Tatizo 174tv
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 176tv
Mkojo una mipira 6 nyeusi na 5 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 178tv
Mkojo una mipira 4 nyeusi na 5 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 2 nyeupe;
b) chini ya mipira 2 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 180tv
Mkojo una mipira 6 nyeusi na 7 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 4 nyeupe;
b) chini ya mipira 4 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 184tv
Urn ina mipira 8 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 186tv
Mkojo una mipira 4 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 4 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Tatizo 188tv
Urn ina mipira 5 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 4 nyeupe;
b) chini ya mipira 4 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Kazi nambari 1
Matukio Nasibu
Chaguo 6.
Kazi 1.1. Sarafu tatu zinatupwa. Pata uwezekano kwamba sarafu mbili tu zitakuwa na "kanzu ya silaha".
Tukio A linalochunguzwa - ni sarafu mbili tu kati ya tatu zitakuwa na nembo. Sarafu ina pande mbili, ambayo ina maana kwamba jumla ya matukio wakati wa kutupa sarafu tatu itakuwa 8. Katika matukio matatu, sarafu mbili tu zitakuwa na kanzu ya silaha. Tunahesabu uwezekano wa tukio A kwa kutumia fomula:
P(A) = m/n = 3/8.
Jibu: uwezekano 3/8.
Tatizo 1.2. Neno TUKIO linaundwa na kadi, ambazo kila moja imeandikwa herufi moja. Kisha kadi huchanganywa na kutolewa moja baada ya nyingine bila kurudi. Tafuta uwezekano kwamba herufi zinatolewa kwa mpangilio wa neno ulilopewa.
Jaribio linajumuisha kuchukua kadi zilizo na herufi kwa mpangilio wa nasibu bila kurudisha. Tukio la msingi ni mlolongo unaotokana wa herufi. Tukio A linajumuisha kupokea neno sahihi TUKIO . Matukio ya kimsingi ni vibali vya herufi 7, ambayo ina maana kwamba kulingana na fomula tunayo n= 7!
Herufi katika neno TUKIO hazirudiwi, kwa hivyo viidhinisho haziwezekani ambapo neno halibadiliki. Nambari yao ni 1.
Hivyo,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Jibu: P(A) = 1/5040.
Tatizo 1.3. Kama katika kazi ya awali, pata uwezekano unaolingana wa kesi wakati neno lililopewa ni maneno ya ANTONOV ILYA.
Tatizo hili linatatuliwa sawa na uliopita.
n = 11! M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Jibu: P(A) =1/9979200.
Tatizo 1.4. Mkojo una mipira 8 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Saa 8 Jaribio litakuwa la kuchora mipira 5 bila mpangilio. Msingi
Matukio 6 b yote yanawezekana mchanganyiko wa mipira 5 kati ya 14. Idadi yao ni sawa
a) A 1 - kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe. Hii ina maana kwamba kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe na 2 nyeusi. Kwa kutumia kanuni ya kuzidisha, tunapata
P (A 1) = 560/2002 = 280/1001.b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna chini ya 3 nyeupe. Tukio hili linajumuisha matukio matatu yasiyolingana:
Katika 1 - kati ya mipira iliyochorwa kuna mipira 2 tu nyeupe na 3 nyeusi,
Katika 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna mipira moja tu nyeupe na 4 nyeusi
Katika 3 - kati ya mipira iliyochorwa hakuna mpira mmoja mweupe, mipira yote 5 ni nyeusi:
B 2 B 3.Kwa kuwa matukio B 1, B 2 na B 3 hayaendani, unaweza kutumia fomula:
P (A 2) = P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);
P (A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
- kati ya mipira inayotolewa hakuna nyeupe moja. Kwa kesi hii:P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 28/1001 = 973/1001.Jibu: P (A 1) = 280/1001, P (A 2) = 483/1001, P (A 3) = 973/1001.
Tatizo 1.6. Mkojo wa kwanza una mipira 5 nyeupe na 7 nyeusi, na uni ya pili ina mipira 6 nyeupe na 4 nyeusi. Wanaichukua nje ya mkojo wa kwanza nasibu Mipira 2, na kutoka kwa pili - mipira 2. Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira inayotolewa:
a) mipira yote ni rangi sawa;
b) mipira mitatu tu nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Urn 1 2 Urn Mipira ilitolewa kutoka kwa uni zote mbili kwa kujitegemea. Vipimo
5 b 6 b wanachora mipira miwili kutoka kwenye mkojo wa kwanza na mipira miwili
7h 4h kutoka urn ya pili. Matukio ya msingi yatakuwa mchanganyiko
2 au 2 kati ya mipira 12 au 10 mtawalia.
2 2 a) A 1 - mipira yote inayotolewa ni ya rangi sawa, i.e. wote ni wazungu?
au zote nyeusi.
Wacha tufafanue matukio yote yanayowezekana kwa kila urn:
Katika mipira 1 - 2 nyeupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza;
Katika 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka urn ya kwanza;
Katika mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwenye urn ya kwanza;
C 1 - 2 mipira nyeupe hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;
C 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;
Kutoka kwa mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwa urn ya pili.
Hii ina maana A 1 =
, kutoka wapi, kwa kuzingatia uhuru na kutokubaliana kwa matukio, tunapata P (A 1) = P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).
Wacha tupate idadi ya matukio ya msingi n 1 na n 2 kwa urns ya kwanza na ya pili, mtawaliwa. Tuna:
Wacha tupate idadi ya kila kipengele cha matukio ambayo huamua matukio yafuatayo:
C 1: m 21 = C 2: m 22 = C 3: m 23 =Kwa hivyo,
P (A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna nyeupe 3 tu. Kwa kesi hii
C 2 (B 2 C 1);P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P (A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - kati ya mipira inayotolewa kuna angalau moja nyeupe.
- kati ya mipira iliyotolewa hakuna hata moja mpira mweupe. Kisha ) = P (B 3) * P (C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 7/165 = 158/165.Jibu: P (A 1) = 46/495, P (A 2) = 1/3, P (A 3) = 158/165.
Tatizo 1.7. Urn ina mipira 5 nyeusi na nyeupe, mipira 4 nyeupe huongezwa kwao. Baada ya hayo, mipira 3 hutolewa kwa nasibu kutoka kwenye mkojo. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote iliyochorwa ni nyeupe, ikizingatiwa kuwa yote mapendekezo yanayowezekana kuhusu yaliyomo asili ya urn yanawezekana kwa usawa.
