Mwalimu wa hisabati
Taasisi ya elimu ya manispaa "Gymnasium No. 5 ya Belgorod"
Mada ya somo: Milinganyo ya kimantiki.
Daraja: daraja la 10.
UMK : Algebra na mwanzo wa uchambuzi: kitabu cha maandishi. Kwa 10kl. elimu ya jumla taasisi/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov].-5th ed., nyongeza-M.: Elimu, 2006.-432 p. uk.65-74., 45-47.
Malengo ya somo:
Kielimu: kupanga na kufupisha habari kuhusu semi za busara zinazojulikana kutoka shule ya msingi; onyesha masuluhisho milinganyo ya busara;
Kielimu: kupanua na kuimarisha kujifunza aina mbalimbali milinganyo ya kimantiki kwa kutumia mbinu mbalimbali.
Kielimu: onyesha umuhimu wa mada inayosomwa katika sehemu ya hisabati.
Aina ya somo: somo-muhadhara.
Muundo wa somo:
- Kuweka lengo la somo (dak 1).
- Kujitayarisha kusoma nyenzo mpya (dak 2).
- 3.Utangulizi wa nyenzo mpya (dakika 38).
- 4. Muhtasari wa somo (dakika 2)
- 5.Kazi ya nyumbani (dak 2)
Vifaa vya somo: bodi ya maingiliano, projekta, kompyuta.
Wakati wa madarasa:
Mpango.
1. Maneno ya busara.
2. Milinganyo ya kimantiki.
3. Mifumo ya milinganyo ya kimantiki.
I. Kurudia.
Algebra iliibuka kutoka kwa suluhisho matatizo ya vitendo kwa kutumia milinganyo. Malengo ya algebra yalibaki bila kubadilika kwa maelfu ya miaka - equations zilitatuliwa: kwanza mstari, kisha quadratic, na kisha milinganyo zaidi. digrii za juu. Lakini fomu ambayo matokeo ya aljebra yaliwasilishwa ilibadilika zaidi ya kutambuliwa.
Equation ni aina ya kawaida ya tatizo la hisabati. Mafundisho ya milinganyo ndiyo maudhui kuu kozi ya shule algebra. Ili kutatua milinganyo, unahitaji kuwa na uwezo wa kufanya shughuli kwenye monomials, polynomials, sehemu za aljebra, kuwa na uwezo wa kuainisha, kufungua mabano, nk. Unahitaji kuweka ujuzi wako kwa utaratibu. Tutaanza mapitio na dhana ya "maneno ya busara". Ripoti ya mwanafunzi kuhusu semi za kimantiki zinazojulikana kutoka shule ya msingi. Kwa hivyo, utafiti wa equations hauwezekani bila kusoma sheria za vitendo.
II. Sehemu kuu.
Jambo kuu katika dhana ya equation ni uundaji wa swali la suluhisho lake. Mlinganyo ambao pande zake za kushoto na kulia ni vielezi vya mantiki vya x huitwa mlingano wa kimantiki na x isiyojulikana.
Kwa mfano, milinganyo 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, ni mantiki.
Mzizi (au suluhisho) la mlingano na x isiyojulikana ni nambari ambayo, inapowekwa badala ya x, hutoa usawa wa kweli wa nambari.
Kutatua mlinganyo kunamaanisha kupata mizizi yake yote au kuonyesha kuwa hakuna. Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya kimantiki, inabidi kuzidisha na kugawanya pande zote mbili za equation kwa kutofanya hivyo. sawa na sifuri nambari, uhamishaji wa masharti ya equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, tumia sheria za kuongeza na kutoa sehemu za algebra. Matokeo yake yatakuwa equation sawa na ya awali, yaani, equation ambayo ina mizizi sawa, na wao tu.
Hebu tuorodheshe milinganyo ya kawaida ambayo tumejifunza. Majibu ya wanafunzi (mlingano wa mstari, mlingano wa quadratic, rahisi zaidi mlingano wa nguvu X n =a). Kubadilisha milinganyo kwa mojawapo ya zile za kawaida ni hatua kuu katika kutatua mlinganyo. Haiwezekani kuhariri kabisa mchakato wa uongofu, lakini ni muhimu kukumbuka baadhi ya mbinu zinazojulikana kwa aina zote za milinganyo.
1).Mlinganyo wa fomu A(x) B(x) = O, ambapo A(x) na B(x) ni polynomia kuhusiana na x, huitwa.kuoza equation.
Seti ya mizizi yote ya equation inayooza ni muungano wa seti za mizizi yote ya milinganyo miwili A(x)=0 na B(x)=0. Njia ya uainishaji inatumika kwa milinganyo ya fomu A(x) = 0. Kiini cha njia hii: unahitaji kutatua equation A(x)=0, ambapo A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). Equation A(x)=0 inabadilishwa na seti milinganyo rahisi: A 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. Pata mizizi ya equations ya seti hii na uangalie. Njia ya factorization hutumiwa hasa kwa busara na milinganyo ya trigonometric.
MFANO 1.
Wacha tusuluhishe mlinganyo (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.
Equation imegawanywa katika milinganyo miwili.
x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 na x 2 = 3
x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 na x 4 = 1
Hii ina maana kwamba mlingano asilia una mizizi x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.
Jibu. -2; 1; 2; 3.
MFANO. Wacha tusuluhishe equation x 3 -7x+6=0.
x 3 -x-6x+6=0
x(x 2 -1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1)(x(x+1)-6)=0
(x-1)(x 2 +x-6)=0
x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.
Jibu:1;2;-3.
2).Mlinganyo wa fomu, ambapo A(x) na B(x) ni polynomia jamaa na x.
MFANO 2.
Wacha tusuluhishe equation
Kwanza hebu tusuluhishe equation
x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 na x 2 = -7
Kubadilisha nambari hizi kwenye dhehebu la upande wa kushoto wa equation ya asili, tunapata
x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,
x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.
Hii inaonyesha kuwa nambari x 1 = 3 sio mzizi wa mlinganyo wa asili, lakini nambari x 2 =- 7 ndio mzizi wa mlingano huu.
Jibu. -7.
3).Mlinganyo wa fomu
ambapo A(x), B(x), C(x) na D(x) ni polynomia kwa heshima na x, kwa kawaida hutatuliwa kulingana na kanuni ifuatayo.
Mlinganyo A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 hutatuliwa na zile ambazo hazifanyi dhehebu la equation kutoweka huchaguliwa kutoka kwenye mizizi yake.
MFANO 3.
Wacha tusuluhishe equation
Wacha tusuluhishe equation
x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.
x 2 + 2x - 15 = 0
x 1 = -5 na x 2 = 3.
Nambari x 1 haifanyi denominator x - 3 kutoweka, lakini nambari x 2 waongofu. Kwa hiyo, equation ina mzizi mmoja = -5.
Jibu. -5.
Kupata mizizi ya equation ya busara mara nyingi husaidia kwa kuchukua nafasi isiyojulikana. Uwezo wa kutambulisha kwa mafanikio tofauti mpya - kipengele muhimu utamaduni wa hisabati. Uchaguzi uliofanikiwa wa kibadilishaji kipya hufanya muundo wa equation kuwa wazi zaidi.
MFANO 4.
Wacha tusuluhishe equation x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.
Nambari x 0 = 0 sio mzizi wa equation, kwa hivyo equation ni sawa na equation.
x 4 + 4x 2 - 10 + + =0
Wacha tuonyeshe t =, kisha x 4 + =t 2 -2,
tunapata t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 na x 2 = -6.
