"kusuluhisha milinganyo ya kimantiki ya sehemu". ODZ

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mashirika ya serikali katika Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

"Milingano ya kimantiki na polynomials" ni mojawapo ya mada zinazojulikana zaidi katika kazi za mtihani wa Umoja wa Jimbo katika hisabati. Kwa sababu hii, kurudia kwao kunapaswa kupewa tahadhari maalum. Wanafunzi wengi wanakabiliwa na tatizo la kupata kibaguzi, kuhamisha viashiria kutoka upande wa kulia kwenda kushoto na kuleta equation kwa denominator ya kawaida, ndiyo sababu kukamilisha kazi hizo husababisha matatizo. Kutatua hesabu za busara katika kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja kwenye wavuti yetu itakusaidia kukabiliana haraka na shida za ugumu wowote na kupitisha mtihani kwa rangi zinazoruka.

Chagua lango la elimu la Shkolkovo ili kujiandaa vyema kwa Mtihani wa Umoja wa Hisabati!

Ili kujua sheria za kuhesabu haijulikani na kupata matokeo sahihi kwa urahisi, tumia huduma yetu ya mtandaoni. Lango la Shkolkovo ni jukwaa la aina moja ambapo vifaa muhimu vya kuandaa Mtihani wa Jimbo la Umoja hukusanywa. Walimu wetu walipanga na kuwasilisha kwa njia inayoeleweka sheria zote za hisabati. Kwa kuongezea, tunawaalika watoto wa shule kujaribu mikono yao katika kutatua hesabu za kawaida za busara, ambazo msingi wake unasasishwa kila wakati na kupanuliwa.

Kwa ajili ya maandalizi ya ufanisi zaidi ya kupima, tunapendekeza kufuata njia yetu maalum na kuanza na kurudia sheria na kutatua matatizo rahisi, hatua kwa hatua kuendelea na ngumu zaidi. Kwa hivyo, mhitimu ataweza kutambua mada ngumu zaidi kwake na kuzingatia kusoma.

Anza kujiandaa kwa mtihani wa mwisho na Shkolkovo leo, na matokeo hayatakuwa ya muda mrefu kuja! Chagua mfano rahisi zaidi kutoka kwa wale uliopewa. Ukifahamu usemi huo haraka, endelea na kazi ngumu zaidi. Kwa njia hii unaweza kuboresha maarifa yako hadi kufikia hatua ya kutatua kazi za USE katika hisabati katika kiwango maalum.

Mafunzo hayapatikani tu kwa wahitimu kutoka Moscow, bali pia kwa watoto wa shule kutoka miji mingine. Tumia masaa kadhaa kwa siku kusoma kwenye portal yetu, kwa mfano, na hivi karibuni utaweza kukabiliana na hesabu za ugumu wowote!

Tayari tumejifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Sasa wacha tuongeze njia zilizosomwa kwa milinganyo ya busara.

Usemi wa busara ni nini? Tayari tumekutana na dhana hii. Maneno ya busara ni semi zinazoundwa na nambari, vigeu, nguvu zao na alama za shughuli za hisabati.

Ipasavyo, milinganyo ya kimantiki ni milinganyo ya fomu: , wapi - maneno ya busara.

Hapo awali, tulizingatia milinganyo ya busara tu ambayo inaweza kupunguzwa hadi ya mstari. Sasa hebu tuangalie milinganyo ya kimantiki ambayo inaweza kupunguzwa hadi milinganyo ya quadratic.

Mfano 1

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Sehemu ni sawa na 0 ikiwa na ikiwa tu nambari yake ni sawa na 0 na denominator yake si sawa na 0.

Tunapata mfumo ufuatao:

Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic. Kabla ya kuitatua, hebu tugawanye coefficients zake zote na 3. Tunapata:

Tunapata mizizi miwili:; .

Kwa kuwa 2 hailingani na 0, masharti mawili lazima yatimizwe: . Kwa kuwa hakuna mizizi ya equation iliyopatikana hapo juu inayolingana na maadili batili ya kutofautisha ambayo yalipatikana wakati wa kusuluhisha usawa wa pili, zote mbili ni suluhisho kwa hesabu hii.

Jibu:.

Kwa hivyo, wacha tuunda algorithm ya kutatua hesabu za busara:

1. Sogeza masharti yote kwa upande wa kushoto ili upande wa kulia umalizie na 0.

2. Badilisha na kurahisisha upande wa kushoto, kuleta sehemu zote kwa dhehebu la kawaida.

3. Sawazisha sehemu inayotokana na 0 kwa kutumia algoriti ifuatayo: .

4. Andika mizizi hiyo iliyopatikana katika mlingano wa kwanza na ukidhi usawa wa pili katika jibu.

Hebu tuangalie mfano mwingine.

