Kutatua milinganyo ya digrii za juu kwa kutumia njia mbalimbali. Milinganyo ya digrii za juu katika hisabati

Maandishi ya kazi yanatumwa bila picha na fomula.
Toleo kamili la kazi linapatikana kwenye kichupo cha "Faili za Kazi" katika muundo wa PDF

Utangulizi

Kutatua milinganyo ya aljebra ya digrii za juu na moja isiyojulikana ni mojawapo ya matatizo magumu na ya kale ya hisabati. Wanahisabati bora zaidi wa zamani walishughulikia shida hizi.

Kutatua equations ya shahada ya nth ni kazi muhimu kwa hisabati ya kisasa. Kuna mambo mengi yanayowavutia, kwani milinganyo hii inahusiana kwa karibu na utafutaji wa mizizi ya milinganyo ambayo haijashughulikiwa katika mtaala wa hisabati wa shule.

Tatizo: Ukosefu wa ujuzi wa wanafunzi katika kutatua milinganyo ya digrii za juu kwa njia mbalimbali huwazuia kujiandaa kwa mafanikio kwa ajili ya uidhinishaji wa mwisho katika Olympiads za hisabati na hisabati, na mafunzo katika darasa maalumu la hisabati.

Mambo yaliyoorodheshwa yameamua umuhimu kazi yetu "Kutatua milinganyo ya digrii za juu".

Ujuzi wa njia rahisi zaidi za kutatua equations za shahada ya nth hupunguza muda wa kukamilisha kazi, ambayo matokeo ya kazi na ubora wa mchakato wa kujifunza hutegemea.

Lengo la kazi: kusoma njia zinazojulikana za kusuluhisha milinganyo ya digrii za juu na kutambua zile zinazopatikana zaidi kwa matumizi ya vitendo.

Kulingana na lengo, yafuatayo yanafafanuliwa katika kazi: kazi:

Soma fasihi na rasilimali za mtandao juu ya mada hii;

Jifahamishe na ukweli wa kihistoria kuhusiana na mada hii;

Eleza njia tofauti za kutatua milinganyo ya shahada ya juu

kulinganisha kiwango cha utata wa kila mmoja wao;

Tambulisha wanafunzi wenzako kwa njia za kutatua milinganyo ya digrii za juu;

Unda uteuzi wa milinganyo kwa matumizi ya vitendo ya kila moja ya njia zinazozingatiwa.

Kitu cha kujifunza- equations ya digrii za juu na variable moja.

Somo la masomo- njia za kutatua equations za digrii za juu.

Nadharia: Hakuna mbinu ya jumla au algoriti moja inayomruhusu mtu kupata masuluhisho ya milinganyo ya shahada ya nth katika idadi maalum ya hatua.

Mbinu za utafiti:

- njia ya bibliografia (uchambuzi wa fasihi juu ya mada ya utafiti);

- njia ya uainishaji;

- njia ya uchambuzi wa ubora.

Umuhimu wa kinadharia Utafiti unajumuisha mbinu za kupanga za kutatua milinganyo ya digrii za juu na kuelezea algoriti zao.

Umuhimu wa vitendo- iliwasilisha nyenzo juu ya mada hii na ukuzaji wa msaada wa kufundishia kwa wanafunzi juu ya mada hii.

1. EQUATIONS ZA SHAHADA ZA JUU

1.1 Dhana ya mlingano wa shahada ya nth

Ufafanuzi 1. Mlinganyo wa shahada ya nth ni mlinganyo wa fomu

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, ambapo coefficients a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- nambari yoyote halisi, na ,a 0 ≠ 0 .

Polynomial a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n inaitwa polynomial ya shahada ya nth. Coefficients hutofautishwa na majina: a 0 - mgawo mkuu; a n ni mwanachama huru.

Ufafanuzi 2. Suluhisho au mizizi kwa mlinganyo fulani ni maadili yote ya kutofautiana X, ambayo hugeuza mlingano huu kuwa usawa wa kweli wa nambari au, ambayo polynomial a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n huenda hadi sifuri. Thamani hii ya kutofautiana X pia huitwa mzizi wa polynomial. Kusuluhisha mlinganyo kunamaanisha kupata mizizi yake yote au kuthibitisha kwamba hakuna.

Kama a 0 = 1, basi mlingano kama huo unaitwa mlinganyo kamili wa kimantiki uliopunguzwa n th digrii.

Kwa milinganyo ya shahada ya tatu na ya nne, kuna fomula za Cardano na Ferrari zinazoonyesha mizizi ya milinganyo hii kupitia radicals. Ilibadilika kuwa katika mazoezi hutumiwa mara chache. Kwa hivyo, ikiwa n ≥ 3, na mgawo wa polynomial ni nambari halisi za kiholela, basi kutafuta mizizi ya equation sio kazi rahisi. Hata hivyo, katika hali nyingi maalum tatizo hili linatatuliwa kabisa. Hebu tuangalie baadhi yao.

1.2 Mambo ya kihistoria ya kutatua milinganyo ya shahada ya juu

Fomula ya jumla ya kutafuta mizizi ya mlinganyo wa aljebra nth hakuna shahada. Wengi, kwa kweli, walikuwa na wazo la kumjaribu la kupata, kwa digrii yoyote n, fomula ambazo zinaweza kuelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake, ambayo ni, kutatua equation katika radicals.

Ni katika karne ya 16 tu ambapo wanahisabati wa Italia walifanikiwa kusonga mbele zaidi - kupata fomula za n = 3 na n = 4. Wakati huo huo, Scipio, Dahl, Ferro na wanafunzi wake Fiori na Tartaglia walikuwa wakisoma swali la suluhisho la jumla la equations ya shahada ya 3.

Mnamo 1545, kitabu cha mwanahisabati wa Kiitaliano D. Cardano "Sanaa Kubwa, au juu ya Sheria za Algebra" kilichapishwa, ambapo, pamoja na maswali mengine ya algebra, njia za jumla za kutatua equations za ujazo zinazingatiwa, na pia njia ya kusuluhisha hesabu za ujazo. kutatua milinganyo ya shahada ya 4, iliyogunduliwa na mwanafunzi wake L. Ferrari.

Uwasilishaji kamili wa masuala yanayohusiana na ufumbuzi wa equations ya digrii 3 na 4 ulitolewa na F. Viet.

Katika miaka ya 20 ya karne ya 19, mwanahisabati wa Norway N. Abel alithibitisha kwamba mizizi ya equations ya shahada ya tano haiwezi kuonyeshwa kwa suala la radicals.

Utafiti huo umebaini kuwa sayansi ya kisasa inajua njia nyingi za kutatua milinganyo ya shahada ya nth.

Matokeo ya utaftaji wa njia za kusuluhisha hesabu za digrii za juu ambazo haziwezi kutatuliwa kwa kutumia njia zinazozingatiwa katika mtaala wa shule zilikuwa njia kulingana na utumiaji wa nadharia ya Vieta (kwa hesabu za digrii. n>2), nadharia za Bezout, miradi ya Horner, pamoja na formula ya Cardano na Ferrari ya kutatua milinganyo ya ujazo na quartic.

Kazi inatoa njia za kutatua equations na aina zao, ambayo ikawa ugunduzi kwetu. Hizi ni pamoja na njia ya coefficients isiyojulikana, uteuzi wa shahada kamili, equations za ulinganifu.

2. SULUHISHO LA USAWA MZIMA WA SHAHADA ZA JUU NA VIFUNGO KAMILI.

2.1 Kutatua milinganyo ya shahada ya 3. Mfumo D. Cardano

Fikiria milinganyo ya fomu x 3 +px+q=0. Wacha tubadilishe equation ya jumla kuwa fomu: x 3 +px 2 +qx+r=0. Wacha tuandike fomula ya mchemraba wa jumla; Wacha tuiongeze kwa usawa wa asili na tuibadilishe y. Tunapata equation: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Baada ya mabadiliko, tuna: y 2 +py + q=0. Sasa, wacha tuandike fomula ya jumla ya mchemraba tena:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), badala ( a+b) juu x, tunapata equation x 3 -3abx - (a 3 +b 3) = 0. Sasa tunaweza kuona kwamba equation asili ni sawa na mfumo: na Kutatua mfumo, tunapata:

Tumepata fomula ya kutatua mlingano wa shahada ya 3 hapo juu. Ina jina la mwanahisabati wa Italia Cardano.

Hebu tuangalie mfano. Tatua mlingano:.

Tuna R= 15 na q= 124, kisha kwa kutumia formula ya Cardano tunahesabu mzizi wa equation

Hitimisho: formula hii ni nzuri, lakini haifai kwa kutatua equations zote za ujazo. Wakati huo huo, ni ngumu. Kwa hiyo, katika mazoezi hutumiwa mara chache.

Lakini mtu yeyote anayebobea katika fomula hii anaweza kuitumia anaposuluhisha milinganyo ya digrii ya tatu kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

2.2 Nadharia ya Vietnam

Kutoka kwa kozi ya hisabati tunajua nadharia hii ya mlinganyo wa roboduara, lakini watu wachache wanajua kuwa inatumika pia kutatua milinganyo ya mpangilio wa juu.

Fikiria equation:

Wacha tuangazie upande wa kushoto wa equation na tugawanye kwa ≠ 0.

Wacha tubadilishe upande wa kulia wa equation kuwa fomu

; Inafuata kutoka kwa hii kwamba tunaweza kuandika usawa ufuatao kwenye mfumo:

Fomula zinazotolewa na Viète za milinganyo ya roboduara na iliyoonyeshwa nasi kwa milinganyo ya shahada ya 3 pia ni kweli kwa milinganyo ya digrii za juu.

Wacha tusuluhishe equation ya ujazo:

Hitimisho: njia hii ni ya ulimwengu wote na ni rahisi vya kutosha kwa wanafunzi kuelewa, kwani nadharia ya Vieta wanaifahamu kutoka kwa mtaala wa shule wa n. = 2. Wakati huo huo, ili kupata mizizi ya equations kwa kutumia nadharia hii, lazima uwe na ujuzi mzuri wa computational.

2.3 Nadharia ya Bezout

Nadharia hii imepewa jina la mwanahisabati Mfaransa wa karne ya 18 J. Bezout.

Nadharia. Ikiwa equation a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, ambayo coefficients zote ni integers, na neno la bure sio sifuri na lina mizizi kamili, basi mzizi huu ni mgawanyiko wa neno la bure.

Kwa kuzingatia kwamba upande wa kushoto wa equation kuna polynomial ya shahada ya nth, theorem ina tafsiri nyingine.

Nadharia. Wakati wa kugawanya polynomial ya shahada ya nth kwa heshima na x kwa binomial x-a iliyobaki ni sawa na thamani ya mgao wakati x = a. (barua a inaweza kuashiria nambari yoyote halisi au ya kufikiria, i.e. nambari yoyote changamano).

Uthibitisho: basi f(x) inaashiria upolimili wa kiholela wa shahada ya nth kwa heshima na mabadiliko x na let, inapogawanywa na binomial ( x-a) ilijitokeza kwa faragha q(x), na iliyobaki R. Ni dhahiri kwamba q(x) kutakuwa na polynomial (n - 1) shahada ya jamaa na x, na iliyobaki R itakuwa thamani ya mara kwa mara, i.e. kujitegemea x.

