Kujifunza logarithm kutoka mwanzo. Mali ya logarithms na mifano ya ufumbuzi wao

(kutoka kwa Kigiriki λόγος - "neno", "uhusiano" na ἀριθμός - "idadi") nambari b kulingana na a(logi α b) inaitwa nambari kama hiyo c, Na b= a c, yaani, rekodi za kumbukumbu α b=c Na b=ac ni sawa. Logariti inaeleweka ikiwa a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Kwa maneno mengine logarithm nambari b kulingana na A imeundwa kama kipeo ambapo nambari lazima iongezwe a kupata namba b(logarithm ipo kwa nambari chanya pekee).

Kutoka kwa uundaji huu inafuata kwamba hesabu x= logi α b, ni sawa na kusuluhisha mlinganyo a x =b.

Kwa mfano:

logi 2 8 = 3 kwa sababu 8 = 2 3 .

Hebu tusisitize kwamba uundaji ulioonyeshwa wa logarithm hufanya iwezekanavyo kuamua mara moja thamani ya logarithm, wakati nambari iliyo chini ya ishara ya logarithmu inafanya kazi kama nguvu fulani ya msingi. Hakika, uundaji wa logarithm hufanya iwezekane kuhalalisha kwamba ikiwa b=a c, kisha logariti ya nambari b kulingana na a sawa Na. Pia ni wazi kuwa mada ya logarithms inahusiana kwa karibu na mada nguvu za nambari.

Kuhesabu logarithm inaitwa logarithm. Logarithm ni operesheni ya hisabati kuchukua logarithm. Wakati wa kuchukua logarithms, bidhaa za mambo hubadilishwa kuwa jumla ya maneno.

Uwezo ni uendeshaji kinyume cha hisabati wa logarithm. Wakati wa uwezo, msingi fulani huinuliwa hadi kiwango cha kujieleza ambacho uwezo unafanywa. Katika kesi hii, jumla ya maneno hubadilishwa kuwa bidhaa ya sababu.

Mara nyingi, logariti halisi hutumiwa na besi 2 (binary), nambari ya Euler e ≈ 2.718 (logarithm asilia) na 10 (desimali).

Washa katika hatua hii inashauriwa kuzingatia sampuli za logarithm logi 72 , ln √ 5, lg0.0001.

Na maingizo lg(-3), logi -3 3.2, logi -1 -4.3 hayana maana, kwani katika kwanza yao nambari hasi imewekwa chini ya ishara ya logarithm, kwa pili - nambari hasi katika msingi, na katika tatu - wote nambari hasi chini ya ishara ya logarithm na kitengo katika msingi.

Masharti ya kuamua logarithm.

Inafaa kuzingatia kando masharti a > 0, a ≠ 1, b > 0. ambayo tunapata ufafanuzi wa logarithm. Hebu tuchunguze kwa nini vikwazo hivi vilichukuliwa. Usawa wa fomu x = logi α itatusaidia na hili b, inayoitwa kitambulisho cha msingi cha logarithmic, ambacho hufuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm iliyotolewa hapo juu.

Hebu tuchukue hali a≠1. Kwa kuwa moja kwa nguvu yoyote ni sawa na moja, basi usawa x=logi α b inaweza kuwepo tu wakati b=1, lakini logi 1 1 itakuwa nambari yoyote halisi. Ili kuondoa utata huu, tunachukua a≠1.

Hebu tuthibitishe umuhimu wa hali hiyo a>0. Katika a=0 kulingana na uundaji wa logarithm inaweza kuwepo tu wakati b=0. Na ipasavyo basi logi 0 inaweza kuwa nambari yoyote halisi isiyo ya sifuri, kwani sifuri kwa nguvu yoyote isiyo ya sifuri ni sifuri. Utata huu unaweza kuondolewa na hali hiyo a≠0. Na lini a<0 itabidi tukatae uchanganuzi wa maadili ya kimantiki na yasiyo na mantiki ya logariti, kwa kuwa shahada yenye kielelezo cha busara na kisicho na maana hufafanuliwa tu kwa misingi isiyo hasi. Ni kwa sababu hii kwamba hali hiyo imeainishwa a>0.