Mfano 2

Tatua mlingano:.

Suluhisho

Mwanzoni kabisa, tunasogeza masharti yote kushoto ili 0 ibaki kulia. Tunapata:

Sasa wacha tulete upande wa kushoto wa equation kwa dhehebu la kawaida:

Equation hii ni sawa na mfumo:

Equation ya kwanza ya mfumo ni equation ya quadratic.

Coefficients ya mlingano huu:. Tunahesabu ubaguzi:

Tunapata mizizi miwili:; .

Sasa wacha tusuluhishe usawa wa pili: bidhaa ya sababu sio sawa na 0 ikiwa na tu ikiwa hakuna sababu yoyote ni sawa na 0.

Masharti mawili lazima yatimizwe: . Tunaona kwamba kati ya mizizi miwili ya equation ya kwanza, ni moja tu inayofaa - 3.

Jibu:.

Katika somo hili, tulikumbuka usemi wa busara ni nini, na pia tulijifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki, ambayo hupunguza hadi milinganyo ya quadratic.

Katika somo linalofuata tutaangalia milinganyo ya kimantiki kama mifano ya hali halisi, na pia tutaangalia matatizo ya mwendo.

Bibliografia

Bashmakov M.I. Algebra, daraja la 8. - M.: Elimu, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. na wengine Algebra, 8. 5th ed. - M.: Elimu, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, daraja la 8. Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla. - M.: Elimu, 2006.

Tamasha la mawazo ya ufundishaji "Somo wazi" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Kazi ya nyumbani

Equations na sehemu zenyewe sio ngumu na zinavutia sana. Wacha tuangalie aina za hesabu za sehemu na jinsi ya kuzitatua.

Jinsi ya kutatua hesabu na sehemu - x kwenye nambari

Ikiwa equation ya sehemu inatolewa, ambapo haijulikani iko kwenye nambari, suluhisho hauhitaji hali ya ziada na hutatuliwa bila shida isiyo ya lazima. Fomu ya jumla ya equation kama hiyo ni x/a + b = c, ambapo x haijulikani, a, b na c ni nambari za kawaida.

Tafuta x: x/5 + 10 = 70.

Ili kutatua equation, unahitaji kuondoa sehemu. Zidisha kila neno katika mlinganyo kwa 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x na 5 zimeghairiwa, 10 na 70 zinazidishwa na 5 na tunapata: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Tafuta x: x/5 + x/10 = 90.

Mfano huu ni toleo ngumu zaidi la ya kwanza. Kuna suluhisho mbili zinazowezekana hapa.

Chaguo 1: Tunaondoa sehemu kwa kuzidisha masharti yote ya equation na denominator kubwa, ambayo ni, kwa 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
Chaguo 2: Ongeza upande wa kushoto wa mlinganyo. x/5 + x/10 = 90. Kiwango cha kawaida ni 10. Gawanya 10 kwa 5, kuzidisha kwa x, tunapata 2x. Gawanya 10 kwa 10, zidisha kwa x, tunapata x: 2x+x/10 = 90. Kwa hiyo 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Mara nyingi tunakutana na milinganyo ya sehemu ambapo x ziko pande tofauti za ishara sawa. Katika hali kama hizi, inahitajika kuhamisha sehemu zote na X kwa upande mmoja, na nambari hadi nyingine.

Tafuta x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
Sogeza 2x/5 kulia kwa ishara iliyo kinyume: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Tunapunguza 5x/5 na kupata: x = 130.

Jinsi ya kutatua equation na sehemu - x kwenye denominator

Aina hii ya milinganyo ya sehemu inahitaji kuandika masharti ya ziada. Kubainisha masharti haya ni sehemu ya lazima na muhimu ya uamuzi sahihi. Kwa kutoziongeza, una hatari, kwani jibu (hata ikiwa ni sahihi) linaweza tu kutohesabiwa.

Aina ya jumla ya milinganyo ya sehemu, ambapo x iko katika denominator, ni: a/x + b = c, ambapo x haijulikani, a, b, c ni nambari za kawaida. Tafadhali kumbuka kuwa x inaweza isiwe nambari yoyote. Kwa mfano, x haiwezi kuwa sifuri, kwani haiwezi kugawanywa na 0. Hili ndilo sharti la ziada ambalo tunapaswa kutaja. Hii inaitwa anuwai ya maadili yanayoruhusiwa, iliyofupishwa kama VA.

