Kozi ya video ya "Pata A" inajumuisha mada zote unazohitaji kukamilika kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati kwa alama 60-65. Kabisa matatizo yote 1-13 Uchunguzi wa Jimbo Umoja wa Wasifu hisabati. Inafaa pia kwa kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja wa Msingi katika hisabati. Ikiwa unataka kupitisha Mtihani wa Jimbo la Umoja na pointi 90-100, unahitaji kutatua sehemu ya 1 kwa dakika 30 na bila makosa!
Kozi ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa darasa la 10-11, na pia kwa walimu. Kila kitu unachohitaji kutatua Sehemu ya 1 ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati (matatizo 12 ya kwanza) na Tatizo la 13 (trigonometry). Na hii ni zaidi ya alama 70 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja, na hakuna mwanafunzi wa alama 100 au mwanafunzi wa kibinadamu anayeweza kufanya bila wao.
Wote nadharia muhimu. Njia za haraka suluhisho, mitego na siri za Mtihani wa Jimbo la Umoja. Majukumu yote ya sasa ya sehemu ya 1 kutoka kwa Benki ya Kazi ya FIPI yamechanganuliwa. Kozi hiyo inatii kikamilifu mahitaji ya Mtihani wa Jimbo la Umoja wa 2018.
Kozi hiyo ina 5 mada kubwa, saa 2.5 kila moja. Kila mada inatolewa kutoka mwanzo, kwa urahisi na kwa uwazi.
Mamia ya majukumu ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa. Matatizo ya maneno na nadharia ya uwezekano. Rahisi na rahisi kukumbuka algoriti za kutatua matatizo. Jiometri. Nadharia, nyenzo za kumbukumbu, uchambuzi wa aina zote za kazi za Mitihani ya Jimbo Moja. Stereometry. Suluhisho za hila, shuka muhimu za kudanganya, ukuzaji mawazo ya anga. Trigonometry kutoka mwanzo hadi tatizo 13. Kuelewa badala ya kubana. Maelezo ya kuona dhana tata. Aljebra. Mizizi, nguvu na logarithms, kazi na derivative. Msingi wa suluhisho kazi ngumu Sehemu 2 za Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa.
Ukifuata ufafanuzi, basi derivative ya kazi katika hatua ni kikomo cha uwiano wa ongezeko la chaguo la kukokotoa Δ. y kwa ongezeko la hoja Δ x:
Kila kitu kinaonekana kuwa wazi. Lakini jaribu kutumia fomula hii kuhesabu, tuseme, derivative ya chaguo la kukokotoa f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dhambi x. Ikiwa unafanya kila kitu kwa ufafanuzi, basi baada ya kurasa kadhaa za mahesabu utalala tu. Kwa hiyo, kuna njia rahisi na za ufanisi zaidi.
Kuanza, tunaona kuwa kutoka kwa anuwai ya kazi tunaweza kutofautisha kinachojulikana kama kazi za kimsingi. Ni jamaa maneno rahisi, derivatives ambayo kwa muda mrefu imehesabiwa na kuorodheshwa kwenye meza. Kazi kama hizo ni rahisi kukumbuka - pamoja na derivatives zao.
Derivatives ya kazi za msingi
Vipengele vya msingi ni vyote vilivyoorodheshwa hapa chini. Derivatives ya kazi hizi lazima ijulikane kwa moyo. Kwa kuongezea, sio ngumu kuzikariri - ndiyo sababu ni za msingi.
Kwa hivyo, derivatives kazi za msingi:
| Jina | Kazi | Derivative |
| Mara kwa mara | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ndio, sifuri!) |
| Nguvu yenye kipeo cha busara | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = dhambi x | cos x |
| Cosine | f(x) = cos x | −dhambi x(ondoa sine) |
| Tangenti | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangent | f(x) = ctg x | − 1/dhambi 2 x |
| Logarithm ya asili | f(x) = logi x | 1/x |
| Logarithm ya kiholela | f(x) = logi a x | 1/(x ln a) |
| Utendakazi wa kielelezo | f(x) = e x | e x(hakuna kilichobadilika) |
Ikiwa chaguo la kukokotoa la msingi linazidishwa na kitendawili cha kiholela, basi derivative ya chaguo la kukokotoa mpya pia huhesabiwa kwa urahisi:
(C · f)’ = C · f ’.
