Maana ya kijiometri ya kazi ya kizuia derivative. Mifano ya kutatua matatizo

Kizuia derivative

Ufafanuzi kazi ya antiderivative

Kazi y=F(x) inaitwa antiderivative ya kazi y=f(x) kwa muda fulani X, ikiwa kwa kila mtu X ∈X usawa unashikilia: F’(x) = f(x)

Inaweza kusomwa kwa njia mbili:

f derivative ya kipengele cha kukokotoa F
F antiderivative ya kazi f

Mali ya antiderivatives

Kama F(x)- antiderivative ya kazi f(x) kwa muda fulani, basi chaguo la kukokotoa f(x) lina vizuia derivative nyingi sana, na vizuia derivative hizi zote zinaweza kuandikwa katika umbo. F(x) + C, ambapo C ni mara kwa mara kiholela.

Tafsiri ya kijiometri

Grafu za antiderivatives zote za kazi fulani f(x) zinapatikana kutoka kwa grafu ya kizuia derivative yoyote uhamisho sambamba kando ya mhimili wa O katika.

Sheria za kuhesabu antiderivatives

Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives. Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), na G(x) ni kizuia derivative cha g(x), Hiyo F(x) + G(x)- antiderivative kwa f(x) + g(x).
Kuzidisha mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), Na k- mara kwa mara, basi k·F(x)- antiderivative kwa k f(x).
Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), Na k, b- mara kwa mara, na k ≠ 0, Hiyo 1/k F(kx + b)- antiderivative kwa f(kx + b).

Kumbuka!

Kitendaji chochote F(x) = x 2 + C , ambapo C ni mara kwa mara kiholela, na tu kazi kama hiyo ni kinza derivative kwa kazi hiyo f(x) = 2x.

Kwa mfano:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, kwa sababu F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, kwa sababu F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Uhusiano kati ya grafu za chaguo za kukokotoa na kizuia derivative yake:

Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa f(x)>0 F(x) huongezeka kwa muda huu.
Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa f(x)<0 kwa muda, kisha grafu ya kizuia derivative yake F(x) hupungua kwa muda huu.
Kama f(x)=0, kisha grafu ya kizuia derivative yake F(x) katika hatua hii mabadiliko kutoka kuongezeka hadi kupungua (au kinyume chake).

Ili kuashiria antiderivative, ishara ya muunganisho usio na kipimo hutumiwa, yaani, muhimu bila kuonyesha mipaka ya ushirikiano.

Muhimu usio na kikomo

Ufafanuzi:

Kiunga kisicho na kikomo cha chaguo za kukokotoa f(x) ni usemi F(x) + C, yaani, seti ya vizuia derivatives zote za chaguo za kukokotoa f(x). Kiunga kisicho na kikomo kinaonyeshwa kama ifuatavyo: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- inayoitwa kazi ya integrand;
f(x) dx- inayoitwa integrand;
x- inayoitwa kutofautiana kwa ushirikiano;
F(x)- moja ya antiderivatives ya kazi f (x);
NA- mara kwa mara ya kiholela.

Sifa za kiunganishi kisicho na kikomo

Derivative ya kiunganishi kisichojulikana ni sawa na kiunganishi: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Sababu ya mara kwa mara ya integrand inaweza kuchukuliwa nje ya ishara muhimu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Muhimu wa jumla (tofauti) ya kazi ni sawa na jumla (tofauti) ya viambatanisho vya kazi hizi: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Kama k, b ni viunga, na k ≠ 0, basi \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Jedwali la vizuia derivatives na viunganishi visivyojulikana

Kazi f(x)	Kizuia derivative F(x) + C	Viunga visivyo na kikomo \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\nt 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\nt kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\sio =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \dhambi x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\dhambi x + C	\nt \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\dhambi (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \si= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\dhambi x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\dhambi x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Fomula ya Newton-Leibniz

Hebu f(x) kipengele hiki F kizuia derivative yake kiholela.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Wapi F(x)- antiderivative kwa f(x)

Hiyo ni, muhimu ya kazi f(x) kwa muda ni sawa na tofauti ya antiderivatives katika pointi b Na a.

Eneo la trapezoid iliyopotoka

Trapezoid ya Curvilinear ni kielelezo kilichofungwa na grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo si hasi na inayoendelea kwa muda f, Mhimili wa ng'ombe na mistari iliyonyooka x = a Na x = b.

Eneo la trapezoid iliyopinda hupatikana kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Uhesabuji wa eneo ni msingi wa nadharia ya eneo. Swali linatokea kwa kuipata wakati takwimu ina sura isiyo ya kawaida au ni muhimu kuamua kuhesabu kwa njia ya muhimu.

