Fomula za digrii zilizo na misingi tofauti. Machapisho yaliyowekwa alama "mifano ya sifa za digrii zilizo na vielelezo asilia"

Ni dhahiri kwamba nambari zilizo na nguvu zinaweza kuongezwa kama idadi nyingine , kwa kuziongeza moja baada ya nyingine kwa ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 3 na b 2 ni 3 + b 2.
Jumla ya 3 - b n na h 5 -d 4 ni 3 - b n + h 5 - d 4.

Odd nguvu sawa za vigezo vinavyofanana inaweza kuongezwa au kupunguzwa.

Kwa hivyo, jumla ya 2a 2 na 3a 2 ni sawa na 5a 2.

Pia ni dhahiri kwamba ukichukua miraba miwili a, au miraba mitatu a, au miraba mitano a.

Lakini digrii vigezo mbalimbali Na digrii mbalimbali vigezo vinavyofanana, lazima zitungwe kwa kuziongeza na ishara zao.

Kwa hivyo, jumla ya 2 na 3 ni jumla ya 2 + a 3.

Ni dhahiri kwamba mraba wa a, na mchemraba wa a, si sawa na mraba mara mbili ya a, lakini mara mbili ya mchemraba wa a.

Jumla ya 3 b n na 3a 5 b 6 ni 3 b n + 3a 5 b 6.

Kutoa nguvu zinafanywa kwa njia sawa na kuongeza, isipokuwa kwamba ishara za subtrahends lazima zibadilishwe ipasavyo.

Au:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Nguvu za kuzidisha

Nambari zilizo na nguvu zinaweza kuzidishwa, kama idadi zingine, kwa kuziandika moja baada ya nyingine, na au bila ishara ya kuzidisha kati yao.

Kwa hivyo, matokeo ya kuzidisha 3 kwa b 2 ni 3 b 2 au aaabb.

Au:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Matokeo katika mfano wa mwisho yanaweza kuamuru kwa kuongeza vigezo vinavyofanana.
Usemi utachukua fomu: a 5 b 5 y 3.

Kwa kulinganisha nambari kadhaa (vigezo) na nguvu, tunaweza kuona kwamba ikiwa yoyote kati yao itazidishwa, basi matokeo yake ni nambari (kigeu) na nguvu sawa na kiasi digrii za masharti.

Kwa hiyo, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hapa 5 ni nguvu ya matokeo ya kuzidisha, sawa na 2 + 3, jumla ya nguvu za masharti.

Kwa hiyo, n .a m = a m+n .

Kwa n , a inachukuliwa kama sababu mara nyingi kama nguvu ya n;

Na m inachukuliwa kama sababu mara nyingi vile shahada m ni sawa na;

Ndiyo maana, nguvu zilizo na misingi sawa zinaweza kuzidishwa kwa kuongeza wawakilishi wa mamlaka.

Kwa hivyo, 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Na x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Au:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Zidisha (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jibu: x 4 - y 4.
Zidisha (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Sheria hii pia ni kweli kwa nambari ambazo vielelezo vyake ni hasi.

1. Kwa hiyo, a -2 .a -3 = a -5 . Hii inaweza kuandikwa kama (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ikiwa a + b inazidishwa na a - b, matokeo yatakuwa 2 - b 2: yaani

Matokeo ya kuzidisha jumla au tofauti ya nambari mbili ni sawa na jumla au tofauti ya miraba yao.

Ukizidisha jumla na tofauti ya nambari mbili zilizoinuliwa hadi mraba, matokeo yatakuwa sawa na jumla au tofauti ya nambari hizi ndani nne digrii.

Kwa hivyo, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Mgawanyiko wa digrii

Nambari zilizo na mamlaka zinaweza kugawanywa kama nambari zingine, kwa kutoa kutoka kwa mgao, au kwa kuziweka katika fomu ya sehemu.

Kwa hivyo, 3 b 2 iliyogawanywa na b 2 ni sawa na 3.

Au:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Kuandika 5 iliyogawanywa na 3 inaonekana kama $\frac(a^5)(a^3)$. Lakini hii ni sawa na 2 . Katika mfululizo wa nambari
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
nambari yoyote inaweza kugawanywa na nyingine, na kipeo kitakuwa sawa na tofauti viashiria vya nambari zinazoweza kugawanywa.

Wakati wa kugawanya digrii kwa msingi sawa, vielelezo vyao vinatolewa..

