Kutatua mifano ya milinganyo ya kimantiki ya suluhu. Milinganyo rahisi zaidi ya kimantiki

$\ bullet$ Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo unaowakilishwa katika umbo \[\dfrac(P(x))(Q(x)))=0\] ambapo $P(x), \Q(x)\ ) - polynomials (jumla ya "X" katika mamlaka mbalimbali, ikizidishwa na nambari mbalimbali).
Usemi ulio upande wa kushoto wa mlinganyo unaitwa usemi wa busara.
EA (anuwai mbalimbali za thamani zinazokubalika) za mlingano wa kimantiki ni thamani zote za \(x$ ambapo kipunguzo HACHOTEI, yaani, $Q(x)\ne 0$ .
$\ bullet$ Kwa mfano, milinganyo \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] ni milinganyo ya kimantiki.
Katika ya kwanza Mlinganyo wa ODZ- hizi zote ni $x$ kwamba $x\ne 3$ (kuandika $x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)$); katika mlinganyo wa pili - hizi zote ni $x$ kiasi kwamba $x\ne -1; x\ne 1$ (kuandika $x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$); na katika equation ya tatu hakuna vikwazo kwa ODZ, yaani, ODZ ni yote $x$ (wanaandika $x\in\mathbb(R)$). $\bullet$ Nadharia:
1) Bidhaa ya mambo mawili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa moja wao sawa na sifuri, na nyingine haipotezi maana, kwa hivyo, equation $f(x)\cdot g(x)=0$ ni sawa na mfumo. \[\anza(kesi) \kushoto[ \anza(zilizokusanywa)\anza(zinazolingana) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \mwisho(zilizopangiliwa) \mwisho(zilizokusanywa) \kulia.\\\\ maandishi(milinganyo ya ODZ)\mwisho(kesi)\] 2) Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa nambari ni sawa na sifuri na kiashiria sio sawa na sifuri, kwa hivyo, equation $\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) ni sawa na mfumo wa milinganyo \[\anza(kesi) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \mwisho(kesi)\]\(\bullet$ Hebu tuangalie mifano michache.

1) Tatua mlingano $x+1=\dfrac 2x$ . Wacha tupate ODZ kupewa mlinganyo ni $x\ne 0$ (kwa kuwa $x$ iko katika dhehebu).
Hii ina maana kwamba ODZ inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: .
Wacha tuhamishe maneno yote katika sehemu moja na tuwalete kwa dhehebu moja: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \start( kesi) x^2+x-2=0\\x\ne 0\mwisho(kesi)\] Suluhisho la equation ya kwanza ya mfumo itakuwa $x=-2, x=1$ . Tunaona kwamba mizizi yote miwili sio sifuri. Kwa hivyo, jibu ni: $x\in \(-2;1$\) .

2) Tatua mlinganyo $\kushoto(\dfrac4x - 2\kulia)\cdot (x^2-x)=0$. Hebu tutafute ODZ ya mlingano huu. Tunaona kwamba thamani pekee ya $x$ ambayo upande wa kushoto haina maana ni $x=0$ . Kwa hivyo, ODZ inaweza kuandikwa kama hii: $x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.
Kwa hivyo, equation hii ni sawa na mfumo:

\[\anza(kesi) \kushoto[ \anza(zilizokusanywa)\anza(zilizopangiliwa) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \mwisho(zilizopangiliwa) \mwisho(zilizokusanywa) \kulia. \\ x\ne 0 \mwisho(kesi) \quad \Mshale wa kushoto \quad \anza(kesi) \kushoto[ \anza(zilizokusanywa)\anza(zilizopangiliwa) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \mwisho(zilizopangiliwa) \mwisho(zilizokusanywa) \kulia.\\ x\ne 0 \mwisho(kesi) \quad \Mshale wa kushoto \quad \anza(kesi) \kushoto[ \anza(zilizokusanywa)\anza(zilizopangiliwa) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \mwisho(zilizopangiliwa) \mwisho(zilizokusanywa) \kulia.\\ x\ne 0 \mwisho(kesi) \quad \Mshale wa kushoto \quad \kushoto[ \anza(zilizokusanywa) \anza(iliyopangwa) &x=2\\ &x=1 \mwisho(iliyopangwa) \mwisho(imekusanywa) \kulia.\] Hakika, licha ya ukweli kwamba $x=0$ ndio mzizi wa jambo la pili, ikiwa utabadilisha $x=0$ kwenye equation ya asili, basi haitakuwa na maana, kwa sababu. usemi $\dfrac 40$ haujafafanuliwa.
Kwa hivyo, suluhisho la mlinganyo huu ni $x\in \(1;2$\) .

