Katika vitabu vya "zamani" pia huitwa sheria ya "mnyororo". Hivyo kama y = f (u), na u = φ (x), hiyo ni

y = f (φ (x))

ngumu - kazi ya mchanganyiko (muundo wa kazi) basi

Wapi , baada ya hesabu inazingatiwa saa u = φ (x).

Kumbuka kuwa hapa tulichukua nyimbo "tofauti" kutoka kwa kazi zile zile, na matokeo ya utofautishaji asili yalitegemea mpangilio wa "mchanganyiko".

Sheria ya mnyororo kawaida huenea hadi kwa utunzi wa kazi tatu au zaidi. Katika kesi hii, kutakuwa na "viungo" vitatu au zaidi katika "mlolongo" ambao hufanya derivative. Hapa kuna mlinganisho na kuzidisha: "tuna" meza ya derivatives; "huko" - meza ya kuzidisha; "pamoja nasi" ni kanuni ya mnyororo na "hapo" ni kanuni ya kuzidisha "safu". Wakati wa kuhesabu derivatives "tata" kama hizo, hakuna hoja za msaidizi (u¸v, n.k.), kwa kweli, huletwa, lakini, baada ya kujiona idadi na mlolongo wa kazi zinazohusika katika utunzi, viungo vinavyolingana "vimepigwa" kwa utaratibu ulioonyeshwa.

. Hapa, na "x" kupata thamani ya "y", shughuli tano zinafanywa, ambayo ni, kuna muundo wa kazi tano: "nje" (mwisho wao) - kielelezo - e  ; zaidi ndani utaratibu wa nyuma tuliza. (♦) 2; dhambi ya trigonometric(); tuliza. () 3 na hatimaye logarithmic ln.(). Ndiyo maana

Kwa mifano ifuatayo "tutaua jozi za ndege kwa jiwe moja": tutafanya mazoezi ya kutofautisha kazi ngumu na kuongeza kwenye meza ya derivatives. kazi za msingi. Kwa hivyo:

4. Kwa kazi ya nguvu - y = x α - kuiandika upya kwa kutumia "msingi" unaojulikana. kitambulisho cha logarithmic" - b=e ln b - katika fomu x α = x α ln x tunapata

5. Kwa bure utendaji wa kielelezo kwa kutumia mbinu ile ile tutakuwa nayo

6. Kwa bure kazi ya logarithmic Kwa kutumia fomula inayojulikana sana ya kuhamia msingi mpya, tunapata mara kwa mara

.

7. Ili kutofautisha tangent (cotangent), tunatumia kanuni ya kutofautisha quotients:

Ili kupata vipengee vya utendakazi kinyume cha trigonometriki, tunatumia uhusiano ambao unaridhishwa na vipengee vya vitendakazi viwili vilivyo kinyume, yaani, kazi φ (x) na f (x) zinazohusiana na mahusiano:

Huu ndio uwiano

Ni kutoka kwa fomula hii kwa vitendakazi vilivyo kinyume

Na
,

Hatimaye, hebu tufanye muhtasari wa haya na baadhi ya derivatives nyingine ambazo pia zinapatikana kwa urahisi katika jedwali lifuatalo.

Mifano imetolewa ya kukokotoa derivatives kwa kutumia fomula derivative kazi ngumu.

Hapa tunatoa mifano ya kuhesabu derivatives ya kazi zifuatazo:
; ; ; ; .

Ikiwa chaguo za kukokotoa zinaweza kuwakilishwa kama chaguo la kukokotoa changamano katika fomu ifuatayo:
,
basi derivative yake imedhamiriwa na formula:
.
Katika mifano hapa chini, tutaandika fomula hii kama ifuatavyo:
.
Wapi.
Hapa, maandishi au , yaliyo chini ya ishara ya derivative, yanaashiria vigezo ambavyo utofautishaji unafanywa.

Kawaida, katika majedwali ya derivatives, derivatives ya kazi kutoka kwa kutofautiana x hutolewa. Walakini, x ni kigezo rasmi. Tofauti x inaweza kubadilishwa na tofauti nyingine yoyote. Kwa hiyo, wakati wa kutofautisha kazi kutoka kwa kutofautiana, tunabadilisha tu, katika jedwali la derivatives, kutofautiana kwa x hadi kutofautiana u.

Mifano rahisi

Mfano 1

Pata derivative ya kazi changamano
.

Suluhisho

Hebu tuandike kazi iliyopewa kwa fomu sawa:
.
Katika jedwali la derivatives tunapata:
;
.