Tafuta x: 15/x + 18 = 21.

Mara moja tunaandika ODZ kwa x: x ≠ 0. Sasa kwa kuwa ODZ imeonyeshwa, tunatatua equation kulingana na mpango wa kawaida, kuondokana na sehemu. Zidisha masharti yote ya mlingano kwa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Mara nyingi kuna equations ambapo denominator haina x tu, lakini pia operesheni nyingine nayo, kwa mfano, kuongeza au kutoa.

Tafuta x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Tayari tunajua kwamba denominator haiwezi kuwa sawa na sifuri, ambayo ina maana x-3 ≠ 0. Tunasonga -3 kwa upande wa kulia, kubadilisha ishara "-" hadi "+" na tunapata hiyo x ≠ 3. ODZ ni imeonyeshwa.

Tunatatua equation, kuzidisha kila kitu kwa x-3: 15 + 18× (x - 3) = 21× (x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Sogeza za X kulia, nambari kushoto: 24 = 3x => x = 8.

Wacha tuendelee kuongea kutatua milinganyo. Katika makala hii tutaenda kwa undani kuhusu milinganyo ya busara na kanuni za kutatua milinganyo ya kimantiki kwa kigezo kimoja. Kwanza, hebu tuone ni aina gani ya milinganyo inayoitwa busara, toa ufafanuzi wa milinganyo yote ya kimantiki na ya kimantiki, na utoe mifano. Ifuatayo, tutapata algorithms ya kutatua hesabu za busara, na, kwa kweli, tutazingatia suluhisho la mifano ya kawaida na maelezo yote muhimu.

Urambazaji wa ukurasa.

Kulingana na ufafanuzi uliotajwa, tunatoa mifano kadhaa ya milinganyo ya kimantiki. Kwa mfano, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , zote ni milinganyo ya kimantiki.

Kutoka kwa mifano iliyoonyeshwa, ni wazi kwamba equations ya busara, pamoja na equations ya aina nyingine, inaweza kuwa na kutofautiana moja, au kwa mbili, tatu, nk. vigezo. Katika aya zifuatazo tutazungumza juu ya kusuluhisha milinganyo ya busara na kigezo kimoja. Kutatua equations katika vigezo viwili na idadi yao kubwa inastahili tahadhari maalum.

Mbali na kugawanya milinganyo ya kimantiki kwa idadi ya vigeu visivyojulikana, pia imegawanywa kuwa kamili na ya sehemu. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Equation ya busara inaitwa mzima, ikiwa pande zake zote mbili za kushoto na kulia ni misemo kamili ya busara.

Ufafanuzi.

Ikiwa angalau sehemu moja ya equation ya busara ni usemi wa sehemu, basi equation kama hiyo inaitwa. yenye mantiki kiasi(au mantiki ya sehemu).

Ni wazi kwamba milinganyo nzima haina mgawanyiko kwa kutofautisha; kinyume chake, milinganyo ya kimantiki ya sehemu lazima iwe na mgawanyiko kwa kigezo (au kigezo katika kiashiria). Kwa hivyo 3 x+2=0 na (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- hizi ni milinganyo kamili ya busara, sehemu zao zote mbili ni misemo kamili. A na x:(5 x 3 +y 2)=3:(x-1):5 ni mifano ya milinganyo ya kimantiki ya sehemu.

Kuhitimisha hoja hii, hebu tuzingatie ukweli kwamba milinganyo ya mstari na milinganyo ya quadratic inayojulikana hadi hapa ni milinganyo nzima ya kimantiki.

Kutatua milinganyo nzima

Mojawapo ya njia kuu za kutatua equations nzima ni kuzipunguza kwa zile zinazofanana milinganyo ya algebra. Hii inaweza kufanywa kila wakati kwa kufanya mabadiliko sawa ya equation:

kwanza, usemi kutoka upande wa kulia wa mlinganyo kamili wa asili huhamishiwa upande wa kushoto na ishara kinyume ili kupata sifuri upande wa kulia;
baada ya hii, upande wa kushoto wa equation fomu ya kiwango cha kusababisha.

Matokeo yake ni mlingano wa aljebra ambao ni sawa na mlinganyo kamili wa asili. Kwa hivyo, katika hali rahisi zaidi, utatuzi wa milinganyo nzima hupunguzwa hadi kusuluhisha milinganyo ya mstari au ya quadratic, na kwa ujumla, kutatua mlinganyo wa algebraic wa digrii n. Kwa uwazi, hebu tuangalie suluhisho la mfano.

Mfano.

Pata mizizi ya equation nzima 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Suluhisho.

