kuendeleza uwezo wa kufungua mabano, kwa kuzingatia ishara mbele ya mabano;
Wakati wa madarasa
I. Wakati wa shirika.
Iangalie rafiki
Je, uko tayari kwa ajili ya darasa?
Je, kila kitu kiko mahali? Kila kitu kiko sawa?
Kalamu, kitabu na daftari.
Je, kila mtu ameketi kwa usahihi?
Je, kila mtu anatazama kwa makini?
Ninataka kuanza somo na swali kwako:
Unafikiri ni kitu gani cha thamani zaidi duniani? (Majibu ya watoto.)
Swali hili limesumbua wanadamu kwa maelfu ya miaka. Hili ndilo jibu lililotolewa na mwanasayansi mashuhuri Al-Biruni: “Elimu ni bora kuliko mali. Kila mtu anajitahidi, lakini haiji kwa kujitegemea.
Maneno haya yawe kauli mbiu ya somo letu.
II. Kusasisha maarifa ya awali, ujuzi na uwezo:
Kuhesabu kwa maneno:
1.1. Leo ni tarehe ngapi?
2. Niambie unafahamu nini kuhusu nambari 20?
3. Nambari hii iko wapi kwenye mstari wa kuratibu?
4. Toa nambari iliyo kinyume.
5. Taja nambari iliyo kinyume.
6. Jina la nambari 20 ni nini?
7. Ni nambari gani zinazoitwa kinyume?
8. Ni nambari gani zinazoitwa hasi?
9. Kuliko moduli ni sawa namba 20? - 20?
10. Je, jumla ya nambari kinyume ni nini?
2. Eleza maingizo yafuatayo:
a) Mwanahisabati mahiri wa zamani Archimedes alizaliwa mnamo 0 287.
b) Mwanahisabati mahiri wa Urusi N.I. Lobachevsky alizaliwa mnamo 1792.
kwanza michezo ya Olimpiki ilifanyika Ugiriki mnamo 776.
d) Michezo ya kwanza ya Olimpiki ya Kimataifa ilifanyika mnamo 1896.
e) Michezo ya Majira ya baridi ya Olimpiki ya XXII ilifanyika mnamo 2014.
3. Jua ni nambari gani zinazozunguka kwenye "jukwa la hisabati" (vitendo vyote vinafanywa kwa mdomo).
II. Uundaji wa maarifa mapya, ujuzi na uwezo.
Je, umejifunza jinsi ya kufanya vitendo tofauti na nambari kamili. Tutafanya nini baadaye? Tutatatua vipi mifano na milinganyo?
Hebu tupate maana ya maneno haya
7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0
Je, ni utaratibu gani katika mfano 1? Kiasi gani kwenye mabano? Je, ni utaratibu gani katika mfano wa pili? Matokeo ya hatua ya kwanza? Unaweza kusema nini kuhusu maneno haya?
Bila shaka, matokeo ya maneno ya kwanza na ya pili ni sawa, ambayo ina maana unaweza kuweka ishara sawa kati yao: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4
Tulifanya nini na mabano? (Waliishusha.)
Unafikiri tutafanya nini darasani leo? (Watoto hutengeneza mada ya somo.) Katika mfano wetu, ni ishara gani inakuja mbele ya mabano. (Pamoja na.)
Na kwa hivyo tunakuja kwa sheria ifuatayo:
Ikiwa kuna ishara + mbele ya mabano, basi unaweza kuacha mabano na ishara hii +, kuhifadhi ishara za masharti katika mabano. Ikiwa neno la kwanza katika mabano limeandikwa bila ishara, basi lazima liandikwe kwa ishara +.
Lakini vipi ikiwa kuna alama ya minus kabla ya mabano?
Katika kesi hii, unahitaji kufikiria kwa njia sawa na wakati wa kutoa: unahitaji kuongeza nambari kinyume na ile inayotolewa:
7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14
- Kwa hivyo, tulifungua mabano wakati kulikuwa na ishara ya minus mbele yao.
Kanuni ya kufungua mabano ni wakati mabano yanatanguliwa na ishara "-".
Ili kufungua mabano yaliyotanguliwa na - ishara, unahitaji kubadilisha ishara hii na +, kubadilisha ishara za maneno yote kwenye mabano kinyume chake, na kisha ufungue mabano.
Wacha tusikilize sheria za kufungua mabano katika ushairi:
Kuna plus kabla ya mabano.
Hiyo ndiyo anayozungumzia
Kwa nini unaacha mabano?
Acha ishara zote!
Kabla ya mabano minus ni kali
Itazuia njia yetu
Ili kuondoa mabano
Tunahitaji kubadilisha ishara!
Ndio, watu, ishara ya minus ni ya hila sana, ni "mlinzi" kwenye lango (mabano), hutoa nambari na vigeuzo tu wakati wanabadilisha "pasipoti" zao, ambayo ni, ishara zao.
Kwa nini unahitaji kufungua mabano wakati wote? (Kunapokuwa na mabano, kuna wakati wa baadhi ya kipengele cha kutokamilika, aina fulani ya fumbo. Ni kama mlango uliofungwa ambao nyuma yake kuna kitu cha kuvutia.) Leo tumechunguza siri hii.
Safari fupi katika historia:
Braces curly inaonekana katika maandishi ya Vieta (1593). Mabano yalianza kutumika sana katika nusu ya kwanza ya karne ya 18, shukrani kwa Leibniz na hata zaidi kwa Euler.
Dakika ya elimu ya mwili.
III. Ujumuishaji wa maarifa mapya, ujuzi na uwezo.
Fanya kazi kulingana na kitabu cha maandishi:
Nambari 1234 (fungua mabano) - kwa mdomo.
Nambari 1236 (fungua mabano) - kwa mdomo.
Nambari 1235 (pata maana ya kujieleza) - kwa maandishi.
Nambari 1238 (kurahisisha maneno) - fanya kazi kwa jozi.
IV. Kwa muhtasari wa somo.
1. Madarasa yanatangazwa.
2. Nyumbani. mazoezi. aya ya 39 Na. 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.
3. Tumejifunza nini leo?
Umejifunza nini kipya?
Na ninataka kumaliza somo na matakwa kwa kila mmoja wenu:
"Kuelekea hisabati onyesha uwezo,
Usiwe wavivu, lakini endelea kila siku.
Zidisha, gawanya, fanya kazi, fikiria,
Usisahau kuwa marafiki na hisabati."
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi kwa kufanana sawa na usemi bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Hoja moja zaidi inastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa maamuzi ya kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi
3−(5−7) tunapata usemi 3−5+7. Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3−(5−7)=3−5+7.
Na moja zaidi hatua muhimu. Katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwa usemi au kwenye mabano. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki +7+3, lakini kwa urahisi 7+3, licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi (5 + x) - ujue kwamba kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa, na kabla ya tano kuna plus +(+5+x).
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kuongeza
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Mfano. Fungua mabano katika usemi 2 + (7 + 3) Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha hatubadilishi ishara mbele ya nambari kwenye mabano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kutoa
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake. Kutokuwepo kwa ishara kabla ya muhula wa kwanza kwenye mabano kunamaanisha + ishara.