Kulingana na fomula ya derivative ya kazi ngumu, tunayo:
.
Hapa .

Jibu

Mfano 2

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Tunachukua 5 mara kwa mara kutoka kwa ishara ya derivative na kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
.

.
Hapa .

Jibu

Mfano 3

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Tunachukua mara kwa mara -1 kwa ishara ya derivative na kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
;
Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
.

Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano:
.
Hapa .

Jibu

Mifano ngumu zaidi

Katika zaidi mifano tata tunatumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu mara kadhaa. Katika kesi hii, tunahesabu derivative kutoka mwisho. Hiyo ni, tunavunja kazi katika sehemu zake za sehemu na kupata derivatives ya sehemu rahisi kutumia jedwali la derivatives. Tunatumia pia kanuni za kutofautisha hesabu, bidhaa na sehemu. Kisha tunabadilisha na kutumia formula kwa derivative ya kazi changamano.

Mfano 4

Tafuta derivative
.

Suluhisho

Hebu tuangazie zaidi sehemu rahisi formula na kupata derivative yake. .

.
Hapa tumetumia nukuu
.

Tunapata derivative ya sehemu inayofuata ya kazi ya awali kwa kutumia matokeo yaliyopatikana. Tunatumia sheria ya kutofautisha jumla:
.

Mara nyingine tena tunatumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu.

.
Hapa .

Jibu

Mfano 5

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.

Suluhisho

Wacha tuchague sehemu rahisi zaidi ya fomula na tupate derivative yake kutoka kwa jedwali la derivatives. .

Tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu.
.
Hapa
.

Mito changamano. Toleo la logarithmic.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kielelezo cha nguvu

Tunaendelea kuboresha mbinu yetu ya kutofautisha. Katika somo hili, tutaunganisha nyenzo ambazo tumeshughulikia, tutaangalia derivatives changamano zaidi, na pia kufahamiana na mbinu na hila mpya za kutafuta derivative, haswa, na derivative ya logarithmic.

Kwa wale wasomaji waliopata kiwango cha chini maandalizi, unapaswa kurejelea makala Jinsi ya kupata derivative? Mifano ya ufumbuzi, ambayo itawawezesha kuinua ujuzi wako karibu kutoka mwanzo. Ifuatayo, unahitaji kusoma kwa uangalifu ukurasa Inatokana na utendaji kazi changamano, kuelewa na kutatua Wote mifano niliyotoa. Somo hili kimantiki ni la tatu mfululizo, na baada ya kulifahamu utatofautisha kazi ngumu kwa ujasiri. Haifai kuchukua msimamo wa "Wapi kwingine? Ndio, inatosha! ”, Kwa kuwa mifano na suluhisho zote zinachukuliwa kutoka kwa kweli vipimo na mara nyingi hukutana katika mazoezi.

Wacha tuanze na kurudia. Kwenye somo Inatokana na utendaji kazi changamano Tuliangalia mifano kadhaa na maoni ya kina. Wakati wa kusoma calculus tofauti na sehemu zingine uchambuzi wa hisabati- utalazimika kutofautisha mara nyingi sana, na sio rahisi kila wakati (na sio lazima kila wakati) kuelezea mifano kwa undani sana. Kwa hivyo, tutafanya mazoezi ya kutafuta derivatives kwa mdomo. "Wagombea" wanaofaa zaidi kwa hili ni derivatives ya kazi rahisi zaidi, kwa mfano:

Kulingana na kanuni ya utofautishaji wa kazi ngumu :

Wakati wa kusoma mada zingine za matan katika siku zijazo, rekodi ya kina kama hii haihitajiki; inachukuliwa kuwa mwanafunzi anajua jinsi ya kupata derivatives kama hizo kwenye majaribio ya kiotomatiki. Hebu fikiria kwamba saa 3 asubuhi kulikuwa na simu, Na sauti ya kupendeza aliuliza: “Ni nini derivative ya tangent ya X mbili?” Hii inapaswa kufuatiwa na karibu jibu la papo hapo na la heshima: .

Mfano wa kwanza utalengwa mara moja uamuzi wa kujitegemea.

