Nini cha kufanya ikiwa digrii ni minus. Nguvu ya nambari: ufafanuzi, nukuu, mifano


Katika makala hii tutajua ni nini shahada ya. Hapa tutatoa ufafanuzi wa nguvu ya nambari, wakati tutazingatia kwa undani wafadhili wote wanaowezekana, kuanzia na kielelezo asilia na kuishia na kisicho na mantiki. Katika nyenzo utapata mifano mingi ya digrii, inayofunika hila zote zinazotokea.

Urambazaji wa ukurasa.

Nguvu yenye kipeo asilia, mraba wa nambari, mchemraba wa nambari

Hebu tuanze na. Kuangalia mbele, wacha tuseme kwamba ufafanuzi wa nguvu ya nambari na kiashiria cha asili n inatolewa kwa a, ambayo tutaita msingi wa shahada, na n, ambayo tutaita kielelezo. Pia tunakumbuka kuwa shahada yenye kipeo asilia hubainishwa kupitia bidhaa, kwa hivyo ili kuelewa nyenzo hapa chini unahitaji kuwa na uelewa wa kuzidisha nambari.

Ufafanuzi.

Nguvu ya nambari yenye kipeo asilia n ni usemi wa umbo a n, thamani ambayo ni sawa na bidhaa ya mambo n, ambayo kila moja ni sawa na a, yaani, .
Hasa, nguvu ya nambari a yenye kipeo 1 ni nambari a yenyewe, yaani, 1 =a.

Inastahili kutaja mara moja kuhusu sheria za kusoma digrii. Mbinu ya Universal kusoma ingizo n ni: "a kwa nguvu ya n". Katika baadhi ya matukio, chaguo zifuatazo pia zinakubalika: "a kwa nguvu ya nth" na "nth nguvu ya a". Kwa mfano, hebu tuchukue mamlaka 8 12, hii ni "nane kwa uwezo wa kumi na mbili", au "nguvu nane hadi kumi na mbili", au "nguvu ya kumi na mbili ya nane".

Nguvu ya pili ya nambari, pamoja na nguvu ya tatu ya nambari, ina majina yao wenyewe. Nguvu ya pili ya nambari inaitwa mraba nambari, kwa mfano, 7 2 inasomwa kama "saba ya mraba" au "mraba wa nambari saba." Nguvu ya tatu ya nambari inaitwa nambari za mraba, kwa mfano, 5 3 inaweza kusomwa kama "cubed tano" au unaweza kusema "mchemraba wa nambari 5".

Ni wakati wa kuleta mifano ya digrii na vielelezo asilia. Wacha tuanze na digrii 5 7, hapa 5 ndio msingi wa digrii, na 7 ndio kielelezo. Wacha tutoe mfano mwingine: 4.32 ndio msingi, na nambari asilia 9 ndio kielezi (4.32) 9 .

Tafadhali kumbuka kuwa katika mfano wa mwisho Msingi wa shahada ya 4.32 imeandikwa kwa mabano: ili kuepuka kutofautiana, tutaweka katika mabano misingi yote ya shahada ambayo ni tofauti na namba za asili. Kama mfano, tunatoa digrii zifuatazo na vielelezo asilia , besi zao sio nambari za asili, kwa hiyo zimeandikwa kwenye mabano. Kweli, kwa uwazi kamili, katika hatua hii tutaonyesha tofauti zilizomo katika rekodi za fomu (-2) 3 na -2 3. Usemi (−2) 3 ni nguvu ya -2 yenye kipeo asili cha 3, na usemi -2 3 (unaweza kuandikwa kama -(2 3) ) unalingana na nambari, thamani ya nguvu 2 3. .

Kumbuka kuwa kuna nukuu ya nguvu ya nambari a iliyo na kipeo n cha umbo a^n. Zaidi ya hayo, ikiwa n ni nambari ya asili yenye thamani nyingi, basi kielelezo huchukuliwa kwenye mabano. Kwa mfano, 4^9 ni nukuu nyingine ya nguvu ya 4 9 . Na hapa kuna mifano zaidi ya digrii za uandishi kwa kutumia ishara “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Katika kile kinachofuata, tutatumia kimsingi nukuu ya digrii ya fomu n .