Ikiwa iliyobaki R ilikuwa polynomial ya shahada ya kwanza kwa heshima na x, basi hii ingemaanisha kuwa mgawanyiko umeshindwa. Kwa hiyo, R kutoka x haitegemei. Kwa ufafanuzi wa mgawanyiko tunapata kitambulisho: f(x)=(x-a) q(x)+R.

Usawa ni kweli kwa thamani yoyote ya x, ambayo inamaanisha ni kweli pia kwa x=a, tunapata: f(a)=(a-a) q(a)+R. Alama f (a) inaashiria thamani ya polynomial f (x) katika x=a, q(a) inasimama kwa thamani q(x) katika x=a. Salio R ilibaki kama ilivyokuwa hapo awali, kwa sababu R kutoka x haitegemei. Kazi ( x-a) q(a) = 0, kwani sababu ( x-a) = 0, na kizidisha q(a) kuna idadi fulani. Kwa hivyo, kutoka kwa usawa tunapata: f(a)=R, na kadhalika.

Mfano 1. Tafuta salio la polynomial x 3 - 3x 2 + 6x- 5 kwa binomial

x- 2. Kwa nadharia ya Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Jibu: R= 3.

Kumbuka kuwa nadharia ya Bezout sio muhimu sana yenyewe kama matokeo yake. (Kiambatisho 1)

Wacha tuzingatie uzingatiaji wa mbinu kadhaa za kutumia nadharia ya Bezout kutatua shida za vitendo. Ikumbukwe kwamba wakati wa kutatua equations kwa kutumia theorem ya Bezout, ni muhimu:

Tafuta vigawanyiko vyote kamili vya neno lisilolipishwa;

Tafuta angalau mzizi mmoja wa mlingano kutoka kwa vigawanyiko hivi;

Gawanya upande wa kushoto wa mlinganyo kwa (Ha);

Andika bidhaa ya kigawanyaji na mgawo upande wa kushoto wa equation;

Tatua mlinganyo unaotokana.

Wacha tuangalie mfano wa kutatua equation x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Suluhisho: pata vigawanyiko vya neno lisilolipishwa ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Wacha tuhesabu maadili x= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. Gawanya upande wa kushoto wa equation na ( X- 1). Wacha tufanye mgawanyiko kwa kutumia "kona" na tupate:

Hitimisho: Nadharia ya Bezout ni moja wapo ya njia ambazo tunazingatia katika kazi yetu, iliyosomwa katika mpango wa madarasa ya kuchaguliwa. Ni ngumu kuelewa, kwa sababu ili kuisimamia, unahitaji kujua matokeo yote kutoka kwayo, lakini wakati huo huo, nadharia ya Bezout ni mmoja wa wasaidizi wakuu kwa wanafunzi kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja.

2.4 Mpango wa pembe

Kugawanya polynomial na binomial x-α unaweza kutumia mbinu maalum rahisi iliyovumbuliwa na wanahisabati wa Kiingereza wa karne ya 17, ambayo baadaye iliitwa mpango wa Horner. Kwa kuongeza kupata mizizi ya hesabu, kwa kutumia mpango wa Horner unaweza kuhesabu maadili yao kwa urahisi zaidi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha thamani ya kutofautisha kwenye Pn ya polynomial (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (1)

Fikiria kugawanya polynomial (1) kwa binomial x-α.

Hebu tueleze mgawo wa mgawo usio kamili b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 na iliyobaki r kupitia mgawo wa Pn ya polynomial ( x) na nambari α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Mahesabu kwa kutumia mpango wa Horner yanawasilishwa kwenye jedwali lifuatalo:

	A 0	a 1	a 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=a b n-1 +a n

Kwa sababu ya r=Pn(α), basi α ndio mzizi wa mlinganyo. Ili kuangalia kama α ni mzizi mwingi, mpango wa Horner unaweza kutumika kwa mgawo b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 kulingana na jedwali. Ikiwa kwenye safu chini ya bn -1 matokeo ni 0 tena, ambayo inamaanisha α ni mzizi mwingi.

Hebu tuangalie mfano: kutatua equation X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Wacha tutumie upande wa kushoto wa equation uundaji wa polynomial upande wa kushoto wa equation, mpango wa Horner.

Suluhisho: pata vigawanyiko vya neno huru ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Mgawo wa mgawo ni nambari 1, 5, 6, na iliyobaki r = 0.

Ina maana, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Kutoka hapa: X- 1 = 0 au X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Jibu: 1,- 2, - 3.

Hitimisho: Kwa hivyo, kwenye mlingano mmoja tumeonyesha matumizi ya mbinu mbili tofauti za kuainisha polynomia. Kwa maoni yetu, mpango wa Horner ni wa vitendo zaidi na wa kiuchumi.

2.5 Kutatua milinganyo ya shahada ya 4. Njia ya Ferrari

Mwanafunzi wa Cardano Ludovic Ferrari aligundua njia ya kutatua mlinganyo wa daraja la nne. Njia ya Ferrari ina hatua mbili.

Hatua ya I: milinganyo ya fomu inawakilishwa kama bidhaa ya trinomia mbili za mraba; hii inafuatia ukweli kwamba mlinganyo ni wa shahada ya 3 na ina angalau suluhu moja.

Hatua ya II: hesabu zinazosababishwa zinatatuliwa kwa kutumia factorization, lakini ili kupata factorization inayohitajika, equations za ujazo zinapaswa kutatuliwa.

Wazo ni kuwakilisha milinganyo katika fomu A 2 =B 2, ambapo A= x 2 +sekunde,

B-linear kazi ya x. Kisha inabakia kutatua milinganyo A = ±B.

Kwa uwazi, fikiria mlinganyo: Kutenga digrii ya 4, tunapata: Kwa yoyote d usemi utakuwa mraba kamili. Ongeza kwa pande zote mbili za equation tunayopata

Kwa upande wa kushoto kuna mraba kamili, unaweza kuchukua d, ili upande wa kulia wa (2) pia uwe mraba kamili. Hebu fikiria kwamba tumefanikiwa hili. Kisha equation yetu inaonekana kama hii:

Kupata mizizi haitakuwa ngumu baadaye. Ili kuchagua haki d ni muhimu kwamba kibaguzi wa upande wa kulia wa (3) inakuwa sifuri, i.e.

Kwa hivyo kupata d, tunahitaji kutatua mlingano huu wa shahada ya 3. Equation hii msaidizi inaitwa suluhisho.

Tunapata kwa urahisi mzizi mzima wa suluhisho: d = 1

Kubadilisha equation kuwa (1) tunapata

Hitimisho: njia ya Ferrari ni ya ulimwengu wote, lakini ngumu na ngumu. Wakati huo huo, ikiwa algorithm ya suluhisho ni wazi, basi usawa wa digrii 4 unaweza kutatuliwa kwa kutumia njia hii.

2.6 Mbinu ya mgawo usio na uhakika

Mafanikio ya kutatua equation ya digrii ya 4 kwa kutumia njia ya Ferrari inategemea ikiwa tunatatua suluhisho - equation ya digrii ya 3, ambayo, kama tunavyojua, haiwezekani kila wakati.

Kiini cha njia ya mgawo usio na kipimo ni kwamba aina ya mambo ambayo polinomia fulani hutenganishwa inakisiwa, na mgawo wa mambo haya (pia polinomia) huamuliwa kwa kuzidisha sababu na kusawazisha mgawo kwa nguvu sawa za muundo. kutofautiana.

Mfano: kutatua equation:

Tuseme kwamba upande wa kushoto wa mlingano wetu unaweza kugawanywa katika trinomia mbili za mraba na coefficients kamili ili kwamba usawa sawa ni kweli.

Kwa wazi, coefficients mbele yao lazima iwe sawa na 1, na masharti ya bure lazima iwe sawa na moja. + 1, nyingine - 1.

Coefficients inakabiliwa na X. Wacha tuwaashirie kwa A na na kuzibainisha, tunazidisha trinomia zote mbili upande wa kulia wa mlinganyo.

Kama matokeo, tunapata:

Kusawazisha mgawo kwa digrii sawa X kwa upande wa kushoto na kulia wa usawa (1), tunapata mfumo wa kutafuta na

Baada ya kusuluhisha mfumo huu, tutakuwa na

Kwa hivyo equation yetu ni sawa na equation

Baada ya kuitatua, tunapata mizizi ifuatayo:.

Njia ya coefficients isiyojulikana inategemea taarifa zifuatazo: polynomial yoyote ya shahada ya nne katika equation inaweza kuharibiwa katika bidhaa ya polynomials mbili za shahada ya pili; polima mbili ni sawa ikiwa na ikiwa tu migawo yao ni sawa kwa nguvu sawa X.

2.7 Milinganyo ya ulinganifu

Ufafanuzi. Mlinganyo wa fomu huitwa ulinganifu ikiwa mgawo wa kwanza upande wa kushoto wa mlinganyo ni sawa na mgawo wa kwanza upande wa kulia.

Tunaona kwamba coefficients ya kwanza upande wa kushoto ni sawa na coefficients ya kwanza upande wa kulia.

Ikiwa equation kama hiyo ina digrii isiyo ya kawaida, basi ina mzizi X= - 1. Ifuatayo tunaweza kupunguza kiwango cha equation kwa kuigawanya kwa ( x+ 1). Inabadilika kuwa wakati wa kugawa equation ya ulinganifu na ( x+ 1) equation ya ulinganifu wa digrii hata hupatikana. Uthibitisho wa ulinganifu wa coefficients umewasilishwa hapa chini. (Kiambatisho 6) Jukumu letu ni kujifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya ulinganifu wa digrii hata.

Kwa mfano: (1)

Wacha tusuluhishe equation (1), tugawanye kwa X 2 (hadi shahada ya kati) = 0.

Wacha tupange masharti na ulinganifu

) + 3(x+ . Hebu kuashiria katika= x+ , tuweke mraba pande zote mbili, kwa hivyo = katika 2 Kwa hivyo, 2 ( katika 2 au 2 katika 2 + 3 kutatua equation, tunapata katika = , katika= 3. Kisha, hebu turudi kwenye uingizwaji x+ = na x+ = 3. Tunapata equations na Ya kwanza haina ufumbuzi, na ya pili ina mizizi miwili. Jibu:.

Hitimisho: aina hii ya equation haipatikani mara nyingi, lakini ikiwa utapata, basi inaweza kutatuliwa kwa urahisi na kwa urahisi bila kutumia mahesabu magumu.

2.8 Kutengwa kwa digrii kamili

Fikiria mlinganyo.

Upande wa kushoto ni mchemraba wa jumla (x + 1), i.e.

Tunatoa mzizi wa tatu kutoka kwa sehemu zote mbili:, basi tunapata

Mzizi pekee uko wapi?