Kwa hivyo, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Hiyo ni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Na n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Au:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Sheria pia ni kweli kwa nambari zilizo na hasi maadili ya digrii.
Matokeo ya kugawanya -5 kwa -3 ni -2.
Pia, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 au $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Inahitajika kujua kuzidisha na mgawanyiko wa nguvu vizuri, kwani shughuli kama hizo hutumiwa sana katika algebra.

Mifano ya utatuzi wa mifano na sehemu zilizo na nambari zenye nguvu

1. Punguza vipeo kwa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jibu: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Punguza vipeo kwa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jibu: $\frac(2x)(1)$ au 2x.

3. Punguza vielelezo 2 /a 3 na -3 /a -4 na ulete kwenye dhehebu la kawaida.
a 2 .a -4 ni -2 nambari ya kwanza.
a 3 .a -3 ni 0 = 1, nambari ya pili.
a 3 .a -4 ni -1 , nambari ya kawaida.
Baada ya kurahisisha: a -2 /a -1 na 1/a -1 .

4. Punguza vipeo 2a 4 /5a 3 na 2 /a 4 na ulete kwa dhehebu la kawaida.
Jibu: 2a 3 /5a 7 na 5a 5 /5a 7 au 2a 3 /5a 2 na 5/5a 2.

5. Zidisha (a 3 + b)/b 4 kwa (a-b)/3.

6. Zidisha (a 5 + 1)/x 2 kwa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Zidisha b 4 /a -2 kwa h -3 /x na a n /y -3.

8. Gawanya 4 /y 3 kwa 3 /y 2 . Jibu: a/y.

9. Gawanya (h 3 - 1) / d 4 kwa (d n + 1) / h.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa Kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, kile kinachohitajika, na jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu na kufaulu kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja au Mtihani wa Jimbo la Umoja na kuingia chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni ya hisabati kama vile kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.


Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.

Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana zaidi kuwa cm kwa cm. Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().

Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Isiyotarajiwa, sawa?) Chora bwawa: chini ni mita kwa ukubwa na kina cha mita, na jaribu kuhesabu cubes ngapi kupima mita kwa mita mapenzi. fit kwenye bwawa lako.

Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii ziligunduliwa na watu walioacha na wenye hila kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umekaa sasa na "kuhesabu kwa kidole chako," basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na ... mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unapata mbili zaidi. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi " ” na kielezi " ” inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "sifuri nukta tano". Hizi sio nambari za asili. Unadhani hizi ni nambari gani?

Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa hawakuwa na nambari za asili za kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

  1. Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
  2. Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
  3. Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari hadi nguvu asilia inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa nguvu hasi ni nini, wacha tufanye kama mara ya mwisho: zidisha nambari ya kawaida kwa nambari ile ile hadi nguvu hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari isiyo sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni rekodi mbili tu tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada yenye kipeo kamili cha nambari hasi- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

  • — msingi wa shahada;
  • - kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Sheria zifuatazo rahisi zinaweza kutengenezwa:

  1. hata shahada, - nambari chanya.
  2. Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  3. Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuangalia sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni kitu cha kihisabati ambacho wanahisabati waliunda kupanua dhana ya digrii kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

1) 2) 3)

Majibu:

  1. Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
  2. Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
  3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

  • Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
  • Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  • Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  • Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
  • Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Somo juu ya mada: "Kanuni za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na vielelezo sawa na tofauti. Mifano"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa. Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 7
Mwongozo wa kitabu cha maandishi Yu.N. Mwongozo wa Makarycheva wa kitabu cha maandishi na A.G. Mordkovich

Kusudi la somo: jifunze kufanya shughuli na nguvu za nambari.

Kwanza, hebu tukumbuke dhana ya "nguvu ya nambari". Kielelezo cha fomu $\underbrace( a * a * \lddots * a )_(n)$ kinaweza kuwakilishwa kama $a^n$.

Mazungumzo pia ni kweli: $a^n= \underbrace( a * a * \ldets * a )_(n)$.

Usawa huu unaitwa "kurekodi digrii kama bidhaa." Itatusaidia kuamua jinsi ya kuzidisha na kugawanya mamlaka.
Kumbuka:
a- msingi wa shahada.
n- kielelezo.
Kama n=1, ambayo ina maana idadi A ilichukua mara moja na ipasavyo: $a^n= 1$.
Kama n = 0, kisha $a^0= 1$.

Tunaweza kujua kwa nini hii hutokea tunapofahamiana na sheria za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka.

