Wakati logarithm ni sifuri. Logarithm ni nini? Kutatua logarithm

Kwa hivyo, tuna nguvu mbili. Ikiwa unachukua nambari kutoka kwa mstari wa chini, unaweza kupata kwa urahisi nguvu ambayo itabidi kuinua mbili ili kupata nambari hii. Kwa mfano, kupata 16, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi nne. Na kupata 64, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi sita. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza.

Na sasa - kwa kweli, ufafanuzi wa logarithm:

Msingi wa logariti ya x ni nguvu ambayo lazima iinulishwe ili kupata x.

Uteuzi: logi a x = b, ambapo a ni msingi, x ni hoja, b ni nini logarithm ni sawa na.

Kwa mfano, 2 3 = 8 ⇒ logi 2 8 = 3 (msingi 2 logarithm ya 8 ni tatu kwa sababu 2 3 = 8). Na logi sawa ya mafanikio 2 64 = 6, kwani 2 6 = 64.

Uendeshaji wa kutafuta logariti ya nambari kwa msingi fulani huitwa logarithmization. Kwa hivyo, wacha tuongeze mstari mpya kwenye meza yetu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
kumbukumbu 2 2 = 1	kumbukumbu 2 4 = 2	kumbukumbu 2 8 = 3	kumbukumbu 2 16 = 4	kumbukumbu 2 32 = 5	kumbukumbu 2 64 = 6

Kwa bahati mbaya, sio logarithm zote zinahesabiwa kwa urahisi sana. Kwa mfano, jaribu kutafuta logi 2 5 . Nambari ya 5 haiko kwenye jedwali, lakini mantiki inaamuru kwamba logarithm italala mahali fulani kwenye sehemu. Kwa sababu 22< 5 < 2 3 , а чем shahada zaidi wawili, idadi kubwa.

Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana: nambari baada ya nukta ya desimali zinaweza kuandikwa ad infinitum, na hazirudiwi kamwe. Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, ni bora kuiacha kwa njia hiyo: logi 2 5, logi 3 8, logi 5 100.

Ni muhimu kuelewa kwamba logarithm ni usemi wenye vigezo viwili (msingi na hoja). Mara ya kwanza, watu wengi huchanganya wapi msingi ulipo na wapi hoja. Ili kuepuka kutoelewana kwa kuudhi, angalia tu picha:

Kabla yetu hakuna chochote zaidi ya ufafanuzi wa logarithm. Kumbuka: logarithm ni nguvu, ambayo msingi lazima ujengwe ili kupata hoja. Ni msingi ambao umeinuliwa hadi nguvu - imeangaziwa kwa rangi nyekundu kwenye picha. Inatokea kwamba msingi ni daima chini! Ninawaambia wanafunzi wangu sheria hii nzuri katika somo la kwanza kabisa - na hakuna mkanganyiko unaotokea.

Tumegundua ufafanuzi - kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuhesabu logarithms, i.e. ondoa ishara ya "logi". Kuanza, tunaona kwamba mambo mawili muhimu yanafuata kutoka kwa ufafanuzi:

Hoja na msingi lazima iwe kubwa kuliko sufuri kila wakati. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa shahada kiashiria cha busara, ambayo ufafanuzi wa logarithm inakuja chini.
Msingi lazima uwe tofauti na moja, kwa kuwa moja kwa shahada yoyote bado inabaki moja. Kwa sababu hii, swali "ni kwa nguvu gani mtu anapaswa kuinuliwa ili kupata mbili" haina maana. Hakuna degree kama hiyo!

Vikwazo vile huitwa mkoa maadili yanayokubalika (ODZ). Inabadilika kuwa ODZ ya logariti inaonekana kama hii: logi a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Kumbuka kuwa hakuna vizuizi kwa nambari b (thamani ya logarithm). Kwa mfano, logariti inaweza kuwa hasi: logi 2 0.5 = -1, kwa sababu 0.5 = 2 -1.

Walakini, sasa tunazingatia maneno ya nambari tu, ambapo haihitajiki kujua VA ya logarithm. Vikwazo vyote tayari vimezingatiwa na waandishi wa matatizo. Lakini wakati milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa unapoanza kutumika, mahitaji ya DL yatakuwa ya lazima. Baada ya yote, msingi na hoja inaweza kuwa na miundo yenye nguvu sana ambayo si lazima yanahusiana na vikwazo hapo juu.

Sasa hebu tufikirie mpango wa jumla kuhesabu logarithm. Inajumuisha hatua tatu:

Eleza msingi a na hoja x kama nguvu yenye msingi wa chini unaowezekana zaidi ya mmoja. Njiani, ni bora kuondokana na decimals;
Tatua mlinganyo wa kutofautisha b: x = a b;
Nambari inayotokana b itakuwa jibu.

Ni hayo tu! Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, hii itaonekana tayari katika hatua ya kwanza. Mahitaji ya kuwa msingi zaidi ya moja, inafaa sana: inapunguza uwezekano wa makosa na kurahisisha mahesabu. Sawa na desimali: ikiwa utazibadilisha mara moja kuwa za kawaida, kutakuwa na makosa mengi machache.

Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 5 25

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tano: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Tulipata jibu: 2.

Kazi. Kuhesabu logarithm:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 4 64

Wacha tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Tulipata jibu: 3.

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 16 1

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Wacha tuunda na kutatua equation:
logi 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Tulipokea jibu: 0.

Kazi. Kokotoa logariti: logi 7 14

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya saba: 7 = 7 1 ; 14 haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya saba, kwani 7 1< 14 < 7 2 ;
Kutoka aya iliyotangulia inafuata kwamba logarithm haihesabu;
Jibu sio mabadiliko: logi 7 14.

noti ndogo kwa mfano wa mwisho. Unawezaje kuwa na uhakika kwamba nambari sio nguvu kamili ya nambari nyingine? Ni rahisi sana - tu kuvunja ndani sababu kuu. Ikiwa upanuzi una angalau mambo mawili tofauti, nambari sio nguvu halisi.

Kazi. Jua ikiwa nambari ni nguvu kamili: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - shahada halisi, kwa sababu kuna kizidishi kimoja tu;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - sio nguvu halisi, kwa kuwa kuna mambo mawili: 3 na 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - shahada halisi;
35 = 7 · 5 - tena si nguvu halisi;
14 = 7 · 2 - tena si shahada halisi;

Tutambue pia kwamba sisi wenyewe nambari kuu daima ni digrii zao wenyewe.

Logariti ya decimal

Baadhi ya logariti ni ya kawaida sana kwamba wana jina maalum na ishara.

Logariti ya desimali ya x ni logariti hadi msingi 10, i.e. Nguvu ambayo nambari 10 lazima iongezwe ili kupata nambari x. Wajibu: lg x.

Kwa mfano, logi 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - nk.

Kuanzia sasa na kuendelea, wakati kifungu kama "Pata lg 0.01" kinapoonekana kwenye kitabu cha kiada, ujue kuwa hii sio kosa la kuandika. Hii ni logariti ya desimali. Hata hivyo, ikiwa hufahamu nukuu hii, unaweza kuiandika upya kila wakati:
logi x = logi 10 x

Kila kitu ambacho ni kweli kwa logariti za kawaida pia ni kweli kwa logariti za desimali.

Logarithm ya asili

Kuna logarithm nyingine ambayo ina jina lake. Kwa njia fulani, ni muhimu zaidi kuliko decimal. Ni kuhusu kuhusu logarithm asili.

Logariti asilia ya x ni logariti hadi msingi e, i.e. nguvu ambayo nambari e inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari x. Wajibu: ln x .

Wengi watauliza: nambari e ni nini? Hii nambari isiyo na mantiki, yake thamani halisi haiwezekani kupata na kurekodi. Nitatoa tu takwimu za kwanza:
e = 2.718281828459...

Hatutaingia kwa undani juu ya nambari hii ni nini na kwa nini inahitajika. Kumbuka tu kuwa e ndio msingi wa logarithm asilia:
ln x = logi e x

Hivyo ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - nk. Kwa upande mwingine, ln 2 ni nambari isiyo na maana. Kwa ujumla, logarithm ya asili ya yoyote nambari ya busara isiyo na mantiki. Isipokuwa, kwa kweli, kwa moja: ln 1 = 0.

Kwa logarithms asili sheria zote ambazo ni kweli kwa logarithm za kawaida ni halali.

mali kuu.

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Angalia pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

4. Wapi .

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio sawa nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo zinaitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao hakuna shida moja kubwa inayoweza kutatuliwa. tatizo la logarithmic. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Kumbuka: wakati muhimu Hapa - misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kuhesabu usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake za kibinafsi hazihesabiwi (tazama somo "Logarithm ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko yanageuka kabisa nambari za kawaida. Wengi wamejengwa juu ya ukweli huu karatasi za mtihani. Vipi kuhusu vidhibiti? maneno yanayofanana kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) hutolewa kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kutambua hilo kanuni ya mwisho hufuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa kawaida maneno ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa tuachane nayo logarithm ya desimali, kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama kanuni za mpito hadi msingi mpya, kuu kitambulisho cha logarithmic wakati mwingine ni suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi huo huo, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja - logarithm sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Angalia pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni hata kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Muhimu au logarithm ya antiderivative kuamuliwa na utegemezi

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano kwa logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

4. Wapi .

Kwa mwonekano usemi changamano kutumia idadi ya sheria ni rahisi kuunda

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithms. Kiwango cha kwanza.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mwingine sio chini mada muhimu- usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wake. Na kwa hivyo logarithm ya nambari b kulingana na A inafafanuliwa kama kipeo ambapo nambari lazima ipandishwe a kupata namba b(logarithm ipo kwa nambari chanya pekee).

Kutoka kwa uundaji huu inafuata kwamba hesabu x=logi a b, ni sawa na kutatua mlinganyo x =b. Kwa mfano, kumbukumbu 2 8 = 3 kwa sababu 8 = 2 3 . Uundaji wa logarithm hufanya iwezekane kuhalalisha kwamba ikiwa b=a c, kisha logariti ya nambari b kulingana na a sawa Na. Pia ni wazi kuwa mada ya logarithms inahusiana kwa karibu na mada ya nguvu za nambari.

Ukiwa na logariti, kama ilivyo kwa nambari yoyote, unaweza kufanya shughuli za kuongeza, kutoa na kubadilisha kila njia iwezekanavyo. Lakini kutokana na ukweli kwamba logarithms sio nambari za kawaida kabisa, sheria zao maalum zinatumika hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti.

Wacha tuchukue logariti mbili zilizo na misingi sawa: logi a x Na logi a y. Basi inawezekana kufanya shughuli za kuongeza na kutoa:

weka logi ya x+ a y= logi a (x·y);

logi a x - weka y = logi a (x:y).

logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi a x 1 + logi a x 2 + logi a x 3 + ... + logi a x k.

Kutoka nadharia ya mgawo wa logarithm Mali moja zaidi ya logarithm inaweza kupatikana. Ni maarifa ya kawaida kwamba logi a 1= 0, kwa hivyo

logi a 1 /b= logi a 1 - logi a b= -logi a b.

Hii inamaanisha kuwa kuna usawa:

logi a 1 / b = - logi a b.

Logariti za nambari mbili zinazofanana kwa sababu hiyo hiyo itatofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa ishara. Kwa hivyo:

Mgogo 3 9= - logi 3 1 / 9; logi 5 1 / 125 = -logi 5 125.

Logariti ya nambari b (b > 0) kuweka msingi a (a > 0, a ≠ 1)- kielelezo ambacho nambari a lazima ipandishwe ili kupata b.

Logariti 10 ya msingi ya b inaweza kuandikwa kama logi(b), na logariti kwa base e (logarithm asilia) ni ln(b).

Mara nyingi hutumika wakati wa kutatua shida na logarithms:

Tabia za logarithm

Kuna nne kuu sifa za logarithm.

Acha > 0, a ≠ 1, x > 0 na y > 0.

Mali 1. Logarithm ya bidhaa

Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithm:

log a (x ⋅ y) = logi a x + logi y

Mali 2. Logarithm ya mgawo

Logarithm ya mgawo sawa na tofauti ya logarithms:

logi a (x / y) = logi a x - andika y

Mali 3. Logarithm ya nguvu

Logarithm ya shahada sawa na bidhaa nguvu kwa logarithm:

Ikiwa msingi wa logarithm iko katika digrii, basi formula nyingine inatumika:

Mali 4. Logarithm ya mizizi

Mali hii inaweza kupatikana kutoka kwa mali ya logarithm ya nguvu, tangu mzizi wa nguvu ya nth sawa na nguvu 1/n:

Mfumo wa kubadilisha kutoka logariti katika besi moja hadi logariti katika besi nyingine

Njia hii pia hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua kazi mbalimbali kwenye logarithms:

Kesi maalum:

Kulinganisha logariti (kutokuwa na usawa)

Wacha tuwe na vitendaji 2 f(x) na g(x) chini ya logariti zilizo na besi sawa na kati yao kuna ishara ya kukosekana kwa usawa:

Ili kuzilinganisha, unahitaji kwanza kuangalia msingi wa logarithms:

Ikiwa a > 0, basi f(x) > g(x) > 0
Ikiwa 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jinsi ya kutatua shida na logarithm: mifano

Matatizo na logarithms iliyojumuishwa katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati kwa daraja la 11 katika kazi ya 5 na kazi ya 7, unaweza kupata kazi na ufumbuzi kwenye tovuti yetu katika sehemu zinazofaa. Pia, kazi zilizo na logariti zinapatikana katika benki ya kazi ya hesabu. Unaweza kupata mifano yote kwa kutafuta tovuti.

Logarithm ni nini

Logarithms zimezingatiwa kila wakati mada tata V kozi ya shule hisabati. Wapo wengi ufafanuzi tofauti logarithm, lakini kwa sababu fulani vitabu vingi vya kiada hutumia ngumu zaidi na ambazo hazijafaulu.

Tutafafanua logarithm kwa urahisi na kwa uwazi. Ili kufanya hivyo, tengeneza meza:

Kwa hivyo, tuna nguvu mbili.

Logarithms - mali, fomula, jinsi ya kutatua

Ikiwa unachukua nambari kutoka kwa mstari wa chini, unaweza kupata kwa urahisi nguvu ambayo itabidi kuinua mbili ili kupata nambari hii. Kwa mfano, kupata 16, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi nne. Na kupata 64, unahitaji kuongeza nguvu mbili hadi sita. Hii inaweza kuonekana kutoka kwa meza.

Na sasa - kwa kweli, ufafanuzi wa logarithm:

msingi a wa hoja x ni nguvu ambayo nambari a lazima ionyeshwe ili kupata nambari x.

Uteuzi: logi a x = b, ambapo a ni msingi, x ni hoja, b ni nini logarithm ni sawa na.

Kwa mfano, 2 3 = 8 ⇒logi 2 8 = 3 (msingi 2 logariti ya 8 ni tatu kwa sababu 2 3 = 8). Kwa mafanikio sawa, ingia 2 64 = 6, tangu 2 6 = 64.

Operesheni ya kutafuta logariti ya nambari kwa msingi fulani inaitwa. Kwa hivyo, wacha tuongeze mstari mpya kwenye meza yetu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
kumbukumbu 2 2 = 1	kumbukumbu 2 4 = 2	kumbukumbu 2 8 = 3	kumbukumbu 2 16 = 4	kumbukumbu 2 32 = 5	kumbukumbu 2 64 = 6

Kwa bahati mbaya, sio logarithm zote zinahesabiwa kwa urahisi sana. Kwa mfano, jaribu kutafuta logi 2 5. Nambari 5 haipo kwenye jedwali, lakini mantiki inasema kwamba logarithm italala mahali fulani kwenye muda. Kwa sababu 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ni muhimu kuelewa kwamba logarithm ni usemi wenye vigezo viwili (msingi na hoja). Mara ya kwanza, watu wengi huchanganya wapi msingi ulipo na wapi hoja. Ili kuzuia kutokuelewana kukasirisha, angalia tu picha:

Jinsi ya kuhesabu logarithm

Tumegundua ufafanuzi - kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuhesabu logarithms, i.e. ondoa ishara ya "logi". Kuanza, tunaona kwamba mambo mawili muhimu yanafuata kutoka kwa ufafanuzi:

Hoja na msingi lazima iwe kubwa kuliko sufuri kila wakati. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa shahada na kipeo busara cha kimantiki, ambapo ufafanuzi wa logariti hupunguzwa.
Msingi lazima uwe tofauti na moja, kwa kuwa moja kwa shahada yoyote bado inabaki moja. Kwa sababu hii, swali "ni kwa nguvu gani mtu anapaswa kuinuliwa ili kupata mbili" haina maana. Hakuna degree kama hiyo!

Vikwazo vile huitwa anuwai ya maadili yanayokubalika(ODZ). Inabadilika kuwa ODZ ya logariti inaonekana kama hii: logi a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Kumbuka kuwa hakuna vizuizi kwa nambari b (thamani ya logarithm). Kwa mfano, logariti inaweza kuwa hasi: logi 2 0.5 = -1, kwa sababu 0.5 = 2 -1.

Sasa hebu tuangalie mpango wa jumla wa kuhesabu logarithms. Inajumuisha hatua tatu:

Eleza msingi a na hoja x kama nguvu yenye msingi wa chini unaowezekana zaidi ya mmoja. Njiani, ni bora kuondokana na decimals;
Tatua mlinganyo wa kutofautisha b: x = a b;
Nambari inayotokana b itakuwa jibu.

Ni hayo tu! Ikiwa logarithm itageuka kuwa isiyo na maana, hii itaonekana tayari katika hatua ya kwanza. Mahitaji ya kuwa msingi ni mkubwa zaidi kuliko moja ni muhimu sana: hii inapunguza uwezekano wa makosa na kurahisisha mahesabu kwa kiasi kikubwa. Ni sawa na sehemu za decimal: ikiwa utazibadilisha mara moja kuwa za kawaida, kutakuwa na makosa mengi machache.

Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwa kutumia mifano maalum:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 5 25

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya tano: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Wacha tuunda na kutatua equation:
gogo 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Tulipata jibu: 2.

Kazi. Kuhesabu logarithm:

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 4 64

Wacha tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Wacha tuunda na kutatua equation:
gogo 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Tulipata jibu: 3.

Kazi. Kukokotoa logariti: logi 16 1

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya mbili: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Wacha tuunda na kutatua equation:
gogo 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Tulipokea jibu: 0.

Kazi. Kokotoa logariti: logi 7 14

Hebu tufikirie msingi na hoja kama nguvu ya saba: 7 = 7 1 ; 14 haiwezi kuwakilishwa kama nguvu ya saba, kwani 7 1< 14 < 7 2 ;
Kutoka kwa aya iliyotangulia inafuata kwamba logarithm haihesabu;
Jibu sio mabadiliko: logi 7 14.

Ujumbe mdogo kwenye mfano wa mwisho. Unawezaje kuwa na uhakika kwamba nambari sio nguvu kamili ya nambari nyingine? Ni rahisi sana - ifafanue tu katika mambo kuu. Ikiwa upanuzi una angalau mambo mawili tofauti, nambari sio nguvu halisi.

Kazi. Jua ikiwa nambari ni nguvu kamili: 8; 48; 81; 35; 14.

Kumbuka pia kwamba nambari kuu zenyewe huwa ni nguvu zenyewe kila wakati.

Logariti ya decimal

Baadhi ya logariti ni ya kawaida sana kwamba wana jina maalum na ishara.

ya hoja x ni logarithm kwa msingi 10, i.e. Nguvu ambayo nambari 10 lazima iongezwe ili kupata nambari x. Wajibu: lg x.

Kwa mfano, logi 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - nk.

Kila kitu ambacho ni kweli kwa logariti za kawaida pia ni kweli kwa logariti za desimali.

Logarithm ya asili

Kuna logarithm nyingine ambayo ina jina lake. Kwa njia fulani, ni muhimu zaidi kuliko decimal. Tunazungumza juu ya logarithm ya asili.

ya hoja x ni logariti kwa msingi e, i.e. nguvu ambayo nambari e inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari x. Wajibu: ln x.

Watu wengi watauliza: nambari e ni nini? Hii ni nambari isiyo na mantiki; thamani yake halisi haiwezi kupatikana na kuandikwa. Nitatoa tu takwimu za kwanza:
e = 2.718281828459...

Hatutaingia kwa undani juu ya nambari hii ni nini na kwa nini inahitajika. Kumbuka tu kuwa e ndio msingi wa logarithm asilia:
ln x = logi e x

Hivyo ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - nk. Kwa upande mwingine, ln 2 ni nambari isiyo na maana. Kwa ujumla, logarithm asili ya nambari yoyote ya busara haina mantiki. Isipokuwa, kwa kweli, kwa moja: ln 1 = 0.

Kwa logarithms asili, sheria zote ambazo ni kweli kwa logarithm za kawaida ni halali.

Angalia pia:

Logarithm. Sifa za logarithm (nguvu ya logarithm).

Jinsi ya kuwakilisha nambari kama logarithm?

Tunatumia ufafanuzi wa logarithm.

Logariti ni kipeo ambacho msingi lazima uinulie ili kupata nambari chini ya ishara ya logariti.

Kwa hivyo, ili kuwakilisha nambari fulani c kama logariti ya msingi a, unahitaji kuweka nguvu iliyo na msingi sawa na msingi wa logarithm chini ya ishara ya logarithm, na uandike nambari hii c kama kielelezo:

Kwa kweli nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama logarithm - chanya, hasi, kamili, ya sehemu, ya busara, isiyo na mantiki:

Ili usichanganye a na c chini ya hali ya mkazo ya mtihani au mtihani, unaweza kutumia sheria ifuatayo ya kukariri:

kilicho chini hushuka, kilicho juu hupanda.

Kwa mfano, unahitaji kuwakilisha nambari 2 kama logariti hadi msingi 3.

Tuna nambari mbili - 2 na 3. Nambari hizi ni msingi na kielelezo, ambacho tutaandika chini ya ishara ya logarithm. Inabakia kuamua ni nani kati ya nambari hizi zinazopaswa kuandikwa chini, kwa msingi wa shahada, na ambayo - juu, kwa kielelezo.

Msingi wa 3 katika nukuu ya logariti iko chini, ambayo inamaanisha kwamba tunapowakilisha mbili kama logariti kwa msingi wa 3, pia tutaandika 3 hadi msingi.

2 ni kubwa kuliko tatu. Na katika nukuu ya shahada ya pili tunaandika juu ya hizo tatu, yaani kama kielezi:

Logarithms. Kiwango cha kwanza.

Logarithm

Logarithm nambari chanya b kulingana na a, Wapi a > 0, a ≠ 1, inaitwa kipeo ambacho nambari inapaswa kuinuliwa a, Kupata b.

Ufafanuzi wa logarithm inaweza kuandikwa kwa ufupi kama hii:

Usawa huu ni halali kwa b > 0, a > 0, a ≠ 1. Kawaida inaitwa kitambulisho cha logarithmic.
Kitendo cha kupata logariti ya nambari inaitwa kwa logarithm.

Tabia za logarithm:

Logarithm ya bidhaa:

Logarithm ya mgawo:

Kubadilisha msingi wa logarithm:

Logarithm ya shahada:

Logarithm ya mizizi:

Logarithm iliyo na msingi wa nguvu:

Logariti za decimal na asili.

Logariti ya decimal nambari huita logariti ya nambari hii kwa msingi wa 10 na kuandika lg b
Logarithm ya asili nambari huitwa logarithm ya nambari hiyo hadi msingi e, Wapi e- nambari isiyo na maana takriban sawa na 2.7. Wakati huo huo wanaandika ln b.

Vidokezo vingine juu ya algebra na jiometri

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logariti mbili zilizo na besi sawa: weka x na uweke y. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logi a x + logi a y = logi a (x y);
logi a x - logi a y = logi a (x: y).

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Nambari 6 4 + logi 6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
gogo 6 4 + logi 6 9 = gogo 6 (4 9) = gogo 6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 2 48 - logi 2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
gogo 2 48 - gogo 2 3 = gogo 2 (48: 3) = logi 2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 3 135 - logi 3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
gogo 3 135 - gogo 3 5 = gogo 3 (135: 5) = logi 3 27 = 3.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 7 49 6 .

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
kumbukumbu 7 49 6 = 6 kumbukumbu 7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu halisi: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Tuna:

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: logi 2 7. Tangu logi 2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logariti iweke x itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: logi 5 16 logi 2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: logi 5 16 = logi 5 2 4 = 4log 5 2; logi 2 25 = logi 2 5 2 = 2logi 2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: logi 9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani.

Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba logi 25 64 = logi 5 8 - ilichukua tu mraba kutoka msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

logi a = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi a 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu 0 = 1 ni matokeo ya moja kwa moja ya ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Leo tutazungumzia fomula za logarithmic na tutatoa dalili mifano ya suluhisho.

Wao wenyewe wanamaanisha mifumo ya ufumbuzi kulingana na mali ya msingi ya logarithms. Kabla ya kutumia fomula za logarithm kutatua, hebu tukumbushe sifa zote:

Sasa, kwa kuzingatia kanuni hizi (mali), tutaonyesha mifano ya kutatua logarithms.

Mifano ya kutatua logariti kulingana na fomula.

Logarithm nambari chanya b kuweka msingi a (inayoonyeshwa kwa logi a b) ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata b, na b > 0, a > 0, na 1.

Kwa mujibu wa ufafanuzi, andika b = x, ambayo ni sawa na x = b, kwa hiyo weka a x = x.

Logarithm, mifano:

logi 2 8 = 3, kwa sababu 2 3 = 8

logi 7 49 = 2, kwa sababu 7 2 = 49

logi 5 1/5 = -1, kwa sababu 5 -1 = 1/5

Logariti ya decimal- hii ni logarithm ya kawaida, ambayo msingi wake ni 10. Inaonyeshwa kama lg.

logi 10 100 = 2, kwa sababu 10 2 = 100

Logarithm ya asili- pia logarithm ya kawaida, logarithm, lakini kwa msingi e (e = 2.71828 ... - nambari isiyo na maana). Imetajwa kama ln.

Inashauriwa kukariri fomula au sifa za logariti, kwa sababu tutazihitaji baadaye wakati wa kutatua logariti, milinganyo ya logarithmic na usawa. Wacha tufanye kazi kwa kila fomula tena kwa mifano.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic
logi a b = b
8 2logi 8 3 = (8 2logi 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logariti ya bidhaa ni sawa na jumla ya logariti
log a (bc) = log a b + log a c
gogo 3 8.1 + logi 3 10 = gogo 3 (8.1*10) = logi 3 81 = 4
Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti
logi a (b/c) = logi a b - logi a c
9 gogo 5 50 /9 gogo 5 2 = 9 gogo 5 50- gogo 5 2 = 9 gogo 5 25 = 9 2 = 81
Sifa za nguvu za nambari ya logarithmic na msingi wa logariti
Kipeo cha logarithm nambari za kumbukumbu a b m = mlog a b

Kipeo cha msingi logi ya logarithm a n b =1/n*logi a b

logi a n b m = m/n*logi a b,

ikiwa m = n, tunapata logi a n b n = logi a b

gogo 4 9 = gogo 2 2 3 2 = gogo 2 3
Mpito kwa msingi mpya
logi a b = gogo c b/logi c a,
ikiwa c = b, tunapata logi b b = 1

kisha weka b = 1/logi b a

gogo 0.8 3*logi 3 1.25 = gogo 0.8 3*gogo 0.8 1.25/logi 0.8 3 = gogo 0.8 1.25 = gogo 4/5 5/4 = -1

Kama unaweza kuona, fomula za logarithm sio ngumu kama zinavyoonekana. Sasa, baada ya kuangalia mifano ya kusuluhisha logariti, tunaweza kuendelea na milinganyo ya logarithmic. Tutaangalia mifano ya kutatua equations logarithmic kwa undani zaidi katika makala: "". Usikose!

Ikiwa bado una maswali kuhusu suluhisho, waandike kwenye maoni kwa makala.

Kumbuka: tuliamua kupata darasa tofauti la elimu na kusoma nje ya nchi kama chaguo.