Mfano. Panua mabano katika usemi 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, ambayo inamaanisha unahitaji kubadilisha ishara mbele ya nambari kwenye mabano. Katika mabano hakuna ishara kabla ya nambari 7, hii ina maana kwamba saba ni chanya, inachukuliwa kuwa kuna ishara + mbele yake.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Wakati wa kufungua mabano, tunaondoa kutoka kwa mfano minus iliyokuwa mbele ya mabano, na mabano wenyewe 2 - (+ 7 + 3), na kubadilisha ishara zilizokuwa kwenye mabano kwa kinyume chake.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Kupanua mabano wakati wa kuzidisha
Ikiwa kuna ishara ya kuzidisha mbele ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano inazidishwa na sababu iliyo mbele ya mabano. Katika hali hii, kuzidisha minus kwa minus kunatoa plus, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus, kunatoa minus.
Kwa hivyo, mabano katika bidhaa hupanuliwa kwa mujibu wa mali ya kusambaza ya kuzidisha.
Mfano. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Unapozidisha mabano kwa mabano, kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Kwa kweli, hakuna haja ya kukumbuka sheria zote, inatosha kukumbuka moja tu, hii: c(a-b)=ca−cb. Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata kanuni (a-b)=a-b. Na tukibadilisha toa moja, tunapata kanuni −(a-b)=−a+b. Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Kufungua mabano wakati wa kugawanya
Ikiwa kuna ishara ya mgawanyiko baada ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano imegawanywa na mgawanyiko baada ya mabano, na kinyume chake.
Mfano. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jinsi ya kupanua mabano yaliyowekwa
Ikiwa usemi una mabano yaliyowekwa, hupanuliwa kwa mpangilio, kuanzia na za nje au za ndani.
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba wakati wa kufungua moja ya mabano, usiguse mabano yaliyobaki, uandike tena kama ilivyo.
Mfano. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Katika makala hii tutaangalia kwa undani sheria za msingi za vile mada muhimu kozi ya hisabati, kama vile kufungua mabano. Unahitaji kujua sheria za kufungua mabano ili kusuluhisha kwa usahihi hesabu ambazo hutumiwa.
Jinsi ya kufungua mabano kwa usahihi wakati wa kuongeza
Panua mabano yaliyotanguliwa na ishara "+".
Hii ndiyo kesi rahisi zaidi, kwa sababu ikiwa kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano, ishara ndani yao hazibadilika wakati mabano yanafunguliwa. Mfano:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jinsi ya kupanua mabano yaliyotanguliwa na ishara "-".
KATIKA kwa kesi hii unahitaji kuandika upya masharti yote bila mabano, lakini wakati huo huo ubadilishe ishara zote ndani yao kwa kinyume chake. Ishara hubadilika tu kwa masharti kutoka kwa mabano hayo ambayo yalitanguliwa na ishara "-". Mfano:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jinsi ya kufungua mabano wakati wa kuzidisha
Kabla ya mabano kuna nambari ya kuzidisha
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kwa sababu na kufungua mabano bila kubadilisha ishara. Ikiwa mzidishaji ana ishara "-", basi wakati wa kuzidisha ishara za maneno zinabadilishwa. Mfano:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jinsi ya kufungua mabano mawili na ishara ya kuzidisha kati yao
Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Mfano:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jinsi ya kufungua mabano katika mraba
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno mawili ni ya mraba, mabano yanapaswa kufunguliwa kulingana na fomula ifuatayo:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Katika kesi ya minus ndani ya mabano, formula haibadilika. Mfano:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Ikiwa jumla au tofauti ya maneno hufufuliwa, kwa mfano, kwa nguvu ya 3 au ya 4, basi unahitaji tu kuvunja nguvu ya bracket katika "mraba". Nguvu za mambo sawa huongezwa, na wakati wa kugawanya, nguvu ya mgawanyiko hutolewa kutoka kwa nguvu ya gawio. Mfano:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jinsi ya kufungua mabano 3
Kuna milinganyo ambayo mabano 3 yanazidishwa mara moja. Katika kesi hii, lazima kwanza uzidishe masharti ya mabano mawili ya kwanza pamoja, na kisha kuzidisha jumla ya kuzidisha huku kwa masharti ya mabano ya tatu. Mfano:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Sheria hizi za kufungua mabano hutumika kwa usawa katika kutatua milinganyo ya mstari na trigonometriki.
Katika karne ya tano KK, mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Zeno wa Elea alitengeneza aporias yake maarufu, maarufu zaidi ambayo ni "Achilles na Tortoise" aporia. Hivi ndivyo inavyosikika:Wacha tuseme Achilles anakimbia mara kumi zaidi ya kobe na yuko hatua elfu nyuma yake. Wakati inachukua Achilles kukimbia umbali huu, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Achilles anapokimbia hatua mia moja, kobe hutambaa hatua nyingine kumi, na kadhalika. Mchakato utaendelea ad infinitum, Achilles hatawahi kukutana na kobe.
Hoja hii ikawa mshtuko wa kimantiki kwa vizazi vyote vilivyofuata. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Wote walizingatia aporia ya Zeno kwa njia moja au nyingine. Mshtuko ulikuwa mkali sana hivi kwamba " ...majadiliano yanaendelea hadi leo, ili kufikia maoni ya pamoja kuhusu kiini cha vitendawili jumuiya ya kisayansi hadi sasa haijawezekana... tulihusika katika utafiti wa suala hilo uchambuzi wa hisabati, kuweka nadharia, mpya ya kimwili na mbinu za kifalsafa; hakuna hata mmoja wao aliyeweza kuwa suluhisho linalokubalika kwa ujumla kwa tatizo..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kila mtu anaelewa kuwa wanadanganywa, lakini hakuna anayeelewa ni nini udanganyifu huo.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, Zeno katika aporia yake alionyesha wazi mpito kutoka kwa wingi hadi . Mpito huu unamaanisha programu badala ya za kudumu. Ninavyoelewa, vifaa vya hisabati Utumiaji wa vipimo vinavyobadilika ama bado haujaendelezwa, au haujatumika kwa aporia ya Zeno. Kutumia mantiki yetu ya kawaida hutupeleka kwenye mtego. Sisi, kwa sababu ya hali ya kufikiria, tunatumia vitengo vya wakati kila wakati kwa thamani ya kubadilishana. NA hatua ya kimwili Kwa mtazamo, inaonekana kama wakati unapungua hadi ikome kabisa wakati Achilles anapokutana na kobe. Muda ukisimama, Achilles hawezi tena kumshinda kobe.
Ikiwa tunageuza mantiki yetu ya kawaida, kila kitu kitaanguka. Achilles anaendesha na kasi ya mara kwa mara. Kila sehemu inayofuata ya njia yake ni fupi mara kumi kuliko ile iliyotangulia. Ipasavyo, wakati uliotumika kushinda ni mara kumi chini ya ule uliopita. Ikiwa tutatumia wazo la "infinity" katika hali hii, basi itakuwa sahihi kusema "Achilles atakutana na kobe haraka sana."
Jinsi ya kuepuka mtego huu wa kimantiki? Kaa ndani vitengo vya mara kwa mara vipimo vya wakati na usiende kwa idadi inayofanana. Katika lugha ya Zeno inaonekana kama hii:
Kwa wakati inachukua Achilles kukimbia hatua elfu moja, kobe atatambaa hatua mia katika mwelekeo sawa. Kwa muda unaofuata, sawa na wa kwanza, Achilles atakimbia hatua elfu nyingine, na kobe atatambaa hatua mia moja. Sasa Achilles yuko hatua mia nane mbele ya kobe.