Mfano 1

Tafuta derivatives zifuatazo kwa mdomo, katika hatua moja, kwa mfano:. Ili kukamilisha kazi unayohitaji tu kutumia jedwali la derivatives ya kazi za msingi(kama bado haujaikumbuka). Ikiwa una shida yoyote, napendekeza kusoma tena somo Inatokana na utendaji kazi changamano.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Majibu mwishoni mwa somo

Mito changamano

Baada ya utayarishaji wa ufundi wa awali, mifano iliyo na viota 3-4-5 ya kazi haitakuwa ya kutisha. Labda mifano miwili ifuatayo itaonekana kuwa ngumu kwa wengine, lakini ikiwa unaelewa (mtu atateseka), basi karibu kila kitu kingine hesabu tofauti Itaonekana kama utani wa mtoto.

Mfano 2

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kama ilivyoelezwa tayari, wakati wa kupata derivative ya kazi ngumu, kwanza kabisa, ni muhimu Haki FAHAMU uwekezaji wako. Katika hali ambapo kuna mashaka, nakukumbusha hila muhimu: tunachukua thamani ya majaribio ya "x", kwa mfano, na kujaribu (kiakili au katika rasimu) kubadilisha thamani iliyopewa katika "usemi wa kutisha".

1) Kwanza tunahitaji kuhesabu usemi, ambayo inamaanisha kuwa jumla ni upachikaji wa ndani kabisa.

2) Kisha unahitaji kuhesabu logarithm:

4) Kisha mchemraba cosine:

5) Katika hatua ya tano tofauti:

6) Na mwishowe, zaidi kazi ya nje ni mzizi wa mraba:

Mfumo wa kutofautisha kazi changamano hutumika kwa mpangilio wa nyuma, kutoka kitendakazi cha nje hadi cha ndani kabisa. Tunaamua:

Inaonekana hakuna makosa ...

(1) Chukua derivative ya mzizi wa mraba.

(2) Tunachukua derivative ya tofauti kwa kutumia kanuni

(3) Kinyume cha sehemu tatu ni sifuri. Katika kipindi cha pili tunachukua derivative ya shahada (mchemraba).

(4) Chukua derivative ya kosine.

(5) Chukua derivative ya logariti.

(6) Na hatimaye, tunachukua derivative ya upachikaji wa ndani kabisa.

Inaweza kuonekana kuwa ngumu sana, lakini hii sio mfano wa kikatili zaidi. Chukua, kwa mfano, mkusanyiko wa Kuznetsov na utathamini uzuri wote na unyenyekevu wa derivative iliyochambuliwa. Niligundua kuwa wanapenda kutoa kitu kama hicho katika mtihani ili kuangalia ikiwa mwanafunzi anaelewa jinsi ya kupata derivative ya kazi changamano au haelewi.

Mfano ufuatao ni kwa wewe kutatua peke yako.

Mfano 3

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kidokezo: Kwanza tunatumia kanuni za mstari na kanuni ya utofautishaji wa bidhaa

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Ni wakati wa kuendelea na kitu kidogo na kizuri zaidi.
Sio kawaida kwa mfano kuonyesha bidhaa ya sio mbili, lakini kazi tatu. Jinsi ya kupata derivative ya bidhaa tatu vizidishio?

Mfano 4

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kwanza tunaangalia, inawezekana kugeuza bidhaa ya kazi tatu katika bidhaa ya kazi mbili? Kwa mfano, ikiwa tulikuwa na polynomials mbili katika bidhaa, basi tunaweza kufungua mabano. Lakini katika mfano unaozingatiwa, kazi zote ni tofauti: shahada, kielelezo na logarithm.

Katika hali kama hizo ni muhimu mfululizo tumia kanuni ya kutofautisha bidhaa mara mbili

Ujanja ni kwamba kwa "y" tunaashiria bidhaa ya kazi mbili: , na kwa "ve" tunaashiria logarithm:. Kwa nini hili linaweza kufanywa? Je, ni kweli - hii sio bidhaa ya mambo mawili na sheria haifanyi kazi?! Hakuna chochote ngumu:

Sasa inabakia kutumia sheria mara ya pili kwa mabano:

Bado unaweza kupotoshwa na kuchukua kitu kutoka kwa mabano, lakini ndani kwa kesi hii Ni bora kuacha jibu katika fomu hii - itakuwa rahisi kuangalia.

Mfano unaozingatiwa unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili:

Suluhisho zote mbili ni sawa kabisa.

Mfano 5

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano wa suluhisho la kujitegemea; katika sampuli hutatuliwa kwa kutumia njia ya kwanza.

Wacha tuangalie mifano sawa na sehemu.