Mojawapo ya matatizo yanayopingana na kuinua mamlaka yenye kielelezo asilia ni tatizo la kupata msingi wa nguvu kwa thamani inayojulikana digrii na kiashiria kinachojulikana. Kazi hii inaongoza kwa.

Inajulikana kuwa seti ya nambari za kimantiki ina nambari kamili na sehemu, na kila nambari ya sehemu inaweza kuwakilishwa kama chanya au hasi. sehemu ya kawaida. Tulifafanua digrii yenye kipeo kamili kama aya iliyotangulia, kwa hiyo, kukamilisha ufafanuzi wa shahada na kiashiria cha busara, unahitaji kutoa maana kwa nguvu ya nambari a na kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia. Hebu tufanye.

Wacha tuzingatie digrii iliyo na kipeo cha sehemu ya fomu . Ili mali ya nguvu-kwa-nguvu ibaki halali, usawa lazima ushikilie . Ikiwa tutazingatia usawa unaotokana na jinsi tulivyoamua , basi ni jambo la busara kuikubali mradi tu kwa kupewa m, n na usemi unaeleweka.

Ni rahisi kuangalia kuwa kwa sifa zote za digrii iliyo na kipeo kamili ni halali (hii ilifanyika katika sifa za sehemu ya digrii iliyo na kipeo busara).

Hoja iliyo hapo juu inaturuhusu kufanya yafuatayo hitimisho: ikipewa m, n na usemi unaeleweka, basi nguvu ya a yenye kipeo mgawanyiko m/n inaitwa mzizi wa nth wa a hadi nguvu ya m.

Kauli hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa shahada yenye kipeo cha sehemu. Kinachobaki ni kuelezea kile m, n na usemi unaleta maana. Kulingana na vikwazo vilivyowekwa kwenye m, n na a, kuna mbinu mbili kuu.

    Njia rahisi ni kuweka kizuizi kwa a kwa kuchukua a≥0 kwa m chanya na a>0 kwa m hasi (kwani kwa m≤0 digrii 0 ya m haijafafanuliwa). Kisha tunapata ufafanuzi ufuatao digrii zenye kipeo cha sehemu.

    Ufafanuzi.

    Nguvu ya nambari chanya A yenye kipeo cha sehemu m/n, ambapo m ni nambari kamili na n ni nambari asilia, inaitwa mzizi wa nth wa nambari a hadi nguvu m, yaani, .

    Nguvu ya sehemu ya sifuri pia imedhamiriwa na pango pekee kwamba kiashiria lazima kiwe chanya.

    Ufafanuzi.

    Nguvu ya sifuri na sehemu kiashiria chanya m/n, ambapo m ni nambari chanya na n ni nambari asilia, inafafanuliwa kama .
    Wakati digrii haijaamuliwa, ambayo ni, kiwango cha nambari ya sifuri na sehemu kiashiria hasi haina maana.

    Ikumbukwe kwamba kwa ufafanuzi huu wa shahada yenye kielelezo cha sehemu, kuna tahadhari moja: kwa baadhi hasi a na baadhi ya m na n, usemi huo una maana, na tulitupilia mbali kesi hizi kwa kuanzisha hali a≥0. Kwa mfano, maingizo yana maana au , na ufafanuzi uliotolewa hapo juu unatulazimisha kusema kwamba mamlaka yenye kipeo cha sehemu ya fomu usiwe na maana, kwani msingi haupaswi kuwa mbaya.

    Njia nyingine ya kuamua digrii na kipeo cha sehemu m/n ni kuzingatia kando vielelezo hata na visivyo vya kawaida vya mzizi. Mbinu hii inahitaji hali ya ziada: nguvu ya nambari ambayo kipeo chake ni , inachukuliwa kuwa nguvu ya nambari ambayo kipeo chake ndicho kinacholingana. sehemu isiyoweza kupunguzwa(Umuhimu wa hali hii utaelezwa hapa chini). Hiyo ni, ikiwa m/n ni sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi kwa nambari yoyote ya asili k shahada inabadilishwa kwanza na .