Kwa ujumla, viunga vinaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Kwa mfano:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Kwa wazi, kazi za kimsingi zinaweza kuongezwa kwa kila mmoja, kuzidishwa, kugawanywa - na mengi zaidi. Hivi ndivyo vipengele vipya vitaonekana, sio vya msingi tena, lakini pia vinaweza kutofautishwa kwa heshima na sheria fulani. Sheria hizi zinajadiliwa hapa chini.
Inatokana na jumla na tofauti
Wacha kazi zipewe f(x) Na g(x), derivatives ambazo zinajulikana kwetu. Kwa mfano, unaweza kuchukua kazi za msingi zilizojadiliwa hapo juu. Basi unaweza kupata derivative ya jumla na tofauti ya kazi hizi:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Kwa hivyo, derivative ya jumla (tofauti) ya kazi mbili ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives. Kunaweza kuwa na masharti zaidi. Kwa mfano, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Kwa kusema kweli, hakuna dhana ya "kutoa" katika algebra. Kuna dhana " kipengele hasi" Kwa hiyo tofauti f − g inaweza kuandikwa upya kama jumla f+ (−1) g, na kisha formula moja tu inabaki - derivative ya jumla.
f(x) = x 2 + dhambi x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Kazi f(x) ni jumla ya kazi mbili za kimsingi, kwa hivyo:
f ’(x) = (x 2 + dhambi x)’ = (x 2)’ + (dhambi x)’ = 2x+ cos x;
Tunasababu vivyo hivyo kwa chaguo la kukokotoa g(x) Tayari kuna maneno matatu tu (kutoka kwa mtazamo wa algebra):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Jibu:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivative ya bidhaa
Hisabati ni sayansi ya kimantiki, kwa hivyo watu wengi wanaamini kwamba ikiwa derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives, basi derivative ya bidhaa. mgomo">sawa na bidhaa ya derivatives. Lakini koroga! Kinyume cha bidhaa kinakokotolewa kwa kutumia fomula tofauti kabisa. Yaani:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Fomu ni rahisi, lakini mara nyingi husahaulika. Na sio watoto wa shule tu, bali pia wanafunzi. Matokeo yake ni matatizo yaliyotatuliwa kimakosa.
Kazi. Tafuta derivatives ya kazi: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Kazi f(x) ni bidhaa ya kazi mbili za msingi, kwa hivyo kila kitu ni rahisi:
f ’(x) = (x 3 kos x)’ = (x 3) kama x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 kos x + x 3 (- dhambi x) = x 2 (3 cos x − x dhambi x)
Kazi g(x) jambo la kwanza ni ngumu zaidi, lakini mpango wa jumla hii haibadiliki. Ni wazi, sababu ya kwanza ya kazi g(x) ni polynomia na derivative yake ni derivative ya jumla. Tuna:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) e x .
Jibu:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x dhambi x);
g ’(x) = x(x+ 9) e
x
.
Tafadhali kumbuka kuwa katika hatua ya mwisho derivative ni factorized. Rasmi, hii haihitaji kufanywa, lakini derivatives nyingi hazihesabiwa peke yao, lakini kuchunguza kazi. Hii ina maana kwamba zaidi derivative itakuwa sawa na sifuri, ishara zake zitatambuliwa, na kadhalika. Kwa kesi kama hiyo, ni bora kuwa na usemi uliowekwa.
Ikiwa kuna kazi mbili f(x) Na g(x), na g(x) ≠ 0 kwenye seti tunayopendezwa nayo, tunaweza kufafanua chaguo mpya la kukokotoa h(x) = f(x)/g(x) Kwa kazi kama hiyo unaweza pia kupata derivative:
Sio dhaifu, huh? Minus ilitoka wapi? Kwa nini g 2? Na kama hii! Hii ni moja ya wengi fomula tata- Hauwezi kujua bila chupa. Kwa hivyo, ni bora kuisoma mifano maalum.
