Mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa 2 una fomu:
Suluhisho la jumla la equation ni familia ya kazi kulingana na viunga viwili vya kiholela na: (au - muunganisho wa jumla wa equation ya kutofautisha ya mpangilio wa 2). Tatizo la Cauchy la mlingano wa tofauti wa mpangilio wa 2 (1.1) linajumuisha kutafuta suluhu mahususi kwa mlinganyo unaokidhi masharti ya awali: kwa: , . Ikumbukwe kwamba grafu za ufumbuzi wa equation ya utaratibu wa 2 zinaweza kuingiliana, tofauti na grafu za ufumbuzi wa equation ya utaratibu wa 1. Hata hivyo, suluhu la tatizo la Cauchy kwa milinganyo ya mpangilio wa pili (1.1) chini ya mawazo mapana ya kazi zilizojumuishwa katika mlinganyo ni la kipekee, i.e. masuluhisho yoyote mawili yenye hali ya awali ya kawaida yanaambatana katika makutano ya vipindi vya ufafanuzi.
Si mara zote inawezekana kupata suluhu la jumla au kutatua tatizo la Cauchy kwa mlingano wa tofauti wa mpangilio wa 2 kwa uchanganuzi. Hata hivyo, katika baadhi ya matukio inawezekana kupunguza utaratibu wa equation kwa kuanzisha mbadala mbalimbali. Wacha tuangalie kesi hizi.
1. Milinganyo ambayo haina kigezo huru.
Acha usawa wa kutofautisha wa mpangilio wa 2 uwe na fomu: , i.e. kwa wazi hakuna tofauti huru katika equation (1.1). Hii inaturuhusu kuichukulia kama hoja mpya, na kuchukua derivative ya agizo la 1 kama chaguo mpya la kukokotoa. Kisha.
Kwa hivyo, mlingano wa mpangilio wa 2 wa chaguo za kukokotoa ambazo hazijajumuishwa wazi umepunguzwa hadi mlinganyo wa 1 wa chaguo la kukokotoa. Kuunganisha mlingano huu, tunapata muunganisho wa jumla au, na hii ni mlingano wa tofauti wa mpangilio wa 1 wa chaguo za kukokotoa. Kuisuluhisha, tunapata muunganisho wa jumla wa mlinganyo wa awali wa tofauti, kulingana na viunga viwili vya kiholela:.
Mfano 1. Tatua mlingano wa kutofautisha kwa masharti ya awali yaliyotolewa: , .
Kwa kuwa hakuna hoja ya wazi katika mlinganyo wa asili, tutachukua kama kigezo kipya huru, na - kama. Kisha mlinganyo huchukua fomu ifuatayo kwa chaguo la kukokotoa: .
Huu ni mlinganyo wa kutofautisha na vigeu vinavyoweza kutenganishwa: . Inafuata wapi, i.e. .
Kwa kuwa kwa na, kisha kubadilisha hali ya awali katika usawa wa mwisho, tunapata hiyo na, ambayo ni sawa. Matokeo yake, kwa kazi tunayo equation na vigezo vinavyoweza kutenganishwa, kutatua ambayo tunapata. Kwa kutumia masharti ya awali, tunapata hiyo. Kwa hivyo, sehemu ya sehemu ya mlinganyo ambayo inakidhi masharti ya awali ina fomu: .
2. Milinganyo ambayo haina utendakazi unaohitajika.
Acha usawa wa kutofautisha wa mpangilio wa 2 uwe na fomu: , i.e. equation waziwazi haijumuishi kazi inayotakiwa. Katika kesi hii, taarifa inaletwa. Kisha mlinganyo wa 2 wa chaguo za kukokotoa unageuka kuwa mlinganyo wa 1 wa chaguo la kukokotoa. Baada ya kuiunganisha, tunapata mlinganyo wa kutofautisha wa agizo la 1 kwa chaguo la kukokotoa: . Kutatua mlingano wa mwisho, tunapata muunganisho wa jumla wa mlinganyo wa tofauti uliotolewa, kulingana na viunga viwili vya kiholela:.
Kwa hiyo, kuna tamaa ya asili ya kupunguza equation ya utaratibu wa juu kuliko wa kwanza kwa equation ya utaratibu wa chini. Katika baadhi ya matukio hii inaweza kufanyika. Hebu tuwaangalie.
1. Milinganyo ya fomu y (n) =f(x) hutatuliwa kwa kuunganishwa kwa mpangilio n mara
, 
,… .
