishara za kazi za trigonometric zinakuwa wazi. Hasa:
- sin α > 0 ikiwa pembe α iko katika roboduara ya kuratibu ya I au II. Hii ni kwa sababu, kwa ufafanuzi, sine ni kuratibu (y kuratibu). Na y kuratibu itakuwa chanya kwa usahihi katika robo ya kuratibu ya I na II;
- cos α > 0, ikiwa pembe α iko katika roboduara ya 1 au ya 4 ya kuratibu. Kwa sababu hapo tu x kuratibu (aka abscissa) itakuwa kubwa kuliko sifuri;
- tan α > 0 ikiwa pembe α iko katika roboduara ya kuratibu ya I au III. Hii inafuata kutoka kwa ufafanuzi: baada ya yote, tan α = y : x, kwa hiyo ni chanya tu ambapo ishara za x na y zinapatana. Hii hutokea katika robo ya kwanza ya kuratibu (hapa x > 0, y > 0) na robo ya tatu ya kuratibu (x< 0, y < 0).
Kwa uwazi, hebu tuangalie ishara za kila kazi ya trigonometric - sine, cosine na tangent - kwenye "rada" tofauti. Tunapata picha ifuatayo:
Tafadhali kumbuka: katika majadiliano yangu sikuwahi kuzungumza juu ya kazi ya trigonometric ya nne - cotangent. Ukweli ni kwamba ishara za cotangent zinapatana na ishara za tangent - hakuna sheria maalum huko.
Sasa ninapendekeza kuzingatia mifano sawa na matatizo B11 kutoka kwa jaribio la Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, ambalo lilifanyika Septemba 27, 2011. Baada ya yote, njia bora ya kuelewa nadharia ni mazoezi. Inashauriwa kuwa na mazoezi mengi. Bila shaka, masharti ya kazi yalibadilishwa kidogo.
Kazi. Amua ishara za kazi na misemo ya trigonometric (thamani za kazi zenyewe hazihitaji kuhesabiwa):
- dhambi(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- dhambi (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- dhambi (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Mpango wa utekelezaji ni huu: kwanza tunabadilisha pembe zote kutoka hatua za radian hadi digrii (π → 180°), na kisha tuangalie ni robo gani ya kuratibu nambari inayotokana iko. Kujua robo, tunaweza kupata ishara kwa urahisi - kulingana na sheria zilizoelezwa hapo juu. Tuna:
- dhambi (3π/4) = dhambi (3 · 180°/4) = dhambi 135°. Tangu 135 ° ∈ , hii ni pembe kutoka kwa roboduara ya kuratibu ya II. Lakini sine katika robo ya pili ni chanya, kwa hivyo sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Kwa sababu 210° ∈ , hii ni pembe kutoka kwa roboduara ya kuratibu ya III, ambayo cosine zote ni hasi. Kwa hivyo cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180 °/3) = tg 300 °. Tangu 300° ∈ , tuko katika robo ya IV, ambapo tangent inachukua maadili hasi. Kwa hivyo tani (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = dhambi (3 180°/4) cos (5 180°/6) = dhambi 135° cos 150°. Wacha tushughulike na sine: kwa sababu 135 ° ∈ , hii ni robo ya pili ambayo sines ni chanya, i.e. dhambi (3π/4) > 0. Sasa tunafanya kazi na cosine: 150 ° ∈ - tena robo ya pili, cosines kuna hasi. Kwa hivyo cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Tunaangalia kosini: 120° ∈ ni robo ya kuratibu ya II, kwa hivyo cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Tena tulipata bidhaa ambayo mambo yana ishara tofauti. Kwa kuwa “minus kwa plus inatoa minus”, tunayo: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = dhambi (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Tunafanya kazi na sine: tangu 150 ° ∈, tunazungumzia juu ya robo ya kuratibu ya II, ambapo sines ni chanya. Kwa hiyo, dhambi (5π/6) > 0. Vile vile, 315 ° ∈ ni robo ya kuratibu ya IV, cosines huko ni chanya. Kwa hivyo cos (7π/4) > 0. Tumepata bidhaa ya nambari mbili chanya - usemi kama huo huwa chanya kila wakati. Tunahitimisha: dhambi (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Lakini angle 135 ° ∈ ni robo ya pili, i.e. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Kwa kuwa “minus kwa plus inatoa ishara ya kuondoa,” tunayo: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tunaangalia hoja ya cotangent: 240 ° ∈ ni III kuratibu robo, kwa hiyo ctg (4π/3) > 0. Vile vile, kwa tangent tunayo: 30 ° ∈ ni I kuratibu robo, i.e. pembe rahisi zaidi. Kwa hivyo tan (π/6) > 0. Tena tuna semi mbili chanya - bidhaa zao pia zitakuwa chanya. Kwa hivyo kitanda (4π/3) tg (π/6) > 0.