Nakala hii inazungumza juu ya kuhesabu eneo la trapezoid iliyopindika kwa maneno ya kijiometri. Hii inafanya uwezekano wa kutambua uhusiano kati ya kiunganishi na eneo la trapezoid ya curvilinear. Ikiwa kitendakazi f (x) kimetolewa, na kinaendelea kwa muda [ a ; b ] , ishara mbele ya usemi haibadiliki.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ufafanuzi 1

Kielelezo kilichoteuliwa kama G, kilichofungwa na mistari ya fomu y = f(x), y = 0, x = a na x = b, inaitwa. trapezoid iliyopinda. Inachukua jina S(G).

Hebu tuangalie takwimu hapa chini.

Ili kuhesabu trapezoid iliyopigwa, unahitaji kugawanya sehemu [a; b] kwa nambari n ya sehemu x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n yenye alama zilizofafanuliwa kwa a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Kuanzia hapa tunayo P ⊂ G ⊂ Q, na kwa kuongezeka kwa idadi ya sehemu za kizigeu n, tunapata usawa wa fomu S - s.< ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

Kutoka kwa usawa wa mwisho tunapata kwamba kiunganishi dhahiri cha fomu ∫ a b f (x) d x ni eneo la trapezoid ya curvilinear kwa utendaji fulani endelevu wa fomu y = f (x) . Hii ndio maana ya kijiometri ya kiunganishi dhahiri.

Wakati wa kuhesabu ∫ a b f (x) d x, tunapata eneo la takwimu inayotaka, ambayo imepunguzwa na mistari y = f (x), y = 0, x = a na x = b.

Maoni: Wakati kitendakazi y = f (x) si chanya kutoka kwa muda [ a ; b ], basi tunaona kuwa eneo la trapezoid ya curvilinear huhesabiwa kulingana na formula S (G) = - ∫ a b f (x) d x.

Mfano 1

Kuhesabu eneo la takwimu, ambayo ni mdogo kwa mistari iliyotolewa ya fomu y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3.

Suluhisho

Ili kutatua, ni muhimu kwanza kujenga takwimu kwenye ndege ambapo kuna mstari wa moja kwa moja y = 0, sanjari na O x, na mistari ya fomu x = - 2 na x = 3, sambamba na mhimili wa o y. , ambapo curve y = 2 e x 3 inajengwa kwa kutumia mabadiliko ya kijiometri ya grafu ya kazi y = e x. Wacha tujenge grafu.

Hii inaonyesha kuwa ni muhimu kupata eneo la trapezoid iliyopotoka. Kukumbuka maana ya kijiometri ya kiunganishi, tunaona kuwa eneo linalohitajika litaonyeshwa na kiunga fulani, ambacho kinapaswa kutatuliwa. Hii ina maana kwamba ni muhimu kutumia formula S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x. Kiunga hiki kisichojulikana kinakokotolewa kulingana na fomula ya Newton-Leibniz

S (G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3

Jibu: S (G) = 6 e - e - 2 3

Maoni: Ili kupata eneo la trapezoid iliyopotoka, si mara zote inawezekana kuunda takwimu. Kisha suluhisho hufanywa kama ifuatavyo. Kwa kuzingatia chaguo za kukokotoa f (x) ambazo si hasi au zisizo chanya kwenye muda [ a ; b ] , fomula ya fomu S G = ∫ a b f (x) d x au S G = - ∫ a b f (x) d x hutumiwa.

Mfano 2

Kuhesabu eneo lililofungwa na mistari ya fomu y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.

Suluhisho

Ili kuunda takwimu hii, tunaona kwamba y = 0 inafanana na O x, na x = - 2 na x = 4 ni sambamba na O y. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 ni kielelezo chenye viwianishi vya nukta (- 1 ; 3) vikiwa kipeo chake chenye matawi yanayoelekeza. juu. Ili kupata sehemu za makutano ya parabola na O x, unahitaji kuhesabu:

1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2, x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

Hii ina maana kwamba parabola huingilia oh katika pointi (4; 0) na (2; 0). Kutoka kwa hili tunapata kwamba takwimu iliyochaguliwa kama G itachukua fomu iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Takwimu hii sio trapezoid ya curvilinear, kwa sababu kazi ya fomu y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) hubadilisha ishara kwenye muda [- 2; 4 ] . Kielelezo G kinaweza kuwakilishwa kama muunganiko wa trapezoidi mbili za curvilinear G = G 1 ∪ G 2, kulingana na mali ya nyongeza ya eneo, tunayo S (G) = S (G 1) + S (G 2). Fikiria grafu hapa chini.

Sehemu [- 2; 4] inachukuliwa kuwa eneo lisilo hasi la parabola, basi kutokana na hili tunapata kwamba eneo hilo litakuwa na fomu S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Sehemu [- 2; 2 ] sio chanya kwa kazi ya fomu y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), ambayo ina maana, kulingana na maana ya kijiometri ya kiungo cha uhakika, tunapata kwamba S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x. Ni muhimu kufanya mahesabu kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz. Kisha kiunga cha uhakika kitachukua fomu:

S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

Ni vyema kutambua kwamba kutafuta eneo si sahihi kulingana na kanuni S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

Kwa kuwa nambari inayotokana ni hasi na inawakilisha tofauti S (G 2) - S (G 1).

Jibu: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9

Ikiwa takwimu zimepunguzwa na mistari ya fomu y = c, y = d, x = 0 na x = g (y), na kazi ni sawa na x = g (y), na inaendelea na ina ishara ya mara kwa mara. kwa muda [ c; d], basi huitwa tarpeziums ya curvilinear Fikiria katika takwimu hapa chini.

Ufafanuzi 2

∫ c d g (y) d y ni kwamba thamani yake ni eneo la trapezoid ya curvilinear kwa kazi inayoendelea na isiyo ya hasi ya fomu x = g (y) iko kwenye muda [ c ; d] .

Mfano 3

Kuhesabu takwimu, ambayo imepunguzwa na mhimili wa kuratibu na mistari x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4.

Suluhisho

Kupanga grafu ya x = 4 ln y y + 3 si rahisi. Kwa hiyo, ni muhimu kutatua bila kuchora. Kumbuka kuwa chaguo la kukokotoa limefafanuliwa kwa maadili yote chanya ya y. Wacha tuzingatie maadili ya kazi yanayopatikana kwa muda [ 1 ; 4 ] . Kutokana na sifa za utendakazi msingi tunajua kwamba kitendakazi cha logarithmic huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Kisha si sehemu [ 1 ; 4 ] sio hasi. Hii inamaanisha kuwa ln y ≥ 0. Usemi uliopo ln y y , unaofafanuliwa kwenye sehemu sawa, sio hasi. Tunaweza kuhitimisha kwamba kazi x = 4 ln y y + 3 ni chanya kwenye muda sawa na [1; 4 ] . Tunaona kwamba takwimu kwenye muda huu ni chanya. Kisha eneo lake linapaswa kuhesabiwa kwa kutumia formula S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .

Inahitajika kuhesabu kiunga kisicho na kipimo. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata antiderivative ya kazi x = 4 ln y y + 3 na kutumia formula ya Newton-Leibniz. Tunapata hilo

∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + 3 C 2 y ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9

Fikiria mchoro hapa chini.

Jibu: S (G) = 8 ln 2 2 + 9

Matokeo

Katika nakala hii, tuligundua maana ya kijiometri ya kiunga fulani na tukasoma uhusiano na eneo la trapezoid ya curvilinear. Inafuata kwamba tunayo fursa ya kuhesabu eneo la takwimu ngumu kwa kuhesabu kiunga cha trapezoid iliyopindika. Katika sehemu ya kutafuta maeneo na takwimu ambazo zimefungwa na mistari y = f (x), x = g (y), mifano hii inajadiliwa kwa kina.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Utendakazi wa antiderivative na kiunganishi kisichojulikana

Ukweli wa 1. Kuunganishwa ni kitendo cha kinyume cha utofautishaji, yaani, kurejesha kazi kutoka kwa derivative inayojulikana ya kazi hii. kazi hivyo kurejeshwa F(x) inaitwa kizuia derivative kwa kazi f(x).

Ufafanuzi 1. Kazi F(x f(x) kwa muda fulani X, ikiwa kwa maadili yote x kutoka kwa muda huu usawa unashikilia F "(x)=f(x), yaani, kazi hii f(x) ni derivative ya kazi ya kinza-derivative F(x). .

Kwa mfano, kazi F(x) = dhambi x ni antiderivative ya kazi f(x) = cos x kwenye mstari mzima wa nambari, kwani kwa thamani yoyote ya x (dhambi x)" = (cos x) .

Ufafanuzi 2. Muunganisho usio na kikomo wa chaguo za kukokotoa f(x) ni seti ya vizuia derivative zake zote. Katika kesi hii, nukuu hutumiwa

∫

f(x)dx

ishara iko wapi ∫ inayoitwa ishara muhimu, kazi f(x) - kazi ya integrand, na f(x)dx - usemi kamili.

Kwa hivyo, ikiwa F(x) - kizuia derivative fulani kwa f(x), Hiyo

∫

f(x)dx = F(x) +C

Wapi C - mara kwa mara ya kiholela (mara kwa mara).