Kanuni za kuzidisha

a) Ikiwa mamlaka yenye msingi sawa yanazidishwa.
Ili kupata $a^n * a^m$, tunaandika digrii kama bidhaa: $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldets * a ) _(m)$.
takwimu inaonyesha kwamba idadi A wamechukua n+m mara, kisha $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Mfano.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Mali hii ni rahisi kutumia ili kurahisisha kazi wakati wa kuongeza nambari kwa nguvu ya juu.
Mfano.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ikiwa digrii zilizo na besi tofauti, lakini kipeo sawa kinazidishwa.
Ili kupata $a^n * b^n$, tunaandika digrii kama bidhaa: $\underbrace( a * a * \ldets * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldets * b ) _(m)$.
Ikiwa tutabadilisha vipengele na kuhesabu jozi zinazosababisha, tunapata: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldets * (a * b) )_(n)$.

Kwa hivyo $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Mfano.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Kanuni za mgawanyiko

a) Msingi wa shahada ni sawa, viashiria ni tofauti.
Zingatia kugawanya nguvu na kipeo kikubwa zaidi kwa kugawanya nguvu na kipeo kikuu kidogo.

Kwa hiyo, tunahitaji $\frac(a^n)(a^m)$, Wapi n> m.

Wacha tuandike digrii kama sehemu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\ underbrace( a * a * \ldbrace * a )_(m))$.
Kwa urahisi, tunaandika mgawanyiko kama sehemu rahisi.

Sasa hebu tupunguze sehemu.


Inageuka: $\underbrace( a * a * \lddots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ina maana, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Mali hii itasaidia kuelezea hali hiyo kwa kuongeza nambari kwa nguvu ya sifuri. Hebu tuchukulie hivyo n=m, kisha $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Mifano.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Misingi ya digrii ni tofauti, viashiria ni sawa.
Wacha tuseme $\frac(a^n)( b^n)$ ni muhimu. Wacha tuandike nguvu za nambari kama sehemu:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldbrace * a )_(n))(\ underbrace( b * b * \ldbrace * b )_(n))$.
Kwa urahisi, hebu fikiria.

Kutumia mali ya sehemu, tunagawanya sehemu kubwa katika bidhaa za ndogo, tunapata.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Ipasavyo: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Mfano.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Hapo awali tulizungumza juu ya nguvu ya nambari ni nini. Ina mali fulani ambayo ni muhimu katika kutatua matatizo: tutawachambua na wafadhili wote wanaowezekana katika makala hii. Pia tutaonyesha wazi kwa mifano jinsi zinaweza kuthibitishwa na kutumika kwa usahihi katika mazoezi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wacha tukumbuke dhana iliyoandaliwa hapo awali ya digrii na kielelezo asilia: hii ni bidhaa ya nambari ya nth ya mambo, ambayo kila moja ni sawa na a. Tutahitaji pia kukumbuka jinsi ya kuzidisha nambari halisi kwa usahihi. Yote hii itatusaidia kuunda sifa zifuatazo kwa digrii na kielelezo asilia:

Ufafanuzi 1

1. Mali kuu ya shahada: m · a n = a m + n

Inaweza kujumlishwa kuwa: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Sifa ya mgawo wa digrii kuwa na besi sawa: m: a n = a m - n

3. Sifa ya shahada ya bidhaa: (a · b) n = a n · b n

Usawa unaweza kupanuliwa hadi: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Mali ya mgawo hadi shahada ya asili: (a: b) n = a n: b n

5. Kuinua nguvu kwa nguvu: (a m) n = a m n ,

Inaweza kujumlishwa kuwa: ((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Linganisha shahada na sifuri:

  • ikiwa > 0, basi kwa nambari yoyote ya asili n, n itakuwa kubwa kuliko sifuri;
  • na sawa na 0, n pia itakuwa sawa na sifuri;
  • kwa a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
  • kwa a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Usawa a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Kutokuwa na usawa a m > a n itakuwa kweli mradi m na n ni nambari asilia, m ni kubwa kuliko n na a ni kubwa kuliko sifuri na chini ya moja.

Matokeo yake, tulipata usawa kadhaa; ikiwa masharti yote yaliyotajwa hapo juu yatatimizwa, yatakuwa sawa. Kwa kila usawa, kwa mfano, kwa mali kuu, unaweza kubadilisha pande za kulia na za kushoto: m · a n = a m + n - sawa na m + n = a m · a n. Katika fomu hii mara nyingi hutumiwa kurahisisha misemo.