Mfano 6

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kuna njia kadhaa unaweza kwenda hapa:

Au kama hii:

Lakini suluhisho litaandikwa zaidi ikiwa tunatumia kwanza sheria ya utofautishaji wa mgawo , ikichukua kwa nambari nzima:

Kimsingi, mfano unatatuliwa, na ikiwa itaachwa kama ilivyo, haitakuwa kosa. Lakini ikiwa unayo wakati, inashauriwa kila wakati kuangalia rasimu ili kuona ikiwa jibu linaweza kurahisishwa? Wacha tupunguze usemi wa nambari kwa dhehebu la kawaida Na tuachane na sehemu ya hadithi tatu:

Ubaya wa kurahisisha zaidi ni kwamba kuna hatari ya kufanya makosa sio wakati wa kutafuta derivative, lakini wakati wa mabadiliko ya shule ya banal. Kwa upande mwingine, walimu mara nyingi hukataa mgawo huo na kuuliza "kuukumbusha" derivative.

Mfano rahisi wa kutatua peke yako:

Mfano 7

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Tunaendelea kujua njia za kupata derivative, na sasa tutazingatia kesi ya kawaida wakati logarithm "ya kutisha" inapendekezwa kwa kutofautisha.

Mfano 8

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hapa unaweza kwenda mbali, kwa kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu:

Lakini hatua ya kwanza mara moja inakuingiza katika kukata tamaa - lazima uchukue derivative mbaya ya nguvu ya sehemu, na kisha pia kutoka kwa sehemu.

Ndiyo maana kabla jinsi ya kuchukua derivative ya logarithm "ya kisasa", hurahisishwa kwanza kwa kutumia sifa za shule zinazojulikana:

! Ikiwa una daftari la mazoezi karibu, nakili fomula hizi moja kwa moja hapo. Ikiwa huna daftari, nakili kwenye karatasi, kwa kuwa mifano iliyobaki ya somo itahusu fomula hizi.

Suluhisho lenyewe linaweza kuandikwa kama hii:

Wacha tubadilishe kazi:

Kupata derivative:

Kubadilisha mapema kitendakazi chenyewe kumerahisisha sana suluhisho. Kwa hivyo, wakati logarithm sawa inapendekezwa kwa kutofautisha, daima inashauriwa "kuivunja".

Na sasa mifano michache rahisi kwako kutatua peke yako:

Mfano 9

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Mfano 10

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Mabadiliko yote na majibu yako mwishoni mwa somo.

Toleo la logarithmic

Ikiwa derivative ya logarithms ni muziki tamu kama huo, basi swali linatokea: inawezekana katika hali zingine kupanga logarithm kwa njia ya bandia? Je! Na hata lazima.

Mfano 11

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hivi majuzi tuliangalia mifano kama hiyo. Nini cha kufanya? Unaweza kutumia sequentially sheria ya utofautishaji wa mgawo, na kisha kanuni ya utofautishaji wa bidhaa. Hasara ya njia hii ni kwamba unaishia na sehemu kubwa ya hadithi tatu, ambayo hutaki kukabiliana nayo kabisa.

Lakini katika nadharia na mazoezi kuna jambo la ajabu kama derivative ya logarithmic. Logarithm zinaweza kupangwa kwa njia ya bandia kwa "kuzipachika" pande zote mbili:

Sasa unahitaji "kutenganisha" logarithm ya upande wa kulia iwezekanavyo (formula mbele ya macho yako?). Nitaelezea mchakato huu kwa undani zaidi:

Wacha tuanze na utofautishaji.
Tunahitimisha sehemu zote mbili chini ya mkuu:

Derivative ya upande wa kulia ni rahisi sana; sitatoa maoni juu yake, kwa sababu ikiwa unasoma maandishi haya, unapaswa kuwa na uwezo wa kushughulikia kwa ujasiri.

Vipi kuhusu upande wa kushoto?

Kwa upande wa kushoto tunayo kazi ngumu. Ninaona mapema swali: "Kwa nini, kuna herufi moja "Y" chini ya logarithm?"

Ukweli ni kwamba huu "mchezo wa herufi moja" - YENYEWE NI KAZI(ikiwa haiko wazi sana, rejelea Kifungu cha kipengee cha chaguo za kukokotoa kilichobainishwa kwa njia isiyo dhahiri). Kwa hiyo, logarithm ni kazi ya nje, na "y" ni kazi ya ndani. Na tunatumia sheria kutofautisha kazi ngumu :

Kwa upande wa kushoto, kana kwamba kwa uchawi fimbo ya uchawi tunayo derivative . Ifuatayo, kulingana na sheria ya uwiano, tunahamisha "y" kutoka kwa dhehebu la upande wa kushoto hadi juu ya upande wa kulia:

Na sasa hebu tukumbuke ni aina gani ya "mchezaji" -kazi tuliyozungumzia wakati wa kutofautisha? Wacha tuangalie hali:

Jibu la mwisho:

Mfano 12

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Mfano wa kubuni mfano wa aina hii mwishoni mwa somo.

