Kwa nini shahada ya sifuri ni sawa na 1. Matatizo kwa ufumbuzi wa kujitegemea

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Utazihitaji wapi? Kwa nini uchukue wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni za nini, jinsi ya kutumia maarifa yako Maisha ya kila siku soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu kukamilika kwa mafanikio OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja na uandikishaji kwa chuo kikuu cha ndoto zako.

Twende... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL+F5 (kwenye Windows) au Cmd+R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Kupanda madarakani ni sawa operesheni ya hisabati kama kuongeza, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaelezea kila kitu lugha ya binadamu sana mifano rahisi. Kuwa mwangalifu. Mifano ni ya msingi, lakini eleza mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kuelezea hapa. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mtu ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano sawa na cola unaweza kuandikwa tofauti:. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kutafuta njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.


Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha. Bila shaka, unaweza kufanya kila kitu polepole, ngumu zaidi na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hiyo kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kuwa nguvu mbili hadi tano ni ... Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwa rangi kwenye jedwali la nguvu za nambari. Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi sana.

Kwa njia, kwa nini inaitwa shahada ya pili? mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Sana swali zuri. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha halisi #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mraba linalopima mita moja kwa mita moja. Bwawa liko kwenye dacha yako. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa halina chini! Unahitaji kufunika chini ya bwawa na tiles. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini la bwawa.

Unaweza kuhesabu tu kwa kuashiria kidole chako kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una tiles mita moja kwa mita moja, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile itawezekana kuwa cm kwa cm Na kisha utateswa kwa "kuhesabu kwa kidole chako." Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Zidisha na utapata vigae ().

Umegundua kuwa ili kuamua eneo la chini ya bwawa tulizidisha nambari sawa peke yake? Ina maana gani? Kwa kuwa tunazidisha nambari sawa, tunaweza kutumia mbinu ya "exponentiation". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unahitaji kuzizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuziinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika mahesabu. . Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, hii ni muhimu sana).
Kwa hivyo, nguvu thelathini hadi ya pili itakuwa (). Au tunaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Na kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari fulani. Mraba ni taswira ya nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako: hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari... Upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha halisi #3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatalazimika kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Viwango na vinywaji, kwa njia, hupimwa ndani mita za ujazo. Haikutarajiwa, sawa?) Chora bwawa: sehemu ya chini inayopima mita na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni cubes ngapi za kupima mita kwa mita zitaingia kwenye bwawa lako.

Eleza kidole chako tu na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne...ishirini na mbili, ishirini na tatu...Ulipata ngapi? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Tulipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Hii inamaanisha nini? Hii inamaanisha kuwa unaweza kuchukua fursa ya digrii. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: cubed tatu ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Yote iliyobaki ni kumbuka meza ya digrii. Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa ungependa kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kwamba digrii zilivumbuliwa na watu walioacha kazi na watu wenye hila kutatua wao wenyewe matatizo ya maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha halisi #4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unatengeneza milioni nyingine. Hiyo ni, kila milioni unayo mara mbili mwanzoni mwa kila mwaka. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa umeketi sasa na "kuhesabu kwa kidole," inamaanisha wewe ni sana mtu mchapakazi na.. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mbili ziliongezeka kwa mbili ... katika mwaka wa pili - nini kilichotokea, kwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa mara yenyewe. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kuwa una ushindani na yule anayeweza kuhesabu haraka zaidi atapata mamilioni haya ... Ni vyema kukumbuka nguvu za namba, hufikiri?

Mfano wa maisha halisi #5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, kwa kila milioni unayotengeneza, unapata mbili zaidi. Kubwa sivyo? Kila milioni ni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa mwaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: tatu huzidishwa na yenyewe mara. Kwa hivyo kwa nguvu ya nne ni sawa na milioni. Ni lazima tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kwamba kwa kuongeza idadi kwa nguvu utafanya maisha yako kuwa rahisi sana. Wacha tuangalie zaidi kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyike

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielezi ni nini? Ni rahisi sana - ni nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini wazi na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo, nini msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari ambayo iko chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro kwa kipimo kizuri.

Vizuri ndani mtazamo wa jumla, ili kujumlisha na kukumbuka vyema zaidi... Shahada yenye msingi " " na kielezi " " inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo:

Nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia

Labda tayari umekisia: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari asilia ni zile nambari zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu... Tunapohesabu vitu, hatusemi: “ondoa tano,” “toa sita,” “toa saba.” Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "sifuri nukta tano". Hizi sio nambari za asili. Unadhani hizi ni nambari gani?

Nambari kama vile "toa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari kamili ni pamoja na nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una usawa kwenye simu yako kwa rubles, hii inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu zote ni nambari za busara. Walitokeaje, unafikiri? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa walikosa nambari za asili kwa kupima urefu, uzito, eneo n.k. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Je, kuna wengine zaidi nambari zisizo na mantiki. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Hebu tufafanue dhana ya shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

  1. Nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
  2. Kuweka nambari mraba inamaanisha kuizidisha peke yake:
  3. Kupunguza nambari inamaanisha kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari hadi nguvu asilia inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
.

Tabia za digrii

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini Na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna vizidishi vingapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa sababu, na matokeo yake ni kuzidisha.

Lakini kwa ufafanuzi, hii ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni: , ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa mazao ya madaraka tu!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

2. ndivyo hivyo nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika mamlaka ya kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote. Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, natumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa suluhisho 6 mifano

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

mzima nambari chanya , na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini ni hivyo?

Wacha tuzingatie digrii fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri kwa shahada ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa digrii hasi ni nini, wacha tufanye kama ilivyo mara ya mwisho: zidisha baadhi nambari ya kawaida sawa kwa kiwango hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari, sio sawa na sifuri, kwa kiwango hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi kiwango chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Naam, kama kawaida, mifano kwa uamuzi wa kujitegemea:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume wa kuinua kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Ni wazi hii kesi maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni mbili tu maingizo tofauti idadi sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata tena shida: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada hasi kamili- ni kana kwamba kitu kilitokea" mchakato wa nyuma", yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini iligawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada na kiashiria changamano, yaani, kiashiria sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utapata fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Je, hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

  • — msingi wa shahada;
  • - kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu yenye kipeo cha busara

  • - nambari ya asili;
  • - nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange tena kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Tunaweza kuunda zifuatazo sheria rahisi:

  1. hata shahada, - nambari chanya.
  2. Nambari hasi, iliyojengwa ndani isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  3. Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuitenganisha kanuni ya mwisho, wacha tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari kwa nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni safi kitu cha hisabati, ambayo wanahisabati waliunda kupanua dhana ya shahada kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utapata fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kiashiria kisicho na mantiki digrii? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

1) 2) 3)

Majibu:

  1. Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
  2. Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
  3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu yenye kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

  • Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
  • Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
  • Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
  • Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
  • Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Kuna sheria kwamba nambari yoyote isipokuwa sifuri iliyoinuliwa hadi sifuri itakuwa sawa na moja:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Hata hivyo, kwa nini hii ni hivyo?

Nambari inapoinuliwa hadi kwa nguvu iliyo na kipeo asilia, inamaanisha kuwa inazidishwa yenyewe mara nyingi kama kipeo.
43 = 4...

0 0

Katika algebra, kuinua hadi sifuri ni kawaida. Digrii 0 ni nini? Ni nambari gani zinaweza kuongezwa hadi sifuri na ni zipi haziwezi?

Ufafanuzi.

Nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, isipokuwa sifuri, ni sawa na moja:

Kwa hivyo, haijalishi ni nambari gani iliyoinuliwa kwa nguvu ya 0, matokeo yatakuwa sawa kila wakati - moja.

Na 1 kwa nguvu ya 0, na 2 kwa nguvu ya 0, na nambari nyingine yoyote - integer, fractional, chanya, hasi, mantiki, irrational - inapoinuliwa kwa sifuri nguvu inatoa moja.

Isipokuwa tu ni sifuri.

Sifuri hadi nguvu ya sifuri haijafafanuliwa, usemi kama huo hauna maana.

Hiyo ni, nambari yoyote isipokuwa sifuri inaweza kuinuliwa hadi nguvu ya sifuri.

Ikiwa, wakati wa kurahisisha usemi na nguvu, matokeo yake ni nambari hadi sifuri, inaweza kubadilishwa na moja:

Kama...

0 0

Ndani mtaala wa shule Usemi $%0^0$% unachukuliwa kuwa haujafafanuliwa.

Kwa mtazamo hisabati ya kisasa, ni rahisi kudhani kuwa $%0^0=1$%. Wazo hapa ni lifuatalo. Acha kuwe na bidhaa ya nambari $%n$% ya fomu $%p_n=x_1x_2\ldets x_n$%. Kwa $%n\ge2$% yote usawa $%p_n=x_1x_2\ldets x_n=(x_1x_2\ldets x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% inashikilia. Inafaa kuzingatia usawa huu kuwa wa maana pia kwa $%n=1$%, ikichukua $%p_0=1$%. Mantiki hapa ni hii: tunapohesabu bidhaa, kwanza tunachukua 1, na kisha kuzidisha kwa kufuatana na $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Hii ni algorithm ambayo hutumiwa kupata bidhaa wakati programu zimeandikwa. Ikiwa kwa sababu fulani kuzidisha hakutokea, basi bidhaa inabaki sawa na moja.

Kwa maneno mengine, ni rahisi kuzingatia dhana kama "bidhaa ya mambo 0" kuwa na maana, kwa kuzingatia kuwa ni sawa na 1 kwa ufafanuzi Katika kesi hii, tunaweza pia kuzungumza juu ya "bidhaa tupu". Ikiwa tutazidisha nambari kwa hii ...

0 0

Zero - ni sifuri. Kwa kusema, nguvu yoyote ya nambari ni zao la mara moja na kipeo nambari hii. Mbili katika ya tatu, wacha tuseme, ni 1*2*2*2, mbili katika minus ya kwanza ni 1/2. Na kisha ni muhimu kwamba hakuna shimo wakati wa mpito kutoka digrii chanya kwa hasi na kinyume chake.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

hiyo ndiyo hoja nzima.

rahisi na wazi, asante

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Kwa mfano, unahitaji tu kuwa na fomula fulani ambazo ni halali kwa viashiria vyema- kwa mfano x^n*x^m=x^(m+n) - bado zilikuwa halali.
Kwa njia, hiyo inatumika kwa ufafanuzi wa digrii hasi na ile ya busara (ambayo ni, kwa mfano, 5 kwa nguvu ya 3/4)

> na kwa nini hii ni muhimu?
Kwa mfano, katika takwimu na nadharia mara nyingi hucheza na digrii za sifuri.

A nguvu hasi wanakusumbua?
...

0 0

Tunaendelea kuzingatia mali ya digrii, chukua kwa mfano 16: 8 = 2. Kwa kuwa 16=24 na 8=23, kwa hivyo, mgawanyiko unaweza kuandikwa kwa njia ya kielelezo kama 24:23=2, lakini ikiwa tutaondoa vielezi, basi 24:23=21. Kwa hivyo, lazima tukubali kwamba 2 na 21 ni kitu kimoja, kwa hivyo 21 = 2.

Sheria hiyo hiyo inatumika kwa nyingine yoyote nambari ya kielelezo, kwa hivyo, sheria inaweza kutengenezwa kwa fomu ya jumla:

nambari yoyote iliyoinuliwa kwa mamlaka ya kwanza bado haijabadilika

Huenda hitimisho hili limekuacha ukiwa na mshangao. Bado unaweza kuelewa kwa njia fulani maana ya usemi 21 = 2, ingawa usemi "nambari ya pili iliyozidishwa yenyewe" inaonekana ya kushangaza sana. Lakini usemi wa 20 unamaanisha "sio nambari mbili, ...

0 0

Ufafanuzi wa shahada:

1. shahada ya sifuri

Nambari yoyote isipokuwa sifuri iliyoinuliwa hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja. Sufuri hadi nguvu ya sifuri haijafafanuliwa

2. shahada ya asili isipokuwa sifuri

Nambari yoyote x iliyoinuliwa kwa nguvu asilia n zaidi ya sifuri ni sawa na kuzidisha nambari n x pamoja

3.1 mzizi sawa shahada ya asili, tofauti na sifuri

Mzizi wa nguvu ya asili n, zaidi ya sifuri, ya nambari yoyote chanya x ni nambari chanya y ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu n, inatoa nambari asili x.

3.2 mzizi wa shahada ya asili isiyo ya kawaida

Mzizi wa nguvu asilia isiyo ya kawaida n ya nambari yoyote x ni nambari y ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu n, inatoa nambari asili x.

3.3 mzizi wa nguvu yoyote asilia kama nguvu ya sehemu

Kuchimba mzizi wa nguvu zozote za asili n, zaidi ya sifuri, kutoka nambari yoyote x ni sawa na kuinua nambari hii x hadi nguvu ya sehemu 1/n.

0 0

Habari, mpendwa RUSSEL!

Wakati wa kutambulisha dhana ya shahada, kuna ingizo lifuatalo: “Thamani ya usemi a^0 =1” ! Hii inaanza kutumika dhana ya kimantiki digrii na si kingine!
Inastahili pongezi kijana anapojaribu kupata undani wa mambo! Lakini kuna mambo ambayo yanapaswa kuzingatiwa tu!
Unaweza kuunda hisabati mpya tu wakati tayari umesoma wazi kwa karne nyingi nyuma!
Bila shaka, tukitenga kwamba wewe “si wa ulimwengu huu” na umepewa zaidi ya sisi wengine wenye dhambi!

Kumbuka: Anna Misheva alifanya jaribio la kudhibitisha kuwa haiwezekani! Pia ya kupongezwa!
Lakini kuna moja kubwa "LAKINI" - inakosekana kutoka kwa uthibitisho wake kipengele muhimu: Kesi ya mgawanyiko kwa ZERO!

Jionee mwenyewe kinachoweza kutokea: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Lakini HUWEZI KUGAWANYA KWA SIFURI!

Tafadhali kuwa makini zaidi!

Pamoja na wingi kila la heri na furaha katika maisha yako binafsi...

0 0

Majibu:

Hakuna jina

ikiwa tutazingatia kwamba a^x=e^x*ln(a), basi inabadilika kuwa 0^0=1 (kikomo, kwa x->0)
ingawa jibu "kutokuwa na uhakika" pia linakubalika

Sifuri katika hisabati sio utupu, ni nambari iliyo karibu sana na "hakuna chochote", kama vile infinity tu kinyume chake.

Andika chini:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Inatokea kwamba katika kesi hii tunagawanya kwa sifuri, na operesheni hii kwenye uwanja wa nambari halisi haijafafanuliwa.

Miaka 6 iliyopita

RPI.su ndio hifadhidata kubwa zaidi ya lugha ya Kirusi ya maswali na majibu. Mradi wetu ulitekelezwa kama muendelezo wa huduma maarufu ya otvety.google.ru, ambayo ilifungwa na kufutwa mnamo Aprili 30, 2015. Tuliamua kufufua huduma muhimu ya Majibu ya Google ili mtu yeyote apate hadharani jibu la swali lake kutoka kwa jumuiya ya Mtandao.

Maswali yote yaliyoongezwa kwenye tovuti ya Majibu ya Google yamenakiliwa na kuhifadhiwa hapa. Majina ya zamani ya watumiaji pia yanaonyeshwa kama yalivyokuwa hapo awali. Unahitaji tu kujiandikisha tena ili uweze kuuliza maswali au kujibu wengine.

Ili kuwasiliana nasi kwa maswali yoyote KUHUSU TOVUTI (matangazo, ushirikiano, maoni kuhusu huduma), tuandikie [barua pepe imelindwa]. Kila kitu tu masuala ya jumla chapisho kwenye wavuti, hawatapokea jibu kwa barua.

Je, sifuri itakuwa sawa na nini ikiwa imeinuliwa hadi nguvu ya sifuri?

Kwa nini nambari kwa nguvu ya 0 ni sawa na 1? Kuna sheria kwamba nambari yoyote isipokuwa sifuri iliyoinuliwa kwa nguvu ya sifuri itakuwa sawa na moja: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 Hata hivyo, kwa nini hii ni hivyo? Nambari inapoinuliwa kwa nguvu iliyo na kipeo cha asili, inamaanisha kuwa inazidishwa yenyewe mara nyingi kama kipeo: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Wakati kielelezo ni sawa na 1, basi wakati wa ujenzi kuna jambo moja tu (ikiwa tunaweza kuzungumza juu ya mambo wakati wote), na kwa hiyo matokeo ya ujenzi. sawa na msingi digrii: 181 = 18; (–3.4)1 = -3.4 Lakini vipi kuhusu kiashiria cha sifuri katika kesi hii? Nini kinazidishwa na nini? Hebu tujaribu kwenda kwa njia tofauti. Inajulikana kuwa ikiwa digrii mbili zina misingi sawa, lakini viashiria tofauti, basi msingi unaweza kuachwa sawa, na wasaidizi wanaweza kuongezwa kwa kila mmoja (ikiwa nguvu zinazidishwa), au kielelezo cha mgawanyiko kinaweza kutolewa kutoka kwa kielelezo cha gawio (ikiwa nguvu zimegawanywa) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Na sasa fikiria mfano huu: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Nini kama hatutumii mali ya mamlaka na msingi huo huo na tutekeleze hesabu kwa mpangilio zinavyoonekana: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Kwa hivyo tulipata kitengo cha hazina. Kwa hivyo, kielelezo cha sifuri kinaonekana kuashiria kuwa nambari haijazidishwa yenyewe, lakini imegawanywa yenyewe. Na kutoka hapa inakuwa wazi kwa nini usemi 00 hauna maana. Baada ya yote, huwezi kugawanya kwa 0. Unaweza kufikiria tofauti. Ikiwa kuna, kwa mfano, kuzidisha nguvu za 52 × 50 = 52+0 = 52, basi inafuata kwamba 52 iliongezeka kwa 1. Kwa hiyo, 50 = 1.

Kutoka kwa mali ya mamlaka: a^n / a^m = a^(n-m) ikiwa n=m, matokeo yatakuwa moja isipokuwa kawaida a=0, katika kesi hii (kwani sifuri kwa nguvu yoyote itakuwa sifuri) mgawanyiko kwa sufuri ingefanyika, kwa hivyo 0^0 haipo

Hesabu katika lugha tofauti

Majina ya nambari kutoka 0 hadi 9 na kuendelea lugha maarufu amani.

Lugha 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kiingereza sufuri moja mbili tatu nne tano sita saba nane tisa
Kibulgaria sufuri kitu kimoja mbili tatu nne kipenzi nguzo tunajiandaa shoka devet
Kihungari nulla egy keti haramu naji ot kofia joto nyolc kilenc
Kiholanzi nul een twee kavu zaidi vijf zes zeven acht negen
Kideni nul sw kwa mti moto mwanamke seks syv otte ni
Kihispania cero uno dos tres cuatro cinco mitetemo siete ocho nueve
Kiitaliano sufuri uno kutokana mti quatro cinque sei seti otto nove
Kilithuania nullis vienas du majaribio keturi penki ði septyni aðtuoni devyni
Kijerumani null ein zwei Drei zaidi fünf sech sieben acht neno
Kirusi sufuri moja mbili tatu nne tano sita saba nane tisa
Kipolandi sufuri jeden dwa trzy cstery piêæ sze¶æ siedem osiem jiewiêæ
Kireno um dois três kwatro cinco mitetemo seti oito nove
Kifaransa sufuri un deux trois robo cinq sita sep kibanda neuf
Kicheki nula jedna dva toi etyøi pìt ¹est sedm osm devìt
Kiswidi noll na kadhalika tva mti fyra mwanamke ngono sju atta nio
Kiestonia null üks kak kolm neli viis kuu seitse kaheksa üheksa

Nguvu hasi na sufuri za nambari

Sifuri, nguvu hasi na sehemu

Kiashiria cha sifuri

Imesimama nambari iliyopewa kwa kiwango fulani inamaanisha kurudia kwa sababu mara nyingi kama kuna vitengo katika kipeo.

Kulingana na ufafanuzi huu, usemi: a 0 haina maana. Lakini kwa sheria ya kugawanya nguvu za nambari sawa kuwa halali hata katika kesi wakati mgawanyiko wa mgawanyiko. sawa na kiashiria ya gawio, ufafanuzi umeanzishwa:

Nguvu ya sifuri ya nambari yoyote itakuwa sawa na moja.

Kiashiria hasi

Kujieleza a -m, yenyewe haina maana. Lakini ili sheria ya kugawanya nguvu za nambari sawa iwe halali hata katika kesi wakati mgawanyiko wa kigawanyaji ni mkubwa kuliko mgawanyiko wa mgawanyiko, ufafanuzi umeanzishwa:

Mfano 1. Ikiwa nambari fulani ina mamia 5, makumi 7, vitengo 2 na mia 9, basi inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

Mfano 2. Ikiwa nambari fulani ina makumi, vitengo b, sehemu ya kumi na d elfu, basi inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Vitendo juu ya mamlaka yenye vielelezo hasi

Wakati wa kuzidisha nguvu za nambari sawa, vielelezo huongeza.

Wakati wa kugawanya nguvu za nambari sawa, kipeo cha kigawanyo kinatolewa kutoka kwa kipeo cha mgao.

Kuinua bidhaa kwa nguvu, inatosha kuinua kila sababu kando kwa nguvu hii:

Ili kuongeza sehemu kwa nguvu, inatosha kuinua masharti yote mawili ya sehemu kando kwa nguvu hii:

Nguvu inapoinuliwa hadi mamlaka nyingine, vielelezo huzidishwa.


Kiashiria cha sehemu

Kama k si nyingi ya n, kisha usemi: hauna maana. Lakini ili sheria ya kutoa mzizi wa digrii ifanyike kwa thamani yoyote ya kielelezo, ufafanuzi umeanzishwa:

Shukrani kwa kuanzishwa kwa ishara mpya, uchimbaji wa mizizi unaweza kubadilishwa kila wakati na udhihirisho.

Vitendo juu ya mamlaka na vipeo vya sehemu

Vitendo juu ya mamlaka na vipeo vya sehemu vinafanywa kulingana na sheria zile zile ambazo zimeanzishwa kwa vipeo kamili.

Wakati wa kudhibitisha pendekezo hili, kwanza tutafikiria kuwa masharti ya sehemu: na, ikitumika kama vielelezo, ni chanya.

Katika kesi maalum n au q inaweza kuwa sawa na moja.

Wakati wa kuzidisha nguvu za nambari sawa, vielelezo vya sehemu vinaongezwa:


Wakati wa kugawanya nguvu za nambari sawa na vipeo vya sehemu, kipeo cha kigawanyo kinatolewa kutoka kwa kipeo cha mgao:

Ili kuongeza nguvu kwa nguvu nyingine katika kesi ya vielelezo vya sehemu, inatosha kuzidisha vielelezo:

Ili kutoa mizizi kutoka nguvu ya sehemu, inatosha kugawanya kielelezo na kipeo cha mizizi:

Sheria za utekelezaji hazitumiki tu kwa chanya viashiria vya sehemu, lakini pia kwa hasi.

Kuna sheria kwamba nambari yoyote isipokuwa sifuri iliyoinuliwa hadi sifuri itakuwa sawa na moja:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Hata hivyo, kwa nini hii ni hivyo?
Nambari inapoinuliwa hadi kwa nguvu iliyo na kipeo asilia, inamaanisha kuwa inazidishwa yenyewe mara nyingi kama kipeo.
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Wakati kielelezo ni sawa na 1, basi wakati wa ujenzi kuna jambo moja tu (ikiwa tunaweza kuzungumza juu ya mambo hapa kabisa), na kwa hiyo matokeo ya ujenzi ni sawa na msingi wa shahada:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Lakini vipi kuhusu kiashiria cha sifuri katika kesi hii? Nini kinazidishwa na nini?
Hebu tujaribu kwenda kwa njia tofauti.

Kwa nini nambari kwa nguvu ya 0 ni sawa na 1?

Inajulikana kuwa ikiwa nguvu mbili zina misingi sawa, lakini vielelezo tofauti, basi msingi unaweza kuachwa sawa, na wasaidizi wanaweza kuongezwa kwa kila mmoja (ikiwa nguvu zimezidishwa), au mtangazaji wa mgawanyiko anaweza. iondolewe kutoka kwa kipeo cha mgao (ikiwa mamlaka yanaweza kugawanywa):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Sasa tuangalie mfano huu:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 =?
Nini ikiwa hatutumii mali ya mamlaka na msingi sawa na kufanya mahesabu kwa utaratibu ambao wanaonekana:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Kwa hivyo tulipokea kitengo kilichotamaniwa. Kwa hivyo, kielelezo cha sifuri kinaonekana kuashiria kuwa nambari haijazidishwa yenyewe, lakini imegawanywa yenyewe.
Na kutoka hapa inakuwa wazi kwa nini usemi 0 0 hauna maana. Hauwezi kugawanya kwa 0.

SHAHADA C KIASHIRIA CHA AKILI,

KAZI YA NGUVU IV

§ 71. Mamlaka yenye vipeo sifuri na hasi

Katika § 69 tulithibitisha (tazama Theorem 2) kwamba kwa t > uk

(a =/= 0)

Ni kawaida kabisa kutaka kupanua fomula hii kwa kesi wakati T < P . Lakini basi idadi t - uk itakuwa ama hasi au sawa na sifuri. A. tumezungumza tu kuhusu digrii na kwa aina. Kwa hivyo, tunakabiliwa na hitaji la kuanzisha digrii nambari za kweli na viashiria sifuri na hasi.

Ufafanuzi 1. Nambari yoyote A , si sawa na sifuri, kwa nguvu sifuri sawa na moja, yaani lini A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Kwa mfano, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Nambari 0 haina shahada ya sifuri, yaani, usemi 0 0 haujafafanuliwa.

Ufafanuzi 2. Kama A=/= 0 na P ni nambari ya asili, basi

A - n = 1 /a n (2)

hiyo ni nguvu ya nambari yoyote isiyo sawa na sifuri iliyo na kipeo kamili cha nambari hasi ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni moja, na denominator ni nguvu ya nambari sawa a, lakini yenye kielelezo kinyume na ile ya nguvu uliyopewa. .

Kwa mfano,

Baada ya kukubali ufafanuzi huu, inaweza kuthibitishwa kuwa ni lini a =/= 0, fomula

kweli kwa nambari zozote za asili T Na n , na si kwa ajili tu t > uk . Ili kuithibitisha, inatosha kujiwekea kikomo kwa kuzingatia kesi mbili: t = n Na T< .п , tangu kesi hiyo m > n tayari kujadiliwa katika § 69.

Hebu t = n ; Kisha . Ina maana, upande wa kushoto usawa (3) ni sawa na 1. Upande wa kulia katika t = n inakuwa

A m - n = A n - n = A 0 .

Lakini kwa ufafanuzi A 0 = 1. Kwa hivyo, upande wa kulia wa usawa (3) pia ni sawa na 1. Kwa hivyo, wakati t = n formula (3) ni sahihi.

Sasa tuseme hivyo T< п . Gawanya nambari na denominator ya sehemu kwa A m , tunapata:

Kwa sababu n > t , Hiyo. Ndiyo maana . Kwa kutumia ufafanuzi wa nguvu na kipeo hasi, tunaweza kuandika .

Kwa hiyo, lini , ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa. Mfumo (3) sasa umethibitishwa kwa nambari zozote asilia T Na P .

Maoni. Vielelezo hasi hukuruhusu kuandika sehemu bila madhehebu. Kwa mfano,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1; hata kidogo, a / b = a b - 1

Walakini, haifai kufikiria kuwa na nukuu hii, sehemu zinageuka kuwa nambari nzima. Kwa mfano, 3 - 1 ni sehemu sawa na 1/3, 2 5 - 1 ni sehemu sawa na 2/5, nk.

Mazoezi

529. Kokotoa:

530. Andika sehemu bila madhehebu:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Data desimali andika kama misemo kamili ukitumia viashiria hasi:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5