Somo “Kielelezo chenye kielelezo cha busara.

Nguvu yenye kipeo cha busara

Khasyanova T.G.,

mwalimu wa hisabati

Nyenzo iliyowasilishwa itakuwa muhimu kwa walimu wa hisabati wakati wa kusoma mada "Kielelezo kilicho na kielelezo cha busara."

Kusudi la nyenzo iliyowasilishwa: kufunua uzoefu wangu wa kufanya somo juu ya mada "Shahada na kielelezo cha busara" cha mpango wa kazi wa nidhamu "Hisabati".

Mbinu ya kufanya somo inalingana na aina yake - somo la kusoma na kuunganisha maarifa mapya. Maarifa na ujuzi wa kimsingi ulisasishwa kwa misingi ya uzoefu uliopatikana hapo awali; kukariri msingi, ujumuishaji na utumiaji wa habari mpya. Ujumuishaji na utumiaji wa nyenzo mpya ulifanyika kwa njia ya kutatua shida ambazo nilijaribu za ugumu tofauti, na kutoa matokeo chanya katika kusimamia mada.

Mwanzoni mwa somo, niliweka malengo yafuatayo kwa wanafunzi: elimu, maendeleo, elimu. Wakati wa somo nilitumia njia mbalimbali za shughuli: mbele, mtu binafsi, jozi, kujitegemea, mtihani. Kazi zilitofautishwa na ilifanya iwezekane kutambua, katika kila hatua ya somo, kiwango cha upataji wa maarifa. Kiasi na ugumu wa kazi hulingana na sifa za umri wa wanafunzi. Kutoka kwa uzoefu wangu, kazi ya nyumbani, sawa na matatizo yaliyotatuliwa darasani, inakuwezesha kuunganisha kwa uaminifu ujuzi na ujuzi uliopatikana. Mwisho wa somo, tafakuri ilifanyika na kazi ya mwanafunzi mmoja mmoja ilipimwa.

Malengo yalifikiwa. Wanafunzi walisoma dhana na sifa za shahada kwa kutumia kipeo cha busara, na kujifunza kutumia sifa hizi wakati wa kutatua matatizo ya vitendo. Kwa kazi ya kujitegemea, alama zinatangazwa katika somo linalofuata.

Ninaamini kuwa mbinu ninayotumia kufundisha hisabati inaweza kutumiwa na walimu wa hisabati.

Mada ya somo: Nguvu yenye kipeo cha busara

Kusudi la somo:

Kutambua kiwango cha ujuzi wa wanafunzi wa tata ya ujuzi na ujuzi na, kwa msingi wake, kutumia ufumbuzi fulani ili kuboresha mchakato wa elimu.

Malengo ya somo:

Kielimu: kuunda maarifa mapya kati ya wanafunzi wa dhana za kimsingi, sheria, sheria za kuamua digrii na kiashiria cha busara, uwezo wa kutumia maarifa kwa uhuru katika hali ya kawaida, katika hali zilizobadilishwa na zisizo za kawaida;

kuendeleza: fikiria kimantiki na utambue uwezo wa ubunifu;

kuinua: kukuza hamu ya hisabati, jaza msamiati wako na istilahi mpya, na upate maelezo ya ziada kuhusu ulimwengu unaokuzunguka. Kuza uvumilivu, uvumilivu, na uwezo wa kushinda magumu.

    Wakati wa kuandaa

    Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu

    Wakati wa kuzidisha nguvu na besi sawa, vielelezo vinaongezwa, lakini msingi unabaki sawa:

Kwa mfano,

2. Wakati wa kugawanya digrii na besi sawa, wafadhili wa digrii hupunguzwa, lakini msingi unabaki sawa:


Kwa mfano,

3. Wakati wa kuongeza digrii kwa nguvu, vielelezo vinazidishwa, lakini msingi unabaki sawa:


Kwa mfano,

4. Kiwango cha bidhaa ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo:

Kwa mfano,

5. Kiwango cha mgawo ni sawa na mgawo wa digrii za mgao na mgawanyiko:


Kwa mfano,

Mazoezi na suluhisho

Tafuta maana ya usemi:

Suluhisho:

Katika kesi hii, hakuna sifa yoyote ya digrii iliyo na kielelezo cha asili inaweza kutumika kwa uwazi, kwani digrii zote zina misingi tofauti. Wacha tuandike nguvu kadhaa kwa fomu tofauti:

(kiwango cha bidhaa ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo);


(wakati wa kuzidisha nguvu na besi sawa, vielelezo huongezwa, lakini msingi unabaki sawa; wakati wa kuongeza kiwango kwa nguvu, vielelezo vinazidishwa, lakini msingi unabaki sawa).