Kazi. Tafuta derivatives ya kazi:
Nambari na denominator ya kila sehemu ina vitendaji vya msingi, kwa hivyo tunachohitaji ni fomula ya derivative ya mgawo:
Kulingana na jadi, wacha tubadilishe nambari - hii itarahisisha jibu:
Kitendaji changamano si lazima kiwe fomula ya urefu wa nusu kilomita. Kwa mfano, inatosha kuchukua kazi f(x) = dhambi x na kuchukua nafasi ya kutofautisha x, sema, endelea x 2 + ln x. Itafanya kazi nje f(x) = dhambi ( x 2 + ln x) - hii ni kazi ngumu. Pia ina derivative, lakini haitawezekana kuipata kwa kutumia sheria zilizojadiliwa hapo juu.
Nifanye nini? Katika hali kama hizi, kuchukua nafasi ya kutofautisha na fomula ya derivative husaidia kazi tata:
f ’(x) = f ’(t) · t', Kama x inabadilishwa na t(x).
Kama sheria, hali ya kuelewa fomula hii ni ya kusikitisha zaidi kuliko na derivative ya mgawo. Kwa hiyo, pia ni bora kuielezea kwa mifano maalum, na maelezo ya kina kila hatua.
Kazi. Tafuta derivatives ya kazi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dhambi ( x 2 + ln x)
Kumbuka kwamba ikiwa katika kazi f(x) badala ya kujieleza 2 x+ 3 itakuwa rahisi x, basi tunapata kazi ya msingi f(x) = e x. Kwa hivyo, tunabadilisha: wacha 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tunatafuta derivative ya kazi ngumu kwa kutumia formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Na sasa - tahadhari! Tunafanya uingizwaji wa nyuma: t = 2x+ 3. Tunapata:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Sasa hebu tuangalie kazi g(x) Ni wazi kwamba inahitaji kubadilishwa x 2 + ln x = t. Tuna:
g ’(x) = g ’(t) · t= (dhambi t)’ · t' = cos t · t ’
Kubadilisha uingizwaji: t = x 2 + ln x. Kisha:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Ni hayo tu! Kama inavyoonekana kutoka usemi wa mwisho, tatizo zima lilipunguzwa hadi kukokotoa jumla ya derivative.
Jibu:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) kwani ( x 2 + ln x).
Mara nyingi sana katika masomo yangu, badala ya neno "derivative," mimi hutumia neno "prime." Kwa mfano, mkuu kutoka kwa kiasi sawa na jumla viboko. Je, hilo ni wazi zaidi? Naam, hiyo ni nzuri.
Kwa hivyo, kuhesabu derivative inakuja chini ya kuondokana na viboko hivi sawa kulingana na sheria zilizojadiliwa hapo juu. Kama mfano wa mwisho Wacha turudi kwa nguvu inayotokana na kipeo cha busara:
(x n)’ = n · x n − 1
Watu wachache wanajua hilo katika jukumu n inaweza kufanya vizuri nambari ya sehemu. Kwa mfano, mzizi ni x 0.5. Ikiwa kuna kitu cha kupendeza chini ya mzizi? Tena, matokeo yatakuwa kazi ngumu - wanapenda kutoa ujenzi kama huo vipimo na mitihani.
Kazi. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:
Kwanza, wacha tuandike tena mzizi kama nguvu iliyo na kielelezo cha busara:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Sasa tunafanya uingizwaji: basi x 2 + 8x − 7 = t. Tunapata derivative kwa kutumia formula:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5) t= 0.5 · t−0.5 · t ’.
Wacha tufanye uingizwaji wa nyuma: t = x 2 + 8x− 7. Tuna:
f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Mwishowe, rudi kwenye mizizi:
Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti.