Mbinu hii inaelezea vya kutosha ukweli bila vitendawili vyovyote vya kimantiki. Lakini sivyo suluhisho kamili Matatizo. Taarifa ya Einstein kuhusu kutoweza kupinga kasi ya mwanga ni sawa na aporia ya Zeno "Achilles na Tortoise". Bado tunapaswa kujifunza, kufikiria upya na kutatua tatizo hili. Na suluhisho lazima litafutwa sio kwa idadi kubwa sana, lakini kwa vitengo vya kipimo.
Aporia nyingine ya kuvutia ya Zeno inasimulia juu ya mshale unaoruka:
Mshale unaoruka hauna mwendo, kwani kila wakati umepumzika, na kwa kuwa umepumzika kila wakati wa wakati, huwa umepumzika kila wakati.
Katika aporia hii, kitendawili cha kimantiki kinashindwa kwa urahisi sana - inatosha kufafanua kwamba kwa kila wakati mshale wa kuruka unapumzika katika sehemu tofauti za nafasi, ambayo, kwa kweli, ni mwendo. Jambo lingine linafaa kuzingatiwa hapa. Kutoka kwa picha moja ya gari kwenye barabara haiwezekani kuamua ukweli wa harakati zake au umbali wake. Ili kubaini ikiwa gari linasonga, unahitaji picha mbili zilizopigwa kutoka sehemu moja nyakati tofauti wakati, lakini umbali hauwezi kuamua kutoka kwao. Kuamua umbali wa gari, unahitaji picha mbili zilizochukuliwa kutoka pointi tofauti nafasi kwa wakati mmoja kwa wakati, lakini haiwezekani kuamua ukweli wa harakati kutoka kwao (kwa kawaida, data ya ziada bado inahitajika kwa mahesabu, trigonometry itakusaidia). Ninachotaka kuashiria Tahadhari maalum, ni kwamba pointi mbili kwa wakati na pointi mbili katika nafasi ni mambo tofauti ambayo haipaswi kuchanganyikiwa, kwa sababu hutoa fursa tofauti za utafiti.
Jumatano, Julai 4, 2018
Tofauti kati ya seti na seti nyingi zimeelezewa vizuri sana kwenye Wikipedia. Hebu tuone.
Kama unaweza kuona, "hakuwezi kuwa na vipengele viwili vinavyofanana katika seti," lakini ikiwa kuna vipengele vinavyofanana katika seti, seti kama hiyo inaitwa "multiset." Viumbe wenye akili timamu hawatawahi kuelewa mantiki hiyo ya kipuuzi. Hii ndio kiwango kuzungumza kasuku na nyani waliofunzwa, ambao hawana akili kutoka kwa neno "kabisa". Wanahisabati hufanya kama wakufunzi wa kawaida, wakituhubiria mawazo yao ya kipuuzi.
Hapo zamani za kale, wahandisi waliojenga daraja hilo walikuwa ndani ya boti chini ya daraja hilo wakati wakifanya majaribio ya daraja hilo. Ikiwa daraja lilianguka, mhandisi wa wastani alikufa chini ya vifusi vya uumbaji wake. Ikiwa daraja lingeweza kuhimili mzigo, mhandisi mwenye talanta alijenga madaraja mengine.
Haijalishi jinsi wataalamu wa hesabu hujificha nyuma ya kifungu "nikomboe, niko nyumbani", au tuseme "masomo ya hisabati dhana dhahania", kuna kitovu kimoja ambacho kinawaunganisha na ukweli. Hiki kitovu ni pesa. nadharia ya hisabati seti kwa wanahisabati wenyewe.
Tulisoma hisabati vizuri sana na sasa tumekaa kwenye daftari la pesa, tukitoa mishahara. Kwa hivyo mtaalamu wa hisabati anakuja kwetu kwa pesa zake. Tunamhesabu kiasi chote na kuiweka kwenye meza yetu katika mirundo tofauti, ambayo tunaweka bili za dhehebu moja. Kisha tunachukua muswada mmoja kutoka kwa kila fungu na kumpa mwanahisabati" seti ya hisabati mishahara." Tunaeleza kwa hisabati kwamba atapokea bili zilizobaki pale tu atakapothibitisha kwamba seti isiyo na vipengele vinavyofanana si sawa na seti yenye vipengele vinavyofanana. Hapa ndipo furaha huanza.
Kwanza kabisa, mantiki ya manaibu itafanya kazi: "Hii inaweza kutumika kwa wengine, lakini sio kwangu!" Kisha wataanza kutuhakikishia kwamba miswada ya dhehebu moja ina nambari tofauti za bili, ambayo inamaanisha kuwa haiwezi kuchukuliwa kuwa vipengele sawa. Sawa, wacha tuhesabu mishahara kwa sarafu - hakuna nambari kwenye sarafu. Hapa mwanahisabati ataanza kukumbuka fizikia kwa bidii: kwenye sarafu tofauti kuna kiasi tofauti matope, muundo wa kioo na mpangilio wa atomi katika kila sarafu ni wa kipekee...
Na sasa nina zaidi maslahi Uliza: mstari uko wapi zaidi ya ambayo vipengele vya multiset hugeuka kuwa vipengele vya seti na kinyume chake? Mstari kama huo haupo - kila kitu kinaamuliwa na shamans, sayansi haiko karibu na kusema uwongo hapa.
Tazama hapa. Tunachagua viwanja vya mpira wa miguu vilivyo na eneo sawa la uwanja. Maeneo ya uwanja ni sawa - ambayo inamaanisha tuna seti nyingi. Lakini tukiangalia majina ya viwanja hivi hivi, tunapata vingi, maana majina ni tofauti. Kama unaweza kuona, seti sawa ya vipengele ni seti na seti nyingi. Ambayo ni sahihi? Na hapa mtaalamu wa hisabati-shaman-sharpist huchota ace ya tarumbeta kutoka kwa sleeve yake na kuanza kutuambia kuhusu seti au multiset. Kwa vyovyote vile, atatusadikisha kwamba yuko sahihi.
Ili kuelewa jinsi shamans ya kisasa inavyofanya kazi na nadharia iliyowekwa, kuifunga kwa ukweli, inatosha kujibu swali moja: vipengele vya seti moja vinatofautianaje na vipengele vya seti nyingine? Nitakuonyesha, bila "kuwaza kama si nzima" au "haiwezekani kwa ujumla."
Jumapili, Machi 18, 2018
Jumla ya nambari za nambari ni densi ya shaman na tambourini, ambayo haina uhusiano wowote na hisabati. Ndiyo, katika masomo ya hisabati tunafundishwa kupata jumla ya tarakimu za nambari na kuitumia, lakini ndiyo sababu wao ni shamans, kufundisha kizazi chao ujuzi na hekima yao, vinginevyo shamans watakufa tu.
Je, unahitaji ushahidi? Fungua Wikipedia na ujaribu kupata ukurasa "Jumla ya nambari za nambari." Yeye hayupo. Hakuna fomula katika hisabati inayoweza kutumika kupata jumla ya tarakimu za nambari yoyote. Baada ya yote, nambari ni alama za picha, kwa msaada ambao tunaandika nambari na katika lugha ya hisabati kazi inasikika kama hii: "Tafuta jumla ya alama za picha zinazowakilisha nambari yoyote." Wanahisabati hawawezi kutatua tatizo hili, lakini shamans wanaweza kufanya hivyo kwa urahisi.