Kuna aina mbili za majaribio hapa: kwanza, yaliyomo ya awali ya urn yamewekwa na kisha mpira wa 3 hutolewa kwa nasibu, na matokeo ya mtihani wa pili kulingana na matokeo ya kwanza. Kwa hivyo, formula ya jumla ya uwezekano hutumiwa.
tukio A - mipira 3 nyeupe hutolewa bila mpangilio. Uwezekano wa tukio hili inategemea utungaji wa awali wa mipira kwenye urn.
Wacha tuzingatie matukio:
Katika 1 - kulikuwa na mipira 5 nyeupe kwenye urn;
Katika 2 - kulikuwa na mipira 4 nyeupe na 1 nyeusi kwenye urn;
Katika 3 - kulikuwa na mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi kwenye urn;
Katika 4 - kulikuwa na mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi kwenye urn;
Saa 5 - kulikuwa na mipira 1 nyeupe na 4 nyeusi kwenye urn.
Saa 6 - kulikuwa na mipira 5 nyeusi kwenye urn;
Jumla ya idadi ya matokeo ya msingi
Tutapata uwezekano wa masharti matukio A chini ya hali tofauti.
P (A/B 1) = 1. P (A/B 2) = 56/84 = 2/3. P (A/B 3) = 35/84 = 5/12. P (A/B 4) = 5/21. P (A/B 5) = 5/42. P (A/B 6) = 1/21.P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Tatizo 1.10. Katika duka la ufungaji, motor ya umeme imeunganishwa kwenye kifaa. Motors za umeme hutolewa na wazalishaji watatu. Katika hisa kuna motors za umeme za viwanda hivi, kwa mtiririko huo, kwa kiasi M 1 = 13, M 2 = 12, na M 3 = vipande 17, ambavyo vinaweza kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini na uwezekano wa 0.91, 0.82, na 0.77, mtawalia. Mfanyikazi huchukua injini moja ya umeme bila mpangilio na kuiweka kwenye kifaa. Pata uwezekano kwamba motor ya umeme imewekwa na kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini ilitolewa na mtengenezaji wa kwanza, wa pili au wa tatu, kwa mtiririko huo.
Kazi nambari 1
Matukio Nasibu
Chaguo 6.
Kazi 1.1. Sarafu tatu zinatupwa. Pata uwezekano kwamba sarafu mbili tu zitakuwa na "kanzu ya silaha".
Tukio A linalochunguzwa - ni sarafu mbili tu kati ya tatu zitakuwa na nembo. Sarafu ina pande mbili, ambayo ina maana kwamba jumla ya matukio wakati wa kutupa sarafu tatu itakuwa 8. Katika matukio matatu, sarafu mbili tu zitakuwa na kanzu ya silaha. Tunahesabu uwezekano wa tukio A kwa kutumia fomula:
P(A) = m/n = 3/8.
Jibu: uwezekano 3/8.
Tatizo 1.2. Neno TUKIO linaundwa na kadi, ambazo kila moja imeandikwa herufi moja. Kisha kadi huchanganywa na kutolewa moja baada ya nyingine bila kurudi. Tafuta uwezekano kwamba herufi zinatolewa kwa mpangilio wa neno ulilopewa.
Jaribio linajumuisha kuchukua kadi zilizo na herufi kwa mpangilio wa nasibu bila kurudisha. Tukio la msingi ni mlolongo unaotokana wa herufi. Tukio A linajumuisha kupokea neno linalohitajika TUKIO . Matukio ya kimsingi ni vibali vya herufi 7, ambayo ina maana kwamba kulingana na fomula tunayo n= 7!
Herufi katika neno TUKIO hazirudiwi, kwa hivyo viidhinisho haziwezekani ambapo neno halibadiliki. Nambari yao ni 1.
Hivyo,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Jibu: P(A) = 1/5040.
Tatizo 1.3. Kama ilivyo kwa shida iliyotangulia, pata uwezekano unaolingana wa kesi wakati neno lililopewa ni neno ANTONOV ILYA.
Tatizo hili linatatuliwa sawa na uliopita.
n = 11! M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Jibu: P(A) =1/9979200.
Tatizo 1.4. Mkojo una mipira 8 nyeusi na 6 nyeupe. Mipira 5 hutolewa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba kati yao kuna:
a) mipira 3 nyeupe;
b) chini ya mipira 3 nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Saa 8 Jaribio litakuwa la kuchora mipira 5 bila mpangilio. Msingi
Matukio 6 b yote yanawezekana mchanganyiko wa mipira 5 kati ya 14. Idadi yao ni sawa
a) A 1 - kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe. Hii ina maana kwamba kati ya mipira inayotolewa kuna 3 nyeupe na 2 nyeusi. Kwa kutumia kanuni ya kuzidisha, tunapata
P (A 1) = 560/2002 = 280/1001.
b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna chini ya 3 nyeupe. Tukio hili linajumuisha matukio matatu yasiyolingana:
Katika 1 - kati ya mipira iliyochorwa kuna mipira 2 tu nyeupe na 3 nyeusi,
Katika 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna mipira moja tu nyeupe na 4 nyeusi
Katika 3 - kati ya mipira iliyochorwa hakuna mpira mmoja mweupe, mipira yote 5 ni nyeusi:
A 2 = B 1 B 2 B 3.
Kwa kuwa matukio B 1, B 2 na B 3 hayaendani, unaweza kutumia fomula:
P (A 2) = P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);
P (A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
c) - kati ya mipira inayotolewa hakuna nyeupe moja. Kwa kesi hii:
P (A 3) = 1 - P () = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Jibu: P (A 1) = 280/1001, P (A 2) = 483/1001, P (A 3) = 973/1001.
Tatizo 1.6. Mkojo wa kwanza una mipira 5 nyeupe na 7 nyeusi, na uni ya pili ina mipira 6 nyeupe na 4 nyeusi. Mipira 2 huchorwa kwa nasibu kutoka kwenye kichungi cha kwanza, na mipira 2 kutoka kwa cha pili. Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira inayotolewa:
a) mipira yote ni rangi sawa;
b) mipira mitatu tu nyeupe;
c) angalau mpira mmoja mweupe.
Urn 1 2 Urn Mipira ilitolewa kutoka kwa uni zote mbili kwa kujitegemea. Vipimo
5 b 6 b wanachora mipira miwili kutoka kwenye mkojo wa kwanza na mipira miwili
7h 4h kutoka urn ya pili. Matukio ya msingi yatakuwa mchanganyiko
2 au 2 kati ya mipira 12 au 10 mtawalia.
2 2 a) A 1 - mipira yote inayotolewa ni ya rangi sawa, i.e. wote ni wazungu?
au zote nyeusi.