Kwa hivyo, tunapata mizizi ya equation kwa kuchanganya mizizi yote ya equations mbili:=2, na =-6,
Equation ya kwanza ina mizizi miwili -1 na 1, lakini equation ya pili haina mizizi halisi, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tu: -1 na 1. Jibu. -1; 1.
4). Milinganyo ya ulinganifu.
Polinomia katika vigeu kadhaa huitwa polynomial linganifu ikiwa umbo lake halibadiliki na uidhinishaji wowote wa vigeu hivi.
Kwa mfano, polynomials x + y, a 2 + b 2 - 1, zt na 5a 3 + 6ab + 5b 3 - polimanomia linganifu katika vigeu viwili, polimanomia x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - polynomials linganifu katika vigezo vitatu.
Wakati huo huo, polynomials x - y, a 2 –b 2 na a 3 + ab – b 3 - polynomials zisizo za ulinganifu.
Equation ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, ambapo a R/ ,b R, c R inaitwa mlingano wa shahada ya nne. Ili kutatua equation hii unahitaji:
1).Gawa pande zote mbili za mlingano kwa x 2 na panga misemo inayotokana:.
2).Utangulizi wa kigeuequation imepunguzwa hadi quadratic.
Mfano.
Tatua mlingano x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.
Nambari 0 sio mzizi wa equation. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa x 2 ≠0.
Jibu. .
Mifumo ya milinganyo ya kimantiki.
Mifumo ya equations inaonekana wakati wa kutatua matatizo ambayo kiasi kadhaa haijulikani. Kiasi hiki kinahusiana na uhusiano fulani, ambao umeandikwa kwa namna ya equations.
Mlinganyo ambao pande zake za kushoto na kulia ni vielezi vya kimantiki vya x na y huitwa mlingano wa kimantiki wenye vitu viwili visivyojulikana x na y.
Ikiwa tunahitaji kupata jozi zote za nambari x na y, ambayo kila moja ni suluhisho kwa kila hesabu iliyopewa na haijulikani mbili x na y, basi tunasema kwamba tunahitaji kutatua mfumo wa equations na haijulikani mbili x na y. , na kila jozi hiyo inaitwa suluhisho la mfumo huu.
Isiyojulikana inaweza pia kuashiria na herufi zingine. Mfumo wa milinganyo ambayo idadi ya zisizojulikana ni kubwa kuliko mbili huamuliwa kwa njia sawa.
Ikiwa kila suluhisho la mfumo wa kwanza wa equations ni suluhisho la mfumo wa pili, na kila suluhisho la mfumo wa pili wa equations ni suluhisho la mfumo wa kwanza, basi mifumo hiyo inaitwa sawa. Hasa, mifumo miwili ambayo haina ufumbuzi inachukuliwa kuwa sawa.
Kwa mfano, mifumo ni sawa
1). Mbinu ya uingizwaji.
MFANO 1. Hebu tutatue mfumo wa milinganyo
Kuelezea y kupitia x kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo, tunapata equation:
y = 3x - 1.
Kutatua mlingano wa 5x 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, pata mizizi yake x 1 = 1 na x 2 = . Kubadilisha nambari zilizopatikana x 1 na x 2 kwenye equation y = 3x - 1, tunapata y 1 = 2
na y = Kwa hivyo, mfumo una suluhisho mbili: (1; 2) na (; )
Jibu. (12), (;)
2). Mbinu ya kuongeza algebra.
MFANO 2. Hebu tutatue mfumo wa milinganyo
Kuacha equation ya kwanza ya mfumo bila kubadilika na kuongeza equation ya kwanza na ya pili, tunapata mfumo sawa na mfumo.
Suluhisho zote za mfumo ni umoja wa suluhisho zote za mifumo miwili:
(2; 1), (-2; -1),
Jibu. (2; 1), (-2; -1), .
3). Njia ya kutambulisha mambo mapya yasiyojulikana.
MFANO 3. Hebu tutatue mfumo wa milinganyo
Kuashiria u = xy, v = x - y, tunaandika upya mfumo katika fomu
Hebu tutafute masuluhisho yake: u 1 = 1, v 1 = 0 na u 2 = 5, v 2 = 4. Kwa hivyo, suluhisho zote za mfumo ni umoja wa suluhisho zote za mifumo miwili:
Baada ya kusuluhisha kila moja ya mifumo hii kwa kutumia njia mbadala, tunapata suluhisho zake kwa mfumo: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
Jibu. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Mlinganyo wa fomu ah 2 + bxy + su 2 = 0, ambapo a, b, c hupewa nambari zisizo za sifuri, inaitwa equation ya homogeneous kwa heshima na haijulikani x na y.
Fikiria mfumo wa milinganyo ambayo ndani yake kuna mlinganyo wa homogeneous.
MFANO 4. Hebu tutatue mfumo wa milinganyo
Uteuzi t = , tunaandika tena equation ya kwanza ya mfumo katika fomu t 2 +4t+3=0.
Mlinganyo una mizizi miwili t 1 = -1 na t 2 = -3, kwa hivyo suluhisho zote za mfumo ni umoja wa suluhisho zote za mifumo miwili:
Baada ya kusuluhisha kila moja ya mifumo hii, tunapata suluhisho zote za mfumo:
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).
Jibu. (2.5; -2.5), (0.5; -0.5), (0.5; -0.5),,(1,5;-0,5).
Wakati wa kutatua mifumo fulani, ujuzi wa mali ya polynomials ya ulinganifu husaidia.
Mfano.
Hebu tutambulishe mambo mapya yasiyojulikana α = x + y na β = xy, kisha x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2
Kwa hiyo, mfumo unaweza kuandikwa tena kwa fomu
Wacha tusuluhishe mlingano wa quadratic wa β: β 1 =6, β 2 =44.
Kwa hivyo, suluhisho zote za mfumo ni muungano
suluhisho zote za mifumo miwili:
Mfumo wa kwanza una masuluhisho mawili x 1 = 2, y 1 = 3 na x 2 = 3, y 2 =2, lakini mfumo wa pili hauna ufumbuzi halali. Kwa hivyo, mfumo una suluhisho mbili: (x: 1; y 1) na (x 2;y 2)
Jibu. (2; 3), (3; 2).
Leo tulifanya muhtasari wa matokeo ya kusoma mada ya milinganyo ya busara. Tulizungumza juu ya maoni ya jumla, mbinu za jumla, ambayo mstari mzima wa milinganyo ya shule umeegemezwa.
Njia za kutatua equations zimetambuliwa:
1) njia ya factorization;
2) njia ya kuanzisha vigezo vipya.
Tulipanua uelewa wetu wa mbinu za kutatua mifumo ya milinganyo.
Katika masomo 4 yanayofuata tutafanya mazoezi ya vitendo. Ili kufanya hivyo unahitaji kujifunza nyenzo za kinadharia, na uchague mifano 2 kutoka kwa kitabu cha maandishi juu ya njia zinazozingatiwa za kutatua equations na mifumo ya equations, katika somo la 6 semina itafanyika juu ya mada hii, kwa hili unahitaji kuandaa maswali: formula ya Newton ya binomial, kutatua equations za ulinganifu wa shahada ya 3.5 . Somo la Mwisho juu ya mada hii - mtihani.
Fasihi.
- Algebra na mwanzo wa uchambuzi: kitabu cha maandishi. Kwa 10kl. elimu ya jumla taasisi/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapov].-5th ed., nyongeza-M.: Elimu, 2006.-432 p. uk.65-74., 45-47.
- Hisabati: mafunzo kazi za mada kuongezeka kwa utata na majibu ya kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja na aina zingine za mitihani ya mwisho na ya kiingilio / comp. G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina - Volgograd: Mwalimu, 2009.-494 p. – ukurasa wa 62-72,194-199.