Wacha tujue ni nini na jinsi ya kufanya ili kupata jumla ya nambari nambari iliyopewa. Na kwa hivyo, tuwe na nambari 12345. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata jumla ya nambari za nambari hii? Hebu fikiria hatua zote kwa utaratibu.
1. Andika nambari kwenye kipande cha karatasi. Tumefanya nini? Tumebadilisha nambari kuwa ishara ya nambari ya picha. Huu sio operesheni ya hisabati.
2. Tunakata picha moja inayotokana na picha kadhaa zilizo na nambari za kibinafsi. Kukata picha sio operesheni ya kihesabu.
3. Badilisha alama za picha za kibinafsi kuwa nambari. Huu sio operesheni ya hisabati.
4. Ongeza nambari zinazosababisha. Sasa hii ni hisabati.
Jumla ya tarakimu za nambari 12345 ni 15. Hizi ni "kozi za kukata na kushona" zinazofundishwa na shamans ambazo wanahisabati hutumia. Lakini si hayo tu.
Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ni katika mfumo gani wa nambari tunaandika nambari. Kwa hivyo, katika mifumo tofauti Katika calculus, jumla ya tarakimu za nambari sawa zitakuwa tofauti. Katika hisabati, mfumo wa nambari unaonyeshwa kama usajili wa kulia wa nambari. NA idadi kubwa 12345 Sitaki kudanganya kichwa changu, hebu tuangalie nambari 26 kutoka kwa makala kuhusu. Hebu tuandike nambari hii katika mifumo ya nambari za binary, octal, desimali na hexadecimal. Hatutaangalia kila hatua chini ya darubini; tayari tumefanya hivyo. Hebu tuangalie matokeo.
Kama unaweza kuona, katika mifumo tofauti ya nambari jumla ya nambari za nambari sawa ni tofauti. Matokeo haya hayana uhusiano wowote na hisabati. Ni sawa na ukiamua eneo la mstatili katika mita na sentimita, utapata matokeo tofauti kabisa.
Sufuri inaonekana sawa katika mifumo yote ya nambari na haina jumla ya nambari. Hii ni hoja nyingine inayounga mkono ukweli kwamba. Swali kwa wanahisabati: ni jinsi gani kitu ambacho sio nambari iliyoteuliwa katika hisabati? Je, kwa wanahisabati hakuna chochote isipokuwa nambari? Ninaweza kuruhusu hili kwa shamans, lakini si kwa wanasayansi. Ukweli sio tu juu ya nambari.
Matokeo yaliyopatikana yanapaswa kuzingatiwa kama dhibitisho kwamba mifumo ya nambari ni vitengo vya kipimo kwa nambari. Baada ya yote, hatuwezi kulinganisha nambari na vitengo tofauti vipimo. Ikiwa vitendo sawa na vitengo tofauti vya kipimo cha wingi sawa husababisha matokeo tofauti baada ya kulinganisha, basi hii haina uhusiano wowote na hisabati.
Hisabati halisi ni nini? Hii ni wakati matokeo operesheni ya hisabati haitegemei saizi ya nambari, kitengo cha kipimo kinachotumiwa na ni nani anayefanya kitendo.
Lo! Je, hii si choo cha wanawake?
- Mwanamke mchanga! Hii ni maabara ya uchunguzi wa utakatifu usio na kikomo wa roho wakati wa kupaa kwao mbinguni! Halo juu na mshale juu. Choo gani kingine?
Kike... Halo juu na mshale chini ni wa kiume.
Ikiwa kazi kama hiyo ya sanaa ya kubuni inaangaza mbele ya macho yako mara kadhaa kwa siku,
Basi haishangazi kwamba ghafla unapata ikoni ya kushangaza kwenye gari lako:
Binafsi, ninafanya bidii kuona minus digrii nne katika mtu anayepiga kinyesi (picha moja) (muundo wa picha kadhaa: ishara ya minus, nambari ya nne, muundo wa digrii). Na sidhani msichana huyu ni mjinga, hapana mwenye ujuzi katika fizikia. Yeye tu ana stereotype arch ya mtazamo picha za picha. Na wanahisabati wanatufundisha hili kila wakati. Hapa kuna mfano.
1A sio "minus digrii nne" au "moja a". Huyu ni "mtu wa kinyesi" au nambari "ishirini na sita" katika nukuu ya heksadesimali. Watu hao ambao hufanya kazi kila wakati katika mfumo huu wa nambari hugundua nambari na herufi kiotomatiki kama ishara moja ya picha.
Sasa tutaendelea na kufungua mabano katika misemo ambayo usemi katika mabano unazidishwa na nambari au usemi. Wacha tutengeneze sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara ya kuondoa: mabano pamoja na ishara ya minus yameachwa, na ishara za maneno yote kwenye mabano hubadilishwa na zile tofauti.
Aina moja ya mabadiliko ya usemi ni upanuzi wa mabano. Nambari, maneno halisi na maneno yenye vigezo yanaweza kutengenezwa kwa kutumia mabano, ambayo yanaweza kuonyesha utaratibu ambao vitendo vinafanywa, vyenye nambari hasi, nk. Hebu tuchukue kwamba katika maneno yaliyoelezwa hapo juu, badala ya nambari na vigezo, kunaweza kuwa na maneno yoyote.
Na wacha tuzingatie hoja moja zaidi kuhusu upekee wa kuandika suluhisho wakati wa kufungua mabano. Katika aya iliyotangulia, tulishughulikia kile kinachoitwa kufungua mabano. Kwa kufanya hivyo, kuna sheria za kufungua mabano, ambayo sasa tutapitia. Sheria hii inaamriwa na ukweli kwamba nambari chanya Ni kawaida kuandika bila mabano; katika kesi hii, mabano sio lazima. Usemi (−3.7)−(−2)+4+(−9) unaweza kuandikwa bila mabano kama −3.7+2+4−9.
Mwishowe, sehemu ya tatu ya sheria ni kwa sababu ya upekee wa kuandika nambari hasi upande wa kushoto katika usemi (ambao tulitaja katika sehemu ya mabano ya kuandika nambari hasi). Unaweza kukutana na usemi unaojumuisha nambari, ishara za kuondoa, na jozi kadhaa za mabano. Ukifungua mabano, ukisonga kutoka ndani kwenda nje, basi suluhisho litakuwa kama ifuatavyo: -(−((−(5)))))=−(−((−5))))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.
Jinsi ya kufungua mabano?
Hapa kuna maelezo: −(−2 x) ni +2 x, na kwa kuwa usemi huu huja kwanza, +2 x inaweza kuandikwa kama 2 x, -(x2)=−x2, +(-1/ x)=−1 /x na −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Sehemu ya kwanza ya sheria iliyoandikwa ya kufungua mabano inafuata moja kwa moja kutoka kwa sheria ya kuzidisha nambari hasi. Sehemu yake ya pili ni matokeo ya sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti. Hebu tuendelee kwenye mifano ya kufungua mabano katika bidhaa na quotients ya namba mbili na ishara tofauti.
Ufunguzi wa mabano: sheria, mifano, ufumbuzi.
Sheria iliyo hapo juu inazingatia mlolongo mzima wa vitendo hivi na inaharakisha kwa kiasi kikubwa mchakato wa kufungua mabano. Sheria hiyo hiyo hukuruhusu kufungua mabano katika misemo ambayo ni bidhaa na misemo ya sehemu na ishara ya minus ambayo sio hesabu na tofauti.