Kisha tunapata:

Katika mfano huu, sifa nne za kwanza za shahada yenye kielelezo asilia zilitumika.

Mzizi wa mraba wa hesabu
ni nambari isiyo hasi ambayo mraba wake ni sawa naa,
. Katika
- kujieleza
haijafafanuliwa, kwa sababu hakuna nambari halisi ambayo mraba wake ni sawa na nambari hasia.

Imla ya hisabati(Dakika 8-10)

    Chaguo

II. Chaguo

1.Tafuta thamani ya usemi

A)

b)

1.Tafuta thamani ya usemi

A)

b)

2.Hesabu

A)

b)

NDANI)

2.Hesabu

A)

b)

V)

Kujijaribu(kwenye ubao wa lapel):

Jibu la Matrix:

№ chaguo/kazi

Tatizo 1

Tatizo 2

Chaguo 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

V)

Chaguo la 2

a) 1.5

b)

A)

b)

saa 4

II. Malezi ya maarifa mapya

Wacha tuangalie maana ya usemi huo, wapi - nambari chanya- nambari ya sehemu na nambari ya m, n-asili (n›1)

Ufafanuzi: nguvu ya a›0 yenye kipeo mantikir = , m- nzima, n- asili ( n1) nambari inaitwa.

Kwa hivyo:

Kwa mfano:

Vidokezo:

1. Kwa nambari yoyote chanya a na yoyote ya kimantiki r vyema.

2. Wakati
nguvu ya busara ya nambariahaijaamuliwa.

Maneno kama
haina maana.

3.Kama nambari chanya ya sehemu ni
.

Kama sehemu nambari hasi, basi -haina maana.

Kwa mfano: - haina maana.

Wacha tuzingatie sifa za digrii na kielelezo cha busara.

Acha a >0, b>0; r, s - nambari yoyote ya busara. Kisha digrii iliyo na kielelezo chochote cha busara ina sifa zifuatazo:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Kuunganisha. Uundaji wa ujuzi mpya na uwezo.

Kadi za kazi hufanya kazi katika vikundi vidogo kwa namna ya mtihani.


Katika makala hii tutajua ni nini shahada ya. Hapa tutatoa ufafanuzi wa nguvu ya nambari, wakati tutazingatia kwa undani wafadhili wote wanaowezekana, kuanzia na kielelezo asilia na kuishia na kisicho na mantiki. Katika nyenzo utapata mifano mingi ya digrii, inayofunika hila zote zinazotokea.

Urambazaji wa ukurasa.

Nguvu yenye kipeo asilia, mraba wa nambari, mchemraba wa nambari

Hebu tuanze na. Kuangalia mbele, wacha tuseme kwamba ufafanuzi wa nguvu ya nambari a na kielelezo asilia n imetolewa kwa a, ambayo tutaita. msingi wa shahada, na n, ambayo tutaita kielelezo. Pia tunakumbuka kuwa shahada yenye kipeo asilia hubainishwa kupitia bidhaa, kwa hivyo ili kuelewa nyenzo hapa chini unahitaji kuwa na uelewa wa kuzidisha nambari.

Ufafanuzi.

Nguvu ya nambari yenye kipeo asilia n ni usemi wa umbo a n, thamani ambayo ni sawa na bidhaa ya mambo n, ambayo kila moja ni sawa na a, yaani, .
Hasa, nguvu ya nambari a yenye kipeo 1 ni nambari a yenyewe, yaani, 1 =a.

Inastahili kutaja mara moja kuhusu sheria za kusoma digrii. Njia ya jumla ya kusoma nukuu a n ni: "a kwa nguvu ya n". Katika baadhi ya matukio, chaguo zifuatazo pia zinakubalika: "a kwa nguvu ya nth" na "nth nguvu ya a". Kwa mfano, hebu tuchukue mamlaka 8 12, hii ni "nane kwa uwezo wa kumi na mbili", au "nguvu nane hadi kumi na mbili", au "nguvu ya kumi na mbili ya nane".