Ili kuelewa maana ya seti ya vizuia derivatives ya kazi kama kiungo kisichojulikana, mlinganisho ufuatao unafaa. Hebu kuwe na mlango (mlango wa jadi wa mbao). Kazi yake ni "kuwa mlango." Mlango umetengenezwa na nini? Imetengenezwa kwa mbao. Hii ina maana kwamba seti ya antiderivatives ya integrand ya kazi "kuwa mlango", yaani, muhimu yake kwa muda usiojulikana, ni kazi "kuwa mti + C", ambapo C ni mara kwa mara, ambayo katika muktadha huu inaweza. taja, kwa mfano, aina ya mti. Kama vile mlango unavyotengenezwa kwa mbao kwa kutumia zana fulani, kitokaji cha kitendakazi "hutengenezwa" kutokana na kitendakazi kizuia derivative kutumia. fomula tulizojifunza tulipokuwa tukichunguza derivative.

Halafu jedwali la kazi za vitu vya kawaida na vizuia derivatives zinazolingana ("kuwa mlango" - "kuwa mti", "kuwa kijiko" - "kuwa chuma", nk) ni sawa na jedwali la msingi. viungo visivyo na ukomo, ambavyo vitapewa hapa chini. Jedwali la viunganishi visivyojulikana huorodhesha kazi za kawaida na dalili ya antiderivatives ambayo kazi hizi "zimefanywa". Katika sehemu ya matatizo ya kupata uunganisho usio na kipimo, viunganishi vinatolewa ambavyo vinaweza kuunganishwa moja kwa moja bila jitihada nyingi, yaani, kwa kutumia meza ya viunganisho vya muda usiojulikana. Katika matatizo magumu zaidi, kiunganishi lazima kwanza kibadilishwe ili viambatanisho vya meza viweze kutumika.

Ukweli wa 2. Wakati wa kurejesha kazi kama kizuia derivative, ni lazima tuzingatie hali isiyobadilika ya kiholela (mara kwa mara) C, na ili usiandike orodha ya vizuia derivatives na vidhibiti anuwai kutoka 1 hadi infinity, unahitaji kuandika seti ya antiderivatives na mara kwa mara ya kiholela. C, kwa mfano, kama hii: 5 x³+C. Kwa hivyo, mara kwa mara ya kiholela (mara kwa mara) imejumuishwa katika usemi wa antiderivative, kwani antiderivative inaweza kuwa kazi, kwa mfano, 5. x³+4 au 5 x³+3 na inapotofautishwa, 4 au 3, au nyingine yoyote isiyobadilika huenda hadi sifuri.

Hebu tufanye tatizo la ushirikiano: kwa kazi hii f(x) pata kitendaji kama hicho F(x), ambayo derivative sawa na f(x).

Mfano 1. Pata seti ya vizuia derivative vya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Kwa kazi hii, antiderivative ni kazi

Kazi F(x) inaitwa kizuia derivative kwa kitendakazi f(x), ikiwa ni derivative F(x) ni sawa na f(x), au, ambayo ni kitu kimoja, tofauti F(x) ni sawa f(x) dx, i.e.

(2)

Kwa hiyo, kazi ni antiderivative ya kazi. Walakini, sio kizuia derivative pekee kwa . Pia hutumika kama kazi

Wapi NA- mara kwa mara kiholela. Hii inaweza kuthibitishwa kwa kutofautisha.

Kwa hivyo, ikiwa kuna antiderivative moja kwa kazi, basi kwa ajili yake kuna idadi isiyo na kipimo ya antiderivatives ambayo hutofautiana kwa muda wa mara kwa mara. Antiderivatives zote za chaguo za kukokotoa zimeandikwa katika fomu iliyo hapo juu. Hii inafuatia kutoka kwa nadharia ifuatayo.

Nadharia (taarifa rasmi ya ukweli 2). Kama F(x) - kizuia derivative kwa kazi f(x) kwa muda fulani X, kisha kizuia derivative nyingine yoyote kwa f(x) kwa muda sawa inaweza kuwakilishwa katika fomu F(x) + C, Wapi NA- mara kwa mara kiholela.

Katika mfano unaofuata, tunageuka kwenye jedwali la viunga, ambalo litatolewa katika aya ya 3, baada ya mali ya muunganisho usio na kipimo. Tunafanya hivyo kabla ya kusoma meza nzima ili kiini cha hapo juu kiwe wazi. Na baada ya meza na mali, tutatumia kwa ukamilifu wakati wa kuunganishwa.

Mfano 2. Pata seti za vitendakazi vya antiderivative:

Suluhisho. Tunapata seti za kazi za antiderivative ambazo kazi hizi "hufanywa". Wakati wa kutaja fomula kutoka kwa jedwali la viambatanisho, kwa sasa ukubali tu kwamba kuna fomula kama hizo hapo, na tutasoma jedwali la viambatisho visivyo na kikomo yenyewe zaidi.

1) Kutumia fomula (7) kutoka kwa jedwali la viambatanisho vya n= 3, tunapata

2) Kwa kutumia fomula (10) kutoka kwa jedwali la viambatanisho vya n= 1/3, tunayo

3) Tangu

basi kulingana na formula (7) na n= -1/4 tunapata

Sio kazi yenyewe iliyoandikwa chini ya ishara muhimu. f, na bidhaa zake kwa tofauti dx. Hii inafanywa kimsingi ili kuonyesha ni kigeu gani kizuia derivative kinatafutwa. Kwa mfano,

, ;

hapa katika visa vyote viwili integrand ni sawa na , lakini viambajengo vyake visivyo na kikomo katika visa vinavyozingatiwa vinageuka kuwa tofauti. Katika kesi ya kwanza, kazi hii inachukuliwa kama kazi ya kutofautiana x, na katika pili - kama kazi ya z .

Mchakato wa kupata kiunganishi kisicho na kikomo cha chaguo za kukokotoa huitwa kuunganisha chaguo la kukokotoa.

Maana ya kijiometri ya kiunganishi kisichojulikana

Tuseme tunahitaji kupata curve y=F(x) na tayari tunajua kwamba tangent ya pembe ya tangent katika kila pointi zake ni kazi iliyotolewa f(x) abscissa ya hatua hii.

Kulingana na maana ya kijiometri ya derivative, tanjenti ya pembe ya mwelekeo wa tanjiti katika sehemu fulani ya mkunjo. y=F(x) sawa na thamani ya derivative F"(x). Kwa hivyo tunahitaji kupata kazi kama hiyo F(x), kwa ajili yake F"(x)=f(x). Kazi inayohitajika katika kazi F(x) ni antiderivative ya f(x). Masharti ya shida hayatidhiki na curve moja, lakini na familia ya curves. y=F(x)- moja ya curve hizi, na curve nyingine yoyote inaweza kupatikana kutoka kwayo kwa tafsiri sambamba kwenye mhimili Oy.

Wacha tuite grafu ya kazi ya antiderivative ya f(x) curve muhimu. Kama F"(x)=f(x), kisha grafu ya chaguo la kukokotoa y=F(x) kuna curve muhimu.

Ukweli wa 3. Kiunga kisichojulikana kinawakilishwa kijiometri na familia ya mikunjo yote muhimu. , kama kwenye picha hapa chini. Umbali wa kila curve kutoka kwa asili ya kuratibu imedhamiriwa na ujumuishaji wa kiholela C.

Sifa za kiunganishi kisicho na kikomo

Ukweli wa 4. Nadharia 1. Derivative ya kiungo kisichojulikana ni sawa na integrand, na tofauti yake ni sawa na integrand.

Ukweli wa 5. Nadharia 2. Muunganisho usio na kikomo wa tofauti za chaguo za kukokotoa f(x) ni sawa na chaguo la kukokotoa f(x) hadi muda usiobadilika , i.e.

(3)

Nadharia za 1 na 2 zinaonyesha kuwa upambanuzi na ujumuishaji ni utendakazi kinyume.

Ukweli wa 6. Nadharia 3. Sababu ya mara kwa mara katika muunganisho inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya muunganisho usiojulikana. , i.e.

Somo hili ni la kwanza katika mfululizo wa video kuhusu ujumuishaji. Ndani yake tutachambua kizuia derivative ya kazi ni nini, na pia tutasoma njia za kimsingi za kuhesabu antiderivatives hizi.

Kwa kweli, hakuna chochote ngumu hapa: kimsingi yote inakuja kwa wazo la derivative, ambalo unapaswa kuwa tayari kulifahamu :)

Mara moja nitagundua kuwa kwa kuwa hili ni somo la kwanza kabisa katika mada yetu mpya, leo hakutakuwa na mahesabu na fomula ngumu, lakini kile tutachojifunza leo kitakuwa msingi wa mahesabu ngumu zaidi na ujenzi wakati wa kuhesabu viunga na maeneo magumu. .

Kwa kuongezea, tunapoanza kusoma ujumuishaji na viambatanisho haswa, tunadhania kabisa kwamba mwanafunzi tayari angalau anafahamu dhana za derivatives na ana ujuzi wa kimsingi katika kuzihesabu. Bila ufahamu wazi wa hili, hakuna chochote cha kufanya katika ushirikiano.

Hata hivyo, hapa kuna moja ya matatizo ya kawaida na ya siri. Ukweli ni kwamba, wakati wa kuanza kuhesabu antiderivatives zao za kwanza, wanafunzi wengi huwachanganya na derivatives. Matokeo yake, makosa ya kijinga na ya kukera yanafanywa wakati wa mitihani na kazi ya kujitegemea.

Kwa hivyo, sasa sitatoa ufafanuzi wazi wa antiderivative. Kwa kurudi, napendekeza uone jinsi inavyohesabiwa kwa kutumia mfano rahisi wa saruji.

Antiderivative ni nini na inahesabiwaje?

Tunajua formula hii:

\[((\kushoto(((x)^(n))) \kulia))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Derivative hii imehesabiwa kwa urahisi:

\[(f)"\kushoto(x \kulia)=((\kushoto(((x)^(3)) \kulia))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Wacha tuangalie kwa uangalifu usemi unaosababishwa na tueleze $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3))) \kulia))^(\prime ))))(3)\]

Lakini tunaweza kuiandika kwa njia hii, kulingana na ufafanuzi wa derivative:

\[((x)^(2))=((\kushoto(\frac(((x)^(3))))(3) \kulia))^(\prime))\]

Na sasa tahadhari: kile tulichoandika tu ni ufafanuzi wa antiderivative. Lakini ili kuiandika kwa usahihi, unahitaji kuandika yafuatayo:

Wacha tuandike usemi ufuatao kwa njia ile ile:

Ikiwa tutarekebisha sheria hii kwa jumla, tunaweza kupata fomula ifuatayo:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sasa tunaweza kuunda ufafanuzi wazi.

Kipinga derivative ya chaguo za kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo kinyambulisho chake ni sawa na kitendakazi asilia.

Maswali kuhusu kazi ya antiderivative

Inaweza kuonekana kuwa ufafanuzi rahisi na unaoeleweka. Walakini, baada ya kuisikia, mwanafunzi anayesikiliza atakuwa na maswali kadhaa mara moja:

Wacha tuseme, sawa, fomula hii ni sahihi. Hata hivyo, katika kesi hii, na $ n = 1 $, tuna matatizo: "zero" inaonekana katika denominator, na hatuwezi kugawanya na "sifuri".
Fomula imezuiwa kwa digrii pekee. Jinsi ya kuhesabu antiderivative, kwa mfano, ya sine, cosine na trigonometry nyingine yoyote, pamoja na constants.
Swali linalowezekana: inawezekana kila wakati kupata kizuia derivative? Ikiwa ndio, basi vipi kuhusu kizuia derivative ya jumla, tofauti, bidhaa, nk?

Nitajibu swali la mwisho mara moja. Kwa bahati mbaya, antiderivative, tofauti na derivative, si mara zote kuchukuliwa. Hakuna formula ya ulimwengu wote ambayo kutoka kwa ujenzi wowote wa awali tutapata kazi ambayo itakuwa sawa na ujenzi huu sawa. Kuhusu nguvu na mara kwa mara, tutazungumza juu yake sasa.

Kutatua matatizo na kazi za nguvu

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1))))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kama unavyoona, fomula hii ya $((x)^(-1))$ haifanyi kazi. Swali linatokea: ni nini kinachofanya kazi basi? Je, hatuwezi kuhesabu $((x)^(-1))$? Bila shaka tunaweza. Hebu tukumbuke hili kwanza:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sasa hebu tufikirie: derivative ya ambayo chaguo la kukokotoa ni sawa na $\frac(1)(x)$. Ni wazi, mwanafunzi yeyote ambaye amesoma mada hii angalau kidogo atakumbuka kuwa usemi huu ni sawa na derivative ya logarithm asili:

\[((\kushoto(\ln x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Kwa hivyo, tunaweza kuandika yafuatayo kwa ujasiri:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\kwa \ln x\]

Unahitaji kujua fomula hii, kama tu derivative ya chaguo za kukokotoa nguvu.

Kwa hivyo kile tunachojua hadi sasa:

Kwa kitendakazi cha nguvu - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)$
Kwa mara kwa mara - $=const\to \cdot x$
Kesi maalum ya chaguo za kukokotoa nishati ni $\frac(1)(x)\to \ln x$

Na ikiwa tutaanza kuzidisha na kugawanya kazi rahisi zaidi, tunawezaje kuhesabu antiderivative ya bidhaa au mgawo. Kwa bahati mbaya, mlinganisho na derivative ya bidhaa au quotient haifanyi kazi hapa. Hakuna fomula ya kawaida. Kwa visa vingine, kuna fomula maalum za hila - tutafahamiana nazo katika masomo ya video yajayo.

Walakini, kumbuka: hakuna fomula ya jumla inayofanana na fomula ya kuhesabu derivative ya mgawo na bidhaa.

Kutatua matatizo ya kweli

Kazi nambari 1

Wacha tuhesabu kila moja ya kazi za nguvu kando:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]

Kurudi kwa usemi wetu, tunaandika muundo wa jumla:

Tatizo namba 2

Kama nilivyosema tayari, prototypes za kazi na maelezo "kwa uhakika" hazizingatiwi. Walakini, hapa unaweza kufanya yafuatayo:

Tuligawanya sehemu hiyo kwa jumla ya sehemu mbili.

Wacha tufanye hesabu:

Habari njema ni kwamba kujua fomula za kuhesabu antiderivatives, unaweza tayari kuhesabu miundo ngumu zaidi. Hata hivyo, wacha tuende mbali zaidi na kupanua ujuzi wetu zaidi kidogo. Ukweli ni kwamba miundo na misemo mingi, ambayo, kwa mtazamo wa kwanza, haina uhusiano wowote na $((x)^(n))$, inaweza kuwakilishwa kama nguvu iliyo na kielezi cha busara, yaani:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n))))=((x)^(-n))\]

Mbinu hizi zote zinaweza na zinapaswa kuunganishwa. Maneno ya nguvu yanaweza kuwa

kuzidisha (kuongeza digrii);
kugawanya (digrii zinatolewa);
kuzidisha kwa mara kwa mara;
na kadhalika.

Kutatua vielezi vya nguvu kwa kutumia kipeo cha busara

Mfano #1

Wacha tuhesabu kila mzizi kando:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Kwa jumla, muundo wetu wote unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Mfano Nambari 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \kulia))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \kulia))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Kwa hivyo tunapata:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Kwa jumla, kukusanya kila kitu kwa usemi mmoja, tunaweza kuandika:

Mfano Nambari 3

Kuanza, tunaona kuwa tayari tumehesabu $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4)))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Hebu tuandike upya:

Natumai sitamshangaza mtu yeyote nikisema kwamba kile ambacho tumesoma hivi punde ni mahesabu rahisi tu ya antiderivatives, ujenzi wa kimsingi zaidi. Wacha sasa tuangalie mifano ngumu zaidi, ambayo, pamoja na antiderivatives za jedwali, utahitaji pia kukumbuka mtaala wa shule, ambayo ni, fomula zilizofupishwa za kuzidisha.

Kutatua mifano ngumu zaidi

Kazi nambari 1

Wacha tukumbuke fomula ya tofauti ya mraba:

\[((\kushoto(a-b \kulia))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Wacha tuandike tena kazi yetu:

Sasa tunapaswa kupata mfano wa kazi kama hii:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\kwa \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Wacha tuweke kila kitu pamoja katika muundo wa kawaida:

Tatizo namba 2

Katika kesi hii, tunahitaji kupanua mchemraba tofauti. Hebu tukumbuke:

\[((\ kushoto(a-b \kulia))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Kwa kuzingatia ukweli huu, tunaweza kuandika kama hii:

Wacha tubadilishe utendaji wetu kidogo:

Tunahesabu kama kawaida - kwa kila muhula kando:

\[((x)^(-3))\kwa \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\kwa \frac(((x)^(-1))))(-1)\]

\[((x)^(-1))\kwa \ln x\]

Wacha tuandike muundo unaosababisha:

Tatizo namba 3

Hapo juu tunayo mraba wa jumla, wacha tuipanue:

\[\frac((\left(x+\sqrt(x)) \kulia))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kushoto(\sqrt(x)\kulia))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))))(3)\]

Wacha tuandike suluhisho la mwisho:

Sasa tahadhari! Jambo muhimu sana, ambalo linahusishwa na sehemu ya simba ya makosa na kutokuelewana. Ukweli ni kwamba hadi sasa, kuhesabu antiderivatives kwa msaada wa derivatives na kuleta mabadiliko, hatukufikiri juu ya nini derivative ya mara kwa mara ni sawa. Lakini derivative ya mara kwa mara ni sawa na "sifuri". Hii ina maana kwamba unaweza kuandika chaguzi zifuatazo:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+C$

Hii ni muhimu sana kuelewa: ikiwa derivative ya kazi daima ni sawa, basi kazi sawa ina idadi isiyo na kipimo ya antiderivatives. Tunaweza tu kuongeza nambari zozote zisizobadilika kwa vizuia derivatives zetu na kupata mpya.

Sio bahati mbaya kwamba katika maelezo ya shida ambazo tumetatua hivi punde, iliandikwa "Andika aina ya jumla ya vizuia derivatives." Wale. Tayari imechukuliwa mapema kuwa hakuna hata mmoja wao, lakini umati mzima. Lakini, kwa kweli, hutofautiana tu katika $C $ mara kwa mara mwishoni. Kwa hivyo, katika kazi zetu tutasahihisha kile ambacho hatukukamilisha.

Kwa mara nyingine tena tunaandika upya miundo yetu:

Katika hali kama hizi, unapaswa kuongeza kuwa $C$ ni mara kwa mara - $C=const$.

Katika kazi yetu ya pili tunapata ujenzi ufuatao:

Na ya mwisho:

Na sasa tulipata kile kilichohitajika kwetu katika hali ya asili ya shida.

Kutatua matatizo ya kupata antiderivatives na uhakika fulani

Sasa kwa kuwa tunajua juu ya viboreshaji na upekee wa uandishi wa antiderivatives, ni sawa kabisa kwamba aina inayofuata ya shida inatokea wakati, kutoka kwa seti ya dawa zote, inahitajika kupata moja na pekee ambayo inaweza kupita kwa uhakika fulani. . Kazi hii ni nini?

Ukweli ni kwamba antiderivatives zote za kazi fulani hutofautiana tu kwa kuwa zinahamishwa kwa wima na nambari fulani. Na hii inamaanisha kuwa haijalishi ni hatua gani kwenye ndege ya kuratibu tunayochukua, antiderivative moja hakika itapita, na, zaidi ya hayo, moja tu.

Kwa hivyo, shida ambazo tutasuluhisha sasa zimeundwa kama ifuatavyo: sio tu kupata kizuia derivative, kujua fomula ya kazi ya asili, lakini chagua ile ambayo hupitia hatua uliyopewa, kuratibu ambazo zitapewa shida. kauli.

Mfano #1

Kwanza, hebu tuhesabu kila neno:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5))))(5)\]

\[((x)^(3))\kwa \frac(((x)^(4))))(4)\]

Sasa tunabadilisha misemo hii katika muundo wetu:

Chaguo hili la kukokotoa lazima lipitie hatua $M\left(-1;4 \kulia)$. Inamaanisha nini kwamba inapita kwa uhakika? Hii ina maana kwamba ikiwa badala ya $x$ tutaweka $-1$ kila mahali, na badala ya $F\left(x \kulia)$ - $-4$, basi tunapaswa kupata usawa sahihi wa nambari. Hebu tufanye hivi:

Tunaona kuwa tunayo mlinganyo wa $C$, kwa hivyo wacha tujaribu kuitatua:

Wacha tuandike suluhisho ambalo tulikuwa tunatafuta:

Mfano Nambari 2

Kwanza kabisa, ni muhimu kufunua mraba wa tofauti kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]

Ujenzi wa asili utaandikwa kama ifuatavyo:

Sasa wacha tupate $C$: badala ya kuratibu za uhakika $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Tunatoa $C$:

Inabakia kuonyesha usemi wa mwisho:

Kutatua matatizo ya trigonometric

Kama mguso wa mwisho kwa yale ambayo tumezungumza hivi punde, ninapendekeza kuzingatia shida mbili ngumu zaidi ambazo zinahusisha trigonometry. Ndani yao, kwa njia ile ile, utahitaji kupata antiderivatives kwa kazi zote, kisha chagua kutoka kwa seti hii pekee ambayo hupitia hatua ya $ M$ kwenye ndege ya kuratibu.

Kuangalia mbele, ningependa kutambua kwamba mbinu ambayo tutatumia sasa kupata antiderivatives ya kazi za trigonometric ni, kwa kweli, mbinu ya jumla ya kujijaribu.

Kazi nambari 1

Wacha tukumbuke formula ifuatayo:

\[((\left(\text(tg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Kulingana na hili, tunaweza kuandika:

Wacha tubadilishe kuratibu za point $M$ kwenye usemi wetu:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Hebu tuandike upya usemi huo kwa kuzingatia ukweli huu:

Tatizo namba 2

Hii itakuwa ngumu zaidi kidogo. Sasa utaona kwa nini.

Wacha tukumbuke formula hii:

\[((\ kushoto(\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ili kuondoa "minus", unahitaji kufanya yafuatayo:

\[((\kushoto(-\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Hapa kuna muundo wetu

Wacha tubadilishe kuratibu za uhakika $M$:

Kwa jumla, tunaandika ujenzi wa mwisho:

Hiyo ndiyo yote nilitaka kukuambia kuhusu leo. Tulisoma neno la antiderivatives, jinsi ya kuzihesabu kutoka kwa kazi za kimsingi, na pia jinsi ya kupata kizuia derivative kinachopitia sehemu fulani kwenye ndege ya kuratibu.

Natumai somo hili litakusaidia kuelewa mada hii ngumu angalau kidogo. Kwa hali yoyote, ni juu ya antiderivatives kwamba integrals usio na ukomo na usiojulikana hujengwa, kwa hiyo ni muhimu kabisa kuhesabu. Hiyo yote ni kwangu. Tuonane tena!