Kutumia derivative ya logarithmic iliwezekana kutatua yoyote ya mifano No 4-7, jambo lingine ni kwamba kazi huko ni rahisi, na, labda, matumizi ya derivative ya logarithmic sio haki sana.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kielelezo cha nguvu

Bado hatujazingatia kipengele hiki. Kitendakazi cha kielelezo cha nguvu ni chaguo la kukokotoa ambalo kwalo shahada na msingi hutegemea "x". Mfano wa classic, ambayo utapewa katika kitabu chochote cha kiada au katika mihadhara yoyote:

Jinsi ya kupata derivative ya kazi ya kielelezo cha nguvu?

Inahitajika kutumia mbinu iliyojadiliwa tu - derivative ya logarithmic. Tunaweka logarithm pande zote mbili:

Kama sheria, upande wa kulia digrii hutolewa kutoka chini ya logarithm:

Matokeo yake, upande wa kulia tuna bidhaa ya kazi mbili, ambazo zitatofautishwa na fomula ya kawaida .

Tunapata derivative; kwa kufanya hivyo, tunafunga sehemu zote mbili chini ya viboko:

Vitendo zaidi ni rahisi:

Hatimaye:

Ikiwa ubadilishaji wowote hauko wazi kabisa, tafadhali soma tena maelezo ya Mfano #11 kwa makini.

KATIKA kazi za vitendo Kitendaji cha kielelezo cha nguvu kitakuwa chagumu kila wakati kuliko mfano uliojadiliwa katika hotuba.

Mfano 13

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Tunatumia derivative ya logarithmic.

Upande wa kulia tunayo mara kwa mara na bidhaa ya mambo mawili - "x" na "logarithm ya logarithm x" (logarithm nyingine imewekwa chini ya logarithm). Wakati wa kutofautisha, kama tunavyokumbuka, ni bora kusonga mara moja kutoka kwa ishara ya derivative ili isiingie; na, bila shaka, tunatumia kanuni inayojulikana :

Kama unavyoona, algoriti ya kutumia derivative ya logarithmic haina hila au hila zozote maalum, na kupata kitovu cha chaguo la kukokotoa la kielelezo cha nguvu kwa kawaida hakuhusishwa na "mateso."

Ufafanuzi. Acha kazi \(y = f(x) \) ifafanuliwe katika kipindi fulani kilicho na nukta \(x_0\) ndani yake. Wacha tupe hoja nyongeza \(\Delta x \) ili isiondoke katika kipindi hiki. Wacha tupate nyongeza inayolingana ya kazi \(\Delta y \) (wakati wa kusonga kutoka kwa uhakika \(x_0 \) hadi hatua \(x_0 + \Delta x \)) na tunga uhusiano \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Ikiwa kuna kikomo kwa uwiano huu katika \(\Delta x \rightarrow 0\), basi kikomo kilichotajwa kinaitwa. derivative ya kipengele cha kukokotoa\(y=f(x) \) kwenye hatua \(x_0 \) na kuashiria \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Alama y mara nyingi hutumika kuashiria derivative." Kumbuka kuwa y" = f(x) ni kipengele kipya, lakini inahusishwa kwa asili na chaguo za kukokotoa y = f(x), iliyofafanuliwa katika sehemu zote x ambapo kikomo kilicho hapo juu kipo. Kazi hii inaitwa kama hii: derivative ya chaguo za kukokotoa y = f(x).

Maana ya kijiometri ya derivative ni kama ifuatavyo. Ikiwezekana kuchora tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) katika hatua na abscissa x=a, ambayo hailingani na mhimili wa y, basi f(a) huonyesha mteremko wa tanjiti. :
\(k = f"(a)\)

Kwa kuwa \(k = tg(a) \), basi usawa \(f"(a) = tan(a) \) ni kweli.

