Kutathmini misemo kwa nguvu. Fomula za nguvu na mizizi

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni za nini, jinsi ya kutumia maarifa yako Maisha ya kila siku soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu kukamilika kwa mafanikio OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Kupanda madarakani ni sawa operesheni ya hisabati kama kuongeza, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaelezea kila kitu lugha ya binadamu sana mifano rahisi. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.

Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Sana swali zuri. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.

Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana zaidi kuwa cm kwa cm. Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().

Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Viwango na vinywaji, kwa njia, hupimwa ndani mita za ujazo. Haijatarajiwa, sawa?) Chora bwawa: sehemu ya chini inayopima mita na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni cubes ngapi za kupima mita kwa mita zitaingia kwenye bwawa lako.

Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii zilivumbuliwa na watu walioacha kazi na watu wenye hila kutatua wao wenyewe matatizo ya maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umeketi sasa na "kuhesabu kwa kidole," inamaanisha wewe ni sana mtu mchapakazi na.. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unapata mbili zaidi. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Vizuri ndani mtazamo wa jumla, kujumlisha na kukumbuka vyema zaidi... Shahada yenye msingi “ ” na kielezi “ ” husomwa kama “kwa kiwango” na kuandikwa. kwa njia ifuatayo:

Nguvu ya nambari c kiashiria cha asili

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "sifuri nukta tano". Hizi sio nambari za asili. Unadhani hizi ni nambari gani?

Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa walikosa nambari za asili kwa kupima urefu, uzito, eneo n.k. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Je, kuna wengine zaidi nambari zisizo na mantiki. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, kutokuwa na mwisho Nukta. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Pandisha nambari hadi shahada ya asili- inamaanisha kuzidisha nambari peke yake mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Ya kwanza ni wazi: haijalishi ni kiasi gani nambari chanya Hatukuzidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote ndani shahada ya sifuri sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye kama ilivyo mara ya mwisho: zidisha baadhi nambari ya kawaida sawa kwa kiwango hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari hadi nguvu hasi ni ulinganifu wa nambari sawa na shahada chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari, sio sawa na sifuri, kwa kiwango hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi kiwango chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Ni wazi hii kesi maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni mbili tu maingizo tofauti idadi sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Digrii na kiashiria cha busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada c kiashiria kisicho na mantiki .

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada yenye kipeo kamili cha nambari hasi- ni kana kwamba kitu kilitokea" mchakato wa nyuma", yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini iligawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada na kiashiria changamano, yaani, kiashiria sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

KATIKA kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

— msingi wa shahada;
- kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Tunaweza kuunda zifuatazo sheria rahisi:

hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi, iliyojengwa ndani isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuitenganisha kanuni ya mwisho, wacha tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni safi kitu cha hisabati, ambayo wanahisabati waliunda kupanua dhana ya shahada kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Majibu:

Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Ni dhahiri kwamba nambari zilizo na nguvu zinaweza kuongezwa kama idadi nyingine , kwa kuziongeza moja baada ya nyingine kwa ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 3 na b 2 ni 3 + b 2.
Jumla ya 3 - b n na h 5 -d 4 ni 3 - b n + h 5 - d 4.

Odd digrii sawa vigezo vinavyofanana inaweza kuongezwa au kupunguzwa.

Kwa hivyo, jumla ya 2a 2 na 3a 2 ni sawa na 5a 2.

Pia ni dhahiri kwamba ukichukua miraba miwili a, au miraba mitatu a, au miraba mitano a.

Lakini digrii vigezo mbalimbali Na digrii mbalimbali vigezo vinavyofanana, lazima zitungwe kwa kuziongeza na ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 2 na 3 ni jumla ya 2 + a 3.

Ni dhahiri kwamba mraba wa a, na mchemraba wa a, si sawa na mraba mara mbili ya a, lakini mara mbili ya mchemraba wa a.

Jumla ya 3 b n na 3a 5 b 6 ni 3 b n + 3a 5 b 6.

Kutoa nguvu zinafanywa kwa njia sawa na kuongeza, isipokuwa kwamba ishara za subtrahends lazima zibadilishwe ipasavyo.

Au:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Nguvu za kuzidisha

Nambari zilizo na nguvu zinaweza kuzidishwa, kama idadi zingine, kwa kuziandika moja baada ya nyingine, na au bila ishara ya kuzidisha kati yao.

Kwa hivyo, matokeo ya kuzidisha 3 kwa b 2 ni 3 b 2 au aaabb.

Au:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Matokeo katika mfano wa mwisho inaweza kuamuru kwa kuongeza vigezo vinavyofanana.
Usemi utachukua fomu: a 5 b 5 y 3.

Kwa kulinganisha nambari kadhaa (vigezo) na nguvu, tunaweza kuona kwamba ikiwa yoyote kati yao itazidishwa, basi matokeo yake ni nambari (kigeu) na nguvu sawa na kiasi digrii za masharti.

Kwa hiyo, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hapa 5 ni nguvu ya matokeo ya kuzidisha, sawa na 2 + 3, jumla ya nguvu za masharti.

Kwa hiyo, n .a m = a m+n .

Kwa n , a inachukuliwa kama sababu mara nyingi kama nguvu ya n;

Na m inachukuliwa kama sababu mara nyingi vile shahada m ni sawa na;

Ndiyo maana, nguvu zilizo na misingi sawa zinaweza kuzidishwa kwa kuongeza wawakilishi wa mamlaka.

Kwa hivyo, 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Na x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Au:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Zidisha (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jibu: x 4 - y 4.
Zidisha (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Sheria hii pia ni kweli kwa nambari ambazo vielelezo vyake ni hasi.

1. Kwa hiyo, a -2 .a -3 = a -5 . Hii inaweza kuandikwa kama (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ikiwa a + b inazidishwa na a - b, matokeo yatakuwa 2 - b 2: yaani

Matokeo ya kuzidisha jumla au tofauti ya nambari mbili sawa na jumla au tofauti ya miraba yao.

Ukizidisha jumla na tofauti ya nambari mbili zilizoinuliwa hadi mraba, matokeo yatakuwa sawa na jumla au tofauti ya nambari hizi ndani nne digrii.

Kwa hivyo, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Mgawanyiko wa digrii

Nambari zilizo na mamlaka zinaweza kugawanywa kama nambari zingine, kwa kutoa kutoka kwa mgao, au kwa kuziweka katika fomu ya sehemu.

Kwa hivyo, 3 b 2 iliyogawanywa na b 2 ni sawa na 3.

Au:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Kuandika 5 iliyogawanywa na 3 inaonekana kama $\frac(a^5)(a^3)$. Lakini hii ni sawa na 2 . Katika mfululizo wa nambari
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
nambari yoyote inaweza kugawanywa na nyingine, na kipeo kitakuwa sawa na tofauti viashiria vya nambari zinazoweza kugawanywa.

Wakati wa kugawanya digrii kwa msingi sawa, vielelezo vyao vinatolewa..

Kwa hivyo, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Hiyo ni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Na n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Au:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Sheria pia ni kweli kwa nambari zilizo na hasi maadili ya digrii.
Matokeo ya kugawanya -5 kwa -3 ni -2.
Pia, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 au $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Inahitajika kujua kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu vizuri, kwani shughuli kama hizo hutumiwa sana katika algebra.

Mifano ya utatuzi wa mifano na sehemu zilizo na nambari zenye nguvu

1. Punguza vipeo kwa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jibu: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Punguza vipeo kwa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jibu: $\frac(2x)(1)$ au 2x.

3. Punguza vielelezo a 2 /a 3 na -3 /a -4 na kusababisha dhehebu la kawaida.
a 2 .a -4 ni -2 nambari ya kwanza.
a 3 .a -3 ni 0 = 1, nambari ya pili.
a 3 .a -4 ni -1 , nambari ya kawaida.
Baada ya kurahisisha: a -2 /a -1 na 1/a -1 .

4. Punguza vipeo 2a 4 /5a 3 na 2 /a 4 na ulete kwa dhehebu la kawaida.
Jibu: 2a 3 /5a 7 na 5a 5 /5a 7 au 2a 3 /5a 2 na 5/5a 2.

5. Zidisha (a 3 + b)/b 4 kwa (a-b)/3.

6. Zidisha (a 5 + 1)/x 2 kwa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Zidisha b 4 /a -2 kwa h -3 /x na a n /y -3.

8. Gawanya 4 /y 3 kwa 3 /y 2 . Jibu: a/y.

9. Gawanya (h 3 - 1) / d 4 kwa (d n + 1) / h.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa Kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, kile kinachohitajika, na jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu na mafanikio kupita OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni ya hisabati kama vile kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Isiyotarajiwa, sawa?) Chora bwawa: chini ni mita kwa ukubwa na kina cha mita, na jaribu kuhesabu cubes ngapi kupima mita kwa mita mapenzi. fit kwenye bwawa lako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii ziligunduliwa na watu walioacha na wenye hila kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umekaa sasa na "kuhesabu kwa kidole chako," basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na ... mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi " ” na kielezi " ” inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa hawakuwa na nambari za asili za kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari hadi nguvu asilia inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa nguvu hasi ni nini, wacha tufanye kama mara ya mwisho: zidisha nambari ya kawaida kwa nambari ile ile hadi nguvu hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari isiyo sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni rekodi mbili tu tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...shahada yenye kipeo kamili cha nambari hasi- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

— msingi wa shahada;
- kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Sheria zifuatazo rahisi zinaweza kutengenezwa:

hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuangalia sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni kitu cha kihisabati ambacho wanahisabati waliunda kupanua dhana ya digrii kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Majibu:

Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Nenda kwenye chaneli ya youtube ya tovuti yetu ili usasishwe na masomo yote mapya ya video.

Kwanza, hebu tukumbuke kanuni za msingi za nguvu na mali zao.

Bidhaa ya nambari a hutokea yenyewe mara n, tunaweza kuandika usemi huu kama … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Nguvu au milinganyo ya kielelezo - hizi ni milinganyo ambayo vigezo viko katika mamlaka (au vielelezo), na msingi ni nambari.

Mifano ya milinganyo ya kielelezo:

KATIKA katika mfano huu nambari ya 6 ni msingi, daima iko chini, na kutofautiana x shahada au kiashirio.

Wacha tutoe mifano zaidi ya milinganyo ya kielelezo.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya kielelezo hutatuliwa?

Wacha tuchukue equation rahisi:

2 x = 2 3

Mfano huu unaweza kutatuliwa hata katika kichwa chako. Inaweza kuonekana kuwa x=3. Baada ya yote, ili pande za kushoto na za kulia ziwe sawa, unahitaji kuweka nambari 3 badala ya x.
Sasa hebu tuone jinsi ya kurasimisha uamuzi huu:

2 x = 2 3
x = 3

Ili kutatua equation kama hiyo, tuliondoa misingi inayofanana(yaani wawili wawili) na kuandika yale yaliyobakia, hizi ni digrii. Tulipata jibu tulilokuwa tunatafuta.

Sasa hebu tufanye muhtasari wa uamuzi wetu.

Algorithm ya kutatua equation ya kielelezo:
1. Haja ya kuangalia sawa ikiwa equation ina misingi upande wa kulia na kushoto. Ikiwa sababu hazifanani, tunatafuta chaguzi za kutatua mfano huu.
2. Baada ya besi kuwa sawa, linganisha digrii na kutatua equation mpya inayosababisha.

Sasa hebu tuangalie mifano michache:

Wacha tuanze na kitu rahisi.

Misingi ya pande za kushoto na kulia ni sawa na nambari 2, ambayo inamaanisha tunaweza kutupa msingi na kusawazisha nguvu zao.

x+2=4 Mlinganyo rahisi zaidi unapatikana.
x=4 - 2
x=2
Jibu: x=2

Katika mfano ufuatao unaweza kuona kwamba besi ni tofauti: 3 na 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Kwanza, songa tisa upande wa kulia, tunapata:

Sasa unahitaji kufanya misingi sawa. Tunajua kuwa 9=3 2. Wacha tutumie fomula ya nguvu (n) m = nm.

3 3x = (3 2) x+8

Tunapata 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 sasa unaweza kuona kwamba katika kushoto na upande wa kulia besi ni sawa na sawa na tatu, ambayo ina maana tunaweza kuwatupa na kusawazisha digrii.

3x=2x+16 tunapata mlinganyo rahisi zaidi
3x - 2x=16
x=16
Jibu: x=16.

Hebu tuangalie mfano ufuatao:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Kwanza kabisa, tunaangalia besi, besi mbili na nne. Na tunahitaji wawe sawa. Tunabadilisha nne kwa kutumia formula (n) m = nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Na pia tunatumia fomula moja n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ongeza kwa equation:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Tulitoa mfano kwa sababu hizo hizo. Lakini nambari zingine 10 na 24 zinatusumbua. Nini cha kufanya nazo? Ukiangalia kwa karibu unaweza kuona kuwa upande wa kushoto tuna 2 2x iliyorudiwa, hapa kuna jibu - tunaweza kuweka 2 2x nje ya mabano:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Wacha tuhesabu usemi kwenye mabano:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Tunagawanya equation nzima na 6:

Hebu fikiria 4=2 2:

2 2x = 2 2 besi ni sawa, tunatupa na kulinganisha digrii.
2x = 2 ndio mlinganyo rahisi zaidi. Gawanya kwa 2 na tunapata
x = 1
Jibu: x = 1.

Wacha tusuluhishe equation:

9 x – 12*3 x +27= 0

Hebu tubadilishe:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tunapata equation:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Misingi yetu ni sawa, sawa na tatu.Katika mfano huu, unaweza kuona kwamba tatu za kwanza zina shahada mara mbili (2x) kuliko ya pili (x tu). Katika kesi hii, unaweza kutatua njia ya uingizwaji. Nambari s shahada ndogo badilisha:

Kisha 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tunabadilisha nguvu zote za x kwenye equation na t:

t 2 - 12t+27 = 0
Tunapata mlinganyo wa quadratic. Kutatua kupitia ubaguzi, tunapata:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kurudi kwa kutofautiana x.

Chukua t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Hiyo ni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Mzizi mmoja ulipatikana. Tunatafuta ya pili kutoka t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jibu: x 1 = 2; x 2 = 1.

Kwenye wavuti unaweza kuuliza maswali yoyote ambayo unaweza kuwa nayo katika sehemu ya KUSAIDIA KUAMUA, bila shaka tutakujibu.

Jiunge na kikundi

Semi, ubadilishaji wa kujieleza

Maneno ya nguvu (maneno yenye nguvu) na mabadiliko yao

Katika makala hii tutazungumza juu ya kubadilisha maneno na nguvu. Kwanza, tutazingatia mabadiliko ambayo yanafanywa kwa maneno ya aina yoyote, ikiwa ni pamoja na maneno ya nguvu, kama vile kufungua mabano na kuleta maneno sawa. Na kisha tutachambua mabadiliko ya asili haswa katika misemo na digrii: kufanya kazi na msingi na kielelezo, kwa kutumia mali ya digrii, nk.

Urambazaji wa ukurasa.

Maneno ya nguvu ni nini?

Neno "maneno ya nguvu" karibu halitumiki kamwe vitabu vya shule hisabati, lakini inaonekana mara nyingi katika makusanyo ya matatizo, hasa yale yaliyokusudiwa kutayarisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa mfano. Baada ya kuchambua majukumu ambayo ni muhimu kufanya vitendo vyovyote na maneno ya nguvu, inakuwa wazi kuwa maneno ya nguvu yanaeleweka kama maneno yenye nguvu katika maingizo yao. Kwa hivyo, unaweza kukubali ufafanuzi ufuatao kwako mwenyewe:

Ufafanuzi.

Maneno ya nguvu ni maneno yenye mamlaka.

Hebu tupe mifano ya maneno ya nguvu. Zaidi ya hayo, tutayawasilisha kulingana na jinsi ukuzaji wa maoni kutoka kwa digrii yenye kielelezo asilia hadi digrii yenye kielelezo halisi hutokea.

Kama inavyojulikana, wa kwanza anafahamiana na nguvu ya nambari iliyo na kielelezo asilia; katika hatua hii, misemo rahisi ya kwanza ya aina 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (-0.1) 4, 3 a 2 huonekana −a+a 2, x 3−1 , (a 2) 3 nk.

Baadaye kidogo, nguvu ya nambari iliyo na kielelezo kamili inasomwa, ambayo husababisha kuonekana kwa misemo ya nguvu na nambari kamili. nguvu hasi, kama ifuatavyo: 3 −2 , , a -2 +2 b −3 +c 2 .

Katika shule ya upili wanarudi digrii. Kuna digrii iliyo na kielelezo cha busara huletwa, ambayo inajumuisha kuonekana kwa misemo inayolingana ya nguvu: , , Nakadhalika. Hatimaye, digrii zilizo na vielezi visivyo na mantiki na misemo iliyo nazo huzingatiwa: , .

Jambo hilo halizuiliwi kwa misemo ya nguvu iliyoorodheshwa: zaidi kigezo hupenya ndani ya kipeo, na, kwa mfano, misemo ifuatayo inatokea: 2 x 2 +1 au . Na baada ya kufahamiana na , misemo yenye nguvu na logariti huanza kuonekana, kwa mfano, x 2·lgx −5·x lgx.

Kwa hivyo, tumeshughulikia swali la nini maneno ya nguvu yanawakilisha. Ifuatayo tutajifunza kuwabadilisha.

Aina kuu za mabadiliko ya maneno ya nguvu

Kwa vielezi vya nguvu, unaweza kufanya mabadiliko yoyote ya msingi ya utambulisho wa misemo. Kwa mfano, unaweza kupanua mabano, kuchukua nafasi maneno ya nambari maana zao, toa masharti yanayofanana na kadhalika. Kwa kawaida, katika kesi hii, ni muhimu kufuata utaratibu uliokubaliwa wa kufanya vitendo. Hebu tutoe mifano.

Mfano.

Hesabu thamani ya usemi wa nguvu 2 3 ·(4 2 -12) .

Suluhisho.

Kwa mujibu wa utaratibu wa utekelezaji wa vitendo, kwanza fanya vitendo katika mabano. Huko, kwanza, tunabadilisha nguvu 4 2 na thamani yake 16 (ikiwa ni lazima, tazama), na pili, tunahesabu tofauti 16-12 = 4. Tuna 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Katika usemi unaosababisha, tunabadilisha nguvu 2 3 na thamani yake 8, baada ya hapo tunahesabu bidhaa 8 · 4 = 32. Hii ndiyo thamani inayotakiwa.

Kwa hiyo, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Jibu:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Mfano.

Rahisisha usemi kwa kutumia nguvu 3 a 4 b -7 −1+2 a 4 b -7.

Suluhisho.

Ni dhahiri kwamba usemi huu ina maneno sawa 3·a 4 ·b −7 na 2·a 4 ·b −7 , na tunaweza kuwapa:.

Jibu:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Mfano.

Eleza usemi wenye nguvu kama bidhaa.

Suluhisho.

Unaweza kukabiliana na kazi hiyo kwa kuwakilisha nambari 9 kama nguvu ya 3 2 na kisha kutumia fomula ya kuzidisha kwa kifupi - tofauti ya miraba:

Jibu:

Pia kuna idadi mabadiliko ya utambulisho, asili hasa katika usemi wa nguvu. Tutazichambua zaidi.

Kufanya kazi na msingi na kielelezo

Kuna digrii ambazo msingi na/au kielelezo si nambari au vigeu tu, bali baadhi ya misemo. Kwa mfano, tunatoa maingizo (2+0.3·7) 5−3.7 na (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Unapofanya kazi na misemo sawa, unaweza kuchukua nafasi ya usemi katika msingi wa shahada na usemi katika kielelezo sawa. kujieleza sawa kwenye ODZ ya vigezo vyake. Kwa maneno mengine, kulingana na sheria zinazojulikana kwetu, tunaweza kubadilisha msingi wa digrii na kando kielelezo. Ni wazi kwamba kama matokeo ya mabadiliko haya, usemi utapatikana ambao ni sawa na ule wa asili.

Mabadiliko kama haya huturuhusu kurahisisha usemi kwa kutumia nguvu au kufikia malengo mengine tunayohitaji. Kwa mfano, katika usemi wa nguvu uliotajwa hapo juu (2+0.3 7) 5−3.7, unaweza kufanya shughuli na nambari zilizo kwenye msingi na kielelezo, ambacho kitakuruhusu kuhamia kwa nguvu 4.1 1.3. Na baada ya kufungua mabano na kuleta masharti sawa na msingi wa shahada (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) tunapata usemi wa nguvu zaidi. aina rahisi a 2·(x+1) .

Kwa kutumia Sifa za Shahada

Mojawapo ya zana kuu za kubadilisha usemi na mamlaka ni usawa unaoakisi . Wacha tukumbuke zile kuu. Kwa nambari zozote chanya a na b na kiholela nambari za kweli r na s sifa zifuatazo za digrii ni halali:

a r · s =a r+s;
a r:a s =a r−s ;
(a·b) r =a r ·b r;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r·s .

Kumbuka kwamba kwa asili, integer, na pia viashiria vyema digrii za kizuizi kwa nambari a na b zinaweza zisiwe kali sana. Kwa mfano, kwa nambari asilia m na n usawa a m ·a n =a m+n ni kweli sio tu kwa chanya a, bali pia kwa hasi a, na kwa a=0.

Katika shule, lengo kuu wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu ni juu ya uwezo wa kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi. Katika kesi hiyo, misingi ya digrii kawaida ni chanya, ambayo inaruhusu mali ya digrii kutumika bila vikwazo. Vile vile hutumika kwa mabadiliko ya maneno yaliyo na vigezo katika misingi ya mamlaka - eneo maadili yanayokubalika vigezo kawaida ni kwamba msingi juu yake unakubali tu maadili chanya, ambayo inakuwezesha kutumia kwa uhuru mali ya digrii. Kwa ujumla, unahitaji kujiuliza mara kwa mara ikiwa inawezekana kutumia mali yoyote ya digrii katika kesi hii, kwa sababu matumizi yasiyo sahihi ya mali yanaweza kusababisha kupungua kwa thamani ya elimu na matatizo mengine. Hoja hizi zinajadiliwa kwa undani na kwa mifano katika mabadiliko ya kifungu cha misemo kwa kutumia sifa za digrii. Hapa tutajiwekea kikomo kwa kuzingatia mifano michache rahisi.

Mfano.

Eleza usemi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kama nguvu yenye msingi a.

Suluhisho.

Kwanza, tunabadilisha kipengele cha pili (a 2) −3 kwa kutumia mali ya kuinua nguvu hadi mamlaka: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Usemi asilia wa nguvu utachukua fomu 2.5 ·a -6:a -5.5. Kwa wazi, inabakia kutumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na msingi sawa, tunayo
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a -5.5 =a -3.5:a -5.5 =
a -3.5−(-5.5) =a 2 .

Jibu:

a 2.5 ·(a 2) −3:a -5.5 =a 2.

Sifa za mamlaka wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu hutumiwa kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto.

Mfano.

Tafuta thamani ya usemi wa nguvu.

Suluhisho.

Usawa (a·b) r =a r ·b r, unaotumika kutoka kulia kwenda kushoto, huturuhusu kuhama kutoka kwa usemi asilia hadi kwa bidhaa ya fomu na zaidi. Na wakati wa kuzidisha nguvu na kwa misingi hiyo hiyo viashiria vinaongeza: .

Iliwezekana kubadilisha usemi wa asili kwa njia nyingine:

Jibu:

Mfano.

Kwa kuzingatia usemi wa nguvu 1.5 -a 0.5 -6, anzisha kigezo kipya t=a 0.5.

Suluhisho.

Shahada ya 1.5 inaweza kuwakilishwa kama 0.5 3 na kisha, kulingana na mali ya digrii hadi digrii (a r) s =a r s, inayotumika kutoka kulia kwenda kushoto, kuibadilisha kuwa fomu (a 0.5) 3. Hivyo, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Sasa ni rahisi kutambulisha kigezo kipya t=a 0.5, tunapata t 3 -t-6.

Jibu:

t 3 −t−6 .

Kubadilisha sehemu zenye nguvu

Semi za nguvu zinaweza kuwa na au kuwakilisha sehemu zenye nguvu. Mabadiliko yoyote ya kimsingi ya sehemu ambazo ni asili katika sehemu za aina yoyote zinatumika kikamilifu kwa sehemu kama hizo. Hiyo ni, sehemu ambazo zina nguvu zinaweza kupunguzwa, kupunguzwa kwa dhehebu mpya, kufanya kazi kando na nambari yao na kando na dhehebu, nk. Ili kufafanua maneno haya, fikiria suluhisho kwa mifano kadhaa.

Mfano.

Rahisisha usemi wa nguvu .

Suluhisho.

Usemi huu wa nguvu ni sehemu. Wacha tufanye kazi na nambari na kiashiria chake. Kwenye nambari tunafungua mabano na kurahisisha usemi unaosababishwa kwa kutumia mali ya nguvu, na katika dhehebu tunawasilisha maneno sawa:

Na wacha pia tubadilishe ishara ya dhehebu kwa kuweka minus mbele ya sehemu: .

Jibu:

Kupunguzwa kwa sehemu zilizo na nguvu kwa dhehebu mpya hufanywa kwa njia sawa na kupunguzwa kwa denominator mpya. sehemu za mantiki. Katika kesi hii, sababu ya ziada pia hupatikana na nambari na denominator ya sehemu huzidishwa nayo. Wakati wa kufanya kitendo hiki, inafaa kukumbuka kuwa kupunguzwa kwa dhehebu mpya kunaweza kusababisha kupunguzwa kwa VA. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu kwamba sababu ya ziada haiendi kwa sifuri kwa maadili yoyote ya vigezo kutoka kwa vigezo vya ODZ kwa kujieleza asili.

Mfano.

Punguza sehemu ziwe denominata mpya: a) hadi denominata a, b) kwa dhehebu.

Suluhisho.

a) Katika kesi hii, ni rahisi sana kujua ni kiboreshaji gani cha ziada husaidia kufikia matokeo yaliyotarajiwa. Hii ni kizidishi cha 0.3, kwani 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Kumbuka kuwa katika anuwai ya maadili yanayokubalika ya kutofautisha a (hii ni seti ya nambari zote chanya), nguvu ya 0.3 haitoweka, kwa hivyo, tuna haki ya kuzidisha nambari na dhehebu la fulani. sehemu kwa kipengele hiki cha ziada:

b) Ukiitazama kwa makini dhehebu, utagundua hilo

na kuzidisha usemi huu kwa kutatoa jumla ya cubes na, yaani,. Na hii ndio dhehebu mpya, ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.

Hivi ndivyo tulivyopata sababu ya ziada. Katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya vijiti x na y, usemi haupotei, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha nambari na dhehebu ya sehemu nayo:

Jibu:

A) , b) .

Pia hakuna jambo jipya katika kupunguza sehemu zilizo na nguvu: nambari na denominator huwakilishwa kama sababu kadhaa, na mambo sawa ya nambari na denominator hupunguzwa.

Mfano.

Punguza sehemu: a) , b) .

Suluhisho.

a) Kwanza, nambari na denominator inaweza kupunguzwa kwa nambari 30 na 45, ambayo ni sawa na 15. Pia ni wazi inawezekana kupunguza kwa x 0.5 +1 na kwa . Hapa ndio tuliyo nayo:

b) Katika kesi hii, vipengele vinavyofanana katika nambari na denominator hazionekani mara moja. Ili kuzipata, itabidi ufanye mabadiliko ya awali. Katika kesi hii, zinajumuisha kuweka dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba:

Jibu:

A)

b) .

Kubadilisha sehemu kuwa denominator mpya na kupunguza sehemu hutumiwa hasa kufanya mambo kwa sehemu. Vitendo hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana. Wakati wa kuongeza (kuondoa) sehemu, hupunguzwa kwa dhehebu ya kawaida, baada ya hapo nambari zinaongezwa (kupunguzwa), lakini dhehebu inabakia sawa. Matokeo yake ni sehemu ambayo nambari yake ni zao la nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators. Kugawanya kwa sehemu ni kuzidisha kwa kinyume chake.

Mfano.

Fuata hatua .

Suluhisho.

Kwanza, tunatoa sehemu kwenye mabano. Ili kufanya hivyo, tunawaleta kwenye dhehebu la kawaida, ambalo ni , baada ya hapo tunaondoa nambari:

Sasa tunazidisha sehemu:

Kwa wazi, inawezekana kupunguza kwa nguvu ya x 1/2, baada ya hapo tunayo .

Unaweza pia kurahisisha usemi wa nguvu katika dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba: .

Jibu:

Mfano.

Rahisisha Usemi wa Nguvu .

Suluhisho.

Ni wazi, sehemu iliyotolewa inaweza kupunguzwa kwa (x 2.7 +1) 2, hii inatoa sehemu . Ni wazi kwamba kitu kingine kinahitaji kufanywa kwa nguvu za X. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha sehemu inayosababisha kuwa bidhaa. Hii inatupa fursa ya kuchukua fursa ya mali ya kugawanya mamlaka na misingi sawa: . Na mwisho wa mchakato tunatoka kazi ya mwisho kwa sehemu.

Jibu:

Na hebu pia tuongeze kwamba inawezekana na katika hali nyingi kuhitajika kutumia multipliers na viashiria hasi digrii huhamishwa kutoka kwa nambari hadi kwa denominator au kutoka kwa denominator hadi nambari, kubadilisha ishara ya kielelezo. Mabadiliko kama haya mara nyingi hurahisisha vitendo zaidi. Kwa mfano, usemi wa nguvu unaweza kubadilishwa na .

Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu

Mara nyingi katika misemo ambayo mabadiliko fulani yanahitajika, pamoja na nguvu na viashiria vya sehemu mizizi pia iko. Ili kubadilisha usemi unaofanana kwa fomu inayotakiwa, katika hali nyingi inatosha kwenda tu kwa mizizi au kwa nguvu tu. Lakini kwa kuwa ni rahisi zaidi kufanya kazi na nguvu, kawaida huhama kutoka mizizi hadi nguvu. Walakini, inashauriwa kufanya mabadiliko kama haya wakati ODZ ya vigeu vya usemi wa asili hukuruhusu kuchukua nafasi ya mizizi na nguvu bila hitaji la kurejelea moduli au kugawanya ODZ katika vipindi kadhaa (tulijadili hili kwa undani katika mabadiliko ya makala kutoka mizizi hadi mamlaka na kurudi Baada ya kufahamiana na shahada na kielelezo cha busara shahada yenye kielelezo kisicho na mantiki inaanzishwa, ambayo hutuwezesha kuzungumza juu ya digrii na kielelezo halisi cha kiholela. Katika hatua hii, shule huanza kusoma utendaji wa kielelezo , ambayo inatolewa kwa uchanganuzi na nguvu, ambayo msingi wake ni nambari, na kielelezo ni kigezo. Kwa hivyo tunakabiliwa na misemo ya nguvu iliyo na nambari katika msingi wa nguvu, na katika kielelezo - misemo yenye vigeuzo, na kwa kawaida hitaji hutokea kufanya mabadiliko ya misemo kama hiyo.

Inapaswa kuwa alisema kuwa maneno ya kubadilisha aina maalum kawaida inapaswa kufanywa wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo Na ukosefu wa usawa wa kielelezo , na ubadilishaji huu ni rahisi sana. Katika idadi kubwa ya kesi, zinatokana na sifa za digrii na zinalenga, kwa sehemu kubwa, kuanzisha tofauti mpya katika siku zijazo. Mlinganyo utaturuhusu kuwaonyesha 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Kwanza, nguvu, katika vielelezo vyake ambavyo ni jumla ya kigezo fulani (au usemi wenye vigeuzo) na nambari, hubadilishwa na bidhaa. Hii inatumika kwa masharti ya kwanza na ya mwisho ya usemi wa upande wa kushoto:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ifuatayo, pande zote mbili za usawa zimegawanywa na usemi 7 2 x, ambayo kwenye ODZ ya kutofautisha x kwa equation ya asili inachukua maadili chanya tu (hii ni mbinu ya kawaida ya kutatua hesabu za aina hii, sisi sio. kuongea juu yake sasa, kwa hivyo zingatia mabadiliko ya baadaye ya misemo na nguvu ):

Sasa tunaweza kufuta sehemu na nguvu, ambayo inatoa .

Hatimaye, uwiano wa mamlaka na viashiria sawa inabadilishwa na nguvu za mahusiano, na kusababisha equation , ambayo ni sawa . Mabadiliko yaliyofanywa yanaturuhusu kutambulisha kigezo kipya, ambacho kinapunguza suluhu la mlinganyo wa asili wa kielelezo kwa suluhu la mlinganyo wa quadratic.

I. V. Boykov, L. D. Romanova Mkusanyiko wa kazi za kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja. Sehemu ya 1. Penza 2003.