Hatimaye, hebu tuangalie matatizo magumu zaidi. Mbali na kufikiria ishara ya kazi ya trigonometric, itabidi ufanye hesabu kidogo hapa - haswa kama inavyofanywa katika shida halisi B11. Kimsingi, haya ni karibu matatizo halisi ambayo yanaonekana katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati.
Kazi. Tafuta dhambi α ikiwa dhambi 2 α = 0.64 na α ∈ [π/2; π].
Tangu dhambi 2 α = 0.64, tuna: dhambi α = ± 0.8. Inabakia tu kuamua: kuongeza au kupunguza? Kwa hali, pembe α ∈ [π/2; π] ni robo ya kuratibu ya II, ambapo sineno zote ni chanya. Kwa hiyo, dhambi α = 0.8 - kutokuwa na uhakika na ishara huondolewa.
Kazi. Tafuta cos α ikiwa cos 2 α = 0.04 na α ∈ [π; 3π/2].
Tunaendelea kwa njia sawa, i.e. chukua mzizi wa mraba: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Kwa hali, pembe α ∈ [π; 3π/2], i.e. Tunazungumza juu ya robo ya tatu ya kuratibu. Kosini zote kuna hasi, kwa hivyo cos α = -0.2.
Kazi. Tafuta dhambi α ikiwa dhambi 2 α = 0.25 na α ∈ .
Tuna: dhambi 2 α = 0.25 ⇒ dhambi α = ±0.5. Tunaangalia pembe tena: α ∈ ni robo ya kuratibu ya IV, ambayo, kama tunavyojua, sine itakuwa mbaya. Kwa hivyo, tunahitimisha: dhambi α = -0.5.
Kazi. Tafuta tan α ikiwa tani 2 α = 9 na α ∈ .
Kila kitu ni sawa, tu kwa tangent. Toa mzizi wa mraba: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Lakini kulingana na hali, pembe α ∈ ni mimi kuratibu robo. Kazi zote za trigonometric, pamoja na. tangent, kuna chanya, hivyo tan α = 3. Hiyo ni!
Mduara wa Trigonometric. Mzunguko wa kitengo. Mzunguko wa nambari. Ni nini?
Tahadhari!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Mara nyingi sana masharti mduara wa trigonometric, mduara wa kitengo, mduara wa nambari kueleweka vibaya kwa wanafunzi. Na bure kabisa. Dhana hizi ni msaidizi mwenye nguvu na wa ulimwengu wote katika maeneo yote ya trigonometry. Kwa kweli, hii ni karatasi ya kudanganya kisheria! Nilichora mduara wa trigonometric na mara moja nikaona majibu! Inajaribu? Basi tujifunze, itakuwa ni dhambi kutotumia kitu kama hicho. Aidha, si vigumu kabisa.
Ili kufanya kazi kwa mafanikio na mduara wa trigonometric, unahitaji kujua mambo matatu tu.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Aina ya somo: utaratibu wa maarifa na udhibiti wa kati.
Vifaa: mduara wa trigonometric, vipimo, kadi za kazi.
Malengo ya somo: panga nyenzo za kinadharia zilizosomwa kulingana na ufafanuzi wa sine, cosine, tangent ya pembe; angalia kiwango cha upataji wa maarifa juu ya mada hii na matumizi katika mazoezi.
Kazi:
- Kujumlisha na kuunganisha dhana za sine, kosine na tanjiti ya pembe.
- Unda uelewa wa kina wa vipengele vya trigonometric.
