Ulinganisho wa nambari. Mwongozo wa kina (2019)
Wakati wa kutatua equations na kutofautiana, pamoja na matatizo na modules, unahitaji kuweka mizizi iliyopatikana kwenye mstari wa nambari. Kama unavyojua, mizizi iliyopatikana inaweza kuwa tofauti. Wanaweza kuwa hivi: , au wanaweza kuwa hivi: , .
Ipasavyo, ikiwa nambari sio za busara lakini zisizo na maana (ikiwa umesahau ni nini, angalia kwenye mada), au ni ngumu. maneno ya hisabati, kisha kuziweka kwenye mstari wa nambari ni shida sana. Zaidi ya hayo, huwezi kutumia vikokotoo wakati wa mtihani, na takriban mahesabu hayatoi uhakikisho wa 100% kwamba nambari moja ni ndogo kuliko nyingine (vipi ikiwa kuna tofauti kati ya nambari zinazolinganishwa?).
Kwa kweli, unajua kuwa nambari chanya huwa kubwa kila wakati kuliko zile hasi, na kwamba ikiwa tunafikiria mhimili wa nambari, basi tunapolinganisha, idadi kubwa zaidi itakuwa iko kulia kuliko ndogo zaidi:; ; na kadhalika.
Lakini kila kitu ni rahisi sana kila wakati? Ambapo kwenye mstari wa nambari tunaweka alama,.
Wanawezaje kulinganishwa, kwa mfano, na nambari? Hii ni kusugua ...)
Kwanza, tuzungumze ndani muhtasari wa jumla jinsi na nini kulinganisha.
Muhimu: inashauriwa kufanya mabadiliko ili ishara ya usawa haibadilika! Hiyo ni, wakati wa mabadiliko haifai kuzidisha nambari hasi, Na ni haramu mraba ikiwa moja ya sehemu ni hasi.
Ulinganisho wa sehemu
Kwa hivyo, tunahitaji kulinganisha sehemu mbili: na.
Kuna chaguzi kadhaa za jinsi ya kufanya hivyo.
Chaguo 1. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.
Wacha tuandike kwa namna ya sehemu ya kawaida:
- (kama unavyoona, pia nilipunguza nambari na denominator).
Sasa tunahitaji kulinganisha sehemu:
Sasa tunaweza kuendelea kulinganisha kwa njia mbili. Tunaweza:
- kuleta tu kila kitu dhehebu la kawaida, ikiwasilisha sehemu zote mbili kama zisizofaa (nambari ni kubwa kuliko denominator):
Nambari gani ni kubwa zaidi? Hiyo ni kweli, ile iliyo na nambari kubwa zaidi, yaani, ya kwanza.
- "Wacha tutupe" (fikiria kwamba tumetoa moja kutoka kwa kila sehemu, na uwiano wa sehemu kwa kila mmoja, ipasavyo, haujabadilika) na kulinganisha sehemu hizo:
Pia tunawaleta kwa dhehebu moja:
Tulipata matokeo sawa na katika kesi iliyopita - nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili:
Wacha tuangalie ikiwa tulitoa moja kwa usahihi? Wacha tuhesabu tofauti katika nambari katika hesabu ya kwanza na ya pili:
1)
2)
Kwa hiyo, tuliangalia jinsi ya kulinganisha sehemu, kuwaleta kwa dhehebu la kawaida. Hebu tuendelee kwa njia nyingine - kulinganisha sehemu, kuwaleta kwa kawaida ... nambari.
Chaguo 2. Kulinganisha sehemu kwa kupunguza hadi nambari ya kawaida.
Ndiyo ndiyo. Hii si typo. Njia hii haifundishwi kwa mtu yeyote shuleni, lakini mara nyingi ni rahisi sana. Ili uelewe haraka kiini chake, nitakuuliza swali moja tu - "ni katika hali gani thamani ya sehemu ni kubwa zaidi?" Bila shaka, utasema "wakati nambari ni kubwa iwezekanavyo na denominator ni ndogo iwezekanavyo."
Kwa mfano, unaweza kusema kwamba ni kweli? Je, ikiwa tunahitaji kulinganisha sehemu zifuatazo: Nadhani pia utaweka mara moja ishara kwa usahihi, kwa sababu katika kesi ya kwanza wamegawanywa katika sehemu, na kwa pili kuwa nzima, ambayo ina maana kwamba katika kesi ya pili vipande vinageuka kuwa ndogo sana, na ipasavyo:. Kama unaweza kuona, madhehebu hapa ni tofauti, lakini nambari ni sawa. Walakini, ili kulinganisha sehemu hizi mbili, sio lazima utafute dhehebu la kawaida. Ingawa ... pata na uone ikiwa ishara ya kulinganisha bado ni mbaya?
Lakini ishara ni sawa.
Wacha turudi kwenye kazi yetu ya asili - linganisha na ... Tutalinganisha na... Wacha tupunguze sehemu hizi sio kwa dhehebu la kawaida, lakini kwa nambari ya kawaida. Ili kufanya hivyo kwa urahisi nambari na denominator zidisha sehemu ya kwanza kwa. Tunapata:
Na. Sehemu gani ni kubwa zaidi? Hiyo ni kweli, ya kwanza.
Chaguo 3: Kulinganisha sehemu kwa kutumia kutoa.
Jinsi ya kulinganisha sehemu kwa kutumia kutoa? Ndiyo, rahisi sana. Tunatoa nyingine kutoka sehemu moja. Ikiwa matokeo ni chanya, basi sehemu ya kwanza (minuend) ni kubwa kuliko ya pili (subtrahend), na ikiwa hasi, basi kinyume chake.
Kwa upande wetu, hebu jaribu kuondoa sehemu ya kwanza kutoka kwa pili:.
Kama unavyoelewa tayari, tunabadilisha pia kuwa sehemu ya kawaida na kupata matokeo sawa - . Usemi wetu unachukua fomu:
Ifuatayo, bado tutalazimika kuamua kupunguza kwa dhehebu la kawaida. Swali ni: kwa njia ya kwanza, kubadilisha sehemu kuwa zisizofaa, au kwa njia ya pili, kana kwamba "kuondoa" kitengo? Kwa njia, hatua hii ina haki ya hisabati kabisa. Angalia:
Ninapenda chaguo la pili bora, kwani kuzidisha kwa nambari wakati kupunguzwa kwa dhehebu ya kawaida inakuwa rahisi zaidi.