NA hali ya mwisho b>0 hufuata kutoka kwa usawa a>0, kwa kuwa x=logi α b, na thamani ya shahada yenye msingi chanya a daima chanya.

Vipengele vya logarithms.

Logarithms sifa ya kutofautisha vipengele, ambayo ilisababisha matumizi yao kuenea ili kuwezesha kwa kiasi kikubwa mahesabu yenye uchungu. Wakati wa kuhamia "ulimwengu wa logariti," kuzidisha kunabadilishwa na mengi zaidi kukunja kwa urahisi, mgawanyiko ni kutoa, na ufafanuzi na uchimbaji wa mizizi hubadilishwa, kwa mtiririko huo, kuwa kuzidisha na kugawanya na kielelezo.

Uundaji wa logariti na jedwali la maadili yao (kwa kazi za trigonometric) ilichapishwa kwa mara ya kwanza mwaka wa 1614 na mwanahisabati wa Uskoti John Napier. Jedwali za logarithmic, zilizopanuliwa na kuelezewa kwa kina na wanasayansi wengine, zilitumiwa sana katika hesabu za kisayansi na uhandisi, na zilibaki muhimu hadi matumizi ya vikokotoo vya kielektroniki na kompyuta.

Logarithm ya nambari N kulingana na A inayoitwa kielelezo X , ambayo unahitaji kujenga A kupata namba N

Isipokuwa hivyo
,
,

Kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata hiyo
, i.e.
- usawa huu ni kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Logariti hadi msingi 10 huitwa logariti za desimali. Badala ya
andika
.

Logarithm kwa msingi e huitwa asili na huteuliwa
.

Mali ya msingi ya logarithms.

Logarithm ya moja katika msingi wowote sawa na sifuri

Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithms ya sababu.

3) Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti

Sababu
inayoitwa moduli ya mpito kutoka logariti hadi msingi a kwa logarithm kwenye msingi b .

Kutumia mali 2-5, mara nyingi inawezekana kupunguza logarithm ya usemi tata kwa matokeo ya shughuli rahisi za hesabu kwenye logarithms.

Kwa mfano,

Mabadiliko kama haya ya logarithm huitwa logarithms. Mabadiliko kinyume na logarithmu huitwa potentiation.

Sura ya 2. Vipengele vya hisabati ya juu.

1. Mipaka

Kikomo cha chaguo la kukokotoa
ni nambari A ikiwa, kama xx 0 kwa kila iliyoamuliwa mapema
, kuna idadi kama hiyo
hiyo mara tu
, Hiyo
.

Chaguo za kukokotoa ambazo zina kikomo hutofautiana nayo kwa kiasi kisicho na kikomo:
, wapi- b.m.v., i.e.
.

Mfano. Fikiria kazi
.

Wakati wa kujitahidi
, kazi y inaelekea sifuri:

1.1. Nadharia za msingi kuhusu mipaka.

Kikomo thamani ya kudumu sawa na thamani hii ya kudumu

Kiasi (tofauti) kikomo nambari ya mwisho kazi ni sawa na jumla (tofauti) ya mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha bidhaa cha idadi maalum ya vitendaji sawa na bidhaa mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha mgawo wa kazi mbili ni sawa na mgawo wa mipaka ya kazi hizi ikiwa kikomo cha denominator sio sifuri.

Mipaka ya Ajabu

,
, wapi

1.2. Kikomo cha Mifano ya Kukokotoa

Walakini, sio mipaka yote inayohesabiwa kwa urahisi. Mara nyingi zaidi, kuhesabu kikomo kunashuka hadi kufichua kutokuwa na uhakika wa aina: au .