Wacha tufafanue matukio yote yanayowezekana kwa kila urn:
Katika mipira 1 - 2 nyeupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza;
Katika 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka urn ya kwanza;
Katika mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwenye urn ya kwanza;
C 1 - 2 mipira nyeupe hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;
C 2 - 1 nyeupe na 1 mpira mweusi hutolewa kutoka kwenye urn ya pili;
Kutoka kwa mipira 3 - 2 nyeusi hutolewa kutoka kwa urn ya pili.
Hii ina maana A 1 = 
, kutoka wapi, kwa kuzingatia uhuru na kutokubaliana kwa matukio, tunapata
P (A 1) = P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).
Wacha tupate idadi ya matukio ya msingi n 1 na n 2 kwa urns ya kwanza na ya pili, mtawaliwa. Tuna:
Wacha tupate idadi ya kila kipengele cha matukio ambayo huamua matukio yafuatayo:
B 1: m 11 = C 1: m 21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Kwa hivyo,
P (A 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - kati ya mipira inayotolewa kuna nyeupe 3 tu. Kwa kesi hii
A 2 = (B 1 C 2 (B 2 C 1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P (A 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - kati ya mipira inayotolewa kuna angalau moja nyeupe.
Hakuna mpira mweupe hata mmoja kati ya mipira iliyopatikana. Kisha
P () = P (B 3) * P (C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P (A 3) = 1 - P () = 1 - 7/165 = 158/165.
Jibu: P (A 1) = 46/495, P (A 2) = 1/3, P (A 3) = 158/165.
Tatizo 1.7. Urn ina mipira 5 nyeusi na nyeupe, mipira 4 nyeupe huongezwa kwao. Baada ya hayo, mipira 3 hutolewa kwa nasibu kutoka kwenye mkojo. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote iliyochorwa ni nyeupe, ikizingatiwa kuwa mapendekezo yote yanayowezekana kuhusu yaliyomo asili ya urn yanawezekana kwa usawa.
Kuna aina mbili za majaribio hapa: kwanza, yaliyomo ya awali ya urn yamewekwa na kisha mpira wa 3 hutolewa kwa nasibu, na matokeo ya mtihani wa pili kulingana na matokeo ya kwanza. Kwa hivyo, formula ya jumla ya uwezekano hutumiwa.
tukio A - mipira 3 nyeupe hutolewa bila mpangilio. Uwezekano wa tukio hili inategemea utungaji wa awali wa mipira kwenye urn.
Wacha tuzingatie matukio:
Katika 1 - kulikuwa na mipira 5 nyeupe kwenye urn;
Katika 2 - kulikuwa na mipira 4 nyeupe na 1 nyeusi kwenye urn;
Katika 3 - kulikuwa na mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi kwenye urn;
Katika 4 - kulikuwa na mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi kwenye urn;
Saa 5 - kulikuwa na mipira 1 nyeupe na 4 nyeusi kwenye urn.
Saa 6 - kulikuwa na mipira 5 nyeusi kwenye urn;
Jumla ya idadi ya matokeo ya msingi
Wacha tupate uwezekano wa masharti ya tukio A chini ya hali tofauti.
P(A/B 1) = 1.
P (A/B2) = 56/84 = 2/3.
P (A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P (A/B 4) = 5/21.
P (A/B 5) = 5/42.
P (A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Jibu: P(A) = 209/504.
Tatizo 1.9. Kuna bunduki 11 kwenye piramidi, 3 kati yao na vituko vya macho. Mpiga risasi, anayepiga risasi kutoka kwa bunduki yenye macho, anaweza kugonga shabaha kwa uwezekano wa 87/100, na kupiga risasi kutoka kwa bunduki bila. macho ya macho, - na uwezekano wa 52/100. Tafuta uwezekano kwamba mpiga risasi atapiga risasi kutoka kwa bunduki ya nasibu.
Kwa kuzingatia kwamba bunduki huchaguliwa moja kwa wakati, tunapata na, kwa mtiririko huo (kwa B 1) na (kwa B 2); hivyo P (B 1) = 3/11, P (B 2) = 8/11.
Uwezekano wa masharti umebainishwa katika taarifa ya tatizo:
P (A/B 1) = 0.87 na P (A.B 2) = 0.52.
Kwa hivyo,
P (A) = 0.87 * 3/11 + 0.52 * 8/11 = 0.615.
Jibu: P(A) =0.615.
Tatizo 1.10. Katika duka la ufungaji, motor ya umeme imeunganishwa kwenye kifaa. Motors za umeme hutolewa na wazalishaji watatu. Katika hisa kuna motors za umeme za viwanda hivi, kwa mtiririko huo, kwa kiasi M 1 = 13, M 2 = 12, na M 3 = vipande 17, ambavyo vinaweza kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini na uwezekano wa 0.91, 0.82, na 0.77, mtawalia. Mfanyikazi huchukua injini moja ya umeme bila mpangilio na kuiweka kwenye kifaa. Pata uwezekano kwamba motor ya umeme imewekwa na kufanya kazi bila kushindwa hadi mwisho wa kipindi cha udhamini ilitolewa na mtengenezaji wa kwanza, wa pili au wa tatu, kwa mtiririko huo.
Uwezekano wa masharti umebainishwa katika taarifa ya tatizo: P(A/B 1) = 0.91, P(A/B 2) = 0.82, P(A/B 3) = 0.77.
Sawa na shida iliyotangulia, wacha tupate uwezekano:
P (B 1) = 13/42 = 0.3095; P (B 2) = 12/42 = 0.2857; P (B 3) = 17/42 = 0.4048;
P (A) = 0.91 * 0.3095 + 0.82 * 0.2857 + 0.77 * 0.4048 = 0.8276.
Kwa kutumia formula ya Bayes (1.8.), tunahesabu uwezekano wa masharti wa matukio (dhahania) B 1:
P (B 1 /A) = 
P (B 2 /A) = 
P (B 3 /A) = 
Jibu: P(B 1 /A) = 0.3403, P(B 2 /A) = 0.2831, P(B 3 /A) = 0.3766
Kazi namba 2
Vigezo bila mpangilio.
6 - chaguo.
Kazi 2.1. Katika kila n vipimo vya kujitegemea tukio A hutokea kwa uwezekano wa mara kwa mara wa 0.36. Kokotoa uwezekano wote p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, ambapo k ni marudio ya tukio A. Chora grafu ya uwezekano p k. Tafuta frequency inayowezekana zaidi.
Imeulizwa na: n = 11, p = 0.36, q = 1 - p = 0.64.
Tafuta: p 0, p 1, p 2, ..., p 11 na k.
Kwa kutumia formula ya Bernoulli. Thamani p 0 imehesabiwa kwa kutumia ya kwanza ya fomula, na uwezekano uliobaki p k - kwa kutumia ya pili.
Kwa formula tunahesabu sababu ya mara kwa mara
p/q = 0.36/ 0.64 = 0.5625, p 0 = *0.36 0 * 0.64 11 = 0.0073787.
Tunaandika matokeo ya mahesabu katika Jedwali 1. Ikiwa mahesabu ni sahihi, basi usawa lazima utimizwe.
Kutumia maadili yaliyopatikana ya uwezekano, tutajenga grafu yao (Mchoro 1).
Wacha tupate frequency inayowezekana zaidi kulingana na hali uliyopewa:
np - q = 11 * 0.36 - 0.64 = 3.32.np + k = 4.32
Hii inamaanisha kuwa frequency inayowezekana ni k = 4 na, kama ilivyopatikana hapo awali, thamani ya p 3 ndio ya juu zaidi.
Jedwali 1
| k | (n-k-1)/ k | r k | k | (n-k-1)/ k | p k |
| - | 0,9926213 |
Kielelezo 1 Grafu ya uwezekano p k
Tatizo 2.2. Katika kila moja ya majaribio ya kujitegemea, tukio A hutokea kwa uwezekano wa mara kwa mara wa 0.47. Tafuta uwezekano wa tukio A kutokea:
a) haswa mara 330;
b) chini ya 330 na zaidi ya mara 284;
c) zaidi ya mara 330.
A) Imeulizwa na: n = 760, p = 0.47, M = 330.
Tafuta: R 760 (330).
Tunatumia nadharia ya ndani Moivre - Laplace. Tunapata:
Tunapata thamani ya kazi j(x) kutoka kwa jedwali:
j(1.98) = 0.0562, P 760 (330) = 0.0562/ 13.76 = 0.00408.
b) Tafuta: R 760 (284 Tunatumia nadharia muhimu ya Moivre-Laplace. Tunapata: Tunapata thamani ya kazi Ф(х) kutoka kwa jedwali: R 760 (284 V) Tafuta: R 760 (330 Tunayo: x 1 = -1.98, R 760 (330 Tatizo 2.4. Katika kubadilishana kwa simu, uhusiano usio sahihi hutokea kwa uwezekano wa 1/800. Pata uwezekano kwamba kati ya miunganisho 5600 yafuatayo hutokea: a) miunganisho 2 isiyo sahihi; b) chini ya viunganisho 3 visivyo sahihi; c) zaidi ya miunganisho 8 isiyo sahihi. a) Kwa kuzingatia: n = 5600, p = 1/800, k = 2. Tafuta: R 800 (2). Tunapata: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = b) Weka k<3. Tafuta: R200 (k<3). R 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Weka k> 8. Tafuta: P 800 (k > 8). Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi kwa kutafuta uwezekano wa tukio kinyume, kwani katika kesi hii maneno machache yanahitajika kuhesabiwa. Kwa kuzingatia kesi iliyopita, tunayo Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Tatizo 2.6. Tofauti ya nasibu X inatolewa na mfululizo wa usambazaji. Pata chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) za kibadilishaji nasibu cha X na upange. Kokotoa kwa X thamani yake ya wastani EX, mtawanyiko DX na modi ya Mo. Wacha tupange chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) . Thamani ya wastani ya EX inakokotolewa kwa kutumia fomula: EX = 8 * 0.11 + 12 * 0.14 + 16 * 0.5 + 24 * 0.25 = 16.56. Tofauti: E(X 2) = 8 2 *0.11 + 12 2 *0.14 + 16 2 *0.5 + 24 2 *0.25 = 299.2 DX = 299.2 - 16.52 2 = 26.2896. Grafu ya utendaji wa usambazaji Tatizo 2.7. Tofauti ya nasibu X inabainishwa na chaguo za kukokotoa za uwezekano f(x) = Pata chaguo za kukokotoa za usambaaji F(x) ya kigezo cha nasibu X. Panga grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) na F(x). Kokotoa kwa X thamani yake ya wastani EX, mtawanyiko DX, modi ya Mo na Me wastani. K = 8, R = 12. Tunapata chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x) za kibadilishi kisicho na mpangilio kwa kutumia fomula: Chora grafu za chaguo za kukokotoa f(x) na F(x). Thamani ya wastani ya X huhesabiwa kwa kutumia fomula: EX = Ili kupata tofauti ya X, tunatumia fomula: E(X 2) = DX = 40.5 - (4.5) 2. Grafu inaonyesha kwamba f(x) hufikia kiwango cha juu katika hatua x = 1/2 na, kwa hiyo, Mo = 12. Ili kupata wastani Me, unahitaji kutatua equation x 2 / 256 = 1/2, au x. 2 = 128. Tuna x = ± 11.31, Me = 11.31. Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji F(x). Kazi nambari 3. Tatizo 3.1 Kulingana na sampuli A na B Unda mfululizo wa tofauti; Kuhesabu masafa ya jamaa (frequencies) na masafa ya kusanyiko; Jenga grafu za mfululizo wa tofauti (polygon na histogram); Unda kipengele cha kukokotoa cha usambazaji wa majaribio na upange; Kuhesabu sifa za nambari za safu tofauti: wastani, utawanyiko, kupotoka kwa kawaida, wastani Mimi. Tatizo 3.2. Kokotoa makadirio yasiyopendelea ya vigezo vya idadi ya watu ,S 2 , Spo sampuli A na B (kwa kutumia matokeo yaliyopatikana katika kazi 3.1.), pamoja na safu wima ya kwanza ya sampuli B. Sampuli A6 N = 73 Mwanzo wa muda wa kwanza: 0 Urefu wa muda: 1 Sampuli B6 N = 237 Mwanzo wa muda wa kwanza: 285 Urefu wa muda: 7 Kutatua tatizo. Kazi 3.1. Kwanza, hebu tusuluhishe tatizo la sampuli A. Tunapata: x min = 0 na x max = 11. Masafa (11 - 0 + 1 = 12) ni ndogo sana, kwa hivyo tutaunda safu tofauti kulingana na maadili (Jedwali 1). Jedwali 1 Tunahesabu masafa yote ya jamaa kwa usahihi sawa. Wakati wa kuunda grafu, tunaonyesha maadili ya mhimili wa x kutoka 0 hadi 11 na kwenye mhimili wa n i / n - maadili kutoka 0 hadi 0.25 (Mchoro 1 na 2). Mchele. 1. Poligoni ya mfululizo wa mabadiliko ya sampuli A Mchele. 2. Histogram ya mfululizo wa mabadiliko ya sampuli A. Tunapata kitendakazi cha kukokotoa cha usambazaji F * (x) kwa kutumia fomula na masafa yaliyokusanywa kutoka kwa jedwali. 1. Tunayo: Wakati wa kupanga grafu F * (x), tunapanga maadili ya kazi katika safu kutoka 0 hadi 1.2 (Mchoro 3). Mtini.3. Grafu ya kitendakazi cha kukokotoa usambazaji wa sampuli A. Ukokotoaji wa hesabu za wastani wa hesabu na tofauti kwa kutumia fomula na mfululizo wa tofauti (tazama Jedwali 1) umewasilishwa katika Jedwali. 2. Kulingana na mzunguko wa juu, tunaamua c = 7, na hatua ya meza k = 1.