Wacha tuilete kwa dhehebu la kawaida:
Jambo kuu hapa sio kuchanganyikiwa juu ya nambari gani tuliyotoa na wapi. Angalia kwa uangalifu maendeleo ya suluhisho na usichanganye ishara kwa bahati mbaya. Tulitoa nambari ya kwanza kutoka kwa nambari ya pili na tukapata jibu hasi, kwa hivyo?.. Hiyo ni kweli, nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili.
Nimeelewa? Jaribu kulinganisha sehemu:
Acha, simama. Usikimbilie kuleta kwa dhehebu la kawaida au kupunguza. Angalia: unaweza kuibadilisha kwa urahisi kuwa sehemu ya desimali. Itakuwa muda gani? Haki. Nini zaidi katika mwisho?
Hili ni chaguo lingine - kulinganisha sehemu kwa kubadilisha desimali.
Chaguo 4: Kulinganisha sehemu kwa kutumia mgawanyiko.
Ndiyo ndiyo. Na hii pia inawezekana. Mantiki ni rahisi: tunapogawanya idadi kubwa zaidi kwa kidogo, jibu tunalopata ni nambari zaidi ya moja, na ikiwa tutagawanya idadi ndogo kwa zaidi, basi jibu huanguka kwa muda kutoka kwa.
Ili kukumbuka sheria hii, linganisha zote mbili nambari kuu, kwa mfano, na. Unajua nini zaidi? Sasa wacha tugawanye. Jibu letu ni. Ipasavyo, nadharia ni sahihi. Ikiwa tunagawanya kwa, tunachopata ni chini ya moja, ambayo inathibitisha kuwa ni kidogo.
Hebu jaribu kutumia sheria hii sehemu za kawaida. Hebu tulinganishe:
Gawanya sehemu ya kwanza na ya pili:
Hebu tufupishe na baadaye.
Matokeo yaliyopatikana ni kidogo, ambayo ina maana ya gawio chini ya mgawanyiko, hiyo ni:
Tumepanga kila kitu chaguzi zinazowezekana kulinganisha sehemu. Unawaonaje 5:
- kupunguzwa kwa denominator ya kawaida;
- kupunguzwa kwa nambari ya kawaida;
- kupunguzwa kwa fomu ya sehemu ya decimal;
- kutoa;
- mgawanyiko.
Je, uko tayari kutoa mafunzo? Linganisha sehemu kwa njia bora:
Wacha tulinganishe majibu:
- (- badilisha kuwa desimali)
- (gawanya sehemu moja na nyingine na punguza kwa nambari na denominator)
- (chagua sehemu nzima na ulinganishe sehemu kulingana na kanuni ya nambari sawa)
- (gawanya sehemu moja na nyingine na punguza kwa nambari na denominator).
2. Ulinganisho wa digrii
Sasa fikiria kuwa tunahitaji kulinganisha sio nambari tu, lakini misemo ambapo kuna digrii ().
Kwa kweli, unaweza kuweka ishara kwa urahisi:
Baada ya yote, ikiwa tutabadilisha digrii na kuzidisha, tunapata:
Kutoka kwa mfano huu mdogo na wa zamani sheria ifuatayo:
Sasa jaribu kulinganisha yafuatayo:. Unaweza pia kuweka ishara kwa urahisi:
Kwa sababu tukibadilisha ufafanuzi na kuzidisha...
Kwa ujumla, unaelewa kila kitu, na sio ngumu hata kidogo.
Ugumu hutokea tu wakati, ikilinganishwa, digrii zina misingi na viashiria tofauti. Katika kesi hii, unahitaji kujaribu kuongoza msingi wa pamoja. Kwa mfano:
Kwa kweli, unajua kuwa hii, ipasavyo, usemi unachukua fomu:
Wacha tufungue mabano na tulinganishe kile tunachopata:
Baadhi kesi maalum, wakati msingi wa shahada () ni chini ya moja.
Ikiwa, basi ya digrii mbili na kubwa zaidi ni ile ambayo index yake ni ndogo.
Hebu jaribu kuthibitisha sheria hii. Hebu iwe.
Wacha tuanzishe nambari asilia kama tofauti kati ya na.
Kimantiki, sivyo?
Na sasa hebu kwa mara nyingine tena makini na hali -.
Mtawaliwa:. Kwa hivyo,.
Kwa mfano:
Kama unavyoelewa, tulizingatia kesi wakati misingi ya mamlaka ni sawa. Sasa hebu tuone wakati msingi uko katika muda kutoka hadi, lakini vielelezo ni sawa. Kila kitu ni rahisi sana hapa.
Wacha tukumbuke jinsi ya kulinganisha hii kwa kutumia mfano:
Bila shaka, ulifanya hesabu haraka:
Kwa hivyo, unapokutana na shida zinazofanana kwa kulinganisha, kumbuka mfano rahisi kama huo ambao unaweza kuhesabu haraka, na kulingana na mfano huu, weka ishara kwa ngumu zaidi.
Wakati wa kufanya mabadiliko, kumbuka kwamba ikiwa unazidisha, kuongeza, kupunguza au kugawanya, basi vitendo vyote lazima vifanyike kwa pande zote za kushoto na kulia (ikiwa unazidisha, basi lazima uzidishe zote mbili).
Kwa kuongeza, kuna matukio wakati haina faida kufanya udanganyifu wowote. Kwa mfano, unahitaji kulinganisha. KATIKA kwa kesi hii, sio ngumu sana kuinua kwa nguvu, na kupanga ishara kulingana na hii:
Hebu tufanye mazoezi. Linganisha digrii:
Je, uko tayari kulinganisha majibu? Hivi ndivyo nilipata:
- - sawa na
- - sawa na
- - sawa na
- - sawa na
3. Kulinganisha namba na mizizi
Kwanza, hebu tukumbuke mizizi ni nini? Je, unakumbuka rekodi hii?
Mzizi wa nguvu ya nambari halisi ni nambari ambayo usawa unashikilia.