Nguvu ya pili ya nambari, pamoja na nguvu ya tatu ya nambari, ina majina yao wenyewe. Nguvu ya pili ya nambari inaitwa mraba nambari, kwa mfano, 7 2 inasomwa kama "saba ya mraba" au "mraba wa nambari saba." Nguvu ya tatu ya nambari inaitwa nambari za mraba, kwa mfano, 5 3 inaweza kusomwa kama "cubed tano" au unaweza kusema "mchemraba wa nambari 5".

Ni wakati wa kuleta mifano ya digrii na vielelezo asilia. Wacha tuanze na digrii 5 7, hapa 5 ndio msingi wa digrii, na 7 ndio kielelezo. Wacha tutoe mfano mwingine: 4.32 ndio msingi, na nambari asilia 9 ndio kielezi (4.32) 9 .

Tafadhali kumbuka kuwa katika mfano wa mwisho, msingi wa nguvu 4.32 umeandikwa kwa mabano: ili kuepuka kutofautiana, tutaweka kwenye mabano besi zote za nguvu ambazo ni tofauti na namba za asili. Kama mfano, tunatoa digrii zifuatazo na vielelezo asilia , besi zao sio nambari za asili, kwa hiyo zimeandikwa kwenye mabano. Kweli, kwa uwazi kamili, katika hatua hii tutaonyesha tofauti zilizomo katika rekodi za fomu (-2) 3 na -2 3. Usemi (−2) 3 ni nguvu ya -2 yenye kipeo asili cha 3, na usemi -2 3 (unaweza kuandikwa kama -(2 3) ) unalingana na nambari, thamani ya nguvu 2 3. .

Kumbuka kuwa kuna nukuu ya nguvu ya nambari a iliyo na kipeo n cha umbo a^n. Zaidi ya hayo, ikiwa n ni nambari ya asili yenye thamani nyingi, basi kielelezo huchukuliwa kwenye mabano. Kwa mfano, 4^9 ni nukuu nyingine ya nguvu ya 4 9 . Na hapa kuna mifano zaidi ya digrii za uandishi kwa kutumia ishara “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Katika kile kinachofuata, tutatumia kimsingi nukuu ya digrii ya fomu n .

Mojawapo ya matatizo yanayopingana na kuinua mamlaka yenye kipeo asilia ni tatizo la kupata msingi wa nguvu kutoka kwa thamani inayojulikana ya nguvu na kipeo kinachojulikana. Kazi hii inaongoza kwa.

Inajulikana kuwa seti ya nambari za busara ina nambari kamili na sehemu, na kila sehemu inaweza kuwakilishwa kama sehemu chanya au hasi ya kawaida. Tulifafanua digrii yenye kipeo kamili katika aya iliyotangulia, kwa hivyo, ili kukamilisha ufafanuzi wa digrii na kipeo cha busara, tunahitaji kutoa maana ya kiwango cha nambari a na kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia. Hebu tufanye.

Wacha tuzingatie digrii iliyo na kipeo cha sehemu ya fomu . Ili mali ya nguvu-kwa-nguvu ibaki halali, usawa lazima ushikilie . Ikiwa tutazingatia usawa unaotokana na jinsi tulivyoamua , basi ni jambo la busara kuikubali mradi tu kwa kupewa m, n na usemi unaeleweka.

Ni rahisi kuangalia kuwa kwa sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili ni halali (hii ilifanyika katika sifa za sehemu ya digrii iliyo na kipeo busara).

Hoja iliyo hapo juu inaturuhusu kufanya yafuatayo hitimisho: ikipewa m, n na usemi unaeleweka, basi nguvu ya a yenye kipeo mgawanyiko m/n inaitwa mzizi wa nth wa a hadi nguvu ya m.

Kauli hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa shahada yenye kipeo cha sehemu. Kinachobaki ni kuelezea kile m, n na usemi unaleta maana. Kulingana na vikwazo vilivyowekwa kwenye m, n na a, kuna mbinu mbili kuu.

    Njia rahisi ni kuweka kizuizi kwa a kwa kuchukua a≥0 kwa m chanya na a>0 kwa m hasi (kwani kwa m≤0 digrii 0 ya m haijafafanuliwa). Kisha tunapata ufafanuzi ufuatao wa digrii na kielelezo cha sehemu.