    Kwa hata n na chanya m, usemi huo una mantiki kwa yoyote isiyo hasi a (mzizi hata wa nambari hasi hauna maana); kwa m hasi, nambari a lazima bado iwe tofauti na sifuri (vinginevyo kutakuwa na mgawanyiko. kwa sifuri). Na kwa n isiyo ya kawaida na m chanya, nambari a inaweza kuwa yoyote (mzizi wa digrii isiyo ya kawaida hufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi), na kwa m hasi, nambari a lazima iwe tofauti na sifuri (ili kusiwe na mgawanyiko na sufuri).

    Hoja iliyo hapo juu inatuelekeza kwenye ufafanuzi huu wa digrii yenye kipeo cha sehemu.

    Ufafanuzi.

    Acha m/n iwe sehemu isiyoweza kupunguzwa, m nambari kamili, na n nambari asilia. Kwa sehemu yoyote inayoweza kupunguzwa, digrii inabadilishwa na . Nguvu ya nambari iliyo na kipeo cha sehemu isiyoweza kupunguzwa m/n ni ya

    Hebu tueleze ni kwa nini shahada iliyo na kipeo cha sehemu inayoweza kupunguzwa inabadilishwa kwanza na digrii na kipeo kikuu kisichoweza kupunguzwa. Ikiwa tungefafanua kiwango kama , na hatukuweka uhifadhi juu ya kutoweza kupunguzwa kwa sehemu m/n, basi tungekabiliwa na hali sawa na zifuatazo: kwa kuwa 6/10 = 3/5, basi usawa lazima ushikilie. ,Lakini , A.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni za nini, jinsi ya kutumia maarifa yako Maisha ya kila siku soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu kukamilika kwa mafanikio OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Kupanda madarakani ni sawa operesheni ya hisabati kama kuongeza, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaelezea kila kitu lugha ya binadamu sana mifano rahisi. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.


Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Sana swali zuri. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.

Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana zaidi kuwa cm kwa cm. Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().

Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Kiasi na vinywaji, kwa njia, hupimwa ndani mita za ujazo. Haijatarajiwa, sawa?) Chora bwawa: sehemu ya chini inayopima mita na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni cubes ngapi za kupima mita kwa mita zitaingia kwenye bwawa lako.

Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii zilivumbuliwa na watu walioacha kazi na watu wenye hila kutatua wao wenyewe matatizo ya maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umeketi sasa na "kuhesabu kwa kidole," inamaanisha wewe ni sana mtu mchapakazi na.. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unapata mbili zaidi. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi " ” na kielelezo " ” inasomwa kama "kwa kiwango" na kuandikwa. kwa njia ifuatayo:

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "sifuri nukta tano". Sio nambari kamili. Unadhani hizi ni nambari gani?

Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa hawakuwa na nambari za asili za kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Je, kuna wengine zaidi nambari zisizo na mantiki. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

  1. Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
  2. Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
  3. Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Pandisha nambari hadi shahada ya asili- inamaanisha kuzidisha nambari peke yake mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

mzima nambari chanya , na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote ndani shahada ya sifuri sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye kama ilivyo mara ya mwisho: zidisha baadhi nambari ya kawaida sawa kwa kiwango hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari, sio sawa na sifuri, kwa kiwango hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi kiwango chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Ni wazi hii kesi maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni mbili tu maingizo tofauti idadi sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada hasi kamili- ni kana kwamba kitu kilitokea" mchakato wa nyuma", yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini iligawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada na kiashiria changamano, yaani, kiashiria sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Je, hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

  • — msingi wa shahada;
  • - kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Tunaweza kuunda zifuatazo sheria rahisi:

  1. hata shahada, - nambari chanya.
  2. Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  3. Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuitenganisha kanuni ya mwisho, wacha tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa yangebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Ni badala safi kitu cha hisabati, ambayo wanahisabati waliunda kupanua dhana ya shahada kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kiashiria kisicho na mantiki digrii? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

1) 2) 3)

Majibu:

  1. Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
  2. Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
  3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

  • Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
  • Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  • Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  • Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
  • Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Kutoka shuleni sote tunajua sheria kuhusu upanuzi: nambari yoyote iliyo na kipeo N ni sawa na matokeo ya kuzidisha. nambari iliyopewa wewe mwenyewe N idadi ya nyakati. Kwa maneno mengine, 7 kwa nguvu ya 3 ni 7 kuzidishwa na yenyewe mara tatu, yaani, 343. Kanuni nyingine ni kwamba kuongeza kiasi chochote kwa nguvu ya 0 inatoa moja, na kuongeza wingi hasi ni matokeo ya kuongeza kawaida kwa nguvu ikiwa ni sawa, na matokeo sawa na ishara ya kuondoa ikiwa ni isiyo ya kawaida.