Wacha tupunguze suluhisho la mlingano huu mzima kwa suluhisho la mlinganyo sawa wa aljebra. Ili kufanya hivyo, kwanza, tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto, matokeo yake tunafika kwenye equation. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Na, pili, tunabadilisha usemi ulioundwa upande wa kushoto kuwa fomu ya kawaida ya polynomial kwa kukamilisha muhimu: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kwa hivyo, kusuluhisha mlingano kamili wa asili hupunguzwa hadi kusuluhisha mlingano wa quadratic x 2 -5·x-6=0.

Tunahesabu ubaguzi wake D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ni chanya, ambayo inamaanisha kuwa equation ina mizizi miwili halisi, ambayo tunapata kwa kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:

Ili kuwa na uhakika kabisa, wacha tuifanye kuangalia mizizi iliyopatikana ya equation. Kwanza tunaangalia mzizi 6, tuibadilishe badala ya kutofautisha x katika hesabu kamili ya asili: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, ambayo ni sawa, 63=63. Huu ni mlinganyo halali wa nambari, kwa hivyo x=6 ndio mzizi wa mlinganyo. Sasa tunaangalia mzizi -1, tunayo 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, kutoka wapi, 0=0 . Wakati x=−1, mlinganyo wa asili pia unageuka kuwa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo, x=-1 pia ni mzizi wa mlinganyo.

Jibu:

6 , −1 .

Hapa inapaswa pia kuzingatiwa kuwa neno "shahada ya equation nzima" inahusishwa na uwakilishi wa equation nzima kwa namna ya equation ya algebraic. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana:

Ufafanuzi.

Nguvu ya equation nzima inaitwa kiwango cha mlinganyo sawa wa aljebra.

Kulingana na ufafanuzi huu, equation nzima kutoka kwa mfano uliopita ina shahada ya pili.

Huu ungeweza kuwa mwisho wa kusuluhisha milinganyo yote ya kimantiki, ikiwa si kwa jambo moja…. Kama inavyojulikana, kutatua milinganyo ya aljebra ya digrii juu ya pili inahusishwa na ugumu mkubwa, na kwa milinganyo ya digrii juu ya nne hakuna kanuni za jumla za mizizi hata kidogo. Kwa hiyo, ili kutatua equations nzima ya digrii ya tatu, ya nne na ya juu, mara nyingi ni muhimu kuamua njia nyingine za ufumbuzi.

Katika hali kama hizi, mbinu ya kutatua equations nzima ya busara kulingana na njia ya factorization. Katika kesi hii, algorithm ifuatayo inazingatiwa:

kwanza, wanahakikisha kuwa kuna sifuri upande wa kulia wa equation, kwa kufanya hivyo, wanahamisha usemi kutoka upande wa kulia wa equation nzima hadi kushoto;
basi, usemi unaotokana na upande wa kushoto unawasilishwa kama bidhaa ya mambo kadhaa, ambayo huturuhusu kuendelea na seti ya milinganyo kadhaa rahisi.

Algorithm iliyotolewa ya kusuluhisha mlinganyo mzima kupitia uainishaji inahitaji maelezo ya kina kwa kutumia mfano.

Mfano.

Tatua mlinganyo mzima (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Suluhisho.

Kwanza, kama kawaida, tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda upande wa kushoto wa equation, bila kusahau kubadilisha ishara, tunapata. (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Hapa ni dhahiri kabisa kwamba haipendekezi kubadilisha upande wa kushoto wa equation inayosababisha kuwa polynomial ya fomu ya kawaida, kwa kuwa hii itatoa equation ya algebra ya shahada ya nne ya fomu. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, suluhisho ambalo ni ngumu.

Kwa upande mwingine, ni dhahiri kwamba kwa upande wa kushoto wa equation inayosababisha tunaweza x 2 -10 x+13 , na hivyo kuiwasilisha kama bidhaa. Tuna (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Mlinganyo unaotokana ni sawa na mlinganyo mzima wa asili, na hiyo, kwa upande wake, inaweza kubadilishwa na seti ya milinganyo miwili ya quadratic x 2 -10·x+13=0 na x 2 -2·x−1=0. Kupata mizizi yao kwa kutumia kanuni za mizizi inayojulikana kwa njia ya kibaguzi si vigumu; mizizi ni sawa. Wao ni mizizi inayotakiwa ya equation ya awali.

Jibu:

Pia ni muhimu kwa kutatua milinganyo yote ya busara mbinu ya kutambulisha kigezo kipya. Katika baadhi ya matukio, hukuruhusu kuhamia milinganyo ambayo shahada yake ni ya chini kuliko kiwango cha mlinganyo mzima wa asili.