Mizizi ya shahada isiyo ya kawaida kuwepo kwa hasi na nambari chanya, A hata mizizi- kwa mazuri tu.
Thamani ya mzizi mara nyingi haina mwisho Nukta, ambayo inafanya kuwa vigumu kuhesabu kwa usahihi, kwa hiyo ni muhimu kuwa na uwezo wa kulinganisha mizizi.
Ikiwa umesahau ni nini na inaliwa na nini - . Ikiwa unakumbuka kila kitu, hebu tujifunze kulinganisha mizizi hatua kwa hatua.
Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha:
Ili kulinganisha mizizi hii miwili, huna haja ya kufanya mahesabu yoyote, tu kuchambua dhana ya "mizizi" yenyewe. Unaelewa ninachozungumza? Ndio, juu ya hii: vinginevyo inaweza kuandikwa kama nguvu ya tatu ya nambari fulani, sawa na usemi mkali.
Nini zaidi? au? Bila shaka, unaweza kulinganisha hii bila ugumu wowote. Kadiri idadi tunayoongeza kwa mamlaka, ndivyo thamani inavyokuwa kubwa.
Hivyo. Hebu tupate kanuni.
Ikiwa vielelezo vya mizizi ni sawa (kwa upande wetu hii ni), basi ni muhimu kulinganisha misemo kali (na) - idadi kubwa zaidi, thamani zaidi mizizi kwa viwango sawa.
Ni ngumu kukumbuka? Kisha weka tu mfano kichwani mwako na... Hiyo zaidi?
Vielelezo vya mizizi ni sawa, kwani mzizi ni mraba. Usemi mkali wa nambari moja () ni kubwa kuliko nyingine (), ambayo inamaanisha kuwa sheria hiyo ni kweli.
Je, ikiwa maneno ya radical ni sawa, lakini digrii za mizizi ni tofauti? Kwa mfano: .
Pia ni wazi kabisa kwamba wakati wa kuchimba mizizi kwa kiasi kikubwa zaidi utapata namba ndogo. Hebu tuchukue kwa mfano:
Wacha tuonyeshe dhamana ya mzizi wa kwanza kama, na wa pili - kama, basi:
Unaweza kuona kwa urahisi kwamba lazima kuwe na zaidi katika hesabu hizi, kwa hivyo:
Ikiwa misemo kali ni sawa(kwa upande wetu), na vielelezo vya mizizi ni tofauti(kwa upande wetu hii ni na), basi ni muhimu kulinganisha exponents(Na) - juu ya kiashiria, chini usemi huu .
Jaribu kulinganisha mizizi ifuatayo:
Hebu tulinganishe matokeo?
Tulitatua hii kwa mafanikio :). Swali lingine linatokea: je, ikiwa sisi sote ni tofauti? Kiwango na usemi mkali? Sio kila kitu ni ngumu sana, tunahitaji tu ... "kuondoa" mzizi. Ndiyo ndiyo. Achana nayo tu)
Iwapo tuna viwango tofauti na vielezi vikali, tunahitaji kupata kizidishio cha kawaida kabisa (soma sehemu kuhusu) kwa vipeo vya mizizi na kuinua vielezi vyote viwili kwa nguvu inayolingana na kizidishio kisichojulikana sana.
Kwamba sisi sote ni kwa maneno na maneno. Hapa kuna mfano:
- Tunaangalia viashiria vya mizizi - na. Mchanganuo wao mdogo wa kawaida ni .
- Wacha tuinue misemo yote miwili kwa nguvu:
- Wacha tubadilishe usemi na tufungue mabano (maelezo zaidi kwenye sura):
- Wacha tuhesabu tulichofanya na kuweka ishara:
4. Ulinganisho wa logarithms
Kwa hiyo, polepole lakini kwa hakika, tulikuja kwa swali la jinsi ya kulinganisha logarithms. Ikiwa hukumbuka ni aina gani ya mnyama huyu, nakushauri kwanza kusoma nadharia kutoka kwa sehemu. Je, umeisoma? Kisha jibu maswali machache muhimu:
- Ni nini hoja ya logarithm na msingi wake ni nini?
- Ni nini huamua ikiwa utendaji unaongezeka au unapungua?
Ikiwa unakumbuka kila kitu na umeijua kikamilifu, wacha tuanze!
Ili kulinganisha logarithms na kila mmoja, unahitaji kujua mbinu 3 tu:
- kupunguzwa kwa msingi sawa;
- kupunguzwa kwa hoja sawa;
- kulinganisha na nambari ya tatu.
Awali, makini na msingi wa logarithm. Je, unakumbuka kwamba ikiwa ni kidogo, basi kazi hupungua, na ikiwa ni zaidi, basi huongezeka. Hivi ndivyo hukumu zetu zitakavyokuwa juu yake.
Hebu tuchunguze ulinganisho wa logariti ambazo tayari zimepunguzwa kwa msingi sawa, au hoja.
Kuanza, wacha turahisishe shida: weka logarithm zilizolinganishwa misingi sawa . Kisha:
- Kazi, kwa, huongezeka kwa muda kutoka, ambayo ina maana, kwa ufafanuzi, basi ("kulinganisha moja kwa moja").
- Mfano:- misingi ni sawa, tunalinganisha hoja ipasavyo: , kwa hivyo:
- Kazi, saa, inapungua kwa muda kutoka, ambayo ina maana, kwa ufafanuzi, basi ("ulinganisho wa kinyume"). - misingi ni sawa, tunalinganisha hoja ipasavyo: hata hivyo, ishara ya logarithms itakuwa "reverse", kwani kazi inapungua:.
Sasa fikiria kesi ambapo sababu ni tofauti, lakini hoja ni sawa.
- Msingi ni mkubwa zaidi.
- . Katika kesi hii, tunatumia "ulinganisho wa kinyume". Kwa mfano: - hoja ni sawa, na. Wacha tulinganishe besi: hata hivyo, ishara ya logarithms itakuwa "reverse":
- Msingi a iko kwenye pengo.
- . Katika kesi hii tunatumia "kulinganisha moja kwa moja". Kwa mfano:
- . Katika kesi hii, tunatumia "ulinganisho wa kinyume". Kwa mfano:
Wacha tuandike kila kitu katika fomu ya jumla ya jedwali:
| , ambapo | , ambapo | |
Ipasavyo, kama ulivyoelewa tayari, tunapolinganisha logariti, tunahitaji kuelekeza kwenye msingi sawa, au hoja.
Unaweza pia kulinganisha logarithms na nambari ya tatu na, kwa msingi wa hii, toa hitimisho juu ya kile kilicho kidogo na ni nini zaidi. Kwa mfano, fikiria jinsi ya kulinganisha logarithm hizi mbili?
Kidokezo kidogo - kwa kulinganisha, logarithm itakusaidia sana, hoja ambayo itakuwa sawa.
Wazo? Tuamue pamoja.
Tunaweza kulinganisha logarithm hizi mbili na wewe kwa urahisi:
Sijui jinsi gani? Tazama hapo juu. Tumetatua hili. Kutakuwa na ishara gani? Haki:
Kubali?
Wacha tulinganishe na kila mmoja:
Unapaswa kupata zifuatazo:
Sasa unganisha hitimisho zetu zote kuwa moja. Imetokea?
5. Ulinganisho wa maneno ya trigonometric.
Sine, kosine, tangent, cotangent ni nini? Mduara wa kitengo ni wa nini na jinsi ya kupata thamani juu yake kazi za trigonometric? Ikiwa hujui majibu ya maswali haya, ninapendekeza sana kwamba usome nadharia juu ya mada hii. Na ikiwa unajua, basi kulinganisha maneno ya trigonometric na kila mmoja sio ngumu kwako!
Hebu turudishe kumbukumbu zetu kidogo. Wacha tuchore mduara wa trigonometric wa kitengo na pembetatu iliyoandikwa ndani yake. Je, uliweza? Sasa alama kwa upande gani tunapanga cosine na upande gani sine, kwa kutumia pande za pembetatu. (wewe, kwa kweli, kumbuka kuwa sine ndio uwiano upande wa pili kwa hypotenuse, na cosine ya karibu?). Je, ulichora? Kubwa! Kugusa mwisho ni kuweka chini ambapo tutakuwa nayo, wapi na kadhalika. Uliiweka chini? Phew) Wacha tulinganishe kile kilichotokea kwako na mimi.
Phew! Sasa hebu tuanze kulinganisha!
Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha na. Chora pembe hizi kwa kutumia vidokezo kwenye viunzi (ambapo tumeweka alama wapi), ukiweka alama mduara wa kitengo. Je, uliweza? Hivi ndivyo nilivyopata.
Sasa hebu tudondoshe kipenyo kutoka kwa pointi tulizoweka alama kwenye duara kwenye mhimili... Ipi? Ni mhimili gani unaonyesha thamani ya sines? Haki, . Hii ndio unapaswa kupata:
Kuangalia picha hii, ambayo ni kubwa zaidi: au? Bila shaka, kwa sababu hatua ni juu ya uhakika.
Kwa njia sawa, tunalinganisha thamani ya cosines. Tunapunguza tu perpendicular kwa mhimili ... Hiyo ni kweli,. Ipasavyo, tunaangalia ni hatua gani iko upande wa kulia (au juu zaidi, kama ilivyo kwa sines), basi thamani ni kubwa zaidi.
Labda tayari unajua jinsi ya kulinganisha tangents, sawa? Unachohitaji kujua ni tangent ni nini. Kwa hivyo tanjiti ni nini?) Hiyo ni kweli, uwiano wa sine na kosine.
Ili kulinganisha tangents, tunatoa pembe kwa njia sawa na katika kesi ya awali. Wacha tuseme tunahitaji kulinganisha:
Je, ulichora? Sasa tunaweka alama pia juu ya maadili ya sine mhimili wa kuratibu. Je, umeona? Sasa onyesha maadili ya cosine kwenye mstari wa kuratibu. Imetokea? Hebu tulinganishe:
Sasa chambua ulichoandika. - Sisi sehemu ndefu kugawanya kwa ndogo. Jibu litakuwa na thamani ambayo hakika ni kubwa kuliko moja. Haki?
Na tunapogawanya ndogo kwa kubwa. Jibu litakuwa nambari ambayo ni chini kabisa ya moja.
Hivyo ni nini maana usemi wa trigonometric zaidi?
Haki:
Kama unavyoelewa sasa, kulinganisha kotanjiti ni kitu kimoja, kinyume chake: tunaangalia jinsi sehemu zinazofafanua cosine na sine zinavyohusiana.
Jaribu kulinganisha misemo ifuatayo ya trigonometric mwenyewe:
Mifano.
Majibu.
KULINGANISHA NAMBA. KIWANGO CHA WASTANI.
Nambari gani ni kubwa zaidi: au? Jibu ni dhahiri. Na sasa: au? Sio dhahiri tena, sawa? Kwa hiyo: au?
Mara nyingi unahitaji kujua ni usemi gani wa nambari ni mkubwa zaidi. Kwa mfano, ili kuweka pointi kwenye mhimili kwa utaratibu sahihi wakati wa kutatua usawa.
Sasa nitakufundisha jinsi ya kulinganisha nambari kama hizo.
Ikiwa unahitaji kulinganisha nambari na, tunaweka ishara kati yao (inatoka neno la Kilatini Dhidi ya au muhtasari dhidi ya. - dhidi):. Ishara hii inachukua nafasi ya ishara isiyojulikana ya ukosefu wa usawa (). Ifuatayo, tutafanya mabadiliko sawa hadi iwe wazi ni ishara gani inapaswa kuwekwa kati ya nambari.
Kiini cha kulinganisha nambari ni hiki: tunachukulia ishara kana kwamba ni aina fulani ya ishara ya ukosefu wa usawa. Na kwa usemi tunaweza kufanya kila kitu ambacho kawaida hufanya na ukosefu wa usawa:
- ongeza nambari yoyote kwa pande zote mbili (na, kwa kweli, tunaweza kutoa pia)
- "sogeza kila kitu kwa upande mmoja", ambayo ni, toa moja ya misemo iliyolinganishwa kutoka kwa sehemu zote mbili. Badala ya usemi uliopunguzwa utabaki:.
- zidisha au gawanya kwa nambari sawa. Ikiwa nambari hii ni hasi, ishara ya ukosefu wa usawa inabadilishwa: .
- kuinua pande zote mbili kwa nguvu sawa. Ikiwa digrii hii ni sawa, unahitaji kuhakikisha kuwa pande zote mbili zina ishara sawa; ikiwa sehemu zote mbili ni chanya, ishara haibadilika wakati imeinuliwa kwa nguvu, lakini ikiwa ni hasi, basi inabadilika kinyume chake.
- toa mzizi wa shahada sawa kutoka sehemu zote mbili. Ikiwa tunachota mzizi wa shahada iliyo sawa, lazima kwanza tuhakikishe kuwa vielezi vyote viwili si hasi.
- mabadiliko mengine yoyote sawa.
Muhimu: inashauriwa kufanya mabadiliko ili ishara ya usawa haibadilika! Hiyo ni, wakati wa mabadiliko, haifai kuzidisha kwa nambari hasi, na huwezi mraba ikiwa moja ya sehemu ni hasi.
Hebu tuangalie hali chache za kawaida.
1. Ufafanuzi.
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Kwa kuwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa ni chanya, tunaweza kuifanya ili kuondoa mzizi:
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Hapa tunaweza pia mraba, lakini hii itatusaidia tu kujiondoa kipeo. Hapa inahitajika kuinua kwa kiwango ambacho mizizi yote miwili hupotea. Hii ina maana kwamba kipeo cha shahada hii lazima kigawanywe kwa zote mbili (shahada ya mzizi wa kwanza) na kwa. Nambari hii, kwa hivyo, imeinuliwa hadi kwa nguvu th:
2. Kuzidisha kwa kuunganisha kwake.
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Wacha tuzidishe na tugawanye kila tofauti kwa jumla ya conjugate:
Kwa wazi, dhehebu upande wa kulia ni kubwa zaidi kuliko denominator upande wa kushoto. Kwa hivyo, sehemu ya kulia ni ndogo kuliko ya kushoto:
3. Kutoa
Tukumbuke hilo.
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Bila shaka, tunaweza mraba kila kitu, kuunganisha, na mraba tena. Lakini unaweza kufanya kitu nadhifu zaidi:
Inaweza kuonekana kuwa upande wa kushoto kila neno ni chini ya kila neno la upande wa kulia.
Ipasavyo, jumla ya masharti yote upande wa kushoto ni chini ya jumla ya masharti yote upande wa kulia.
Lakini kuwa makini! Tuliulizwa nini zaidi ...
Upande wa kulia ni mkubwa zaidi.
Mfano.
Linganisha nambari na ...
Suluhisho.
Wacha tukumbuke fomula za trigonometry:
Wacha tuangalie ni robo gani mzunguko wa trigonometric kuna pointi na.
4. Mgawanyiko.
Hapa pia tunatumia kanuni rahisi:.
Saa au, hiyo ni.
Wakati ishara inabadilika:.
Mfano.
Linganisha:.
Suluhisho.
5. Linganisha nambari na nambari ya tatu
Ikiwa na, basi (sheria ya transitivity).
Mfano.
Linganisha.
Suluhisho.
Wacha tulinganishe nambari sio na kila mmoja, lakini na nambari.
Ni dhahiri kwamba.
Upande mwingine, .
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Nambari zote mbili ni kubwa, lakini ndogo. Wacha tuchague nambari ambayo ni kubwa kuliko moja, lakini chini ya nyingine. Kwa mfano, . Hebu tuangalie:
6. Nini cha kufanya na logarithms?
Hakuna maalum. Jinsi ya kujiondoa logarithms imeelezewa kwa undani katika mada. Kanuni za msingi ni:
\[(\logi _a)x \vee b(\rm( )) \Mshale wa kushoto (\rm( ))\kushoto[ (\anza(safu)(*(20)(l))(x \vee (a^a^) b)\;(\rm(saa))\;a > 1)\\(x \ kabari (a^b)\;(\rm(saa))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \ kabari y\;(\rm(saa))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]
Tunaweza pia kuongeza sheria kuhusu logarithms na kwa sababu tofauti na hoja sawa:
Inaweza kuelezewa kwa njia hii: msingi mkubwa, kiwango kidogo italazimika kuinuliwa ili kupata kitu sawa. Ikiwa msingi ni mdogo, basi kinyume chake ni kweli, kwani kazi inayofanana inapungua kwa monotonically.
Mfano.
Linganisha nambari: na.
Suluhisho.
Kulingana na sheria hapo juu:
Na sasa formula kwa ajili ya juu.
Sheria ya kulinganisha logarithm inaweza kuandikwa kwa ufupi zaidi:
Mfano.
Ambayo ni zaidi: au?
Suluhisho.
Mfano.
Linganisha nambari ipi ni kubwa zaidi: .
Suluhisho.
KULINGANISHA NAMBA. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
1. Ufafanuzi
Ikiwa pande zote mbili za usawa ni chanya, zinaweza kuwa mraba ili kuondoa mzizi
2. Kuzidisha kwa kuunganisha kwake
Muunganisho ni jambo linalokamilisha usemi wa tofauti ya fomula ya miraba: - kuunganisha kwa na kinyume chake, kwa sababu .
3. Kutoa
4. Mgawanyiko
Wakati au hiyo ni
Wakati ishara inabadilika:
5. Kulinganisha na nambari ya tatu
Ikiwa na kisha
6. Ulinganisho wa logarithms
Kanuni za Msingi.
Semi, ubadilishaji wa kujieleza
Maneno ya nguvu (maneno yenye nguvu) na mabadiliko yao
Katika makala hii tutazungumza juu ya kubadilisha maneno na nguvu. Kwanza, tutazingatia mabadiliko ambayo yanafanywa kwa maneno ya aina yoyote, ikiwa ni pamoja na maneno ya nguvu, kama vile kufungua mabano na kuleta maneno sawa. Na kisha tutachambua mabadiliko ya asili haswa katika misemo na digrii: kufanya kazi na msingi na kielelezo, kwa kutumia mali ya digrii, nk.
Urambazaji wa ukurasa.
Maneno ya nguvu ni nini?
Neno "maneno ya nguvu" karibu halitumiki kamwe vitabu vya shule hisabati, lakini inaonekana mara nyingi katika makusanyo ya matatizo, hasa yale yaliyokusudiwa kutayarisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa mfano. Baada ya kuchambua majukumu ambayo ni muhimu kufanya vitendo vyovyote na maneno ya nguvu, inakuwa wazi kuwa maneno ya nguvu yanaeleweka kama maneno yenye nguvu katika maingizo yao. Kwa hivyo, unaweza kukubali ufafanuzi ufuatao kwako mwenyewe:
Ufafanuzi.
Maneno ya nguvu ni maneno yenye digrii.
Hebu tupe mifano ya maneno ya nguvu. Zaidi ya hayo, tutayawasilisha kulingana na jinsi maendeleo ya maoni juu ya kutoka digrii hadi digrii yanatokea. kiashiria cha asili kwa kiwango na kielezi halisi.
Kama inavyojulikana, wa kwanza anafahamiana na nguvu ya nambari iliyo na kielelezo asilia; katika hatua hii, misemo rahisi ya kwanza ya aina 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (-0.1) 4, 3 a 2 huonekana −a+a 2, x 3−1 , (a 2) 3 nk.
Baadaye kidogo, nguvu ya nambari iliyo na kielelezo kamili inasomwa, ambayo husababisha kuonekana kwa misemo ya nguvu na nambari kamili. nguvu hasi, kama ifuatavyo: 3 −2 , 
, a -2 +2 b −3 +c 2 .
Katika shule ya upili wanarudi digrii. Hapo shahada inatambulishwa kiashiria cha busara, ambayo inajumuisha mwonekano wa misemo inayolingana ya nguvu: 
, , 
Nakadhalika. Hatimaye, digrii zilizo na vielezi visivyo na mantiki na misemo iliyo nazo huzingatiwa: , .
Jambo hilo halizuiliwi kwa misemo ya nguvu iliyoorodheshwa: zaidi kigezo hupenya ndani ya kipeo, na, kwa mfano, misemo ifuatayo inatokea: 2 x 2 +1 au 
. Na baada ya kufahamiana na , misemo yenye nguvu na logariti huanza kuonekana, kwa mfano, x 2·lgx −5·x lgx.
Kwa hivyo, tumeshughulikia swali la nini maneno ya nguvu yanawakilisha. Ifuatayo tutajifunza kuwabadilisha.
Aina kuu za mabadiliko ya maneno ya nguvu
Kwa maneno ya nguvu unaweza kufanya yoyote ya msingi mabadiliko ya utambulisho wa misemo. Kwa mfano, unaweza kupanua mabano, kuchukua nafasi maneno ya nambari maana zao, toa masharti yanayofanana na kadhalika. Kwa kawaida, ni muhimu kuzingatia kukubalika utaratibu wa vitendo. Hebu tutoe mifano.
Mfano.
Hesabu thamani ya usemi wa nguvu 2 3 ·(4 2 -12) .
Suluhisho.
Kwa mujibu wa utaratibu wa utekelezaji wa vitendo, kwanza fanya vitendo katika mabano. Huko, kwanza, tunabadilisha nguvu 4 2 na thamani yake 16 (ikiwa ni lazima, tazama), na pili, tunahesabu tofauti 16-12 = 4. Tuna 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Katika usemi unaosababisha, tunabadilisha nguvu 2 3 na thamani yake 8, baada ya hapo tunahesabu bidhaa 8 · 4 = 32. Hii ndiyo thamani inayotakiwa.
Kwa hiyo, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Jibu:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Mfano.
Rahisisha usemi kwa kutumia nguvu 3 a 4 b -7 −1+2 a 4 b -7.
Suluhisho.
Kwa wazi, usemi huu una masharti yanayofanana 3·a 4 ·b −7 na 2·a 4 ·b −7 , na tunaweza kuwapa:.
Jibu:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Mfano.
Eleza usemi wenye nguvu kama bidhaa.
Suluhisho.
Unaweza kukabiliana na kazi hiyo kwa kuwakilisha nambari 9 kama nguvu ya 3 2 na kisha kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha tofauti ya mraba: 
Jibu:
Pia kuna idadi mabadiliko ya utambulisho, asili hasa katika usemi wa nguvu. Tutazichambua zaidi.
Kufanya kazi na msingi na kielelezo
Kuna digrii ambazo msingi na/au kielelezo si nambari au vigeu tu, bali baadhi ya misemo. Kwa mfano, tunatoa maingizo (2+0.3·7) 5−3.7 na (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Unapofanya kazi na misemo inayofanana, unaweza kubadilisha usemi katika msingi wa shahada na usemi katika kielelezo sawa. kujieleza sawa juu ODZ vigezo vyake. Kwa maneno mengine, kulingana na sheria zinazojulikana kwetu, tunaweza kubadilisha msingi wa digrii na kando kielelezo. Ni wazi kwamba kama matokeo ya mabadiliko haya, usemi utapatikana ambao ni sawa na ule wa asili.
Mabadiliko kama haya huturuhusu kurahisisha usemi kwa kutumia nguvu au kufikia malengo mengine tunayohitaji. Kwa mfano, katika usemi wa nguvu uliotajwa hapo juu (2+0.3 7) 5−3.7, unaweza kufanya shughuli na nambari zilizo kwenye msingi na kielelezo, ambacho kitakuruhusu kuhamia kwa nguvu 4.1 1.3. Na baada ya kufungua mabano na kuleta masharti sawa na msingi wa shahada (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) tunapata usemi wa nguvu zaidi. aina rahisi a 2·(x+1) .
Kwa kutumia Sifa za Shahada
Mojawapo ya zana kuu za kubadilisha usemi na mamlaka ni usawa unaoakisi . Wacha tukumbuke zile kuu. Kwa nambari zozote chanya a na b na kiholela nambari za kweli r na s sifa zifuatazo za digrii ni halali:
- a r · s =a r+s;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Kumbuka kwamba kwa asili, integer, na pia viashiria vyema digrii za kizuizi kwa nambari a na b zinaweza zisiwe kali sana. Kwa mfano, kwa nambari za asili m na n usawa a m ·a n =a m+n ni kweli sio tu kwa chanya a, bali pia kwa hasi a, na kwa a=0.
Katika shule, lengo kuu wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu ni juu ya uwezo wa kuchagua mali inayofaa na kuitumia kwa usahihi. Katika kesi hiyo, misingi ya digrii kawaida ni chanya, ambayo inaruhusu mali ya digrii kutumika bila vikwazo. Vile vile hutumika kwa mabadiliko ya maneno yaliyo na vigezo katika misingi ya mamlaka - eneo maadili yanayokubalika vigezo kawaida ni kwamba msingi juu yake unakubali tu maadili chanya, ambayo inakuwezesha kutumia kwa uhuru mali ya digrii. Kwa ujumla, unahitaji kujiuliza mara kwa mara ikiwa inawezekana kutumia mali yoyote ya digrii katika kesi hii, kwa sababu matumizi yasiyo sahihi ya mali yanaweza kusababisha kupungua kwa thamani ya elimu na matatizo mengine. Mambo haya yanajadiliwa kwa undani na kwa mifano katika makala. kubadilisha misemo kwa kutumia sifa za mamlaka. Hapa tutajiwekea kikomo kwa kuzingatia mifano michache rahisi.
Mfano.
Eleza usemi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kama nguvu yenye msingi a.
Suluhisho.
Kwanza, tunabadilisha kipengele cha pili (a 2) −3 kwa kutumia mali ya kuinua nguvu hadi mamlaka: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Usemi asilia wa nguvu utachukua fomu 2.5 ·a -6:a -5.5. Kwa wazi, inabakia kutumia mali ya kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka na msingi sawa, tunayo
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a -5.5 =a -3.5:a -5.5 =
a -3.5−(-5.5) =a 2 .
Jibu:
a 2.5 ·(a 2) −3:a -5.5 =a 2.
Sifa za mamlaka wakati wa kubadilisha maneno ya nguvu hutumiwa kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto.
Mfano.
Tafuta thamani ya usemi wa nguvu.
Suluhisho.
Usawa (a·b) r =a r ·b r, unaotumika kutoka kulia kwenda kushoto, huturuhusu kuhama kutoka kwa usemi asilia hadi kwa bidhaa ya fomu na zaidi. Na wakati wa kuzidisha nguvu na kwa misingi hiyo hiyo viashiria vinaongeza: 
.
Iliwezekana kubadilisha usemi wa asili kwa njia nyingine: 
Jibu:
.
Mfano.
Kwa kuzingatia usemi wa nguvu 1.5 -a 0.5 -6, anzisha kigezo kipya t=a 0.5.
Suluhisho.
Shahada ya 1.5 inaweza kuwakilishwa kama 0.5 3 na kisha, kulingana na mali ya digrii hadi digrii (a r) s =a r s, inayotumika kutoka kulia kwenda kushoto, kuibadilisha kuwa fomu (a 0.5) 3. Hivyo, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Sasa ni rahisi kutambulisha kigezo kipya t=a 0.5, tunapata t 3 -t-6.
Jibu:
t 3 −t−6 .
Kubadilisha sehemu zenye nguvu
Semi za nguvu zinaweza kuwa na au kuwakilisha sehemu zenye nguvu. Yoyote ya yale ya msingi yanatumika kikamilifu kwa sehemu kama hizo ubadilishaji wa sehemu, ambayo ni asili katika sehemu za aina yoyote. Hiyo ni, sehemu ambazo zina nguvu zinaweza kupunguzwa, kupunguzwa kwa dhehebu mpya, kufanya kazi kando na nambari yao na kando na denominator, nk. Ili kufafanua maneno haya, fikiria suluhisho kwa mifano kadhaa.
Mfano.
Rahisisha usemi wa nguvu 
.
Suluhisho.
Usemi huu wa nguvu ni sehemu. Wacha tufanye kazi na nambari na kiashiria chake. Kwenye nambari tunafungua mabano na kurahisisha usemi unaosababishwa kwa kutumia mali ya nguvu, na katika dhehebu tunawasilisha maneno sawa: 
Na wacha pia tubadilishe ishara ya dhehebu kwa kuweka minus mbele ya sehemu: 
.
Jibu:
.
Kupunguzwa kwa sehemu zilizo na nguvu kwa dhehebu mpya hufanywa kwa njia sawa na kupunguzwa kwa denominator mpya. sehemu za mantiki. Katika kesi hii, sababu ya ziada pia hupatikana na nambari na denominator ya sehemu huzidishwa nayo. Wakati wa kufanya kitendo hiki, inafaa kukumbuka kuwa kupunguzwa kwa dhehebu mpya kunaweza kusababisha kupunguzwa kwa VA. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu kwamba sababu ya ziada haiendi kwa sifuri kwa maadili yoyote ya vigezo kutoka kwa vigezo vya ODZ kwa kujieleza asili.
Mfano.
Punguza sehemu ziwe denominata mpya: a) hadi denominata a, b) 
kwa dhehebu.
Suluhisho.
a) Katika kesi hii, ni rahisi sana kujua ni kiboreshaji gani cha ziada husaidia kufikia matokeo yaliyotarajiwa. Hii ni kizidishi cha 0.3, kwani 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. Kumbuka kuwa katika anuwai ya maadili yanayokubalika ya kutofautisha a (hii ni seti ya nambari zote chanya), nguvu ya 0.3 haitoweka, kwa hivyo, tuna haki ya kuzidisha nambari na dhehebu la kitu fulani. sehemu kwa kipengele hiki cha ziada: 
b) Ukiitazama kwa makini dhehebu, utagundua hilo 
na kuzidisha usemi huu kwa kutatoa jumla ya cubes na, yaani,. Na hii ndio dhehebu mpya, ambayo tunahitaji kupunguza sehemu ya asili.
Hivi ndivyo tulivyopata sababu ya ziada. Katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya vijiti x na y, usemi haupotei, kwa hivyo, tunaweza kuzidisha nambari na dhehebu ya sehemu nayo: 
Jibu:
A) 
, b) 
.
Pia hakuna jambo jipya katika kupunguza sehemu zilizo na nguvu: nambari na denominator huwakilishwa kama sababu kadhaa, na mambo sawa ya nambari na denominator hupunguzwa.
Mfano.
Punguza sehemu: a) 
, b) .
Suluhisho.
a) Kwanza, nambari na denominator inaweza kupunguzwa kwa nambari 30 na 45, ambayo ni sawa na 15. Pia ni wazi inawezekana kupunguza kwa x 0.5 +1 na kwa 
. Hapa ndio tuliyo nayo: 
b) Katika kesi hii, vipengele vinavyofanana katika nambari na denominator hazionekani mara moja. Ili kuzipata, itabidi ufanye mabadiliko ya awali. Katika kesi hii, zinajumuisha kuweka dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba: 
Jibu:
A) 
b) 
.
Kubadilisha sehemu kuwa denominator mpya na kupunguza sehemu hutumiwa hasa kufanya mambo kwa sehemu. Vitendo hufanywa kulingana na sheria zinazojulikana. Wakati wa kuongeza (kuondoa) sehemu, hupunguzwa kwa dhehebu ya kawaida, baada ya hapo nambari zinaongezwa (kupunguzwa), lakini dhehebu inabakia sawa. Matokeo yake ni sehemu ambayo nambari yake ni zao la nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators. Kugawanya kwa sehemu ni kuzidisha kwa kinyume chake.
Mfano.
Fuata hatua 
.
Suluhisho.
Kwanza, tunatoa sehemu kwenye mabano. Ili kufanya hivyo, tunawaleta kwenye dhehebu la kawaida, ambalo ni 
, baada ya hapo tunaondoa nambari: 
Sasa tunazidisha sehemu: 
Kwa wazi, inawezekana kupunguza kwa nguvu ya x 1/2, baada ya hapo tunayo 
.
Unaweza pia kurahisisha usemi wa nguvu katika dhehebu kwa kutumia tofauti za fomula ya mraba: 
.
Jibu:
Mfano.
Rahisisha Usemi wa Nguvu 
.
Suluhisho.
Ni wazi, sehemu iliyotolewa inaweza kupunguzwa kwa (x 2.7 +1) 2, hii inatoa sehemu 
. Ni wazi kwamba kitu kingine kinahitaji kufanywa kwa nguvu za X. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha sehemu inayosababisha kuwa bidhaa. Hii inatupa fursa ya kuchukua fursa ya mali ya kugawanya mamlaka na misingi sawa: 
. Na mwisho wa mchakato tunatoka kazi ya mwisho kwa sehemu.
Jibu:
.
Na hebu pia tuongeze kwamba inawezekana na katika hali nyingi kuhitajika kutumia multipliers na viashiria hasi digrii huhamishwa kutoka kwa nambari hadi kwa denominator au kutoka kwa denominator hadi nambari, kubadilisha ishara ya kielelezo. Mabadiliko kama haya mara nyingi hurahisisha vitendo zaidi. Kwa mfano, usemi wa nguvu unaweza kubadilishwa na .
Kubadilisha misemo na mizizi na nguvu
Mara nyingi katika misemo ambayo mabadiliko fulani yanahitajika, pamoja na nguvu na viashiria vya sehemu mizizi pia iko. Ili kubadilisha usemi unaofanana kwa fomu inayotakiwa, katika hali nyingi inatosha kwenda tu kwa mizizi au kwa nguvu tu. Lakini kwa kuwa ni rahisi zaidi kufanya kazi na nguvu, kawaida huhama kutoka mizizi hadi nguvu. Walakini, inashauriwa kufanya mabadiliko kama haya wakati ODZ ya vigeu vya usemi wa asili hukuruhusu kubadilisha mizizi na nguvu bila hitaji la kurejelea moduli au kugawanya ODZ katika vipindi kadhaa (tulijadili hili kwa undani katika mabadiliko ya makala kutoka mizizi hadi mamlaka na kurudi Baada ya kufahamiana na digrii na kielelezo cha busara digrii c inaanzishwa kiashiria kisicho na mantiki, ambayo huturuhusu kuzungumza juu ya digrii na kielelezo halisi cha kiholela. Katika hatua hii shule huanza kusoma utendaji wa kielelezo , ambayo inatolewa kwa uchanganuzi na nguvu, ambayo msingi wake ni nambari, na kielelezo ni kigezo. Kwa hivyo tunakabiliwa na misemo ya nguvu iliyo na nambari katika msingi wa nguvu, na katika kielelezo - misemo yenye vigeuzo, na kwa kawaida hitaji hutokea kufanya mabadiliko ya misemo kama hiyo.
Inapaswa kuwa alisema kuwa maneno ya kubadilisha aina maalum kawaida inapaswa kufanywa wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo Na ukosefu wa usawa wa kielelezo , na ubadilishaji huu ni rahisi sana. Katika idadi kubwa ya kesi, zinatokana na sifa za digrii na zinalenga, kwa sehemu kubwa, kuanzisha tofauti mpya katika siku zijazo. Mlinganyo utaturuhusu kuwaonyesha 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Kwanza, nguvu, katika vielelezo vyake ambavyo ni jumla ya kigezo fulani (au usemi wenye vigeuzo) na nambari, hubadilishwa na bidhaa. Hii inatumika kwa masharti ya kwanza na ya mwisho ya usemi wa upande wa kushoto:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x -3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ifuatayo, pande zote mbili za usawa zimegawanywa na usemi 7 2 x, ambayo kwenye ODZ ya kutofautisha x kwa equation ya asili inachukua maadili chanya tu (hii ni mbinu ya kawaida ya kutatua hesabu za aina hii, sisi sio. kuongea juu yake sasa, kwa hivyo zingatia mabadiliko ya baadaye ya misemo na nguvu ): 
Sasa tunaweza kufuta sehemu na nguvu, ambayo inatoa 
.
Hatimaye, uwiano wa mamlaka na viashiria sawa inabadilishwa na nguvu za mahusiano, na kusababisha equation 
, ambayo ni sawa 
. Mabadiliko yaliyofanywa yanaturuhusu kuanzisha tofauti mpya, ambayo hupunguza suluhisho kwa asili mlingano wa kielelezo kutatua mlinganyo wa quadratic