Sheria pia hutoa jibu la jinsi ya kuongeza nambari shahada hasi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza thamani inayotakiwa na moduli ya kiashiria kwa njia ya kawaida, na kisha ugawanye kitengo kwa matokeo.

Kutokana na sheria hizi inakuwa wazi kwamba utekelezaji matatizo ya kweli na upasuaji kiasi kikubwa itahitaji kupatikana njia za kiufundi. Kwa mikono unaweza kuzidisha na wewe mwenyewe upeo wa idadi hadi ishirini hadi thelathini, na kisha si zaidi ya mara tatu au nne. Hii sio kutaja kisha kugawanya moja kwa matokeo. Kwa hivyo, kwa wale ambao hawana kihesabu maalum cha uhandisi karibu, tutakuambia jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi katika Excel.

Kutatua matatizo katika Excel

Ili kutatua shida za ujenzi ndani Shahada ya Excel hukuruhusu kutumia moja ya chaguzi mbili.

Ya kwanza ni matumizi ya fomula yenye ishara ya kawaida ya "kifuniko". Ingiza data ifuatayo kwenye seli za laha kazi:

Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kuongeza thamani inayotaka kwa nguvu yoyote - hasi, ya sehemu. Wacha tufanye hatua zifuatazo na jibu swali la jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi. Mfano:

Unaweza kusahihisha =B2^-C2 moja kwa moja kwenye fomula.

Chaguo la pili ni kutumia kazi ya "Shahada" iliyotengenezwa tayari, ambayo inachukua hoja mbili zinazohitajika - nambari na kielelezo. Ili kuanza kuitumia, weka tu ishara sawa (=) katika seli yoyote ya bure, inayoonyesha mwanzo wa fomula, na uingize maneno hapo juu. Kilichobaki ni kuchagua seli mbili ambazo zitashiriki katika operesheni (au taja nambari maalum manually) na ubonyeze kitufe cha Ingiza. Hebu tuangalie mifano michache rahisi.

Mfumo

Matokeo

SHAHADA(B2;C2)

SHAHADA(B3;C3)

0,002915

Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu juu ya jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi na kwa ile ya kawaida na kwa kutumia Excel. Baada ya yote, ili kutatua tatizo hili, unaweza kutumia alama ya "kifuniko" cha kawaida na kazi ya kujengwa ya programu, ambayo ni rahisi kukumbuka. Hii ni nyongeza ya uhakika!

Wacha tuendelee zaidi mifano tata. Hebu tukumbuke sheria kuhusu jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi ya sehemu, na tutaona kwamba tatizo hili linatatuliwa kwa urahisi sana katika Excel.

Viashiria vya sehemu

Kwa kifupi, algorithm ya kuhesabu nambari na kipeo cha sehemu ni kama ifuatavyo.

  1. Badilisha sehemu kuwa sehemu inayofaa au isiyofaa.
  2. Pandisha nambari yetu hadi nambari ya sehemu iliyogeuzwa inayotokana.
  3. Kutoka kwa nambari iliyopatikana katika aya iliyotangulia, hesabu mzizi, kwa hali ya kuwa kielelezo cha mzizi kitakuwa kiashiria cha sehemu iliyopatikana katika hatua ya kwanza.

Kukubaliana kwamba hata wakati wa kufanya kazi na nambari ndogo na sehemu sahihi mahesabu sawa inaweza kuchukua muda mwingi. Ni vizuri kwamba mtayarishaji wa lahajedwali la Excel hajali nambari gani inafufuliwa kwa nguvu gani. Jaribu kutatua mfano ufuatao kwenye lahakazi ya Excel:

Kutumia sheria zilizo hapo juu, unaweza kuangalia na kuhakikisha kuwa hesabu ilifanyika kwa usahihi.

Mwisho wa makala yetu tutawasilisha kwa namna ya jedwali na fomula na matokeo mifano kadhaa ya jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi, pamoja na mifano kadhaa ya uendeshaji. nambari za sehemu na digrii.

Jedwali la mfano

Angalia mifano ifuatayo katika lahakazi yako ya Excel. Ili kila kitu kifanye kazi kwa usahihi, unahitaji kutumia kumbukumbu iliyochanganywa wakati wa kunakili fomula. Rekebisha nambari ya safu iliyo na nambari inayoinuliwa na nambari ya safu iliyo na kiashiria. Fomula yako inapaswa kuwa na takriban mtazamo unaofuata: "=$B4^C$3".

Nambari/Shahada

Tafadhali kumbuka kuwa nambari chanya (hata zisizo nambari kamili) zinaweza kuhesabiwa bila matatizo kwa kipeo chochote. Hakuna matatizo katika kuongeza nambari zozote hadi nambari kamili. Lakini kuinua nambari hasi kwa nguvu ya sehemu itageuka kuwa kosa kwako, kwani haiwezekani kufuata sheria iliyoonyeshwa mwanzoni mwa nakala yetu juu ya kuongeza nambari hasi, kwa sababu usawa ni tabia pekee ya nambari NZIMA.

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kielelezo kilicho na kielelezo hasi. Ufafanuzi na mifano ya kutatua matatizo"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa. Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Misaada ya kielimu na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 8
Mwongozo wa kitabu cha kiada Muravin G.K. Mwongozo wa kitabu cha maandishi na Alimov Sh.A.

Uamuzi wa shahada na kipeo hasi

Jamani, tuko vizuri katika kuinua idadi hadi madarakani.
Kwa mfano: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Tunajua vizuri kwamba nambari yoyote hadi sifuri ni sawa na moja. $a^0=1$, $a≠0$.
Swali linatokea, nini kinatokea ikiwa unainua nambari kwa nguvu hasi? Kwa mfano, nambari $2^(-2)$ itakuwa sawa na nini?
Wanahisabati wa kwanza ambao waliuliza swali hili waliamua kuwa haifai kurejesha gurudumu, na ilikuwa nzuri kwamba mali zote za digrii zilibaki sawa. Hiyo ni, wakati wa kuzidisha nguvu na msingi huo huo, vielezi vinajumlisha.
Hebu tuzingatie kesi hii: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Tuligundua kuwa bidhaa ya nambari kama hizo inapaswa kutoa moja. Kitengo katika bidhaa kinapatikana kwa kuzidisha nambari za kubadilishana, yaani, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Hoja kama hiyo ilisababisha ufafanuzi ufuatao.
Ufafanuzi. Ikiwa $n$ ni nambari asilia na $a≠0$, basi usawa unashikilia: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Utambulisho muhimu ambao hutumiwa mara nyingi ni: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Hasa, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Mifano ya ufumbuzi

Mfano 1.
Hesabu: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Suluhisho.
Wacha tuzingatie kila neno tofauti.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Inabakia kufanya shughuli za kuongeza na kutoa: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Jibu: $6\frac(1)(4)$.

Mfano 2.
Tambulisha nambari iliyopewa kama shahada nambari kuu$\frac(1)(729)$.

Suluhisho.
Ni wazi, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Lakini 729 sio nambari kuu inayoishia na 9. Inaweza kuzingatiwa kuwa nambari hii ni nguvu ya tatu. Mara kwa mara ugawanye 729 kwa 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Operesheni sita zilifanywa na hiyo inamaanisha: $729=3^6$.
Kwa kazi yetu:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Jibu: $3^(-6)$.

Mfano 3. Eleza usemi kama nguvu: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Suluhisho. Kitendo cha kwanza kila mara hufanywa ndani ya mabano, kisha kuzidisha $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5))))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Jibu: $a$.

Mfano 4. Thibitisha utambulisho:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Suluhisho.
Kwa upande wa kushoto, tunazingatia kila sababu katika mabano tofauti.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )(\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Hebu tuendelee kwenye sehemu tunayogawanya.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Hebu tufanye mgawanyiko.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Tulipata kitambulisho sahihi, ambacho ndicho tulichohitaji kuthibitisha.

Mwishoni mwa somo, tutaandika tena sheria za kufanya kazi na nguvu, hapa kielelezo ni nambari kamili.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

1. Kokotoa: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Wakilisha nambari uliyopewa kama nguvu ya nambari kuu $\frac(1)(16384)$.
3. Eleza usemi kama nguvu:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Thibitisha utambulisho:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Kuinua kwa nguvu hasi ni moja ya vipengele vya msingi vya hisabati na mara nyingi hukutana katika kutatua matatizo ya aljebra. Chini ni maagizo ya kina.

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nadharia

Tunapoinua nambari kwa nguvu ya kawaida, tunazidisha thamani yake mara kadhaa. Kwa mfano, 3 3 = 3×3×3 = 27. C sehemu hasi ni kinyume chake. Fomu ya jumla kulingana na formula itaonekana kama hii: a -n = 1/a n. Kwa hivyo, ili kuongeza nambari kwa nguvu hasi, unahitaji kugawanya moja kwa nambari uliyopewa, lakini kwa nguvu nzuri.

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - mifano kwenye nambari za kawaida

Kuzingatia sheria hapo juu, wacha tutatue mifano michache.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Jibu: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Jibu -4 -2 = 1/16.

Lakini kwa nini majibu katika mfano wa kwanza na wa pili yanafanana? Ukweli ni kwamba wakati nambari hasi inapoinuliwa kwa nguvu sawa (2, 4, 6, nk), ishara inakuwa chanya. Ikiwa digrii ingekuwa sawa, basi minus ingebaki:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Jinsi ya kuongeza nguvu hasi - nambari kutoka 0 hadi 1

Kumbuka kwamba nambari kati ya 0 na 1 inapoinuliwa hadi nguvu chanya, thamani hupungua kadiri nguvu inavyoongezeka. Kwa hivyo kwa mfano, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Mfano 3: Hesabu 0.5 -2
Suluhisho: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Jibu: 0.5 -2 = 4

Uchambuzi (mlolongo wa vitendo):

  • Tunatafsiri Nukta 0.5 hadi sehemu 1/2. Ni rahisi kwa njia hiyo.
    Inua 1/2 kwa nguvu hasi. 1/(2) -2 . Gawanya 1 kwa 1/(2) 2, tunapata 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Mfano 4: Hesabu 0.5 -3
Suluhisho: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Mfano 5: Hesabu -0.5 -3
Suluhisho: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Jibu: -0.5 -3 = -8

Kulingana na mifano ya 4 na 5, tunaweza kupata hitimisho kadhaa:

  • Kwa nambari chanya katika safu kutoka 0 hadi 1 (mfano 4), iliyoinuliwa hadi nguvu hasi, ikiwa nguvu ni sawa au isiyo ya kawaida sio muhimu, thamani ya usemi itakuwa chanya. Wakati huo huo, kuliko shahada zaidi, thamani kubwa zaidi.
  • Kwa nambari hasi katika safu kutoka 0 hadi 1 (mfano 5), iliyoinuliwa hadi nguvu hasi, iwe nguvu ni sawa au isiyo ya kawaida sio muhimu, thamani ya usemi itakuwa hasi. Katika kesi hii, kiwango cha juu, thamani ya chini.

Jinsi ya kuinua kwa nguvu hasi - nguvu katika mfumo wa nambari ya sehemu

Maneno wa aina hii kuwa na fomu ifuatayo: a -m/n , ambapo a - nambari ya kawaida, m ni nambari ya shahada, n ni denominator ya shahada.

Hebu tuangalie mfano:
Hesabu: 8 -1/3

Suluhisho (mlolongo wa vitendo):

  • Wacha tukumbuke sheria ya kuongeza nambari hadi nguvu hasi. Tunapata: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
  • Ona kwamba dhehebu ina nambari 8 katika nguvu ya sehemu. Njia ya jumla ya kuhesabu nguvu ya sehemu ni kama ifuatavyo: m/n = n √8 m.
  • Hivyo, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Tunapata mizizi ya mchemraba kati ya nane, ambayo ni sawa na 2. Kutoka hapa, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
  • Jibu: 8 -1/3 = 2

Kuanzia shuleni, sote tunajua sheria kuhusu upanuzi: nambari yoyote iliyo na kipeo N ni sawa na matokeo ya kuzidisha nambari hii yenyewe N nambari ya nyakati. Kwa maneno mengine, 7 kwa nguvu ya 3 ni 7 kuzidishwa na yenyewe mara tatu, yaani, 343. Kanuni nyingine ni kwamba kuongeza kiasi chochote kwa nguvu ya 0 inatoa moja, na kuongeza wingi hasi ni matokeo ya kuongeza kawaida kwa nguvu ikiwa ni sawa, na matokeo sawa na ishara ya kuondoa ikiwa ni isiyo ya kawaida.