- Titarenko A.M. Hisabati: darasa la 9-11: matatizo na mifano 6000/A.M. Titarenko.-M.: Eksmo, 2007.-336 p.
Kuna mengi ya kusemwa kuhusu milinganyo. Kuna maswali katika eneo hili la hisabati ambayo wanahisabati bado hawajajibu. Labda baadhi yenu mtapata majibu ya maswali haya.
Albert Einstein alisema: "Lazima nigawanye wakati wangu kati ya siasa na milinganyo. Walakini, equations, kwa maoni yangu, ni muhimu zaidi. Siasa zipo kwa ajili tu kwa wakati huu. Na milinganyo itakuwepo milele."
Masomo 2-5 yametolewa madarasa ya vitendo. Aina kuu ya shughuli katika masomo haya ni kazi ya kujitegemea ya wanafunzi ili kuunganisha na kuimarisha nyenzo za kinadharia zilizowasilishwa katika hotuba. Katika kila moja yao, maswali ya nadharia hurudiwa na wanafunzi huchunguzwa. Kulingana kazi ya kujitegemea darasani na nyumbani, marudio na umilisi wa maswali ya nadharia huhakikishwa, kazi yenye kusudi kukuza ujuzi wa kutatua matatizo ngazi mbalimbali matatizo, uchunguzi wa wanafunzi unafanywa. Kusudi: kujumuisha na kuimarisha nyenzo za kinadharia zilizowasilishwa kwenye hotuba, jifunze kuitumia kwa vitendo, na algorithms ya suluhisho bora. mifano ya kawaida na majukumu, ili kuhakikisha kwamba wanafunzi wote wanajua maudhui kuu ya sehemu inayosomwa katika kiwango cha mahitaji ya programu.
Masomo ya 6 na 7 yametengwa kwa ajili ya semina, na inashauriwa kufanya semina katika somo la 6, na mtihani katika somo la 7.
Mpango wa somo-semina.
Kusudi: kurudia, kukuza na ujanibishaji wa nyenzo zilizofunikwa, kutafuta njia za kimsingi, njia na mbinu za kutatua. matatizo ya hisabati, upatikanaji wa ujuzi mpya, mafunzo matumizi ya kujitegemea ujuzi katika hali zisizo za kawaida.
1. Mwanzoni mwa somo, udhibiti wa programu hupangwa. Kusudi la tukio kazi-angalia maendeleo ya ujuzi na uwezo wa kufanya mazoezi rahisi. Katika mchakato wa kuuliza maswali ya mbele ya wanafunzi ambao walionyesha nambari ya jibu kimakosa, mwalimu hugundua ni kazi gani iliyosababisha ugumu. Inayofuata inakuja kwa mdomo au makaratasi ili kuondoa makosa. Hakuna zaidi ya dakika 10 zimetengwa kwa ajili ya kutekeleza udhibiti uliopangwa.
2. Utafiti tofauti wa wanafunzi kadhaa kuhusu masuala ya nadharia.
3. Rejea ya kihistoria kuhusu kuibuka na ukuzaji wa dhana ya mlingano (ujumbe wa mwanafunzi). Njia ya binomial ya Newton. Kutatua milinganyo ya ulinganifu wa shahada ya tatu, shahada ya nne, shahada ya tano.
x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0
2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0
x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0
2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0
4. Kutatua mifano, kuangalia utayari wa wanafunzi kufanya kazi ya mtihani- hili ni moja ya malengo makuu ya semina.
Kufanya mtihani.
Kufanya mtihani haimaanishi kuachana na ufuatiliaji unaoendelea wa maarifa ya wanafunzi. Madarasa yanatolewa kwa vitendo na madarasa ya semina. Baadhi ya mazoezi ya kawaida yatajaribiwa. Wanafunzi wanafahamishwa mapema ni nyenzo gani za kinadharia na mazoezi yatawasilishwa wakati wa mtihani. Wacha tuwasilishe yaliyomo kwenye moja ya kadi za majaribio kwenye mada inayozingatiwa.
Kiwango cha 1.
Tatua milinganyo: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4
X 2 +25 =24
(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2
Kiwango cha 2.
Tatua milinganyo: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0
8x 3 -12x 2 +x-7=0
Hakiki:
Ili kutumia muhtasari wa wasilisho, jiundie akaunti yako ( akaunti) Google na ingia:
Katika makala hii nitakuonyesha algoriti za kutatua aina saba za milinganyo ya kimantiki, ambayo inaweza kupunguzwa kwa quadratic kwa kubadilisha vigezo. Katika hali nyingi, mabadiliko ambayo husababisha uingizwaji sio madogo sana, na ni ngumu sana kukisia juu yao peke yako.
Kwa kila aina ya equation, nitaelezea jinsi ya kufanya mabadiliko ya kutofautiana ndani yake, na kisha kuonyesha ufumbuzi wa kina katika mafunzo ya video yanayofanana.
Una fursa ya kuendelea kusuluhisha milinganyo mwenyewe, na kisha angalia suluhisho lako na somo la video.
Kwa hiyo, hebu tuanze.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Kumbuka kwamba upande wa kushoto wa equation kuna bidhaa ya mabano manne, na upande wa kulia kuna namba.
1. Wacha tupange mabano kwa mbili ili jumla ya masharti ya bure iwe sawa.
2. Zizidishe.
3. Hebu tuanzishe mabadiliko ya kutofautiana.
Katika equation yetu, tutaweka mabano ya kwanza na ya tatu, na ya pili na ya nne, kwani (-1)+(-4)=(-7)+2:
Katika hatua hii uingizwaji wa kutofautisha unakuwa dhahiri:
Tunapata equation 
Jibu: 
2 .
Equation ya aina hii ni sawa na uliopita na tofauti moja: upande wa kulia wa equation ni bidhaa ya namba na . Na inatatuliwa kwa njia tofauti kabisa:
1. Tunaweka mabano kwa mbili ili bidhaa ya masharti ya bure iwe sawa.
2. Zidisha kila jozi ya mabano.
3. Tunachukua x kutoka kwa kila kipengele.
4. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa .
5. Tunaanzisha mabadiliko ya kutofautiana.
Katika equation hii, tunaweka mabano ya kwanza na ya nne, na ya pili na ya tatu, kwani:
Kumbuka kuwa katika kila mabano mgawo wa saa na neno la bure ni sawa. Wacha tuchukue sababu kutoka kwa kila mabano:
Kwa kuwa x=0 sio mzizi wa mlinganyo wa asili, tunagawanya pande zote mbili za equation na . Tunapata:
Tunapata equation: 
Jibu: 
3
. 
Kumbuka kuwa madhehebu ya sehemu zote mbili ni trinomia za mraba, ambayo mgawo unaoongoza na muda wa bure ni sawa. Wacha tuchukue x kutoka kwa mabano, kama katika equation ya aina ya pili. Tunapata:
Gawanya nambari na denominator ya kila sehemu kwa x:
Sasa tunaweza kuanzisha uingizwaji tofauti:
Tunapata equation ya kutofautisha t:
4 .
Kumbuka kwamba coefficients ya equation ni ulinganifu kwa heshima na moja ya kati. Equation hii inaitwa inayoweza kurudishwa .
Ili kulitatua,
1. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa (Tunaweza kufanya hivi kwani x=0 sio mzizi wa mlinganyo.) Tunapata:
2. Hebu tupange masharti kwa njia hii:
3. Katika kila kikundi tutaiweka nje ya mabano kizidishi cha kawaida:
4. Wacha tuanzishe uingizwaji:
5. Eleza kupitia t usemi:
Kutoka hapa 
Tunapata equation kwa t:
Jibu:
5. Milinganyo ya homogeneous.
Milinganyo ambayo ina muundo wa homogeneous inaweza kupatikana wakati wa kutatua milinganyo ya kielelezo, logarithmic na trigonometric, kwa hivyo unahitaji kuweza kuitambua.
Milinganyo ya homogeneous ina muundo ufuatao:
Katika usawa huu, A, B na C ni nambari, na mraba na duara zinaonyesha maneno yanayofanana. Hiyo ni, upande wa kushoto wa equation ya homogeneous kuna jumla ya monomials kuwa shahada sawa(V kwa kesi hii kiwango cha monomials ni 2), na hakuna neno huru.
Ili kutatua equation ya homogeneous, gawanya pande zote mbili kwa
Makini! Wakati wa kugawanya pande za kulia na kushoto za equation kwa usemi ulio na haijulikani, unaweza kupoteza mizizi. Kwa hivyo, ni muhimu kuangalia ikiwa mizizi ya usemi ambayo tunagawanya pande zote mbili za equation ni mizizi ya equation ya awali.
Twende njia ya kwanza. Tunapata equation:
Sasa tunaanzisha uingizwaji tofauti:
Wacha turahisishe usemi na tupate mlinganyo wa pande mbili kuhusiana na t:
Jibu: au
7
. 
Equation hii ina muundo ufuatao:
Ili kutatua, unahitaji kuchagua mraba kamili upande wa kushoto wa equation.
Ili kuchagua mraba kamili, unahitaji kuongeza au kupunguza bidhaa mara mbili. Kisha tunapata mraba wa jumla au tofauti. Hii ni muhimu kwa uingizwaji mzuri wa anuwai.
Wacha tuanze kwa kutafuta bidhaa mara mbili. Hii itakuwa ufunguo wa kuchukua nafasi ya kutofautisha. Katika equation yetu, mara mbili bidhaa ni sawa na
Sasa hebu tuone ni nini kinachofaa zaidi kwetu kuwa - mraba wa jumla au tofauti. Hebu kwanza tuchunguze jumla ya maneno:
Kubwa! Usemi huu ni sawa na mara mbili ya bidhaa. Halafu, ili kupata mraba wa jumla kwenye mabano, unahitaji kuongeza na kutoa bidhaa mbili:
Mada ya III. MIFUMO YA MILIngano WA KIMSINGI
Mfumo ni seti ya masharti ambayo lazima yatimizwe kwa wakati mmoja. Masharti haya yanaweza kuonyeshwa kwa namna ya milinganyo na usawa.
Masharti yaliyojumuishwa katika mfumo kawaida huandikwa kwenye safu na kupangwa upande wa kushoto na mabano.
Mfumo unaojumuisha milinganyo huitwa mfumo wa milinganyo.
Mfumo unaojumuisha milinganyo na usawa unaitwa mfumo mchanganyiko.
Kutatua mfumo kunamaanisha kupata seti ya maadili kwa wasiojulikana ambayo inakidhi masharti yake yote.
Upeo wa mfumo ni sehemu ya kawaida eneo la ufafanuzi wa masharti yaliyojumuishwa ndani yake. Suluhisho la mfumo, ikiwa lipo, daima ni la uwanja wa ufafanuzi wake.
Mfumo ambao una suluhisho huitwa pamoja.
Mfumo ambao hauna suluhu unaitwa kutoendana au kutofautiana.
Sura ya I. SULUHISHO LA MIFUMO YA MISTARI KWA NJIA YA KUKOMESHA KWA MATOKEO YA WASIOJULIKANA (GAUSS METHOD)
§ I. Ufafanuzi wa mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari
Mlinganyo mzima wa kimantiki huitwa algebraic ya mstari ikiwa sehemu zake zote mbili zina istilahi ambazo digrii yake si kubwa kuliko ya kwanza kuhusiana na mambo yasiyojulikana yanayobainishwa.
Mfumo unaitwa mstari ikiwa una milinganyo ya aljebra ya mstari tu.
(Ifuatayo, kuna sehemu inayoweza kupangwa ya mwongozo, ambayo, unapojibu maswali au kazi, unapaswa kufunga upande wa kulia wa ukurasa. Katika sehemu hii ya ukurasa, usahihi wa kazi au jibu ulilokamilisha huangaliwa. Mlolongo wa kufanya kazi na mwongozo unaoweza kupangwa huamuliwa na mifano hii, maswali yaliyoulizwa au kazi za majibu yako kwao. Mlolongo huu haupaswi kuvunjika.)
Amua ikiwa mifumo iliyotolewa katika mifano Na. 1 na Na. 2 ni ya mstari kuhusiana na x na y.
| Mfano Nambari 1 Mfano Nambari 2
Kwa mfano Nambari 3, fanya uingizwaji ambao huleta mfumo huu kwa mstari. Mfano Nambari 3 | Majibu: Mfumo ni wa mstari. Mfumo sio mstari.  Haya ni masharti ya shahada ya 1 kuhusiana na x na y (jumla ya vielezi vya x na y katika kila kimojawapo ni sawa na kimoja). Masharti yaliyo upande wa kulia wa mlingano wa kwanza yana uhusiano na x na y shahada ya sifuri. Hivyo  (jumla ya vipeo vya x na y katika kila mojawapo ni sifuri). Hapa tulitumia ufafanuzi x 0 ≡ 1 kwa x ≠0, y 0 ≡ 1 kwa y ≠0. Mlinganyo wa pili wa mfumo, kama vile kwanza, inaweza kuwakilishwa katika fomu  .Sasa upande wa kushoto wa mlinganyo wa pili una masharti ya shahada ya kwanza kwa heshima ya x na y, na upande wa kulia una sufuri. Kwa hiyo, mfumo huu ni mstari, kwa sababu lina milinganyo ya mstari. Nenda kwa mfano #2. Majibu: Mfumo hauna mstari. 2. Mfumo ni wa mstari. A) Sahihi. Lakini kwa uingizwaji
mfumo huu umepunguzwa kwa mstari kwa heshima na haijulikani mpya u, v, t. Nenda kwa mfano #3. B) Sio sahihi. Equations ya mfumo haiwezi kuitwa linear, kwa sababu pande za kushoto za equation zina jumla ya sehemu ambazo digrii zake hazijabainishwa. (Unaweza tu kuamua kiwango cha polynomial, i.e. usemi wa uchambuzi, ambayo hakuna shughuli zaidi ya mbili zinafanywa kwa barua na nambari: kuongeza algebraic na kuzidisha). |
Tulianzisha equation hapo juu katika § 7. Kwanza, hebu tukumbuke nini kujieleza kwa busara. Hii - usemi wa algebra, inayojumuisha nambari na mabadiliko ya x kwa kutumia shughuli za kujumlisha, kutoa, kuzidisha, kugawanya na kuzidisha kwa kipeo asilia.
Ikiwa r(x) ni usemi wa kimantiki, basi equation r(x) = 0 inaitwa mlinganyo wa kimantiki.
Walakini, katika mazoezi ni rahisi zaidi kutumia tafsiri pana kidogo ya neno "mlinganyo wa busara": hii ni mlinganyo wa fomu h(x) = q(x), ambapo h(x) na q(x) zipo. maneno yenye mantiki.
Hadi sasa, hatukuweza kutatua equation yoyote ya busara, lakini moja tu ambayo, kama matokeo, mabadiliko mbalimbali na hoja iliyochemka hadi mlinganyo wa mstari. Sasa uwezo wetu ni mkubwa zaidi: tutaweza kutatua equation ya busara ambayo inapunguza sio tu kwa mstari.
mu, lakini pia kwa equation ya quadratic.
Hebu tukumbuke jinsi tulivyotatua milinganyo ya kimantiki hapo awali na tujaribu kuunda algoriti ya suluhu.
Mfano 1. Tatua mlinganyo
Suluhisho. Wacha tuandike tena equation katika fomu
Katika kesi hii, kama kawaida, tunachukua fursa ya ukweli kwamba usawa A = B na A - B = 0 huonyesha uhusiano sawa kati ya A na B. Hii ilituruhusu kuhamisha neno hadi upande wa kushoto milinganyo na ishara kinyume.
Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa equation. Tuna
Wacha tukumbuke masharti ya usawa sehemu sifuri: ikiwa na ikiwa tu mahusiano mawili yataridhika kwa wakati mmoja:
1) nambari ya sehemu sawa na sifuri(a = 0); 2) denominator ya sehemu ni tofauti na sifuri).
Kusawazisha nambari ya sehemu upande wa kushoto wa equation (1) hadi sifuri, tunapata
Inabakia kuangalia utimilifu wa hali ya pili iliyoonyeshwa hapo juu. Uhusiano unamaanisha kwa mlinganyo (1) kwamba . Thamani x 1 = 2 na x 2 = 0.6 zinakidhi uhusiano ulioonyeshwa na kwa hivyo hutumika kama mizizi ya equation (1), na wakati huo huo mizizi ya equation iliyotolewa.
1) Wacha tubadilishe equation kuwa fomu
2) Wacha tubadilishe upande wa kushoto wa equation hii:
(wakati huo huo ulibadilisha ishara kwenye nambari na
sehemu).
Hivyo, kupewa mlinganyo inachukua fomu
3) Tatua equation x 2 - 6x + 8 = 0. Tafuta
4) Kwa maadili yaliyopatikana, angalia utimilifu wa hali hiyo 
. Nambari ya 4 inakidhi hali hii, lakini nambari ya 2 haifai. Hii ina maana kwamba 4 ni mzizi wa equation iliyotolewa, na 2 ni mzizi wa nje.
JIBU: 4.
2. Kutatua milinganyo ya kimantiki kwa kuanzisha kigezo kipya
Mbinu ya kutambulisha kigezo kipya unaifahamu; tumeitumia zaidi ya mara moja. Wacha tuonyeshe kwa mifano jinsi inavyotumika katika kutatua milinganyo ya busara.
Mfano 3. Tatua mlingano x 4 + x 2 - 20 = 0.
Suluhisho. Hebu tutambulishe kigezo kipya y = x 2 . Kwa kuwa x 4 = (x 2) 2 = y 2, basi equation iliyotolewa inaweza kuandikwa upya kama
y 2 + y - 20 = 0.
Hii ni equation ya quadratic, mizizi ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia inayojulikana fomula; tunapata y 1 = 4, y 2 = - 5.
Lakini y = x 2, ambayo inamaanisha kuwa shida imepunguzwa hadi kusuluhisha hesabu mbili:
x 2 =4; x 2 = -5.
Kutoka kwa equation ya kwanza tunaona kwamba equation ya pili haina mizizi.
Jibu:.
Mlinganyo wa fomu ax 4 + bx 2 + c = 0 inaitwa equation ya biquadratic ("bi" ni mbili, yaani, aina ya "double quadratic" equation). Mlinganyo ambao umesuluhishwa hivi karibuni ulikuwa wa pande mbili. Mlinganyo wowote wa biquadratic hutatuliwa kwa njia sawa na mlinganyo kutoka kwa Mfano wa 3: anzisha kigezo kipya y = x 2, suluhisha mlingano wa quadratic unaotokana na kutofautisha y, na kisha urejee kwa kutofautiana x.
Mfano 4. Tatua mlinganyo
Suluhisho. Kumbuka kuwa usemi sawa x 2 + 3x unaonekana mara mbili hapa. Hii ina maana kwamba inaleta maana kuanzisha tofauti mpya y = x 2 + 3x. Hii itakuruhusu kuandika tena equation kwa njia rahisi na kuangalia nzuri(ambayo, kwa kweli, ni kusudi la kuanzisha mpya kutofautiana- na kurahisisha kurekodi
inakuwa wazi, na muundo wa equation unakuwa wazi):
Sasa hebu tutumie algorithm ya kutatua equation ya busara.
1) Wacha tuhamishe masharti yote ya equation katika sehemu moja:
= 0
2) Badilisha upande wa kushoto wa equation
Kwa hivyo, tumebadilisha equation iliyotolewa kwa fomu
3) Kutoka kwa equation - 7y 2 + 29y -4 = 0 tunapata (wewe na mimi tayari tumetatua hesabu nyingi za quadratic, kwa hivyo haifai kila wakati kutoa mahesabu ya kina kwenye kitabu cha maandishi).
4) Hebu tuangalie mizizi iliyopatikana kwa kutumia hali ya 5 (y - 3) (y + 1). Mizizi yote miwili inakidhi hali hii.
Kwa hivyo, equation ya quadratic ya kutofautisha mpya y inatatuliwa: 
Kwa kuwa y = x 2 + 3x, na y, kama tumeanzisha, inachukua maadili mawili: 4 na , bado tunapaswa kutatua equations mbili: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Mizizi ya equation ya kwanza ni nambari 1 na - 4, mizizi ya equation ya pili ni nambari.
Katika mifano iliyozingatiwa, njia ya kuanzisha utaftaji mpya ilikuwa, kama wanahisabati wanapenda kusema, inatosha kwa hali hiyo, ambayo ni, ililingana nayo. Kwa nini? Ndio, kwa sababu usemi huo ulionekana wazi katika equation mara kadhaa na kulikuwa na sababu ya kutaja usemi huu barua mpya. Lakini hii haifanyiki kila wakati; wakati mwingine tofauti mpya "huonekana" tu wakati wa mchakato wa mabadiliko. Hii ndio hasa kitakachotokea katika mfano unaofuata.
Mfano 5. Tatua mlinganyo
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Suluhisho. Tuna
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Hii ina maana kwamba equation iliyotolewa inaweza kuandikwa upya katika fomu
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Sasa kigezo kipya "kimeonekana": y = x 2 - 3x.
Kwa msaada wake, equation inaweza kuandikwa tena kwa fomu y (y + 2) = 24 na kisha y 2 + 2y - 24 = 0. Mizizi ya equation hii ni namba 4 na -6.
Kurudi kwa kutofautiana kwa awali x, tunapata equations mbili x 2 - 3x = 4 na x 2 - 3x = - 6. Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata x 1 = 4, x 2 = - 1; equation ya pili haina mizizi.
JIBU: 4, - 1.
Wacha tufahamiane na hesabu za busara na za sehemu, toa ufafanuzi wao, toa mifano, na pia tuchambue aina za kawaida za shida.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Equation ya busara: ufafanuzi na mifano
Kufahamiana na maneno ya busara huanza katika darasa la 8 la shule. Kwa wakati huu, katika masomo ya aljebra, wanafunzi wanazidi kuanza kukutana na mgawo wenye milinganyo ambayo ina vielezi vya busara katika madokezo yao. Wacha turudishe kumbukumbu yetu juu ya ni nini.
Ufafanuzi 1
Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambamo pande zote mbili zina vielezi vya kimantiki.
Katika miongozo mbalimbali unaweza kupata uundaji mwingine.
Ufafanuzi 2
Mlinganyo wa kimantiki- hii ni equation, upande wa kushoto ambao una usemi wa busara, na upande wa kulia una sifuri.
Ufafanuzi ambao tulitoa kwa milinganyo ya busara ni sawa, kwani wanazungumza juu ya kitu kimoja. Usahihi wa maneno yetu unathibitishwa na ukweli kwamba kwa maneno yoyote ya busara P Na Q milinganyo P = Q Na P − Q = 0 itakuwa misemo sawa.
Sasa tuangalie mifano.
Mfano 1
Milinganyo ya busara:
x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.
Milinganyo ya kimantiki, kama milinganyo ya aina zingine, inaweza kuwa na idadi yoyote ya vigeu kutoka 1 hadi kadhaa. Kwanza tutaangalia mifano rahisi, ambamo milinganyo itakuwa na kigezo kimoja tu. Na kisha tutaanza kufanya kazi hiyo hatua kwa hatua.
Milinganyo ya kimantiki imegawanywa katika mbili makundi makubwa: nambari kamili na sehemu. Wacha tuone ni milinganyo gani itatumika kwa kila kikundi.
Ufafanuzi 3
Mlinganyo wa kimantiki utakuwa kamili ikiwa pande zake za kushoto na kulia zina misemo yote ya kimantiki.
Ufafanuzi 4
Mlinganyo wa kimantiki utakuwa wa sehemu ikiwa sehemu yake moja au zote mbili zina sehemu.
Milinganyo ya kimantiki ya kimantiki lazima iwe na mgawanyo kwa kigezo au kigezo kipo katika kipunguzo. Hakuna mgawanyiko kama huo katika uandishi wa milinganyo nzima.
Mfano 2
3 x + 2 = 0 Na (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- milinganyo yote ya busara. Hapa pande zote mbili za equation zinawakilishwa na maneno kamili.
1 x - 1 = x 3 na x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5 ni milinganyo yenye mantiki kiasi.
Milinganyo yote ya kimantiki ni pamoja na milinganyo ya mstari na ya quadratic.
Kutatua milinganyo nzima
Utatuzi wa milinganyo kama hii kwa kawaida huja kwa kuzigeuza kuwa milinganyo sawa ya aljebra. Hii inaweza kupatikana kwa kufanya mabadiliko sawa ya equations kulingana na algorithm ifuatayo:
- kwanza tunapata sifuri upande wa kulia wa equation; ili kufanya hivyo, tunahitaji kusonga usemi ulio upande wa kulia wa equation kwa upande wake wa kushoto na ubadilishe ishara;
- kisha tunabadilisha usemi ulio upande wa kushoto wa equation kuwa polynomial mtazamo wa kawaida.
Ni lazima tupate mlingano wa aljebra. Mlinganyo huu utakuwa sawa na mlinganyo wa asili. Matukio rahisi huturuhusu kupunguza mlingano mzima hadi wa mstari au wa quadratic ili kutatua tatizo. KATIKA kesi ya jumla tunatatua mlingano wa aljebra wa shahada n.
Mfano 3
Inahitajika kupata mizizi ya equation nzima 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Suluhisho
Hebu tubadilishe usemi asilia ili kupata mlinganyo sawa wa aljebra. Ili kufanya hivyo, tutahamisha usemi ulio kwenye upande wa kulia wa equation kwa upande wa kushoto na kuchukua nafasi ya ishara na kinyume chake. Kama matokeo, tunapata: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Sasa hebu tubadilishe usemi ulio upande wa kushoto kuwa polynomial ya fomu ya kawaida na mazao vitendo muhimu na polynomial hii:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x - 6
Tuliweza kupunguza suluhu kwa mlinganyo wa awali kwa suluhisho mlinganyo wa quadratic aina x 2 − 5 x − 6 = 0. Kibaguzi cha mlingano huu ni chanya: D = (- 5) 2 − 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49 . Hii ina maana kutakuwa na mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula ya mizizi ya equation ya quadratic:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 au x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 au x 2 = - 1
Wacha tuangalie usahihi wa mizizi ya equation ambayo tulipata wakati wa suluhisho. Kwa hili, tunabadilisha nambari tulizopokea kwenye mlinganyo wa asili: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Na 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (- 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Katika kesi ya kwanza 63 = 63 , katika pili 0 = 0 . Mizizi x=6 Na x = - 1 kweli ni mizizi ya mlinganyo uliotolewa katika hali ya mfano.
Jibu: 6 , − 1 .
Wacha tuangalie maana ya "shahada ya equation nzima". Mara nyingi tutakumbana na neno hili katika hali ambapo tunahitaji kuwakilisha mlingano mzima katika umbo la aljebra. Hebu tufafanue dhana.
Ufafanuzi 5
Kiwango cha equation nzima- hii ni shahada mlinganyo wa algebra, sawa na mlinganyo kamili wa asili.
Ikiwa unatazama equations kutoka kwa mfano hapo juu, unaweza kuanzisha: kiwango cha equation hii yote ni ya pili.
Ikiwa kozi yetu ilikuwa na ukomo wa kutatua milinganyo ya shahada ya pili, basi mjadala wa mada unaweza kuishia hapo. Lakini si rahisi hivyo. Kutatua equations ya shahada ya tatu imejaa ugumu. Na kwa milinganyo ya juu kuliko shahada ya nne hakuna kanuni za jumla mizizi. Katika suala hili, kutatua equations nzima ya digrii ya tatu, ya nne na nyingine inahitaji sisi kutumia idadi ya mbinu na mbinu nyingine.
Mbinu inayotumika sana ya kutatua milinganyo yote ya kimantiki inategemea mbinu ya uainishaji. Algorithm ya vitendo katika kesi hii ni kama ifuatavyo.
- tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto ili sifuri ibaki upande wa kulia wa rekodi;
- Tunawakilisha usemi ulio upande wa kushoto kama bidhaa ya vipengele, na kisha kwenda kwenye seti ya milinganyo kadhaa rahisi zaidi.
Pata suluhisho la mlinganyo (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) .
Suluhisho
Tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia wa rekodi kwenda kushoto na ishara tofauti: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kubadilisha upande wa kushoto hadi polynomial ya fomu ya kawaida siofaa kutokana na ukweli kwamba hii itatupa mlingano wa aljebra wa shahada ya nne: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Urahisi wa uongofu hauhalalishi matatizo yote katika kutatua mlingano huo.
Ni rahisi zaidi kwenda kwa njia nyingine: hebu tuchukue sababu ya kawaida kutoka kwa mabano x 2 − 10 x + 13 . Kwa hivyo tunafika kwenye equation ya fomu (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sasa tunabadilisha equation inayosababishwa na seti ya hesabu mbili za quadratic x 2 − 10 x + 13 = 0 Na x 2 − 2 x − 1 = 0 na kupata mizizi yao kwa njia ya kibaguzi: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Jibu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kutumia njia ya kuanzisha tofauti mpya. Mbinu hii huturuhusu kuhamia milinganyo sawa na digrii za chini kuliko digrii katika mlinganyo kamili wa asili.
Mfano 5
Je, equation ina mizizi? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Suluhisho
Ikiwa sasa tutajaribu kupunguza mlinganyo mzima wa kimantiki hadi aljebra, tutapata mlinganyo wa shahada ya 4, ambayo haina mizizi ya busara. Kwa hivyo, itakuwa rahisi kwetu kwenda kwa njia nyingine: anzisha tofauti mpya y, ambayo itachukua nafasi ya usemi katika equation. x 2 + 3 x.
Sasa tutafanya kazi na equation nzima (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Wacha tusogeze upande wa kulia wa equation kwenda kushoto na ishara iliyo kinyume na tutekeleze mabadiliko ya lazima. Tunapata: y 2 + 4 y + 3 = 0. Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic: y = - 1 Na y = - 3.
Sasa wacha tufanye uingizwaji wa nyuma. Tunapata equations mbili x 2 + 3 x = - 1 Na x 2 + 3 · x = - 3 . Hebu tuyaandike upya kama x 2 + 3 x + 1 = 0 na x 2 + 3 x + 3 = 0. Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic ili kupata mizizi ya equation ya kwanza kutoka kwa zile zilizopatikana: - 3 ± 5 2. Ubaguzi wa equation ya pili ni hasi. Hii ina maana kwamba equation ya pili haina mizizi halisi.
Jibu:- 3 ± 5 2
Milinganyo nzima digrii za juu kutana na majukumu mara nyingi. Hakuna haja ya kuwaogopa. Unahitaji kuwa tayari kutuma ombi njia isiyo ya kawaida ufumbuzi wao, ikiwa ni pamoja na idadi ya mabadiliko ya bandia.
Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu
Tutaanza uzingatiaji wetu wa mada hii ndogo kwa algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p(x) Na q(x)- maneno yote ya busara. Suluhisho la milinganyo mingine ya kimantiki inaweza kupunguzwa kila wakati kwa suluhisho la milinganyo ya aina iliyoonyeshwa.
Njia inayotumika sana katika kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0 inategemea taarifa ifuatayo: sehemu ya nambari wewe v, Wapi v- hii ni nambari ambayo ni tofauti na sifuri, sawa na sifuri tu katika matukio hayo wakati nambari ya sehemu ni sawa na sifuri. Kufuatia mantiki ya taarifa hiyo hapo juu, tunaweza kudai kwamba suluhu la mlinganyo p (x) q (x) = 0 linaweza kupunguzwa hadi kutimiza masharti mawili: p(x)=0 Na q(x) ≠ 0. Huu ndio msingi wa kuunda algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0:
- tafuta suluhisho la mlinganyo mzima wa kimantiki p(x)=0;
- tunaangalia ikiwa hali imeridhika kwa mizizi iliyopatikana wakati wa suluhisho q(x) ≠ 0.
Ikiwa hali hii imefikiwa, basi mizizi iliyopatikana Ikiwa sio, basi mzizi sio suluhisho la tatizo.
Mfano 6
Hebu tupate mizizi ya equation 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Suluhisho
Tunashughulika na mlingano wa kimantiki wa sehemu ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Wacha tuanze kutatua equation ya mstari 3 x − 2 = 0. Mzizi wa equation hii itakuwa x = 2 3.
Wacha tuangalie mzizi uliopatikana ili kuona ikiwa inakidhi hali hiyo 5 x 2 − 2 ≠ 0. Ili kufanya hivyo, wacha tubadilishe thamani ya nambari katika kujieleza. Tunapata: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Hali imetimizwa. Ina maana kwamba x = 2 3 ndio mzizi wa mlingano asilia.
Jibu: 2 3 .
Kuna chaguo jingine la kusuluhisha milinganyo ya kimantiki p (x) q (x) = 0. Kumbuka kwamba mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo mzima p(x)=0 katika kanda maadili yanayokubalika kutofautiana x ya mlingano asilia. Hii inaruhusu sisi kutumia algoriti ifuatayo katika kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0:
- kutatua equation p(x)=0;
- pata anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x;
- tunachukua mizizi ambayo iko katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x kama mizizi inayotaka ya mlingano wa asili wa kimantiki.
Tatua mlingano x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Suluhisho
Kwanza, hebu tutatue equation ya quadratic x 2 − 2 x − 11 = 0. Ili kuhesabu mizizi yake, tunatumia formula ya mizizi kwa mgawo wa pili. Tunapata D 1 = (- 1) 2 − 1 · (- 11) = 12, na x = 1 ± 2 3 .
Sasa tunaweza kupata ODZ ya kutofautisha x kwa mlingano asilia. Hizi ndizo nambari zote ambazo x 2 + 3 x ≠ 0. Ni sawa na x (x + 3) ≠ 0, kutoka wapi x ≠ 0, x ≠ − 3.
Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi x = 1 ± 2 3 iliyopatikana katika hatua ya kwanza ya suluhisho iko ndani ya anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x. Tunawaona wakiingia. Hii ina maana kwamba mlingano wa awali wa kimantiki una mizizi miwili x = 1 ± 2 3.
Jibu: x = 1 ± 2 3
Njia ya pili ya suluhisho imeelezewa rahisi kuliko ya kwanza katika hali ambapo anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x hupatikana kwa urahisi, na mizizi ya equation. p(x)=0 isiyo na mantiki. Kwa mfano, 7 ± 4 · 26 9. Mizizi inaweza kuwa ya busara, lakini kwa nambari kubwa au denominator. Kwa mfano, 127 1101 Na − 31 59 . Hii inaokoa wakati wa kuangalia hali hiyo q(x) ≠ 0: Ni rahisi zaidi kuwatenga mizizi ambayo haifai kulingana na ODZ.
Katika hali ambapo mizizi ya equation p(x)=0 ni nambari kamili, inafaa zaidi kutumia ya kwanza kati ya algoriti zilizofafanuliwa kutatua milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0. Pata mizizi ya equation nzima kwa kasi zaidi p(x)=0, na kisha angalia ikiwa hali imeridhika kwao q(x) ≠ 0, badala ya kutafuta ODZ, na kisha kutatua equation p(x)=0 kwenye ODZ hii. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika hali hiyo ni rahisi kuangalia kuliko kupata DZ.
Mfano 8
Pata mizizi ya equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Suluhisho
Wacha tuanze kwa kuangalia equation nzima (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 na kutafuta mizizi yake. Ili kufanya hivyo, tunatumia njia ya kutatua equations kupitia factorization. Inabadilika kuwa equation ya awali ni sawa na seti ya equations nne 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, ambayo tatu ni ya mstari na. moja ni quadratic. Kutafuta mizizi: kutoka kwa equation ya kwanza x = 1 2, kutoka kwa pili - x=6, kutoka ya tatu – x = 7 , x = − 2 , kutoka ya nne – x = - 1.
Hebu tuangalie mizizi iliyopatikana. Ni ngumu kwetu kuamua ODZ katika kesi hii, kwani kwa hili tutalazimika kutatua equation ya algebra ya shahada ya tano. Itakuwa rahisi kuangalia hali kulingana na ambayo denominator ya sehemu, ambayo iko upande wa kushoto wa equation, haipaswi kwenda kwa sifuri.
Wacha tubadilishane kubadilisha mizizi kwa herufi x katika usemi x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 na kuhesabu thamani yake:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 2 2 ∉ = 13 + 12 − 13 4 + 13 + 2 2 - 12
6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;
7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;
(− 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (- 2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;
(− 1) 5 − 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 = 0.
Uthibitishaji uliofanywa unaturuhusu kubaini kuwa mizizi ya mlingano wa kimantiki wa awali ni 1 2, 6 na − 2 .
Jibu: 1 2 , 6 , - 2
Mfano 9
Pata mizizi ya mlingano wa kimantiki wa sehemu 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Suluhisho
Wacha tuanze kufanya kazi na equation (5 x 2 − 7 x − 1) (x - 2) = 0. Wacha tupate mizizi yake. Ni rahisi kwetu kufikiria mlinganyo huu kama mchanganyiko wa quadratic na milinganyo ya mstari 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Na x − 2 = 0.
Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic kupata mizizi. Tunapata kutoka kwa equation ya kwanza mizizi miwili x = 7 ± 69 10, na kutoka kwa pili. x = 2.
Itakuwa vigumu sana kwetu kubadilisha thamani ya mizizi kwenye mlinganyo wa asili ili kuangalia hali. Itakuwa rahisi kuamua ODZ ya mabadiliko ya x. Katika kesi hii, ODZ ya mabadiliko x ni nambari zote isipokuwa zile ambazo hali hiyo inafikiwa x 2 + 5 x − 14 = 0. Tunapata: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi tuliyopata ni ya anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.
Mizizi x = 7 ± 69 10 ni ya, kwa hiyo, ni mizizi ya equation ya awali, na x = 2- sio mali, kwa hivyo, ni mzizi wa nje.
Jibu: x = 7 ± 69 10 .
Wacha tuchunguze kando kesi wakati nambari ya mlinganyo wa kimantiki wa fomu p (x) q (x) = 0 ina nambari. Katika hali kama hizi, ikiwa nambari ina nambari tofauti na sifuri, basi equation haitakuwa na mizizi. Ikiwa nambari hii ni sawa na sifuri, basi mzizi wa equation itakuwa nambari yoyote kutoka kwa ODZ.
Mfano 10
Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Suluhisho
Mlinganyo huu hautakuwa na mizizi, kwani nambari ya sehemu iliyo upande wa kushoto wa equation ina nambari isiyo ya sifuri. Hii inamaanisha kuwa bila thamani ya x thamani ya sehemu iliyotolewa katika taarifa ya tatizo itakuwa sawa na sifuri.
Jibu: hakuna mizizi.
Mfano 11
Tatua mlingano 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Suluhisho
Kwa kuwa nambari ya sehemu ina sifuri, suluhisho la equation litakuwa thamani yoyote x kutoka kwa ODZ ya mabadiliko ya x.
Sasa hebu tufafanue ODZ. Itajumuisha maadili yote ya x ambayo x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Suluhisho kwa equation x 4 + 5 x 3 = 0 ni 0 Na − 5 , kwa kuwa mlingano huu ni sawa na mlinganyo x 3 (x + 5) = 0, na hii kwa upande wake ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili x 3 = 0 na x + 5 = 0, ambapo mizizi hii inaonekana. Tunafikia hitimisho kwamba anuwai inayokubalika ya maadili yanayokubalika ni x yoyote isipokuwa x = 0 Na x = - 5.
Inabadilika kuwa equation ya kimantiki ya sehemu 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ina seti isiyo na mwisho suluhisho, ambazo ni nambari yoyote isipokuwa sifuri na - 5.
Jibu: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Sasa hebu tuzungumze juu ya hesabu za busara za sehemu aina ya kiholela na mbinu za kuzitatua. Wanaweza kuandikwa kama r(x) = s(x), Wapi r(x) Na s(x)- maneno ya busara, na angalau moja yao ni ya sehemu. Kutatua milinganyo kama hii kunapunguza utatuzi wa milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0.
Tayari tunajua tunachoweza kupata equation sawa wakati wa kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa equation kwenda kushoto na ishara kinyume. Hii ina maana kwamba equation r(x) = s(x) ni sawa na mlinganyo r (x) − s (x) = 0. Pia tayari tumejadili njia za kubadilisha usemi wa busara kuwa sehemu ya busara. Shukrani kwa hili, tunaweza kubadilisha equation kwa urahisi r (x) − s (x) = 0 katika sehemu inayofanana ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) .
Kwa hivyo tunahama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa kimantiki r(x) = s(x) kwa equation ya fomu p (x) q (x) = 0, ambayo tayari tumejifunza kutatua.
Inapaswa kuzingatiwa kwamba wakati wa kufanya mabadiliko kutoka r (x) − s (x) = 0 kwa p(x)q(x) = 0 na kisha kwenda p(x)=0 hatuwezi kuzingatia upanuzi wa anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.
Inawezekana kabisa kwamba equation ya awali r(x) = s(x) na mlinganyo p(x)=0 kama matokeo ya mabadiliko yatakoma kuwa sawa. Kisha suluhisho la equation p(x)=0 inaweza kutupa mizizi ambayo itakuwa ngeni r(x) = s(x). Katika suala hili, katika kila kesi ni muhimu kufanya uthibitishaji kwa kutumia njia yoyote iliyoelezwa hapo juu.
Ili iwe rahisi kwako kusoma mada, tumefupisha habari yote katika algoriti ya kutatua mlinganyo wa kimantiki wa fomu. r(x) = s(x):
- sisi kuhamisha kujieleza kutoka upande wa kulia na ishara kinyume na kupata sifuri upande wa kulia;
- kubadilisha usemi asilia kuwa sehemu ya kimantiki p (x) q (x) , inayofanya shughuli kwa kufuatana na sehemu na polimanomia;
- kutatua equation p(x)=0;
- Tunatambua mizizi ya nje kwa kuangalia mali yao ya ODZ au kwa kubadilisha katika equation ya awali.
Kwa kuibua, mlolongo wa vitendo utaonekana kama hii:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → kuondoa MIZIZI YA NJE
Mfano 12
Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu x x + 1 = 1 x + 1 .
Suluhisho
Wacha tuendelee kwenye mlinganyo x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Wacha tubadilishe usemi wa kimantiki wa sehemu kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo kuwa umbo p (x) q (x) .
Ili kufanya hivyo itabidi kuleta sehemu za mantiki Kwa dhehebu la kawaida na kurahisisha usemi:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
Ili kupata mizizi ya equation - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, tunahitaji kutatua equation. − 2 x − 1 = 0. Tunapata mzizi mmoja x = - 1 2.
Tunachotakiwa kufanya ni kuangalia kwa kutumia mbinu zozote. Hebu tuangalie wote wawili.
Wacha tubadilishe thamani inayotokana na mlinganyo wa asili. Tunapata - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Tumefikia hitimisho sahihi usawa wa nambari − 1 = − 1 . Ina maana kwamba x = − 1 2 ndio mzizi wa mlingano asilia.
Sasa hebu tuangalie kupitia ODZ. Wacha tuamue anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x. Hii itakuwa seti nzima ya nambari, isipokuwa - 1 na 0 (saa x = - 1 na x = 0, madhehebu ya sehemu hupotea). Mzizi tulioupata x = − 1 2 ni mali ya ODZ. Hii ina maana kwamba ni mzizi wa equation ya awali.
Jibu: − 1 2 .
Mfano 13
Pata mizizi ya equation x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Suluhisho
Tunashughulika na mlinganyo wa kimantiki wa sehemu. Kwa hiyo, tutafanya kulingana na algorithm.
Wacha tusogeze usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto na ishara iliyo kinyume: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Hebu tufanye mabadiliko muhimu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Tunafika kwenye equation x = 0. Mzizi wa equation hii ni sifuri.
Wacha tuangalie ikiwa mzizi huu ni wa nje kwa mlinganyo wa asili. Wacha tubadilishe thamani katika mlinganyo wa asili: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kama unaweza kuona, equation inayosababishwa haina maana. Hii inamaanisha kuwa 0 ni mzizi wa nje, na mlinganyo wa awali wa kimantiki hauna mizizi.
Jibu: hakuna mizizi.
Ikiwa hatujajumuisha mabadiliko mengine sawa katika algoriti, hii haimaanishi kuwa hayawezi kutumika. Algorithm ni ya ulimwengu wote, lakini imeundwa kusaidia, sio kikomo.
Mfano 14
Tatua mlingano 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Suluhisho
Njia rahisi ni kutatua equation ya kimantiki iliyopewa kulingana na algorithm. Lakini kuna njia nyingine. Hebu tuzingatie.
Ondoa 7 kutoka pande za kulia na kushoto, tunapata: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kwamba usemi katika denominator ya upande wa kushoto lazima iwe sawa na nambari nambari ya kubadilishana kutoka upande wa kulia, yaani, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Ondoa 3 kutoka pande zote mbili: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Kwa mlinganisho, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, kutoka ambapo 1 5 - x 2 = 1 3, na kisha 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Wacha tufanye ukaguzi ili kubaini ikiwa mizizi iliyopatikana ni mizizi ya mlingano wa asili.
Jibu: x = ± 2
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter