Nadharia ya uwezekano ni sayansi ya hisabati ambayo husoma ruwaza katika matukio nasibu. Kuibuka kwa nadharia ilianza katikati ya karne ya 17 na inahusishwa na majina ya Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.

Tutaita matokeo yasiyoweza kuharibika,..., ya baadhi ya matukio ya kimsingi ya majaribio, na jumla yake

(kikomo) nafasi ya matukio ya kimsingi, au nafasi ya matokeo.

Mfano 21. a) Wakati wa kutupa kifo, nafasi ya matukio ya msingi huwa na pointi sita:

b) Tupa sarafu mara mbili mfululizo, basi

ambapo G ni "neno la silaha", P ni "kibao" na jumla ya idadi ya matokeo

c) Piga sarafu hadi kuonekana kwa kwanza kwa "kanzu ya silaha", basi

Katika kesi hii, inaitwa nafasi ya kipekee ya matukio ya kimsingi.

Kwa kawaida mtu havutiwi na matokeo gani mahususi yanayotokea kama matokeo ya jaribio, lakini ikiwa matokeo ni ya kikundi kimoja au kingine cha matokeo yote. Subsets zote ambazo, kwa mujibu wa hali ya majaribio, majibu ya moja ya aina mbili inawezekana: "matokeo" au "matokeo", tutaita matukio.

Kwa mfano 21 b) kuweka = (GG, GR, RG) ni tukio ambalo angalau "kanzu ya silaha" inaonekana. Tukio hili lina matokeo matatu ya msingi ya nafasi, kwa hivyo

Jumla ya matukio mawili ni tukio linalojumuisha utimilifu wa tukio au tukio.

Uzalishaji wa matukio ni tukio ambalo linajumuisha utekelezaji wa pamoja wa tukio na tukio.

Kinyume cha tukio ni tukio ambalo linajumuisha kutoonekana na, kwa hiyo, linakamilisha.

Seti inaitwa tukio la kuaminika, seti tupu inaitwa haiwezekani.

Ikiwa kila tukio la tukio linaambatana na tukio, basi huandika na kusema kile kinachotangulia au kinachojumuisha.

Matukio na inasemekana kuwa sawa ikiwa na.

Ufafanuzi. Uwezekano wa tukio ni nambari sawa na uwiano wa idadi ya matokeo ya msingi ambayo yanaunda tukio kwa idadi ya matokeo yote ya msingi.

Kesi ya matukio yanayowezekana kwa usawa (inayoitwa "classical", kwa hivyo uwezekano

inayoitwa "classical".

Matukio ya awali (matokeo ya uzoefu) yaliyojumuishwa katika tukio yanaitwa "mazuri".

Sifa za uwezekano wa classical:

Ikiwa (na ni matukio yasiyolingana).

Mfano 22 (Tatizo la Huygens). Kuna mipira 2 nyeupe na 4 nyeusi kwenye mkojo. Mcheza kamari mmoja huweka dau na mwingine kwamba kati ya mipira 3 iliyotolewa kutakuwa na moja nyeupe kabisa. Je, nafasi za wanaogombana ziko katika uhusiano gani?

Suluhisho 1 (jadi). Katika kesi hii, mtihani = (kuchukua mipira 3), na tukio ni nzuri kwa mmoja wa wapinzani:

= (pata mpira mmoja mweupe kabisa).

Kwa kuwa utaratibu ambao mipira mitatu hutolewa sio muhimu, basi

Mpira mmoja mweupe unaweza kupatikana katika kesi, na mbili nyeusi - na kisha kulingana na kanuni ya msingi ya combinatorics. Kwa hivyo, na kwa sifa ya tano ya uwezekano Kwa hivyo,

Suluhisho la 2. Wacha tuunde mti unaowezekana wa matokeo:

Mfano 23. Fikiria benki ya nguruwe ambayo kuna sarafu nne zilizobaki - tatu za 2 rubles kila mmoja. na moja kwa rubles 5. Tunachukua sarafu mbili.

Suluhisho. a) Uchimbaji mbili mfululizo (na kurudi) unaweza kusababisha matokeo yafuatayo:

Je, kuna uwezekano gani wa kila moja ya matokeo haya?

Jedwali linaonyesha kesi zote kumi na sita zinazowezekana.

Kwa hivyo,

Mti ufuatao husababisha matokeo sawa:

b) Matoleo mawili mfululizo (bila kurudia) yanaweza kusababisha matokeo matatu yafuatayo:

Jedwali linaonyesha matokeo yote yanayowezekana:

Kwa hivyo,

Mti unaolingana husababisha matokeo sawa:

Mfano 24 (de Mere problem). Watu wawili hucheza mchezo wa kutupa hadi kushinda tano. Mchezo unasimamishwa wakati wa kwanza ameshinda michezo minne na wa pili ameshinda tatu. Je, dau la awali linapaswa kugawanywa vipi katika kesi hii?

Suluhisho. Acha tukio = (kuwa mchezaji wa kwanza kushinda tuzo). Halafu mti wa malipo unaowezekana kwa mchezaji wa kwanza ni kama ifuatavyo.

Kwa hivyo, sehemu tatu za dau zinapaswa kutolewa kwa mchezaji wa kwanza, na sehemu moja hadi ya pili.

Hebu tuonyeshe ufanisi wa kutatua matatizo ya uwezekano kwa kutumia grafu kwa kutumia mfano ufuatao, ambao tulizingatia katika §1 (mfano 2).

Mfano 25. Je, uchaguzi wa kutumia “meza ya kuhesabia” ni sawa?

Suluhisho. Wacha tuunde mti unaowezekana wa matokeo:

na, kwa hiyo, wakati wa kucheza "kuhesabu michezo" ni faida zaidi kusimama pili.

Suluhisho la mwisho hutumia tafsiri za grafu za nadharia za kuongeza na kuzidisha za uwezekano:

na hasa

Ikiwa na ni matukio yasiyolingana

na, ikiwa na - matukio ya kujitegemea.

Uwezekano tuli

Ufafanuzi wa classical, wakati wa kuzingatia matatizo magumu, hukutana na matatizo ya asili isiyoweza kushindwa. Hasa, katika baadhi ya matukio inaweza kuwa haiwezekani kutambua kesi zinazowezekana sawa. Hata katika kesi ya sarafu, kama tunavyojua, kuna uwezekano usio na usawa wa uwezekano wa "makali" kuanguka nje, ambayo kutoka kwa mazingatio ya kinadharia hayawezi kutathminiwa (mtu anaweza kusema tu kwamba haiwezekani na kwamba kuzingatia hii ni badala yake. vitendo). Kwa hiyo, hata mwanzoni mwa malezi ya nadharia ya uwezekano, ufafanuzi mbadala wa "frequency" wa uwezekano ulipendekezwa. Yaani, rasmi, uwezekano unaweza kufafanuliwa kama kikomo juu ya masafa ya uchunguzi wa tukio A, ikizingatiwa homogeneity ya uchunguzi (ambayo ni, usawa wa hali zote za uchunguzi) na uhuru wao kutoka kwa kila mmoja:

iko wapi idadi ya uchunguzi, na ni idadi ya matukio ya tukio.

Licha ya ukweli kwamba ufafanuzi huu badala yake unaonyesha njia ya kukadiria uwezekano usiojulikana - kupitia idadi kubwa ya uchunguzi wa homogeneous na huru - hata hivyo, ufafanuzi huu unaonyesha maudhui ya dhana ya uwezekano. Yaani, ikiwa uwezekano fulani umepewa tukio kama kipimo cha kusudi la uwezekano wake, basi hii inamaanisha kuwa chini ya hali maalum na marudio yanayorudiwa tunapaswa kupata frequency ya kutokea kwake karibu na (karibu zaidi kuna uchunguzi). Kwa kweli, hii ndiyo maana ya asili ya dhana ya uwezekano. Inategemea mtazamo wa malengo ya matukio ya asili. Hapo chini tutazingatia sheria zinazojulikana za idadi kubwa, ambayo hutoa msingi wa kinadharia (ndani ya mfumo wa mbinu ya kisasa ya axiomatic iliyoelezwa hapa chini), ikiwa ni pamoja na kwa makadirio ya mzunguko wa uwezekano.