3) Tatua mlinganyo \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Katika mlingano wetu $4x^2-1\ne 0$ , ambapo $(2x-1)(2x+1)\ne 0$ , yaani, $x\ne -\frac12; \frac12) $.
Wacha tuhamishe masharti yote upande wa kushoto na ulete kwa dhehebu la kawaida:

$\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Mshale wa kushoto \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow$

$\Mshale wa kushoto \quad \anza(kesi) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \mwisho(kesi) \quad \Mshale wa kushoto \quad \anza(kesi) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \mwisho(kesi) \quad \Mshale wa kushoto \quad \anza(kesi) \kushoto[ \anza(zilizokusanywa) \anza( iliyokaa) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \mwisho(iliyopangwa)\mwisho(imekusanywa) \kulia.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \mwisho(kesi) \quad \ kishale cha kushoto \quad x=-3$

Jibu: $x\in \(-3$\) .

Maoni. Ikiwa jibu lina seti ndogo ya nambari, basi zinaweza kuandikwa zikitenganishwa na semicolons katika brashi za curly, kama inavyoonyeshwa katika mifano iliyotangulia.

Shida ambazo zinahitaji kusuluhisha hesabu za busara hukutana kila mwaka katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, kwa hivyo wakati wa kuandaa kupitisha mtihani wa udhibitisho, wahitimu wanapaswa kurudia nadharia juu ya mada hii peke yao. Wahitimu wakichukua zote za msingi na kiwango cha wasifu mtihani. Baada ya kufahamu nadharia na kushughulikia mazoezi ya vitendo juu ya mada "Rational Equations", wanafunzi wataweza kutatua matatizo na idadi yoyote ya vitendo na kuhesabu kupokea alama za ushindani kulingana na matokeo ya kupita mtihani wa Jimbo la Umoja.

Jinsi ya kujiandaa kwa mtihani kwa kutumia portal ya elimu ya Shkolkovo?

Wakati mwingine unaweza kupata chanzo ambacho kinawasilisha kikamilifu nadharia ya msingi ya kutatua matatizo ya hisabati inageuka kuwa ngumu sana. Kitabu cha kiada kinaweza kuwa hakipo karibu. Na kupata fomula muhimu wakati mwingine inaweza kuwa ngumu hata kwenye mtandao.

Lango la elimu la Shkolkovo litakuondolea hitaji la kutafuta nyenzo zinazohitajika na itakusaidia kujiandaa vyema kwa kufaulu mtihani wa uthibitisho.

Wote nadharia muhimu juu ya mada "Rational Equations" wataalamu wetu walitayarisha na kuwasilishwa kwa kiwango cha juu fomu inayopatikana. Baada ya kusoma habari iliyotolewa, wanafunzi wataweza kujaza mapengo katika maarifa.

Kwa maandalizi yenye mafanikio Kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja kwa wahitimu ni lazima si tu brush up juu ya msingi nyenzo za kinadharia juu ya mada "Milingano ya Rational", lakini kufanya mazoezi ya kukamilisha kazi mifano maalum. Uchaguzi mkubwa wa kazi unawasilishwa katika sehemu ya "Katalogi".

Kwa kila zoezi kwenye tovuti, wataalam wetu wameandika algorithm ya suluhisho na walionyesha jibu sahihi. Wanafunzi wanaweza kufanya mazoezi ya kutatua matatizo viwango tofauti ugumu kulingana na kiwango cha maandalizi. Orodha ya kazi katika sehemu inayolingana inaongezewa kila wakati na kusasishwa.

Soma nyenzo za kinadharia na uboresha ustadi wa utatuzi wa shida kwenye mada "Milingano ya Rational", sawa na ile iliyojumuishwa katika Majaribio ya Mitihani ya Jimbo la Umoja, inaweza kufanyika mtandaoni. Ikiwa ni lazima, kazi yoyote iliyowasilishwa inaweza kuongezwa kwenye sehemu ya "Favorites". Kurudia tena nadharia ya msingi juu ya mada "Rational Equations", mwanafunzi wa shule ya sekondari ataweza kurudi kwenye tatizo katika siku zijazo ili kujadili maendeleo ya ufumbuzi wake na mwalimu katika somo la algebra.

Wasilisho na somo juu ya mada: "Milinganyo ya busara. Algorithm na mifano ya kutatua milinganyo ya busara"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Misaada ya kielimu na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 8
Mwongozo wa kitabu cha maandishi na Makarychev Yu.N. Mwongozo wa kitabu cha maandishi na Mordkovich A.G.

Utangulizi wa Milinganyo Isiyo na Maana

Jamani, tulijifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Lakini hisabati sio mdogo kwao tu. Leo tutajifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya busara. Dhana milinganyo ya kimantiki inafanana sana na dhana nambari za busara. Mbali na nambari tu, sasa tumeanzisha mabadiliko fulani $x$. Na kwa hivyo tunapata usemi ambao shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha, kugawanya na kuongeza kwa nguvu kamili zipo.

Acha $r(x)$ iwe kujieleza kwa busara . Usemi kama huo unaweza kuwa polima rahisi katika kigezo cha $x$ au uwiano wa polimanomia (operesheni ya mgawanyiko inaletwa, kama ilivyo kwa nambari za busara).
Equation $r(x)=0$ inaitwa mlinganyo wa busara.
Mlinganyo wowote wa fomu $p(x)=q(x)$, ambapo $p(x)$ na $q(x)$ ni vielezi vya busara, pia itakuwa. mlinganyo wa busara.

Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya busara.

Mfano 1.
Tatua mlingano: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Suluhisho.
Hebu tuhamishe misemo yote kwa upande wa kushoto: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ikiwa upande wa kushoto wa equation uliwakilishwa nambari za kawaida, basi tungeleta sehemu mbili kwa dhehebu moja.
Hebu tufanye hivi: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Tulipata mlingano: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa nambari ya sehemu ni sifuri na denominator sio sifuri. Kisha tunalinganisha nambari kwa sifuri na kupata mizizi ya nambari.
$3(x^2+2x-3)=0$ au $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sasa hebu tuangalie denominator ya sehemu: $(x-3)*x≠0$.
Bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya nambari hizi ni sawa na sifuri. Kisha: $x≠0$ au $x-3≠0$.
$x≠0$ au $x≠3$.
Mizizi iliyopatikana katika nambari na denominator hailingani. Kwa hivyo tunaandika mizizi yote miwili ya nambari kwenye jibu.
Jibu: $x=1$ au $x=-3$.

Ikiwa ghafla moja ya mizizi ya nambari inaambatana na mzizi wa dhehebu, basi inapaswa kutengwa. Mizizi kama hiyo inaitwa extraneous!

Algorithm ya kutatua milinganyo ya busara:

1. Hamisha misemo yote iliyo katika mlinganyo kwa upande wa kushoto kutoka kwa ishara sawa.
2. Badilisha sehemu hii ya mlinganyo kuwa sehemu ya algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Sawazisha nambari inayotokana na sifuri, yaani, suluhisha mlinganyo $p(x)=0$.
4. Sawazisha denominator kwa sifuri na kutatua usawa unaosababisha. Ikiwa mizizi ya denominator inafanana na mizizi ya nambari, basi inapaswa kutengwa na jibu.

Mfano 2.
Tatua mlingano: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Suluhisho.
Wacha tusuluhishe kulingana na vidokezo vya algorithm.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Sawazisha nambari na sufuri: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Sawazisha dhehebu kwa sifuri:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ na $x=-1$.
Moja ya mizizi $x=1$ inapatana na mzizi wa nambari, basi hatuiandiki katika jibu.
Jibu: $x=-1$.

Ni rahisi kutatua equations za busara kwa kutumia njia ya mabadiliko ya vigezo. Hebu tuonyeshe hili.

Mfano 3.
Tatua mlingano: $x^4+12x^2-64=0$.

Suluhisho.
Hebu tutambulishe kibadala: $t=x^2$.
Kisha equation yetu itachukua fomu:
$t^2+12t-64=0$ - mlingano wa quadratic wa kawaida.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Hebu tuanzishe ubadilishaji wa kinyume: $x^2=4$ au $x^2=-16$.
Mizizi ya mlingano wa kwanza ni jozi ya nambari $x=±2$. Jambo la pili ni kwamba haina mizizi.
Jibu: $x=±2$.