Sasa hebu tufasiri ufafanuzi wa derivative kutoka kwa mtazamo wa takriban usawa. Acha kazi \(y = f(x)\) iwe na derivative katika sehemu maalum \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Hii inamaanisha kuwa karibu na nukta x takriban usawa \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \takriban f"(x)\), yaani \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot\ Delta x\). Maana ya maana ya makadirio ya usawa ni kama ifuatavyo: ongezeko la chaguo la kukokotoa ni "karibu sawia" na ongezeko la hoja, na mgawo wa uwiano ni thamani ya kinyago katika kupewa point X. Kwa mfano, kwa chaguo za kukokotoa \(y = x^2\) takriban usawa \(\Delta y \takriban 2x \cdot \Delta x \) ni halali. Ikiwa tutachambua kwa uangalifu ufafanuzi wa derivative, tutagundua kuwa ina algorithm ya kuipata.

Hebu tuunde.

Jinsi ya kupata derivative ya kazi y = f(x)?

1. Rekebisha thamani ya \(x\), pata \(f(x)\)
2. Toa hoja \(x\) nyongeza \(\Delta x\), nenda kwa hatua mpya\(x+ \Delta x \), pata \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pata nyongeza ya kazi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Unda uhusiano \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kokotoa $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Kikomo hiki ni derivative ya chaguo za kukokotoa katika nukta x.

Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) ina derivative katika nukta x, basi inaitwa kutofautishwa katika nukta x. Utaratibu wa kutafuta derivative ya kazi y = f (x) inaitwa utofautishaji kazi y = f(x).

Wacha tujadili swali lifuatalo: mwendelezo na utofautishaji wa kazi katika hatua unahusiana vipi?

Acha kazi y = f(x) iweze kutofautishwa katika nukta x. Kisha tanjenti inaweza kuchorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye nukta M(x; f(x)), na, kumbuka, mgawo wa angular wa tanjiti ni sawa na f "(x). Grafu kama hiyo haiwezi "kuvunjika" kwa uhakika M, yaani kitendakazi lazima kiwe endelevu kwa uhakika x.

Hizi zilikuwa hoja za "kushikana mikono". Wacha tutoe hoja kali zaidi. Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) zinaweza kutofautishwa katika nukta x, basi takriban usawa \(\Delta y \takriban f"(x) \cdot \Delta x \) inashikilia. Ikiwa katika usawa huu \(\Delta x \) huelekea sifuri, basi \(\Delta y\) itaelekea sifuri, na hii ndiyo hali ya mwendelezo wa chaguo la kukokotoa kwa uhakika.

Kwa hiyo, ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaweza kutofautishwa katika hatua x, basi ni endelevu katika hatua hiyo.

Taarifa ya kinyume si kweli. Kwa mfano: kazi y = |x| inaendelea kila mahali, hasa katika hatua x = 0, lakini tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa kwenye "hatua ya makutano" (0; 0) haipo. Ikiwa wakati fulani tangent haiwezi kuvutwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa, basi derivative haipo wakati huo.

Mfano mmoja zaidi. Kazi \(y=\sqrt(x)\) inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Na tangent kwa grafu ya kazi ipo wakati wowote, ikiwa ni pamoja na katika hatua x = 0. Lakini katika hatua hii tangent inapatana na mhimili wa y, yaani, ni perpendicular kwa mhimili wa abscissa, equation yake ina fomu x = 0. Mgawo wa mteremko laini kama hiyo haina, ambayo inamaanisha kuwa \(f"(0) \) haipo pia

Kwa hivyo, tulifahamiana na mali mpya ya kazi - kutofautisha. Mtu anawezaje kuhitimisha kutoka kwa grafu ya kazi ambayo inaweza kutofautishwa?

Jibu limetolewa hapo juu. Ikiwa wakati fulani inawezekana kuteka tangent kwa grafu ya kazi ambayo si perpendicular kwa mhimili abscissa, basi katika hatua hii kazi ni tofauti. Ikiwa wakati fulani tangent kwa grafu ya kazi haipo au ni perpendicular kwa mhimili wa abscissa, basi katika hatua hii kazi haiwezi kutofautishwa.

Kanuni za kutofautisha

Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa utofautishaji. Wakati wa kufanya operesheni hii, mara nyingi unapaswa kufanya kazi na quotients, hesabu, bidhaa za kazi, pamoja na "kazi za kazi," yaani, kazi ngumu. Kulingana na ufafanuzi wa derivative, tunaweza kupata sheria za utofautishaji ambazo hurahisisha kazi hii. Ikiwa C - nambari ya kudumu na f=f(x), g=g(x) ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa, basi zifuatazo ni kweli kanuni za kutofautisha:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \kushoto(\frac(f)(g) \kulia) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \left(\frac (C)(g) \kulia) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Nyingi ya chaguo za kukokotoa changamano:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Jedwali la derivatives ya baadhi ya vipengele

$$ \kushoto(\frac(1)(x) \kulia) " = -\frac(1)(x^2) $$$$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \kushoto(x^a \kulia) " = a x^(a-1) $$$$ \kushoto(a^x \kulia) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kushoto(e^x \kulia) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Kazi aina tata hazifai kila wakati ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa changamani. Ikiwa kuna kazi ya fomu y = dhambi x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, basi haiwezi kuchukuliwa kuwa ngumu, tofauti na y = dhambi 2 x.