TAASISI YA ELIMU YA MANISPAA

GYMNASIUM Namba 6

juu ya mada "Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano."

Imekamilishwa na mwanafunzi wa darasa la 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Mwalimu wa hisabati: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Michezo mingi hutumia kete. Mchemraba una pande 6, kila upande una idadi tofauti ya dots zilizowekwa alama juu yake, kutoka 1 hadi 6. Mchezaji huzungusha kete na kuangalia ni dots ngapi kwenye upande ulioanguka (upande ulio juu) . Mara nyingi, alama kwenye uso wa mchemraba hubadilishwa na nambari inayolingana na kisha wanazungumza juu ya kusambaza 1, 2 au 6. Kutupa kifo kunaweza kuzingatiwa kuwa uzoefu, majaribio, jaribio, na matokeo yaliyopatikana ni. matokeo ya mtihani au tukio la msingi. Watu wana nia ya nadhani tukio la hili au tukio hilo na kutabiri matokeo yake. Je, ni ubashiri gani wanaweza kufanya wanapokunja kete? Kwa mfano, hizi:

1) tukio A - nambari 1, 2, 3, 4, 5 au 6 imevingirwa;

2) tukio B - nambari 7, 8 au 9 inaonekana;

3) tukio C - nambari 1 inaonekana.

Tukio A, lililotabiriwa katika kesi ya kwanza, hakika litatokea. Kwa ujumla, tukio ambalo hakika litatokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la kuaminika .

Tukio B, lililotabiriwa katika kesi ya pili, halitatokea kamwe, haiwezekani. Kwa ujumla, tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio lisilowezekana .

Na tukio C, lililotabiriwa katika kesi ya tatu, litatokea au la? Hatuwezi kujibu swali hili kwa uhakika kamili, kwani 1 inaweza au isitoke. Tukio ambalo linaweza kutokea au haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la nasibu .

Wakati wa kufikiria juu ya tukio la tukio la kuaminika, uwezekano mkubwa hatutatumia neno "pengine". Kwa mfano, ikiwa leo ni Jumatano, basi kesho ni Alhamisi, hii ni tukio la kuaminika. Siku ya Jumatano hatutasema: "Labda kesho ni Alhamisi," tutasema kwa ufupi na wazi: "Kesho ni Alhamisi." Kweli, ikiwa tuna mwelekeo wa misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Kwa uwezekano wa asilimia mia moja ninasema kesho ni Alhamisi." Kinyume chake, ikiwa leo ni Jumatano, basi kuanza kwa Ijumaa kesho ni tukio lisilowezekana. Tukitathmini tukio hili Jumatano, tunaweza kusema hivi: "Nina hakika kwamba kesho sio Ijumaa." Au hii: "Inashangaza kwamba kesho ni Ijumaa." Kweli, ikiwa tunakabiliwa na misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Uwezekano kwamba kesho ni Ijumaa ni sifuri." Kwa hivyo, tukio la kuaminika ni tukio ambalo hufanyika chini ya hali fulani na uwezekano wa asilimia mia moja(yaani, kutokea katika kesi 10 kati ya 10, katika kesi 100 kati ya 100, nk). Tukio lisilowezekana ni tukio ambalo halijawahi kutokea chini ya hali fulani, tukio na uwezekano wa sifuri .

Lakini, kwa bahati mbaya (na labda kwa bahati nzuri), si kila kitu katika maisha ni wazi na sahihi: itakuwa daima (tukio fulani), haitakuwa kamwe (tukio lisilowezekana). Mara nyingi tunakabiliwa na matukio ya nasibu, ambayo baadhi yake yanawezekana zaidi, mengine yanawezekana kidogo. Kawaida watu hutumia maneno "uwezekano mkubwa" au "uwezekano mdogo", kama wanasema, kwa hiari, kutegemea kile kinachoitwa akili ya kawaida. Lakini mara nyingi makadirio kama haya yanageuka kuwa hayatoshi, kwani ni muhimu kujua kwa muda gani asilimia pengine tukio la nasibu au mara ngapi tukio moja la nasibu lina uwezekano zaidi kuliko lingine. Kwa maneno mengine, tunahitaji usahihi kiasi sifa, unahitaji kuwa na uwezo wa kubainisha uwezekano na nambari.

Tayari tumechukua hatua za kwanza katika mwelekeo huu. Tulisema kwamba uwezekano wa tukio fulani kutokea unaonyeshwa kama asilimia mia moja, na uwezekano wa tukio lisilowezekana kutokea ni kama sufuri. Ikizingatiwa kuwa 100% ni sawa na 1, watu walikubaliana juu ya yafuatayo:

1) uwezekano wa tukio la kuaminika unachukuliwa kuwa sawa 1;

2) uwezekano wa tukio lisilowezekana inachukuliwa kuwa sawa 0.

Jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio la nasibu? Baada ya yote, ilitokea bahati mbaya, kumaanisha kuwa haitii sheria, kanuni au kanuni. Inabadilika kuwa katika ulimwengu wa bahati nasibu sheria fulani zinatumika ambazo huruhusu mtu kuhesabu uwezekano. Hili ndilo tawi la hisabati linaloitwa - nadharia ya uwezekano .

Hisabati inahusika na mfano jambo fulani la ukweli unaotuzunguka. Kati ya mifano yote inayotumiwa katika nadharia ya uwezekano, tutajiwekea kikomo kwa rahisi zaidi.

Mpango wa kawaida wa uwezekano

Ili kupata uwezekano wa tukio A wakati wa kufanya jaribio fulani, unapaswa:

1) pata nambari N ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili;

2) kukubali dhana ya uwezekano sawa (uwezekano sawa) wa matokeo haya yote;

3) pata nambari N (A) ya matokeo hayo ya majaribio ambayo tukio A hutokea;

4) pata mgawo ; itakuwa sawa na uwezekano wa tukio A.

Ni desturi kuashiria uwezekano wa tukio A: P (A). Maelezo ya jina hili ni rahisi sana: neno "uwezekano" kwa Kifaransa ni uwezekano, kwa Kingereza- uwezekano.Jina linatumia herufi ya kwanza ya neno.

Kwa kutumia nukuu hii, uwezekano wa tukio A kulingana na mpango wa kitamaduni unaweza kupatikana kwa kutumia fomula

P(A)=.

Mara nyingi vidokezo vyote vya mpango wa uwezekano wa kitamaduni hapo juu huonyeshwa kwa kifungu kimoja kirefu.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

Uwezekano wa tukio A wakati wa jaribio fulani ni uwiano wa idadi ya matokeo kama matokeo ambayo tukio A hutokea kwa jumla ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili.

Mfano 1. Tafuta uwezekano kwamba kwa kutupa moja ya kufa matokeo yatakuwa: a) 4; b) 5; c) idadi sawa ya pointi; d) idadi ya pointi zaidi ya 4; e) idadi ya pointi ambazo haziwezi kugawanywa na tatu.

Suluhisho. Kwa jumla kuna N=6 matokeo yanayowezekana: kuanguka nje ya uso wa mchemraba na idadi ya pointi sawa na 1, 2, 3, 4, 5 au 6. Tunaamini kwamba hakuna hata mmoja wao aliye na faida yoyote juu ya wengine, yaani sisi. kukubali dhana kwamba usawa wa matokeo haya.

a) Katika mojawapo ya matokeo, tukio A ambalo linatuvutia litatokea-nambari 4 itatokea. Hii ina maana kwamba N(A)=1 na

P ( A )= =.

b) Suluhu na jibu ni sawa na katika aya iliyotangulia.

c) Tukio B tunalovutiwa nalo litatokea katika visa vitatu haswa wakati idadi ya alama ni 2, 4 au 6. Hii inamaanisha.

N ( B )=3 na P ( B )==.

d) Tukio C tunalovutiwa nalo litatokea katika visa viwili haswa wakati idadi ya alama ni 5 au 6. Hii inamaanisha.

N ( C ) =2 na Р(С)=.

e) Kati ya nambari sita zinazowezekana zilizochorwa, nne (1, 2, 4 na 5) sio nyingi ya tatu, na mbili zilizobaki (3 na 6) zinaweza kugawanywa na tatu. Hii ina maana kwamba tukio la kupendeza kwetu hutokea katika matokeo manne kati ya sita yanayowezekana na yanayowezekana na kwa usawa matokeo ya jaribio. Kwa hivyo jibu linageuka kuwa

. ; b); V); G); d).

Kete halisi inaweza kutofautiana na mchemraba bora (mfano), kwa hivyo, kuelezea tabia yake, mfano sahihi zaidi na wa kina unahitajika, kwa kuzingatia faida za uso mmoja juu ya mwingine, uwepo wa uwezekano wa sumaku, nk. "shetani yuko katika maelezo," na usahihi zaidi huelekea kusababisha utata zaidi, na kupata jibu inakuwa tatizo. Tunajiwekea kikomo kwa kuzingatia mfano rahisi zaidi wa uwezekano, ambapo matokeo yote yanayowezekana yanawezekana kwa usawa.

Kumbuka 1. Hebu tuangalie mfano mwingine. Swali liliulizwa: "Kuna uwezekano gani wa kupata tatu kwenye safu moja ya kufa?" Mwanafunzi akajibu: "Uwezekano ni 0.5." Na akaeleza jibu lake: “Watatu watakuja au la. Hii ina maana kwamba kuna matokeo mawili kwa jumla na katika moja hasa tukio la maslahi kwetu hutokea. Kwa kutumia mpango wa uwezekano wa kitamaduni, tunapata jibu 0.5. Je, kuna makosa katika hoja hii? Kwa mtazamo wa kwanza, hapana. Hata hivyo, bado ipo, na kwa njia ya msingi. Ndio, kwa kweli, tatu zitakuja au la, i.e., na ufafanuzi huu wa matokeo ya toss N = 2. Pia ni kweli kwamba N (A) = 1 na, bila shaka, ni kweli kwamba

=0.5, yaani pointi tatu za mpango wa uwezekano huzingatiwa, lakini utekelezaji wa hatua ya 2) ni shaka. Kwa kweli, kutoka kwa maoni ya kisheria, tuna haki ya kuamini kuwa kusonga tatu kuna uwezekano sawa wa kutoanguka. Lakini je, tunaweza kufikiria hivyo bila kukiuka mawazo yetu wenyewe ya asili kuhusu "usawa" wa kingo? Bila shaka hapana! Hapa tunashughulika na hoja sahihi ndani ya mtindo fulani. Lakini mfano huu yenyewe ni "vibaya", sio sambamba na jambo halisi.

Kumbuka 2. Wakati wa kujadili uwezekano, usipoteze mtazamo wa hali zifuatazo muhimu. Ikiwa tunasema kwamba wakati wa kutupa kufa, uwezekano wa kupata pointi moja ni

, hii haimaanishi kabisa kwamba kwa kukunja kete mara 6 utapata pointi moja sawa sawa, kwa kurusha kete mara 12 utapata pointi moja hasa mara mbili, kwa kurusha kete mara 18 utapata pointi moja hasa tatu. nyakati, nk. Neno hilo pengine ni la kubahatisha. Tunadhani kile kinachowezekana zaidi kutokea. Labda tukikunja kete mara 600, nukta moja itakuja mara 100, au karibu 100.

Ili kulinganisha kwa kiasi kikubwa matukio na kila mmoja kulingana na kiwango cha uwezekano wao, ni wazi, ni muhimu kuhusisha idadi fulani na kila tukio, ambalo ni kubwa zaidi, zaidi iwezekanavyo tukio hilo. Tutaita nambari hii uwezekano wa tukio. Hivyo, uwezekano wa tukio ni kipimo cha nambari cha kiwango cha uwezekano wa lengo la tukio hili.

Ufafanuzi wa kwanza wa uwezekano unapaswa kuzingatiwa kuwa wa kitambo, ambao uliibuka kutoka kwa uchanganuzi wa kamari na hapo awali ulitumika kwa intuitively.