1. Hebu tuanze na mali ya msingi ya shahada: usawa a m · a n = a m + n itakuwa kweli kwa m yoyote ya asili na n na halisi a. Jinsi ya kuthibitisha kauli hii?

Ufafanuzi wa msingi wa mamlaka na wafadhili wa asili utaturuhusu kubadilisha usawa kuwa bidhaa ya mambo. Tutapata rekodi kama hii:

Hii inaweza kufupishwa kwa (kumbuka sifa za msingi za kuzidisha). Kama matokeo, tulipata nguvu ya nambari a na kielelezo asilia m + n. Hivyo, m + n, ambayo ina maana mali kuu ya shahada imethibitishwa.

Hebu tuangalie mfano maalum unaothibitisha hili.

Mfano 1

Kwa hivyo tuna nguvu mbili na msingi 2. Viashiria vyao vya asili ni 2 na 3, kwa mtiririko huo. Tunayo usawa: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Wacha tuhesabu maadili ili kuangalia uhalali wa usawa huu.

Wacha tufanye shughuli muhimu za hisabati: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 na 2 5 = 2 2 2 2 = 32

Kama matokeo, tulipata: 2 2 · 2 3 = 2 5. Mali hiyo imethibitishwa.

Kutokana na sifa za kuzidisha, tunaweza kujumlisha mali kwa kuitengeneza kwa namna ya mamlaka tatu au zaidi, ambapo vielelezo ni nambari za asili na besi ni sawa. Ikiwa tunaashiria idadi ya nambari za asili n 1, n 2, nk kwa herufi k, tunapata usawa sahihi:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Mfano 2

2. Ifuatayo, tunahitaji kudhibitisha mali ifuatayo, ambayo inaitwa mali ya mgawo na iko katika mamlaka yenye misingi sawa: hii ni usawa a m: a n = a m - n, ambayo ni halali kwa m na n yoyote ya asili (na m. ni kubwa kuliko n)) na yoyote isiyo ya sifuri halisi a .

Kwa kuanzia, hebu tufafanue ni nini hasa maana ya masharti ambayo yametajwa katika uundaji. Ikiwa tunachukua sawa na sifuri, basi tunamaliza mgawanyiko kwa sifuri, ambayo hatuwezi kufanya (baada ya yote, 0 n = 0). Hali ambayo nambari m lazima iwe kubwa zaidi kuliko n ni muhimu ili tuweze kukaa ndani ya mipaka ya wasaidizi wa asili: kuondoa n kutoka kwa m, tunapata nambari ya asili. Ikiwa hali haijafikiwa, tutamaliza na nambari hasi au sifuri, na tena tutaenda zaidi ya masomo ya digrii na wafadhili wa asili.

Sasa tunaweza kuendelea na uthibitisho. Kutoka kwa yale ambayo tumesoma hapo awali, wacha tukumbuke sifa za kimsingi za sehemu na kuunda usawa kama ifuatavyo:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Kutoka humo tunaweza kubainisha: a m - n · a n = a m

Wacha tukumbuke uhusiano kati ya mgawanyiko na kuzidisha. Inafuata kutokana na hilo kwamba m − n ni mgawo wa mamlaka a m na n . Huu ni uthibitisho wa mali ya pili ya digrii.

Mfano 3

Kwa uwazi, hebu tubadilishe nambari mahususi kwenye vielezi, na tuashiria msingi wa shahada kama π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Ifuatayo tutachambua mali ya nguvu ya bidhaa: (a · b) n = a n · b n kwa a na b yoyote halisi na n asilia.

Kulingana na ufafanuzi wa kimsingi wa nguvu iliyo na kipeo asilia, tunaweza kurekebisha usawa kama ifuatavyo:

Kukumbuka mali ya kuzidisha, tunaandika: . Hii ina maana sawa na n · b n .

Mfano 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Ikiwa tuna mambo matatu au zaidi, basi mali hii pia inatumika kwa kesi hii. Wacha tuanzishe nukuu k kwa idadi ya sababu na tuandike:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Mfano 5

Kwa nambari maalum tunapata usawa sahihi ufuatao: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. Baada ya hayo, tutajaribu kuthibitisha mali ya mgawo: (a: b) n = a n: b n kwa a na b yoyote halisi, ikiwa b si sawa na 0 na n ni nambari ya asili.

Ili kuthibitisha hili, unaweza kutumia mali ya awali ya digrii. Ikiwa (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , na (a: b) n · b n = a n , basi inafuata kwamba (a: b) n ni mgawo wa kugawanya. a n kwa b n.

Mfano 6

Wacha tuhesabu mfano: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

Mfano 7

Wacha tuanze mara moja na mfano: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Sasa hebu tuunde mlolongo wa usawa ambao utatuthibitishia kwamba usawa ni kweli:

Ikiwa tuna digrii za digrii katika mfano, basi mali hii pia ni kweli kwao. Ikiwa tunayo nambari za asili p, q, r, s, basi itakuwa kweli:

a p q y s = a p q y s

Mfano 8

Wacha tuongeze maelezo mahususi: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Sifa nyingine ya mamlaka yenye kielelezo cha asili ambayo tunahitaji kuthibitisha ni mali ya kulinganisha.

Kwanza, hebu tulinganishe kiwango na sifuri. Kwa nini n > 0, mradi a ni kubwa kuliko 0?

Ikiwa tutazidisha nambari moja chanya na nyingine, pia tunapata nambari chanya. Kujua ukweli huu, tunaweza kusema kwamba haitegemei idadi ya mambo - matokeo ya kuzidisha idadi yoyote ya nambari nzuri ni nambari nzuri. Ni digrii gani ikiwa sio matokeo ya kuzidisha nambari? Kisha kwa nguvu yoyote n yenye msingi chanya na kielelezo asilia hii itakuwa kweli.

Mfano 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 na 34 9 13 51 > 0

Pia ni dhahiri kwamba nguvu yenye msingi sawa na sifuri yenyewe ni sifuri. Haijalishi tunaongeza sifuri kwa nguvu gani, itabaki sifuri.

Mfano 10

0 3 = 0 na 0 762 = 0

Ikiwa msingi wa shahada ni nambari hasi, basi uthibitisho ni ngumu zaidi, kwani dhana ya kielelezo hata / isiyo ya kawaida inakuwa muhimu. Hebu kwanza tuchukue kesi wakati kielelezo ni sawa, na kuashiria 2 · m, ambapo m ni nambari ya asili.

Hebu tukumbuke jinsi ya kuzidisha kwa usahihi nambari hasi: bidhaa a · a ni sawa na bidhaa ya moduli, na, kwa hiyo, itakuwa nambari nzuri. Kisha na shahada ya 2 m pia ni chanya.

Mfano 11

Kwa mfano, (− 6) 4 > 0, (- 2, 2) 12 > 0 na - 2 9 6 > 0

Je, iwapo kipeo chenye msingi hasi ni nambari isiyo ya kawaida? Hebu tuashirie 2 · m - 1 .

Kisha

Bidhaa zote a · a, kulingana na sifa za kuzidisha, ni chanya, na hivyo ni bidhaa zao. Lakini ikiwa tutaizidisha kwa nambari iliyobaki A, basi matokeo ya mwisho yatakuwa hasi.

Kisha tunapata: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Jinsi ya kuthibitisha hili?

n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Mfano 12

Kwa mfano, ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Inatubidi tu kuthibitisha mali ya mwisho: ikiwa tuna nguvu mbili ambazo misingi yake ni sawa na chanya, na ambayo vielelezo vyake ni nambari za asili, basi yule ambaye kielelezo chake ni kidogo zaidi ni kikubwa zaidi; na nguvu mbili zenye vielezi vya asili na misingi inayofanana kubwa kuliko moja, yule ambaye kielezi chake ni kikubwa zaidi ni kikubwa zaidi.

Hebu tuthibitishe kauli hizi.

Kwanza tunahitaji kuhakikisha kwamba m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Hebu tuchukue n nje ya mabano, baada ya hapo tofauti yetu itachukua fomu n · (a m − n − 1) . Matokeo yake yatakuwa hasi (kwa sababu matokeo ya kuzidisha nambari chanya kwa nambari hasi ni hasi). Baada ya yote, kulingana na hali ya awali, m - n > 0, basi m - n - 1 ni hasi, na jambo la kwanza ni chanya, kama nguvu yoyote ya asili iliyo na msingi mzuri.