Kama matokeo ya kutatua shida za kupata derivatives ya kazi rahisi zaidi (na sio rahisi sana) kwa kufafanua derivative kama kikomo cha uwiano wa nyongeza na ongezeko la hoja, jedwali la derivatives lilionekana na haswa. sheria fulani utofautishaji. Wa kwanza kufanya kazi katika uwanja wa kutafuta derivatives walikuwa Isaac Newton (1643-1727) na Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Kwa hiyo, katika wakati wetu, ili kupata derivative ya kazi yoyote, huna haja ya kuhesabu kikomo kilichotajwa hapo juu cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, lakini unahitaji tu kutumia jedwali la derivatives na kanuni za utofautishaji. Algorithm ifuatayo inafaa kwa kutafuta derivative.
Ili kupata derivative, unahitaji kujieleza chini ya ishara kuu tenganisha katika vipengele kazi rahisi na kuamua ni vitendo gani (bidhaa, jumla, mgawo) kazi hizi zinahusiana. Ifuatayo, tunapata derivatives ya kazi za kimsingi kwenye jedwali la derivatives, na fomula za derivatives ya bidhaa, jumla na mgawo - katika sheria za kutofautisha. Jedwali la derivative na sheria za utofautishaji hutolewa baada ya mifano miwili ya kwanza.
Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Kutoka kwa sheria za utofautishaji tunapata kuwa derivative ya jumla ya kazi ni jumla ya derivatives ya kazi, i.e.
Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata kwamba derivative ya "X" ni sawa na moja, na derivative ya sine ni sawa na cosine. Tunabadilisha maadili haya katika jumla ya derivatives na kupata derivative inayohitajika na hali ya tatizo:
Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunatofautisha kama derivative ya jumla ambayo muhula wa pili una sababu isiyobadilika; inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative:
Ikiwa maswali bado yanatokea juu ya wapi kitu kinatoka, kawaida husafishwa baada ya kujijulisha na jedwali la derivatives na sheria rahisi zaidi za kutofautisha. Tunaendelea nao sasa hivi.
Jedwali la derivatives ya kazi rahisi
Kanuni ya 1. Ikiwa kazi
zinaweza kutofautishwa wakati fulani, basi kazi zinaweza kutofautishwa kwa hatua sawa
hizo. derivative jumla ya algebra vipengele vya kukokotoa ni sawa na jumla ya aljebra ya viasili vya vipengele hivi.
Matokeo. Ikiwa kazi mbili zinazoweza kutofautishwa zinatofautiana kwa neno la mara kwa mara, basi derivatives zao ni sawa, i.e.
Kanuni ya 2. Ikiwa kazi
zinaweza kutofautishwa kwa wakati fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa kwa wakati mmoja
hizo. Derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine.
Muhimu 1. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative:
Muhimu 2. Derivative ya bidhaa ya kazi kadhaa zinazoweza kutofautishwa ni sawa na jumla ya bidhaa za derivative ya kila sababu na wengine wote.
Kwa mfano, kwa vizidishi vitatu:
Kanuni ya 3. Ikiwa kazi
kutofautishwa kwa wakati fulani Na , basi katika hatua hii mgawo wao pia unaweza kutofautishwa u/v , na
hizo. derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya denominator, na denominator ni mraba wa namba ya zamani.
Mahali pa kutafuta vitu kwenye kurasa zingine
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa na mgawo katika matatizo ya kweli Daima ni muhimu kutumia sheria kadhaa za kutofautisha mara moja, kwa hiyo mifano zaidi kwa derivatives hizi - katika makala "Derivative ya bidhaa na mgawo wa kazi".
Maoni. Haupaswi kuchanganya mara kwa mara (yaani, nambari) kama neno katika jumla na kama sababu ya mara kwa mara! Katika kesi ya neno, derivative yake ni sawa na sifuri, na katika kesi ya sababu ya mara kwa mara, inachukuliwa nje ya ishara ya derivatives. Hii kosa la kawaida, ambayo hutokea hatua ya awali kusoma derivatives, lakini wanapotatua mifano kadhaa ya sehemu moja na mbili, mwanafunzi wa kawaida hafanyi tena kosa hili.
Na ikiwa, wakati wa kutofautisha bidhaa au mgawo, una muda u‘v, ambamo u- nambari, kwa mfano, 2 au 5, yaani, mara kwa mara, basi derivative ya nambari hii itakuwa sawa na sifuri na, kwa hiyo, neno lote litakuwa sawa na sifuri (kesi hii inajadiliwa kwa mfano 10).