Mfano 4.
Tatua mlingano: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Suluhisho.
Hebu tutambulishe kigezo kipya: $t=x^2+x+1$.
Kisha equation itachukua fomu: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ifuatayo, tutaendelea kulingana na algorithm.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - mizizi haifai sanjari.
Wacha tuanzishe kibadala cha kinyume.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Wacha tusuluhishe kila equation kando:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hapana mizizi
Na mlinganyo wa pili: $x^2+x-2=0$.
Mizizi ya mlingano huu itakuwa nambari $x=-2$ na $x=1$.
Jibu: $x=-2$ na $x=1$.

Mfano 5.
Tatua mlingano: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Suluhisho.
Wacha tuanzishe kibadala: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kisha:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ au $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Tulipata mlinganyo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Mizizi ya equation hii ni jozi:
$t=-3$ na $t=2$.
Wacha tuanzishe ubadilishaji wa kinyume:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Tutaamua tofauti.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Wacha tusuluhishe equation ya pili:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Mzizi wa mlinganyo huu ni nambari $x=1$.
Jibu: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

Tatua milinganyo:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Tayari tumejifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Sasa wacha tuongeze njia zilizosomwa kwa milinganyo ya busara.

Usemi wa busara ni nini? Tayari tumekutana na dhana hii. Maneno ya busara ni semi zinazoundwa na nambari, vigeu, nguvu zao na alama za shughuli za hisabati.

Ipasavyo, milinganyo ya kimantiki ni milinganyo ya fomu: , wapi - maneno ya busara.

Hapo awali, tulizingatia milinganyo ya busara tu ambayo inaweza kupunguzwa hadi ya mstari. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya kimantiki ambayo inaweza kupunguzwa hadi milinganyo ya quadratic.

Mfano 1

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Sehemu ni sawa na 0 ikiwa na ikiwa tu nambari yake ni sawa na 0 na denominator yake si sawa na 0.

Tunapata mfumo ufuatao:

Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic. Kabla ya kuitatua, hebu tugawanye coefficients zake zote na 3. Tunapata:

Tunapata mizizi miwili:; .

Kwa kuwa 2 hailingani na 0, masharti mawili lazima yatimizwe: . Kwa kuwa hakuna mizizi ya equation iliyopatikana hapo juu inayoambatana na maadili batili vigezo ambavyo vilipatikana kwa kutatua usawa wa pili, zote mbili ni suluhisho la mlingano huu.

Jibu:.

Kwa hivyo, wacha tuunda algorithm ya kutatua hesabu za busara:

1. Sogeza masharti yote kwa upande wa kushoto ili upande wa kulia umalizie na 0.

2. Badilisha na kurahisisha upande wa kushoto, kuleta sehemu zote kwa dhehebu la kawaida.

3. Sawazisha sehemu inayotokana na 0 kwa kutumia algoriti ifuatayo: .

4. Andika mizizi hiyo iliyopatikana katika mlingano wa kwanza na ukidhi usawa wa pili katika jibu.

Hebu tuangalie mfano mwingine.

Mfano 2

Tatua mlinganyo: .

Suluhisho

Mwanzoni kabisa, tunasogeza masharti yote kushoto ili 0 ibaki kulia. Tunapata:

Sasa wacha tulete upande wa kushoto wa equation kwa dhehebu la kawaida:

Equation hii ni sawa na mfumo:

Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic.

Coefficients ya mlingano huu:. Tunahesabu ubaguzi:

Tunapata mizizi miwili:; .

Sasa wacha tusuluhishe usawa wa pili: bidhaa ya sababu sio sawa na 0 ikiwa na tu ikiwa hakuna sababu yoyote ni sawa na 0.

Masharti mawili lazima yatimizwe: . Tunaona kwamba kati ya mizizi miwili ya equation ya kwanza, ni moja tu inayofaa - 3.

Jibu:.

Katika somo hili, tulikumbuka usemi wa busara ni nini, na pia tulijifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki, ambayo hupunguza hadi milinganyo ya quadratic.

Katika somo linalofuata tutaangalia milinganyo ya kimantiki kama mifano ya hali halisi, na pia tutaangalia matatizo ya mwendo.

Bibliografia

Bashmakov M.I. Algebra, daraja la 8. - M.: Elimu, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na wengine Algebra, 8. 5th ed. - M.: Elimu, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, daraja la 8. Mafunzo kwa taasisi za elimu. - M.: Elimu, 2006.

Tamasha mawazo ya ufundishaji "Somo la umma" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Kazi ya nyumbani

Smirnova Anastasia Yurievna

Aina ya somo: somo la kujifunza nyenzo mpya.

Fomu ya shirika shughuli za elimu : mbele, mtu binafsi.

Kusudi la somo: kuanzisha aina mpya ya hesabu - hesabu za busara za sehemu, kutoa wazo la algorithm ya kutatua hesabu za busara za sehemu.

Malengo ya somo.

Kielimu:

malezi ya dhana ya equation ya busara ya sehemu;
fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri;
fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algoriti.

Maendeleo:

kuunda hali za kukuza ujuzi katika kutumia maarifa yaliyopatikana;
kukuza maendeleo nia ya utambuzi wanafunzi kwa somo;
kukuza uwezo wa wanafunzi kuchanganua, kulinganisha na kufikia hitimisho;
maendeleo ya ujuzi wa udhibiti wa pamoja na kujidhibiti, tahadhari, kumbukumbu, mdomo na kuandika, uhuru.

Kuelimisha:

kukuza hamu ya utambuzi katika somo;
kukuza uhuru katika kufanya maamuzi kazi za elimu;
kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Vifaa: kitabu cha kiada, ubao, kalamu za rangi.

Kitabu cha maandishi "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, iliyohaririwa na S.A. Telyakovsky. Moscow "Mwangaza". 2010

Washa mada hii saa tano zimetengwa. Hili ni somo la kwanza. Jambo kuu ni kusoma algorithm ya kutatua hesabu za busara za sehemu na kufanya mazoezi ya algorithm hii katika mazoezi.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Leo ningependa kuanza somo letu na quatrain:
Ili kufanya maisha iwe rahisi kwa kila mtu,
Nini kitaamuliwa, nini kitawezekana,
Tabasamu, bahati nzuri kwa kila mtu,
Ili hakuna shida,
Tulitabasamu kwa kila mmoja na kuunda hali nzuri na kuanza kazi.

Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

Milinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni misemo ya kimantiki ya sehemu huitwa milinganyo ya kimantiki ya kimantiki. Unafikiri tutasoma nini darasani leo? Tengeneza mada ya somo. Kwa hivyo, fungua daftari zako na uandike mada ya somo "Kutatua hesabu za busara za sehemu."

2. Kusasisha maarifa. Uchunguzi wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tunahitaji kusoma mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)
Jina la nambari ya equation 1 ni nini? ( Linear.) Suluhisho milinganyo ya mstari. (Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Kuongoza masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).
Jina la nambari ya equation 3 ni nini? ( Mraba.) Ufumbuzi milinganyo ya quadratic. (P kuhusu fomula)
Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)
Ni mali gani hutumika wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)
Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ambayo mlinganyo wa kimantiki wa sehemu Je, unaweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jibu: 3;4.

Tutaangalia kusuluhisha milinganyo kama mlingano Na. 7 katika masomo yafuatayo.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Hadi sasa, wanafunzi hawajakutana na dhana ya mzizi wa nje; kwa kweli ni vigumu sana kwao kuelewa kwa nini hii ilitokea. Ikiwa hakuna mtu katika darasa anayeweza kutoa maelezo ya wazi ya hali hii, basi mwalimu anauliza maswali ya kuongoza.

Je, milinganyo Nambari 2 na 4 inatofautiana vipi na milinganyo Na. 5 na 6? ( Katika equations No 2 na 4 kuna namba katika denominator, No. 5-6 - maneno yenye kutofautiana..)
Nini mzizi wa equation? ( Thamani ya kigezo ambamo mlinganyo huwa usawa wa kweli .)
Jinsi ya kujua ikiwa nambari ndio mzizi wa equation? ( Fanya hundi.)

Wakati wa kupima, baadhi ya wanafunzi wanaona kwamba wanapaswa kugawanya kwa sifuri. Wanahitimisha kuwa nambari 0 na 5 sio mizizi ya mlingano huu. Swali linatokea: je, kuna njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki ambayo inaruhusu sisi kuondoa kosa hili? Ndiyo, njia hii inategemea hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.
Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.
Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.
Tatua mlinganyo.
Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.
Andika jibu.

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b,c); Nambari 601(a,e). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mizizi ya nje. Jibu: 3.

c) 2 - mizizi ya nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

Soma fungu la 25 kutoka kwenye kitabu, chunguza mifano 1-3.
Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.
Tatua katika daftari Nambari 600 (d, d); Nambari 601(g,h).

6. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara za sehemu, tulijifunza jinsi ya kutatua hesabu hizi. njia tofauti. Bila kujali jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki, unapaswa kukumbuka nini? Ni nini "ujanja" wa milinganyo ya kimantiki ya sehemu?

Asante kila mtu, somo limekwisha.

"Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu"

Malengo ya somo:

Kielimu:

malezi ya dhana ya milinganyo ya kimantiki ya sehemu; fikiria njia mbalimbali za kutatua equations za busara za sehemu; fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri; fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algorithm; kuangalia kiwango cha umilisi wa mada kwa kufanya mtihani.

Maendeleo:

shughuli za akili

kufikiri kwa makini

Kuelimisha:

kukuza hamu ya utambuzi katika somo; kukuza uhuru katika kutatua matatizo ya elimu; kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Aina ya somo: somo - maelezo ya nyenzo mpya.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

2. Kusasisha maarifa. Utafiti wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tutahitaji kujifunza mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

1. Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)

2. Jina la mlinganyo namba 1 ni nini? ( Linear.) Mbinu ya kutatua milinganyo ya mstari. ( Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Toa masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).

3. Jina la mlinganyo namba 3 ni nini? ( Mraba.) Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic. ( Uteuzi mraba kamili, kwa fomula, kwa kutumia nadharia ya Vieta na matokeo yake.)

4. Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)

5. Ni sifa gani zinazotumiwa wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)

6. Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ni mlinganyo gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Jibu: 3;4.

Sasa jaribu kutatua equation namba 7 kwa kutumia mojawapo ya njia zifuatazo.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jibu: 0;5;-2.			Jibu: 5;-2.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Katika milinganyo Nambari 2 na 4 kuna nambari katika dhehebu, Nambari 5-7 ni misemo yenye kutofautiana.

Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli

Fanya hundi

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ikiwa x=5, basi x(x-5)=0, ambayo ina maana 5 ni mzizi wa nje.

Ikiwa x=-2, basi x(x-5)≠0.

Jibu: -2.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

1. Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.

2. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

3. Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.

4. Tatua mlinganyo.

5. Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.

6. Andika jibu.

Majadiliano: jinsi ya kurasimisha suluhisho ikiwa mali ya msingi ya uwiano inatumiwa na pande zote mbili za equation zinazidishwa na dhehebu la kawaida. (Ongeza kwenye suluhisho: ondoa kutoka kwa mizizi yake wale wanaofanya denominator ya kawaida kutoweka).

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); Nambari 000 (a, d, g). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 3.

c) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

g) Jibu: 1;1.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

2. Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.

3. Tatua katika daftari No. 000 (a, d, e); Nambari 000 (g, h).

4. Jaribu kutatua Nambari 000 (a) (hiari).

6. Kukamilisha kazi ya udhibiti kwenye mada iliyosomwa.

Kazi hiyo inafanywa kwenye vipande vya karatasi.

Kazi ya mfano:

A) Ni ipi kati ya milinganyo yenye mantiki ya sehemu?

B) Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni _______________________ na denomineta ni ___________________________________.

Q) Je, nambari -3 ndio mzizi wa nambari ya mlinganyo 6?

D) Tatua mlingano wa 7.

Vigezo vya tathmini ya kazi:

"5" inatolewa ikiwa mwanafunzi alikamilisha zaidi ya 90% ya kazi kwa usahihi. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" inatolewa kwa mwanafunzi ambaye amekamilisha chini ya 50% ya kazi. Ukadiriaji wa 2 haujatolewa kwenye jarida, 3 ni hiari.

7. Tafakari.

Kwenye karatasi za kujitegemea, andika:

1 - ikiwa somo lilikuwa la kuvutia na linaeleweka kwako; 2 - kuvutia, lakini si wazi; 3 - sio ya kuvutia, lakini inaeleweka; 4 - sio ya kuvutia, sio wazi.

8. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara, tulijifunza kutatua hesabu hizi kwa njia tofauti, tulijaribu maarifa yetu kwa msaada wa mafunzo. kazi ya kujitegemea. Utajifunza matokeo ya kazi yako ya kujitegemea katika somo linalofuata, na nyumbani utakuwa na fursa ya kuunganisha ujuzi wako.

Ni njia gani ya kusuluhisha milinganyo ya kimantiki, kwa maoni yako, ni rahisi, inayofikika zaidi, na yenye mantiki zaidi? Bila kujali njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki, unapaswa kukumbuka nini? Ni nini "ujanja" wa milinganyo ya kimantiki ya sehemu?

Asante kila mtu, somo limekwisha.