Mfano.

Tafuta mizizi halisi ya mlinganyo wa kimantiki (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Suluhisho.

Kupunguza equation hii yote ya busara kwa equation ya algebra ni, kuiweka kwa upole, sio wazo nzuri sana, kwani katika kesi hii tutakuja kwa haja ya kutatua equation ya digrii ya nne ambayo haina mizizi ya busara. Kwa hivyo, itabidi utafute suluhisho lingine.

Hapa ni rahisi kuona kwamba unaweza kutambulisha kigezo kipya y na kuchukua nafasi ya usemi x 2 +3·x nayo. Uingizwaji huu hutupeleka kwenye mlinganyo mzima (y+1) 2 +10=−2·(y-4) , ambao, baada ya kusogeza usemi −2·(y−4) kwa upande wa kushoto na mabadiliko ya baadaye ya usemi. inayoundwa hapo, imepunguzwa hadi mlinganyo wa quadratic y 2 +4·y+3=0. Mizizi ya mlingano huu y=−1 na y=−3 ni rahisi kupata, kwa mfano, inaweza kuchaguliwa kulingana na nadharia ya kinyume na nadharia ya Vieta.

Sasa tunaendelea kwenye sehemu ya pili ya njia ya kuanzisha tofauti mpya, yaani, kufanya uingizwaji wa kinyume. Baada ya kubadilisha ubadilisho, tunapata milinganyo miwili x 2 +3 x=−1 na x 2 +3 x=−3, ambayo inaweza kuandikwa upya kama x 2 +3 x+1=0 na x 2 +3 x+3 =0 . Kutumia formula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunapata mizizi ya equation ya kwanza. Na mlinganyo wa pili wa quadratic hauna mizizi halisi, kwani ubaguzi wake ni hasi (D=3 2 -4·3=9−12=−3).

Jibu:

Kwa ujumla, tunaposhughulika na milinganyo yote ya digrii za juu, lazima tuwe tayari kutafuta njia isiyo ya kawaida au mbinu ya bandia ya kuzitatua.

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu

Kwanza, itakuwa muhimu kuelewa jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu , ambapo p(x) na q(x) ni misemo kamili ya mantiki. Na kisha tutaonyesha jinsi ya kupunguza suluhisho la hesabu zingine za busara kwa suluhisho la hesabu za aina iliyoonyeshwa.

Njia moja ya kusuluhisha equation inategemea taarifa ifuatayo: sehemu ya nambari u/v, ambapo v ni nambari isiyo ya sifuri (vinginevyo tutakutana na , ambayo haijafafanuliwa), ni sawa na sifuri ikiwa na ikiwa tu nambari yake iko. sawa na sifuri, basi ni, if na tu ikiwa u=0 . Kwa mujibu wa taarifa hii, kusuluhisha mlinganyo kunapunguzwa hadi kutimiza masharti mawili p(x)=0 na q(x)≠0.

Hitimisho hili linalingana na yafuatayo algorithm ya kutatua mlingano wa kimantiki wa sehemu. Ili kutatua usawa wa kimantiki wa fomu, unahitaji

suluhisha mlingano mzima wa kimantiki p(x)=0 ;
na angalia ikiwa hali q(x)≠0 imeridhika kwa kila mzizi unaopatikana, wakati

ikiwa ni kweli, basi mzizi huu ni mzizi wa mlingano wa awali;
ikiwa haijaridhika, basi mzizi huu ni wa nje, yaani, sio mzizi wa equation ya awali.

Wacha tuangalie mfano wa kutumia algoriti iliyotangazwa wakati wa kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki wa sehemu.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation.

Suluhisho.

Huu ni mlinganyo wa kimantiki wa kimantiki, na wa umbo , ambapo p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 -2=0.

Kulingana na algorithm ya kusuluhisha milinganyo ya kimantiki ya aina hii, kwanza tunahitaji kusuluhisha equation 3 x-2=0. Huu ni mlinganyo wa mstari ambao mzizi wake ni x=2/3.

Inabakia kuangalia mzizi huu, yaani, angalia ikiwa inakidhi hali 5 x 2 -2≠0. Tunabadilisha nambari 2/3 kwa usemi 5 x 2 -2 badala ya x, na tunapata . Hali imetimizwa, kwa hivyo x=2/3 ndio mzizi wa mlinganyo wa asili.

Jibu:

2/3 .

Unaweza kukaribia kusuluhisha mlinganyo wa kimantiki kutoka kwa nafasi tofauti kidogo. Mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo kamili p(x)=0 kwenye kigezo x cha mlingano asilia. Hiyo ni, unaweza kushikamana na hii algorithm ya kutatua mlingano wa kimantiki wa sehemu :

suluhisha mlinganyo p(x)=0 ;
pata ODZ ya kutofautiana x;
kuchukua mizizi ya eneo la maadili yanayokubalika - ndio mizizi inayohitajika ya usawa wa asili wa busara.

Kwa mfano, hebu tusuluhishe mlinganyo wa kimantiki wa sehemu kwa kutumia algoriti hii.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Kwanza, tunatatua mlingano wa quadratic x 2 -2·x-11=0. Mizizi yake inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula ya mizizi kwa mgawo wa pili hata, tunayo D 1 =(-1) 2 −1·(-11)=12, Na.

Pili, tunapata ODZ ya kutofautisha x kwa equation asili. Inajumuisha nambari zote ambazo x 2 +3·x≠0, ambayo ni sawa na x·(x+3)≠0, wapi x≠0, x≠−3.

Inabakia kuangalia ikiwa mizizi iliyopatikana katika hatua ya kwanza imejumuishwa kwenye ODZ. Ni wazi ndiyo. Kwa hivyo, equation ya awali ya kimantiki ina mizizi miwili.

Jibu:

Kumbuka kuwa mbinu hii ina faida zaidi kuliko ya kwanza ikiwa ODZ ni rahisi kupata, na ni ya manufaa hasa ikiwa mizizi ya equation p (x) = 0 haina mantiki, kwa mfano, au busara, lakini kwa nambari kubwa na nambari. /au denominator, kwa mfano, 127/1101 na -31/59. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika hali kama hizi, kuangalia hali q(x)≠0 itahitaji juhudi kubwa za hesabu, na ni rahisi kuwatenga mizizi ya nje kwa kutumia ODZ.

Katika hali nyingine, wakati wa kutatua equation, hasa wakati mizizi ya equation p (x) = 0 ni integers, ni faida zaidi kutumia ya kwanza ya algorithms iliyotolewa. Hiyo ni, inashauriwa kupata mara moja mizizi ya equation nzima p(x)=0, na kisha uangalie ikiwa hali q(x)≠0 imeridhika kwao, badala ya kutafuta ODZ, na kisha kutatua equation. p(x)=0 kwenye ODZ hii . Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika hali hiyo ni rahisi kuangalia kuliko kupata DZ.

Wacha tuchunguze suluhisho la mifano miwili ili kuonyesha nuances maalum.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation.

Suluhisho.

Kwanza, hebu tupate mizizi ya equation nzima (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, iliyotungwa kwa kutumia nambari ya sehemu. Upande wa kushoto wa equation hii ni bidhaa, na upande wa kulia ni sifuri, kwa hiyo, kulingana na njia ya kutatua equations kwa njia ya factorization, equation hii ni sawa na seti ya equations nne 2 x-1=0 , x-6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tatu kati ya milinganyo hii ni ya mstari na moja ni ya quadratic; tunaweza kuzitatua. Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata x = 1/2, kutoka kwa pili - x = 6, kutoka kwa tatu - x = 7, x = - 2, kutoka kwa nne - x = -1.

Na mizizi iliyopatikana, ni rahisi sana kuangalia ikiwa dhehebu la sehemu upande wa kushoto wa equation ya asili inatoweka, lakini kuamua ODZ, badala yake, sio rahisi sana, kwani kwa hili itabidi usuluhishe. mlinganyo wa aljebra wa shahada ya tano. Kwa hivyo, tutaacha kutafuta ODZ kwa niaba ya kuangalia mizizi. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha moja baada ya nyingine badala ya kutofautisha x katika usemi x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, zilizopatikana baada ya kubadilishwa, na kuzilinganisha na sifuri: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(-2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(-1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kwa hivyo, 1/2, 6 na -2 ndio mizizi inayotakiwa ya mlingano wa kimantiki wa awali, na 7 na -1 ni mizizi isiyo ya kawaida.

Jibu:

1/2 , 6 , −2 .

Mfano.

Tafuta mizizi ya mlingano wa kimantiki wa sehemu.

Suluhisho.

Kwanza, hebu tupate mizizi ya equation (5 x 2 −7 x−1) (x-2)=0. Mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili: mraba 5 x 2 −7 x−1=0 na mstari x-2=0. Kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunapata mizizi miwili, na kutoka kwa equation ya pili tunayo x = 2.

Kuangalia ikiwa dhehebu huenda hadi sifuri kwa maadili yaliyopatikana ya x haifurahishi kabisa. Na kuamua anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x katika equation ya asili ni rahisi sana. Kwa hiyo, tutachukua hatua kupitia ODZ.