Nakala hii itaonyesha dhana ya kazi ngumu na kitambulisho chake. Wacha tufanye kazi na fomula za kutafuta derivative na mifano ya suluhisho katika hitimisho. Matumizi ya jedwali la derivative na sheria za kutofautisha kwa kiasi kikubwa hupunguza muda wa kutafuta derivative.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ufafanuzi wa kimsingi

Ufafanuzi 1

Utendaji changamano ni ule ambao hoja yake pia ni uamilifu.

Inaashiriwa kwa njia hii: f (g (x)). Tunayo kwamba chaguo za kukokotoa g (x) inachukuliwa kuwa hoja f (g (x)).

Ufafanuzi 2

Ikiwa kuna chaguo za kukokotoa f na ni chaguo za kukokotoa, basi g(x) = ln x ndiyo chaguo hili la kukokotoa logarithm asili. Tunapata kwamba kazi changamano f (g (x)) itaandikwa kama arctg(lnx). Au fomula f, ambayo ni chaguo la kukokotoa lililoinuliwa hadi kwa nguvu ya 4, ambapo g (x) = x 2 + 2 x - 3 inachukuliwa kuwa nambari kamili. kazi ya busara, tunaona kwamba f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Ni wazi g(x) inaweza kuwa ngumu. Kutoka kwa mfano y = dhambi 2 x + 1 x 3 - 5 ni wazi kwamba thamani ya g ni mizizi ya mchemraba na sehemu. Usemi huu inaruhusiwa kuashiria y = f (f 1 (f 2 (x)))) . Kutoka ambapo tuna kwamba f ni kazi sine, na f 1 ni chaguo ziko chini kipeo, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - kazi ya busara ya sehemu.

Ufafanuzi 3

Kiwango cha kuota imedhamiriwa na yoyote nambari ya asili na imeandikwa kama y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) .

Ufafanuzi 4

Wazo la muundo wa kazi hurejelea idadi ya kazi zilizowekwa kulingana na hali ya shida. Ili kutatua, tumia fomula ya kutafuta derivative ya kazi ngumu ya fomu

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Mifano

Mfano 1

Tafuta derivative ya kazi changamano ya fomu y = (2 x + 1) 2.

Suluhisho

Hali inaonyesha kwamba f ni chaguo za kukokotoa za squaring, na g(x) = 2 x + 1 inachukuliwa kuwa chaguo la kukokotoa la mstari.

Wacha tutumie fomula ya derivative kwa kazi ngumu na tuandike:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Ni muhimu kupata derivative na fomu ya awali iliyorahisishwa ya kazi. Tunapata:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Kuanzia hapa tunayo hiyo

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Matokeo yalikuwa sawa.

Wakati wa kutatua matatizo ya aina hii, ni muhimu kuelewa ambapo kazi ya fomu f na g (x) itakuwa iko.

Mfano 2

Unapaswa kupata derivatives ya kazi changamano za fomu y = dhambi 2 x na y = dhambi x 2.

Suluhisho

Nukuu ya kwanza ya chaguo za kukokotoa inasema kuwa f ni chaguo za kukokotoa za mraba na g(x) ni chaguo za kukokotoa za sine. Kisha tunapata hiyo

y " = (dhambi 2 x) " = 2 dhambi 2 - 1 x (dhambi x) " = 2 dhambi x cos x

Ingizo la pili linaonyesha kuwa f ni kitendakazi cha sine, na g(x) = x 2 imeashiriwa kazi ya nguvu. Inafuata kwamba tunaandika bidhaa ya kazi ngumu kama

y " = (dhambi x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Fomula ya derivative y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) itaandikwa kama y " = f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )))) ·. . . fn "(x)

Mfano 3

Pata derivative ya kazi y = dhambi (ln 3 a r c t g (2 x)).

Suluhisho

Mfano huu unaonyesha ugumu wa kuandika na kuamua eneo la kazi. Kisha y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) inaashiria wapi f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ni kazi ya sine, kazi ya kuinua hadi digrii 3, tenda kwa logariti na msingi e, utendakazi wa arctangent na mstari.

