Fomula za digrii kutumika katika mchakato wa kupunguza na kurahisisha semi tata, katika kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa.
Nambari c ni n- nguvu ya nambari a Lini:
Operesheni na digrii.
1. Nguvu za kuzidisha za c msingi huo huo viashiria vyao vinajumlisha:
m·a n = a m + n .
2. Wakati wa kugawanya digrii kwa msingi sawa, vielelezo vyao vinatolewa:
3. Kiwango cha bidhaa ya mambo 2 au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Kiwango cha sehemu ni sawa na uwiano wa digrii za mgao na mgawanyiko:
(a/b) n = a n /b n.
5. Kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:
(a m) n = a m n .
Kila fomula hapo juu ni kweli katika mwelekeo kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.
Kwa mfano. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operesheni na mizizi.
1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:
2. Mzizi wa mtazamo sawa na uwiano mgawanyiko na mgawanyiko wa mizizi:
3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuongeza nambari kali kwa nguvu hii:
4. Ikiwa unaongeza kiwango cha mizizi ndani n mara moja na wakati huo huo kujenga ndani n th power ni nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:
5. Ikiwa unapunguza kiwango cha mizizi ndani n toa mizizi kwa wakati mmoja n-th nguvu ya nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:
Shahada yenye kipeo hasi. Nguvu ya nambari fulani iliyo na kipeo kisicho chanya (jumla) inafafanuliwa kama ile iliyogawanywa kwa nguvu ya nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili kiashirio kisicho chanya:
Mfumo m:a n =a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m> n, lakini pia na m< n.
Kwa mfano. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Kwa formula m:a n =a m - n ikawa haki wakati m=n, uwepo wa shahada ya sifuri inahitajika.
Shahada yenye faharasa ya sifuri. Nguvu ya nambari yoyote, sio sawa na sifuri, yenye kipeo sifuri ni sawa na moja.
Kwa mfano. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Shahada yenye kipeo cha sehemu. Ili kuongeza idadi halisi A kwa kiwango m/n, unahitaji kuchimba mzizi n shahada ya m- Nguvu ya nambari hii A.
1. Mzizi wa nguvu ya bidhaa sio nambari hasi sawa na bidhaa mizizi ya kiwango sawa kutoka kwa sababu: wapi (sheria ya kutoa mzizi kutoka kwa bidhaa).
2. Ikiwa , basi y (kanuni ya kuchimba mzizi wa sehemu).
3. Ikiwa basi (sheria ya kuchimba mzizi kutoka kwenye mizizi).
4. Ikiwa basi sheria ya kuinua mzizi kwa nguvu).
5. Ikiwa basi wapi, yaani, kielelezo cha mzizi na kielelezo cha usemi mkali kinaweza kuzidishwa na nambari sawa.
6. Ikiwa basi 0, yaani, inafanana na kujieleza kwa radical kubwa zaidi na thamani ya juu mzizi
7. Fomula zote hapo juu hutumiwa mara nyingi katika utaratibu wa nyuma(yaani kutoka kulia kwenda kushoto). Kwa mfano,
(utawala wa kuzidisha mizizi);
(utawala wa mgawanyiko wa mizizi);
8. Sheria ya kuondoa kizidishi kutoka chini ya ishara ya mizizi. Katika
9. Tatizo kinyume- kuingia kuzidisha chini ya ishara ya mzizi. Kwa mfano,
10. Kuondoa kutokuwa na busara katika dhehebu la sehemu.
Wacha tuangalie kesi za kawaida.
Kwa mfano,
11. Utumiaji wa vitambulisho vilivyofupishwa vya kuzidisha kwa shughuli zilizo na mizizi ya hesabu:
12. Sababu mbele ya mizizi inaitwa mgawo wake. Kwa mfano, Hapa 3 ni mgawo.
13. Mizizi (radicals) huitwa sawa ikiwa wana fahirisi za mizizi sawa na maneno ya radical sawa, na hutofautiana tu katika mgawo. Ili kuhukumu ikiwa mizizi hii (radicals) ni sawa au la, unahitaji kupunguza kwa fomu yao rahisi.
Kwa mfano, na ni sawa, tangu
MAZOEZI YENYE SULUHU
1. Rahisisha misemo:
Suluhisho. 1) Hakuna maana katika kuzidisha usemi mkali, kwa kuwa kila sababu inawakilisha mraba wa nambari kamili. Wacha tutumie sheria ya kuchimba mzizi wa bidhaa:
Katika siku zijazo, tutafanya vitendo kama hivyo kwa mdomo.
2) Wacha tujaribu, ikiwezekana, kuwakilisha usemi mkali kama bidhaa ya sababu, ambayo kila moja ni mchemraba wa nambari kamili, na tutumie sheria juu ya mzizi wa bidhaa:
2. Tafuta thamani ya usemi:
Suluhisho. 1) Kulingana na sheria ya kuchimba mzizi wa sehemu, tunayo:
3) Badilisha misemo kali na utoe mzizi:
3. Rahisisha wakati
Suluhisho. Wakati wa kuchimba mzizi kutoka kwa mzizi, viashiria vya mizizi huongezeka, lakini usemi mkali unabaki bila kubadilika.
Ikiwa kuna mgawo mbele ya mzizi ulio chini ya mizizi, basi kabla ya kufanya operesheni ya kuchimba mzizi, ingiza mgawo huu chini ya ishara ya radical mbele ambayo inaonekana.
Kulingana na sheria zilizo hapo juu, wacha tutoe mizizi miwili ya mwisho:
4. Kuinua kwa nguvu:
Suluhisho. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, kielelezo cha mzizi kinabakia bila kubadilika, na vielelezo vya usemi mkali huzidishwa na kielelezo.
(kwa kuwa imefafanuliwa, basi);
Kama kupewa mizizi ina mgawo, basi mgawo huu huinuliwa kwa nguvu tofauti na matokeo huandikwa kama mgawo wa mzizi.
Hapa tulitumia sheria kwamba kiashiria cha mzizi na kiashiria cha kujieleza kikubwa kinaweza kuzidishwa na nambari sawa (tulizidisha, yaani, kugawanywa na 2).
Kwa mfano, au
4) Usemi katika mabano, unaowakilisha jumla ya radikali mbili tofauti, umefupishwa na kurahisishwa:
Kwa kuwa tunayo:
5. Ondoa kutokuwa na akili katika dhehebu:
Suluhisho. Ili kuondoa (kuharibu) kutokuwa na busara katika dhehebu la sehemu, unahitaji kupata usemi rahisi zaidi, ambao katika bidhaa iliyo na dhehebu hutoa. kujieleza kwa busara, na kuzidisha nambari na denominator ya sehemu hii kwa kipengele kilichopatikana.
Kwa mfano, ikiwa denominator ya sehemu ina binomial, basi nambari na denominator ya sehemu lazima iongezwe na usemi wa conjugate kwa denominator, yaani, jumla lazima iongezwe na tofauti inayofanana na kinyume chake.
Katika zaidi kesi ngumu Wanaharibu ujinga sio mara moja, lakini kwa hatua kadhaa.