Njia ya classical ya kuamua uwezekano inategemea dhana ya matukio yanayowezekana na yasiyolingana, ambayo ni matokeo ya uzoefu uliopewa na kuunda kundi kamili la matukio yasiyolingana.

Mfano rahisi zaidi wa matukio yanayowezekana na yasiyolingana yanayounda kikundi kamili ni kuonekana kwa mpira mmoja au mwingine kutoka kwa urn iliyo na mipira kadhaa ya ukubwa sawa, uzito na sifa nyingine zinazoonekana, tofauti tu katika rangi, iliyochanganywa kabisa kabla ya kuondolewa.

Kwa hivyo, jaribio ambalo matokeo yake huunda kundi kamili la matukio yasiyolingana na yanayowezekana kwa usawa inasemekana kuwa inaweza kupunguzwa kwa muundo wa urns, au muundo wa kesi, au inafaa katika muundo wa classical.

Matukio yanayowezekana na yasiyolingana ambayo yanaunda kikundi kamili yataitwa kesi au nafasi. Aidha, katika kila jaribio, pamoja na matukio, matukio magumu zaidi yanaweza kutokea.

Mfano: Wakati wa kutupa kete, pamoja na kesi A i - upotezaji wa alama za i upande wa juu, tunaweza kuzingatia matukio kama vile B - upotezaji wa idadi sawa ya alama, C - upotezaji wa idadi ya alama. pointi ambazo ni nyingi kati ya tatu...

Kuhusiana na kila tukio ambalo linaweza kutokea wakati wa majaribio, kesi zinagawanywa katika nzuri, ambayo tukio hili hutokea, na haifai, ambayo tukio hilo halifanyiki. Katika mfano uliopita, tukio B linapendekezwa na kesi A 2, A 4, A 6; tukio C - kesi A 3, A 6.

Uwezekano wa classical tukio la tukio fulani linaitwa uwiano wa idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio la tukio hili kwa jumla ya kesi zinazowezekana, zisizolingana ambazo zinaunda kundi kamili katika jaribio fulani:

Wapi P(A)- uwezekano wa tukio la tukio A; m- idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio A; n- jumla ya idadi ya kesi.

Mifano:

1) (tazama mfano hapo juu) P(B)= , P (C) =.

2) Mkojo una mipira 9 nyekundu na 6 ya bluu. Tafuta uwezekano kwamba mpira mmoja au miwili inayotolewa bila mpangilio itageuka kuwa nyekundu.

A- Mpira mwekundu uliotolewa bila mpangilio:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- mipira miwili nyekundu iliyochorwa bila mpangilio:

Sifa zifuatazo zinafuata kutoka kwa ufafanuzi wa kitamaduni wa uwezekano (jionyeshe):

1) Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni 0;

2) Uwezekano wa tukio la kuaminika ni 1;

3) Uwezekano wa tukio lolote liko kati ya 0 na 1;

4) Uwezekano wa tukio kinyume na tukio A,

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano unachukulia kuwa idadi ya matokeo ya jaribio ina kikomo. Katika mazoezi, mara nyingi sana kuna vipimo, idadi ya kesi zinazowezekana ambazo hazina mwisho. Kwa kuongeza, udhaifu wa ufafanuzi wa classical ni kwamba mara nyingi haiwezekani kuwakilisha matokeo ya mtihani kwa namna ya seti ya matukio ya msingi. Ni ngumu zaidi kuashiria sababu za kuzingatia matokeo ya msingi ya mtihani kuwa sawa iwezekanavyo. Kwa kawaida, usawaziko wa matokeo ya mtihani wa kimsingi huhitimishwa kutokana na masuala ya ulinganifu. Hata hivyo, kazi hizo ni nadra sana katika mazoezi. Kwa sababu hizi, pamoja na ufafanuzi wa classical wa uwezekano, ufafanuzi mwingine wa uwezekano pia hutumiwa.

Uwezekano wa takwimu tukio A ni mzunguko wa jamaa wa kutokea kwa tukio hili katika majaribio yaliyofanywa:

uko wapi uwezekano wa kutokea kwa tukio A;

Mzunguko wa jamaa wa tukio la tukio A;

Idadi ya majaribio ambayo tukio A lilionekana;

Jumla ya idadi ya majaribio.

Tofauti na uwezekano wa kitamaduni, uwezekano wa takwimu ni sifa ya majaribio.

Mfano: Ili kudhibiti ubora wa bidhaa kutoka kwa kundi, bidhaa 100 zilichaguliwa bila mpangilio, kati ya hizo bidhaa 3 zilionekana kuwa na kasoro. Kuamua uwezekano wa ndoa.

.

Njia ya takwimu ya kuamua uwezekano inatumika tu kwa matukio ambayo yana sifa zifuatazo:

Matukio yanayozingatiwa yanapaswa kuwa matokeo ya majaribio yale tu ambayo yanaweza kutolewa tena kwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati chini ya seti sawa ya masharti.

Ni lazima matukio yawe na uthabiti wa takwimu (au uthabiti wa masafa ya jamaa). Hii ina maana kwamba katika mfululizo tofauti wa majaribio mzunguko wa jamaa wa tukio hubadilika kidogo.

Idadi ya majaribio yanayosababisha tukio A lazima iwe kubwa kabisa.

Ni rahisi kuthibitisha kwamba sifa za uwezekano unaotokana na ufafanuzi wa classical pia zimehifadhiwa katika ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano.

Kama ilivyoelezwa hapo juu, na idadi kubwa n mzunguko wa mtihani P*(A)=m/ n kutokea kwa tukio A ni thabiti na inatoa thamani ya takriban ya uwezekano wa tukio A , i.e. .

Hali hii huturuhusu kupata takriban uwezekano wa tukio kwa majaribio. Kwa mazoezi, njia hii ya kupata uwezekano wa tukio sio rahisi kila wakati. Baada ya yote, tunahitaji kujua mapema uwezekano wa tukio fulani, hata kabla ya majaribio. Hii ni heuristic, nafasi ya utabiri wa sayansi. Katika idadi ya matukio, uwezekano wa tukio unaweza kubainishwa kabla ya jaribio kwa kutumia dhana ya usawa wa matukio (au usawazishaji).

Matukio hayo mawili yanaitwa uwezekano sawa (au kwa usawa iwezekanavyo ), ikiwa hakuna sababu za lengo la kuamini kwamba mmoja wao anaweza kutokea mara nyingi zaidi kuliko nyingine.

Kwa hiyo, kwa mfano, kuonekana kwa kanzu ya silaha au uandishi wakati wa kutupa sarafu ni matukio yanayowezekana sawa.

Hebu tuangalie mfano mwingine. Waache watupe kete. Kutokana na ulinganifu wa mchemraba, tunaweza kudhani kwamba kuonekana kwa nambari yoyote 1, 2, 3, 4, 5 au 6 iwezekanavyo (sawa uwezekano).

Matukio katika jaribio hili wanaunda kikundi kamili , ikiwa angalau moja yao inapaswa kutokea kama matokeo ya jaribio. Kwa hivyo, katika mfano wa mwisho, kikundi kamili cha matukio kinajumuisha matukio sita - kuonekana kwa nambari 1, 2, 3, 4, 5 Na 6.

Ni wazi, tukio lolote A na tukio lake kinyume huunda kundi kamili.

Tukio B kuitwa nzuri tukio A , ikiwa tukio la tukio B inahusisha kutokea kwa tukio A . Kwa hivyo, ikiwa A - kuonekana kwa idadi hata ya pointi wakati wa kutupa kete, kisha kuonekana kwa nambari 4 inawakilisha tukio linalopendelea tukio A.

Wacha matukio katika jaribio hili tengeneza kundi kamili la matukio yanayowezekana kwa usawa na yasioani kwa jozi. Hebu tuwaite matokeo vipimo. Wacha tufikirie kuwa tukio hilo A kupendelea matokeo ya majaribio. Kisha uwezekano wa tukio hilo A katika jaribio hili inaitwa mtazamo. Kwa hivyo tunakuja kwa ufafanuzi ufuatao.

Uwezekano wa P(A) wa tukio katika jaribio fulani ni uwiano wa idadi ya matokeo ya majaribio yanayofaa kwa tukio A hadi jumla ya idadi ya matokeo ya majaribio ambayo yanaunda kundi kamili la matukio ambayo yanawezekana kwa jozi yasioani. .

Ufafanuzi huu wa uwezekano mara nyingi huitwa classic. Inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa classical unakidhi axioms ya uwezekano.

Mfano 1.1. Kundi kutoka 1000 fani. Niliingia kwenye kundi hili kwa bahati mbaya 30 fani ambazo hazikidhi kiwango. Amua uwezekano P(A) kwamba fani iliyochukuliwa bila mpangilio itageuka kuwa ya kawaida.

Suluhisho: Idadi ya fani za kawaida ni 1000-30=970 . Tutafikiri kwamba kila kuzaa kuna uwezekano sawa wa kuchaguliwa. Kisha kundi kamili la matukio lina matokeo yanayowezekana sawa, ambayo tukio hilo A kupendelea matokeo. Ndiyo maana .

Mfano 1.2. Katika urn 10 mipira: 3 nyeupe na 7 nyeusi. Mipira miwili inachukuliwa kutoka kwenye urn mara moja. Kuna uwezekano gani R kwamba mipira yote miwili inageuka kuwa nyeupe?

Suluhisho: Idadi ya matokeo yote ya mtihani yanayowezekana kwa usawa ni sawa na idadi ya njia ambazo kwayo 10 toa mipira miwili, i.e. idadi ya mchanganyiko kutoka 10 vipengele kwa 2 (kikundi kamili cha tukio):

Idadi ya matokeo mazuri (kwa njia ngapi mtu anaweza kuchagua kutoka 3 chagua mipira 2) : . Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika .

Kuangalia mbele, tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa njia nyingine.

Suluhisho: Uwezekano kwamba kwenye jaribio la kwanza (kuvuta mpira) mpira mweupe utatolewa ni sawa na (jumla ya mipira. 10 , wao 3 nyeupe). Uwezekano kwamba wakati wa jaribio la pili mpira mweupe utatolewa tena ni sawa na (jumla ya mipira ni sasa. 9, kwa sababu wakatoa moja, ikawa nyeupe 2, kwa sababu Wakatoa ile nyeupe). Kwa hiyo, uwezekano wa kuchanganya matukio ni sawa na bidhaa ya uwezekano wao, i.e. .

Mfano 1.3. Katika urn 2 kijani, 7 nyekundu, 5 kahawia na 10 mipira nyeupe. Je, kuna uwezekano gani wa kuonekana kwa mpira wa rangi?

Suluhisho: Tunapata, kwa mtiririko huo, uwezekano wa kuonekana kwa mipira ya kijani, nyekundu na kahawia:; ; . Kwa kuwa matukio yanayozingatiwa ni wazi hayaendani, basi, kwa kutumia axiom ya kuongeza, tunapata uwezekano wa kuonekana kwa mpira wa rangi:

Au, kwa njia nyingine. Uwezekano wa kutokea kwa mpira mweupe ni . Kisha uwezekano wa kuonekana kwa mpira usio na nyeupe (yaani rangi), i.e. uwezekano wa tukio kinyume ni sawa na .

Ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano. Ili kuondokana na hasara ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano (hautumiki kwa vipimo na idadi isiyo na kipimo ya matokeo), ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano huletwa - uwezekano wa hatua inayoanguka katika kanda (sehemu, sehemu ya ndege, na kadhalika.).

Hebu sehemu iwe sehemu ya sehemu. Hoja imewekwa kwa nasibu kwenye sehemu, ambayo inamaanisha kuwa mawazo yafuatayo yamefikiwa: hatua iliyowekwa inaweza kuwa wakati wowote kwenye sehemu, uwezekano wa hatua inayoanguka kwenye sehemu ni sawia na urefu wa sehemu hii na haifanyi. hutegemea eneo lake kuhusiana na sehemu. Chini ya mawazo haya, uwezekano wa pointi kuangukia kwenye sehemu huamuliwa na usawa