Sheria pia hutoa jibu la jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza thamani inayotakiwa na moduli ya kiashiria kwa njia ya kawaida, na kisha ugawanye kitengo kwa matokeo.

Kutoka kwa sheria hizi inakuwa wazi kwamba kufanya kazi halisi inayohusisha kiasi kikubwa itahitaji upatikanaji wa njia za kiufundi. Kwa mikono unaweza kuzidisha na wewe mwenyewe upeo wa idadi hadi ishirini hadi thelathini, na kisha si zaidi ya mara tatu au nne. Hii sio kutaja kisha kugawanya moja kwa matokeo. Kwa hivyo, kwa wale ambao hawana kihesabu maalum cha uhandisi karibu, tutakuambia jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi katika Excel.

Kutatua matatizo katika Excel

Ili kutatua matatizo yanayohusisha upanuzi, Excel hukuruhusu kutumia moja ya chaguo mbili.

Ya kwanza ni matumizi ya fomula yenye ishara ya kawaida ya "kifuniko". Ingiza data ifuatayo kwenye seli za laha kazi:

Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kuongeza thamani inayotaka kwa nguvu yoyote - hasi, ya sehemu. Wacha tufanye hatua zifuatazo na jibu swali la jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi. Mfano:

Unaweza kusahihisha =B2^-C2 moja kwa moja kwenye fomula.

Chaguo la pili ni kutumia kazi ya "Shahada" iliyotengenezwa tayari, ambayo inachukua hoja mbili zinazohitajika - nambari na kielelezo. Ili kuanza kuitumia, weka tu ishara sawa (=) katika seli yoyote ya bure, inayoonyesha mwanzo wa fomula, na uingize maneno hapo juu. Inabakia tu kuchagua seli mbili ambazo zitashiriki katika operesheni (au taja nambari maalum kwa mikono) na bonyeza kitufe cha Ingiza. Hebu tuangalie mifano michache rahisi.

Mfumo

Matokeo

SHAHADA(B2;C2)

SHAHADA(B3;C3)

0,002915

Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu juu ya jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi na kwa nguvu ya kawaida kwa kutumia Excel. Baada ya yote, ili kutatua tatizo hili, unaweza kutumia alama ya "kifuniko" cha kawaida na kazi ya kujengwa ya programu, ambayo ni rahisi kukumbuka. Hii ni nyongeza ya uhakika!

Wacha tuendelee kwenye mifano ngumu zaidi. Hebu tukumbuke sheria kuhusu jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi ya sehemu, na tutaona kwamba tatizo hili linatatuliwa kwa urahisi sana katika Excel.

Viashiria vya sehemu

Kwa kifupi, algorithm ya kuhesabu nambari na kipeo cha sehemu ni kama ifuatavyo.

  1. Badilisha sehemu kuwa sehemu inayofaa au isiyofaa.
  2. Pandisha nambari yetu hadi nambari ya sehemu iliyogeuzwa inayotokana.
  3. Kutoka kwa nambari iliyopatikana katika aya iliyotangulia, hesabu mzizi, kwa hali ya kuwa kielelezo cha mzizi kitakuwa kiashiria cha sehemu iliyopatikana katika hatua ya kwanza.

Kubali kwamba hata wakati wa kufanya kazi na nambari ndogo na sehemu zinazofaa, hesabu kama hizo zinaweza kuchukua muda mwingi. Ni vizuri kwamba mtayarishaji wa lahajedwali la Excel hajali nambari gani inafufuliwa kwa nguvu gani. Jaribu kutatua mfano ufuatao kwenye lahakazi ya Excel:

Kutumia sheria zilizo hapo juu, unaweza kuangalia na kuhakikisha kuwa hesabu ilifanyika kwa usahihi.

Mwishoni mwa makala yetu, tutawasilisha kwa namna ya jedwali na fomula na matokeo ya mifano kadhaa ya jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi, pamoja na mifano kadhaa ya kufanya kazi na nambari za sehemu na nguvu.

Jedwali la mfano

Angalia mifano ifuatayo katika lahakazi yako ya Excel. Ili kila kitu kifanye kazi kwa usahihi, unahitaji kutumia kumbukumbu iliyochanganywa wakati wa kunakili fomula. Rekebisha nambari ya safu iliyo na nambari inayoinuliwa na nambari ya safu iliyo na kiashiria. Fomula yako inapaswa kuonekana kama hii: “=$B4^C$3.”

Nambari/Shahada

Tafadhali kumbuka kuwa nambari chanya (hata zisizo nambari kamili) zinaweza kuhesabiwa bila matatizo kwa kipeo chochote. Hakuna matatizo katika kuongeza nambari zozote hadi nambari kamili. Lakini kuinua nambari hasi kwa nguvu ya sehemu itageuka kuwa kosa kwako, kwani haiwezekani kufuata sheria iliyoonyeshwa mwanzoni mwa nakala yetu juu ya kuongeza nambari hasi, kwa sababu usawa ni tabia pekee ya nambari NZIMA.

Nambari iliyoinuliwa kwa nguvu Wanaita nambari ambayo inazidishwa yenyewe mara kadhaa.

Nguvu ya nambari yenye thamani hasi (a-n) inaweza kuamuliwa kwa njia sawa na jinsi nguvu ya nambari sawa na kipeo chanya imedhamiriwa (n) . Hata hivyo, pia inahitaji ufafanuzi wa ziada. Formula inafafanuliwa kama:

a-n = (1/a)

Sifa za nguvu hasi za nambari ni sawa na nguvu zilizo na kielelezo chanya. Mlinganyo uliowasilishwa a m/a n= m-n inaweza kuwa sawa kama

« Hakuna mahali popote, kama katika hisabati, uwazi na usahihi wa hitimisho huruhusu mtu kujiondoa jibu kwa kuzungumza karibu na swali.».

A. D. Alexandrov

katika n zaidi m , na m zaidi n . Hebu tuangalie mfano: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Kwanza unahitaji kuamua nambari ambayo hufanya kama ufafanuzi wa digrii. b=a(-n) . Katika mfano huu -n ni kielelezo b - thamani ya nambari inayotaka, a - msingi wa shahada kwa namna ya asili thamani ya nambari. Kisha fafanua moduli, yaani thamani kamili nambari hasi inayofanya kazi kama kipeo. Kuhesabu nguvu ya nambari fulani ya jamaa nambari kamili, kama kiashiria. Thamani ya digrii hupatikana kwa kugawanya moja kwa nambari inayosababisha.

Mchele. 1

Zingatia nguvu ya nambari iliyo na kipeo cha sehemu hasi. Wacha tufikirie kuwa nambari a ni nambari yoyote chanya, nambari n Na m - nambari kamili. Kulingana na ufafanuzi a , ambayo inainuliwa kwa mamlaka - ni sawa na moja iliyogawanywa na nambari sawa na shahada chanya(Kielelezo 1). Wakati nguvu ya nambari ni sehemu, basi katika hali kama hizi nambari zilizo na vielelezo vyema hutumiwa.

Inafaa kukumbuka kwamba sifuri kamwe haiwezi kuwa kielelezo cha nambari (kanuni ya mgawanyiko kwa sifuri).

Kuenea kwa dhana kama nambari ikawa udanganyifu kama mahesabu ya kipimo, na vile vile ukuzaji wa hesabu kama sayansi. Kuanzishwa kwa maadili hasi kulitokana na maendeleo ya algebra, ambayo ilitoa ufumbuzi wa jumla matatizo ya hesabu, bila kujali wao maana maalum na data ya awali ya nambari. Huko India nyuma katika karne ya 6-11 maadili hasi nambari zilitumika kwa utaratibu wakati wa kutatua shida na zilifasiriwa kwa njia sawa na leo. KATIKA Sayansi ya Ulaya nambari hasi zilianza kutumiwa sana shukrani kwa R. Descartes, ambaye alitoa tafsiri ya kijiometri nambari hasi, kama maelekezo ya sehemu. Ni Descartes aliyependekeza kuteuliwa kwa nambari iliyoinuliwa kwa mamlaka ya kuonyeshwa kama fomula ya hadithi mbili. n .