Sasa tushughulikie kuzidisha na kugawanya.
Wacha tuseme tunahitaji kuzidisha +3 kwa -4. Jinsi ya kufanya hivyo?
Hebu fikiria kesi kama hiyo. Watu watatu wana deni na kila mmoja ana deni la $4. Jumla ya deni ni nini? Ili kuipata, unahitaji kuongeza deni zote tatu: dola 4 + dola 4 + dola 4 = dola 12. Tuliamua kuwa nyongeza ya nambari tatu 4 inaonyeshwa kama 3x4. Tangu katika kwa kesi hii tunazungumza juu ya deni, kuna ishara "-" kabla ya 4. Tunajua kwamba jumla ya deni ni $12, kwa hivyo tatizo letu sasa linakuwa 3x(-4)=-12.
Tutapata matokeo sawa ikiwa, kulingana na shida, kila mmoja wa watu wanne ana deni la $3. Kwa maneno mengine, (+4)x(-3)=-12. Na kwa kuwa mpangilio wa mambo haujalishi, tunapata (-4)x(+3)=-12 na (+4)x(-3)=-12.
Hebu tufanye muhtasari wa matokeo. Unapozidisha nambari moja chanya na nambari moja hasi, matokeo yatakuwa nambari hasi kila wakati. Thamani ya nambari ya jibu itakuwa sawa na katika kesi ya nambari chanya. Bidhaa (+4)x(+3)=+12. Uwepo wa ishara "-" huathiri tu ishara, lakini haiathiri thamani ya nambari.
Jinsi ya kuzidisha nambari mbili hasi?
Kwa bahati mbaya, ni vigumu sana kupata mfano unaofaa wa maisha halisi juu ya mada hii. Ni rahisi kufikiria deni la dola 3 au 4, lakini haiwezekani kabisa kufikiria -4 au -3 watu ambao waliingia kwenye deni.
Labda tutaenda kwa njia tofauti. Katika kuzidisha, wakati ishara ya moja ya sababu inabadilika, ishara ya bidhaa inabadilika. Ikiwa tutabadilisha ishara za mambo yote mawili, lazima tubadilike mara mbili alama ya kazi, kwanza kutoka chanya hadi hasi, na kisha kinyume chake, kutoka hasi hadi chanya, yaani, bidhaa itakuwa na ishara ya awali.
Kwa hivyo, ni mantiki kabisa, ingawa ni ya kushangaza kidogo, kwamba (-3) x (-4) = +12.
Nafasi ya ishara ikizidishwa inabadilika kama hii:
- nambari chanya x nambari chanya = nambari chanya;
- nambari hasi x nambari chanya = nambari hasi;
- nambari chanya x nambari hasi = nambari hasi;
- nambari hasi x nambari hasi = nambari chanya.
Kwa maneno mengine, kuzidisha nambari mbili na ishara zinazofanana, tunapata nambari chanya. Kuzidisha nambari mbili na ishara tofauti, tunapata nambari hasi.
Sheria hiyo hiyo ni kweli kwa kitendo kinyume na kuzidisha - kwa.
Unaweza kuthibitisha hili kwa urahisi kwa kuendesha shughuli za kuzidisha kinyume. Katika kila moja ya mifano hapo juu, ukizidisha mgawo kwa kigawanyaji, utapata mgao na uhakikishe kuwa ina ishara sawa, kwa mfano (-3)x(-4)=(+12).
Kwa kuwa majira ya baridi yanakuja, ni wakati wa kufikiri juu ya nini cha kubadilisha viatu vya farasi wako wa chuma, ili usiingie kwenye barafu na kujisikia ujasiri kwenye barafu. barabara za msimu wa baridi. Unaweza, kwa mfano, kununua matairi ya Yokohama kwenye tovuti: mvo.ru au wengine wengine, jambo kuu ni kwamba wao ni wa hali ya juu, unaweza kupata habari zaidi na bei kwenye tovuti ya Mvo.ru.
Katika makala hii tutashughulika nayo kuzidisha nambari kwa ishara tofauti. Hapa tutaunda kwanza sheria ya kuzidisha nambari chanya na hasi, kuhalalisha, na kisha fikiria matumizi ya sheria hii wakati wa kutatua mifano.
Urambazaji wa ukurasa.
Sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti
Kuzidisha nambari chanya na nambari hasi, na vile vile nambari hasi kwa nambari chanya, hufanywa kama ifuatavyo: kanuni ya kuzidisha nambari na ishara tofauti: kuzidisha nambari kwa ishara tofauti, unahitaji kuzidisha na kuweka ishara ya minus mbele ya bidhaa inayosababisha.
Wacha tuandike sheria hii kwa fomu ya barua. Kwa nambari yoyote chanya halisi a na nambari yoyote hasi halisi −b, usawa a·(−b)=−(|a|·|b|) , na pia kwa nambari hasi −a na nambari chanya b usawa (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti inalingana kikamilifu mali ya shughuli na nambari halisi. Hakika, kwa msingi wao ni rahisi kuonyesha kwamba kwa idadi halisi na chanya a na b mlolongo wa usawa wa fomu. a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, ambayo inathibitisha kuwa a·(−b) na a·b ni nambari zinazopingana, ambayo inamaanisha usawa a·(−b)=−(a·b) . Na kutoka humo hufuata uhalali wa kanuni ya kuzidisha inayohusika.
Ikumbukwe kwamba kanuni iliyoelezwa ya kuzidisha nambari na ishara tofauti ni halali kwa wote wawili nambari za kweli, kwa nambari za busara na nambari kamili. Hii inafuatia ukweli kwamba shughuli zilizo na nambari za busara na kamili zina sifa sawa na ambazo zilitumika katika uthibitisho hapo juu.
Ni wazi kwamba kuzidisha nambari na ishara tofauti kulingana na kanuni inayosababisha kunakuja kwa kuzidisha nambari chanya.
Inabakia tu kuzingatia mifano ya matumizi ya sheria ya kuzidisha iliyotenganishwa wakati wa kuzidisha nambari na ishara tofauti.
Mifano ya nambari za kuzidisha na ishara tofauti
Hebu tuangalie ufumbuzi kadhaa mifano ya kuzidisha nambari na ishara tofauti. Hebu tuanze na kesi rahisi, kuzingatia hatua za sheria badala ya magumu ya computational.
Mfano.
Zidisha nambari hasi −4 kwa nambari chanya 5.
Suluhisho.
Kulingana na sheria ya kuzidisha nambari na ishara tofauti, kwanza tunahitaji kuzidisha maadili kamili ya mambo ya asili. Moduli ya −4 ni 4, na moduli ya 5 ni 5, na kuzidisha nambari asilia 4 na 5 inatoa 20. Hatimaye, inabaki kuweka alama ya minus mbele ya nambari inayosababisha, tuna -20. Hii inakamilisha kuzidisha.
Kwa ufupi, suluhu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: (−4)·5=−(4·5)=−20.
Jibu:
(−4)·5=−20.
Wakati wa kuzidisha sehemu na ishara tofauti, unahitaji kuwa na uwezo wa kuzidisha sehemu za kawaida, kuzidisha nambari na mchanganyiko wao na asili na. nambari mchanganyiko.
Mfano.
Zidisha nambari kwa ishara tofauti 0, (2) na .
Suluhisho.
Kwa kubadilisha sehemu ya desimali mara kwa mara kuwa sehemu ya kawaida, na pia kwa kubadilisha kutoka nambari iliyochanganywa hadi sehemu isiyofaa, kutoka kwa bidhaa asili. 
tutakuja kwa bidhaa ya sehemu za kawaida na ishara tofauti za fomu. Bidhaa hii, kwa mujibu wa kanuni ya kuzidisha namba na ishara tofauti, ni sawa na. Kinachobaki ni kuzidisha sehemu za kawaida kwenye mabano, tunayo 
.
Nambari za sehemu za kawaida hukutana kwanza na watoto wa shule katika daraja la 5 na kuongozana nao katika maisha yao yote, kwani katika maisha ya kila siku mara nyingi ni muhimu kuzingatia au kutumia kitu sio kwa ujumla, lakini kwa vipande tofauti. Anza kusoma mada hii - inashiriki. Hisa ni sehemu sawa, ambayo hii au kitu hicho imegawanywa. Baada ya yote, si mara zote inawezekana kueleza, kwa mfano, urefu au bei ya bidhaa kwa jumla; sehemu au sehemu za kipimo fulani zinapaswa kuzingatiwa. Imeundwa kutoka kwa kitenzi "kugawanyika" - kugawanyika katika sehemu, na kuwa na mizizi ya Kiarabu, neno "sehemu" lenyewe liliibuka katika lugha ya Kirusi katika karne ya 8.
Maneno ya sehemu muda mrefu inachukuliwa kuwa tawi gumu zaidi la hisabati. Katika karne ya 17, vitabu vya kwanza vya hisabati vilipotokea, viliitwa “namba zilizovunjika,” jambo ambalo lilikuwa vigumu sana kwa watu kuelewa.
Mwonekano wa kisasa masalio rahisi ya sehemu, ambayo sehemu zake zimetenganishwa kwa usahihi mstari wa usawa, kwanza alichangia Fibonacci - Leonardo wa Pisa. Kazi zake ni za 1202. Lakini madhumuni ya kifungu hiki ni kuelezea kwa urahisi na wazi kwa msomaji jinsi sehemu zilizochanganywa zinavyozidishwa madhehebu tofauti.
Kuzidisha sehemu na madhehebu tofauti
Awali ni thamani ya kuamua aina za sehemu:
- sahihi;
- si sahihi;
- mchanganyiko.
Ifuatayo, unahitaji kukumbuka jinsi nambari za sehemu zinazidishwa madhehebu sawa. Utawala sana wa mchakato huu ni rahisi kuunda kwa kujitegemea: matokeo ya kuzidisha sehemu rahisi yenye madhehebu sawa ni usemi wa sehemu, nambari ambayo ni bidhaa ya nambari, na denominator ni bidhaa ya denominators ya sehemu hizi. Hiyo ni, kimsingi, dhehebu mpya kuna mraba wa mojawapo ya zile zilizopo awali.
Wakati wa kuzidisha sehemu rahisi na denominators tofauti kwa sababu mbili au zaidi sheria haibadilika:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Tofauti pekee ni hiyo nambari iliyoundwa chini ya mstari wa sehemu itakuwa bidhaa ya nambari tofauti na, kwa kawaida, mraba wa moja usemi wa nambari haiwezekani kuitaja.
Inafaa kuzingatia kuzidisha kwa sehemu na madhehebu tofauti kwa kutumia mifano:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Mifano hutumia njia za kupunguza misemo ya sehemu. Unaweza tu kupunguza nambari za nambari na nambari za denominator karibu na zingine thamani ya kuzidisha Huwezi kufupisha juu au chini ya mstari wa sehemu.
Pamoja na rahisi nambari za sehemu, kuna dhana ya sehemu mchanganyiko. Nambari iliyochanganywa ina nambari kamili na sehemu, ambayo ni jumla ya nambari hizi:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jinsi gani kuzidisha kazi?
Mifano kadhaa hutolewa kwa kuzingatia.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Mfano hutumia kuzidisha nambari kwa kawaida sehemu ya sehemu , sheria ya hatua hii inaweza kuandikwa kama:
a* b/c = a*b /c.
Kwa kweli, bidhaa kama hiyo ni jumla ya mabaki ya sehemu sawa, na idadi ya maneno inaonyesha hii nambari ya asili. Kesi maalum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Kuna suluhisho lingine la kuzidisha nambari kwa sehemu iliyobaki. Unahitaji tu kugawanya dhehebu kwa nambari hii:
d* e/f = e/f: d.
Mbinu hii ni muhimu kutumia wakati dhehebu imegawanywa na nambari asilia bila salio au, kama wanasema, na nambari nzima.
Badilisha nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa na upate bidhaa kwa njia iliyoelezewa hapo awali:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Mfano huu unahusisha njia ya kuwakilisha sehemu iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa, inaweza pia kuwakilishwa kama formula ya jumla:
a bc = a*b+ c/c, dhehebu iko wapi sehemu mpya huundwa kwa kuzidisha sehemu nzima na dhehebu na kuiongeza na nambari ya salio ya sehemu ya asili, na denominator inabaki sawa.
Utaratibu huu pia unafanya kazi ndani upande wa nyuma. Ili kutenganisha sehemu nzima na salio ya sehemu, unahitaji kugawanya nambari ya sehemu isiyofaa na denominator yake kwa kutumia "kona".
Kuzidisha sehemu zisizofaa zinazozalishwa kwa njia inayokubalika kwa ujumla. Wakati wa kuandika chini ya mstari wa sehemu moja, unahitaji kupunguza sehemu kama inahitajika ili kupunguza nambari kwa kutumia njia hii na iwe rahisi kuhesabu matokeo.
Kuna wasaidizi wengi kwenye mtandao ili kutatua matatizo magumu hata. matatizo ya hisabati katika tofauti za programu. Idadi ya kutosha ya huduma kama hizo hutoa msaada wao katika kuhesabu kuzidisha kwa sehemu na nambari tofauti katika madhehebu - kinachojulikana kama calculator za mtandaoni za kuhesabu sehemu. Wana uwezo wa sio tu kuzidisha, lakini pia kuzalisha wengine wote rahisi zaidi shughuli za hesabu na sehemu za kawaida na nambari zilizochanganywa. Ni rahisi kufanya kazi nayo; unajaza sehemu zinazofaa kwenye ukurasa wa tovuti na uchague ishara operesheni ya hisabati na bofya "hesabu". Mpango huo unahesabu moja kwa moja.
Somo shughuli za hesabu na nambari za sehemu ni muhimu katika elimu yote ya wanafunzi wa shule ya kati na ya upili. Katika shule ya sekondari, hawafikiri tena aina rahisi zaidi, lakini mzima maneno ya sehemu , lakini ujuzi wa sheria za mabadiliko na mahesabu yaliyopatikana mapema hutumiwa katika fomu yake ya awali. Kujifunza vizuri maarifa ya msingi kutoa imani kamili ndani uamuzi uliofanikiwa wengi kazi ngumu.
Kwa kumalizia, inaeleweka kunukuu maneno ya Lev Nikolaevich Tolstoy, ambaye aliandika: "Mwanadamu ni sehemu. Sio katika uwezo wa mtu kuongeza nambari yake - sifa zake - lakini mtu yeyote anaweza kupunguza denominator yake - maoni yake juu yake mwenyewe, na kwa kupungua huku kuja karibu na ukamilifu wake.
) na denominator kwa denominator (tunapata denominator ya bidhaa).
Mfumo wa kuzidisha sehemu:
Kwa mfano:
Kabla ya kuanza kuzidisha nambari na denomineta, unahitaji kuangalia ikiwa sehemu inaweza kupunguzwa. Ikiwa unaweza kupunguza sehemu, itakuwa rahisi kwako kufanya mahesabu zaidi.
Kugawanya sehemu ya kawaida kwa sehemu.
Kugawanya sehemu zinazojumuisha nambari asilia.
Sio ya kutisha kama inavyoonekana. Kama ilivyo kwa nyongeza, tunabadilisha nambari kamili kuwa sehemu na moja kwenye denominator. Kwa mfano:
Kuzidisha sehemu zilizochanganywa.
Sheria za kuzidisha sehemu (zilizochanganywa):
- kubadilisha sehemu zilizochanganywa kwa sehemu zisizofaa;
- kuzidisha nambari na madhehebu ya sehemu;
- kupunguza sehemu;
- Ikiwa unapata sehemu isiyofaa, basi tunabadilisha sehemu isiyofaa katika sehemu iliyochanganywa.
Kumbuka! Kuzidisha sehemu iliyochanganywa kwa sehemu nyingine iliyochanganywa, lazima kwanza uibadilishe kuwa fomu ya sehemu zisizofaa, na kisha uzizidishe kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu za kawaida.
Njia ya pili ya kuzidisha sehemu kwa nambari asilia.
Inaweza kuwa rahisi zaidi kutumia njia ya pili ya kuzidisha sehemu ya kawaida kwa nambari.
Kumbuka! Ili kuzidisha sehemu kwa nambari ya asili, lazima ugawanye denominator ya sehemu kwa nambari hii, na uache nambari bila kubadilika.
Kutoka kwa mfano uliotolewa hapo juu, ni wazi kwamba chaguo hili ni rahisi zaidi kutumia wakati denominator ya sehemu imegawanywa bila salio na nambari ya asili.
Sehemu za hadithi nyingi.
Katika shule ya upili, sehemu za hadithi tatu (au zaidi) mara nyingi hukutana. Mfano:
Ili kuleta sehemu kama hiyo kwa fomu yake ya kawaida, tumia mgawanyiko kupitia alama 2:
Kumbuka! Wakati wa kugawanya sehemu, utaratibu wa mgawanyiko ni muhimu sana. Kuwa mwangalifu, ni rahisi kuchanganyikiwa hapa.
Kumbuka, Kwa mfano:
Wakati wa kugawanya moja kwa sehemu yoyote, matokeo yatakuwa sehemu sawa, iliyogeuzwa tu:
Vidokezo vya vitendo vya kuzidisha na kugawanya sehemu:
1. Jambo muhimu zaidi wakati wa kufanya kazi na maneno ya sehemu ni usahihi na usikivu. Fanya mahesabu yote kwa uangalifu na kwa usahihi, kwa umakini na kwa uwazi. Ni bora kuandika mistari michache ya ziada katika rasimu yako kuliko kupotea katika hesabu za kiakili.
2. Katika kazi na aina tofauti sehemu - nenda kwa fomu ya sehemu za kawaida.
3. Tunapunguza sehemu zote mpaka haiwezekani tena kupunguza.
4. Tunabadilisha semi za sehemu za viwango vingi kuwa za kawaida kwa kutumia mgawanyiko kupitia alama 2.
5. Gawanya kitengo kwa sehemu katika kichwa chako, ukigeuza sehemu hiyo juu.