Nyingine kosa la kawaida — ufumbuzi wa mitambo derivative ya kazi changamano kama derivative ya kitendakazi rahisi. Ndiyo maana derivative ya kazi changamano makala tofauti imetolewa. Lakini kwanza tutajifunza kupata derivatives ya kazi rahisi.
Njiani, huwezi kufanya bila kubadilisha maneno. Ili kufanya hivyo, unaweza kuhitaji kufungua mwongozo katika madirisha mapya. Vitendo vyenye nguvu na mizizi Na Uendeshaji na sehemu.
Ikiwa unatafuta suluhisho la derivatives ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama 
, kisha fuata somo “Linatokana na hesabu za sehemu zenye nguvu na mizizi.”
Ikiwa una kazi kama 
, kisha kwa somo “Derivatives of simple kazi za trigonometric».
Mifano ya hatua kwa hatua - jinsi ya kupata derivative
Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunafafanua sehemu za usemi wa kazi: usemi mzima unawakilisha bidhaa, na sababu zake ni hesabu, katika pili ambayo moja ya istilahi ina sababu ya kila wakati. Tunatumia sheria ya utofautishaji wa bidhaa: derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine:
Ifuatayo, tunatumia kanuni ya upambanuzi wa jumla: derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya vinyago vya kazi hizi. Kwa upande wetu, katika kila jumla neno la pili lina ishara ya kuondoa. Katika kila jumla tunaona tofauti huru, derivative ambayo ni sawa na moja, na mara kwa mara (idadi), derivative ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, "X" inageuka kuwa moja, na minus 5 inageuka kuwa sifuri. Katika usemi wa pili, "x" inazidishwa na 2, kwa hivyo tunazidisha mbili kwa kitengo sawa na derivative ya "x". Tunapata maadili derivative yafuatayo:
Tunabadilisha derivatives zilizopatikana kwa jumla ya bidhaa na kupata derivative ya kazi nzima inayohitajika na hali ya shida:
Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunatakiwa kupata derivative ya mgawo. Tunatumia fomula ya kutofautisha mgawo: derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya nambari. denominator, na denominator ni mraba wa nambari ya zamani. Tunapata:
Tayari tumepata derivative ya mambo katika nambari katika mfano 2. Pia tusisahau kwamba bidhaa, ambayo ni sababu ya pili katika nambari katika mfano wa sasa, inachukuliwa na ishara ya minus:
Ikiwa unatafuta suluhisho la shida ambazo unahitaji kupata derivative ya kazi, ambapo kuna rundo la mizizi na nguvu zinazoendelea, kama vile, kwa mfano, 
, basi karibu darasani "Inayotokana na jumla ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi".
Ikiwa unahitaji kujifunza zaidi juu ya derivatives ya sines, cosines, tangents na kazi zingine za trigonometric, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama. , basi somo kwako "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric".
Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Katika kazi hii tunaona bidhaa, mojawapo ya mambo ambayo ni mzizi wa mraba wa kutofautiana huru, derivative ambayo tulijitambulisha nayo katika jedwali la derivatives. Kulingana na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa na thamani ya tabular ya derivative kipeo tunapata:
Mfano 6. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Katika chaguo hili la kukokotoa tunaona mgawo ambao mgao wake ni mzizi wa mraba wa kigezo huru. Kutumia kanuni ya utofautishaji wa nukuu, ambayo tulirudia na kutumia katika mfano wa 4, na thamani iliyoonyeshwa ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:
Ili kuondoa sehemu katika nambari, zidisha nambari na denominator kwa:
Tafuta derivatives mwenyewe na kisha uangalie suluhisho
Mfano 7. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Mfano 8. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
.
Wacha tuendelee kutafuta derivatives pamoja
Mfano 9. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Kutumia sheria za kuhesabu derivative ya jumla ya kazi za algebra, kuweka sababu ya mara kwa mara nje ya ishara ya derivative na formula ya nguvu inayotokana (katika jedwali la derivatives - chini ya nambari 3), tunapata.