Mfano. Tatua mlingano wa xy""=1. Kwa hivyo tunaweza kuandika y"=ln|x| + C 1 na, tukiunganisha tena, hatimaye tunapata y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. Katika milinganyo ya fomu F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (yaani, isiyo na kitendakazi kisichojulikana na baadhi ya viasili vyake), utaratibu umepunguzwa kwa kutumia kubadilisha variable y (k) = z(x). Kisha y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) na tunapata mlinganyo F(x,z,z",..,z (n - k)) ya utaratibu n-k. Suluhisho lake ni kazi z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) au, tukikumbuka z ni nini, tunapata equation y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) inazingatiwa katika aina ya 1.
Mfano 1. Tatua mlingano x 2 y"" = (y") 2. Fanya uingizwaji y"=z(x) . Kisha y""=z"(x). Tukibadilisha katika mlinganyo wa asili, tunapata x 2 z"=z 2. Kutenganisha vigezo, tunapata . Kuunganisha, tunayo 
, au, ambayo ni sawa,. Uhusiano wa mwisho umeandikwa katika umbo, kutoka wapi. Kuunganisha, hatimaye tunapata 
Mfano 2. Tatua equation x 3 y"" +x 2 y" = 1. Tunafanya mabadiliko ya vigezo: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Tunafanya mabadiliko ya vigeu: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 au u"x 2 -xu+xu=1 au u"x^2=1. Kutoka: u"=1/x 2 au du/ dx=1/x 2 au u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Tangu z=u/x, basi z = -1/x 2 +c 1 /x. Kwa kuwa y"=z, kisha dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Jibu: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Mlinganyo unaofuata unaoweza kupunguzwa kwa mpangilio ni mlinganyo wa fomu F(y,y",y"",…,y (n))=0, ambayo haina kigezo huru. equation inapunguzwa kwa kuchukua nafasi ya y" =p(y) , ambapo p ni chaguo mpya la kukokotoa linalohitajika kulingana na y. Kisha 
= na kadhalika. Kwa introduktionsutbildning tuna y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)) Kubadilisha katika equation ya awali, sisi kupunguza utaratibu wake kwa moja.
Mfano. Tatua mlingano (y") 2 +2yy""=0. Tunafanya uingizwaji wa kawaida y"=p(y), kisha y″=p′p. Kubadilisha katika equation, tunapata 
Kutenganisha vigeu, kwa p≠0, tunayo. Kuunganisha, tunapata 
au, ambayo ni kitu kimoja,. Kisha au. Kuunganisha usawa wa mwisho, hatimaye tunapata 
Wakati wa kutenganisha vigeu, tunaweza kupoteza suluhu y=C, ambayo hupatikana kwa p=0, au, ni nini sawa, kwa y"=0, lakini iko katika ile iliyopatikana hapo juu.
4. Wakati mwingine inawezekana kutambua kipengele kinachokuwezesha kupunguza mpangilio wa mlinganyo kwa njia tofauti na zile zilizojadiliwa hapo juu. Hebu tuonyeshe hili kwa mifano.
Mifano.
1. Ikiwa pande zote mbili za mlingano yy"""=y′y" zimegawanywa na yy″, tunapata mlinganyo ambao unaweza kuandikwa upya kama (lny″)′=(lny)′. Kutoka kwa uhusiano wa mwisho inafuata kwamba. lny″=lny +lnC, au, ni nini sawa, y″=Cy... Matokeo yake ni mlingano wa mpangilio wa ukubwa wa chini na wa aina iliyojadiliwa hapo awali.
2. Vile vile, kwa equation yy″=y′(y′+1) tunayo, au (ln(y"+1))" = (lny)". Kutoka kwa uhusiano wa mwisho inafuata kwamba ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, au y"=C 1 y-1. Kutenganisha vigezo na kuunganisha, tunapata ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Amua equations ambazo zinaweza kupunguzwa kwa mpangilio inawezekana kwa kutumia huduma maalum
Mojawapo ya njia za kuunganisha DE za hali ya juu ni njia ya kupunguza agizo. Kiini cha njia ni kwamba, kwa kuchukua nafasi ya kutofautiana (badala), DE hii imepunguzwa kwa equation ya utaratibu wa chini.
Hebu tuchunguze aina tatu za equations zinazoruhusu kupunguzwa kwa utaratibu.