MATOKEO YA UTAFITI

Kulingana na matokeo ya kazi, tulifikia hitimisho zifuatazo:

Shukrani kwa nadharia iliyosomwa, tulifahamiana na njia mbali mbali za kutatua hesabu nzima za digrii za juu;

Fomula ya D. Cardano ni vigumu kutumia na inatoa uwezekano mkubwa wa kufanya makosa katika hesabu;

- Njia ya L. Ferrari inaruhusu mtu kupunguza suluhisho kwa equation ya digrii ya nne hadi cubic;

- Nadharia ya Bezout inaweza kutumika kwa milinganyo ya ujazo na milinganyo ya shahada ya nne; inaeleweka zaidi na inayoonekana inapotumika kutatua milinganyo;

Mpango wa Horner husaidia kupunguza kwa kiasi kikubwa na kurahisisha mahesabu katika kutatua equations. Mbali na kupata mizizi, kwa kutumia mpango wa Horner unaweza kuhesabu kwa urahisi zaidi maadili ya polynomials upande wa kushoto wa equation;

Ya riba hasa ilikuwa ufumbuzi wa equations kwa njia ya coefficients isiyojulikana na ufumbuzi wa equations linganifu.

Wakati wa kazi ya utafiti, ilibainika kuwa wanafunzi wanafahamiana na njia rahisi zaidi za kutatua milinganyo ya kiwango cha juu zaidi katika madarasa ya hisabati ya kuchaguliwa, kuanzia darasa la 9 au 10, na pia katika kozi maalum katika kutembelea shule za hisabati. Ukweli huu ulianzishwa kutokana na uchunguzi wa walimu wa hisabati katika MBOU "Shule ya Sekondari Na. 9" na wanafunzi ambao walionyesha nia ya kuongezeka kwa somo la "hisabati".

Njia maarufu zaidi za kusuluhisha hesabu za digrii za juu, ambazo hukutana wakati wa kusuluhisha olympiads, shida za ushindani na kama matokeo ya wanafunzi kujiandaa kwa mitihani, ni njia kulingana na utumiaji wa nadharia ya Bezout, mpango wa Horner na kuanzishwa kwa tofauti mpya.

Maonyesho ya matokeo ya kazi ya utafiti, i.e. njia za kutatua milinganyo ambayo haijafundishwa katika mtaala wa hisabati wa shule iliwavutia wanafunzi wenzangu.

Hitimisho

Baada ya kusoma fasihi ya kielimu na kisayansi, rasilimali za mtandao katika majukwaa ya elimu ya vijana

"Njia za kutatua hesabu za digrii za juu"

( Masomo ya Kiselev)

Mwalimu wa hisabati Afanasyeva L.A.

Shule ya sekondari ya MKOU Verkhnekarachskaya

Wilaya ya Gribanovsky, mkoa wa Voronezh

2015

Elimu ya hisabati iliyopokelewa katika shule ya kina ni sehemu muhimu ya elimu ya jumla na utamaduni wa jumla wa mwanadamu wa kisasa.

Mwanahisabati maarufu Mjerumani Courant aliandika hivi: “Kwa zaidi ya milenia mbili, ujuzi wa baadhi ya watu, si wa juu juu sana, katika uwanja wa hesabu ulikuwa sehemu ya lazima ya hesabu ya kiakili ya kila mtu aliyeelimika.” Na kati ya ujuzi huu, sio nafasi ndogo ni ya uwezo wa kutatua equations.

Tayari katika nyakati za zamani, watu waligundua jinsi ilivyokuwa muhimu kujifunza kutatua equations za algebra. Karibu miaka 4000 iliyopita, wanasayansi wa Babeli walijua jinsi ya kutatua equation ya quadratic na mifumo iliyotatuliwa ya milinganyo miwili, ambayo moja ilikuwa ya digrii ya pili. Kwa msaada wa equations, matatizo mbalimbali ya upimaji wa ardhi, usanifu na masuala ya kijeshi yalitatuliwa; maswali mengi na tofauti ya mazoezi na sayansi ya asili yalipunguzwa kwao, kwani lugha sahihi ya hisabati inaruhusu mtu kueleza tu ukweli na mahusiano ambayo, wakati. iliyosemwa kwa lugha ya kawaida, inaweza kuonekana kuwa ya kutatanisha na ngumu. Equation ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi katika hisabati. Ukuzaji wa njia za kutatua equations, tangu kuzaliwa kwa hisabati kama sayansi, kwa muda mrefu imekuwa somo kuu la utafiti wa algebra. Na leo katika masomo ya hisabati, kuanzia hatua ya kwanza ya elimu, tahadhari nyingi hulipwa kwa kutatua equations za aina mbalimbali.

Hakuna fomula ya jumla ya kutafuta mizizi ya mlinganyo wa aljebra wa shahada ya nth. Wengi, kwa kweli, walikuwa na wazo la kumjaribu la kupata digrii yoyote n fomula ambazo zinaweza kuelezea mizizi ya mlinganyo kupitia coefficients yake, yaani, ingeweza kutatua mlinganyo katika radicals. Walakini, "Enzi za giza za Kati" ziligeuka kuwa za kusikitisha iwezekanavyo kuhusiana na shida iliyojadiliwa - kwa karne saba nzima hakuna mtu aliyepata fomula zinazohitajika! Ni katika karne ya 16 tu ambapo wanahisabati wa Italia waliweza kusonga mbele zaidi - kupata fomula za n =3 Na n =4 . Wakati huo huo, swali la ufumbuzi wa jumla wa equations ya shahada ya 3 ilisomwa na Scipio Dal Ferro, mwanafunzi wake Fiori na Tartaglia. Mnamo 1545, kitabu cha mwanahisabati wa Kiitaliano D Cardano "Sanaa Kubwa, au Juu ya Sheria za Algebra" kilichapishwa, ambapo, pamoja na maswali mengine ya algebra, njia za jumla za kutatua equations za ujazo zinazingatiwa, pamoja na njia ya kutatua. milinganyo ya shahada ya 4, iliyogunduliwa na mwanafunzi wake L. Ferrari. Uwasilishaji kamili wa masuala yanayohusiana na ufumbuzi wa equations ya digrii 3 hadi 4 ulitolewa na F. Viet. Na katika miaka ya 20 ya karne ya 19, mwanahisabati wa Norway N. Abel alithibitisha kwamba mizizi ya equations ya digrii 5 na ya juu haiwezi kuonyeshwa kwa suala la radicals.

Mchakato wa kutafuta masuluhisho ya mlinganyo kwa kawaida huhusisha kubadilisha mlingano na kuuweka sawa. Kubadilisha equation na sawa ni kwa msingi wa matumizi ya axioms nne:

1. Ikiwa maadili sawa yanaongezwa kwa nambari sawa, matokeo yatakuwa sawa.

2. Ukiondoa nambari sawa kutoka kwa idadi sawa, matokeo yatakuwa sawa.

3. Ikiwa maadili sawa yanazidishwa na nambari sawa, matokeo yatakuwa sawa.

4. Ikiwa idadi sawa imegawanywa kwa idadi sawa, matokeo yatakuwa sawa.

Kwa kuwa upande wa kushoto wa equation P(x) = 0 ni polynomial ya shahada ya nth, ni muhimu kukumbuka taarifa zifuatazo:

Taarifa kuhusu mizizi ya polynomial na vigawanyiko vyake:

1. Polynomial ya shahada ya nth ina idadi ya mizizi isiyozidi n, na mizizi ya msururu m hutokea haswa mara m.

2. Polynomial ya shahada isiyo ya kawaida ina angalau mzizi mmoja halisi.

3. Ikiwa α ni mzizi wa P (x), basi P n (x) = (x - α) Q n - 1 (x), ambapo Q n - 1 (x) ni polynomial ya shahada (n - 1).

4. Kila mzizi kamili wa polinomia yenye coefficients kamili ni kigawanyo cha neno lisilolipishwa.

5. Polinomia iliyopunguzwa yenye coefficients kamili haiwezi kuwa na mizizi ya kimantiki ya sehemu.

6. Kwa digrii ya tatu ya polynomial

P 3 (x) = shoka 3 + bx 2 + cx + d moja ya mambo mawili yanawezekana: ama imetengana na kuwa bidhaa ya binomials tatu.

P 3 (x) = a (x - α)(x - β)(x - γ), au hutengana na kuwa bidhaa ya binomial na trinomia ya mraba P 3 (x) = a(x - α)(x 2) + βx + γ ).

7. Polynomial yoyote ya shahada ya nne inaweza kupanuliwa kuwa bidhaa ya trinomia mbili za mraba.

8. F (x) ya aina nyingi inaweza kugawanywa kwa g(x) ya polinomia bila salio ikiwa kuna q(x) ya polinomia hivi kwamba f(x) = g(x) q(x). Ili kugawanya polynomials, sheria ya "mgawanyiko wa kona" hutumiwa.

9. Ili P (x) ya polynomial iweze kugawanywa na binomial (x - c), ni muhimu na ya kutosha kwamba c iwe mzizi wa P (x) (Corollary of theorem ya Bezout).

10. Nadharia ya Vieta: Ikiwa x 1, x 2, ..., x n ni mizizi halisi ya polynomial.

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, basi usawa ufuatao unashikilia:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 /a 0,

x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n /a 0 .

Kutatua Mifano

Mfano 1 . Pata sehemu iliyobaki ya mgawanyiko P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 kwa (x - 1/3).

Suluhisho. Kulingana na muhtasari wa nadharia ya Bezout: "Salio la polynomial iliyogawanywa na binomial (x - c) ni sawa na thamani ya polynomial ya c." Hebu tupate P(1/3) = 0. Kwa hiyo, salio ni 0 na nambari 1/3 ni mzizi wa polynomial.

Jibu: R = 0.

Mfano 2 . Gawanya na "kona" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 na (x + 2). Tafuta sehemu iliyobaki na isiyo kamili.

Suluhisho:

2x 3 + 3x 2 - 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2x

Jibu: R = 3; mgawo: 2x 2 - x.

Njia za msingi za kutatua milinganyo ya shahada ya juu

1. Utangulizi wa kigezo kipya

Njia ya kutambulisha kigezo kipya ni kwamba ili kutatua equation f(x) = 0, kigezo kipya (badala) t = x n au t = g(x) kinaletwa na f(x) kinaonyeshwa kupitia t, kupata a. mlingano mpya r(t) . Kisha kutatua equation r (t), mizizi hupatikana: (t 1, t 2, ..., t n). Baada ya hayo, seti ya n equations q(x) = t 1, q(x) = t 2, ... , q(x) = t n inapatikana, ambayo mizizi ya equation ya awali hupatikana.

Mfano;(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Suluhisho: (x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Uingizwaji (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Ubadilishaji wa kinyume:

x 2 + x + 1 = 2 au x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 au x 2 + x = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, kutoka kwa pili: 0 na -1.

Njia ya kuanzisha kigezo kipya hutumiwa katika kutatua inayoweza kurudishwa milinganyo, yaani, milinganyo ya fomu 0 x n + a 1 x n – 1 + .. + a n – 1 x + a n =0, ambapo mgawo wa masharti ya equation, kwa usawa kutoka mwanzo na mwisho, ni sawa.

2. Factorization kwa kupanga na kufupisha fomula za kuzidisha

Msingi wa njia hii ni kuweka masharti ili kila kikundi kiwe na sababu ya kawaida. Kwa kufanya hivyo, wakati mwingine ni muhimu kutumia baadhi ya mbinu za bandia.

Mfano: x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Suluhisho. Hebu fikiria - 3x 2 = -2x 2 - x 2 na kikundi:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x – 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 au x 2 + x – 3 = 0.