.X
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Mkengeuko wa kawaida 
Hali ya Mo ni thamani yenye mzunguko wa juu zaidi, i.e. Mo = 7. Wastani Me ni thamani ya 37 ya mfululizo wa mabadiliko: Me = 7.
Sasa, kwa kutumia sampuli B, tutapata x min = 288 na x max = 350. Masafa (350 - 288 + 1 = 63) ni kubwa kabisa, kwa hivyo tutaunda safu tofauti kulingana na vipindi vya maadili, kwa kutumia mwanzo wa muda wa kwanza na urefu wa muda uliotolewa wakati wa sampuli (Jedwali 3).
Jedwali 3
Mchele. 4. Poligoni ya mfululizo wa mabadiliko ya sampuli B.
Mchele. 5. Histogram ya mfululizo wa mabadiliko ya sampuli B.
Wakati wa kuunda grafu, tunapanga pamoja na maadili ya mhimili wa x kutoka 285 hadi 355 na kando ya mhimili wa n i / n - maadili kutoka 0 hadi 0.3 (Mchoro 4 na 5).
Ifuatayo, tunazingatia kwamba mwisho wa kila muda huchukuliwa kama mwakilishi. Kuchukua mwisho wa vipindi na masafa ya kusanyiko sambamba kama kuratibu za pointi (tazama Jedwali 3) na kuunganisha pointi hizi na mistari ya moja kwa moja, tutaunda grafu ya kazi ya usambazaji wa empirical (Mchoro 6).
Mchele. 6. Grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji wa sampuli B.
Ili kukokotoa wastani wa hesabu na tofauti kwa kutumia fomula na majedwali. 3 tunafafanua c = 316 na k = 7. Tunahesabu kiasi kwa kutumia meza. 4 (Jedwali 4).
Kwa kutumia fomula tunahesabu maana ya hesabu 
na tofauti 227.8
Tunapata wastani kwa kutumia formula: Me =.
Tatizo 3.2.
Kwa kutumia fomula, tunapata makadirio yasiyo na upendeleo ya tofauti na mkengeuko wa kawaida:
n = 73, S -2 = 5.8143, S 2 = 73/72×5.8143 = 5.8951, S = 2.43.
Kwa sampuli B tunayo
393.92, = 177.47, n = 237, S 2 = 237/236×177.47 = 178.222, S = 13.35.
Makadirio yasiyo na upendeleo ya safu wima ya kwanza ya sampuli B yanapatikana kwa njia sawa (ikiwa sampuli hii ina vipengele vichache vinavyojirudia, mfululizo wa mabadiliko hauhitaji kukusanywa).
Mfano 1. Katika urn ya kwanza: tatu nyekundu, mipira moja nyeupe. Katika urn ya pili: moja nyekundu, mipira mitatu nyeupe. Sarafu inatupwa kwa nasibu: ikiwa ni kanzu ya silaha, imechaguliwa kutoka kwa urn ya kwanza, vinginevyo, kutoka kwa pili.
Suluhisho:
a) uwezekano kwamba mpira nyekundu ulitolewa
A - alipata mpira nyekundu
P 1 - kanzu ya silaha ilianguka, P 2 - vinginevyo
b) Mpira nyekundu huchaguliwa. Tafuta uwezekano kwamba inachukuliwa kutoka kwa mkojo wa kwanza kutoka kwa urn ya pili.
B 1 - kutoka urn ya kwanza, B 2 - kutoka urn pili
,
Mfano 2. Kuna mipira 4 kwenye sanduku. Inaweza kuwa: nyeupe tu, nyeusi tu au nyeupe na nyeusi. (Muundo haujulikani).
Suluhisho:
A - uwezekano wa kuonekana kwa mpira mweupe
a) Nyeupe zote:
(uwezekano kwamba umepata moja ya chaguzi tatu ambapo kuna nyeupe)
(uwezekano wa mpira mweupe kuonekana ambapo kila mtu ni mweupe)
b) Kutolewa nje ambapo kila mtu ni mweusi
c) alitoa chaguo ambapo kila mtu ni mweupe na/au mweusi
- angalau mmoja wao ni nyeupe
P a +P b +P c =
Mfano 3. Kuna mipira 5 nyeupe na 4 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 2 huchukuliwa kutoka kwake kwa safu. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote miwili ni nyeupe.
Suluhisho:
5 nyeupe, 4 mipira nyeusi
P (A 1) - mpira mweupe ulitolewa
P (A 2) - uwezekano kwamba mpira wa pili pia ni nyeupe
P (A) - mipira nyeupe iliyochaguliwa kwa safu
Mfano 3a. Kifurushi kina noti 2 za uwongo na 8 halisi. Bili 2 zilitolewa kutoka kwa pakiti kwa safu. Tafuta uwezekano kwamba wote wawili ni bandia.
Suluhisho:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022
Mfano 4. Kuna mapipa 10. Kuna uni 9 na mipira 2 nyeusi na 2 nyeupe. Kuna wazungu 5 na 1 mweusi katika mkojo 1. Mpira ulitolewa kutoka kwa urn uliochukuliwa bila mpangilio.
Suluhisho:
P (A) -? mpira mweupe huchukuliwa kutoka kwa urn iliyo na 5 nyeupe
B - uwezekano wa kuchorwa kutoka kwenye mkojo ulio na wazungu 5
, - kuchukuliwa kutoka kwa wengine
C 1 - uwezekano wa mpira mweupe kuonekana kwenye kiwango cha 9.
C 2 - uwezekano wa kuonekana kwa mpira mweupe, ambapo kuna 5 kati yao
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Mfano 5. rollers 20 za cylindrical na 15 za umbo la koni. Mchukuaji huchukua roller 1, na kisha mwingine.
Suluhisho:
a) rollers zote mbili ni cylindrical
P(C 1)=; P (Ts 2)=
C 1 - silinda ya kwanza, C 2 - silinda ya pili
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Angalau silinda moja
K 1 - umbo la kwanza la koni.