Ilibainika kuwa a m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Inabakia kuthibitisha sehemu ya pili ya kauli iliyotungwa hapo juu: a m > a ni kweli kwa m > n na a > 1. Hebu tuonyeshe tofauti na tuweke n nje ya mabano: ( a m − n − 1) Nguvu ya n kwa kubwa kuliko moja itatoa matokeo chanya; na tofauti yenyewe pia itageuka kuwa chanya kutokana na hali ya awali, na kwa > 1 shahada ya m - n ni kubwa kuliko moja. Inatokea kwamba a m - a n > 0 na a m > a n , ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Mfano 13

Mfano na nambari maalum: 3 7 > 3 2

Sifa za kimsingi za digrii zilizo na vipeo kamili kamili

Kwa mamlaka zilizo na vipeo kamili kamili, sifa zitakuwa sawa, kwa sababu nambari kamili chanya ni nambari asilia, ambayo inamaanisha kuwa usawa wote uliothibitishwa hapo juu pia ni kweli kwao. Pia zinafaa kwa hali ambapo vielelezo ni hasi au sawa na sifuri (mradi tu msingi wa shahada yenyewe sio sifuri).

Kwa hivyo, sifa za mamlaka ni sawa kwa misingi yoyote a na b (mradi nambari hizi ni halisi na si sawa na 0) na vielelezo vyovyote m na n (mradi tu ni nambari kamili). Wacha tuandike kwa ufupi katika mfumo wa fomula:

Ufafanuzi 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. n< b n и a − n >b − n kulingana na nambari kamili n, chanya a na b, a< b

7.am< a n , при условии целых m и n , m >n na 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ikiwa msingi wa shahada ni sifuri, basi maingizo a m na n yana maana tu katika kesi ya asili na chanya m na n. Kwa hivyo, tunaona kwamba uundaji ulio hapo juu pia unafaa kwa kesi zilizo na nguvu na msingi wa sifuri, ikiwa masharti mengine yote yametimizwa.

Uthibitisho wa mali hizi katika kesi hii ni rahisi. Tutahitaji kukumbuka ni digrii gani iliyo na kipeo asilia na kamili, na vile vile sifa za utendakazi zilizo na nambari halisi.

Wacha tuangalie mali ya nguvu-kwa-nguvu na tuthibitishe kuwa ni kweli kwa nambari chanya na zisizo chanya. Tuanze kwa kuthibitisha usawa (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) na (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Masharti: p = 0 au nambari ya asili; q - sawa.

Ikiwa maadili ya p na q ni makubwa kuliko 0, basi tunapata (a p) q = a p · q. Tayari tumethibitisha usawa sawa hapo awali. Ikiwa p = 0, basi:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Kwa hiyo, (a 0) q = a 0 q

Kwa q = 0 kila kitu ni sawa:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Matokeo: (a p) 0 = a p · 0 .

Ikiwa viashiria vyote viwili ni sifuri, basi (a 0) 0 = 1 0 = 1 na 0 · 0 = a 0 = 1, ambayo ina maana (a 0) 0 = a 0 · 0.

Wacha tukumbuke mali ya nukuu kwa kiwango kilichothibitishwa hapo juu na tuandike:

1 a p q = 1 q a p q

Ikiwa 1 p = 1 1 … 1 = 1 na p q = a p q, basi 1 q a p q = 1 a p q

Tunaweza kubadilisha nukuu hii kwa mujibu wa kanuni za msingi za kuzidisha kuwa (− p) · q.

Pia: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Na (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Sifa zilizobaki za digrii zinaweza kuthibitishwa kwa njia sawa kwa kubadilisha usawa uliopo. Hatutakaa juu ya hili kwa undani; tutaonyesha tu mambo magumu.

Uthibitisho wa mali ya kabla ya mwisho: kumbuka kuwa a -n > b - n ni kweli kwa nambari zozote hasi kamili \ n na chanya yoyote a na b, mradi a ni chini ya b.

Kisha usawa unaweza kubadilishwa kama ifuatavyo:

1 a n > 1 b n

Wacha tuandike pande za kulia na kushoto kama tofauti na tufanye mabadiliko muhimu:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Kumbuka kwamba katika hali a ni chini ya b, basi, kulingana na ufafanuzi wa shahada na kielelezo asilia: - n.< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n huishia kuwa nambari chanya kwa sababu sababu zake ni chanya. Kama matokeo, tunayo sehemu ya b n - a n a n · b n, ambayo hatimaye inatoa matokeo chanya. Kwa hivyo 1 a n > 1 b n alitoka wapi a − n > b − n , ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Sifa ya mwisho ya mamlaka yenye vielelezo kamili inathibitishwa sawa na mali ya mamlaka yenye vielelezo asilia.