Kutoka kwa fomula ya kufafanua kazi ngumu tunayo hiyo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Tunapata kile tunachohitaji kupata

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kama kitokeo cha sine kulingana na jedwali la viasili, kisha f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4) x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kama kitokeo cha chaguo la kukokotoa la nguvu, kisha f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kama derivative ya logarithmic, kisha f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kama derivative ya arctangent, kisha f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Unapotafuta derivative f 4 (x) = 2 x, ondoa 2 kutoka kwa ishara ya derivative kwa kutumia fomula ya derivative ya kazi ya nguvu na kipeo sawa na 1, kisha f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Tunachanganya matokeo ya kati na kupata hiyo

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Uchambuzi wa kazi hizo ni kukumbusha dolls za nesting. Sheria za utofautishaji haziwezi kutumika kila wakati kwa uwazi kwa kutumia jedwali la derivative. Mara nyingi unahitaji kutumia formula ya kutafuta derivatives ya kazi ngumu.

Kuna tofauti kati ya mwonekano mgumu na kazi ngumu. Kwa uwezo wazi wa kutofautisha hii, kupata derivatives itakuwa rahisi sana.

Mfano 4

Inahitajika kuzingatiwa juu ya uwasilishaji mfano sawa. Ikiwa kuna kazi ya fomu y = t g 2 x + 3 t g x + 1, basi inaweza kuchukuliwa kuwa kazi ngumu ya fomu g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Ni wazi, ni muhimu kutumia formula kwa derivative tata:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Kazi ya fomu y = t g x 2 + 3 t g x + 1 haichukuliwi kuwa ngumu, kwani ina jumla ya t g x 2, 3 t g x na 1. Hata hivyo, t g x 2 inachukuliwa kuwa kazi ngumu, basi tunapata kazi ya nguvu ya fomu g (x) = x 2 na f, ambayo ni kazi ya tangent. Kwa kufanya hivyo, tofauti na kiasi. Tunapata hilo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 koz 2 x

Wacha tuendelee kutafuta derivative ya kazi ngumu (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Tunapata kwamba y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Kazi za aina ngumu zinaweza kujumuishwa katika kazi ngumu, na kazi ngumu zenyewe zinaweza kuwa sehemu za kazi za aina ngumu.

Mfano 5

Kwa mfano, fikiria kazi ngumu ya fomu y = logi 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Chaguo hili la kukokotoa la kukokotoa linaweza kuwakilishwa kama y = f (g (x)), ambapo thamani ya f ni chaguo la kukokotoa la logariti msingi 3, na g (x) inachukuliwa kuwa jumla ya kazi mbili za fomu h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 na k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Ni wazi, y = f (h (x) + k (x)).

Zingatia chaguo za kukokotoa h(x). Huu ndio uwiano l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 hadi m (x) = e x 2 + 3 3

Tunayo kwamba l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ni jumla ya kazi mbili n (x) = x 2 + 7 na p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , ambapo p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) ni kazi changamano yenye mgawo wa nambari 3, na p 1 ni kazi ya mchemraba, p 2 kwa kazi ya kosini, p 3 (x) = 2 x + 1 kwa kazi ya mstari.

Tuligundua kuwa m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) ni jumla ya kazi mbili q (x) = e x 2 na r (x) = 3 3, ambapo q (x) = q 1 (q 2 (x)) ni chaguo za kukokotoa changamano, q 1 ni chaguo za kukokotoa zenye kipeo, q 2 (x) = x 2 ni chaguo za kukokotoa za nishati.

Hii inaonyesha kwamba h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Wakati wa kuhamia kwa usemi wa fomu k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), ni wazi kwamba kazi imewasilishwa kwa namna ya tata s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) yenye nambari kamili t (x) = x 2 + 1, ambapo s 1 ni chaguo la kukokotoa la squaring, na s 2 (x) = ln x ni logarithmic na msingi e.

Inafuata kwamba usemi utachukua fomu k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Kisha tunapata hiyo

y = logi 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Kulingana na miundo ya kazi, ikawa wazi jinsi na fomula zipi zinahitajika kutumika kurahisisha usemi wakati wa kuutofautisha. Kwa taarifa kazi zinazofanana na na kwa dhana ya kuzitatua, ni muhimu kugeuka kwa uhakika wa kutofautisha kazi, yaani, kutafuta derivative yake.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter