Hiyo ni lazima wakati wa kutatua mfumo wa milinganyo ya kielelezo? Hakika, mabadiliko mfumo huu katika mfumo wa milinganyo rahisi.
Mifano.
Tatua mifumo ya milinganyo:
Hebu tueleze katika kupitia X kutoka (2) mlingano wa mfumo na ubadilishe thamani hii kwenye (1) mlingano wa mfumo.
Tunatatua (2) equation ya mfumo unaosababisha:
2 x +2 x +2 =10, tumia fomula: a x + y=a x∙ a y.
2 x +2 x ∙2 2 =10, hebu tuchukue kipengele cha kawaida 2 x nje ya mabano:
2 x (1+2 2)=10 au 2 x ∙5=10, hivyo basi 2 x =2.
2 x =2 1, kutoka hapa x=1. Wacha turudi kwenye mfumo wa milinganyo.
Jibu: (1; 2).
Suluhisho.
Tunawakilisha pande za kushoto na kulia za (1) equation katika mfumo wa mamlaka yenye msingi 2 , na upande wa kulia wa (2) mlinganyo kama nguvu sufuri ya nambari 5 .
Ikiwa nguvu mbili zilizo na misingi sawa ni sawa, basi watetezi wa nguvu hizi ni sawa - tunalinganisha wafadhili na besi. 2 na vielelezo vyenye misingi 5 .
Tunatatua mfumo unaotokana wa milinganyo ya mstari na vigezo viwili kwa kutumia njia ya kuongeza.
Tunapata x=2 na tunabadilisha thamani hii badala yake X katika equation ya pili ya mfumo.
Tunapata katika.
Jibu: (2; 1.5).
Suluhisho.
Ikiwa katika mifano miwili iliyopita tulihamia kwenye mfumo rahisi zaidi kwa kulinganisha viashiria vya digrii mbili na besi sawa, basi katika mfano wa 3 operesheni hii haiwezekani. Ni rahisi kutatua mifumo hiyo kwa kuanzisha vigezo vipya. Tutaanzisha vigezo u Na v, na kisha kueleza kutofautiana u kupitia v na tunapata equation ya kutofautisha v.
Tunatatua (2) equation ya mfumo.
v 2 +63v-64=0. Hebu tuchague mizizi kwa kutumia theorem ya Vieta, tukijua kwamba: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.
Tunapata: v 1 =-64, v 2 =1. Tunarudi kwenye mfumo na kukupata.
Kwa kuwa maadili ya kazi ya kielelezo daima ni chanya, equations 4 x = -1 na 4 y = -64 hazina masuluhisho.
Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Milingano ya kielelezo na usawa wa kielelezo"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 11
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 9-11 "Trigonometry"
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 10-11 "Logarithms"
Ufafanuzi wa Milinganyo ya Kielelezo
Jamani, tulisoma kazi za kielelezo, tulijifunza sifa zao na kujenga grafu, tukachanganua mifano ya milinganyo ambayo utendaji wa kielelezo ulipatikana. Leo tutajifunza milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa.Ufafanuzi. Milinganyo ya fomu: $a^(f(x))=a^(g(x))$, ambapo $a>0$, $a≠1$ huitwa milinganyo ya kielelezo.
Kukumbuka nadharia ambazo tulisoma katika mada "Kazi ya Kielelezo", tunaweza kuanzisha nadharia mpya:
Nadharia. Mlingano wa kielelezo $a^(f(x))=a^(g(x))$, ambapo $a>0$, $a≠1$ ni sawa na mlinganyo $f(x)=g(x) $.
Mifano ya milinganyo ya kielelezo
Mfano.Tatua milinganyo:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Suluhisho.
a) Tunajua vyema kuwa $27=3^3$.
Hebu tuandike upya mlingano wetu: $3^(3x-3)=3^3$.
Kwa kutumia nadharia iliyo hapo juu, tunapata kwamba mlinganyo wetu unapungua hadi mlinganyo $3x-3=3$; tukisuluhisha mlingano huu, tunapata $x=2$.
Jibu: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3))))^(\frac(1)(5))$.
Kisha mlinganyo wetu unaweza kuandikwa upya: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3))))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Jibu: $x=0$.
C) Mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ na $x_2=-3$.
Jibu: $x_1=6$ na $x_2=-3$.
Mfano.
Tatua mlingano: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625)))^(x+1)$.
Suluhisho:
Wacha tufanye mfululizo wa vitendo kwa kufuatana na tulete pande zote mbili za mlinganyo wetu kwa misingi sawa.
Wacha tufanye shughuli kadhaa upande wa kushoto:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4))))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac((((\frac(1)(4))))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Wacha tuendelee upande wa kulia:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jibu: $x=0$.
Mfano.
Tatua mlingano: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Suluhisho:
Hebu tuandike upya mlingano wetu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Wacha tufanye mabadiliko ya vigeu, acha $a=3^x$.
Katika vigezo vipya, mlinganyo utachukua fomu: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ na $a_2=3$.