    Ufafanuzi.

    Nguvu ya nambari chanya A yenye kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia, inaitwa mzizi wa nth wa nambari a hadi nguvu m, yaani, .

    Nguvu ya sehemu ya sifuri pia imedhamiriwa na pango pekee kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.

    Ufafanuzi.

    Nguvu ya sifuri yenye kipeo chanya cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari chanya na n ni nambari asilia, inafafanuliwa kama .
    Wakati digrii haijaamuliwa, yaani, kiwango cha nambari sifuri na kipeo cha sehemu hasi haileti maana.

    Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi huu wa shahada yenye kielelezo cha sehemu, kuna tahadhari moja: kwa baadhi hasi a na baadhi ya m na n, usemi huo una maana, na tulitupilia mbali kesi hizi kwa kuanzisha hali a≥0. Kwa mfano, maingizo yana maana au , na ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatulazimisha kusema kwamba mamlaka yenye kipeo cha sehemu ya fomu usiwe na maana, kwani msingi haupaswi kuwa mbaya.

    Njia nyingine ya kuamua digrii na kipeo cha sehemu m/n ni kuzingatia kando vielelezo hata na visivyo vya kawaida vya mzizi. Njia hii inahitaji hali ya ziada: nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni , inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni sehemu inayolingana isiyoweza kupunguzwa (tutaelezea umuhimu wa hali hii hapa chini. ) Hiyo ni, ikiwa m/n ni sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi kwa nambari yoyote ya asili k shahada inabadilishwa kwanza na .

    Kwa hata n na chanya m, usemi huo una mantiki kwa yoyote isiyo hasi a (mzizi hata wa nambari hasi hauna maana); kwa m hasi, nambari a lazima bado iwe tofauti na sifuri (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko. kwa sifuri). Na kwa n isiyo ya kawaida na m chanya, nambari a inaweza kuwa yoyote (mzizi wa digrii isiyo ya kawaida hufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa m hasi, nambari a lazima iwe tofauti na sifuri (ili kusiwe na mgawanyiko na sufuri).

    Hoja iliyo hapo juu inatuelekeza kwenye ufafanuzi huu wa digrii yenye kipeo cha sehemu.

    Ufafanuzi.

    Acha m/n iwe sehemu isiyoweza kupunguzwa, m nambari kamili, na n nambari asilia. Kwa sehemu yoyote inayoweza kupunguzwa, digrii inabadilishwa na . Nguvu ya nambari iliyo na kipeo cha sehemu isiyoweza kupunguzwa m/n ni ya

    Hebu tueleze ni kwa nini shahada iliyo na kipeo cha sehemu inayoweza kupunguzwa inabadilishwa kwanza na digrii na kipeo kikuu kisichoweza kupunguzwa. Ikiwa tungefafanua kiwango kama , na hatukuweka uhifadhi juu ya kutoweza kupunguzwa kwa sehemu m/n, basi tungekabiliwa na hali sawa na zifuatazo: kwa kuwa 6/10 = 3/5, basi usawa lazima ushikilie. ,Lakini , A.

Somo la video "Kielelezo kilicho na kielelezo cha busara" kina nyenzo za kielimu za kuona za kufundisha somo juu ya mada hii. Somo la video lina habari juu ya wazo la digrii na kielelezo cha busara, mali ya digrii kama hizo, na mifano inayoelezea utumiaji wa nyenzo za kielimu kutatua shida za vitendo. Madhumuni ya somo hili la video ni kuwasilisha kwa uwazi na kwa uwazi nyenzo za elimu, kuwezesha maendeleo yake na kukariri na wanafunzi, na kuendeleza uwezo wa kutatua matatizo kwa kutumia dhana zilizojifunza.

Faida kuu za somo la video ni uwezo wa kuibua kufanya mabadiliko na mahesabu, uwezo wa kutumia athari za uhuishaji ili kuboresha ufanisi wa kujifunza. Kuambatana na sauti husaidia kukuza hotuba sahihi ya hesabu, na pia inafanya uwezekano wa kuchukua nafasi ya maelezo ya mwalimu, kumwachilia huru kufanya kazi ya mtu binafsi.

Somo la video linaanza kwa kutambulisha mada. Wakati wa kuunganisha utafiti wa mada mpya na nyenzo zilizosomwa hapo awali, inashauriwa kukumbuka kuwa n √a inaashiria 1/n kwa n asilia na chanya a. Uwakilishi huu wa n-root unaonyeshwa kwenye skrini. Ifuatayo, tunapendekeza kuzingatia maana ya usemi m/n, ambamo a ni nambari chanya na m/n ni sehemu. Ufafanuzi wa digrii yenye kipeo busara kama m/n = n √a m umetolewa, ukiangaziwa kwenye fremu. Imebainika kuwa n inaweza kuwa nambari asilia, na m inaweza kuwa nambari kamili.

Baada ya kufafanua shahada kwa kielezi cha busara, maana yake hufichuliwa kupitia mifano: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Pia inaonyesha mfano ambapo nguvu inayowakilishwa na decimal inabadilishwa kuwa sehemu ili kuwakilishwa kama mzizi: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 na mfano na nguvu hasi: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Kipengele maalum cha kesi maalum wakati msingi wa shahada ni sifuri unaonyeshwa tofauti. Imebainika kuwa shahada hii inaeleweka tu na kipeo chanya cha sehemu. Katika kesi hii, thamani yake ni sifuri: 0 m/n =0.

Kipengele kingine cha digrii iliyo na kipeo cha busara kinabainishwa - kwamba digrii iliyo na kipeo cha sehemu haiwezi kuzingatiwa na kipeo cha sehemu. Mifano ya nukuu isiyo sahihi ya shahada imetolewa: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Ifuatayo katika somo la video tunajadili sifa za digrii na kielelezo cha busara. Inabainika kuwa sifa za digrii iliyo na kipeo kamili pia zitatumika kwa digrii iliyo na kipeo cha busara. Inapendekezwa kukumbuka orodha ya mali ambayo pia ni halali katika kesi hii:

  1. Wakati wa kuzidisha mamlaka kwa misingi sawa, vielelezo vyao huongeza: a p a q =a p+q.
  2. Mgawanyiko wa digrii na besi sawa hupunguzwa kwa kiwango na msingi uliopewa na tofauti katika vielelezo: a p:a q =a p-q.
  3. Iwapo tutapandisha daraja kwa nguvu fulani, basi tunaishia na shahada yenye msingi fulani na bidhaa ya vielezi: (a p) q =a pq.

Sifa hizi zote ni halali kwa mamlaka zilizo na vielezi vya busara p, q na msingi chanya a>0. Pia, mabadiliko ya digrii wakati wa kufungua mabano yanabaki kuwa kweli:

  1. (ab) p =a p b p - kuinua kwa nguvu fulani na kipeo cha busara bidhaa ya nambari mbili hupunguzwa kuwa bidhaa ya nambari, ambayo kila moja inainuliwa kwa nguvu fulani.
  2. (a/b) p =a p /b p - kuinua sehemu hadi kwa nguvu yenye kipeo cha busara hupunguzwa hadi sehemu ambayo nambari na denominator huinuliwa kwa nguvu fulani.

Mafunzo ya video yanajadili utatuzi wa mifano inayotumia sifa zinazozingatiwa za mamlaka na kipeo cha busara. Mfano wa kwanza unakuuliza utafute thamani ya usemi ambao una viambajengo x katika nguvu ya sehemu: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Licha ya ugumu wa usemi, kwa kutumia mali ya mamlaka inaweza kutatuliwa kwa urahisi kabisa. Kutatua tatizo huanza kwa kurahisisha usemi, unaotumia kanuni ya kuinua mamlaka yenye kipeo chenye mantiki kwa mamlaka, pamoja na kuzidisha nguvu kwa msingi sawa. Baada ya kubadilisha thamani iliyotolewa x=8 kwenye usemi uliorahisishwa x 1/3 +48, ​​ni rahisi kupata thamani - 50.

Katika mfano wa pili, unahitaji kupunguza sehemu ambayo nambari na denominator ina nguvu na kipeo cha busara. Kutumia mali ya digrii, tunatoa kutoka kwa tofauti sababu ya x 1/3, ambayo hupunguzwa kwa nambari na dhehebu, na kwa kutumia fomula ya tofauti ya miraba, nambari imechangiwa, ambayo inatoa kupunguzwa zaidi kwa kufanana. vipengele katika nambari na denominata. Matokeo ya mabadiliko hayo ni sehemu fupi x 1/4 +3.