I. Hebu equation itolewe
Agizo linaweza kupunguzwa kwa kuanzisha chaguo mpya za kukokotoa p(x), kuweka y " =p(x). Kisha y "" =p " (x) na tupate agizo la kwanza DE: p " =ƒ(x). Baada ya kuitatua, i.e. Hiyo ni, baada ya kupata kazi p = p (x), tunasuluhisha equation y "= p (x). Wacha tupate suluhisho la jumla kwa equation iliyotolewa (3.6).
Katika mazoezi, wanafanya tofauti: utaratibu unapunguzwa moja kwa moja na ushirikiano wa mfululizo wa equation.
Kwa sababu 
equation (3.6) inaweza kuandikwa katika umbo dy " =ƒ(x) dx. Kisha, kuunganisha mlinganyo y "" =ƒ(x), tunapata: y " = au y " =j1 (x) + с 1 Zaidi ya hayo, kwa kuunganisha mlinganyo unaotokana katika x, tunapata: - suluhu la jumla la mlingano huu.. Ikiwa mlinganyo utatolewa. 
basi, baada ya kuijumuisha mfululizo mara n, tunapata suluhisho la jumla la equation:
Mfano 3.1. Tatua mlinganyo 
Suluhisho: Kwa kuunganisha equation hii mara nne, tunapata
Hebu equation itolewe
Hebu tuashiria y " =р, ambapo р=р(х) ni chaguo la kukokotoa jipya lisilojulikana. Kisha y "" =p " na mlinganyo (3.7) huchukua fomu p " =ƒ(х;р). Acha р=j (х;с 1) ni suluhisho la jumla la matokeo ya utaratibu wa kwanza DE. Kubadilisha kazi p na y ", tunapata DE: y " = j (x; c 1). Ina fomu (3.6). Ili kupata y, inatosha kuunganisha equation ya mwisho. Suluhisho la jumla la equation ( 3.7) litakuwa na fomu.
Kesi maalum ya mlingano (3.7) ni mlinganyo
ambayo pia haina wazi kazi inayotakiwa, basi utaratibu wake unaweza kupunguzwa na vitengo vya k kwa kuweka y (k) = p (x). Kisha y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) na mlinganyo (3.9) huchukua fomu F(x;p;p " ;... ;p (n-κ) ) =0. Kesi maalum ya mlingano (3.9) ni mlinganyo
Kwa kutumia mbadala y (n-1) =p(x), y (n) =p " mlingano huu umepunguzwa hadi mpangilio wa kwanza DE.
Mfano 3.2. Tatua mlinganyo 
Suluhisho: Tunachukulia y"=p, wapi 
Kisha 
Huu ni mlinganyo unaoweza kutenganishwa: 
Kuunganisha, tunapata Kurudi kwa utofauti wa asili, tunapata y"=c 1 x,
- suluhisho la jumla la equation.
III. Fikiria mlinganyo
ambayo haina kwa uwazi tofauti huru ya x.
Ili kupunguza mpangilio wa mlinganyo, tunatanguliza kitendakazi kipya p=p(y), kulingana na kigezo y, kuweka y"=p. Tunatofautisha usawa huu kwa heshima na x, kwa kuzingatia kwamba p =p(y) (x)):
yaani 
Sasa equation (3.10) itaandikwa kwa fomu 
Wacha p=j(y;c 1) iwe suluhisho la jumla la agizo hili la kwanza DE. Kubadilisha kazi p(y) na y", tunapata y"=j(y;c 1) - DE na vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Kuiunganisha, tunapata muunganisho wa jumla wa equation (3.10): 
Kesi maalum ya mlingano (3.10) ni mlinganyo wa kutofautisha
Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia kibadala sawa: y " =p(y),
Tunafanya vivyo hivyo tunaposuluhisha mlinganyo F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Mpangilio wake unaweza kupunguzwa kwa moja kwa kuweka y"=p, ambapo p=p(y ) Kutumia kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu, tunapata Kisha tunapata
p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, au p=c 1 ey+y. Kubadilisha p na y ", tunapata: y" = c 1 -e y +y. Kubadilisha y"=2 na y=2 katika usawa huu, tunapata na 1:
2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.
Tuna y"=y. Kwa hivyo y=c 2 e x. Tunapata c 2 kutoka kwa hali ya awali: 2=c 2 e °, c 2 =2. Kwa hivyo, y=2e x ni suluhisho maalum la hii.