2. Nyingi ya kitendakazi

Hebu tuwe na kazi
, inayoendelea kwenye sehemu
.

Hoja alipata ongezeko fulani
. Kisha kazi itapokea nyongeza
.

Thamani ya hoja inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa
.

Thamani ya hoja
inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa.

Kwa hivyo,.

Wacha tupate kikomo cha uwiano huu
. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi inaitwa derivative ya kazi iliyotolewa.

Ufafanuzi wa 3 Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizotolewa
kwa hoja inaitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la hoja, wakati nyongeza ya hoja kiholela inaelekea sifuri.

Nyingi ya chaguo za kukokotoa
inaweza kuteuliwa kama ifuatavyo:

; ; ; .

Ufafanuzi 4Uendeshaji wa kutafuta derivative ya kitendakazi huitwa utofautishaji.

2.1. Maana ya mitambo ya derivative.

Wacha tuzingatie mwendo wa mstatili wa sehemu fulani ngumu ya mwili au nyenzo.

Wacha kwa wakati fulani hatua ya kusonga
alikuwa kwa mbali kutoka nafasi ya kuanzia
.

Baada ya muda fulani
akasogea mbali
. Mtazamo =- kasi ya wastani nyenzo uhakika
. Hebu tupate kikomo cha uwiano huu, kwa kuzingatia hilo
.

Kwa hiyo, ufafanuzi kasi ya papo hapo mwendo wa nyenzo unashuka hadi kupata derivative ya njia kwa heshima na wakati.

2.2. Maana ya kijiometri derivative

Hebu tuwe na kazi iliyofafanuliwa kwa michoro
.

Mchele. 1. Maana ya kijiometri ya derivative

Kama
, kisha onyesha
, itasonga kando ya curve, inakaribia hatua
.

Kwa hiyo
, i.e. thamani ya derivative kwa thamani fulani ya hoja kiidadi sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjiti katika sehemu fulani yenye mwelekeo chanya wa mhimili.
.

2.3. Jedwali la kanuni za kimsingi za utofautishaji.

Kazi ya nguvu

Utendakazi wa kielelezo

Utendaji wa logarithmic

Kazi ya Trigonometric

Kitendaji kinyume cha trigonometriki

2.4. Kanuni za kutofautisha.

Inayotokana na

Inatokana na jumla (tofauti) ya chaguo za kukokotoa

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili

Inayotokana na mgawo wa vitendaji viwili

2.5. Inayotokana na kazi tata.

Acha kazi itolewe
hivi kwamba inaweza kuwakilishwa katika fomu

Na
, ambapo kutofautiana ni hoja ya kati, basi

Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo la kukokotoa la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na x.

Mfano 1.

Mfano 2.

3. Kazi tofauti.

Hebu iwepo
, inaweza kutofautishwa kwa muda fulani
acha iende katika kipengele hiki cha kukokotoa kina derivative

basi tunaweza kuandika

(1),

Wapi - idadi isiyo na kikomo,

tangu lini

Kuzidisha masharti yote ya usawa (1) kwa
tuna:

Wapi
- b.m.v. hali ya juu.

Ukubwa
inayoitwa tofauti ya kazi
na imeteuliwa

3.1. Thamani ya kijiometri ya tofauti.

Acha kazi itolewe
.

Mtini.2. Maana ya kijiometri ya tofauti.

Ni wazi, tofauti ya kazi
ni sawa na ongezeko la mratibu wa tanjiti katika hatua fulani.

3.2. Derivatives na tofauti za maagizo mbalimbali.

Ikiwa huko
, Kisha
inaitwa derivative ya kwanza.

Derivative ya derivative ya kwanza inaitwa derivative ya utaratibu wa pili na imeandikwa
.

Inatokana na mpangilio wa nth wa chaguo za kukokotoa
inaitwa derivative ya (n-1)th na imeandikwa:

Tofauti ya tofauti ya kazi inaitwa tofauti ya pili au ya pili ya utaratibu.

.

.

3.3 Kutatua matatizo ya kibiolojia kwa kutumia upambanuzi.

Jukumu la 1. Uchunguzi umeonyesha kwamba ukuaji wa koloni ya microorganisms hutii sheria
, wapi N - idadi ya vijidudu (kwa maelfu); t - wakati (siku).

b) Je, watu wa koloni wataongezeka au kupungua katika kipindi hiki?

Jibu. Saizi ya koloni itaongezeka.

Kazi ya 2. Maji katika ziwa hujaribiwa mara kwa mara ili kufuatilia maudhui ya bakteria ya pathogenic. Kupitia t siku baada ya kupima, mkusanyiko wa bakteria imedhamiriwa na uwiano

Ni lini ziwa litakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria na itawezekana kuogelea ndani yake?

Suluhisho: Chaguo za kukokotoa hufika kiwango cha juu au chini wakati kitoweo chake ni sifuri.

Wacha tubainishe idadi ya juu au chini itakuwa ndani ya siku 6. Ili kufanya hivyo, hebu tuchukue derivative ya pili.

Jibu: Baada ya siku 6 kutakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria.

Moja ya vipengele vya algebra ya kiwango cha awali ni logarithm. Jina linatoka Lugha ya Kigiriki kutoka kwa neno "nambari" au "nguvu" na inamaanisha kiwango ambacho nambari katika msingi lazima iongezwe ili kupata nambari ya mwisho.

Aina za logarithm

logi a b - logarithm ya nambari b kuweka msingi a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
logi b - logarithm ya decimal (logarithm hadi msingi 10, a = 10);
ln b - logarithm asili (logarithm kwa msingi e, a = e).

Jinsi ya kutatua logarithms?

Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo kinachohitaji b kuinuliwa hadi msingi a. Matokeo yaliyopatikana yanatamkwa kama hii: "logarithm ya b hadi msingi a." Suluhisho la shida za logarithmic ni kwamba unahitaji kuamua nguvu uliyopewa kwa nambari nambari zilizoonyeshwa. Kuna baadhi ya sheria za msingi za kuamua au kutatua logariti, na pia kubadilisha nukuu yenyewe. Kwa kuzitumia, suluhisho hufanywa milinganyo ya logarithmic, derivatives hupatikana, viambatanisho vinatatuliwa, na shughuli nyingine nyingi zinafanywa. Kimsingi, suluhisho la logarithm yenyewe ni nukuu iliyorahisishwa. Ifuatayo ni kanuni za msingi na sifa:

Kwa yoyote a; a> 0; a ≠ 1 na kwa x yoyote; y > 0.

logi a b = b - msingi kitambulisho cha logarithmic
andika 1 = 0
alama a = 1
logi a (x y) = logi a x + logi y
logi a x/ y = weka x - andika y
weka 1/x = -logi a x
logi a x p = p logi a x
logi a k x = 1/k logi a x , kwa k ≠ 0
logi a x = logi a c x c
logi a x = logi b x/ logi b a - fomula ya kuhamia msingi mpya
logi a x = 1/logi x a

Jinsi ya kutatua logarithms - maagizo ya hatua kwa hatua ya kutatua

Kwanza, andika equation inayohitajika.

Tafadhali kumbuka: ikiwa logarithm ya msingi ni 10, basi ingizo limefupishwa, na kusababisha logarithm ya desimali. Ikiwa inafaa nambari ya asili e, basi tunaiandika, kuipunguza kwa logarithm ya asili. Hii ina maana kwamba matokeo ya logariti zote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inainuliwa ili kupata nambari b.

Moja kwa moja, suluhisho liko katika kuhesabu shahada hii. Kabla ya kusuluhisha usemi na logarithm, lazima iwe rahisi kulingana na sheria, ambayo ni, kwa kutumia fomula. Unaweza kupata utambulisho kuu kwa kurudi nyuma kidogo katika makala.