Hebu tuangalie mifano ya matumizi ya sheria hii. Wacha tutoe sheria inayolingana. Hapo juu tayari tumekumbana na semi za fomu -(a) na -(-a), ambazo bila mabano zimeandikwa kama −a na a, mtawalia. Kwa mfano, -(3)=3, na. Hizi ni kesi maalum za sheria iliyotajwa. Sasa hebu tuangalie mifano ya kufungua mabano wakati yana hesabu au tofauti. Wacha tuonyeshe mifano ya kutumia sheria hii. Wacha tuonyeshe usemi (b1+b2) kama b, baada ya hapo tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa usemi kutoka kwa aya iliyotangulia, tunayo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Kwa introduktionsutbildning, taarifa hii inaweza kupanuliwa kwa idadi kiholela ya masharti katika kila mabano. Inabakia kufungua mabano katika usemi unaosababishwa kwa kutumia sheria kutoka aya zilizopita, matokeo yake tunapata 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Sheria katika hisabati ni kufungua mabano ikiwa kuna (+) na (-) mbele ya mabano.
Usemi huu ni zao la mambo matatu (2+4), 3 na (5+7·8). Utalazimika kufungua mabano kwa mlolongo. Sasa tunatumia kanuni ya kuzidisha mabano kwa nambari, tunayo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Digrii ambazo misingi yake ni baadhi ya maneno yaliyoandikwa kwenye mabano, kwa kwa aina inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya mabano kadhaa.
Kwa mfano, hebu tubadilishe usemi (a+b+c)2. Kwanza, tunaiandika kama bidhaa ya mabano mawili (a+b+c)·(a+b+c), sasa tunazidisha mabano kwa mabano, tunapata a·a+ab+a·c+ ba+b· b+b·c+ca+cb+cc.
Wacha pia tuseme kwamba kuongeza hesabu na tofauti za nambari mbili ndani shahada ya asili Inashauriwa kutumia formula ya Newton ya binomial. Kwa mfano, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Sio rahisi kwanza kuchukua nafasi ya mgawanyiko na kuzidisha, na kisha utumie sheria inayolingana ya kufungua mabano kwenye bidhaa.
Inabakia kuelewa utaratibu wa kufungua mabano kwa kutumia mifano. Hebu tuchukue usemi (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Tunabadilisha matokeo haya kwa usemi asilia: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·· 7). Kilichobaki ni kumaliza kufungua mabano, matokeo yake tunayo −5+3·2:4+6·7. Hii ina maana kwamba wakati wa kusonga kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia, ufunguzi wa mabano ulitokea.
Kumbuka kwamba katika mifano yote mitatu tuliondoa tu mabano. Kwanza, ongeza 445 hadi 889. Hatua hii inaweza kufanywa kiakili, lakini si rahisi sana. Wacha tufungue mabano na tuone kwamba utaratibu uliobadilishwa utarahisisha mahesabu.
Jinsi ya kupanua mabano hadi digrii nyingine
Kuonyesha mfano na kanuni. Hebu tuangalie mfano:. Unaweza kupata thamani ya usemi kwa kuongeza 2 na 5, na kisha kuchukua nambari inayotokana na ishara tofauti. Sheria haibadilika ikiwa hakuna mbili, lakini maneno matatu au zaidi kwenye mabano. Maoni. Ishara zinabadilishwa tu mbele ya masharti. Ili kufungua mabano, katika kesi hii tunahitaji kukumbuka mali ya kusambaza.
Kwa nambari moja kwenye mabano
Kosa lako haliko kwenye ishara, lakini katika utunzaji sahihi wa sehemu? Katika daraja la 6 tulikutana chanya na nambari hasi. Tutatatua vipi mifano na milinganyo?
Kiasi gani kwenye mabano? Unaweza kusema nini kuhusu maneno haya? Bila shaka, matokeo ya mifano ya kwanza na ya pili ni sawa, ambayo ina maana tunaweza kuweka ishara sawa kati yao: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Tulifanya nini na mabano?
Onyesho la slaidi 6 na sheria za kufungua mabano. Kwa hivyo, sheria za kufungua mabano zitatusaidia kutatua mifano na kurahisisha misemo. Ifuatayo, wanafunzi wanaulizwa kufanya kazi kwa jozi: wanahitaji kutumia mishale kuunganisha usemi ulio na mabano na usemi unaolingana bila mabano.
Slaidi ya 11 Mara moja katika Sunny City, Znayka na Dunno walibishana kuhusu ni nani kati yao aliyesuluhisha mlinganyo kwa usahihi. Ifuatayo, wanafunzi hutatua mlingano wenyewe kwa kutumia sheria za kufungua mabano. Kutatua hesabu" Malengo ya somo: elimu (kuimarisha maarifa juu ya mada: "Ufunguzi wa mabano.
Mada ya somo: “Kufungua mabano. Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha kila neno kutoka kwa mabano ya kwanza na kila neno kutoka kwa mabano ya pili na kisha kuongeza matokeo. Kwanza, mambo mawili ya kwanza yanachukuliwa, yamefungwa kwenye bracket moja zaidi, na ndani ya mabano haya mabano yanafunguliwa kulingana na moja ya sheria zilizojulikana tayari.
rawalan.freezeet.ru
Ufunguzi wa mabano: sheria na mifano (daraja la 7)
Kazi kuu ya mabano ni kubadili utaratibu wa vitendo wakati wa kuhesabu maadili maneno ya nambari . Kwa mfano, V kwa nambari\(5·3+7\) kuzidisha kutahesabiwa kwanza, na kisha kuongeza: \(5·3+7 =15+7=22\). Lakini katika usemi \(5·(3+7)\) nyongeza katika mabano itahesabiwa kwanza, na kisha tu kuzidisha: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Walakini, ikiwa tunashughulika nayo usemi wa algebra zenye kutofautiana- kwa mfano, kama hii: \(2(x-3)\) - basi haiwezekani kuhesabu thamani kwenye mabano, tofauti iko njiani. Kwa hiyo, katika kesi hii, mabano "yanafunguliwa" kwa kutumia sheria zinazofaa.
Sheria za kufungua mabano
Ikiwa kuna ishara zaidi mbele ya bracket, basi bracket imeondolewa tu, usemi ndani yake unabaki bila kubadilika. Kwa maneno mengine:
Hapa inahitajika kufafanua kuwa katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwenye usemi. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki \(+7+3\), lakini kwa urahisi \(7+3\), licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. . Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi \(5+x)\) - ujue hilo kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa.
Mfano
. Fungua bracket na ulete masharti yanayofanana: \((x-11)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ikiwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, basi wakati mabano yameondolewa, kila neno la usemi ndani yake hubadilisha ishara kuwa kinyume:
Hapa ni muhimu kufafanua kwamba wakati a ilikuwa kwenye mabano, kulikuwa na ishara ya kuongeza (hawakuandika tu), na baada ya kuondoa bracket, hii pamoja na kubadilishwa kuwa minus.
Mfano
: Rahisisha usemi \(2x-(-7+x)\).
Suluhisho
: ndani ya mabano kuna maneno mawili: \(-7\) na \(x\), na kabla ya bracket kuna minus. Hii inamaanisha kuwa ishara zitabadilika - na saba sasa zitakuwa nyongeza, na x sasa itakuwa minus. Fungua bracket na tunawasilisha masharti sawa .