- Kukuza hamu ya wanafunzi na hitaji la kusoma nyenzo za trigonometric; kukuza utamaduni wa mawasiliano, uwezo wa kufanya kazi kwa vikundi na hitaji la kujielimisha.
"Yeyote anayefanya na kujifikiria mwenyewe tangu umri mdogo,
Kisha inakuwa ya kuaminika zaidi, yenye nguvu, nadhifu.
(V. Shukshin)
WAKATI WA MADARASA
I. Wakati wa shirika
Darasa linawakilishwa na vikundi vitatu. Kila kikundi kina mshauri.
Mwalimu anatangaza mada, malengo na malengo ya somo.
II. Kusasisha maarifa (kazi ya mbele na darasa)
1) Fanya kazi katika vikundi:
1. Tengeneza ufafanuzi wa angle ya dhambi.
- Je, dhambi α ina ishara gani katika kila roboduara ya kuratibu?
- Ni kwa maadili gani usemi dhambi α una mantiki, na inaweza kuchukua maadili gani?
2. Kundi la pili ni maswali sawa kwa cos α.
3. Kundi la tatu hutayarisha majibu kwa maswali sawa tg α na ctg α.
Kwa wakati huu, wanafunzi watatu hufanya kazi kwa kujitegemea kwenye ubao kwa kutumia kadi (wawakilishi wa vikundi tofauti).
Kadi namba 1.
Kazi ya vitendo.
Kwa kutumia mduara wa kitengo, hesabu thamani za dhambi α, cos α na tan α kwa pembe za 50, 210 na - 210.
Kadi nambari 2.
Tambua ishara ya usemi: tg 275; cos 370; dhambi 790; tg 4.1 na dhambi 2.
Nambari ya kadi 3.
1) Kuhesabu:
2) Linganisha: cos 60 na cos 2 30 - sin 2 30
2) Kwa mdomo:
a) Msururu wa nambari unapendekezwa: 1; 1.2; 3; , 0, , - 1. Miongoni mwao kuna zisizohitajika. Ni sifa gani ya dhambi α au cos α nambari hizi zinaweza kueleza (Je, dhambi α au cos α kuchukua maadili haya).
b) Je, usemi huo una maana: cos (–); dhambi 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Kwa nini?
c) Je, kuna thamani ya chini na ya juu kabisa ya sin au cos, tg, ctg.
d) Je, ni kweli?
1) α = 1000 ni pembe ya robo ya pili;
2) α = - 330 ni pembe ya robo ya IV.
e) Nambari zinalingana na sehemu sawa kwenye duara la kitengo.
3) Fanya kazi kwenye bodi
Nambari 567 (2; 4) - Pata thamani ya usemi
Nambari 583 (1-3) Tambua ishara ya usemi huo
Kazi ya nyumbani: meza katika daftari. Nambari 567 (1, 3) Nambari 578
III. Kupata maarifa ya ziada. Trigonometry katika kiganja cha mkono wako
Mwalimu: Inabadilika kuwa maadili ya sines na cosines ya pembe "ziko" kwenye kiganja cha mkono wako. Nyosha mkono wako (mkono wowote) na ueneze vidole vyako mbali iwezekanavyo (kama kwenye bango). Mwanafunzi mmoja amealikwa. Tunapima pembe kati ya vidole vyetu.
Chukua pembetatu ambapo kuna pembe ya 30, 45 na 60 90 na tumia vertex ya pembe kwenye kilima cha Mwezi katika kiganja cha mkono wako. Mlima wa Mwezi iko kwenye makutano ya upanuzi wa kidole kidogo na kidole. Tunaunganisha upande mmoja na kidole kidogo, na upande mwingine na moja ya vidole vingine.
Inageuka kuwa kuna pembe ya 90 kati ya kidole kidogo na kidole, 30 kati ya vidole vidogo na vya pete, 45 kati ya vidole vidogo na vya kati, na 60 kati ya vidole vidogo na vya index bila ubaguzi.
kidole kidogo Nambari 0 - inalingana na 0,
Nambari 1 isiyo na jina - inalingana na 30,
wastani Nambari 2 - inalingana na 45,
nambari ya 3 - inalingana na 60,
Nambari kubwa ya 4 - inalingana na 90.
Kwa hivyo, tuna vidole 4 mikononi mwetu na kukumbuka formula:
Nambari ya kidole. |
Kona |
Maana |
|
||
|
||
|
Hii ni sheria ya mnemonic tu. Kwa ujumla, thamani ya dhambi α au cos α lazima ijulikane kwa moyo, lakini wakati mwingine sheria hii itasaidia katika nyakati ngumu.
Njoo na sheria ya cos (pembe hazibadilika, lakini zinahesabiwa kutoka kwa kidole gumba). Kusitishwa kimwili kuhusishwa na ishara sin α au cos α.
IV. Kuangalia ujuzi wako wa ujuzi na ujuzi
Kazi ya kujitegemea na maoni
Kila mwanafunzi anapokea mtihani (chaguo 4) na karatasi ya majibu ni sawa kwa kila mtu.
Mtihani
Chaguo 1
1) Ni kwa pembe gani ya mzunguko ambayo radius itachukua nafasi sawa na wakati wa kugeuka kupitia pembe ya 50?
2) Tafuta thamani ya usemi: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Nambari gani ni chini ya sifuri: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Chaguo la 2
1) Ni kwa pembe gani ya kuzunguka radius itachukua nafasi sawa na wakati wa kugeuka kwa pembe ya 10.
2) Tafuta thamani ya usemi: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Nambari gani ni kubwa kuliko sifuri: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).
Chaguo la 3
1) Tafuta thamani ya usemi: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Nambari gani ni chini ya sifuri: sin 40, cos (- 10), tan 210, sin 140.
3) Ni pembe gani ya robo ni pembe α, ikiwa sin α > 0, cos α< 0.
Chaguo 4
1) Tafuta thamani ya usemi: tg 60 - 6ctg 90.
2) Nambari gani ni chini ya sifuri: sin(- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Ni pembe gani ya robo ni pembe α, ikiwa ctg α< 0, cos α> 0.
A |
B |
KATIKA |
G |
D |
E |
NA |
Z |
NA |
L |
M |
|
N |
KUHUSU |
P |
R |
NA |
T |
U |
F |
X |
Sh |
YU |
I |
(neno kuu ni trigonometry)
V. Taarifa kutoka kwa historia ya trigonometry
Mwalimu: Trigonometry ni tawi muhimu la hisabati kwa maisha ya mwanadamu. Aina ya kisasa ya trigonometry ilitolewa na mwanahisabati mkuu zaidi wa karne ya 18, Leonhard Euler, Mswisi wa kuzaliwa ambaye alifanya kazi nchini Urusi kwa miaka mingi na alikuwa mwanachama wa Chuo cha Sayansi cha St. Alianzisha ufafanuzi unaojulikana wa kazi za trigonometric, zilizoundwa na kuthibitisha kanuni zinazojulikana, tutajifunza baadaye. Maisha ya Euler ni ya kuvutia sana na nakushauri ujue nayo kupitia kitabu cha Yakovlev "Leonard Euler".
(Ujumbe kutoka kwa wavulana kwenye mada hii)
VI. Kwa muhtasari wa somo
Mchezo "Tic Tac Toe"
Wanafunzi wawili walio hai zaidi wanashiriki. Wanasaidiwa na vikundi. Suluhisho za kazi zimeandikwa kwenye daftari.
Kazi
1) Tafuta kosa
a) dhambi 225 = – 1.1 c) dhambi 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Eleza pembe kwa digrii
3) Eleza pembe 300 katika radiani
4) Ni thamani gani kubwa na ndogo zaidi usemi unaweza kuwa nao: 1+ dhambi α;
5) Amua ishara ya usemi: sin 260, cos 300.
6) Pointi iko katika robo gani ya duara ya nambari?
7) Amua ishara za usemi: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Kuhesabu:
9) Linganisha: dhambi 2 na dhambi 350
VII. Tafakari ya somo
Mwalimu: Tunaweza kukutana wapi na trigonometry?
Katika masomo gani katika daraja la 9, na hata sasa, unatumia dhana za dhambi α, cos α; tg α; ctg α na kwa madhumuni gani?