Hakuna mizizi katika equation ya kwanza, kutoka kwa pili: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Factorization kwa njia ya coefficients undetermined

Kiini cha njia ni kwamba polynomial ya awali imeunganishwa na coefficients isiyojulikana. Kwa kutumia sifa ambayo polimanomia ni sawa ikiwa mgawo wao ni sawa kwa nguvu sawa, mgawo wa upanuzi usiojulikana hupatikana.

Mfano: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Suluhisho. Polynomia ya shahada ya 3 inaweza kupanuliwa kuwa bidhaa ya vipengele vya mstari na vya quadratic.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx - shoka 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a) x 2 + (c – ab)x – ac.

Baada ya kusuluhisha mfumo:

tunapata

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Mizizi ya equation (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 ni rahisi kupata.

Jibu: -1; -2.

4. Njia ya kuchagua mzizi kwa kutumia mgawo wa juu na wa bure

Njia hiyo inategemea matumizi ya nadharia:

1) Kila mzizi kamili wa polynomial na coefficients integer ni kigawanyo cha neno bure.

2) Ili sehemu isiyoweza kurekebishwa p/q (p - integer, q - asili) iwe mzizi wa mlinganyo wenye coefficients kamili, ni muhimu kwamba nambari p iwe kigawanyo kamili cha neno huria a 0, na. q - mgawanyiko wa asili wa mgawo wa kuongoza.

Mfano: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Suluhisho:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Kwa hiyo, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Baada ya kupata mzizi mmoja, kwa mfano - 2, tutapata mizizi mingine kwa kutumia mgawanyiko wa kona, njia ya coefficients isiyojulikana au mpango wa Horner.

Jibu: -2; 1/2; 1/3.

5. Mbinu ya picha.

Njia hii inajumuisha kuunda grafu na kutumia mali ya kazi.

Mfano: x 5 + x – 2 = 0

Hebu fikiria equation katika fomu x 5 = - x + 2. Kazi y = x 5 inaongezeka, na kazi y = - x + 2 inapungua. Hii ina maana kwamba equation x 5 + x – 2 = 0 ina mzizi mmoja -1.

6.Kuzidisha mlinganyo kwa chaguo la kukokotoa.

Wakati mwingine kutatua equation ya algebra ni rahisi sana ikiwa unazidisha pande zote mbili kwa kazi fulani - polynomial katika haijulikani. Wakati huo huo, ni lazima tukumbuke kwamba inawezekana kwamba mizizi ya ziada inaweza kuonekana-mizizi ya polynomial ambayo equation iliongezeka. Kwa hivyo, lazima uzidishe kwa polimanomia ambayo haina mizizi na kupata mlinganyo sawa, au kuzidisha kwa polynomial ambayo ina mizizi, na kisha kila moja ya mizizi hii lazima ibadilishwe kwenye equation ya asili na uamue ikiwa nambari hii ndio mzizi wake.

Mfano. Tatua mlinganyo:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Suluhisho: Kuzidisha pande zote mbili za equation na polynomial X 2 + 1, ambayo haina mizizi, tunapata equation:

(X 2 +1) (X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1) = 0 (2)
sawa na mlinganyo (1). Equation (2) inaweza kuandikwa kama:

X 10 + 1= 0 (3)
Ni wazi kwamba mlinganyo (3) hauna mizizi halisi, kwa hivyo mlinganyo (1) hauna mizizi.

Jibu: hakuna masuluhisho.

Mbali na njia zilizo hapo juu za kutatua equations za digrii za juu, kuna zingine. Kwa mfano, kuonyesha mraba kamili, mpango wa Horner, unaowakilisha sehemu kama sehemu mbili. Ya njia za jumla za kutatua equations za digrii za juu, ambazo hutumiwa mara nyingi, hutumia: njia ya kuzingatia upande wa kushoto wa equation;

njia ya uingizwaji ya kutofautiana (njia ya kuanzisha kutofautiana mpya); njia ya picha. Tunatanguliza njia hizi kwa wanafunzi wa darasa la 9 tunaposoma mada "Mlinganyo Mzima na Mizizi Yake." Katika kitabu cha Algebra 9 (waandishi Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., nk) ya miaka ya hivi karibuni ya kuchapishwa, mbinu kuu za kutatua equations za digrii za juu zinajadiliwa kwa undani wa kutosha. Kwa kuongezea, katika sehemu "Kwa wale ambao wanataka kujua zaidi," kwa maoni yangu, nyenzo juu ya utumiaji wa nadharia kwenye mzizi wa polynomial na mizizi yote ya equation nzima wakati wa kutatua hesabu za digrii za juu zinawasilishwa kwa njia inayopatikana. namna. Wanafunzi waliojitayarisha vyema husoma nyenzo hii kwa kupendezwa na kisha kuwasilisha milinganyo iliyotatuliwa kwa wanafunzi wenzao.

Karibu kila kitu kinachotuzunguka kimeunganishwa na shahada moja au nyingine na hisabati. Na mafanikio katika fizikia, teknolojia na teknolojia ya habari yanathibitisha hili pekee. Na kilicho muhimu sana ni kwamba kutatua matatizo mengi ya vitendo kunakuja kutatua aina mbalimbali za equations ambazo unahitaji kujifunza kutatua.

Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya aljebra, mara nyingi lazima uzingatie polynomial. Kuainisha maana ya polinomia kuiwakilisha kama bidhaa ya polima mbili au zaidi. Tunatumia njia zingine za kuoza polima mara nyingi: kuchukua jambo la kawaida, kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha, kutenga mraba kamili, kuweka kambi. Hebu tuangalie mbinu zingine zaidi.

Wakati mwingine kauli zifuatazo ni muhimu wakati wa kuunda polynomial:

1) ikiwa polinomia iliyo na mgawo kamili ina mzizi wa busara (ambapo kuna sehemu isiyoweza kupunguzwa, basi ni kigawanyaji cha neno huru na kigawanyaji cha mgawo unaoongoza:

2) Ikiwa kwa njia fulani utachagua mzizi wa digrii ya polynomial, basi polynomial inaweza kuwakilishwa katika fomu ambapo ni polynomial ya digrii.

Polynomial inaweza kupatikana ama kwa kugawanya polynomial katika binomial katika "safu", au kwa kuweka katika makundi ipasavyo masharti ya polynomial na kutenganisha kizidishi kutoka kwao, au kwa mbinu ya coefficients isiyojulikana.

Mfano. Sababu ya polynomial

Suluhisho. Kwa kuwa mgawo wa x4 ni sawa na 1, basi mizizi ya busara ya polynomial hii ipo na ni mgawanyiko wa nambari 6, i.e. inaweza kuwa nambari kamili ± 1, ±2, ±3, ±6. Wacha tuashiria hii polynomial kwa P4(x). Kwa kuwa P P4 (1) = 4 na P4(-4) = 23, nambari 1 na -1 sio mizizi ya PA (x) ya polynomial. Kwa kuwa P4 (2) = 0, basi x = 2 ni mzizi wa polynomial P4 (x), na, kwa hiyo, polynomial hii inaweza kugawanywa na binomial x - 2. Kwa hiyo x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 +6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Kwa hiyo, P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Kwa kuwa xz - 3x2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), kisha x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3)(x2 + 1).

Mbinu ya kuingiza kigezo

Wakati mwingine wakati wa kutengeneza polynomial, njia ya kuanzisha parameter husaidia. Tutaelezea kiini cha njia hii kwa kutumia mfano ufuatao.

Mfano. x3 –(√3 + 1) x2 + 3.

Suluhisho. Fikiria polynomial yenye parameta a: x3 - (a + 1)x2 + a2, ambayo kwa = √3 inageuka kuwa polynomial iliyotolewa. Wacha tuandike hii polynomial kama trinomia ya mraba kwa: a - ax2 + (x3 - x2).

Kwa kuwa mizizi ya trinomial hii ya mraba kwa heshima na a ni a1 = x na a2 = x2 - x, basi usawa a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) ni kweli. Kwa hiyo, polynomial x3 - (√3 + 1)x2 + 3 imetengana katika vipengele √3 - x na √3 - x2 + x, i.e.

x3 – (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Njia ya kuanzisha mpya isiyojulikana

Katika baadhi ya matukio, kwa kubadilisha usemi f(x) uliojumuishwa katika polinomia Pn(x), kupitia y mtu anaweza kupata polimanomia kwa heshima na y, ambayo inaweza kuainishwa kwa urahisi. Kisha, baada ya kuchukua nafasi ya y na f (x), tunapata factorization ya polynomial Pn (x).

Mfano. Eleza alama ya polinomia x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Suluhisho. Wacha tuibadilishe hii polynomia kama ifuatavyo: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3))][(x + 1)(x + 2)] - 15 =( x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) - 15.

Hebu tuashiria x2 + 3x kwa y. Kisha tuna y (y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4)= ( y+ 5) (y - 3).

Kwa hiyo x(x + 1)(x+ 2)(x + 3) - 15 = (x2+ 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Mfano. Weka alama kwenye polinomia (x-4)4+(x+2)4

Suluhisho. Hebu tuonyeshe x- 4+x+2 = x - 1 kwa y.

(x - 4)4 + (x + 2)2= (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 +54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(yg + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2) )

Kuchanganya mbinu tofauti

Mara nyingi, wakati wa kuunda polynomial, ni muhimu kutumia njia kadhaa zilizojadiliwa hapo juu kwa mfululizo.

Mfano. Factor polynomial x4 - 3x2 + 4x-3.

Suluhisho. Kwa kutumia kikundi, tunaandika tena polynomial katika fomu x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Kutumia njia ya kutenganisha mraba kamili kwa bracket ya kwanza, tuna x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Kwa kutumia fomula kamili ya mraba, sasa tunaweza kuandika kwamba x4 – 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Hatimaye, kwa kutumia tofauti ya fomula ya mraba, tunapata kwamba x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2+x-3) (x2 -x) + 1).

§ 2. Milinganyo ya ulinganifu

1. Milinganyo ya ulinganifu wa shahada ya tatu

Milinganyo ya fomu ax3 + bx2 + bx + a = 0, a ≠ 0 (1) inaitwa milinganyo ya ulinganifu wa shahada ya tatu. Kwa kuwa ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx (x + 1) = (x+1)(ax2+(b-a)x+a), basi mlingano (1) ni sawa na seti ya milinganyo. x + 1 = 0 na ax2 + (b-a)x + a = 0, ambayo si vigumu kutatua.

Mfano 1: Tatua mlinganyo

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Suluhisho. Mlinganyo (2) ni mlingano wa ulinganifu wa shahada ya tatu.

Kwa kuwa 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x+ 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , basi equation (2) ni sawa na seti ya milinganyo x + 1 = 0 na 3x3 + x +3=0.

Suluhisho la kwanza ya hesabu hizi ni x = -1, equation ya pili haina suluhu.

Jibu: x = -1.

2. Milinganyo ya ulinganifu wa shahada ya nne

Mlinganyo wa fomu

(3) inaitwa equation linganifu ya shahada ya nne.

Kwa kuwa x = 0 sio mzizi wa equation (3), basi kwa kugawa pande zote mbili za equation (3) na x2, tunapata equation sawa na ile ya asili (3):

Wacha tuandike tena equation (4) kama:

Hebu tufanye mbadala katika mlingano huu, kisha tupate mlinganyo wa quadratic

Ikiwa equation (5) ina mizizi 2 y1 na y2, basi equation asili ni sawa na seti ya milinganyo.

Ikiwa equation (5) ina mzizi mmoja y0, basi mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo.

Hatimaye, ikiwa equation (5) haina mizizi, basi equation ya awali pia haina mizizi.

Mfano 2: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Mlingano huu ni mlingano linganifu wa shahada ya nne. Kwa kuwa x = 0 sio mzizi wake, basi kwa kugawanya equation (6) na x2, tunapata equation sawa:

Baada ya kuweka masharti katika vikundi, tunaandika tena mlinganyo (7) kwa njia au kwa namna

Kuiweka, tunapata equation ambayo ina mizizi miwili y1 = 2 na y2 = 3. Kwa hiyo, equation ya awali ni sawa na seti ya equations.

Suluhisho la equation ya kwanza ya seti hii ni x1 = 1, na suluhisho la pili ni u.

Kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi mitatu: x1, x2 na x3.

Jibu: x1=1.

§3. Milinganyo ya algebra

1. Kupunguza kiwango cha equation

Baadhi ya milinganyo ya aljebra, kwa kubadilisha polinomia fulani ndani yake na herufi moja, inaweza kupunguzwa hadi milinganyo ya aljebra ambayo shahada yake ni chini ya kiwango cha mlingano asilia na ambayo suluhisho lake ni rahisi zaidi.

Mfano 1: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Hebu tuashiria kwa, kisha mlinganyo (1) unaweza kuandikwa upya kama Mlinganyo wa mwisho una mizizi na Kwa hivyo, mlingano (1) ni sawa na seti ya milinganyo na. Suluhisho la equation ya kwanza ya seti hii ni na suluhisho la equation ya pili ni

Masuluhisho ya mlingano (1) ni

Mfano 2: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa 12 na kuashiria kwa,

Tunapata mlingano. Tunaandika mlingano huu upya katika fomu

(3) na kuashiria kwa tunaandika upya mlinganyo (3) katika mfumo Mlinganyo wa mwisho una mizizi na Kwa hivyo, tunapata kwamba mlinganyo (3) ni sawa na seti ya milinganyo miwili na Kuna masuluhisho kwa seti hii ya milinganyo na i.e. (2) ni sawa na seti ya milinganyo na (4)

Suluhisho la seti (4) ni na, na ndio suluhisho la equation (2).

2. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(5) nambari zilizotolewa ziko wapi, zinaweza kupunguzwa hadi mlinganyo wa pande mbili kwa kuchukua nafasi isiyojulikana, yaani, kubadilisha isiyojulikana.

Mfano 3: Tatua mlingano

Suluhisho. Hebu tuashiria kwa, t. e) tunafanya mabadiliko ya vigeu au Kisha equation (6) inaweza kuandikwa upya katika fomu au, kwa kutumia fomula, katika umbo.

Kwa kuwa mizizi ya equation ya quadratic ni na, suluhu za equation (7) ni suluhu kwa seti ya milinganyo na. Seti hii ya milinganyo ina masuluhisho mawili na Kwa hiyo, masuluhisho ya equation (6) ni na

3. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(8) ambapo nambari α, β, γ, δ, na Α ziko hivi kwamba α

Mfano 4: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Hebu tufanye mabadiliko ya yasiyojulikana, yaani y=x+3 au x = y - 3. Kisha mlinganyo (9) unaweza kuandikwa upya kama

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, yaani katika umbo

(y2- 4)(y2-1)=10(10)

Equation ya biquadratic (10) ina mizizi miwili. Kwa hivyo, equation (9) pia ina mizizi miwili:

4. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo, (11)

Ambapo, x = 0 haina mzizi, kwa hivyo, kugawanya equation (11) na x2, tunapata equation sawa.

Ambayo, baada ya kuchukua nafasi isiyojulikana, itaandikwa tena kwa namna ya equation ya quadratic, suluhisho ambalo si vigumu.

Mfano 5: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Kwa kuwa h = 0 sio mzizi wa equation (12), kuigawanya na x2, tunapata equation sawa.

Kufanya uingizwaji usiojulikana, tunapata equation (y+1)(y+2)=2, ambayo ina mizizi miwili: y1 = 0 na y1 = -3. Kwa hivyo, mlinganyo wa asili (12) ni sawa na seti ya milinganyo

Seti hii ina mizizi miwili: x1= -1 na x2 = -2.

Jibu: x1= -1, x2 = -2.

Maoni. Mlinganyo wa fomu

Ambayo inaweza daima kupunguzwa kwa fomu (11) na, zaidi ya hayo, kuzingatia α > 0 na λ > 0 kwa fomu.

5. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

,(13) ambapo nambari, α, β, γ, δ, na Α ziko hivi kwamba αβ = γδ ≠ 0, zinaweza kuandikwa upya kwa kuzidisha mabano ya kwanza na ya pili, na ya tatu na ya nne, katika umbo i.e. equation (13) sasa imeandikwa katika fomu (11), na ufumbuzi wake unaweza kufanyika kwa njia sawa na kutatua equation (11).

Mfano 6: Tatua mlinganyo

Suluhisho. Equation (14) ina fomu (13), kwa hivyo tunaiandika tena katika fomu

Kwa kuwa x = 0 sio suluhisho la equation hii, basi kwa kugawa pande zote mbili na x2, tunapata mlinganyo wa asili sawa. Kufanya mabadiliko ya vigezo, tunapata equation ya quadratic ambayo ufumbuzi wake ni na. Kwa hivyo, mlinganyo wa asili (14) ni sawa na seti ya milinganyo na.

Suluhisho la equation ya kwanza ya seti hii ni

Equation ya pili ya seti hii ya suluhisho haina suluhu. Kwa hivyo, equation ya asili ina mizizi x1 na x2.

6. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(15) ambapo nambari a, b, c, q, A ni kiasi kwamba x = 0 haina mzizi, kwa hivyo, kugawanya equation (15) kwa x2. tunapata equation sawa na hiyo, ambayo, baada ya kuchukua nafasi isiyojulikana, itaandikwa tena kwa namna ya equation ya quadratic, suluhisho ambalo si vigumu.

Mfano 7. Kutatua equation

Suluhisho. Kwa kuwa x = 0 sio mzizi wa equation (16), kisha kugawanya pande zote mbili na x2, tunapata equation.

, (17) sawa na equation (16). Baada ya kubadilisha na isiyojulikana, tunaandika tena mlinganyo (17) katika fomu

Mlinganyo wa quadratic (18) una mizizi 2: y1 = 1 na y2 = -1. Kwa hivyo, equation (17) ni sawa na seti ya milinganyo na (19)

Seti ya equations (19) ina mizizi 4:,.

Watakuwa mizizi ya equation (16).

§4. Milinganyo ya kimantiki

Milinganyo ya fomu = 0, ambapo H(x) na Q(x) ni polimanomia, huitwa mantiki.

Baada ya kupata mizizi ya equation H (x) = 0, basi unahitaji kuangalia ni nani kati yao sio mizizi ya equation Q (x) = 0. Mizizi hii na pekee itakuwa suluhisho kwa equation.

Wacha tuchunguze njia kadhaa za kutatua hesabu za fomu = 0.

1. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(1) chini ya hali fulani juu ya idadi inaweza kutatuliwa kama ifuatavyo. Kwa kuweka masharti ya equation (1) kwa mbili na muhtasari wa kila jozi, inahitajika kupata polynomia za nambari za digrii ya kwanza au sifuri, tofauti tu katika sababu za nambari, na katika madhehebu - trinomia zilizo na maneno mawili sawa. x, kisha baada ya kubadilisha vigeu, equation inayotokana nayo itakuwa na fomu (1), lakini ikiwa na idadi ndogo ya istilahi, au itakuwa sawa na seti ya milinganyo miwili, moja ambayo itakuwa ya shahada ya kwanza, na pili itakuwa equation ya aina (1), lakini kwa idadi ndogo ya maneno.

Mfano. Tatua mlinganyo

Suluhisho. Baada ya kuweka katika upande wa kushoto wa equation (2) muhula wa kwanza na wa mwisho, na wa pili na wa mwisho, tunaandika tena equation (2) katika fomu.

Kwa muhtasari wa masharti katika kila mabano, tunaandika upya mlingano (3) katika fomu

Kwa kuwa hakuna suluhisho la equation (4), basi, tukigawanya equation hii, tunapata equation.

, (5) sawa na mlinganyo (4). Hebu tufanye badala ya haijulikani, kisha equation (5) itaandikwa upya katika fomu

Kwa hivyo, suluhisho la equation (2) na masharti matano upande wa kushoto hupunguzwa kwa suluhisho la equation (6) ya fomu sawa, lakini kwa maneno matatu upande wa kushoto. Kwa muhtasari wa masharti yote kwenye upande wa kushoto wa equation (6), tunaandika upya katika fomu

Kuna suluhisho kwa equation. Hakuna nambari moja kati ya hizi inayofanya kiashiria cha utendaji wa kimantiki kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo (7) kutoweka. Kwa hivyo, equation (7) ina mizizi hii miwili, na kwa hivyo equation asili (2) ni sawa na seti ya milinganyo.

Suluhisho la equation ya kwanza ya seti hii ni

Suluhisho la equation ya pili kutoka kwa seti hii ni

Kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi

2. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(8) chini ya hali fulani juu ya nambari inaweza kutatuliwa kama ifuatavyo: inahitajika kuchagua sehemu kamili katika kila sehemu ya equation, i.e. badilisha equation (8) na equation.

Punguza hadi fomu (1) na kisha uitatue kwa njia iliyoelezewa katika aya iliyotangulia.

Mfano. Tatua mlinganyo

Suluhisho. Hebu tuandike mlingano (9) kwa namna au kwa namna

Kwa muhtasari wa masharti katika mabano, tunaandika upya mlinganyo (10) katika fomu

Kwa kuchukua nafasi isiyojulikana, tunaandika upya mlinganyo (11) katika fomu

Kwa muhtasari wa masharti kwenye upande wa kushoto wa equation (12), tunaandika upya katika fomu

Ni rahisi kuona kwamba equation (13) ina mizizi miwili: na. Kwa hivyo, equation ya asili (9) ina mizizi minne:

3) Milinganyo ya fomu.

Equation ya fomu (14), chini ya hali fulani za nambari, inaweza kutatuliwa kama ifuatavyo: kwa kupanua (ikiwa hii, bila shaka, inawezekana) kila sehemu ya upande wa kushoto wa equation (14) katika jumla ya sehemu rahisi

Punguza equation (14) kuunda (1), basi, baada ya kufanya upangaji upya wa masharti ya equation inayosababishwa, itatatua kwa kutumia njia iliyoelezewa katika aya ya 1).

Mfano. Tatua mlinganyo

Suluhisho. Kwa kuwa na, kisha kwa kuzidisha nambari ya kila sehemu katika equation (15) kwa 2 na kubainisha kuwa equation (15) inaweza kuandikwa kama

Equation (16) ina fomu (7). Baada ya kupanga upya masharti katika mlinganyo huu, tunaiandika upya kwa namna au kwa namna

Equation (17) ni sawa na seti ya milinganyo na

Ili kutatua equation ya pili ya seti (18), tunafanya badala ya haijulikani. Kisha itaandikwa upya kwa fomu au kwa fomu.