Sifa za kimsingi za mamlaka zilizo na vielelezo vya busara

Katika makala zilizopita, tuliangalia ni nini shahada yenye kielelezo cha busara (kipande). Sifa zao ni sawa na zile za digrii zilizo na vielelezo kamili. Hebu tuandike:

Ufafanuzi 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 kwa > 0, na ikiwa m 1 n 1 > 0 na m 2 n 2 > 0, basi kwa ≥ 0 (mali ya bidhaa digrii na besi sawa).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ikiwa a > 0 (mali ya mgawo).

3. a · b m n = a m n · b m n kwa a > 0 na b > 0, na ikiwa m 1 n 1 > 0 na m 2 n 2 > 0, basi kwa ≥ 0 na (au) b ≥ 0 (mali ya bidhaa katika shahada ya sehemu).

4. a: b m n = a m n: b m n kwa > 0 na b > 0, na ikiwa m n > 0, basi kwa ≥ 0 na b > 0 (mali ya mgawo kwa nguvu ya sehemu).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 kwa > 0, na ikiwa m 1 n 1 > 0 na m 2 n 2 > 0, basi kwa ≥ 0 (mali ya shahada katika digrii).

6.a uk< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ikiwa uk< 0 - a p >b p (mali ya kulinganisha mamlaka na wafadhili sawa wa busara).

7.a uk< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q kwa 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Ili kuthibitisha masharti haya, tunahitaji kukumbuka digrii yenye kipeo kikuu cha sehemu ni nini, sifa za mzizi wa hesabu wa digrii ya nth ni zipi, na ni sifa gani za digrii yenye vielezo kamili. Wacha tuangalie kila mali.

Kulingana na digrii iliyo na kielelezo cha sehemu ni nini, tunapata:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 na a m 2 n 2 = a m 2 n 2, kwa hiyo, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Sifa za mzizi zitaturuhusu kupata usawa:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Kutokana na hili tunapata: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Hebu tubadilishe:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Kielelezo kinaweza kuandikwa kama:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Huu ndio uthibitisho. Mali ya pili imethibitishwa kwa njia sawa. Wacha tuandike mlolongo wa usawa:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Uthibitisho wa usawa uliobaki:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Sifa inayofuata: wacha tuthibitishe kuwa kwa maadili yoyote ya a na b zaidi ya 0, ikiwa a ni chini ya b, p itatosheka.< b p , а для p больше 0 - a p >b uk

Wacha tuwakilishe nambari ya busara p kama m n. Katika kesi hii, m ni nambari kamili, n ni nambari ya asili. Kisha masharti uk< 0 и p >0 itaenea hadi m< 0 и m >0 . Kwa m > 0 na a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Tunatumia mali ya mizizi na pato: m n< b m n

Kwa kuzingatia maadili chanya ya a na b, tunaandika upya ukosefu wa usawa kama m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Vivyo hivyo kwa m< 0 имеем a a m >b m , tunapata m n > b m n ambayo ina maana ya m n > b m n na a p > b p .

Inabakia kwetu kutoa uthibitisho wa mali ya mwisho. Wacha tuthibitishe hilo kwa nambari za busara p na q, p > q kwa 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 itakuwa kweli a p > a q .

Nambari za busara p na q zinaweza kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida na kupata sehemu za m 1 n na m 2 n.

Hapa m 1 na m 2 ni nambari kamili, na n ni nambari asilia. Ikiwa p > q, basi m 1 > m 2 (kwa kuzingatia sheria ya kulinganisha sehemu). Kisha saa 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - ukosefu wa usawa 1 m > a 2 m.

Wanaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n

Basi unaweza kufanya mabadiliko na kuishia na:

m 1 n< a m 2 n a m 1 n >m 2 n

Kwa muhtasari: kwa p > q na 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Sifa za kimsingi za mamlaka zilizo na vielelezo visivyo na mantiki

Kwa kiwango kama hicho mtu anaweza kupanua sifa zote zilizoelezwa hapo juu ambazo digrii yenye vielezi vya busara inayo. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wake, ambao tulitoa katika moja ya makala zilizopita. Wacha tuunde sifa hizi kwa ufupi (masharti: a > 0, b > 0, vielelezo p na q ni nambari zisizo na mantiki):

Ufafanuzi 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a uk< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b uk

7.a uk< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, kisha a p > a q.

Kwa hivyo, mamlaka zote ambazo vielezi p na q ni nambari halisi, mradi > 0, zina sifa sawa.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Mafunzo ya video 2: Shahada yenye kiashiria cha asili na mali zake

Mhadhara:


Shahada yenye kiashiria cha asili


Chini ya shahada nambari fulani "A" na kiashiria fulani "n" kuelewa bidhaa ya nambari "A" peke yake "n" mara moja.