K 2 - umbo la pili la koni.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) silinda ya kwanza, lakini sio ya pili
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Hakuna silinda moja.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Silinda 1 kabisa
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Mfano 6. Kuna sehemu 10 za kawaida na sehemu 5 zenye kasoro kwenye sanduku.
Sehemu tatu zimechorwa kwa nasibu
a) Mojawapo ni mbovu
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P - uwezekano wa bidhaa zenye kasoro
q - uwezekano wa sehemu za kawaida
n=3, sehemu tatu
b) sehemu mbili kati ya tatu zina kasoro P(2)
c) angalau kiwango kimoja
P (0) - hakuna kasoro
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - uwezekano kwamba angalau sehemu moja itakuwa ya kawaida
Mfano 7. Urn ya 1 ina mipira 3 nyeupe na nyeusi, na ya 2 ina mipira 3 nyeupe na 4 nyeusi. Mipira 2 huhamishwa kutoka urn ya 1 hadi ya 2 bila kuangalia, na kisha mipira 2 hutolewa kutoka ya 2. Je, kuna uwezekano gani kwamba ni rangi tofauti?
Suluhisho:
Wakati wa kusonga mipira kutoka kwa urn ya kwanza, chaguzi zifuatazo zinawezekana:
a) alichukua mipira 2 nyeupe mfululizo
P BB 1 =
Katika hatua ya pili kutakuwa na mpira mmoja chini, kwani katika hatua ya kwanza mpira mmoja ulikuwa tayari umetolewa.
b) alichukua mpira mmoja mweupe na mweusi
Hali wakati mpira nyeupe hutolewa kwanza, na kisha nyeusi
P kichwa =
Hali wakati mpira mweusi ulitolewa kwanza, na kisha nyeupe
P BW =
Jumla: P warhead 1 =
c) alichukua mipira 2 nyeusi mfululizo
P HH 1 =
Kwa kuwa mipira 2 ilihamishwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili, jumla ya mipira katika urn ya pili itakuwa 9 (7 + 2). Ipasavyo, tutatafuta chaguzi zote zinazowezekana:
a) kwanza mpira mweupe na kisha mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili
P BB 2 P BB 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi mipira 2 nyeupe ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza mfululizo. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeupe katika kesi hii ni 5 (3 + 2).
P BC 2 P BC 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi tu mipira nyeupe na nyeusi ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeupe katika kesi hii ni 4 (3 + 1), na idadi ya mipira nyeusi ni tano (4 + 1).
P BC 2 P BC 1 - inamaanisha uwezekano kwamba kwanza mpira mweupe ulitolewa, kisha mpira mweusi, mradi mipira yote miwili nyeusi ilitolewa kutoka kwa urn ya kwanza mfululizo. Ndiyo maana idadi ya mipira nyeusi katika kesi hii ni 6 (4 + 2).
Uwezekano kwamba mipira 2 inayotolewa itakuwa ya rangi tofauti ni sawa na:
Jibu: P = 0.54
Mfano 7a. Kutoka kwenye mkojo wa 1 uliokuwa na mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi, mipira 2 ilihamishwa bila mpangilio hadi kwenye mkojo wa 2 uliokuwa na mipira 2 nyeupe na 6 nyeusi. Kisha mpira 1 ulichorwa bila mpangilio kutoka kwa sehemu ya pili.
1) Kuna uwezekano gani kwamba mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe?
2) Mpira uliochukuliwa kutoka kwa urn wa 2 uligeuka kuwa mweupe. Piga hesabu ya uwezekano kwamba mipira ya rangi tofauti ilihamishwa kutoka kozi ya 1 hadi ya 2.
Suluhisho.
1) Tukio A - mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe. Hebu fikiria chaguzi zifuatazo kwa tukio la tukio hili.
a) Mipira miwili nyeupe iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Kuna jumla ya mipira 4 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Mipira nyeupe na nyeusi iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1 (bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Kuna jumla ya mipira 3 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Mipira miwili nyeusi iliwekwa kutoka urn ya kwanza hadi ya pili: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
Kuna jumla ya mipira 2 nyeupe kwenye mkojo wa pili. Kisha uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili ni P2 (2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Halafu uwezekano kwamba mpira uliotolewa kutoka kwa urn wa 2 unageuka kuwa mweupe ni:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Mpira uliochukuliwa kutoka kwenye urn wa 2 uligeuka kuwa nyeupe, i.e. uwezekano wa jumla ni P(A)=13/32.
Uwezekano kwamba mipira ya rangi tofauti (nyeusi na nyeupe) iliwekwa kwenye mkojo wa pili na nyeupe ilichaguliwa: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Mfano 7b. Urn ya kwanza ina mipira 8 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi. Mpira mmoja huchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa wa kwanza, na mipira miwili kutoka kwa pili. Baada ya hayo, mpira mmoja unachukuliwa bila mpangilio kutoka kwa mipira mitatu iliyochaguliwa. Mpira huu wa mwisho uligeuka kuwa mweusi. Tafuta uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza.
Suluhisho.
Wacha tuzingatie anuwai zote za tukio A - kati ya mipira mitatu, mpira uliotolewa unageuka kuwa mweusi. Inawezaje kutokea kwamba kati ya mipira mitatu kulikuwa na nyeusi?
a) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, na mipira miwili nyeupe ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mipira miwili nyeusi ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Mpira mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mpira mmoja mweupe na mmoja mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Mpira mweupe ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, na mipira miwili nyeusi ilichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Mpira mweupe ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa kwanza, mpira mmoja mweupe na mweusi ulichukuliwa kutoka kwenye mkojo wa pili.
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Uwezekano wa jumla ni: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa mkojo mweupe ni:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Halafu uwezekano kwamba mpira mweupe ulichaguliwa kutoka kwa urn wa kwanza, ikizingatiwa kwamba mpira mweusi ulichaguliwa kutoka kwa mipira mitatu, ni sawa na:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Mfano 7c. Mkojo wa kwanza una mipira 12 nyeupe na 16 nyeusi, urn ya pili ina mipira 8 nyeupe na 10 nyeusi. Wakati huo huo, mpira hutolewa kutoka kwa 1 na 2 urns, kuchanganywa na kurudi moja kwa kila urn. Kisha mpira hutolewa kutoka kwa kila urn. Waligeuka kuwa rangi sawa. Amua uwezekano kwamba kuna mipira mingi nyeupe iliyosalia kwenye mkondo wa 1 kama ilivyokuwa mwanzoni.
Suluhisho.
Tukio A - mpira hutolewa kwa wakati mmoja kutoka kwa 1 na 2 urns.
Uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa kwanza: P1 (B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Uwezekano wa kuchora mpira mweusi kutoka kwa urn wa kwanza: P1 (H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Uwezekano wa kuchora mpira mweupe kutoka kwa urn wa pili: P2 (B) = 8/18 = 4/9
Uwezekano wa kuchora mpira mweusi kutoka kwa urn wa pili: P2 (H) = 10/18 = 5/9
Tukio A lilitokea. Tukio B - mpira hutolewa kutoka kwa kila urn. Baada ya kuchanganya, uwezekano wa mpira mweupe au mweusi kurudi kwenye mkojo ni ½.
Wacha tuzingatie chaguzi za hafla B - ziligeuka kuwa rangi sawa.
Kwa mkojo wa kwanza
1) Mpira mweupe uliwekwa kwenye sehemu ya kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe ulitolewa mapema, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi ulichorwa mapema, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Kwa urn ya pili
1) Mpira mweupe uliwekwa kwenye kizio cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweupe ulichorwa hapo awali, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) mpira mweupe uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) mpira mweupe uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweusi utolewe mapema, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na mpira mweupe ulitolewa, mradi tu mpira mweusi ulitolewa mapema, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) mpira mweusi uliwekwa kwenye kozi ya kwanza na mweusi ukatolewa, mradi tu mpira mweupe utolewe mapema, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) mpira mweusi uliwekwa kwenye kinyesi cha kwanza na cheusi kuchorwa, mradi tu mpira mweusi ulichorwa hapo awali, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Mipira iligeuka kuwa ya rangi sawa:
a) nyeupe
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) nyeusi
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Mfano 7d. Sanduku la kwanza lina mipira 5 nyeupe na 4 ya bluu, la pili lina 3 na 1, na la tatu lina 4 na 5, mtawaliwa. Sanduku lilichaguliwa bila mpangilio na mpira uliotolewa nje yake ukageuka kuwa bluu. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira huu unatoka kwenye kisanduku cha pili?
Suluhisho.
A - tukio la kuchora mpira wa bluu. Wacha tuchunguze matokeo yote yanayowezekana ya hafla kama hiyo.
H1 - mpira uliotolewa kutoka kwa sanduku la kwanza,
H2 - mpira ulitolewa kutoka kwa sanduku la pili,
H3 - mpira uliotolewa kutoka kwa sanduku la tatu.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Kulingana na hali ya shida, uwezekano wa masharti wa tukio A ni sawa na:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Uwezekano kwamba mpira huu unatoka kwa sanduku la pili ni:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2
Mfano 8. Sanduku tano zilizo na mipira 30 kila moja ina mipira 5 nyekundu (hii ni sanduku la muundo H1), masanduku mengine sita yenye mipira 20 kila moja ina mipira 4 nyekundu (hili ni sanduku la muundo H2). Tafuta uwezekano kuwa mpira mwekundu uliochukuliwa bila mpangilio uko katika mojawapo ya visanduku vitano vya kwanza.
Suluhisho: Tatizo ni kutumia formula ya jumla ya uwezekano.
P (H 1) = 5/11
Uwezekano huo yoyote mpira uliochukuliwa uko kwenye moja ya masanduku sita:
P(H2) = 6/11
Tukio lilitokea - mpira nyekundu ulitolewa. Kwa hivyo, hii inaweza kutokea katika kesi mbili:
a) vunjwa kutoka kwa visanduku vitano vya kwanza.
P 5 = mipira 5 nyekundu * masanduku 5 / (mipira 30 * masanduku 5) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) vunjwa kutoka kwa masanduku mengine sita.
P 6 = mipira 4 nyekundu * masanduku 6 / (mipira 20 * masanduku 6) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Jumla: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Kwa hivyo, uwezekano kwamba mpira mwekundu unaotolewa bila mpangilio uko kwenye moja ya masanduku matano ya kwanza ni:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Mfano 9. Mkojo una mipira 2 nyeupe, 3 nyeusi na 4 nyekundu. Mipira mitatu hutolewa bila mpangilio. Kuna uwezekano gani kwamba angalau mipira miwili itakuwa ya rangi sawa?
Suluhisho. Kuna matokeo matatu yanayowezekana:
a) kati ya mipira mitatu iliyotolewa kulikuwa na angalau miwili nyeupe.
P b (2) = P 2b
Jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi ya majaribio haya ni sawa na idadi ya njia ambazo mipira 3 inaweza kutolewa kutoka 9:
Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyeupe.
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 2 nyeupe:
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira mingine 7 mpira wa tatu:
b) kati ya mipira mitatu iliyochorwa kulikuwa na angalau mbili nyeusi (yaani ama 2 nyeusi au 3 nyeusi).
Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyeusi.
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 3 nyeusi:
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira mingine 6 ya mpira mmoja:
P 2h = 0.214
Hebu tupate uwezekano kwamba mipira yote iliyochaguliwa ni nyeusi.
P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259
c) kati ya mipira mitatu iliyochorwa kulikuwa na angalau nyekundu mbili (yaani, ama 2 nyekundu au 3 nyekundu).
Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya mipira 3 iliyochaguliwa, 2 ni nyekundu.
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka kwa mipira 4 nyeusi:
Idadi ya chaguzi za kuchagua kutoka: Mipira 5 nyeupe, iliyobaki 1 nyeupe:
Hebu tupate uwezekano kwamba mipira yote iliyochaguliwa ni nyekundu.
P hadi (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Kisha uwezekano kwamba angalau mipira miwili itakuwa rangi sawa ni sawa na: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138
Mfano 10. Urn ya kwanza ina mipira 10, 7 kati yao nyeupe; Mkojo wa pili una mipira 20, 5 kati yao ni nyeupe. Mpira mmoja hutolewa bila mpangilio kutoka kwa kila kinyesi, na kisha mpira mmoja hutolewa bila mpangilio kutoka kwa mipira hii miwili. Pata uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa.
Suluhisho. Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza ni P(b)1 = 7/10. Ipasavyo, uwezekano wa kuchora mpira mweusi ni P (h) 1 = 3/10.
Uwezekano kwamba mpira mweupe hutolewa kutoka kwa urn ya pili ni P (b) 2 = 5/20 = 1/4. Ipasavyo, uwezekano wa kuchora mpira mweusi ni P (h) 2 = 15/20 = 3/4.
Tukio A - mpira mweupe unachukuliwa kutoka kwa mipira miwili
Wacha tuangalie matokeo yanayowezekana ya tukio A.
- Mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa kwanza, na mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa uni wa kwanza na mpira mweusi ulitolewa kutoka kwa uni wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Mpira mweusi ulitolewa kutoka kwa urn wa kwanza, na mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa urn wa pili. Kisha mpira mweupe ulitolewa kutoka kwa mipira hii miwili. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Mfano 11. Kuna mipira ya tenisi kwenye kisanduku. Kati ya hizi, m zilichezwa. Kwa mchezo wa kwanza, mipira miwili ilichukuliwa bila mpangilio na kurudishwa baada ya mchezo. Kwa mchezo wa pili pia tulichukua mipira miwili bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba mchezo wa pili utachezwa na mipira mipya?
Suluhisho. Zingatia tukio A - mchezo ulichezwa kwa mara ya pili na mipira mipya. Wacha tuone ni matukio gani yanaweza kusababisha hii.
Wacha tuonyeshe kwa g = n-m idadi ya mipira mipya kabla ya kuvutwa nje.
a) kwa mchezo wa kwanza mipira miwili mipya ilitolewa.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) kwa mchezo wa kwanza, walitoa mpira mmoja mpya na mmoja tayari alicheza mmoja.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) kwa mchezo wa kwanza, mipira miwili iliyochezwa ilitolewa.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Hebu tuangalie matukio ya mchezo wa pili.
a) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P1: kwa kuwa mipira mipya ilikuwa tayari imetolewa kwa mchezo wa kwanza, basi kwa mchezo wa pili idadi yao ilipungua kwa 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P2: kwa kuwa mpira mmoja mpya ulikuwa tayari umetolewa kwa mchezo wa kwanza, basi kwa mchezo wa pili idadi yao ilipungua kwa 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Mipira miwili mipya ilitolewa, chini ya hali P3: kwa kuwa hapo awali hakuna mipira mpya iliyotumiwa kwa mchezo wa kwanza, idadi yao haikubadilika kwa mchezo wa pili g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Jumla ya uwezekano P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Jibu: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Mfano 12. Sanduku la kwanza, la pili na la tatu lina mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi, sanduku la nne na la tano lina mpira 1 mweupe na 1 mweusi. Sanduku huchaguliwa kwa nasibu na mpira hutolewa kutoka kwake. Je, kuna uwezekano gani wa masharti kwamba sanduku la nne au la tano linachaguliwa ikiwa mpira uliotolewa ni mweupe?
Suluhisho.
Uwezekano wa kuchagua kila sanduku ni P (H) = 1/5.
Wacha tuzingatie uwezekano wa masharti ya tukio A - kuchora mpira mweupe.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Jumla ya uwezekano wa kuchora mpira mweupe:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Uwezekano wa masharti kwamba kisanduku cha nne kimechaguliwa
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Uwezekano wa masharti kwamba kisanduku cha tano kimechaguliwa
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Kwa jumla, uwezekano wa masharti kwamba sanduku la nne au la tano limechaguliwa ni
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546
Mfano 13. Kulikuwa na mipira 7 nyeupe na 4 nyekundu kwenye urn. Kisha mpira mwingine wa rangi nyeupe au nyekundu au nyeusi uliwekwa kwenye mkojo na baada ya kuchanganya mpira mmoja ulitolewa. Iligeuka kuwa nyekundu. Kuna uwezekano gani kwamba a) mpira mwekundu uliwekwa? b) mpira mweusi?
Suluhisho.
a) mpira nyekundu
Tukio A - mpira nyekundu hutolewa. Tukio H - mpira nyekundu umewekwa. Uwezekano kwamba mpira mwekundu uliwekwa kwenye urn P(H=K) = 1/3
Kisha P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
b) mpira mweusi
Tukio A - mpira nyekundu hutolewa. Tukio H - mpira mweusi umewekwa.
Uwezekano kwamba mpira mweusi uliwekwa kwenye urn P(H=H) = 1/3
Kisha P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111
Mfano 14. Kuna urns mbili na mipira. Mmoja ana mipira 10 nyekundu na 5 ya bluu, ya pili ina mipira 5 nyekundu na 7 ya bluu. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira mwekundu utachorwa kwa nasibu kutoka kwenye kichupa cha kwanza na mpira wa bluu kutoka kwa pili?
Suluhisho. Acha tukio A1 liwe mpira mwekundu uliotolewa kutoka kwa urn wa kwanza; A2 - mpira wa bluu hutolewa kutoka kwa urn ya pili:
,
Matukio A1 na A2 ni huru. Uwezekano wa tukio la pamoja la matukio A1 na A2 ni sawa na
Mfano 15. Kuna staha ya kadi (vipande 36). Kadi mbili huchorwa kwa nasibu mfululizo. Je, kuna uwezekano gani kwamba kadi zote mbili zitachorwa zitakuwa nyekundu?
Suluhisho. Acha tukio A 1 liwe kadi nyekundu ya kwanza kutolewa. Tukio A 2 - kadi nyekundu ya pili iliyotolewa. B - kadi zote mbili zilizotolewa ni nyekundu. Kwa kuwa tukio A 1 na tukio A 2 lazima litokee, basi B = A 1 · A 2 . Matukio A 1 na A 2 yanategemea, kwa hivyo, P(B) :
,
Kutoka hapa
Mfano 16. Urns mbili zina mipira ambayo hutofautiana kwa rangi tu, na kwenye urn ya kwanza kuna mipira 5 nyeupe, 11 nyeusi na 8 nyekundu, na kwa pili kuna mipira 10, 8, 6, mtawaliwa. Mpira mmoja hutolewa kwa nasibu kutoka kwa uni zote mbili. Kuna uwezekano gani kwamba mipira yote miwili ni ya rangi moja?
Suluhisho. Hebu index 1 imaanishe nyeupe, index 2 inamaanisha nyeusi; 3 - rangi nyekundu. Hebu tukio A i iwe kwamba mpira wa rangi ya i-th hutolewa kutoka kwa urn ya kwanza; tukio B j - mpira wa rangi j hutolewa kutoka kwa urn ya pili; tukio A - mipira yote ni ya rangi sawa.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Matukio A i na B j yanajitegemea, na A i · B i na A j · B j hayapatani kwa i ≠ j. Kwa hivyo,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Mfano 17. Kutoka kwenye mkojo ulio na mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi, mipira hutolewa moja kwa wakati hadi nyeusi inaonekana. Tafuta uwezekano kwamba mipira 3 itatolewa kutoka kwa urn? Mipira 5?
Suluhisho.
1) uwezekano kwamba mipira 3 itatolewa kutoka kwa urn (yaani mpira wa tatu utakuwa mweusi, na mbili za kwanza zitakuwa nyeupe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) uwezekano kwamba mipira 5 itatolewa kutoka kwa urn
Hali hii haiwezekani, kwa sababu mipira 3 tu nyeupe.
P=0