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Suluhisho
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ikiwa kuna sababu mbele ya mabano, basi kila mshiriki wa mabano huzidishwa nayo, ambayo ni:
Mfano.
Panua mabano \(5(3-x)\).
Suluhisho
: Katika mabano tuna \(3\) na \(-x\), na kabla ya bracket kuna tano. Hii ina maana kwamba kila mwanachama wa mabano huzidishwa na \(5\) - nakukumbusha kwamba Alama ya kuzidisha kati ya nambari na mabano haijaandikwa katika hisabati ili kupunguza ukubwa wa maingizo..
Mfano.
Panua mabano \(-2(-3x+5)\).
Suluhisho
: Kama katika mfano uliopita, \(-3x\) na \(5\) kwenye mabano yanazidishwa na \(-2\).
Inabakia kuzingatia hali ya mwisho.
Wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano, kila muhula wa mabano ya kwanza huzidishwa kwa kila muhula wa pili:
Mfano.
Panua mabano \((2-x)(3x-1)\).
Suluhisho
: Tuna bidhaa ya mabano na inaweza kupanuliwa mara moja kwa kutumia fomula iliyo hapo juu. Lakini ili si kuchanganyikiwa, hebu tufanye kila kitu hatua kwa hatua.
Hatua ya 1. Ondoa mabano ya kwanza na zidisha kila mwanachama kwa mabano ya pili:
Hatua ya 2. Panua bidhaa za mabano na kipengele kama ilivyoelezwa hapo juu:
- Mambo ya kwanza kwanza ...
Hatua ya 3. Sasa tunazidisha na kuwasilisha maneno sawa:
Sio lazima kuelezea mabadiliko yote kwa undani kama hii; unaweza kuzidisha mara moja. Lakini ikiwa unajifunza tu jinsi ya kufungua mabano, andika kwa undani, kutakuwa na nafasi ndogo ya kufanya makosa.
Kumbuka kwa sehemu nzima. Kwa kweli, huna haja ya kukumbuka sheria zote nne, unahitaji kukumbuka moja tu, hii: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata sheria \((a-b)=a-b\) . Na tukibadilisha minus moja, tunapata kanuni \(-(a-b)=-a+b\) . Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Mabano ndani ya mabano
Wakati mwingine katika mazoezi kuna matatizo na mabano yaliyowekwa ndani ya mabano mengine. Hapa kuna mfano wa kazi kama hiyo: kurahisisha usemi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Ili kutatua kwa mafanikio kazi zinazofanana, unahitaji:
- kuelewa kwa uangalifu kiota cha mabano - ambayo iko ndani yake;
— fungua mabano kwa mfuatano, kuanzia, kwa mfano, na ile ya ndani kabisa.
Ni muhimu wakati wa kufungua moja ya mabano usiguse sehemu nyingine ya usemi, kuandika tena kama ilivyo.
Wacha tuangalie kazi iliyoandikwa hapo juu kama mfano.
Mfano.
Fungua mabano na utoe masharti sawa \(7x+2(5-(3x+y))\).
Suluhisho:
Wacha tuanze kazi kwa kufungua bracket ya ndani (ile iliyo ndani). Kuipanua, tunashughulika tu na yale yanayohusiana nayo moja kwa moja - hii ni bracket yenyewe na minus mbele yake (iliyoangaziwa kwa kijani). Tunaandika upya kila kitu kingine (hakijaangaziwa) jinsi ilivyokuwa.
Kutatua matatizo ya hisabati mtandaoni
Kikokotoo cha mtandaoni.
Kurahisisha polynomial.
Kuzidisha polynomials.
Kwa kutumia hii programu ya hisabati unaweza kurahisisha polynomial.
Wakati programu inaendelea:
- huzidisha polynomials
- muhtasari wa monomia (hutoa zinazofanana)
- hufungua mabano
- inainua polynomial kwa nguvu
Programu ya kurahisisha polynomial haitoi tu jibu la shida, inatoa ufumbuzi wa kina kwa maelezo, i.e. huonyesha mchakato wa suluhisho ili uweze kuangalia ujuzi wako wa hisabati na/au aljebra.
Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au algebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo yako. ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri kidogo.
Nadharia kidogo.
Bidhaa ya monomial na polynomial. Dhana ya polynomial
Miongoni mwa misemo mbalimbali ambayo huzingatiwa katika algebra, jumla ya monomia huchukua nafasi muhimu. Hapa kuna mifano ya misemo kama hii:
Jumla ya monomia inaitwa polynomial. Masharti katika polynomial yanaitwa masharti ya polynomial. Monomia pia huainishwa kama polynomia, ikizingatiwa monomia kuwa polynomia inayojumuisha mshiriki mmoja.
Wacha tuwakilishe maneno yote katika mfumo wa monomials mtazamo wa kawaida:
Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana katika polynomial inayotokana:
Matokeo yake ni polynomial, masharti yote ambayo ni monomials ya fomu ya kawaida, na kati yao hakuna sawa. Polynomials vile huitwa polynomials ya fomu ya kawaida.
Nyuma shahada ya polynomial ya fomu ya kawaida huchukua mamlaka ya juu zaidi ya wanachama wake. Kwa hivyo, binomial ina digrii ya tatu, na trinomial ina ya pili.
Kwa kawaida, masharti ya polimanomia za fomu za kawaida zilizo na kigezo kimoja hupangwa kwa mpangilio wa kushuka wa vielelezo. Kwa mfano:
Jumla ya polima nyingi zinaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polinomia ya umbo la kawaida.
Wakati mwingine masharti ya polynomial yanahitaji kugawanywa katika vikundi, kuifunga kila kikundi kwenye mabano. Kwa kuwa kufunga mabano ni mabadiliko ya kinyume ya kufungua mabano, ni rahisi kuunda sheria za kufungua mabano:
Ikiwa ishara "+" imewekwa mbele ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara sawa.
Ikiwa ishara "-" imewekwa kabla ya mabano, basi maneno yaliyofungwa kwenye mabano yameandikwa kwa ishara tofauti.
Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya monomial na polynomial
Kwa kutumia mali ya usambazaji kuzidisha kunaweza kubadilishwa (kurahisishwa) kuwa polynomial, bidhaa ya monomial na polynomial. Kwa mfano:
Bidhaa ya monomial na polynomial ni sawa sawa na jumla ya bidhaa za monomia hii na kila moja ya masharti ya polynomial.
Matokeo haya kawaida hutengenezwa kama sheria.
Ili kuzidisha monomia kwa polynomial, lazima uzidishe monomia kwa kila masharti ya polynomial.
Tayari tumetumia sheria hii mara kadhaa kuzidisha kwa jumla.
Bidhaa za polynomials. Mabadiliko (kurahisisha) ya bidhaa ya polynomials mbili
Kwa ujumla, bidhaa ya polima mbili ni sawa sawa na jumla ya bidhaa ya kila neno la polynomia moja na kila neno la nyingine.
Kawaida sheria ifuatayo hutumiwa.
Ili kuzidisha polynomial kwa polynomial, unahitaji kuzidisha kila neno la polynomia moja kwa kila neno la nyingine na kuongeza bidhaa zinazotokana.
Fomula zilizofupishwa za kuzidisha. Jumla ya mraba, tofauti na tofauti za mraba
Na baadhi ya misemo katika mabadiliko ya algebra kuwa na kushughulika mara nyingi zaidi kuliko wengine. Labda maneno ya kawaida ni u, yaani mraba wa jumla, mraba wa tofauti na tofauti ya miraba. Uligundua kuwa majina ya misemo haya yanaonekana kutokamilika, kwa mfano, hii, bila shaka, sio tu mraba wa jumla, lakini mraba wa jumla ya a na b. Walakini, mraba wa jumla ya a na b haifanyiki mara nyingi sana; kama sheria, badala ya herufi a na b, ina misemo tofauti, wakati mwingine ngumu kabisa.
Maneno yanaweza kubadilishwa kwa urahisi (kurahisishwa) kuwa polynomia za fomu ya kawaida; kwa kweli, tayari umekutana na kazi kama hiyo wakati wa kuzidisha polynomia:
Ni muhimu kukumbuka vitambulisho vinavyotokana na kuitumia bila mahesabu ya kati. Miundo fupi ya maneno husaidia hii.
- mraba wa jumla sawa na jumla mraba na bidhaa mara mbili.
- mraba wa tofauti ni sawa na jumla ya mraba bila bidhaa mbili.
- tofauti ya mraba ni sawa na bidhaa ya tofauti na jumla.
Vitambulisho hivi vitatu huruhusu mtu kuchukua nafasi ya sehemu zake za mkono wa kushoto na za mkono wa kulia katika mabadiliko na kinyume chake - sehemu za mkono wa kulia na za kushoto. Jambo gumu zaidi ni kuona misemo inayolingana na kuelewa jinsi anuwai a na b hubadilishwa ndani yao. Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Vitabu (vitabu) Muhtasari wa Mitihani ya Jimbo la Umoja na vipimo vya OGE Michezo ya Mtandaoni, mafumbo Utendaji wa michoro kamusi ya orthografia Lugha ya Kirusi Kamusi ya misimu ya vijana Katalogi ya shule za Kirusi Katalogi ya taasisi za elimu ya sekondari ya Urusi Katalogi ya Vyuo Vikuu vya Urusi Orodha ya kazi Kutafuta GCD na LCM Kurahisisha polimanomia (kuzidisha polynomia) Kugawanya polynomial kwa polynomial na safu wima Kuhesabu. sehemu za nambari Kutatua matatizo yanayohusisha asilimia Nambari tata: Jumla, tofauti, bidhaa na sehemu ya Mfumo wa 2 milinganyo ya mstari na mbili vigezo Suluhisho mlinganyo wa quadratic Kupiga binomial na kuifanya quadratic trinomial Kutatua kukosekana kwa usawa Kutatua mifumo ya kukosekana kwa usawa Kupanga grafu kazi ya quadratic Kupanga grafu utendakazi wa mstari wa sehemu Kutatua hesabu na maendeleo ya kijiometri Kutatua trigonometric, kielelezo, milinganyo ya logarithmic Uhesabuji wa mipaka, derivative, tangent Integral, Suluhisho la Antiderivative pembetatu Mahesabu ya vitendo na vekta Mahesabu ya vitendo na mistari na ndege Eneo maumbo ya kijiometri Mzunguko wa maumbo ya kijiometri Kiasi miili ya kijiometri Sehemu ya uso ya mango ya kijiometri
Mjenzi wa Hali ya Trafiki
Hali ya hewa - habari - nyota
www.mathsolution.ru
Kupanua mabano
Tunaendelea kujifunza misingi ya algebra. Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kupanua mabano katika misemo. Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Ili kufungua mabano, unahitaji kukariri sheria mbili tu. Kwa mazoezi ya kawaida, unaweza kufungua mabano na macho imefungwa, na sheria hizo ambazo zilihitajika kukariri zinaweza kusahauliwa kwa usalama.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano
Fikiria usemi ufuatao:
Thamani ya usemi huu ni 2 . Hebu tufungue mabano katika usemi huu. Kupanua mabano maana yake ni kuyaondoa bila kuathiri maana ya usemi. Hiyo ni, baada ya kuondokana na mabano, thamani ya kujieleza 8+(−9+3) bado inapaswa kuwa sawa na mbili.
Sheria ya kwanza ya kufungua mabano ni kama ifuatavyo.
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Kwa hiyo, tunaona hilo katika usemi 8+(−9+3) Kuna ishara ya kuongeza mbele ya mabano. Nyongeza hii lazima iachwe pamoja na mabano. Kwa maneno mengine, mabano yatatoweka pamoja na nyongeza iliyosimama mbele yao. Na kile kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila mabadiliko:
8−9+3 . Usemi huu sawa 2 , kama usemi uliotangulia wenye mabano, ulikuwa sawa na 2 .
8+(−9+3) Na 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 3 + (−1 − 4)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitabaki bila kubadilika:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 + (−1)
KATIKA katika mfano huu kufungua mabano ikawa aina ya utendakazi wa kinyume wa kubadilisha kutoa na kuongeza. Ina maana gani?
Katika kujieleza 2−1 kutoa hutokea, lakini inaweza kubadilishwa na kuongeza. Kisha tunapata usemi 2+(−1) . Lakini ikiwa katika usemi 2+(−1) fungua mabano, unapata asili 2−1 .
Kwa hivyo, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inaweza kutumika kurahisisha misemo baada ya mabadiliko kadhaa. Hiyo ni, ondoa mabano na uifanye rahisi zaidi.
Kwa mfano, hebu turahisishe usemi 2a+a−5b+b .
Ili kurahisisha usemi huu, maneno sawa yanaweza kutolewa. Hebu tukumbuke kwamba ili kupunguza maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients ya maneno sawa na kuzidisha matokeo kwa sehemu ya barua ya kawaida:
Nimepata usemi 3a+(−4b). Hebu tuondoe mabano katika usemi huu. Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza kufungua mabano, ambayo ni kwamba, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya:
Hivyo kujieleza 2a+a−5b+b hurahisisha 3a−4b .
Baada ya kufungua mabano kadhaa, unaweza kukutana na wengine njiani. Tunatumia sheria sawa kwao kama zile za kwanza. Kwa mfano, wacha tupanue mabano katika usemi ufuatao:
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi hii, sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya pamoja inayotangulia mabano haya:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 6+(−3)+(−2)
Katika sehemu zote mbili ambapo kuna mabano, hutanguliwa na kuongeza. Hapa tena sheria ya kwanza ya kufungua mabano inatumika:
Wakati mwingine neno la kwanza kwenye mabano huandikwa bila ishara. Kwa mfano, katika usemi 1+(2+3−4) muhula wa kwanza kwenye mabano 2 imeandikwa bila ishara. Swali linatokea, ni ishara gani itaonekana mbele ya mbili baada ya mabano na pamoja na mbele ya mabano kuachwa? Jibu linaonyesha yenyewe - kutakuwa na pamoja mbele ya hizo mbili.
Kwa kweli, hata kuwa kwenye mabano kuna nyongeza mbele ya hizo mbili, lakini hatuoni kwa sababu haijaandikwa. Tayari tumesema kuwa nukuu kamili ya nambari chanya inaonekana kama +1, +2, +3. Lakini kulingana na jadi, pluses hazijaandikwa, ndiyo sababu tunaona nambari nzuri ambazo zinajulikana kwetu 1, 2, 3 .
Kwa hiyo, kupanua mabano katika usemi 1+(2+3−4) , kama kawaida, unahitaji kuacha mabano pamoja na ishara ya kuongeza mbele ya mabano haya, lakini andika neno la kwanza ambalo lilikuwa kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −5 + (2 − 3)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na nyongeza inayokuja kabla ya mabano haya. Lakini muhula wa kwanza, ambao tunaandika kwenye mabano na ishara ya kuongeza:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza (−5)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, lakini haijaandikwa kwa sababu hapakuwa na nambari nyingine au misemo kabla yake. Kazi yetu ni kuondoa mabano kwa kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, yaani, kuacha mabano pamoja na hii plus (hata ikiwa haionekani)
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza 2a + (−6a + b)
Kuna nyongeza mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa nyongeza hii imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
2a + (−6a + b) = 2a -6a + b
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Kuna sehemu mbili katika usemi huu ambapo unahitaji kupanua mabano. Katika sehemu zote mbili kuna plus kabla ya mabano, ambayo ina maana hii plus imeachwa pamoja na mabano. Kilichokuwa kwenye mabano kitaandikwa bila kubadilika:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a -2d
Sheria ya pili ya kufungua mabano
Sasa hebu tuangalie sheria ya pili ya kufungua mabano. Inatumika wakati kuna minus kabla ya mabano.
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake.
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi ufuatao
Tunaona kwamba kuna minus kabla ya mabano. Hii ina maana kwamba unahitaji kutumia kanuni ya pili ya upanuzi, yaani, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano haya. Katika kesi hii, maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano yatabadilisha ishara yao kuwa kinyume:
Tulipata usemi bila mabano 5+2+3 . Usemi huu ni sawa na 10, kama vile usemi wa awali wenye mabano ulikuwa sawa na 10.
Kwa hivyo, kati ya maneno 5−(−2−3) Na 5+2+3 unaweza kuweka ishara sawa, kwani ni sawa na thamani sawa:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Mfano 2. Panua mabano katika kujieleza 6 − (−2 − 5)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, tunaacha mabano pamoja na minus inayokuja kabla ya mabano haya. Katika kesi hii, tunaandika maneno ambayo yalikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Mfano 3. Panua mabano katika kujieleza 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, kwa hivyo tunatumia sheria ya pili ya kufungua mabano:
Mfano 4. Panua mabano katika kujieleza −(−3 + 4)
Mfano 5. Panua mabano katika kujieleza −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza +(−9−2) unahitaji kutumia sheria ya kwanza:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Mfano 6. Panua mabano katika kujieleza −(−a -1)
Mfano 7. Panua mabano katika kujieleza −(4a + 3)
Mfano 8. Panua mabano katika kujieleza a − (4b + 3) + 15
Mfano 9. Panua mabano katika kujieleza 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Kuna maeneo mawili ambapo unahitaji kufungua mabano. Katika kesi ya kwanza, unahitaji kutumia sheria ya kwanza ya kufungua mabano, na linapokuja suala la kujieleza −(3c+5) unahitaji kutumia sheria ya pili:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Mfano 10. Panua mabano katika kujieleza −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Kuna maeneo matatu ambapo unahitaji kufungua mabano. Kwanza unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, kisha ya kwanza, na ya pili tena:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Utaratibu wa kufungua mabano
Sheria za kufungua mabano ambazo tumechunguza sasa zinatokana na sheria ya ugawaji ya kuzidisha:
Kwa kweli kufungua mabano piga utaratibu wakati kizidishi cha kawaida kuzidishwa kwa kila neno kwenye mabano. Kama matokeo ya kuzidisha huku, mabano hupotea. Kwa mfano, tupanue mabano katika usemi 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Kwa hivyo, ikiwa unahitaji kuzidisha nambari kwa usemi kwenye mabano (au kuzidisha usemi kwenye mabano kwa nambari), unahitaji kusema. tufungue mabano.
Lakini sheria ya ugawaji ya kuzidisha inahusiana vipi na sheria za kufungua mabano ambazo tulichunguza hapo awali?
Ukweli ni kwamba kabla ya mabano yoyote kuna jambo la kawaida. Katika mfano 3×(4+5) jambo la kawaida ni 3 . Na katika mfano a(b+c) sababu ya kawaida ni kutofautiana a.
Ikiwa hakuna nambari au vigezo kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 au −1 , kulingana na ishara gani iko mbele ya mabano. Ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi jambo la kawaida ni 1 . Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi jambo la kawaida ni −1 .
Kwa mfano, hebu tupanue mabano katika usemi −(3b−1). Kuna ishara ya minus mbele ya mabano, kwa hivyo unahitaji kutumia sheria ya pili ya kufungua mabano, ambayo ni, kuacha mabano pamoja na ishara ya minus mbele ya mabano. Na andika usemi ambao ulikuwa kwenye mabano na ishara tofauti:
Tulipanua mabano kwa kutumia sheria ya kupanua mabano. Lakini mabano haya haya yanaweza kufunguliwa kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Ili kufanya hivyo, kwanza andika kabla ya mabano sababu ya kawaida 1, ambayo haikuandikwa:
Alama ya kutoa ambayo hapo awali ilisimama mbele ya mabano inarejelea kitengo hiki. Sasa unaweza kufungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha. Kwa kusudi hili sababu ya kawaida −1 unahitaji kuzidisha kwa kila neno katika mabano na kuongeza matokeo.
Kwa urahisi, tunabadilisha tofauti katika mabano na kiasi:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (-1) × (-1) = −3b + 1
Kama katika mara ya mwisho tulipata usemi −3b+1. Kila mtu atakubali kwamba wakati huu muda mwingi ulitumika kutatua mfano rahisi kama huu. Kwa hivyo, ni busara kutumia sheria zilizotengenezwa tayari za kufungua mabano, ambayo tulijadili katika somo hili:
Lakini hainaumiza kujua jinsi sheria hizi zinavyofanya kazi.
Katika somo hili tulijifunza jambo moja zaidi mabadiliko ya kufanana. Pamoja na kufungua mabano, kuweka jumla nje ya mabano na kuleta masharti sawa, unaweza kupanua kidogo aina mbalimbali za matatizo ya kutatuliwa. Kwa mfano:
Hapa unahitaji kufanya vitendo viwili - kwanza kufungua mabano, na kisha kuleta masharti sawa. Kwa hivyo, kwa utaratibu:
1) Fungua mabano:
2) Tunawasilisha maneno sawa:
Katika usemi unaosababisha −10b+(−1) unaweza kupanua mabano:
Mfano 2. Fungua mabano na uongeze maneno sawa katika usemi ufuatao:
1) Wacha tufungue mabano:
2) Wacha tuwasilishe istilahi zinazofanana. Wakati huu, ili kuokoa muda na nafasi, hatutaandika jinsi coefficients inavyozidishwa na sehemu ya barua ya kawaida.
Mfano 3. Rahisisha usemi 8m+3m na kupata thamani yake m=−4
1) Kwanza, wacha turahisishe usemi. Ili kurahisisha usemi 8m+3m, unaweza kuchukua sababu ya kawaida ndani yake m nje ya mabano:
2) Tafuta thamani ya usemi m(8+3) katika m=−4. Ili kufanya hivyo, katika usemi m(8+3) badala ya kutofautiana m badilisha nambari −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (-4) × 3 = −32 + (-12) = -44