.
Mfano 10. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Wacha tutumie sheria ya utofautishaji wa bidhaa, na kisha tupate derivatives ya sababu, kama ilivyo kazi ya awali, kwa kutumia formula 3 kutoka kwa jedwali la derivatives. Kisha tunapata
Mfano 11. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Kama katika mifano 4 na 6, tunatumia kanuni ya utofautishaji wa nukuu:
Sasa hebu tuhesabu derivatives katika nambari na tunayo matokeo yanayohitajika:
Mfano 12. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Hatua ya 1. Tunatumia sheria ya kutofautisha jumla:
Hatua ya 2. Wacha tupate derivative ya muhula wa kwanza. Hii ni derivative ya jedwali ya mzizi wa mraba (nambari 5 kwenye jedwali la viasili):
Hatua ya 3. Katika mgawo, denominator pia ni mzizi, lakini sio mraba. Kwa hivyo, tunabadilisha mzizi huu kuwa nguvu:
Mzizi wa mara kwa mara, kama unavyoweza kudhani, pia ni mara kwa mara, na derivative ya mara kwa mara, kama tunavyojua kutoka kwa jedwali la derivatives, ni sawa na sifuri:
na derivative inayohitajika katika taarifa ya tatizo:
Pata mwongozo wa PDF wenye suluhu za mifano 33 Pata derivative: algoriti kulingana na mfano wa vitendaji rahisi vya msingi, BILA MALIPO
Tunakukumbusha kwamba kidogo zaidi mifano tata juu ya derivative ya bidhaa na mgawo - katika vifungu "Inayotokana na bidhaa na sehemu ya kazi" na "Inayotokana na jumla ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi."
Kanuni za kutofautisha. Derivative ya bidhaa ya kazi.
Utofautishaji- Uamuzi wa derivatives na tofauti za maagizo yote kutoka kwa kazi ya tofauti moja na derivatives ya sehemu na tofauti, kwa kuongeza; tofauti kamili juu ya kazi za vigezo vingi.
Uthibitisho wa sheria ya kutofautisha bidhaa ya kazi 2:
Tunaandika kikomo cha uwiano wa ongezeko la bidhaa ya kazi kwa ongezeko la hoja. Tunazingatia kwamba:
(ongezeko la chaguo la kukokotoa huwa 0 wakati nyongeza ya hoja inaelekea 0).
Sasa hebu tuangalie sheria hapo juu kwa kutumia mifano kadhaa.
.
Katika mfano huu. Wacha tutumie sheria ya derivative ya bidhaa:
Tunaangalia jedwali la derivatives ya kazi kuu za msingi na kupata suluhisho:
Wacha tupate derivative ya kazi:
KATIKA katika mfano huu 
. Maana:
Sasa hebu tuangalie chaguo la kuamua derivative ya bidhaa ya kazi 3. Kutumia mfumo huu, bidhaa za 4, 5, na 25 zinatofautishwa.
Tunaendelea kutoka kwa sheria ya kutofautisha bidhaa ya kazi 2. Kazi f(x) kuhesabu bidhaa (1+x)sinx, na kazi g(x) tuchukue lnx:
Kuamua 
Tunatumia sheria ya derivative ya bidhaa tena:
Wacha tutumie kanuni ya jumla ya derivative na jedwali la derivative:
Wacha tubadilishe matokeo tuliyopata:
Kutoka kwa kile kilichoelezwa hapo juu, ni wazi kwamba wakati mwingine ni muhimu kutumia zaidi ya kanuni moja ya kutofautisha katika mfano mmoja. Ni muhimu kufanya kila kitu mara kwa mara na kwa uangalifu.
Kazi ni tofauti ya misemo na , ambayo inamaanisha:
Katika usemi wa kwanza tunachukua ya 2 kutoka kwa ishara inayotokana, na katika usemi wa 2 tunatumia sheria ya kutofautisha bidhaa:
Derivative ni nini?
Derivative ni mojawapo ya dhana kuu hisabati ya juu. Katika somo hili tutatambulisha dhana hii. Wacha tufahamiane, bila uundaji mkali wa hesabu na uthibitisho.
Ujuzi huu utakuruhusu:
- kuelewa kiini cha kazi rahisi na derivatives;
- kwa mafanikio kutatua haya sana Sivyo kazi ngumu;
- jitayarishe kwa masomo mazito zaidi juu ya derivatives.
Kwanza - mshangao mzuri.)
Ufafanuzi mkali wa derivative unategemea nadharia ya mipaka na jambo hilo ni ngumu sana. Hii inasikitisha. Lakini utumiaji wa vitendo wa derivatives, kama sheria, hauitaji maarifa ya kina na ya kina!
Kwa utekelezaji wenye mafanikio inatosha kujua kazi nyingi shuleni na chuo kikuu masharti machache tu- kuelewa kazi, na sheria chache tu- kutatua. Ni hayo tu. Hii inanifurahisha.
Wacha tuanze kufahamiana?)
Masharti na uteuzi.
Kuna mambo mengi katika hisabati ya msingi shughuli za hisabati. Kuongeza, kutoa, kuzidisha, ufafanuzi, logarithm, nk. Ikiwa tutaongeza moja zaidi kwa shughuli hizi, hisabati ya msingi inakuwa ya juu zaidi. Operesheni hii mpya inaitwa utofautishaji. Ufafanuzi na maana ya operesheni hii itajadiliwa katika masomo tofauti.
Ni muhimu kuelewa hapa kwamba utofautishaji ni operesheni ya kihesabu kwenye kazi. Tunachukua kazi yoyote na, kwa mujibu wa sheria fulani, kuibadilisha. Matokeo yake yatakuwa kipengele kipya. Kazi hii mpya inaitwa: derivative.
Utofautishaji- kitendo kwenye kitendaji.
Derivative- matokeo ya hatua hii.
Kama tu, kwa mfano, jumla ni matokeo ya nyongeza. Au Privat- matokeo ya mgawanyiko.
Kwa kujua masharti, unaweza angalau kuelewa majukumu.) Michanganyiko ni kama ifuatavyo: pata derivative ya kazi; kuchukua derivative; kutofautisha kazi; hesabu derivative Nakadhalika. Hii ndiyo yote sawa. Bila shaka, pia kuna kazi ngumu zaidi, ambapo kutafuta derivative (tofauti) itakuwa moja tu ya hatua katika kutatua tatizo.
Derivative inaonyeshwa kwa kistari kilicho kwenye sehemu ya juu ya kulia ya chaguo la kukokotoa. Kama hii: y' au f"(x) au S"(t) Nakadhalika.
Kusoma kiharusi cha igrek, ef kiharusi kutoka kwa x, kiharusi kutoka kwa te, vizuri, unaelewa.)
Msingi pia inaweza kuonyesha derivative ya kazi fulani, kwa mfano: (2x+3)’, (x 3 )’ , (sinx)' na kadhalika. Mara nyingi derivatives huonyeshwa kwa kutumia tofauti, lakini hatutazingatia nukuu kama hiyo katika somo hili.
Wacha tuchukue kwamba tumejifunza kuelewa kazi. Kilichobaki ni kujifunza jinsi ya kuyatatua.) Acha nikukumbushe tena: kutafuta derivative ni. mabadiliko ya kazi kulingana na sheria fulani. Kwa kushangaza, kuna wachache sana wa sheria hizi.
Ili kupata derivative ya kazi, unahitaji kujua mambo matatu tu. Nguzo tatu ambazo upambanuzi wote umesimama. Hizi ndizo nguzo tatu:
1. Jedwali la derivatives (formula za utofautishaji).
3. Derivative ya kazi ngumu.
Hebu tuanze kwa utaratibu. Katika somo hili tutaangalia jedwali la derivatives.
Jedwali la derivatives.
Katika dunia - seti isiyo na mwisho kazi. Miongoni mwa aina hii, kuna kazi ambazo ni muhimu zaidi kwa matumizi ya vitendo. Kazi hizi zinapatikana katika sheria zote za asili. Kutoka kwa kazi hizi, kama kutoka kwa matofali, unaweza kuunda zingine zote. Darasa hili la kazi linaitwa kazi za msingi. Ni kazi hizi ambazo husomwa shuleni - linear, quadratic, hyperbola, nk.
Tofauti ya kazi "kutoka mwanzo", i.e. Kulingana na ufafanuzi wa derivative na nadharia ya mipaka, hii ni jambo la kazi kubwa. Na wanahisabati ni watu pia, ndio, ndio!) Kwa hivyo wamerahisisha maisha yao (na sisi). Walihesabu derivatives ya kazi za msingi mbele yetu. Matokeo yake ni jedwali la derivatives, ambapo kila kitu kiko tayari.)
Hapa ni, sahani hii kwa kazi maarufu zaidi. Upande wa kushoto ni kazi ya msingi, upande wa kulia ni derivative yake.
Fomula za kutofautisha
Jedwali la derivatives ya kazi za msingi
Hesabu ya derivative inaitwa utofautishaji.
Onyesha toleo lingine la $y'$ au $\frac$.
Ili kupata derivative ya kazi, inabadilishwa kuwa kazi nyingine kulingana na sheria fulani.
Hebu tuzingatie jedwali la derivatives. Hebu tuzingalie ukweli kwamba kazi, baada ya kupata derivatives yao, hubadilishwa kuwa kazi nyingine.
Isipokuwa ni $y=e^x$, ambayo inajigeuza yenyewe.
Kanuni za kutofautisha
Mara nyingi, wakati wa kupata derivative, hauitaji tu kuangalia jedwali la derivatives, lakini kwanza tumia sheria za kutofautisha, na kisha tu utumie jedwali la derivatives ya kazi za kimsingi.
1. Mara kwa mara huchukuliwa nje ya ishara ya derivative
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7x^4$.
Tunapata $y’=(7x^4)’$. Kuchukua nambari $7$ kutoka kwa ishara ya derivative, tunapata:
tumia jedwali na upate thamani ya derivative ya kazi ya nguvu:
Wacha tubadilishe matokeo kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:
2. Derivative ya jumla (tofauti) ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives:
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt +\frac -11\cot x$.
kumbuka kuwa wakati wa kutofautisha, nguvu zote na mizizi lazima zibadilishwe kwa fomu $x^>$;
Wacha tuchukue viunga vyote kutoka kwa ishara ya derivative:
Baada ya kuelewa sheria, baadhi yao (kwa mfano, kama mbili za mwisho) hutumika kwa wakati mmoja ili kuepuka kuandika upya usemi mrefu;
tumepata usemi kutoka kwa kazi za msingi chini ya ishara derivative; Wacha tutumie jedwali la derivatives:
Wacha tuibadilishe kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac >+\frac +\frac $ . Tafadhali kumbuka kuwa wakati wa kupata matokeo, masharti na nguvu za sehemu badilisha kuwa mizizi, na kwa hasi - kwa sehemu.
Huwezi kuelewa chochote?
Jaribu kuwauliza walimu wako msaada
3. Mfumo wa derivative ya bidhaa ya utendakazi:
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=x^ \lnx$.
Kwanza, tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya bidhaa ya kazi, na kisha tunatumia jedwali la derivatives:
4. Mfumo wa kitoleo cha vitendaji vya mgawo:
Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=\frac $.
Kulingana na sheria za kipaumbele cha shughuli za hisabati, kwanza tutafanya mgawanyiko, na kisha kuongeza na kutoa, kwa hivyo kwanza tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo:
Wacha tutumie sheria za jumla na derivatives za tofauti, fungua mabano na kurahisisha usemi:
Hebu tutofautishe kazi $y=\frac $.
Kazi y ni mgawo wa kazi mbili, kwa hivyo unaweza kutumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo, lakini katika kesi hii utapata kazi mbaya. Ili kurahisisha chaguo hili la kukokotoa, unaweza kugawanya nambari kwa neno denominator kwa neno:
Wacha tutumie sheria ya kutofautisha jumla na tofauti ya chaguo za kukokotoa kwa kazi iliyorahisishwa.