Kuongeza na kutoa logariti na mbili nambari tofauti, lakini kwa besi sawa, badala ya logarithm moja na bidhaa au mgawanyiko wa namba b na c, kwa mtiririko huo. Katika kesi hii, unaweza kutumia formula ya kuhamia msingi mwingine (tazama hapo juu).

Ikiwa unatumia misemo kurahisisha logariti, kuna mapungufu ya kuzingatia. Na hiyo ni: msingi wa logarithm a ni nambari chanya tu, lakini sivyo sawa na moja. Nambari b, kama a, lazima iwe kubwa kuliko sifuri.

Kuna matukio ambapo, kwa kurahisisha usemi, hutaweza kukokotoa logariti ndani fomu ya nambari. Inatokea kwamba usemi kama huo hauna maana, kwa sababu nguvu nyingi ni nambari zisizo na maana. Chini ya hali hii, acha nguvu ya nambari kama logarithm.

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio sawa nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo zinaitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao hakuna shida moja kubwa inayoweza kutatuliwa. tatizo la logarithmic. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: logi a x na logi a y. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logi a x+ logi a y=logi a (x · y);
logi a x− logi a y=logi a (x : y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Kumbuka: wakati muhimu Hapa - misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kuhesabu usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake za kibinafsi hazihesabiwi (tazama somo "Logarithm ni nini"). Angalia mifano na uone:

Nambari 6 4 + logi 6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
gogo 6 4 + logi 6 9 = gogo 6 (4 9) = gogo 6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 2 48 - logi 2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
gogo 2 48 - gogo 2 3 = gogo 2 (48: 3) = logi 2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 3 135 - logi 3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
gogo 3 135 - gogo 3 5 = gogo 3 (135: 5) = logi 3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko yanageuka kabisa nambari za kawaida. Wengi wamejengwa juu ya ukweli huu karatasi za mtihani. Vipi kuhusu vidhibiti? maneno yanayofanana kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) hutolewa kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kutambua hilo kanuni ya mwisho hufuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Kwa kweli, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake, i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 7 49 6 .

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
kumbukumbu 7 49 6 = 6 kumbukumbu 7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu halisi: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tuna:

[Maelezo ya picha]

Nadhani mfano wa mwisho ufafanuzi unahitajika. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: logi 2 7. Tangu logi 2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logi ya logarithm itolewe a x. Kisha kwa nambari yoyote c vile vile c> 0 na c≠ 1, usawa ni kweli:
[Maelezo ya picha]
Hasa, ikiwa tunaweka c = x, tunapata:
[Maelezo ya picha]

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani katika kawaida maneno ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 5 16 logi 2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: logi 5 16 = logi 5 2 4 = 4log 5 2; logi 2 25 = logi 2 5 2 = 2logi 2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

[Maelezo ya picha]

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

[Maelezo ya picha]

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

[Maelezo ya picha]

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kiashirio cha shahada inayosimama katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa: kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b kuongeza nguvu kiasi kwamba idadi b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: unapata nambari hii sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:
[Maelezo ya picha]

Kumbuka kwamba logi 25 64 = logi 5 8 - ilichukua tu mraba kutoka msingi na hoja ya logarithm. Kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi huo huo, tunapata:

[Maelezo ya picha]

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

logi a a= 1 ni kitengo cha logarithmic. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote a kutoka kwa msingi huu ni sawa na moja.
logi a 1 = 0 ni logarithmic sifuri. Msingi a inaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logarithm ni sawa na sifuri! Kwa sababu a 0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Hebu tuanze na sifa za logarithm ya moja. Muundo wake ni kama ifuatavyo: logarithm ya umoja ni sawa na sifuri, ambayo ni, weka 1=0 kwa yoyote a>0, a≠1. Uthibitisho sio mgumu: kwa kuwa 0 =1 kwa hali yoyote ya kukidhi a>0 na a≠1, basi logi ya usawa 1=0 kuthibitishwa hufuata mara moja kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm.

Wacha tutoe mifano ya matumizi ya mali inayozingatiwa: logi 3 1=0, log1=0 na.

Wacha tuendelee kwenye mali inayofuata: logarithm ya nambari, sawa na msingi, sawa na moja, hiyo ni, logi a=1 kwa >0, a≠1. Hakika, kwa kuwa 1 =a kwa yoyote a, basi kwa ufafanuzi logi ya logarithm a=1 .

Mifano ya kutumia sifa hii ya logariti ni logi ya usawa 5 5=1, logi 5.6 5.6 na lne=1.

Kwa mfano, logi 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 na .

Logarithm ya bidhaa ya mbili nambari chanya x na y ni sawa na bidhaa ya logariti za nambari hizi: logi a (x y)=logi x+logi a y, a>0 , a≠1 . Hebu tuthibitishe mali ya logarithm ya bidhaa. Kutokana na sifa za shahada gogo a x+logi a y =a logi a x ·a logi y, na kwa kuwa kwa kitambulisho kikuu cha logarithmic logi a x =x na logi a y =y, basi logi a x ·a logi a y =x·y. Kwa hivyo, logi a x+logi a y =x·y, ambayo, kwa ufafanuzi wa logariti, usawa unathibitishwa ifuatavyo.

Hebu tuonyeshe mifano ya kutumia sifa ya logaritimu ya bidhaa: logi 5 (2 3)=logi 5 2+logi 5 3 na .

Sifa ya logariti ya bidhaa inaweza kujumlishwa kuwa bidhaa ya nambari kikomo n ya nambari chanya x 1 , x 2 , …, x n kama logi a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= weka x 1 +logi a x 2 +…+logi a x n . Usawa huu unaweza kuthibitishwa bila matatizo.

Kwa mfano, logarithm ya asili ya bidhaa inaweza kubadilishwa na jumla ya tatu logarithms asili nambari 4 , e , na .

Logarithm ya mgawo wa nambari mbili chanya x na y ni sawa na tofauti kati ya logariti za nambari hizi. Sifa ya logariti ya mgawo inalingana na fomula ya fomu , ambapo a>0, a≠1, x na y ni baadhi ya nambari chanya. Uhalali wa fomula hii umethibitishwa pamoja na fomula ya logarithm ya bidhaa: tangu , kisha kwa ufafanuzi wa logarithm.

Hapa kuna mfano wa kutumia mali hii ya logarithm: .

Hebu tuendelee mali ya logarithm ya nguvu. Logariti ya shahada ni sawa na bidhaa ya kipeo na logariti ya moduli ya msingi wa shahada hii. Wacha tuandike mali hii ya logarithm ya nguvu kama fomula: logi a b p =p·logi a |b|, ambapo a>0, a≠1, b na p ni nambari hivi kwamba digrii b p inaeleweka na b p >0.

Kwanza tunathibitisha mali hii kwa chanya b. Utambulisho wa msingi wa logarithmic huturuhusu kuwakilisha nambari b kama logi a b , kisha b p =(a logi a b) p , na usemi unaotokana, kwa sababu ya sifa ya nguvu, ni sawa na p·log a b . Kwa hivyo tunafikia usawa b p =a p·log a b, ambayo, kwa ufafanuzi wa logariti, tunahitimisha kuwa logi a b p =p·log a b.

Inabakia kuthibitisha mali hii kwa hasi b. Hapa tunaona kuwa usemi wa logi a b p kwa hasi b unaeleweka tu kwa vielelezo p (kwani thamani ya digrii b p lazima iwe kubwa kuliko sifuri, kwa vinginevyo logarithm haitakuwa na maana), na katika kesi hii b p =|b| uk. Kisha b p =|b| p =(logi a |b|) p =a p·logi a |b|, kutoka ambapo logi a b p =p·log a |b| .

Kwa mfano, na ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Inafuata kutoka kwa mali iliyotangulia mali ya logarithm kutoka kwa mizizi: logariti ya mzizi wa nth ni sawa na bidhaa ya sehemu 1/n kwa logariti ya usemi mkali, yaani, , ambapo a>0, a≠1, n – nambari asilia, zaidi ya moja, b>0 .

Uthibitisho unatokana na usawa (tazama), ambao ni halali kwa b yoyote chanya, na mali ya logarithm ya nguvu: .

Hapa kuna mfano wa kutumia mali hii: .

Sasa hebu tuthibitishe fomula ya kuhamia msingi mpya wa logarithm aina . Ili kufanya hivyo, inatosha kuthibitisha uhalali wa logi ya usawa c b=log a b·log c a. Kitambulisho cha msingi cha logarithmic huturuhusu kuwakilisha nambari b kama logi a b , kisha logi c b=log c a logi a b . Inabakia kutumia mali ya logarithm ya shahada: logi c logi a b =logi a b logi c a. Hii inathibitisha logi ya usawa c b=log a b·log c a, ambayo ina maana kwamba fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm pia imethibitishwa.

Wacha tuonyeshe mifano michache ya kutumia mali hii ya logarithms: na .

Fomula ya kuhamia msingi mpya hukuruhusu kuendelea kufanya kazi na logariti ambazo zina msingi "rahisi". Kwa mfano, inaweza kutumika kwenda kwa logariti asilia au desimali ili uweze kukokotoa thamani ya logariti kutoka kwa jedwali la logariti. Fomula ya kuhamia msingi mpya wa logariti pia inaruhusu, katika hali nyingine, kupata thamani ya logariti fulani wakati thamani za logariti fulani zilizo na besi zingine zinajulikana.

Kutumika mara kwa mara kesi maalum fomula za mpito hadi msingi mpya wa logariti yenye c=b ya fomu . Hii inaonyesha kuwa logi a b na logi b a - . Kwa mfano, .

Fomula pia hutumiwa mara nyingi , ambayo ni rahisi kupata maadili ya logarithm. Ili kuthibitisha maneno yetu, tutaonyesha jinsi yanavyoweza kutumika kukokotoa thamani ya logariti ya fomu . Tuna . Ili kuthibitisha formula inatosha kutumia fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm a: .

Inabakia kuthibitisha mali ya kulinganisha ya logarithms.

Wacha tuthibitishe hilo kwa nambari zozote chanya b 1 na b 2, b 1 log a b 2 , na kwa a>1 - logi ya ukosefu wa usawa b 1

Hatimaye, inabakia kuthibitisha mwisho wa mali zilizoorodheshwa za logarithms. Hebu tujiwekee mipaka kwa uthibitisho wa sehemu yake ya kwanza, yaani, tutathibitisha kwamba ikiwa 1 >1, a 2 >1 na 1. 1 ni logi ya kweli a 1 b>logi a 2 b . Taarifa zilizobaki za mali hii ya logarithms zinathibitishwa kulingana na kanuni sawa.

Wacha tutumie njia iliyo kinyume. Tuseme kwamba kwa 1 > 1, 2 > 1 na 1 1 ni logi ya kweli a 1 b≤log a 2 b . Kulingana na sifa za logariti, kukosekana kwa usawa hizi kunaweza kuandikwa upya kama Na kwa mtiririko huo, na kutoka kwao inafuata kwamba logi b a 1 ≤logi b a 2 na logi b a 1 ≥logi b a 2, kwa mtiririko huo. Kisha, kwa mujibu wa mali ya mamlaka yenye misingi sawa, usawa b logi b a 1 ≥b logi b a 2 na b logi b a 1 ≥b logi b a 2 lazima kushikilia, yaani, 1 ≥a 2 . Kwa hivyo tulikuja kwa kupingana na hali ya 1

Bibliografia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. na wengine Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha kiada kwa darasa la 10 - 11 la taasisi za elimu ya jumla.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi).