Kutatua matatizo ya kimwili au mifano katika hisabati haiwezekani kabisa bila ujuzi wa derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi katika uchambuzi wa hisabati. Tuliamua kutoa makala ya leo kwa mada hii ya msingi. Je, derivative ni nini, maana yake ya kimwili na kijiometri ni nini, jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?
Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative
Hebu kuwe na kazi f(x) , iliyobainishwa katika muda fulani (a, b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Kubadilisha hoja - tofauti katika maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:
Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya ongezeko la hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.
Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:
Ni nini maana ya kupata kikomo kama hicho? Na hii ndio ni:
derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjiti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.
Maana ya kimwili ya derivative: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.
Hakika, tangu siku za shule kila mtu anajua kwamba kasi ni njia fulani x=f(t) na wakati t . Kasi ya wastani katika kipindi fulani cha muda:
Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati kwa wakati t0 unahitaji kuhesabu kikomo:
Kanuni ya kwanza: kuweka mara kwa mara
Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Aidha, hii lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, ichukue kama sheria - Ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .
Mfano. Wacha tuhesabu derivative:
Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi
Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.
Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:
Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi
Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:
Mfano: tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:
Suluhisho: 
Ni muhimu kuzungumza juu ya kuhesabu derivatives ya kazi ngumu hapa. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.
Katika mfano hapo juu tunakutana na usemi:
Katika kesi hii, hoja ya kati ni 8x hadi nguvu ya tano. Ili kukokotoa derivative ya usemi kama huo, tunakokotoa kwanza derivative ya chaguo za kukokotoa za nje kuhusiana na hoja ya kati, na kisha kuzidisha kwa kitokeo cha hoja ya kati yenyewe kwa heshima na kigezo huru.
Kanuni ya nne: derivative ya mgawo wa kazi mbili
Mfumo wa kuamua derivative ya mgawo wa kazi mbili:
Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyoonekana, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.
Ukiwa na maswali yoyote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Kwa muda mfupi, tutakusaidia kutatua mtihani mgumu zaidi na kuelewa kazi, hata kama hujawahi kufanya mahesabu ya derivative hapo awali.
Mito changamano. Toleo la logarithmic.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kipeo cha nguvu
Tunaendelea kuboresha mbinu yetu ya kutofautisha. Katika somo hili, tutaunganisha nyenzo ambazo tumeshughulikia, tutaangalia derivatives changamano zaidi, na pia kufahamiana na mbinu na hila mpya za kutafuta derivative, haswa, na derivative ya logarithmic.
Wasomaji hao ambao wana kiwango cha chini cha maandalizi wanapaswa kutaja makala Jinsi ya kupata derivative? Mifano ya ufumbuzi, ambayo itawawezesha kuinua ujuzi wako karibu kutoka mwanzo. Ifuatayo, unahitaji kusoma kwa uangalifu ukurasa Inatokana na utendaji kazi changamano, kuelewa na kutatua Wote mifano niliyotoa. Somo hili kimantiki ni la tatu mfululizo, na baada ya kulifahamu utatofautisha kazi ngumu kwa ujasiri. Haifai kuchukua msimamo wa "Wapi kwingine? Inatosha! ", Kwa kuwa mifano na ufumbuzi wote huchukuliwa kutoka kwa vipimo vya kweli na mara nyingi hukutana katika mazoezi.
Wacha tuanze na kurudia. Kwenye somo Inatokana na utendaji kazi changamano Tuliangalia mifano kadhaa na maoni ya kina. Wakati wa kusoma hesabu tofauti na matawi mengine ya uchambuzi wa hesabu, itabidi utofautishe mara nyingi sana, na sio rahisi kila wakati (na sio lazima kila wakati) kuelezea mifano kwa undani sana. Kwa hivyo, tutafanya mazoezi ya kutafuta derivatives kwa mdomo. "Wagombea" wanaofaa zaidi kwa hili ni derivatives ya kazi rahisi zaidi, kwa mfano:
Kulingana na kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu 
:
Wakati wa kusoma mada zingine za matan katika siku zijazo, rekodi ya kina kama hii haihitajiki; inachukuliwa kuwa mwanafunzi anajua jinsi ya kupata derivatives kama hizo kwenye majaribio ya kiotomatiki. Hebu fikiria kwamba saa 3 asubuhi simu ililia na sauti ya kupendeza ikauliza: "Ni nini derivative ya tangent ya X mbili?" Hii inapaswa kufuatiwa na karibu jibu la papo hapo na la heshima: 
.
Mfano wa kwanza utaelekezwa mara moja kwa suluhisho la kujitegemea.
Mfano 1
Tafuta derivatives zifuatazo kwa mdomo, katika hatua moja, kwa mfano:. Ili kukamilisha kazi unayohitaji tu kutumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi(kama bado haujaikumbuka). Ikiwa una shida yoyote, napendekeza kusoma tena somo Inatokana na utendaji kazi changamano.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Majibu mwishoni mwa somo
Mito changamano
Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Mifano miwili ifuatayo inaweza kuonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaielewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine katika calculus tofauti kitaonekana kama utani wa mtoto.
Mfano 2
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha mbinu muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kwa kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani hii kwenye "usemi wa kutisha".
1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.
2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:
4) Kisha mchemraba cosine:
5) Katika hatua ya tano tofauti ni:
6) Na mwishowe, kazi ya nje ni mzizi wa mraba: 
Mfumo wa kutofautisha kazi changamano 
hutumika kwa mpangilio wa nyuma, kutoka kitendakazi cha nje hadi cha ndani kabisa. Tunaamua:
Inaonekana hakuna makosa ...
(1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.
(2) Tunachukua derivative ya tofauti kwa kutumia kanuni 
(3) Kinyume cha sehemu tatu ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).
(4) Chukua derivative ya kosine.
(5) Chukua derivative ya logariti.
(6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.
Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.
Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.
Mfano 3
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa ya mambo matatu?
Mfano 4
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.
Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa 
mara mbili
Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli 
- hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:
Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili 
kwa mabano:
Unaweza pia kupotoshwa na kuweka kitu nje ya mabano, lakini katika kesi hii ni bora kuacha jibu haswa katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.
Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili: 
Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.
Mfano 5
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.
Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.
Mfano 6
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:
Au kama hii:
Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo 
, ikichukua kwa nambari nzima:
Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa? Wacha tupunguze usemi wa nambari kwa dhehebu la kawaida na tuachane na sehemu ya hadithi tatu:
Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.
Mfano rahisi wa kutatua peke yako:
Mfano 7
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.
Mfano 8
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Hapa unaweza kwenda mbali, kwa kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu:
Lakini hatua ya kwanza mara moja inakuingiza katika hali ya kukata tamaa - lazima uchukue derivative mbaya kutoka kwa nguvu ya sehemu, na kisha pia kutoka kwa sehemu.
Ndiyo maana kabla jinsi ya kuchukua derivative ya logarithm "ya kisasa", hurahisishwa kwanza kwa kutumia sifa za shule zinazojulikana:
! Ikiwa una daftari la mazoezi karibu, nakili fomula hizi moja kwa moja hapo. Ikiwa huna daftari, nakili kwenye karatasi, kwa kuwa mifano iliyobaki ya somo itahusu fomula hizi.
Suluhisho lenyewe linaweza kuandikwa kama hii:
Wacha tubadilishe kazi:
Kupata derivative: 
Kubadilisha mapema kitendakazi chenyewe kumerahisisha sana suluhisho. Kwa hivyo, wakati logarithm sawa inapendekezwa kwa kutofautisha, daima inashauriwa "kuivunja".
Na sasa mifano michache rahisi kwako kutatua peke yako:
Mfano 9
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Mfano 10
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Mabadiliko yote na majibu yako mwishoni mwa somo.
Toleo la logarithmic
Ikiwa derivative ya logarithms ni muziki tamu kama huo, basi swali linatokea: inawezekana katika hali zingine kupanga logarithm kwa njia ya bandia? Je! Na hata lazima.
Mfano 11
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Hivi majuzi tuliangalia mifano kama hiyo. Nini cha kufanya? Unaweza kutumia sequentially sheria ya utofautishaji wa mgawo, na kisha kanuni ya utofautishaji wa bidhaa. Hasara ya njia hii ni kwamba unaishia na sehemu kubwa ya hadithi tatu, ambayo hutaki kukabiliana nayo kabisa.
Lakini katika nadharia na mazoezi kuna jambo la ajabu kama derivative ya logarithmic. Logarithm zinaweza kupangwa kwa njia ya bandia kwa "kuzipachika" pande zote mbili:
Kumbuka
: kwa sababu kazi inaweza kuchukua maadili hasi, basi, kwa ujumla, unahitaji kutumia moduli: 
, ambayo itatoweka kama matokeo ya kutofautisha. Hata hivyo, muundo wa sasa pia unakubalika, ambapo kwa default huzingatiwa changamano maana. Lakini ikiwa kwa ukali wote, basi katika hali zote mbili uhifadhi unapaswa kufanywa.
Sasa unahitaji "kutenganisha" logarithm ya upande wa kulia iwezekanavyo (formula mbele ya macho yako?). Nitaelezea mchakato huu kwa undani zaidi:
Wacha tuanze na utofautishaji.
Tunahitimisha sehemu zote mbili chini ya mkuu:
Derivative ya upande wa kulia ni rahisi sana; sitatoa maoni juu yake, kwa sababu ikiwa unasoma maandishi haya, unapaswa kuwa na uwezo wa kushughulikia kwa ujasiri.
Vipi kuhusu upande wa kushoto?
Kwa upande wa kushoto tunayo kazi tata. Ninaona mapema swali: "Kwa nini, kuna herufi moja "Y" chini ya logarithm?"
Ukweli ni kwamba huu "mchezo wa herufi moja" - YENYEWE NI KAZI(ikiwa haiko wazi sana, rejelea Kifungu cha kipengee cha chaguo za kukokotoa kilichobainishwa kwa njia isiyo dhahiri). Kwa hiyo, logarithm ni kazi ya nje, na "y" ni kazi ya ndani. Na tunatumia sheria kutofautisha kazi ngumu 
:
Kwa upande wa kushoto, kana kwamba kwa uchawi, tunayo derivative. Ifuatayo, kulingana na sheria ya uwiano, tunahamisha "y" kutoka kwa dhehebu la upande wa kushoto hadi juu ya upande wa kulia:
Na sasa hebu tukumbuke ni aina gani ya "mchezaji" -kazi tuliyozungumzia wakati wa kutofautisha? Wacha tuangalie hali: 
Jibu la mwisho: 
Mfano 12
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Sampuli ya muundo wa mfano wa aina hii iko mwishoni mwa somo.
Kutumia derivative ya logarithmic iliwezekana kutatua yoyote ya mifano Nambari 4-7, jambo lingine ni kwamba kazi huko ni rahisi, na, labda, matumizi ya derivative ya logarithmic sio haki sana.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kielelezo cha nguvu
Bado hatujazingatia kipengele hiki. Kitendakazi cha kielelezo cha nguvu ni chaguo la kukokotoa ambalo kwalo shahada na msingi hutegemea "x". Mfano mzuri ambao utapewa katika kitabu chochote cha kiada au mihadhara:
Jinsi ya kupata derivative ya kazi ya kielelezo cha nguvu?
Inahitajika kutumia mbinu iliyojadiliwa tu - derivative ya logarithmic. Tunaweka logarithm pande zote mbili:
Kama sheria, upande wa kulia digrii hutolewa kutoka chini ya logarithm:
Matokeo yake, upande wa kulia tuna bidhaa ya kazi mbili, ambazo zitatofautishwa kulingana na formula ya kawaida 
.
Tunapata derivative; kwa kufanya hivyo, tunafunga sehemu zote mbili chini ya viboko:
Vitendo zaidi ni rahisi:
Hatimaye: 
Ikiwa ubadilishaji wowote hauko wazi kabisa, tafadhali soma tena maelezo ya Mfano Na. 11 kwa makini.
Katika kazi za vitendo, kazi ya kielelezo cha nguvu itakuwa ngumu zaidi kuliko mfano wa mihadhara unaozingatiwa.
Mfano 13
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Tunatumia derivative ya logarithmic. 
Upande wa kulia tunayo mara kwa mara na bidhaa ya mambo mawili - "x" na "logarithm ya logarithm x" (logarithm nyingine imewekwa chini ya logarithm). Wakati wa kutofautisha, kama tunavyokumbuka, ni bora kusonga mara kwa mara kutoka kwa ishara ya derivative ili isiingie; na, bila shaka, tunatumia kanuni inayojulikana 
:
Rahisi sana kukumbuka.
Naam, tusiende mbali, hebu tufikirie mara moja kazi ya inverse. Je, ni chaguo gani cha kukokotoa ambacho ni kinyume cha chaguo za kukokotoa za kielelezo? Logarithm:
Kwa upande wetu, msingi ni nambari:
Logarithm kama hiyo (yaani, logarithm iliyo na msingi) inaitwa "asili", na tunatumia nukuu maalum kwa hiyo: tunaandika badala yake.
Je, ni sawa na nini? Bila shaka,.
Derivative ya logarithm asili pia ni rahisi sana:
Mifano:
- Pata derivative ya chaguo za kukokotoa.
- Je, derivative ya kitendakazi ni nini?
Majibu: Logarithmu ya kielelezo na asilia ni vitendaji rahisi vya kipekee kutoka kwa mtazamo wa derivative. Kazi za kielelezo na logarithmic na msingi mwingine wowote zitakuwa na derivative tofauti, ambayo tutachambua baadaye, baada ya kupitia sheria za utofautishaji.
Kanuni za kutofautisha
Kanuni za nini? Tena muhula mpya, tena?!...
Utofautishaji ni mchakato wa kutafuta derivative.
Ni hayo tu. Nini kingine unaweza kuiita mchakato huu kwa neno moja? Sio derivative... Wanahisabati huita tofauti hiyo nyongeza sawa ya chaguo za kukokotoa katika. Neno hili linatokana na tofauti ya Kilatini - tofauti. Hapa.
Wakati wa kupata sheria hizi zote, tutatumia kazi mbili, kwa mfano, na. Tutahitaji pia fomula za nyongeza zao:
Kuna sheria 5 kwa jumla.
Mara kwa mara huchukuliwa nje ya ishara ya derivative.
Ikiwa - idadi fulani ya mara kwa mara (mara kwa mara), basi.
Kwa wazi, sheria hii pia inafanya kazi kwa tofauti:.
Hebu tuthibitishe. Wacha iwe, au rahisi zaidi.
Mifano.
Pata derivatives ya kazi:
- kwa uhakika;
- kwa uhakika;
- kwa uhakika;
- kwa uhakika.
Ufumbuzi:
- (derivative ni sawa katika pointi zote, kwa kuwa ni kazi ya mstari, kumbuka?);
Derivative ya bidhaa
Kila kitu ni sawa hapa: hebu tuanzishe kazi mpya na tupate nyongeza yake:
Nyingine:
Mifano:
- Pata derivatives ya kazi na;
- Pata derivative ya chaguo za kukokotoa kwa uhakika.
Ufumbuzi:
Nyingine ya kipengele cha kukokotoa cha kukokotoa
Sasa maarifa yako yanatosha kujifunza jinsi ya kupata derivative ya kazi yoyote ya kielelezo, na sio watangazaji tu (umesahau ni nini bado?).
Kwa hivyo, nambari fulani iko wapi.
Tayari tunajua derivative ya chaguo la kukokotoa, kwa hivyo hebu tujaribu kupunguza utendaji wetu kwa msingi mpya:
Ili kufanya hivyo, tutatumia kanuni rahisi:. Kisha:
Naam, ilifanya kazi. Sasa jaribu kupata derivative, na usisahau kwamba kazi hii ni ngumu.
Imetokea?
Hapa, jiangalie mwenyewe:
Njia hiyo iligeuka kuwa sawa na derivative ya kielelezo: kama ilivyokuwa, inabakia sawa, sababu tu ilionekana, ambayo ni nambari tu, lakini sio kutofautisha.
Mifano:
Pata derivatives ya kazi:
Majibu:
Hii ni nambari tu ambayo haiwezi kuhesabiwa bila calculator, yaani, haiwezi kuandikwa kwa fomu rahisi. Kwa hiyo, tunaiacha katika fomu hii katika jibu.
Kumbuka kuwa hapa kuna mgawo wa kazi mbili, kwa hivyo tunatumia sheria inayolingana ya kutofautisha:
Katika mfano huu, bidhaa ya kazi mbili:
Nyingine ya kitendakazi cha logarithmic
Ni sawa hapa: tayari unajua derivative ya logarithm asili:
Kwa hivyo, kupata logarithm ya kiholela na msingi tofauti, kwa mfano:
Tunahitaji kupunguza logarithm hii kwa msingi. Je, unabadilishaje msingi wa logariti? Natumai unakumbuka formula hii:
Sasa tu tutaandika badala yake:
Denominator ni mara kwa mara (idadi ya mara kwa mara, bila kutofautiana). Derivative hupatikana kwa urahisi sana:
Miigo ya vipengele vya kipeo na logarithmic haipatikani kamwe katika Uchunguzi wa Nchi Iliyounganishwa, lakini haitakuwa jambo la juu sana kuyafahamu.
Inatokana na utendaji kazi changamano.
"Kazi ngumu" ni nini? Hapana, hii sio logarithm, na sio arctangent. Kazi hizi zinaweza kuwa ngumu kuelewa (ingawa ikiwa unaona logarithm kuwa ngumu, soma mada "Logarithms" na utakuwa sawa), lakini kutoka kwa mtazamo wa hisabati, neno "tata" haimaanishi "ngumu".
Hebu fikiria ukanda mdogo wa conveyor: watu wawili wameketi na kufanya baadhi ya vitendo na baadhi ya vitu. Kwa mfano, wa kwanza hufunga bar ya chokoleti kwenye kitambaa, na ya pili inaifunga kwa Ribbon. Matokeo yake ni kitu cha mchanganyiko: bar ya chokoleti imefungwa na imefungwa na Ribbon. Ili kula bar ya chokoleti, unahitaji kufanya hatua za nyuma kwa utaratibu wa nyuma.
Wacha tuunda bomba la kihesabu sawa: kwanza tutapata cosine ya nambari, na kisha mraba nambari inayosababisha. Kwa hiyo, tunapewa namba (chokoleti), napata cosine yake (wrapper), na kisha unaweka mraba kile nilichopata (kuifunga kwa Ribbon). Nini kimetokea? Kazi. Huu ni mfano wa kazi ngumu: wakati, ili kupata thamani yake, tunafanya hatua ya kwanza moja kwa moja na kutofautiana, na kisha hatua ya pili na kile kilichotokea kutoka kwa kwanza.
Kwa maneno mengine, kiutendaji changamano ni kitendakazi ambacho hoja yake ni uamilifu mwingine: .
Kwa mfano wetu,.
Tunaweza kufanya hatua zile zile kwa urahisi kwa mpangilio wa nyuma: kwanza unaiweka mraba, na kisha nitatafuta cosine ya nambari inayosababisha: . Ni rahisi kudhani kuwa matokeo yatakuwa karibu kila wakati kuwa tofauti. Kipengele muhimu cha kazi ngumu: wakati utaratibu wa vitendo unabadilika, kazi inabadilika.
Mfano wa pili: (kitu kile kile). .
Kitendo tunachofanya mwisho kitaitwa kazi ya "nje"., na hatua iliyofanywa kwanza - ipasavyo kazi ya "ndani".(haya ni majina yasiyo rasmi, ninayatumia tu kuelezea nyenzo kwa lugha rahisi).
Jaribu kuamua mwenyewe ni kazi gani ya nje na ya ndani:
Majibu: Kutenganisha vitendaji vya ndani na nje ni sawa na kubadilisha vigeu: kwa mfano, katika kitendakazi
- Tutafanya hatua gani kwanza? Kwanza, hebu tuhesabu sine, na kisha tu mchemraba. Hii ina maana kwamba ni kazi ya ndani, lakini ya nje.
Na kazi ya awali ni utungaji wao:. - Ndani:; ya nje: .
Mtihani:. - Ndani:; ya nje: .
Mtihani:. - Ndani:; ya nje: .
Mtihani:. - Ndani:; ya nje: .
Mtihani:.
Tunabadilisha vigezo na kupata kazi.
Kweli, sasa tutatoa bar yetu ya chokoleti na tutafute derivative. Utaratibu daima hubadilishwa: kwanza tunatafuta derivative ya kazi ya nje, kisha tunazidisha matokeo kwa derivative ya kazi ya ndani. Kuhusiana na mfano wa asili, inaonekana kama hii:
Mfano mwingine:
Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria rasmi:
Algorithm ya kupata derivative ya kazi ngumu:
Inaonekana rahisi, sawa?
Wacha tuangalie na mifano:
Ufumbuzi:
1) Ndani:;
Ya nje: ;
2) Ndani:;
(Usijaribu kuikata kwa sasa! Hakuna kitu kinachotoka chini ya cosine, unakumbuka?)
3) Ndani:;
Ya nje: ;
Ni wazi mara moja kuwa hii ni kazi ngumu ya ngazi tatu: baada ya yote, hii tayari ni kazi ngumu yenyewe, na pia tunatoa mzizi kutoka kwayo, ambayo ni, tunafanya hatua ya tatu (kuweka chokoleti kwenye kitambaa. na utepe kwenye mkoba). Lakini hakuna sababu ya kuogopa: bado "tutafungua" kazi hii kwa utaratibu sawa na kawaida: kutoka mwisho.
Hiyo ni, kwanza tunatofautisha mzizi, kisha cosine, na kisha tu usemi katika mabano. Na kisha tunazidisha yote.
Katika hali kama hizi, ni rahisi kuhesabu vitendo. Hiyo ni, hebu fikiria kile tunachojua. Je, ni kwa utaratibu gani tutafanya vitendo ili kukokotoa thamani ya usemi huu? Hebu tuangalie mfano:
Baadaye hatua inafanywa, zaidi ya "nje" kazi inayofanana itakuwa. Mlolongo wa vitendo ni sawa na hapo awali:
Hapa kiota kwa ujumla ni 4-level. Wacha tuamue mkondo wa hatua.
1. Usemi mkali. .
2. Mzizi. .
3. Sine. .
4. Mraba. .
5. Kuweka yote pamoja:
NUKUU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Nyingi ya chaguo za kukokotoa- uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa na ongezeko la hoja kwa nyongeza isiyo na kikomo ya hoja:
Viingilio vya msingi:
Kanuni za kutofautisha:
Mara kwa mara hutolewa nje ya ishara inayotokana:
Inatokana na jumla:
Derivative ya bidhaa:
Derivative ya mgawo:
Inayotokana na kazi ngumu:
Algorithm ya kupata derivative ya kazi ngumu:
- Tunafafanua kazi ya "ndani" na kupata derivative yake.
- Tunafafanua kazi ya "nje" na kupata derivative yake.
- Tunazidisha matokeo ya alama ya kwanza na ya pili.
Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Mifano miwili ifuatayo inaweza kuonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaielewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine katika calculus tofauti kitaonekana kama utani wa mtoto.
Mfano 2
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha mbinu muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kwa kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani hii kwenye "usemi wa kutisha".
1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.
2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:
4) Kisha mchemraba cosine:
5) Katika hatua ya tano tofauti ni:
6) Na mwishowe, kazi ya nje ni mzizi wa mraba: 
Mfumo wa kutofautisha kazi changamano 
hutumika kwa mpangilio wa nyuma, kutoka kitendakazi cha nje hadi cha ndani kabisa. Tunaamua:
Inaonekana bila makosa:
1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.
2) Chukua derivative ya tofauti kwa kutumia sheria 
3) Derivative ya triple ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).
4) Chukua derivative ya cosine.
6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.
Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.
Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.
Mfano 3
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa ya mambo matatu?
Mfano 4
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.
Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa 
mara mbili
Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli 
- hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:
Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili kwa mabano:
Unaweza pia kupotoshwa na kuweka kitu nje ya mabano, lakini katika kesi hii ni bora kuacha jibu haswa katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.
Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili:
Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.
Mfano 5
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.
Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.
Mfano 6
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa 
Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:
Au kama hii:
Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo 
, ikichukua kwa nambari nzima:
Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa?
Wacha tupunguze usemi wa nambari kuwa dhehebu la kawaida na tuondoe muundo wa hadithi tatu wa sehemu.:
Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.
Mfano rahisi wa kutatua peke yako:
Mfano 7
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.
Utoaji wa fomula ya kitoleo cha chaguo za kukokotoa nguvu (x kwa nguvu ya a). Derivatives kutoka kwa mizizi ya x huzingatiwa. Mfumo wa kitoleo cha utendaji kazi wa mpangilio wa juu wa nguvu. Mifano ya kuhesabu derivatives.
MaudhuiAngalia pia: Kazi ya nguvu na mizizi, fomula na grafu
Grafu za Kazi ya Nguvu
Kanuni za msingi
Nyingine ya x kwa nguvu ya a ni sawa na mara x kwa nguvu ya minus moja:
(1)
.
Derivative ya mzizi wa nth wa x hadi nguvu ya mth ni:
(2)
.
Utoaji wa fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa nishati
Kesi x > 0
Fikiria kazi ya nguvu ya kutofautisha x na kielelezo a:
(3)
.
Hapa kuna nambari halisi ya kiholela. Hebu kwanza tufikirie kesi hiyo.
Ili kupata derivative ya chaguo la kukokotoa (3), tunatumia sifa za kazi ya nguvu na kuibadilisha kuwa fomu ifuatayo:
.
Sasa tunapata derivative kutumia:
;
.
Hapa .
Mfumo (1) umethibitishwa.
Utoaji wa fomula ya kitovu cha mzizi wa digrii n ya x hadi kiwango cha m
Sasa fikiria kazi ambayo ni mzizi wa fomu ifuatayo:
(4)
.
Ili kupata derivative, tunabadilisha mzizi kuwa kazi ya nguvu:
.
Tukilinganisha na fomula (3) tunaona hivyo
.
Kisha
.
Kwa kutumia formula (1) tunapata derivative:
(1)
;
;
(2)
.
Katika mazoezi, hakuna haja ya kukariri formula (2). Ni rahisi zaidi kubadilisha kwanza mizizi kuwa vitendaji vya nguvu, na kisha kupata derivatives yao kwa kutumia fomula (1) (tazama mifano mwishoni mwa ukurasa).
Kesi x = 0
Ikiwa , basi kazi ya nguvu inafafanuliwa kwa thamani ya kutofautiana x = 0
. Wacha tupate derivative ya kazi (3) kwa x = 0
. Ili kufanya hivyo, tunatumia ufafanuzi wa derivative:
.
Wacha tubadilishe x = 0
:
.
Katika kesi hii, kwa derivative tunamaanisha kikomo cha mkono wa kulia ambacho .
Kwa hivyo tulipata:
.
Kutokana na hili ni wazi kwamba kwa ,.
Katika , .
Katika , .
Matokeo haya pia yanapatikana kutoka kwa fomula (1):
(1)
.
Kwa hivyo, fomula (1) pia ni halali kwa x = 0
.
Kesi x< 0
Zingatia chaguo za kukokotoa (3) tena:
(3)
.
Kwa maadili fulani ya mara kwa mara a, pia hufafanuliwa kwa maadili hasi ya kutofautiana x. Yaani, iwe nambari ya busara. Basi inaweza kuwakilishwa kama sehemu isiyoweza kupunguzwa:
,
ambapo m na n ni nambari kamili ambazo hazina kigawanyiko cha kawaida.
Ikiwa n ni isiyo ya kawaida, basi kazi ya nguvu pia inafafanuliwa kwa maadili hasi ya kutofautisha x. Kwa mfano, wakati n = 3
na m = 1
tunayo mzizi wa mchemraba wa x:
.
Pia inafafanuliwa kwa maadili hasi ya kutofautisha x.
Wacha tupate derivative ya kazi ya nguvu (3) kwa na kwa maadili ya busara ya a mara kwa mara ambayo imefafanuliwa. Ili kufanya hivyo, wacha tuwakilishe x katika fomu ifuatayo:
.
Kisha,
.
Tunapata derivative kwa kuweka mara kwa mara nje ya ishara ya derivative na kutumia kanuni ya kutofautisha kazi changamano:
.
Hapa . Lakini
.
Tangu wakati huo
.
Kisha
.
Hiyo ni, formula (1) pia ni halali kwa:
(1)
.
Vito vya mpangilio wa juu
Sasa hebu tupate derivatives za utaratibu wa juu wa kazi ya nguvu
(3)
.
Tayari tumepata derivative ya agizo la kwanza:
.
Kuchukua mara kwa mara nje ya ishara ya derivative, tunapata derivative ya mpangilio wa pili:
.
Vile vile, tunapata derivatives ya amri ya tatu na ya nne:
;
.
Kutokana na hili ni wazi kuwa derivative ya utaratibu nth holela ina fomu ifuatayo:
.
taarifa, hiyo ikiwa a ni nambari ya asili, basi derivative ya nth ni thabiti:
.
Kisha derivatives zote zinazofuata ni sawa na sifuri:
,
katika .
Mifano ya kuhesabu derivatives
Mfano
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:
.
Wacha tubadilishe mizizi kuwa nguvu:
;
.
Kisha kazi ya asili inachukua fomu:
.
Kupata derivatives ya nguvu:
;
.
Derivative ya mara kwa mara ni sifuri:
.