1) Usemi lazima uwe na
Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu tunapata:
2) Kuzidisha nambari na dhehebu la sehemu kwa mraba wa sehemu ya jumla, tunapata:
3) Wacha tulete sehemu kwa dhehebu la kawaida:
Kuamua mfano huu, lazima tukumbuke kwamba kila sehemu ina maana, yaani, denominator ya kila sehemu sio sifuri. Mbali na hilo,
Wakati wa kubadilisha misemo iliyo na radicals, makosa mara nyingi hufanywa. Zinasababishwa na kutokuwa na uwezo wa kutumia wazo kwa usahihi (ufafanuzi) mzizi wa hesabu na thamani kamili.
Sheria za kuzidisha mizizi
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana. »
Na kwa wale ambao "sana sana. ")
Katika somo lililopita tuligundua mzizi wa mraba ni nini. Ni wakati wa kujua ni zipi zipo formula kwa mizizi ni nini mali ya mizizi, na nini kifanyike kwa haya yote.
Mfumo wa mizizi, mali ya mizizi na sheria za kufanya kazi na mizizi- hii kimsingi ni kitu kimoja. Fomula za mizizi ya mraba cha kushangaza kidogo. Ambayo hakika inanifurahisha! Au tuseme, unaweza kuandika formula nyingi tofauti, lakini kwa kazi ya vitendo na ya ujasiri na mizizi, tatu tu zinatosha. Kila kitu kingine kinatiririka kutoka kwa hizi tatu. Ingawa watu wengi huchanganyikiwa katika fomula tatu za mizizi, ndio.
Wacha tuanze na rahisi zaidi. Huyu hapa:
Acha nikukumbushe (kutoka somo lililopita): a na b ni nambari zisizo hasi! Vinginevyo formula haina maana.
Hii mali ya mizizi , kama unaweza kuona, ni rahisi, fupi na haina madhara. Lakini kuna mambo mengi mazuri unaweza kufanya na formula hii ya mizizi! Hebu tuangalie mifano mambo haya yote muhimu.
Jambo la kwanza la manufaa. Fomula hii inaturuhusu kuzidisha mizizi.
Jinsi ya kuzidisha mizizi?
Ndiyo, rahisi sana. Moja kwa moja kwa formula. Kwa mfano:
Inaweza kuonekana kuwa waliizidisha, ili iweje? Kuna furaha nyingi?! Nakubali, kidogo. Unapendaje hii mfano?
Mizizi haijatolewa haswa kutoka kwa sababu. Na matokeo ni bora! Hiyo ni bora, sawa? Ikiwezekana, wacha nikuambie kwamba kunaweza kuwa na vizidishi vingi unavyopenda. Njia ya kuzidisha mizizi bado inafanya kazi. Kwa mfano:
Kwa hiyo, kwa kuzidisha kila kitu ni wazi, kwa nini hii ni muhimu? mali ya mizizi- pia inaeleweka.
Jambo la pili la manufaa. Ingiza nambari chini ya ishara ya mizizi.
Jinsi ya kuingiza nambari chini ya mzizi?
Wacha tufikirie kuwa tuna usemi huu:
Je, inawezekana kuficha deuce ndani ya mizizi? Kwa urahisi! Ikiwa utafanya mzizi kutoka kwa mbili, formula ya kuzidisha mizizi itafanya kazi. Unawezaje kufanya mzizi kutoka mbili? Ndio, hakuna swali pia! Mbili ni mzizi wa mraba wa nne!
Kwa njia, mzizi unaweza kufanywa kutoka kwa nambari yoyote isiyo hasi! Hiki kitakuwa mzizi wa mraba wa nambari hii. 3 ni mzizi wa 9. 8 ni mzizi wa 64. 11 ni mzizi wa 121. Naam, na kadhalika.
Bila shaka, hakuna haja ya kuelezea kwa undani vile. Naam, kwa wanaoanza. Inatosha kutambua kwamba yoyote nambari isiyo hasi, iliyozidishwa na mzizi, inaweza kuingizwa chini ya mzizi. Lakini - usisahau! - chini ya mzizi nambari hii itakuwa mraba mwenyewe. Kitendo hiki - kuingiza nambari chini ya mzizi - kinaweza pia kuitwa kuzidisha nambari kwa mzizi. KATIKA mtazamo wa jumla inaweza kuandikwa:
Utaratibu ni rahisi, kama unaweza kuona. Kwa nini inahitajika?
Kama mabadiliko yoyote, utaratibu huu huongeza uwezo wetu. Fursa za kugeuza usemi wa kikatili na usio na wasiwasi kuwa laini na laini). Hapa kuna rahisi kwako mfano:
Kama unavyoona, mali ya mizizi, ambayo inakuwezesha kuingia kuzidisha chini ya ishara ya mizizi, inafaa kabisa kwa kurahisisha.
Kwa kuongeza, kuongeza kizidishi kwenye mzizi hufanya iwe rahisi na rahisi kulinganisha maadili mizizi tofauti. Bila mahesabu yoyote au calculator! Jambo la tatu muhimu.
Jinsi ya kulinganisha mizizi?
Ustadi huu ni muhimu sana katika kazi nzito, wakati wa kufunua moduli na mambo mengine mazuri.
Linganisha semi hizi. Ambayo ni kubwa zaidi? Bila calculator! Kila moja na calculator. uh-uh. Kwa kifupi, kila mtu anaweza kuifanya!)
Huwezi kusema hivyo mara moja. Je, ikiwa utaingiza nambari chini ya ishara ya mizizi?
Hebu tukumbuke (nini ikiwa haukujua?): ikiwa nambari iliyo chini ya ishara ya mizizi ni kubwa, basi mizizi yenyewe ni kubwa zaidi! Kwa hivyo jibu sahihi mara moja, bila yoyote mahesabu magumu na mahesabu:
Kubwa, sawa? Lakini si hivyo tu! Kumbuka kwamba fomula zote hufanya kazi kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto. Kufikia sasa tumetumia fomula ya kuzidisha mizizi kutoka kushoto kwenda kulia. Wacha tuendeshe mali hii ya mizizi kinyume chake, kutoka kulia kwenda kushoto. Kama hii:
Na ni tofauti gani? Je, hii inatoa chochote? Hakika! Sasa utajionea mwenyewe.
Tuseme tunahitaji kuchimba (bila kihesabu!) Mzizi wa mraba wa nambari 6561. Watu wengine katika hatua hii wataanguka katika mapambano yasiyo sawa na kazi. Lakini tunaendelea, hatukati tamaa! Jambo la nne muhimu.
Jinsi ya kutoa mizizi kutoka kwa idadi kubwa?
Wacha tukumbuke fomula ya kuchimba mizizi kutoka kwa bidhaa. Ile niliyoandika hapo juu. Lakini kazi yetu iko wapi!? Tunayo nambari kubwa 6561 na ndivyo hivyo. Ndio, kazi haipo. Lakini ikiwa tunaihitaji, tutaihitaji tufanye! Wacha tuangalie nambari hii. Tuna haki.
Kwanza, hebu tujue nambari hii inaweza kugawanywa na nini? Nini, hujui!? Umesahau dalili za kugawanyika!? Kwa bure. Nenda kwa Sehemu Maalum ya 555, mada "Vipande", vipo. Nambari hii inaweza kugawanywa na 3 na 9. Kwa sababu jumla ya nambari (6+5+6+1=18) imegawanywa na nambari hizi. Hii ni moja ya ishara za mgawanyiko. Hatuhitaji kugawanya kwa tatu (sasa utaelewa kwa nini), lakini tutagawanya kwa 9. Angalau kwenye kona. Tunapata 729. Kwa hiyo tumepata mambo mawili! Ya kwanza ni tisa (tulijichagua wenyewe), na ya pili ni 729 (ndivyo ilivyotokea). Tayari unaweza kuandika:
Je, unapata wazo? Tutafanya vivyo hivyo na nambari 729. Pia inaweza kugawanywa na 3 na 9. Hatugawanyi na 3 tena, tunagawanya na 9. Tunapata 81. Na tunajua nambari hii! Tunaandika:
Kila kitu kiligeuka kuwa rahisi na kifahari! Mzizi ulipaswa kutolewa kipande kwa kipande, lakini oh vizuri. Unaweza kufanya hivyo na mtu yeyote idadi kubwa. Zizidishe na uendelee!
Kwa njia, kwa nini haukuhitaji kugawanya na 3? Je! Ndio, kwa sababu mzizi wa tatu hauwezi kutolewa haswa! Inaeleweka kuijumuisha katika mambo ambayo mzizi unaweza kutolewa vizuri kutoka angalau moja. Hizi ni 4, 9, 16 vizuri, na kadhalika. Gawanya nambari yako kubwa kwa nambari hizi moja baada ya nyingine, na utakuwa na bahati!
Lakini si lazima. Huenda usiwe na bahati. Wacha tuseme nambari 432, inapowekwa na kutumia formula ya mizizi ya bidhaa, itatoa matokeo yafuatayo:
Naam, sawa. Hata hivyo, tumerahisisha usemi huo. Katika hisabati, ni desturi ya kuondoka zaidi idadi ndogo ya iwezekanavyo. Katika mchakato wa kutatua kila kitu inategemea mfano (labda kila kitu kinaweza kufupishwa bila kurahisisha), lakini katika jibu unahitaji kutoa matokeo ambayo hayawezi kurahisishwa zaidi.
Kwa njia, unajua tulifanya nini na mzizi wa 432?
Sisi ilichukua vipengele kutoka chini ya ishara ya mizizi ! Hii ndio operesheni hii inaitwa. Vinginevyo utapata kazi - " ondoa sababu kutoka chini ya ishara ya mizizi"Lakini wanaume hata hawajui.) Hapa kuna maombi mengine kwako mali ya mizizi. Jambo la tano muhimu.
Jinsi ya kuondoa multiplier kutoka chini ya mizizi?
Kwa urahisi. Fanya usemi mkali na utoe mizizi ambayo hutolewa. Hebu tuangalie:
Hakuna kitu kisicho cha kawaida. Ni muhimu kuchagua multipliers sahihi. Hapa tumepanua 72 kama 36 · 2. Na kila kitu kiligeuka vizuri. Au wangeweza kuipanua tofauti: 72 = 6 · 12. Na nini!? Mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa 6 au 12. Nini cha kufanya?!
Ni sawa. Ama utafute chaguzi zingine za kuoza, au endelea kuoza kila kitu hadi kitakapokoma! Kama hii:
Kama unaweza kuona, kila kitu kilifanyika. Hii, kwa njia, sio haraka zaidi, lakini zaidi njia ya kuaminika. Gawanya nambari katika mambo madogo zaidi, na kisha kukusanya sawa katika piles. Njia hiyo pia inatumiwa kwa mafanikio wakati wa kuzidisha mizizi isiyofaa. Kwa mfano, unahitaji kuhesabu:
Zidisha kila kitu - unapata nambari ya kichaa! Na kisha jinsi ya kutoa mzizi kutoka kwake?! Kuiweka nje tena? Hapana, hatuhitaji kazi yoyote ya ziada. Mara moja tunaiweka katika vipengele na kukusanya sawa katika vikundi:
Ni hayo tu. Bila shaka, si lazima kupanua njia yote. Kila kitu kimedhamiriwa na uwezo wako wa kibinafsi. Tulileta mfano hadi mahali kila kitu kiko wazi kwako Hiyo ina maana kwamba tunaweza tayari kuhesabu. Jambo kuu sio kufanya makosa. Sio mwanadamu kwa hisabati, lakini hisabati kwa mwanadamu!)
Wacha tutumie maarifa kwenye mazoezi? Wacha tuanze na kitu rahisi:
SHAHADA YENYE KIASHIRIA CHA AKILI,
KAZI YA NGUVU IV
§ 82. Kuzidisha na mgawanyiko wa mizizi
1. Kuzidisha mizizi. Katika § 79 sheria ya kuzidisha mizizi na kufanana viashiria:
Ili kuzidisha mizizi na viashiria tofauti, kwanza wanahitaji kuletwa kiashiria cha jumla, na kisha kuzidisha kama mizizi na viashiria sawa.
Hebu, kwa mfano, unahitaji kuzidisha n √ a juu m √ b . Kwa kutumia Nadharia 3 ya §80, tunaweza kuandika:
Kwa mfano, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3
Kama kiashiria cha jumla cha mizizi n √ a juu m √ b Ni rahisi zaidi kuchagua idadi isiyo ya kawaida ya nambari n Na m . Kwa mfano, ikiwa unahitaji kuzidisha 4 √ 2 kwa 6 √ 32, basi ni rahisi kuchagua nambari 12, ambayo ni ya kawaida zaidi ya nambari 4 na 6, kama kiashiria cha kawaida cha mizizi hii.
Nadharia 3 § 80 inatoa: 4 √ 2 = 12 √ 2 3; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.
4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2
2. Mgawanyiko wa mizizi. Katika § 79, sheria ya kugawanya mizizi na vielelezo sawa ilipatikana:
Ili kutenganisha mizizi na viashiria tofauti, lazima kwanza kuletwa kwa kiashiria cha kawaida, na kisha kugawanywa kama mizizi na viashiria sawa.
oldskola1.narod.ru
Kuzidisha mizizi: sheria za msingi
Salamu, paka! KATIKA mara ya mwisho Tulijadili kwa undani mizizi ni nini (ikiwa hukumbuki, napendekeza kuisoma). Hitimisho kuu la somo hilo: kuna moja tu ufafanuzi wa ulimwengu wote mizizi, ambayo ndio unahitaji kujua. Mengine ni upuuzi na kupoteza muda.
Leo tunaenda mbali zaidi. Tutajifunza kuzidisha mizizi, tutasoma shida kadhaa zinazohusiana na kuzidisha (ikiwa shida hizi hazijatatuliwa, zinaweza kuwa mbaya katika mtihani) na tutafanya mazoezi ipasavyo. Kwa hivyo hifadhi popcorn, jifanye vizuri - na wacha tuanze. :)
Bado hujaivuta, sivyo?
Somo liligeuka kuwa refu sana, kwa hivyo nililigawanya katika sehemu mbili:
Kwa wale ambao hawawezi kusubiri kuruka moja kwa moja hadi sehemu ya pili, mnakaribishwa. Wacha tuanze na zingine kwa mpangilio.
Kanuni ya Msingi ya Kuzidisha
Hebu tuanze na jambo rahisi zaidi - mizizi ya mraba ya classic. Zile zile ambazo zimeteuliwa $\sqrt$ na $\sqrt $. Kila kitu ni dhahiri kwao:
Kanuni ya kuzidisha. Ili kuzidisha mzizi mmoja wa mraba hadi mwingine, unazidisha misemo yao kali, na uandike matokeo chini ya radical ya kawaida:
Hakuna vikwazo vya ziada vinavyowekwa kwa namba za kulia au kushoto: ikiwa sababu za mizizi zipo, basi bidhaa pia ipo.
Mifano. Wacha tuangalie mifano minne iliyo na nambari mara moja:
Kama unaweza kuona, maana kuu ya sheria hii ni kurahisisha misemo isiyo na maana. Na ikiwa katika mfano wa kwanza sisi wenyewe tungetoa mizizi ya 25 na 4 bila sheria yoyote mpya, basi mambo yanakuwa magumu: $\sqrt $ na $\sqrt $ hazizingatiwi na wao wenyewe, lakini. bidhaa zao zinageuka kuwa mraba kamili, hivyo mizizi yake ni sawa na nambari ya busara.
Ningependa hasa kuangazia mstari wa mwisho. Huko, misemo yote miwili yenye msimamo mkali ni sehemu. Shukrani kwa bidhaa, mambo mengi yamefutwa, na usemi mzima unageuka kuwa nambari ya kutosha.
Bila shaka, mambo hayatakuwa mazuri kila wakati. Wakati mwingine chini ya mizizi kutakuwa na ujinga kamili - haijulikani wazi nini cha kufanya nayo na jinsi ya kuibadilisha baada ya kuzidisha. Baadaye kidogo, unapoanza kusoma milinganyo isiyo na mantiki na kukosekana kwa usawa, kwa ujumla kutakuwa na kila aina ya vigezo na kazi. Na mara nyingi sana, waandishi wa shida huhesabu ukweli kwamba utagundua masharti au sababu za kughairi, baada ya hapo shida itarahisishwa mara nyingi.
Kwa kuongeza, sio lazima kabisa kuzidisha mizizi miwili. Unaweza kuzidisha tatu, nne, au hata kumi kwa wakati mmoja! Hii haitabadilisha sheria. Angalia:
Na tena noti ndogo kwenye mfano wa pili. Kama unaweza kuona, katika jambo la tatu chini ya mzizi kuna sehemu ya decimal - katika mchakato wa mahesabu tunaibadilisha na ya kawaida, baada ya hapo kila kitu kinapunguzwa kwa urahisi. Kwa hivyo: Ninapendekeza sana kuondoa sehemu za decimal katika yoyote maneno yasiyo na mantiki(yaani iliyo na angalau ishara moja kali). Hii itakuokoa muda mwingi na mishipa katika siku zijazo.
Lakini ilikuwa mchepuko wa sauti. Sasa tuangalie zaidi kesi ya jumla- wakati kiashiria cha mizizi ni nambari ya kiholela$n$, na si tu "classic" mbili.
Kesi ya kiashiria cha kiholela
Kwa hivyo, tumepanga mizizi ya mraba. Nini cha kufanya na zile za ujazo? Au hata kwa mizizi ya digrii holela $n$? Ndiyo, kila kitu ni sawa. Kanuni inabaki kuwa sawa:
Ili kuzidisha mizizi miwili ya shahada $n$, inatosha kuzidisha misemo yao kali, na kisha kuandika matokeo chini ya radical moja.
Kwa ujumla, hakuna kitu ngumu. Isipokuwa kwamba kiasi cha mahesabu kinaweza kuwa kikubwa zaidi. Hebu tuangalie mifano michache:
Mifano. Kuhesabu bidhaa:
Na tena, makini na usemi wa pili. Tunazidisha mizizi ya mchemraba, Ondoa Nukta na matokeo yake tunapata bidhaa ya nambari 625 na 25 kwenye denominator. idadi kubwa- Binafsi, siwezi kuhesabu moja kwa moja ni sawa na nini.
Kwa hivyo tulitenga tu mchemraba halisi kwenye nambari na dhehebu, na kisha tukatumia moja ya sifa kuu (au, ukipenda, ufafanuzi) wa mzizi wa $n$th:
"Mitambo" kama hiyo inaweza kuokoa muda mwingi kwenye mtihani au kazi ya mtihani, kwa hivyo kumbuka:
Usikimbilie kuzidisha nambari kwa kutumia misemo kali. Kwanza, angalia: vipi ikiwa kiwango halisi cha usemi wowote "umesimbwa" hapo?
Licha ya udhahiri wa maoni haya, lazima nikiri kwamba wanafunzi wengi ambao hawajajitayarisha hawaoni digrii kamili katika safu-tupu. Badala yake, wanazidisha kila kitu moja kwa moja, halafu wanashangaa: kwa nini walipata nambari za kikatili? :)
Walakini, haya yote mazungumzo ya mtoto ukilinganisha na tutakayojifunza sasa.
Kuzidisha mizizi na vielelezo tofauti
Sawa, sasa tunaweza kuzidisha mizizi na viashiria sawa. Je, ikiwa viashiria ni tofauti? Wacha tuseme, jinsi ya kuzidisha $\sqrt $ ya kawaida na ujinga kama $\sqrt $? Je, inawezekana hata kufanya hivi?
Ndiyo bila shaka unaweza. Kila kitu kinafanywa kulingana na formula hii:
Walakini, fomula hii inafanya kazi tu ikiwa misemo kali sio hasi. Hii ni kumbuka muhimu sana ambayo tutarejea baadaye kidogo.
Kwa sasa, wacha tuangalie mifano michache:
Kama unaweza kuona, hakuna kitu ngumu. Sasa hebu tujue hitaji la kutokuwa hasi lilitoka wapi, na nini kitatokea ikiwa tutakiuka. :)
Kuzidisha mizizi ni rahisi
Kwa nini maneno makali lazima yasiwe hasi?
Bila shaka unaweza kuwa kama walimu wa shule na nukuu kitabu cha kiada kwa busara:
Mahitaji ya kutokuwa hasi yanahusiana na ufafanuzi tofauti mizizi ya digrii hata na isiyo ya kawaida (ipasavyo, nyanja zao za ufafanuzi pia ni tofauti).
Naam, imekuwa wazi zaidi? Binafsi, niliposoma upuuzi huu katika darasa la 8, nilielewa kitu kama hiki: "Sharti la kutokuwa hasi linahusishwa na *#&^@(*#@^#)
%" - kwa kifupi, sikuelewa jambo baya wakati huo. :)
Kwa hivyo sasa nitaelezea kila kitu kwa njia ya kawaida.
Kwanza, hebu tujue fomula ya kuzidisha iliyo hapo juu inatoka wapi. Ili kufanya hivyo, ngoja nikukumbushe jambo moja mali muhimu mzizi:
Kwa maneno mengine, tunaweza kuinua usemi mkali kwa urahisi kwa yoyote shahada ya asili$k$ - katika kesi hii, kipeo cha mizizi kitalazimika kuzidishwa na nguvu sawa. Kwa hiyo, tunaweza kupunguza kwa urahisi mizizi yoyote kwa kielelezo cha kawaida, na kisha kuzizidisha. Hapa ndipo fomula ya kuzidisha inatoka:
Lakini kuna shida moja ambayo inapunguza sana matumizi ya fomula hizi zote. Fikiria nambari hii:
Kulingana na fomula iliyotolewa hivi karibuni, tunaweza kuongeza digrii yoyote. Hebu tujaribu kuongeza $k=2$:
Tuliondoa minus kwa usahihi kwa sababu mraba huchoma minus (kama kiwango kingine chochote cha usawa). Sasa tuifanye ubadilishaji kinyume: "punguza" mbili katika kipeo na nguvu. Baada ya yote, usawa wowote unaweza kusomwa kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto:
Lakini basi inageuka kuwa aina fulani ya ujinga:
Hili haliwezi kutokea kwa sababu $\sqrt \lt 0$ na $\sqrt \gt 0$. Hii inamaanisha kuwa hata kwa nguvu na nambari hasi fomula yetu haifanyi kazi tena. Baada ya hapo tuna chaguzi mbili:
- Ili kupiga ukuta na kusema kwamba hisabati ni sayansi ya kijinga, ambapo "kuna sheria fulani, lakini hizi ni zisizo sahihi";
- Ingiza vikwazo vya ziada, ambayo formula itafanya kazi 100%.
- Ondoa hasi zote kutoka kwa radicals. Minuses zipo tu katika mizizi ya wingi usio wa kawaida - zinaweza kuwekwa mbele ya mizizi na, ikiwa ni lazima, kupunguzwa (kwa mfano, ikiwa kuna mbili za minuses hizi).
- Fanya kuzidisha kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu katika somo la leo. Ikiwa viashiria vya mizizi ni sawa, tunazidisha tu maneno makubwa. Na ikiwa ni tofauti, tunatumia fomula mbaya \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
- 3.Furahia matokeo na alama nzuri. :)
- Chini ya mizizi sio nambari maalum au digrii, na tofauti ni $a$. Kwa mtazamo wa kwanza, hii ni kawaida kidogo, lakini kwa kweli, wakati wa kutatua matatizo ya hisabati Mara nyingi utalazimika kushughulika na anuwai.
- Mwishowe, tuliweza "kupunguza" kiashiria kali na kiwango cha kujieleza kwa nguvu. Hii hutokea mara nyingi kabisa. Na hii inamaanisha kuwa iliwezekana kurahisisha mahesabu ikiwa haukutumia fomula ya msingi.
- Kunyimwa leseni ya udereva kwa ajili ya ulevi mwaka 2018 Kuendesha gari katika hali ulevi wa pombe- moja ya ukiukwaji mkubwa wa sheria trafiki. Sheria ya tarehe 23 Julai 2013 No. 196-FZ […]
Katika chaguo la kwanza, tutalazimika kukamata kila wakati kesi "zisizofanya kazi" - ni ngumu, hutumia wakati na kwa ujumla ni mbaya. Kwa hivyo, wanahisabati walipendelea chaguo la pili. :)
Lakini usijali! Katika mazoezi, upungufu huu hauathiri mahesabu kwa njia yoyote, kwa sababu matatizo yote yaliyoelezwa yanahusu tu mizizi ya shahada isiyo ya kawaida, na minuses inaweza kuchukuliwa kutoka kwao.
Kwa hivyo, wacha tuunda sheria moja zaidi, ambayo kwa ujumla inatumika kwa vitendo vyote vilivyo na mizizi:
Kabla ya kuzidisha mizizi, hakikisha kuwa misemo kali sio hasi.
Mfano. Katika nambari $\sqrt$ unaweza kuondoa minus kutoka chini ya ishara ya mizizi - basi kila kitu kitakuwa cha kawaida:
Je, unahisi tofauti? Ukiacha minus chini ya mzizi, basi wakati usemi mkali ni mraba, itatoweka, na ujinga utaanza. Na ikiwa kwanza utaondoa minus, basi unaweza mraba/kuondoa mraba hadi uwe na samawati usoni - nambari itabaki kuwa hasi. :)
Kwa hivyo, njia sahihi na ya kuaminika zaidi ya kuzidisha mizizi ni kama ifuatavyo.
Vizuri? Je, tufanye mazoezi?
Mfano 1: Rahisisha usemi:
Hii ndiyo chaguo rahisi zaidi: mizizi ni sawa na isiyo ya kawaida, tatizo pekee ni kwamba jambo la pili ni hasi. Tunachukua hii minus nje ya picha, baada ya hapo kila kitu kinahesabiwa kwa urahisi.
Mfano 2: Rahisisha usemi:
Wengi hapa wangechanganyikiwa na kile kilichotokea mwishoni nambari isiyo na mantiki. Ndio, hufanyika: hatukuweza kuondoa kabisa mzizi, lakini angalau tumerahisisha usemi huo.
Mfano 3: Rahisisha usemi:
Ningependa kuteka mawazo yako kwa kazi hii. Kuna pointi mbili hapa:
Kwa mfano, unaweza kufanya hivi:
Kwa kweli, mabadiliko yote yalifanywa tu na radical ya pili. Na ikiwa hutaelezea kwa undani hatua zote za kati, basi mwisho kiasi cha mahesabu kitapungua kwa kiasi kikubwa.
Kwa kweli, tayari tumekutana kazi sawa hapo juu, wakati wa kutatua mfano $\sqrt \cdot \sqrt $. Sasa inaweza kuandikwa rahisi zaidi:
Uwepo wa mizizi ya mraba katika usemi unachanganya mchakato wa mgawanyiko, lakini kuna sheria ambazo hurahisisha kufanya kazi na sehemu.
Kitu pekee unachohitaji kukumbuka kila wakati- maneno makubwa yanagawanywa katika maneno makubwa, na mambo katika mambo. Katika mchakato wa kugawanya mizizi ya mraba, tunarahisisha sehemu. Pia, kumbuka kuwa mzizi unaweza kuwa katika dhehebu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Njia ya 1. Kugawanya maneno makubwa
Algorithm ya vitendo:
Andika sehemu
Ikiwa usemi haujawakilishwa kama sehemu, ni muhimu kuiandika kama hivyo, kwa sababu ni rahisi kufuata kanuni ya kugawanya mizizi ya mraba.
Mfano 1
144 ÷ 36, usemi huu unapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: 144 36
Tumia ishara moja ya mizizi
Ikiwa nambari na denominata zote zina mizizi ya mraba, ni muhimu kuandika maneno yao makubwa chini ya ishara sawa ya mizizi ili kurahisisha mchakato wa suluhisho.
Tunakukumbusha kwamba usemi mkali (au nambari) ni usemi chini ya ishara ya mizizi.
Mfano 2
144 36. Usemi huu unapaswa kuandikwa kama ifuatavyo: 144 36
Tenga misemo kali
Gawanya tu usemi mmoja na mwingine, na uandike matokeo chini ya ishara ya mizizi.
Mfano 3
144 36 = 4, hebu tuandike usemi huu hivi: 144 36 = 4
Rahisisha usemi mkali (ikiwa ni lazima)
Ikiwa usemi mkali au mojawapo ya vipengele ni mraba kamili, rahisisha usemi.
Kumbuka kwamba mraba kamili ni nambari ambayo ni mraba wa nambari kamili.
Mfano 4
4 ni mraba kamili kwa sababu 2 × 2 = 4. Kwa hivyo:
4 = 2 × 2 = 2. Kwa hivyo 144 36 = 4 = 2.
Mbinu ya 2. Factoring radical kujieleza
Algorithm ya vitendo:
Andika sehemu
Andika upya usemi kama sehemu (ikiwa inawakilishwa hivyo). Hii hurahisisha maneno ya kugawanya na mizizi ya mraba, haswa wakati wa kuweka alama.
Mfano 5
8 ÷ 36, iandike upya hivi 8 36
Eleza kila moja ya misemo kali
Weka nambari iliyo chini ya mzizi kama nambari nyingine yoyote, andika vipengele chini ya ishara ya mzizi.
Mfano 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Rahisisha nambari na denominator ya sehemu
Ili kufanya hivyo, ondoa mambo kutoka chini ya ishara ya mizizi, ambayo ni mraba kamili. Kwa hivyo, sababu ya usemi mkali itakuwa sababu kabla ya ishara ya mizizi.
Mfano 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, ifuatavyo: 8 36 = 2 2 6
Sawazisha dhehebu (ondoa mzizi)
Katika hisabati, kuna sheria kulingana na ambayo kuacha mizizi katika denominator ni ishara ya fomu mbaya, i.e. ni haramu. Ikiwa kuna mizizi ya mraba katika dhehebu, kisha uiondoe.
Zidisha nambari na denominata kwa mzizi wa mraba unaotaka kuondoa.
Mfano 8
Katika usemi 6 2 3, unahitaji kuzidisha nambari na denominator kwa 3 ili kuiondoa kwenye dhehebu:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Rahisisha usemi unaotokana (ikiwa ni lazima)
Ikiwa nambari na denominator zina nambari zinazoweza na zinapaswa kupunguzwa. Rahisisha misemo kama vile ungefanya sehemu yoyote.
Mfano 9
2 6 hurahisisha hadi 1 3; kwa hivyo 2 2 6 hurahisisha hadi 1 2 3 = 2 3
Njia ya 3: Kugawanya mizizi ya mraba na vipengele
Algorithm ya vitendo:
Rahisisha vipengele
Kumbuka kwamba sababu ni nambari zinazotangulia ishara ya mizizi. Ili kurahisisha mambo, utahitaji kugawanya au kupunguza. Usiguse misemo kali!
Mfano 10
4 32 6 16 . Kwanza, tunapunguza 4 6: kugawanya nambari na denominator kwa 2: 4 6 = 2 3.
Rahisisha mizizi ya mraba
Ikiwa nambari inaweza kugawanywa kwa usawa na denominator, basi igawanye. Ikiwa sivyo, basi rahisisha misemo kali kama nyingine yoyote.
Mfano 11
32 inaweza kugawanywa na 16, kwa hivyo: 32 16 = 2
Zidisha vipengele vilivyorahisishwa kwa mizizi iliyorahisishwa
Kumbuka sheria: usiondoke mizizi kwenye denominator. Kwa hivyo, tunazidisha nambari na dhehebu kwa mzizi huu.
Mfano 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Sawazisha dhehebu (ondoa mzizi kwenye dhehebu)
Mfano 13
4 3 2 7 . Unapaswa kuzidisha nambari na denominator kwa 7 ili kuondoa mzizi kwenye denominator.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Njia ya 4: Mgawanyiko kwa binomial na mizizi ya mraba
Algorithm ya vitendo:
Amua ikiwa binomial iko kwenye dhehebu
Kumbuka kuwa binomial ni usemi unaojumuisha 2 monomials. Njia hii inafanya kazi tu katika hali ambapo denominator ina binomial yenye mizizi ya mraba.
Mfano 14
1 5 + 2 - kuna binomial katika denominator, kwa kuwa kuna monomials mbili.
Tafuta usemi wa mnyambuliko wa binomial
Kumbuka kwamba binomial ya conjugate ni binomial yenye monomia sawa, lakini kwa ishara kinyume. Ili kurahisisha usemi na kuondoa mzizi kwenye dhehebu, unapaswa kuzidisha binomials ya conjugate.
Mfano 15
5 + 2 na 5 - 2 ni binomials conjugate.
Zidisha nambari na denominator kwa binomial ambayo ni mnyambuliko wa binomial katika denominata.
Chaguo hili litasaidia kuondoa mzizi kwenye dhehebu, kwani bidhaa ya binomials ya conjugate ni sawa na tofauti ya mraba wa kila neno la binomials: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Mfano 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Kutoka kwa hii inafuata: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Ushauri:
- Ikiwa unafanya kazi na mizizi ya mraba nambari mchanganyiko, kisha ubadilishe kuwa sehemu isiyofaa.
- Tofauti kati ya kuongeza na kutoa kutoka kwa mgawanyiko ni kwamba maneno makubwa katika kesi ya mgawanyiko haipendekezi kurahisishwa (kwa gharama ya mraba kamili).
- Kamwe (!) Usiache mzizi katika dhehebu.
- Hakuna desimali au mchanganyiko kabla ya mzizi - unahitaji kuzibadilisha kuwa sehemu ya kawaida, na kisha kurahisisha.
- Je, dhehebu ni jumla au tofauti ya monomia mbili? Zidisha binomial kama hiyo kwa uunganisho wa binomial na uondoe mzizi kwenye dhehebu.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Salamu, paka! Mara ya mwisho tulijadili kwa undani mizizi ni nini (ikiwa hukumbuki, napendekeza kuisoma). Jambo kuu kutoka kwa somo hilo: kuna ufafanuzi mmoja tu wa jumla wa mizizi, ambayo ndio unahitaji kujua. Mengine ni upuuzi na kupoteza muda.
Leo tunaenda mbali zaidi. Tutajifunza kuzidisha mizizi, tutasoma shida kadhaa zinazohusiana na kuzidisha (ikiwa shida hizi hazijatatuliwa, zinaweza kuwa mbaya katika mtihani) na tutafanya mazoezi ipasavyo. Kwa hivyo hifadhi popcorn, starehe, na tuanze. :)
Bado hujaivuta, sivyo?
Somo liligeuka kuwa refu sana, kwa hivyo nililigawanya katika sehemu mbili:
- Kwanza tutaangalia sheria za kuzidisha. Kofia inaonekana kuashiria: huu ndio wakati kuna mizizi miwili, kati yao kuna ishara ya "zidisha" - na tunataka kufanya kitu nayo.
- Kisha tuangalie hali iliyo kinyume: kuna mzizi mmoja mkubwa, lakini tulikuwa na hamu ya kuiwakilisha kama bidhaa ya mizizi miwili rahisi zaidi. Kwa nini hii ni muhimu, ni swali tofauti. Tutachambua tu algorithm.
Kwa wale ambao hawawezi kusubiri mara moja kuendelea na sehemu ya pili, mnakaribishwa. Wacha tuanze na zingine kwa mpangilio.
Kanuni ya Msingi ya Kuzidisha
Hebu tuanze na jambo rahisi zaidi - mizizi ya mraba ya classic. Zile zile ambazo zimeashiriwa na $\sqrt(a)$ na $\sqrt(b)$. Kila kitu ni dhahiri kwao:
Kanuni ya kuzidisha. Ili kuzidisha mzizi mmoja wa mraba hadi mwingine, unazidisha misemo yao kali, na uandike matokeo chini ya radical ya kawaida:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Hakuna vikwazo vya ziada vinavyowekwa kwa namba za kulia au kushoto: ikiwa sababu za mizizi zipo, basi bidhaa pia ipo.
Mifano. Wacha tuangalie mifano minne iliyo na nambari mara moja:
\[\anza(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \mwisho(patanisha)\]
Kama unaweza kuona, maana kuu ya sheria hii ni kurahisisha misemo isiyo na maana. Na ikiwa katika mfano wa kwanza sisi wenyewe tungetoa mizizi ya 25 na 4 bila sheria yoyote mpya, basi mambo yanakuwa magumu: $\sqrt(32)$ na $\sqrt(2)$ hazizingatiwi na wao wenyewe, lakini. bidhaa zao zinageuka kuwa mraba kamili, hivyo mizizi yake ni sawa na nambari ya busara.
Ningependa hasa kuangazia mstari wa mwisho. Huko, misemo yote miwili yenye msimamo mkali ni sehemu. Shukrani kwa bidhaa, mambo mengi yamefutwa, na usemi mzima unageuka kuwa nambari ya kutosha.
Bila shaka, mambo hayatakuwa mazuri kila wakati. Wakati mwingine kutakuwa na ujinga kamili chini ya mizizi - haijulikani nini cha kufanya nayo na jinsi ya kuibadilisha baada ya kuzidisha. Baadaye kidogo, unapoanza kusoma equations zisizo na usawa na usawa, kutakuwa na kila aina ya vigezo na kazi. Na mara nyingi sana, waandishi wa shida huhesabu ukweli kwamba utagundua masharti au sababu za kughairi, baada ya hapo shida itarahisishwa mara nyingi.
Kwa kuongeza, sio lazima kabisa kuzidisha mizizi miwili. Unaweza kuzidisha tatu, nne, au hata kumi kwa wakati mmoja! Hii haitabadilisha sheria. Angalia:
\[\anza(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \mwisho(patanisha)\]
Na tena noti ndogo kwenye mfano wa pili. Kama unaweza kuona, katika jambo la tatu chini ya mzizi kuna sehemu ya decimal - katika mchakato wa mahesabu tunaibadilisha na ya kawaida, baada ya hapo kila kitu kinapunguzwa kwa urahisi. Kwa hivyo: Ninapendekeza sana kuondoa sehemu za decimal katika misemo yoyote isiyo na maana (yaani iliyo na angalau ishara moja kali). Hii itakuokoa muda mwingi na mishipa katika siku zijazo.
Lakini hii ilikuwa digression ya sauti. Sasa hebu tuchunguze kesi ya jumla zaidi - wakati kipeo cha mizizi kina nambari ya kiholela $n$, na sio tu mbili za "classical".
Kesi ya kiashiria cha kiholela
Kwa hivyo, tumepanga mizizi ya mraba. Nini cha kufanya na zile za ujazo? Au hata kwa mizizi ya digrii holela $n$? Ndiyo, kila kitu ni sawa. Kanuni inabaki kuwa sawa:
Ili kuzidisha mizizi miwili ya shahada $n$, inatosha kuzidisha misemo yao kali, na kisha kuandika matokeo chini ya radical moja.
Kwa ujumla, hakuna kitu ngumu. Isipokuwa kwamba kiasi cha mahesabu kinaweza kuwa kikubwa zaidi. Hebu tuangalie mifano michache:
Mifano. Kuhesabu bidhaa:
\[\anza(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3))) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \kulia))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \mwisho(patanisha)\]
Na tena, makini na usemi wa pili. Tunazidisha mizizi ya mchemraba, kuondoa sehemu ya desimali na kuishia na dhehebu kuwa bidhaa ya nambari 625 na 25. Hii ni idadi kubwa sana - kibinafsi, mimi binafsi siwezi kujua ni sawa na nini kutoka juu. ya kichwa changu.
Kwa hivyo tulitenga tu mchemraba halisi kwenye nambari na dhehebu, na kisha tukatumia moja ya sifa kuu (au, ukipenda, ufafanuzi) wa mzizi wa $n$th:
\[\anza(linganisha) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\kulia|. \\ \mwisho(patanisha)\]
"Miundo" kama hiyo inaweza kukuokoa muda mwingi kwenye mtihani au mtihani, kwa hivyo kumbuka:
Usikimbilie kuzidisha nambari kwa kutumia misemo kali. Kwanza, angalia: vipi ikiwa kiwango halisi cha usemi wowote "umesimbwa" hapo?
Licha ya udhahiri wa maoni haya, lazima nikiri kwamba wanafunzi wengi ambao hawajajitayarisha hawaoni digrii kamili katika safu-tupu. Badala yake, wanazidisha kila kitu moja kwa moja, halafu wanashangaa: kwa nini walipata nambari za kikatili? :)
Walakini, haya yote ni mazungumzo ya watoto ikilinganishwa na tutakayojifunza sasa.
Kuzidisha mizizi na vielelezo tofauti
Sawa, sasa tunaweza kuzidisha mizizi na viashiria sawa. Je, ikiwa viashiria ni tofauti? Wacha tuseme, jinsi ya kuzidisha $\sqrt(2)$ ya kawaida na ujinga kama $\sqrt(23)$? Je, inawezekana hata kufanya hivi?
Ndiyo bila shaka unaweza. Kila kitu kinafanywa kulingana na formula hii:
Sheria ya kuzidisha mizizi. Ili kuzidisha $\sqrt[n](a)$ kwa $\sqrt[p](b)$, inatosha kufanya mageuzi yafuatayo:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Walakini, fomula hii inafanya kazi tu ikiwa misemo kali sio hasi. Hii ni kumbuka muhimu sana ambayo tutarejea baadaye kidogo.
Kwa sasa, wacha tuangalie mifano michache:
\[\anza(linganisha) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= sqrt(5625). \\ \mwisho(patanisha)\]
Kama unaweza kuona, hakuna kitu ngumu. Sasa hebu tujue hitaji la kutokuwa hasi lilitoka wapi, na nini kitatokea ikiwa tutakiuka. :)
Kuzidisha mizizi ni rahisi Kwa nini maneno makali lazima yasiwe hasi?
Kwa kweli, unaweza kuwa kama walimu wa shule na kunukuu kitabu cha maandishi kwa sura nzuri:
Mahitaji ya kutokuwa hasi yanahusishwa na ufafanuzi tofauti wa mizizi ya digrii hata na isiyo ya kawaida (ipasavyo, nyanja zao za ufafanuzi pia ni tofauti).
Naam, imekuwa wazi zaidi? Binafsi, niliposoma upuuzi huu katika darasa la 8, nilielewa kitu kama kifuatacho: "Sharti la kutokuwa hasi linahusishwa na *#&^@(*#@^#)~%" - kwa kifupi, sikufanya hivyo. Sielewi jambo la kushangaza wakati huo. :)
Kwa hivyo sasa nitaelezea kila kitu kwa njia ya kawaida.
Kwanza, hebu tujue fomula ya kuzidisha iliyo hapo juu inatoka wapi. Ili kufanya hivyo, wacha nikukumbushe mali moja muhimu ya mzizi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Kwa maneno mengine, tunaweza kuinua kwa urahisi usemi mkali kwa nguvu yoyote ya asili $k$ - katika kesi hii, kipeo cha mzizi italazimika kuzidishwa kwa nguvu sawa. Kwa hiyo, tunaweza kupunguza kwa urahisi mizizi yoyote kwa kielelezo cha kawaida, na kisha kuzizidisha. Hapa ndipo fomula ya kuzidisha inatoka:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Lakini kuna shida moja ambayo inapunguza sana matumizi ya fomula hizi zote. Fikiria nambari hii:
Kulingana na fomula iliyotolewa hivi karibuni, tunaweza kuongeza digrii yoyote. Hebu tujaribu kuongeza $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kushoto(-5 \kulia))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Tuliondoa minus kwa usahihi kwa sababu mraba huchoma minus (kama kiwango kingine chochote cha usawa). Sasa hebu tufanye mabadiliko ya kinyume: "punguza" mbili katika kielelezo na nguvu. Baada ya yote, usawa wowote unaweza kusomwa kutoka kushoto kwenda kulia na kutoka kulia kwenda kushoto:
\[\anza(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((5)^(2)))=\sqrt((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \mwisho(patanisha)\]
Lakini basi inageuka kuwa aina fulani ya ujinga:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Hili haliwezi kutokea, kwa sababu $\sqrt(-5) \lt 0$, na $\sqrt(5) \gt 0$. Hii inamaanisha kuwa hata kwa nguvu na nambari hasi fomula yetu haifanyi kazi tena. Baada ya hapo tuna chaguzi mbili:
- Ili kupiga ukuta na kusema kwamba hisabati ni sayansi ya kijinga, ambapo "kuna sheria fulani, lakini hizi ni zisizo sahihi";
- Tambulisha vizuizi vya ziada ambavyo fomula itafanya kazi kwa 100%.
Katika chaguo la kwanza, tutalazimika kukamata kila wakati kesi "zisizofanya kazi" - ni ngumu, hutumia wakati na kwa ujumla ni mbaya. Kwa hivyo, wanahisabati walipendelea chaguo la pili. :)
Lakini usijali! Katika mazoezi, upungufu huu hauathiri mahesabu kwa njia yoyote, kwa sababu matatizo yote yaliyoelezwa yanahusu tu mizizi ya shahada isiyo ya kawaida, na minuses inaweza kuchukuliwa kutoka kwao.
Kwa hivyo, wacha tuunda sheria moja zaidi, ambayo kwa ujumla inatumika kwa vitendo vyote vilivyo na mizizi:
Kabla ya kuzidisha mizizi, hakikisha kuwa misemo kali sio hasi.
Mfano. Katika nambari $\sqrt(-5)$ unaweza kuondoa minus kutoka chini ya ishara ya mizizi - basi kila kitu kitakuwa kawaida:
\[\anza(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \mwisho(align)\]
Je, unahisi tofauti? Ukiacha minus chini ya mzizi, basi wakati usemi mkali ni mraba, itatoweka, na ujinga utaanza. Na ikiwa kwanza utaondoa minus, basi unaweza mraba/kuondoa hadi uwe na samawati usoni - nambari itabaki kuwa hasi. :)
Kwa hivyo, njia sahihi na ya kuaminika zaidi ya kuzidisha mizizi ni kama ifuatavyo.
- Ondoa hasi zote kutoka kwa radicals. Minuses zipo tu katika mizizi ya wingi usio wa kawaida - zinaweza kuwekwa mbele ya mizizi na, ikiwa ni lazima, kupunguzwa (kwa mfano, ikiwa kuna mbili za minuses hizi).
- Fanya kuzidisha kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu katika somo la leo. Ikiwa viashiria vya mizizi ni sawa, tunazidisha tu maneno makubwa. Na ikiwa ni tofauti, tunatumia fomula mbaya \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n)))\].
- 3.Furahia matokeo na alama nzuri. :)
Vizuri? Je, tufanye mazoezi?
Mfano 1: Rahisisha usemi:
\[\anza(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \kulia)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \mwisho(patanisha)\]
Hii ndiyo chaguo rahisi zaidi: mizizi ni sawa na isiyo ya kawaida, tatizo pekee ni kwamba jambo la pili ni hasi. Tunachukua hii minus nje ya picha, baada ya hapo kila kitu kinahesabiwa kwa urahisi.
Mfano 2: Rahisisha usemi:
\[\anza(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kushoto(((2)^(5)) \kulia))^(3))\cdot ((\kushoto(((2)^(2)) \kulia))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \mwisho( panga)\]
Hapa, wengi wangechanganyikiwa na ukweli kwamba pato liligeuka kuwa nambari isiyo na maana. Ndio, hufanyika: hatukuweza kuondoa kabisa mzizi, lakini angalau tumerahisisha usemi huo.
Mfano 3: Rahisisha usemi:
\[\anza(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kulia))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \mwisho(align)\]
Ningependa kuteka mawazo yako kwa kazi hii. Kuna pointi mbili hapa:
- Mzizi sio nambari maalum au nguvu, lakini tofauti $a$. Kwa mtazamo wa kwanza, hii ni ya kawaida kidogo, lakini kwa kweli, wakati wa kutatua matatizo ya hisabati, mara nyingi unapaswa kushughulika na vigezo.
- Mwishowe, tuliweza "kupunguza" kiashiria kali na kiwango cha kujieleza kwa nguvu. Hii hutokea mara nyingi kabisa. Na hii inamaanisha kuwa iliwezekana kurahisisha mahesabu ikiwa haukutumia fomula ya msingi.
Kwa mfano, unaweza kufanya hivi:
\[\anza(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \kulia))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3)))\ \\mwisho(patanisha)\]
Kwa kweli, mabadiliko yote yalifanywa tu na radical ya pili. Na ikiwa hutaelezea kwa undani hatua zote za kati, basi mwisho kiasi cha mahesabu kitapungua kwa kiasi kikubwa.
Kwa kweli, tayari tumekutana na kazi kama hiyo hapo juu tulipotatua mfano wa $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sasa inaweza kuandikwa rahisi zaidi:
\[\anza(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kushoto(((5)^(2))\cdot 3 \kulia))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \kulia))^(2))) =\sqrt(75). \mwisho(patanisha)\]
Kweli, tumepanga kuzidisha kwa mizizi. Sasa hebu fikiria operesheni ya nyuma: nini cha kufanya wakati kuna bidhaa chini ya mizizi?