Kwa muhtasari wa masharti yote kwenye upande wa kushoto wa equation (19), iandike upya katika fomu

Kwa kuwa equation haina mizizi, equation (20) pia haina yao.

Mlinganyo wa kwanza wa seti (18) una mzizi mmoja. Kwa kuwa mzizi huu umejumuishwa katika ODZ ya mlinganyo wa pili wa seti (18), ndio mzizi pekee wa seti (18), na kwa hivyo ya asilia. mlingano.

4. Milinganyo ya fomu

Mlinganyo

(21) chini ya hali fulani juu ya nambari na A baada ya kuwakilisha kila neno upande wa kushoto katika fomu inaweza kupunguzwa kwa fomu (1).

Mfano. Tatua mlinganyo

Suluhisho. Wacha tuandike tena equation (22) kwa fomu au kwa fomu

Kwa hivyo, equation (23) imepunguzwa hadi fomu (1). Sasa, tukiweka muhula wa kwanza na wa mwisho, na wa pili na wa tatu, tunaandika tena equation (23) katika muundo.

Mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo na. (24)

Mlinganyo wa mwisho wa seti (24) unaweza kuandikwa upya kama

Kuna ufumbuzi wa equation hii na, kwa kuwa imejumuishwa katika ODZ ya equation ya pili ya kuweka (30), kuweka (24) ina mizizi mitatu :. Zote ni suluhisho kwa mlinganyo wa asili.

5. Milinganyo ya fomu.

Mlinganyo wa fomu (25)

Chini ya hali fulani juu ya nambari, kwa kuchukua nafasi ya haijulikani, mtu anaweza kupunguza kwa equation ya fomu

Mfano. Tatua mlinganyo

Suluhisho. Kwa kuwa sio suluhisho la equation (26), kisha kugawanya nambari na denominator ya kila sehemu upande wa kushoto, tunaiandika tena kwa fomu.

Baada ya kufanya mabadiliko ya vigezo, tunaandika upya equation (27) katika fomu

Kutatua equation (28) kuna na. Kwa hiyo, equation (27) ni sawa na seti ya equations na. (29)

Ili kutumia onyesho la kukagua wasilisho, fungua akaunti ya Google na uingie ndani yake: https://accounts.google.com

Manukuu ya slaidi:

Equations ya digrii za juu (mizizi ya polynomial katika variable moja).

Mpango wa hotuba. Nambari 1. Mlinganyo wa digrii za juu katika kozi ya hisabati ya shule. Nambari 2. Aina ya kawaida ya polynomial. Nambari 3. Mizizi yote ya polynomial. Mpango wa Horner. Nambari 4. Mizizi ya sehemu ya polynomial. Nambari 5. Milinganyo ya fomu: (x + a) (x + b) (x + c) ... = A Nambari 6. Milinganyo ya usawa. Nambari 7. Milinganyo ya homogeneous. Nambari 8. Njia ya coefficients isiyojulikana. Nambari 9. Kazi - njia ya mchoro. Nambari 10. Fomula za Vieta za milinganyo ya digrii za juu. Nambari 11. Mbinu zisizo za kawaida za kutatua equations za digrii za juu.

Mlinganyo wa digrii za juu katika kozi ya hisabati ya shule. darasa la 7. Aina ya kawaida ya polynomial. Vitendo na polynomials. Kuanzisha polynomial. Katika darasa la kawaida masaa 42, katika darasa maalum masaa 56. 8 darasa maalum. Mizizi kamili ya polinomia, mgawanyiko wa polynomial, milinganyo ya kuheshimiana, tofauti na jumla ya nguvu za nth za binomial, mbinu ya coefficients isiyojulikana. Yu.N. Makarychev "Sura za ziada kwa kozi ya aljebra ya shule kwa daraja la 8", M.L. Galitsky Mkusanyiko wa matatizo katika algebra kwa darasa la 8 - 9." 9 darasa maalum. Mizizi ya busara ya polynomial. Milinganyo ya jumla ya kuheshimiana. Fomula za Vieta za milinganyo ya digrii za juu. N.Ya. Vilenkin "Aljebra daraja la 9 na utafiti wa kina. 11 darasa maalum. Utambulisho wa polynomials. Polynomial katika vigezo kadhaa. Inayofanya kazi - njia ya picha ya kutatua milinganyo ya digrii za juu.

Aina ya kawaida ya polynomial. Polynomial P(x) = a ⁿ x ⁿ + a p-1 x p-1 + … + a₂x ² + a₁x + a₀. Inaitwa polynomial ya fomu ya kawaida. a p x ⁿ ni neno kuu la polynomia na p ni mgawo wa neno kuu la polynomia. Wakati n = 1, P (x) inaitwa polynomial iliyopunguzwa. na ₀ ni istilahi huru ya polynomial P(x). n ni daraja la polynomial.

Mizizi yote ya polynomial. Mpango wa Horner. Nadharia Nambari 1. Ikiwa nambari kamili a ndio mzizi wa polinomia P(x), basi a ni kigawanyo cha neno huria P(x). Mfano Nambari 1. Tatua mlinganyo. X⁴ + 2x³ = 11x² – 4x – 4 Hebu tulete mlingano kwa umbo la kawaida. X⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. Tuna polynomial P(x) = x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 Vigawanyiko vya neno lisilolipishwa: ± 1, ± 2, ±4. x = mzizi 1 wa mlingano kwa sababu P(1) = 0, x = 2 ndio mzizi wa mlinganyo kwa sababu P(2) = 0 Nadharia ya Bezout. Salio la kugawanya P(x) ya polinomia kwa binomial (x – a) ni sawa na P(a). Matokeo. Ikiwa a ni mzizi wa polynomial P (x), basi P (x) imegawanywa na (x - a). Katika equation yetu, P (x) imegawanywa na (x - 1) na (x - 2), na kwa hiyo na (x - 1) (x - 2). Wakati wa kugawanya P(x) na (x² - 3x + 2), mgawo hutoa trinomial x² + 5x + 2 = 0, ambayo ina mizizi x = (-5 ± √17)/2

Mizizi ya sehemu ya polynomial. Nadharia nambari 2. Ikiwa p / g ni mzizi wa polynomial P (x), basi p ni kigawanyiko cha neno la bure, g ni kigawanyiko cha mgawo wa neno linaloongoza P (x). Mfano #2: Tatua mlinganyo. 6x³ - 11x² - 2x + 8 = 0. Vigawanyiko vya neno lisilolipishwa: ±1, ±2, ±4, ±8. Hakuna nambari hizi zinazokidhi mlinganyo. Hakuna mizizi nzima. Vigawanyiko vya asili vya mgawo wa muda unaoongoza P (x): 1, 2, 3, 6. Mizizi ya sehemu inayowezekana ya equation: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Kwa kuangalia tuna hakika kwamba P (4/3) = 0. X = 4/3 ni mzizi wa equation. Kutumia mpango wa Horner, tunagawanya P (x) na (x - 4/3).

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. Tatua milinganyo: 9x³ - 18x = x – 2, x³ - x² = x – 1, x³ - 3x² -3x + 1 = 0, X⁴ - 2x³ + 2x – 1 = 0, X⁴ - 3x² + 2 = 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² = 0, x ³ + 4x² + 5x + 2 = 0, X⁴ + 4x³ - x ² - 16x – 12 = 0 4x³ + x ² - x + 5 = 0 3x⁴ + 5x³ - 9x + 1 = 0 = 9x² 0. Majibu: 1) ±1/3; 2 2) ±1, 3) -1; 2 ±√3, 4) ±1, 5) ± 1; ±√2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ±2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

Milinganyo ya fomu (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)… = A. Mfano Na. 3. Tatua mlingano (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =24. a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 a + d = b + c. Zidisha mabano ya kwanza na ya nne na ya pili na ya tatu. (x + 1)(x + 4)(x + 20(x + 3) = 24. (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24. Hebu x² + 5x + 4 = y , kisha y (y + 2) = 24, y² + 2y – 24 = 0 y₁ = - 6, y₂ = 4. x ² + 5x + 4 = -6 au x ² + 5x + 4 = 4. x ² + 5x + 10 = 0, D

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -15, x (x + 4)(x + 5)(x + 9) + 96 = 0, x (x + 3) )(x + 5)(x + 8) + 56 = 0, (x – 4)(x – 3)(x – 2)(x – 1) = 24, (x – 3)(x -4)( x – 5)(x – 6) = 1680, (x² - 5x)(x + 3)(x – 8) + 108 = 0, (x + 4)² (x + 10)(x – 2) + 243 = 0 (x² + 3x + 2)(x² + 9x + 20) = 4, Kumbuka: x + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), x² + 9x + 20 = (x + 4)( x + 5) Majibu: 1) -4 ±√6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5± √97)/2 7) -7; -1; -4 ±√3.

Milinganyo ya kuheshimiana. Ufafanuzi Nambari 1. Mlinganyo wa umbo: ax⁴ + inx ³ + cx ² + inx + a = 0 inaitwa mlingano wa kuwiana wa digrii ya nne. Ufafanuzi Nambari 2. Mlinganyo wa umbo: ax⁴ + inx ³ + cx ² + kinx + k² a = 0 inaitwa mlinganyo wa jumla wa mlingano wa shahada ya nne. k² a: a = k²; kv: v = k.Mfano Na.6. Tatua mlingano x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. Gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa x². x² - 7x + 14 – 7/ x + 1/ x² = 0, (x² + 1/ x²) – 7(x + 1/ x) + 14 = 0. Acha x + 1/ x = y. Tunaweka pande zote mbili za equation. x² + 2 + 1/ x² = y², x² + 1/ x² = y² - 2. Tunapata mlingano wa quadratic y² - 7y + 12 = 0, y₁ = 3, y₂ = 4. x + 1/ x =3 au x + 1/ x = 4. Tunapata milinganyo miwili: x² - 3x + 1 = 0, x² - 4x + 1 = 0. Mfano Nambari 7. 3х⁴ - 2х³ - 31х² + 10х + 75 = 0. 75:3 = 25, 10:(– 2) = -5, (-5)² = 25. Hali ya mlingano wa kuheshimiana wa jumla imeridhika kuwa = -5. Suluhisho ni sawa na mfano Na. 6. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa x². 3x⁴ - 2x – 31 + 10/ x + 75/ x² = 0, 3(x⁴ + 25/ x²) – 2(x – 5/ x) – 31 = 0. Hebu x – 5/ x = y, tuna mraba wote pande za usawa x² - 10 + 25/ x² = y², x² + 25/ x² = y² + 10. Tuna mlingano wa quadratic 3y² - 2y – 1 = 0, y₁ = 1, y₂ = - 1/3. x – 5/ x = 1 au x – 5/ x = -1/3. Tunapata milinganyo miwili: x² - x - 5 = 0 na 3x² + x - 15 = 0

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78x² - 133x + 78 = 0. 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 = 0. 3. x ⁴ - x³ - 10x² + 2x + 4 x 4 = 2x + 4. 38x² -10x + 24 = 0.5. x ⁴ + 2x³ - 11x² + 4x + 4 = 0. 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 = 0. Majibu: 1) 2/3; 3/2, 2) 1;2 3) -1 ±√3; (3±√17)/2, 4) -1±√3; (7±√337)/12 5) 1; 2; (-5± √17)/2, 6) 1; 2.