Somo la video "Kielelezo chenye kielelezo cha busara" kinaweza kutumika badala ya mwalimu kueleza mada mpya ya somo. Mwongozo huu pia una taarifa kamili za kutosha kwa ajili ya mwanafunzi kujisomea kwa kujitegemea. Nyenzo pia inaweza kuwa muhimu kwa kujifunza umbali.

Kutoka kwa viambajengo kamili vya nambari a, mpito hadi vipaumbele vya busara hujipendekeza. Hapo chini tutafafanua digrii na kipeo cha busara, na tutafanya hivi kwa njia ambayo sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili huhifadhiwa. Hii ni muhimu kwa sababu nambari kamili ni sehemu ya nambari za busara.

Inajulikana kuwa seti ya nambari za busara ina nambari kamili na sehemu, na kila sehemu inaweza kuwakilishwa kama sehemu chanya au hasi ya kawaida. Tulifafanua digrii yenye kipeo kamili katika aya iliyotangulia, kwa hivyo, ili kukamilisha ufafanuzi wa digrii na kipeo cha busara, tunahitaji kutoa maana ya kiwango cha nambari. a na kiashiria cha sehemu m/n, wapi m ni nambari kamili, na n- asili. Hebu tufanye.

Wacha tuzingatie digrii iliyo na kipeo cha sehemu ya fomu . Ili mali ya nguvu-kwa-nguvu ibaki halali, usawa lazima ushikilie . Ikiwa tutazingatia usawa unaotokana na jinsi tulivyoamua mzizi wa nth wa digrii, basi ni busara kukubali, mradi tukipewa m, n Na a usemi huo una maana.

Ni rahisi kuangalia kuwa kwa sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili ni halali (hii ilifanyika katika sifa za sehemu ya digrii iliyo na kipeo busara).

Hoja iliyo hapo juu inaturuhusu kufanya yafuatayo hitimisho: ikiwa utapewa data m, n Na a usemi una mantiki, basi nguvu ya nambari a na kiashiria cha sehemu m/n inayoitwa mzizi n shahada ya a kwa kiwango m.

Kauli hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa shahada yenye kipeo cha sehemu. Kilichobaki ni kuelezea ni nini m, n Na a usemi huo una maana. Kulingana na vikwazo vilivyowekwa m, n Na a Kuna njia kuu mbili.

1. Njia rahisi ni kuweka kizuizi a, baada ya kukubali a≥0 kwa chanya m Na a>0 kwa hasi m(tangu lini m≤0 shahada 0 m haijaamuliwa). Kisha tunapata ufafanuzi ufuatao wa digrii na kielelezo cha sehemu.

Ufafanuzi.

Nguvu ya nambari chanya a na kiashiria cha sehemu m/n , wapi m- nzima, na n- nambari ya asili, inayoitwa mzizi n- ya nambari a kwa kiwango m, hiyo ni, .



Nguvu ya sehemu ya sifuri pia imedhamiriwa na pango pekee kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.

Ufafanuzi.

Nguvu ya sifuri yenye kipeo chanya cha sehemu m/n , wapi m ni nambari chanya, na n- nambari asilia, iliyofafanuliwa kama .
Wakati digrii haijaamuliwa, yaani, kiwango cha nambari sifuri na kipeo cha sehemu hasi haileti maana.

Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi huu wa digrii na kielelezo cha sehemu, kuna pango moja: kwa baadhi hasi. a na baadhi m Na n usemi huo una maana, lakini tulitupilia mbali kesi hizi kwa kuanzisha sharti a≥0. Kwa mfano, maingizo yana maana au , na ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatulazimisha kusema kwamba mamlaka yenye kipeo cha sehemu ya fomu usiwe na maana, kwani msingi haupaswi kuwa mbaya.

2. Mbinu nyingine ya kuamua digrii na kipeo cha sehemu m/n inajumuisha kuzingatia tofauti hata na vielelezo visivyo vya kawaida vya mzizi. Njia hii inahitaji hali ya ziada: nguvu ya nambari a, kielelezo ambacho ni sehemu ya kawaida inayoweza kupunguzwa, inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari a, kiashiria ambacho ni sehemu inayofanana isiyoweza kupunguzwa (umuhimu wa hali hii utaelezwa hapa chini). Hiyo ni, ikiwa m/n ni sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi kwa nambari yoyote ya asili k shahada inabadilishwa hapo awali na .

Kwa hata n na chanya m usemi huo una maana kwa lolote lisilo hasi a(mzizi hata wa nambari hasi hauna maana), kwa hasi m nambari a lazima bado iwe tofauti na sifuri (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko kwa sifuri). Na kwa isiyo ya kawaida n na chanya m nambari a inaweza kuwa yoyote (mizizi isiyo ya kawaida inafafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa hasi m nambari a lazima iwe isiyo ya sifuri (ili hakuna mgawanyiko kwa sifuri).

Hoja iliyo hapo juu inatuelekeza kwenye ufafanuzi huu wa digrii yenye kipeo cha sehemu.

Ufafanuzi.

Hebu m/n- sehemu isiyoweza kupunguzwa; m- nzima, na n- nambari ya asili. Kwa sehemu yoyote inayoweza kupunguzwa, digrii inabadilishwa na . Shahada ya a na kipeo cha sehemu kisichoweza kupunguzwa m/n- ni kwa

o nambari yoyote halisi a, chanya kabisa m na asili isiyo ya kawaida n, Kwa mfano, ;

o nambari yoyote halisi isiyo sifuri a, nambari hasi m na isiyo ya kawaida n, Kwa mfano, ;

o nambari yoyote isiyo hasi a, chanya kabisa m na hata n, Kwa mfano, ;

o yoyote chanya a, nambari hasi m na hata n, Kwa mfano, ;

o katika hali zingine, digrii iliyo na kiashirio cha sehemu haijaamuliwa, kama kwa mfano digrii hazijafafanuliwa .a hatuambatishi maana yoyote kwenye ingizo; tunafafanua nguvu ya nambari sifuri kwa vipeo vya chanya vya sehemu. m/n Vipi , kwa vipeo vya sehemu hasi nguvu ya nambari sifuri haijabainishwa.

Kwa kumalizia hatua hii, wacha tuangalie ukweli kwamba kielelezo cha sehemu kinaweza kuandikwa kama sehemu ya decimal au nambari iliyochanganywa, kwa mfano, . Ili kuhesabu maadili ya misemo ya aina hii, unahitaji kuandika kielelezo kwa namna ya sehemu ya kawaida, na kisha utumie ufafanuzi wa kielelezo na sehemu ya sehemu. Kwa mifano hapo juu tunayo Na

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa Kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, kile kinachohitajika, na jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu na kufaulu kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja au Mtihani wa Jimbo la Umoja na kuingia chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni ya hisabati kama vile kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.


Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.

Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana zaidi kuwa cm kwa cm. Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().

Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Isiyotarajiwa, sawa?) Chora bwawa: chini ni mita kwa ukubwa na kina cha mita, na jaribu kuhesabu cubes ngapi kupima mita kwa mita mapenzi. fit kwenye bwawa lako.

Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii ziligunduliwa na watu walioacha na wenye hila kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umekaa sasa na "kuhesabu kwa kidole chako," basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na ... mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unapata mbili zaidi. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi " ” na kielezi " ” inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "sifuri nukta tano". Hizi sio nambari za asili. Unadhani hizi ni nambari gani?

Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa hawakuwa na nambari za asili za kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

  1. Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
  2. Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
  3. Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari hadi nguvu asilia inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa nguvu hasi ni nini, wacha tufanye kama mara ya mwisho: zidisha nambari ya kawaida kwa nambari ile ile hadi nguvu hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari isiyo sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni rekodi mbili tu tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada hasi kamili- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Je, hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

  • — msingi wa shahada;
  • - kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Sheria zifuatazo rahisi zinaweza kutengenezwa:

  1. hata shahada, - nambari chanya.
  2. Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  3. Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuangalia sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni kitu cha kihisabati ambacho wanahisabati waliunda kupanua dhana ya digrii kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

1) 2) 3)

Majibu:

  1. Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
  2. Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
  3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

  • Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
  • Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  • Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  • Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
  • Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!