Kwa upande wetu, ODZ ya kigezo cha x cha mlinganyo wa awali wa kimantiki wa sehemu unajumuisha nambari zote isipokuwa zile ambazo hali ya x 2 +5·x−14=0 imeridhika. Mizizi ya mlingano huu wa quadratic ni x=−7 na x=2, ambapo tunatoa hitimisho kuhusu ODZ: inajumuisha yote x vile .

Inabakia kuangalia ikiwa mizizi iliyopatikana na x=2 ni ya anuwai ya maadili yanayokubalika. Mizizi ni ya, kwa hivyo, ni mizizi ya equation ya asili, na x=2 sio mali, kwa hivyo, ni mzizi wa nje.

Jibu:

Itakuwa muhimu pia kukaa kando juu ya kesi wakati katika equation ya kimantiki ya fomu kuna nambari kwenye nambari, ambayo ni, wakati p (x) inawakilishwa na nambari fulani. Ambapo

ikiwa nambari hii sio sifuri, basi equation haina mizizi, kwani sehemu ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa nambari yake ni sawa na sifuri;
ikiwa nambari hii ni sifuri, basi mzizi wa equation ni nambari yoyote kutoka kwa ODZ.

Mfano.

Suluhisho.

Kwa kuwa nambari ya sehemu iliyo upande wa kushoto wa equation ina nambari isiyo ya sifuri, basi kwa x yoyote thamani ya sehemu hii haiwezi kuwa sawa na sifuri. Kwa hiyo, equation hii haina mizizi.

Jibu:

hakuna mizizi.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Nambari ya sehemu iliyo upande wa kushoto wa mlinganyo huu wa kimantiki wa sehemu ina sifuri, kwa hivyo thamani ya sehemu hii ni sifuri kwa x yoyote ambayo inaeleweka. Kwa maneno mengine, suluhisho la mlinganyo huu ni thamani yoyote ya x kutoka kwa ODZ ya utaftaji huu.

Inabakia kuamua safu hii ya maadili yanayokubalika. Inajumuisha thamani zote za x ambazo x 4 +5 x 3 ≠0. Masuluhisho ya mlinganyo x 4 +5 x 3 =0 ni 0 na -5, kwa kuwa mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo x 3 (x+5)=0, na kwa upande wake ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili x. 3 =0 na x +5=0, kutoka ambapo mizizi hii inaonekana. Kwa hivyo, anuwai inayokubalika ya nambari zinazokubalika ni x yoyote isipokuwa x=0 na x=-5.

Kwa hivyo, mlinganyo wa kimantiki wa kimantiki una masuluhisho mengi sana, ambayo ni nambari zozote isipokuwa sifuri na toa tano.

Jibu:

Mwishowe, ni wakati wa kuzungumza juu ya kusuluhisha milinganyo ya kimantiki ya fomu ya kiholela. Zinaweza kuandikwa kama r(x)=s(x), ambapo r(x) na s(x) ni misemo ya kimantiki, na angalau mojawapo ni ya sehemu. Kuangalia mbele, wacha tuseme kwamba suluhisho lao linakuja kwa kutatua hesabu za fomu ambayo tayari tunaijua.

Inajulikana kuwa kuhamisha neno kutoka sehemu moja ya mlinganyo hadi nyingine yenye ishara kinyume husababisha mlinganyo sawa, kwa hivyo mlinganyo r(x)=s(x) ni sawa na mlinganyo r(x)−s(x) )=0.

Tunajua pia kwamba yoyote, sawa sawa na usemi huu, inawezekana. Kwa hivyo, tunaweza kubadilisha kila wakati usemi wa kimantiki kwenye upande wa kushoto wa equation r(x)−s(x)=0 kuwa sehemu ya kimantiki iliyo sawa ya fomu .

Kwa hivyo tunahama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa kimantiki r(x)=s(x) hadi equation, na suluhisho lake, kama tulivyogundua hapo juu, linapunguza kusuluhisha equation p(x)=0.

Lakini hapa inahitajika kuzingatia ukweli kwamba wakati wa kuchukua nafasi ya r(x)-s(x)=0 na , na kisha na p(x)=0, anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x yanaweza kupanuka. .

Kwa hivyo, equation ya asili r(x)=s(x) na equation p(x)=0 ambayo tulifika inaweza kugeuka kuwa isiyo sawa, na kwa kutatua equation p(x)=0, tunaweza kupata mizizi. hiyo itakuwa mizizi isiyo ya kawaida ya equation asili r(x)=s(x) . Unaweza kutambua na usijumuishe mizizi isiyo ya kawaida kwenye jibu ama kwa kukagua au kwa kuangalia kuwa ni ya ODZ ya mlingano asilia.