Tunapozungumza juu ya digrii na kielelezo asilia, inamaanisha kuwa nambari "n" lazima iwe kamili na sio hasi.

A- msingi wa digrii, ambayo inaonyesha ni nambari gani inapaswa kuzidishwa yenyewe,

n- kielelezo - inaeleza ni mara ngapi msingi unahitaji kuzidishwa na yenyewe.


Kwa mfano:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Katika kesi hii, msingi wa shahada unaeleweka kuwa namba "8", mtangazaji wa shahada ni namba "4", na thamani ya shahada ni namba "4096".

Kosa kubwa na la kawaida wakati wa kuhesabu digrii ni kuzidisha kipeo kwa msingi - HII SI SAHIHI!


Tunapozungumza juu ya digrii na kipeo asilia, tunamaanisha kwamba kielelezo pekee (n) lazima iwe nambari ya asili.


Unaweza kuchukua nambari yoyote kwenye mstari wa nambari kama msingi.


Kwa mfano,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Operesheni ya hisabati ambayo inafanywa kwa msingi na kielelezo inaitwa ufafanuzi.

Kuongeza \ kutoa ni oparesheni ya hisabati ya hatua ya kwanza, kuzidisha \ mgawanyiko ni hatua ya hatua ya pili, kuinua nguvu ni hatua ya hisabati ya hatua ya tatu, yaani, moja ya juu zaidi.

Hierarkia hii ya shughuli za hisabati huamua mpangilio katika hesabu. Ikiwa hatua hii hutokea katika kazi kati ya mbili zilizopita, basi inafanywa kwanza.


Kwa mfano:

15 + 6 *2 2 = 39

Katika mfano huu, lazima kwanza uinue 2 kwa nguvu, ambayo ni,

kisha zidisha matokeo kwa 6, yaani

Nguvu iliyo na kielelezo cha asili haitumiwi tu kwa mahesabu maalum, bali pia kwa urahisi wa kuandika idadi kubwa. Katika kesi hii, dhana pia hutumiwa "nambari ya kawaida". Dokezo hili linahusisha kuzidisha nambari fulani kutoka 1 hadi 9 kwa nguvu sawa na 10 na kipeo fulani.


Kwa mfano, kurekodi radius ya Dunia katika hali ya kawaida, tumia nukuu ifuatayo:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

na wingi wa Dunia, kwa mfano, imeandikwa kama ifuatavyo:

Tabia za digrii

Kwa urahisi wa kutatua mifano na digrii, unahitaji kujua mali zao za msingi:


1. Ikiwa unahitaji kuzidisha nguvu mbili ambazo zina msingi sawa, basi katika kesi hii msingi lazima uachwe bila kubadilika na wafadhili huongezwa.

a n * a m = a n+m

Kwa mfano:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ikiwa ni muhimu kugawanya digrii mbili ambazo zina misingi sawa, basi katika kesi hii msingi lazima uachwe bila kubadilika na wafadhili hupunguzwa. Tafadhali kumbuka kuwa kwa utendakazi wenye mamlaka yenye kipeo asilia, kipeo cha mgao lazima kiwe kikubwa kuliko kipeo cha kigawanyo. Vinginevyo, mgawo wa hatua hii itakuwa nambari iliyo na kipeo hasi.

a n / a m = a n-m

Kwa mfano,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ikiwa ni muhimu kuinua nguvu moja hadi nyingine, nambari hiyo hiyo inabakia msingi wa matokeo, na wafadhili huongezeka.

(a) m = a n*m

Kwa mfano,

4. Ikiwa ni muhimu kuinua bidhaa za nambari za kiholela kwa nguvu fulani, basi unaweza kutumia sheria fulani ya usambazaji, ambayo chini yake tunapata bidhaa za besi tofauti kwa nguvu sawa.

(a * b) m = a m * b m

Kwa mfano,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .


5. Mali inayofanana inaweza kutumika kugawanya mamlaka, kwa maneno mengine, kuongeza mara mbili ya kawaida kwa mamlaka.

(a/b) m = a m/b m

6. Nambari yoyote ambayo imeinuliwa kwa kipeo sawa na moja ni sawa na nambari asilia.

a 1 = a

Kwa mfano,

7. Wakati wa kuinua nambari yoyote kwa nguvu iliyo na sifuri ya kipeo, matokeo ya hesabu hii yatakuwa moja kila wakati.

na 0 = 1

Kwa mfano,