Hebu tufanye mabadiliko ya kinyume ya vigeu: $3^x=-12$ na $3^x=3$.
Katika somo la mwisho tulijifunza kwamba maneno ya kielelezo yanaweza kuchukua tu maadili mazuri, kumbuka grafu. Hii inamaanisha kuwa equation ya kwanza haina suluhu, equation ya pili ina suluhu moja: $x=1$.
Jibu: $x=1$.
Hebu tukumbushe jinsi ya kutatua milinganyo ya kielelezo:
1. Mbinu ya picha. Tunawakilisha pande zote mbili za equation kwa namna ya kazi na kujenga grafu zao, kupata pointi za makutano ya grafu. (Tulitumia njia hii katika somo lililopita).
2. Kanuni ya usawa wa viashiria. Kanuni hiyo inatokana na ukweli kwamba misemo miwili iliyo na besi sawa ni sawa ikiwa na tu ikiwa digrii (vielezi) vya besi hizi ni sawa. $a^(f(x))=a^(g(x))$$f(x)=g(x)$.
3. Njia ya uingizwaji inayobadilika. Njia hii inapaswa kutumika ikiwa equation, wakati wa kubadilisha vigezo, hurahisisha fomu yake na ni rahisi zaidi kutatua.
Mfano.
Tatua mfumo wa milinganyo: $\anza (kesi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \mwisho (kesi)$.
Suluhisho.
Wacha tuzingatie hesabu zote mbili za mfumo kando:
$27^y*3^x=1$.
$3^(miaka 3)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Fikiria equation ya pili:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Wacha tutumie njia ya mabadiliko ya vigeu, acha $y=2^(x+y)$.
Kisha equation itachukua fomu:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ na $y_2=-3$.
Wacha tuendelee kwenye vigeu vya awali, kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunapata $x+y=2$. Equation ya pili haina suluhu. Kisha mfumo wetu wa awali wa milinganyo ni sawa na mfumo: $\anza (kesi) x+3y=0, \\ x+y=2. \mwisho (kesi)$.
Ondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza, tunapata: $\anza (kesi) 2y=-2, \\ x+y=2. \mwisho (kesi)$.
$\anza (kesi) y=-1, \\ x=3. \mwisho (kesi)$.
Jibu: $(3;-1)$.
Ukosefu wa usawa wa kielelezo
Wacha tuendelee kwenye ukosefu wa usawa. Wakati wa kutatua usawa, ni muhimu kulipa kipaumbele kwa msingi wa shahada. Kuna hali mbili zinazowezekana za maendeleo ya matukio wakati wa kutatua usawa.Nadharia. Ikiwa $a>1$, basi ukosefu wa usawa wa kielelezo $a^(f(x))>a^(g(x))$ ni sawa na ukosefu wa usawa $f(x)>g(x)$.
Ikiwa $0
Mfano.
Tatua ukosefu wa usawa:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Suluhisho.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ukosefu wetu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa:
$2x+3>4$.
$2x>$1.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) Katika mlinganyo wetu, msingi ni wakati ambapo digrii ni chini ya 1, basi Wakati wa kuchukua nafasi ya usawa na sawa, ni muhimu kubadili ishara.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Ukosefu wetu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Wacha tutumie njia ya suluhisho la muda:
Jibu: $(-∞;-5]U \ \
Jibu: $(-4,6)$.
Mfano 2
Tatua mfumo wa milinganyo
Kielelezo cha 3.
Suluhisho.
Mfumo huu ni sawa na mfumo
Kielelezo cha 4.
Wacha tutumie njia ya nne ya kutatua milinganyo. Hebu $2^x=u\ (u >0)$, na $3^y=v\ (v >0)$, tupate:
Kielelezo cha 5.
Hebu tutatue mfumo unaosababisha kwa kutumia njia ya kuongeza. Wacha tujumuishe hesabu:
\ \
Kisha kutoka kwa equation ya pili, tunapata hiyo
Kurudi kwa uingizwaji, nilipokea mfumo mpya wa milinganyo ya kielelezo:
Kielelezo cha 6.
Tunapata:
Kielelezo cha 7.
Jibu: $(0,1)$.
Mifumo ya ukosefu wa usawa wa kielelezo
Ufafanuzi 2
Mifumo ya ukosefu wa usawa inayojumuisha milinganyo ya kielelezo inaitwa mifumo ya ukosefu wa usawa wa kielelezo.
Tutazingatia kutatua mifumo ya ukosefu wa usawa wa kielelezo kwa kutumia mifano.
Mfano 3
Tatua mfumo wa usawa
Kielelezo cha 8.
Suluhisho:
Mfumo huu wa usawa ni sawa na mfumo
Kielelezo cha 9.
Ili kutatua ukosefu wa usawa wa kwanza, kumbuka nadharia ifuatayo juu ya usawa wa usawa wa kielelezo:
Nadharia 1. Kukosekana kwa usawa $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, ambapo $a >0,a\ne 1$ ni sawa na mkusanyiko wa mifumo miwili.
\}