Hebu tufanye muhtasari wa habari hii ndani algorithm ya kutatua mlingano wa kimantiki wa sehemu r(x)=s(x). Ili kutatua equation ya kimantiki ya sehemu r(x)=s(x) , unahitaji

Pata sifuri upande wa kulia kwa kusogeza usemi kutoka upande wa kulia na ishara kinyume.
Tekeleza shughuli na sehemu na polimanomia kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo, na hivyo kuibadilisha kuwa sehemu ya kimantiki ya fomu.
Tatua mlingano p(x)=0.
Tambua na uondoe mizizi ya nje, ambayo inafanywa kwa kuzibadilisha kwenye equation ya awali au kwa kuangalia mali yao ya ODZ ya equation ya awali.

Kwa uwazi zaidi, tutaonyesha mlolongo mzima wa kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:
.

Wacha tuangalie suluhisho za mifano kadhaa na maelezo ya kina ya mchakato wa suluhisho ili kufafanua kizuizi kilichopewa cha habari.

Mfano.

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu.

Suluhisho.

Tutachukua hatua kulingana na algorithm ya suluhisho iliyopatikana hivi karibuni. Na kwanza tunahamisha maneno kutoka upande wa kulia wa equation hadi kushoto, kwa matokeo tunaendelea kwenye equation.

Katika hatua ya pili, tunahitaji kubadilisha usemi wa kimantiki wa sehemu upande wa kushoto wa mlinganyo unaosababisha kuwa umbo la sehemu. Ili kufanya hivyo, tunapunguza sehemu za busara kwa dhehebu la kawaida na kurahisisha usemi unaotokana:. Kwa hivyo tunakuja kwenye equation.

Katika hatua inayofuata, tunahitaji kutatua mlinganyo -2·x-1=0. Tunapata x=−1/2.

Inabakia kuangalia ikiwa nambari iliyopatikana -1/2 si mzizi wa nje wa mlingano asilia. Kwa kufanya hivyo, unaweza kuangalia au kupata VA ya kutofautiana x ya equation ya awali. Wacha tuonyeshe njia zote mbili.

Wacha tuanze na kuangalia. Tunabadilisha nambari -1/2 kwa mlinganyo wa asili badala ya x, na tunapata kitu kile kile, -1=-1. Ubadilishaji unatoa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo x=−1/2 ndio mzizi wa mlingano asilia.

Sasa tutaonyesha jinsi hatua ya mwisho ya algorithm inafanywa kupitia ODZ. Aina mbalimbali za thamani zinazokubalika za mlingano asilia ni seti ya nambari zote isipokuwa -1 na 0 (kwa x=-1 na x=0 denomineta za sehemu hutoweka). Mzizi x=−1/2 unaopatikana katika hatua ya awali ni wa ODZ, kwa hivyo, x=-1/2 ni mzizi wa mlinganyo wa awali.

Jibu:

−1/2 .

Hebu tuangalie mfano mwingine.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation.

Suluhisho.

Tunahitaji kutatua equation ya busara ya sehemu, wacha tupitie hatua zote za algorithm.

Kwanza, tunahamisha neno kutoka upande wa kulia kwenda kushoto, tunapata.

Pili, tunabadilisha usemi ulioundwa upande wa kushoto: . Kama matokeo, tunafika kwenye equation x=0.

Mzizi wake ni dhahiri - ni sifuri.

Katika hatua ya nne, inabakia kujua kama mzizi uliopatikana ni wa nje kwa mlinganyo wa awali wa kimantiki. Inapowekwa badala ya mlinganyo wa asili, usemi hupatikana. Ni wazi, haina maana kwa sababu ina mgawanyiko kwa sifuri. Tunapohitimisha kuwa 0 ni mzizi wa nje. Kwa hiyo, equation ya awali haina mizizi.

7, ambayo inaongoza kwa Eq. Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kwamba usemi katika dhehebu la upande wa kushoto lazima uwe sawa na ule wa upande wa kulia, yaani, . Sasa tunaondoa kutoka pande zote mbili za tatu:. Kwa mlinganisho, kutoka wapi, na zaidi.

Cheki inaonyesha kuwa mizizi yote miwili iliyopatikana ni mizizi ya mlinganyo wa awali wa kimantiki.

Jibu:

Bibliografia.

Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.
Aljebra: Daraja la 9: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2009. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-021134-5.