Milinganyo ya homogeneous. Ufafanuzi. Mlinganyo wa umbo a₀ u³ + a₁ u² v + a₂ uv² + a₃ v³ = 0 unaitwa mlingano wa homogeneous wa shahada ya tatu kwa heshima na u v. Ufafanuzi. Mlinganyo wa umbo a₀ u⁴ + a₁ u³v + a₂ u²v² + a₃ uv³ + a₄ v⁴ = 0 unaitwa mlingano wa homogeneous wa shahada ya nne kwa heshima na u v. Mfano nambari 8. Tatua mlingano (x² - x + 1)³ + 2x⁴(x² - x + 1) – 3x⁶ = 0 Mlinganyo wa shahada ya tatu wa u = x²- x + 1, v = x². Gawa pande zote mbili za mlingano kwa x ⁶. Kwanza tuliangalia kuwa x = 0 sio mzizi wa equation. (x² - x + 1/ x²)³ + 2(x² - x + 1/ x²) – 3 = 0. (x² - x + 1)/ x²) = y, y³ + 2y – 3 = 0, y = 1 mzizi wa equation. Tunagawanya polynomial P(x) = y³ + 2y - 3 kwa y - 1 kulingana na mpango wa Horner. Katika mgawo tunapata trinomial ambayo haina mizizi. Jibu: 1.

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. 1. 2(x² + 6x + 1)² + 5(X² + 6X + 1)(X² + 1) + 2(X² + 1)² = 0, 2. (X + 5)⁴ - 13X²(X + 5) )² + 36X⁴ = 0. 3. 2(X² + X + 1)² - 7(X – 1)² = 13(X³ - 1), 4. 2(X -1)⁴ - 5(X² - 3X + 2)² + 2(x – 2)⁴ = 0. 5. (x² + x + 4)² + 3x(x² + x + 4) + 2x² = 0, Majibu: 1) -1; -2±√3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2;4 4) ±√2; 3±√2, 5) Hakuna mizizi.

Njia ya coefficients isiyojulikana. Nadharia nambari 3. Polynomia mbili P(x) na G(x) zinafanana ikiwa na iwapo tu zina digrii sawa na vipatanishi vya viwango sawa vya kutofautisha katika polimanomia zote mbili ni sawa. Mfano Nambari 9. Onyesha alama nyingi zaidi y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1. y⁴ - 4y³ + 5y² - 4y + 1 = (y² + уу + с)(y² + в₁у + с₁) =у ⁴ + + у³ (в₁ + у³ (в) с₁ + с + в₁в) + у(с₁ + св₁) + сс ₁. Kwa mujibu wa Nadharia namba 3, tuna mfumo wa equations: в₁ + в = -4, с₁ + с + в₁в = 5, сс₁ + св₁ = -4, сс₁ = 1. Ni muhimu kutatua mfumo katika integers. Mlinganyo wa mwisho katika nambari kamili unaweza kuwa na suluhu: c = 1, c₁ =1; с = -1, с₁ = -1. Hebu с = с ₁ = 1, kisha kutoka kwa equation ya kwanza tunayo в₁ = -4 –в. Tunabadilisha katika equation ya pili ya mfumo в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 au в = -3, в₁ = -1. Maadili haya yanafaa equation ya tatu ya mfumo. Wakati с = с ₁ = -1 D

Mfano Nambari 10. Eleza y³ - 5y + 2. y³ -5y + 2 = (y + a) (y² + vy + c) = y³ + (a + b)y² + (ab + c)y + ac. Tuna mfumo wa milinganyo: a + b = 0, ab + c = -5, ac = 2. Suluhisho kamili zinazowezekana kwa mlinganyo wa tatu: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1 ; -2). Acha a = -2, c = -1. Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo katika = 2, ambayo inakidhi equation ya pili. Kubadilisha maadili haya kwa usawa unaohitajika, tunapata jibu: (y - 2) (y² + 2y - 1). Njia ya pili. Y³ - 5y + 2 = y³ -5y + 10 – 8 = (y³ - 8) – 5(y – 2) = (y – 2)(y² + 2y -1).

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. Onyesha vipengele vingi: 1. y⁴ + 4y³ + 6y² +4y -8, 2. y⁴ - 4y³ + 7y² - 6y + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. y⁴ -8y³ + 24y³ + 7y2 -32y. mlinganyo kwa kutumia mbinu ya kubainisha: a) x ⁴ -3x² + 2 = 0, b) x ⁵ +5x³ -6x² = 0. Majibu: 1) (y² +2y -2)(y² +2y +4), 2) (y – 1)²(y² -2y + 2), 3) (x² -6x + 18)(x² + 6x + 18), 4) (y – 1)(y – 3)(y² - 4у + 5) , 5a) ± 1; ±√2, 5b) 0; 1.

Inayofanya kazi - njia ya picha ya kutatua milinganyo ya digrii za juu. Mfano Nambari 11. Tatua mlingano x ⁵ + 5x -42 = 0. Kazi y = x ⁵ kuongezeka, utendaji y = 42 - 5x kupungua (k

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. 1. Kwa kutumia sifa ya monotonicity ya chaguo za kukokotoa, thibitisha kwamba mlinganyo una mzizi mmoja na upate mzizi huu: a) x ³ = 10 – x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 – x. Majibu: a) 2, b) √2. 2. Tatua mlingano kwa kutumia mbinu ya kitendakazi-kielelezo: a) x = ³ √x, b) l x l = ⁵ √x, c) 2 = 6 – x, d) (1/3) = x +4, d ) (x – 1)² = logi₂ x, e) logi = (x + ½)², g) 1 - √x = ln x, h) √x – 2 = 9/x. Majibu: a) 0; ±1, b) 0; 1, c) 2, d) -1, e) 1; 2, f) ½, g) 1, h) 9.

Fomula za Vieta za milinganyo ya digrii za juu. Nadharia namba 5 (nadharia ya Vieta). Ikiwa equation a x ⁿ + a x ⁿ + … + a₁x + a₀ ina n mizizi halisi tofauti x ₁, x ₂, ..., x, basi inakidhi usawa: Kwa mlinganyo wa quadratic ax² + bx + c = o: x ₁ + x ₂ = -в/а, x₁х ₂ = с/а; Kwa mlingano wa ujazo a₃x ³ + a₂x ² + a₁x + a₀ = o: x ₁ + x ₂ + x ₃ = -a₂/a₃; x₁х ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = а₁/а₃; x₁х₂х ₃ = -а₀/а₃; ..., kwa mlinganyo wa shahada ya nth: x ₁ + x ₂ + ... x = - a / a, x₁x ₂ + x₁x ₃ + ... + x x = a / a, ... , x₁x ₂ ·… · x = (- 1 ) ⁿ a₀/a. Nadharia ya mazungumzo pia inashikilia.

Mfano Nambari 13. Andika mlinganyo wa mchemraba ambao mizizi yake ni kinyume na mizizi ya equation x ³ - 6x² + 12x – 18 = 0, na mgawo wa x ³ ni 2. 1. Kwa nadharia ya Vieta ya mlingano wa ujazo tunayo: x ₁ + x ₂ + x ₃ = 6, x₁x ₂ + x₁х ₃ + x₂х ₃ = 12, x₁х₂х ₃ = 18. 2. Tunatunga urejeshaji wa mizizi hii na kutumia nadharia ya Vieta inverse kwa ajili yao. 1/ x ₁ + 1/ x ₂ + 1/ x ₃ = (x₂х ₃ + x₁х ₃ + x₁х ₂)/ x₁х₂х ₃ = 12/18 = 2/3. 1/ x₁х ₂ + 1/ x₁х ₃ + 1/ x₂х ₃ = (x ₃ + x ₂ + x ₁)/ x₁х₂х ₃ = 6/18 = 1/3, 1/ x₁₁1₂ = 1/18 = 1/3 Tunapata equation x³ +2/3x² + 1/3x – 1/18 = 0 2 Jibu: 2x³ + 4/3x² + 2/3x -1/9 = 0.

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. 1. Andika mlingano wa ujazo ambao mizizi yake ni miraba inverse ya mizizi ya equation x ³ - 6x² + 11x – 6 = 0, na mgawo wa x ³ ni 8. Jibu: 8x³ - 98/9x² + 28/9x - 2/9 = 0. Mbinu zisizo za kawaida za kutatua equations za digrii za juu. Mfano Nambari 12. Tatua mlingano x ⁴ -8x + 63 = 0. Hebu tuangazie upande wa kushoto wa mlinganyo. Hebu tuchague miraba halisi. X⁴ - 8x + 63 = (x⁴ + 16x² + 64) – (16x² + 8x + 1) = (x² + 8)² - (4x + 1)² = (x² + 4x + 9)(x² - 4x + 7) = 0. Wabaguzi wote wawili ni hasi. Jibu: hakuna mizizi.

Mfano Nambari 14. Tatua mlinganyo 21x³ + x² - 5x – 1 = 0. Ikiwa neno dummy la equation ni ± 1, basi equation inabadilishwa kuwa equation iliyopunguzwa kwa kutumia mbadala x = 1/y. 21/y³ + 1/y² - 5/y – 1 = 0 · y³, y³ + 5y² -y – 21 = 0. y = -3 mzizi wa mlingano. (y + 3)(y² + 2y -7) = 0, y = -1 ± 2√2. x ₁ = -1/3, x ₂ = 1/ -1 + 2√2 = (2√2 + 1)/7, X₃ = 1/-1 -2√2 = (1-2√2)/7 . Mfano Nambari 15. Tatua mlingano 4x³-10x² + 14x – 5 = 0. Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa 2. 8x³ -20x² + 28x – 10 = 0, (2x)³ - 5(2x)² + 14 (2x) -10 = 0. Hebu tuanzishe kigezo kipya y = 2x, tunapata mlinganyo uliopunguzwa y³ - 5y² + 14y -10 = 0, y = mzizi 1 wa mlinganyo. (y – 1)(y² - 4y + 10) = 0, D

Mfano nambari 16. Thibitisha kuwa mlinganyo x ⁴ + x ³ + x – 2 = 0 una mzizi mmoja chanya. Acha f (x) = x ⁴ + x ³ + x – 2, f’ (x) = 4x³ + 3x² + 1 > o kwa x > o. Chaguo za kukokotoa f (x) huongezeka kwa x > o, na thamani ya f (o) = -2. Ni dhahiri kwamba mlinganyo una mzizi mmoja chanya nk. Mfano Nambari 17. Tatua mlingano 8x(2x² - 1)(8x⁴ - 8x² + 1) = 1. I.F. Sharygin “Kozi ya hiari ya hisabati kwa daraja la 11.” M. Enlightenment 1991 p.90. 1. l x l 1 2x² - 1 > 1 na 8x⁴ -8x² + 1 > 1 2. Hebu tufanye uingizwaji x = laini, y € (0; n). Kwa maadili mengine ya y, maadili ya x yanarudiwa, na equation haina mizizi zaidi ya 7. 2х² - 1 = 2 cos²y – 1 = cos2y, 8х⁴ - 8х² + 1 = 2(2х² - 1)² - 1 = 2 cos²2y – 1 = cos4y. 3. Mlinganyo huchukua fomu 8 cozycos2ycos4y = 1. Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa siny. 8 sinycosycos2ycos4y = siny. Kwa kutumia fomula ya pembe mbili mara 3 tunapata equation sin8y = siny, sin8y - siny = 0

Mwisho wa suluhisho kwa mfano No. 17. Tunatumia tofauti ya fomula ya sines. 2 sin7y/2 · cos9y/2 = 0 . Kwa kuzingatia kwamba y € (0;n), y = 2pk/3, k = 1, 2, 3 au y = n/9 + 2pk/9, k =0, 1, 2, 3. Kurudi kwa mabadiliko x, tunapata jibu: Cos2 p/7, cos4 p/7, cos6 p/7, cos p/9, ½, cos5 p/9, cos7 p/9. Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea. Pata maadili yote ya a ambayo equation (x² + x) (x² + 5x + 6) = a ina mizizi mitatu haswa. Jibu: 9/16. Maelekezo: Grafu upande wa kushoto wa mlinganyo. F max = f(0) = 9/16 . Mstari wa moja kwa moja y = 9/16 huingiliana na grafu ya kazi katika pointi tatu. Tatua mlingano (x² + 2x)² - (x + 1)² = 55. Jibu: -4; 2. Tatua mlingano (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16. Jibu: -5; -3. Tatua mlingano 2(x² + x + 1)² -7(x – 1)² = 13(x³ - 1).Jibu: -1; -1/2, 2;4 Tafuta idadi ya mizizi halisi ya equation x ³ - 12x + 10 = 0 kwenye [-3; 3/2]. Maagizo: tafuta derivative na uchunguze monot.

Mifano kwa ufumbuzi wa kujitegemea (inaendelea). 6. Tafuta idadi ya mizizi halisi ya mlingano x ⁴ - 2x³ + 3/2 = 0. Jibu: 2 7. Acha x ₁, x ₂, x ₃ iwe mizizi ya polynomial P(x) = x ³ - 6x² -15x + 1. Tafuta X₁² + x ₂² + x ₃². Jibu: 66. Maelekezo: Tumia nadharia ya Vieta. 8. Thibitisha kuwa kwa > o na thamani halisi ya kiholela katika equation x ³ + ax + b = o ina mzizi mmoja tu halisi. Dokezo: Thibitisha kwa kupingana. Tumia nadharia ya Vieta. 9. Tatua mlingano 2(x² + 2)² = 9(x³ + 1). Jibu: ½; 1; (3 ± √13)/2. Kidokezo: leta mlinganyo kwa mlinganyo wa homogeneous kwa kutumia usawa X² + 2 = x + 1 + x² - x + 1, x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1). 10. Tatua mfumo wa milinganyo x + y = x², 3y – x = y². Jibu: (0;0),(2;2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Tatua mfumo: 4y² -3y = 2x –y, 5x² - 3y² = 4x – 2y. Jibu: (o;o), (1;1),(297/265; - 27/53).

Mtihani. Chaguo 1. 1. Tatua mlingano (x² + x) – 8(x² + x) + 12 = 0. 2. Tatua mlingano (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 3. Tatua mlingano 12x²(x – 3) + 64(x – 3)² = x ⁴. 4. Tatua mlingano x ⁴ - 4x³ + 5x² - 4x + 1 = 0 5. Tatua mfumo wa milinganyo: x ² + 2y² - x + 2y = 6, 1.5x² + 3y² - x + 5y = 12.

Chaguo 2 1. (x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0. 2. x (x + 1)(x + 5)(x + 6) = 24. 3. x ⁴ + 18( x + 4)² = 11x²(x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0. 5. x² - 2xy + y² + 2x²y – 9 = 0, x – y – x²y + 3 = 0. Chaguo la 3. 1. (x² + 3x)² - 14(x² + 3x) + 40 = 0 2. (x – 5)(x-3)(x + 3)(x + 1) = - 35. 3. x4 + 8x² (x + 2) = 9(x+ 2)². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 = 0. 5. x + y + x² + y² = 18, xy + x² + y² = 19.

Chaguo la 4. (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24 = o. (x -7)(x-4)(x-2)(x + 1) = -36. X⁴ + 3(x -6)² = 4x²(6 – x). X⁴ - 6x³ + 7x² - 6x + 1 = 0. X² + 3xy + y² = - 1, 2x² - 3xy – 3y² = - 4. Kazi ya ziada: Salio la kugawanya P(x) ya polynomial kwa (x - 1) ni 4, salio ikigawanywa na (x + 1) ni sawa na 2, na ikigawanywa na (x – 2) ni sawa na 8. Tafuta salio unapogawanya P(x) na (x³ - 2x² - x + 2) )

Majibu na maagizo: chaguo Nambari 1 Nambari 2. Nambari 3. Nambari 4. Nambari 5. 1. - 3; ±2; 1 1;2;3. -5; -4; 1; 2. Mlinganyo wa homogeneous: u = x -3, v = x² -2; -1; 3; 4. (2;1); (2/3;4/3). Kidokezo: 1·(-3) + 2· 2 2. -6; -2; -4±√6. -3±2√3; - 4; - 2. 1±√11; 4; - 2. Mlinganyo wa homogeneous: u = x + 4, v = x² 1; 5;3±√13. (2;1); (0;3); (- thelathini). Kidokezo: 2 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. Homogeneous u = x+ 2, v = x² -6; ±3; 2 (2;3), (3;2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Maagizo: 2 -1. 4. (3±√5)/2 2±√3 2±√3; (3±√5)/2 (5 ± √21)/2 (1;-2), (-1;2). Kidokezo: 1·4 + 2 .

Kutatua kazi ya ziada. Kwa nadharia ya Bezout: P(1) = 4, P(-1) = 2, P(2) = 8. P(x) = G(x) (x³ - 2x² - x + 2) + ax² + inx + With . Mbadala 1; - 1; 2. P(1) = G(1) 0 + a + b + c = 4, a + b+ c = 4. P(-1) = a – b + c = 2, P(2) = 4a² + 2b + c = 8. Kutatua mfumo unaotokana wa equations tatu, tunapata: a = b = 1, c = 2. Jibu: x² + x + 2.

Kigezo nambari 1 - 2 pointi. Pointi 1 - kosa moja la hesabu. Nambari 2,3,4 - 3 pointi kila mmoja. Pointi 1 - imesababisha usawa wa quadratic. Pointi 2 - kosa moja la hesabu. Nambari 5 - 4 pointi. Pointi 1 - ilionyesha kigezo kimoja kulingana na kingine. Pointi 2 - imepokea moja ya suluhisho. Pointi 3 - kosa moja la hesabu. Kazi ya ziada: pointi 4. Hoja 1 - imetumia nadharia ya Bezout kwa visa vyote vinne. Pointi 2 - imekusanya mfumo wa milinganyo. Pointi 3 - kosa moja la hesabu.

Trifanova Marina Anatolyevna
mwalimu wa hisabati, taasisi ya elimu ya manispaa "Gymnasium No. 48 (multidisciplinary)", Talnakh

Madhumuni matatu ya somo:

Kielimu:
utaratibu na ujanibishaji wa maarifa juu ya utatuzi wa hesabu za digrii za juu.
Maendeleo:
kukuza maendeleo ya kufikiri kimantiki, uwezo wa kufanya kazi kwa kujitegemea, ujuzi wa kudhibiti pamoja na kujidhibiti, kuzungumza na kusikiliza ujuzi.
Kuelimisha:
kukuza tabia ya kuajiriwa mara kwa mara, kukuza mwitikio, kufanya kazi kwa bidii, na usahihi.

Aina ya somo:

somo katika matumizi jumuishi ya maarifa, ujuzi na uwezo.

Fomu ya somo:

uingizaji hewa, mazoezi ya kimwili, aina mbalimbali za kazi.

Vifaa:

maelezo ya kusaidia, kadi za kazi, matrix ya ufuatiliaji wa somo.

WAKATI WA MADARASA

I. Wakati wa shirika

Kuwasilisha madhumuni ya somo kwa wanafunzi.
Kuangalia kazi ya nyumbani (Kiambatisho 1). Kufanya kazi na vidokezo vinavyounga mkono (Kiambatisho 2).

Milinganyo na majibu kwa kila mmoja wao yameandikwa ubaoni. Wanafunzi huangalia majibu yao na kutoa uchambuzi mfupi wa suluhu kwa kila mlinganyo au kujibu maswali ya mwalimu (utafiti wa mbele). Kujidhibiti - wanafunzi hujipa alama na kukabidhi madaftari yao kwa mwalimu ili kusahihishwa au kuidhinishwa. Madaraja ya shule yameandikwa ubaoni:

"5+" - milinganyo 6;
"5" - milinganyo 5;
"4" - milinganyo 4;
"3" - milinganyo 3.

Maswali ya mwalimu kuhusu kazi ya nyumbani:

1 mlingano

Ni mabadiliko gani ya vigeu yanayofanywa katika mlinganyo?
Ni equation gani inayopatikana baada ya kubadilisha vigezo?

2 mlingano

Ni polynomia gani ilitumika kugawanya pande zote mbili za mlinganyo?
Ni mabadiliko gani ya vigezo yalipatikana?

3 mlingano

Je, ni aina gani za polynomia zinazohitaji kuzidishwa ili kurahisisha utatuzi wa mlingano huu?

4 mlingano

Taja chaguo za kukokotoa f(x).
Mizizi iliyobaki ilipatikanaje?

5 mlingano

Ni vipindi vingapi vilipatikana ili kutatua mlingano?

6 mlingano

Je, equation hii inaweza kutatuliwaje?
Suluhisho gani ni la busara zaidi?

II. Kazi ya kikundi ndio sehemu kuu ya somo.

Darasa limegawanywa katika vikundi 4. Kila kikundi kinapewa kadi yenye maswali ya kinadharia na vitendo (Kiambatisho 3): “Chunguza mbinu iliyopendekezwa ya kutatua mlingano na uieleze kwa kutumia mfano huu.”

Kazi ya kikundi dakika 15.
Mifano imeandikwa kwenye ubao (ubao umegawanywa katika sehemu 4).
Ripoti ya kikundi huchukua dakika 2-3.
Mwalimu husahihisha ripoti za kikundi na husaidia kwa shida.

Kazi katika vikundi inaendelea kwenye kadi Na. 5 - 8. Kwa kila mlinganyo, dakika 5 zimetolewa kwa majadiliano katika kikundi. Kisha bodi inatoa ripoti juu ya equation hii - uchambuzi mfupi wa suluhisho. Equation haiwezi kutatuliwa kabisa - inakamilishwa nyumbani, lakini mlolongo wa suluhisho lake unajadiliwa darasani.

III. Kazi ya kujitegemea. Kiambatisho cha 4.

Kila mwanafunzi hupokea mgawo wa mtu binafsi.
Kazi inachukua dakika 20.
Dakika 5 kabla ya mwisho wa somo, mwalimu atatoa majibu wazi kwa kila mlinganyo.
Wanafunzi hubadilishana madaftari kwenye duara na kuangalia majibu yao na rafiki. Wanatoa alama.
Madaftari hukabidhiwa kwa mwalimu kwa ajili ya kukaguliwa na kusahihisha daraja.

IV. Muhtasari wa somo.

Kazi ya nyumbani.

Tengeneza suluhu kwa milinganyo ambayo haijakamilika. Jitayarishe kwa kukata udhibiti.

Kuweka alama.