- uamuzi wa derivative ya kipengele cha kukokotoa f (x) kwa uhakika x 0 ;
- kazi tofauti f (x) kwa uhakika x 0 .
Derivatives ya kazi rahisi zaidi za msingi:
 |  |
|
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
- kanuni ya kutofautisha kazi ngumu katika hatua moja x 0 , hapa;
- kanuni ya kutofautisha utendaji wa kinyume katika hatua;
- formula ya lagrange;
- formula ya Cauchy;
| |
- Fomula ya Taylor, . 1. Berman G.N. Mkusanyiko wa matatizo kwa kozi ya uchambuzi wa hisabati. M.: Nauka, 1975.
2. Bermant A.F., Aramonovich I.I. Kozi fupi ya uchambuzi wa hisabati. M.: Nauka, 1967.
3. Bolgov V.A., Demidovich B.P., Efimov A.V. na nk. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa vyuo. Sehemu ya 1, M.: Nauka, 1986.
4. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Hisabati ya juu katika mifano na matatizo. M.: Shule ya Upili, 1986.
5. Matatizo na mazoezi katika uchambuzi wa hisabati kwa vyuo vya ufundi. Mh. Demidovich B.P., M.: Nauka, 1968.
6. Zaporozhets G.I. Mwongozo wa kutatua matatizo katika uchambuzi wa hisabati. M.: Shule ya Upili, 1964.
7. Kudryavtsev V.A., Demidovich B.P. Kozi fupi ya hisabati ya juu. M.: Nauka, 1985.
8. Hisabati katika chuo kikuu cha ufundi. Toleo la II. Kokotoo tofauti ya utendaji wa kigezo kimoja. Mh. Zarubina V.S. na Krischenko A.P., M.: Nyumba ya uchapishaji ya MSTU im. N.E. Bauman, 2001.
9. Minorsky V.P. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati ya juu. M.: Nauka, 1987.
10. Piskunov N.S. Calculus tofauti na muhimu. M.: Nauka, T. 1,2, 1976.
11. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa vyuo vya ufundi. Mh. Efimova A.V., M.: Nauka, Sehemu ya 1-4, 1993-1994.
12. Shchipachev V.S. Hisabati ya juu. M.: Shule ya Upili, 1996.
13. Shchipachev V.S. Matatizo katika hisabati ya juu. M.: Shule ya Upili, 1997.
| |
Imeidhinishwa na baraza la uhariri na uchapishaji
Chuo Kikuu cha Mafuta na Gesi cha Jimbo la Tyumen.
Imeandaliwa na: Musakaev N.G., Profesa Mshiriki, Ph.D.
Smetanina I.A., Sanaa. mwalimu
Musakaeva M.F., msaidizi
Altunin E.A., msaidizi
© Taasisi ya elimu ya serikali ya elimu ya juu ya kitaaluma
"Chuo Kikuu cha Mafuta na Gesi cha Jimbo la Tyumen"
hesabu tofauti
tawi la hisabati ambalo husoma derivatives, tofauti na matumizi yao katika utafiti wa mali ya kazi. Nyingine ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni kikomo cha uwiano wa nyongeza?y = y1 - y0 ya chaguo za kukokotoa hadi nyongeza?x = x1 - x0 ya hoja kama?x inaelekea sifuri (ikiwa hii kikomo kipo). Nyingine inaonyeshwa na f?(x) au y?; Kwa hivyo, Tofauti ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni usemi dy = y?dx, ambapo dx = ?x ni nyongeza ya hoja x. Ni dhahiri kwamba y? = dy/dx. Uwiano dy/dx mara nyingi hutumika kama ishara ya kiingilio. Hesabu ya derivatives na tofauti inaitwa tofauti. Ikiwa derivative f?(x) ina, kwa upande wake, derivative, basi inaitwa derivative ya 2 ya chaguo za kukokotoa f(x) na inaashiria f??(x), nk. Dhana za msingi za calculus tofauti zinaweza kupanuliwa kwa kesi ya kazi za vigezo kadhaa. Ikiwa z = f(x,y) ni kazi ya vigeu viwili x na y, basi, baada ya kuweka thamani fulani kwa y, tunaweza kutofautisha z kwa heshima na x; derivative kusababisha dz/dx = f?x inaitwa derivative sehemu ya z kwa heshima na x. Sehemu derivative dz/dy = f?y, derivatives sehemu ya maagizo ya juu, tofauti ya sehemu na jumla hufafanuliwa sawa. Kwa matumizi ya calculus tofauti kwa jiometri, ni muhimu kwamba kinachojulikana. mteremko wa tangent, i.e. tangent ya pembe? (ona Mtini.) kati ya mhimili wa Ox na tangent kwa y = f (x) kwenye hatua M (x0, y0), ni sawa na thamani ya derivative katika x = x0, i.e. f?(x0). Katika mechanics, kasi ya hatua ya kusonga kwa mstatili inaweza kufasiriwa kama derivative ya njia kwa heshima na wakati. Calculus tofauti (kama calculus muhimu) ina matumizi mengi.
Hesabu tofauti
tawi la hisabati ambalo husoma derivatives na tofauti za kazi na matumizi yao katika masomo ya kazi. Ubunifu wa D. na. katika taaluma huru ya hisabati inahusishwa na majina ya I. Newton na G. Leibniz (nusu ya pili ya karne ya 17). Walitunga masharti makuu ya D. na. na ilionyesha kwa uwazi asili ya kinyume cha utendakazi wa upambanuzi na ujumuishaji. Tangu wakati huo, D. na. hukua kwa uhusiano wa karibu na calculus muhimu, pamoja na ambayo huunda sehemu kuu ya uchambuzi wa hisabati (au uchambuzi usio na kikomo). Uundaji wa hesabu tofauti na muhimu ulifungua enzi mpya katika ukuzaji wa hesabu. Ilihusisha kuibuka kwa idadi ya taaluma za hisabati: nadharia ya mfululizo, nadharia ya milinganyo tofauti, jiometri tofauti na calculus ya tofauti. Mbinu za uchambuzi wa hisabati zimepata matumizi katika matawi yote ya hisabati. Uga wa matumizi ya hisabati kwa maswali ya sayansi asilia na teknolojia umepanuka sana. "Ni calculus tofauti pekee inayoipa sayansi asili fursa ya kuonyesha kihisabati sio tu hali, lakini pia michakato: mwendo" (F. Engels, ona K. Marx na F. Engels, Soch., toleo la 2, gombo la 20, uk. 587 ) D. na. inategemea dhana zifuatazo muhimu zaidi za hisabati, ufafanuzi na utafiti ambao huunda somo la kuanzishwa kwa uchambuzi wa hisabati: nambari halisi (nambari ya mstari), kazi, kikomo, kuendelea. Dhana hizi zote ziliangaziwa na kupokea maudhui ya kisasa wakati wa ukuzaji na uhalalishaji wa hesabu tofauti na muhimu. Wazo kuu la D. na. inajumuisha kusoma kazi katika ndogo. Kwa usahihi zaidi: D. na. hutoa kifaa cha kusomea vitendaji ambavyo tabia yake katika kitongoji kidogo cha kutosha cha kila nukta iko karibu na tabia ya utendaji wa mstari au polynomial. Dhana kuu za nadharia tofauti hutumika kama kifaa kama hiki: derivative na tofauti. Dhana ya derivative ilitoka kwa idadi kubwa ya matatizo katika sayansi ya asili na hisabati ambayo inaongoza kwa hesabu ya mipaka ya aina moja. Muhimu zaidi kati yao ni kuamua kasi ya mwendo wa mstari wa nukta na kuunda tanjiti kwa ukingo. Dhana ya utofautishaji ni usemi wa kihisabati wa ukaribu wa chaguo za kukokotoa kwa mstari katika kitongoji kidogo cha hatua inayochunguzwa. Tofauti na derivative, inahamishwa kwa urahisi hadi kwa michoro ya nafasi moja ya Euclidean hadi nyingine na kwa michoro ya nafasi za kawaida za mstari na ni mojawapo ya dhana kuu za uchanganuzi wa kisasa wa utendaji usio na mstari. Derivative. Hebu iwe muhimu kuamua kasi ya hatua ya nyenzo ya kusonga kwa rectilinearly. Ikiwa harakati ni sare, basi njia iliyosafirishwa na hatua ni sawa na wakati wa harakati; kasi ya mwendo huo inaweza kufafanuliwa kuwa njia inayosafirishwa kwa kila kitengo cha wakati, au kama uwiano wa njia iliyosafirishwa kwa kipindi fulani cha muda hadi muda wa muda huu. Ikiwa harakati haina usawa, basi njia zinazopitiwa na hatua katika vipindi sawa vya wakati, kwa ujumla, zitakuwa tofauti. Mfano wa mwendo usio na usawa hutolewa na mwili unaoanguka kwa uhuru katika utupu. Sheria ya mwendo wa mwili kama huo inaonyeshwa na formula s = gt2/2, ambapo s ≈ umbali uliosafirishwa kutoka mwanzo wa kuanguka (katika mita), t ≈ wakati wa kuanguka (kwa sekunde), g ≈ thamani ya mara kwa mara, kuongeza kasi ya kuanguka bila malipo, g »9.81 m/ sec2. Katika pili ya kwanza ya kuanguka mwili utasafiri kuhusu 4.9 m, kwa pili ≈ kuhusu 14.7 m, na katika kumi ≈ kuhusu 93.2 m, yaani kuanguka hutokea bila usawa. Kwa hiyo, ufafanuzi hapo juu wa kasi haukubaliki hapa. Katika kesi hii, kasi ya wastani ya harakati kwa muda fulani baada ya (au kabla) wakati uliowekwa t inazingatiwa; inafafanuliwa kuwa uwiano wa urefu wa njia iliyosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi muda wake. Kasi hii ya wastani inategemea sio tu wakati t, lakini pia juu ya uchaguzi wa kipindi cha wakati. Katika mfano wetu, kasi ya wastani ya kuanguka kwa kipindi cha muda kutoka t hadi t + Dt ni sawa na Usemi huu, na kupungua kwa ukomo kwa muda wa muda wa Dt, inakaribia thamani gt, ambayo inaitwa kasi ya harakati kwa wakati. t. Kwa hivyo, kasi ya harakati kwa wakati wowote inafafanuliwa kuwa kikomo cha kasi ya wastani wakati kipindi cha muda kinapungua kwa muda usiojulikana. Katika hali ya jumla, mahesabu haya lazima yafanyike kwa wakati wowote wa wakati t, muda wa muda kutoka t hadi t + Dt na sheria ya mwendo iliyoonyeshwa na formula s = f (t). Kisha kasi ya wastani ya harakati kwa kipindi cha muda kutoka t hadi t + Dt inatolewa na formula Ds / Dt, ambapo Ds = f (t + Dt) ≈ f (t), na kasi ya harakati kwa wakati t ni. sawa na Faida kuu ya kasi kwa wakati fulani, au kasi ya papo hapo, kabla ya kasi ya wastani ni kwamba, kama sheria ya mwendo, ni kazi ya wakati t, na sio kazi ya muda (t, t + Dt) . Kwa upande mwingine, kasi ya papo hapo ni uondoaji fulani, kwani ni wastani, sio kasi ya papo hapo ambayo inaweza kupimwa moja kwa moja. Shida pia husababisha usemi wa aina (*) (tazama. mchele.) kutengeneza tanjenti kwa mkunjo wa ndege wakati fulani M. Acha curve Г iwe grafu ya kazi y = f (x). Msimamo wa tangent itajulikana ikiwa mgawo wake wa angular unapatikana, yaani, tangent ya angle inayoundwa na tangent na mhimili wa Ox. Wacha tuonyeshe kwa x0 abscissa ya uhakika M, na kwa x1 = x0 + Dх ≈ abscissa ya uhakika M
Mgawo wa angular wa secant MM1 ni sawa na
ambapo Dy = M1N = f (x0 + Dx) ≈ f (x0) ≈ ongezeko la chaguo la kukokotoa kwenye sehemu. Kufafanua tangent kwa uhakika M kama nafasi ya kuzuia ya secant MM1, wakati x1 inaelekea x0, tunapata
Kujiondoa kutoka kwa yaliyomo kwenye mitambo au kijiometri ya shida zilizo hapo juu na kuangazia njia ya kawaida ya suluhisho kwao, tunakuja kwenye dhana ya derivative. Nyingi ya chaguo za kukokotoa y = f (x) katika nukta x ni kikomo (ikiwa kipo) cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi uongezaji wa hoja, wakati mwisho unaelekea sifuri, ili
Kwa msaada wa derivative, pamoja na yale yaliyojadiliwa tayari, dhana kadhaa muhimu za sayansi ya asili zinafafanuliwa. Kwa mfano, nguvu ya sasa inafafanuliwa kama kikomo
ambapo Dq ≈ chaji chanya ya umeme huhamishwa kupitia sehemu ya msalaba wa mzunguko wakati wa Dt; kiwango cha mmenyuko wa kemikali hufafanuliwa kama kikomo
ambapo DQ ≈ mabadiliko katika kiasi cha dutu baada ya muda Dt; Kwa ujumla, derivative ya muda ni kipimo cha kasi ya mchakato, inayotumika kwa wingi wa aina mbalimbali za kimwili.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa y = f (x) inaashiria f" (x), y", dy/dx, df/dx au Df (x). Ikiwa kazi y = f (x) ina derivative katika hatua x0, basi inafafanuliwa wote katika hatua x0 yenyewe na katika baadhi ya jirani ya hatua hii na inaendelea katika hatua x0. Hitimisho kinyume, hata hivyo, litakuwa si sahihi. Kwa mfano, chaguo la kukokotoa linaloendelea katika kila nukta
grafu ambayo ni sehemu mbili za pembe za kwanza na za pili za kuratibu; kwa x = 0 haina derivative, kwa sababu uwiano wa Dу/Dх hauna kikomo wakati Dx ╝ 0: ikiwa Dх > 0, uwiano huu ni sawa na +1, na ikiwa Dx< 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).
Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti. Kwenye darasa la chaguo za kukokotoa ambazo zina derivative, operesheni hii ni ya mstari.
Jedwali la kanuni na kanuni za utofautishaji
(C)` = 0; (xn)` = nxn-1;
(ax)` = shoka ln a na (ex)` = ex;
(logax)` = 1/x ln a na (ln x)` = 1/x;
(dhambi x)` = cos x; (cos x)` = √ dhambi x;
(tg x)` = 1/cos2x; (ctg x)` = √ 1/sin2x;
(arc tan x)` = 1/(1 + x2).
` = f `(x) ╠ g`(x);
` = Cf `(x);
` = f``(x) g (x) + f (x) g `(x);
ikiwa y = f (u) na u = j(x), yaani y = f, basi dy/dx = (dy/du)×(du/dx) = f¢ (u)j¢(x) .
Hapa C, n na ≈ constants, a > 0. Jedwali hili, hasa, linaonyesha kwamba derivative ya kazi yoyote ya msingi ni tena kazi ya msingi.
Ikiwa derivative f" (x), kwa upande wake, ina derivative, basi inaitwa derivative ya pili ya kazi y = f (x) na inaashiria.
y", f" (x), d2y/dx2, d2f/dx2 au D2f (x).
Kwa uhakika wa kusonga kwa mstatili, derivative ya pili ina sifa ya kuongeza kasi yake.
Viingilio vya mpangilio wa juu (jumla) vinafafanuliwa vile vile. Derivative ya utaratibu n imeonyeshwa
yn, fn (x), dny/dxn, dnf/dxn au Dnf (x).
Tofauti. Chaguo za kukokotoa y = f (x), kikoa ambacho kina ujirani fulani wa nukta x0, huitwa kutofautishwa katika nukta x0 ikiwa nyongeza yake.
Dy = f (x0 + Dx) - f (x0)
inaweza kuandikwa kwa fomu
Dу = АDх + aDх,
ambapo A = A (x0), a = a(x, x0) ╝ 0 kwa x ╝ x0. Katika hili na tu katika kesi hii, usemi ADx inaitwa tofauti ya kazi f (x) katika hatua x0 na inaashiria dy au df (x0). Kijiometri, tofauti (iliyo na thamani isiyobadilika ya x0 na nyongeza tofauti ya Dx) inawakilisha nyongeza ya kiratibu cha tanjiti, yaani, sehemu ya NT (ona. mchele.) Nambari ya kutofautisha ni utendaji wa nukta x0 na nyongeza ya Dx. Wanasema kwamba tofauti ni sehemu kuu ya mstari wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa, wakimaanisha kwamba, kwa x0 iliyosanikishwa, dy ni kazi ya mstari wa Dx na tofauti Dy - dy ni ndogo kwa heshima na Dx. Kwa chaguo la kukokotoa f (x) º x tuna dx = Dх, i.e. tofauti ya tofauti huru inalingana na ongezeko lake. Kwa hiyo, kwa kawaida huandika dy = Adx. Kuna uhusiano wa karibu kati ya tofauti za chaguo za kukokotoa na derivative yake. Ili kazi ya kigezo kimoja y = f (x) iwe na tofauti katika hatua x0, ni muhimu na inatosha kuwa ina derivative (mwisho) f" (x0) katika hatua hii, na usawa dy = f" (x0) dx ni kweli . Maana ya kuona ya pendekezo hili ni kwamba tangent kwa curve y = f (x) katika hatua na abscissa x0, kama nafasi ya kikomo ya secant, pia ni mstari ambao, katika kitongoji kisicho na kikomo cha nukta x0, inaungana na mkunjo kwa ukaribu zaidi kuliko mstari mwingine wowote. Kwa hivyo, kila wakati A (x0) = f" (x0); nukuu dy/dx inaweza kueleweka sio tu kama jina la derivative f" (x0), lakini pia kama uwiano wa tofauti za vigeu tegemezi na vinavyojitegemea. . Kwa sababu ya usawa dy = f" (x0) dx, sheria za kupata tofauti hufuata moja kwa moja kutoka kwa sheria zinazolingana za kutafuta derivatives.
Tofauti za utaratibu wa juu pia huzingatiwa. Kwa mazoezi, kwa msaada wa tofauti, mahesabu takriban ya maadili ya kazi mara nyingi hufanywa, na makosa ya hesabu pia yanapimwa. Hebu, kwa mfano, tunahitaji kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa f (x) katika nukta x ikiwa f (x0) na f" (x0) zinajulikana. Kwa kubadilisha ongezeko la chaguo za kukokotoa na utofauti wake, tunapata kadirio la kukadiria. usawa
f (x1) » f (x0) + df (x0) = f (x0) + f" (x0) (x1 - x0).
Hitilafu ya usawa huu ni takriban sawa na nusu ya tofauti ya pili ya kazi, i.e.
1/2 d2f = 1/2 f" (x0) (x1 √ x0)
Maombi. Katika D. na. miunganisho imeanzishwa kati ya sifa za kazi na derivatives zake (au tofauti), zinazoonyeshwa na nadharia za msingi za nadharia ya nguvu. Hizi ni pamoja na nadharia ya Rolle, fomula ya Lagrange f (a) ≈ f (b) = f" (c)(b ≈ a), ambapo a< с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.
Mapendekezo haya yanaruhusu mbinu za D. na. fanya uchunguzi wa kina wa tabia ya kazi ambazo ni laini vya kutosha (ambayo ni, kuwa na derivatives ya mpangilio wa juu wa kutosha). Kwa njia hii, inawezekana kusoma kiwango cha ulaini, msongamano na mshikamano, kuongezeka na kupungua kwa kazi, ukali wao, kupata asymptotes zao, alama za inflection (angalia hatua ya inflection), kuhesabu mzingo wa curve, kujua asili. ya pointi zake za umoja, nk. Kwa mfano, hali f" (x) > 0 inahusisha ongezeko (kali) la chaguo la kukokotoa y = f (x), na hali f" (x) > 0 ≈ unyambulishaji wake (ulio mkali). Sehemu zote za mwisho za kazi inayoweza kutofautishwa ya mambo ya ndani ya kikoa cha ufafanuzi ziko kati ya mizizi ya equation f" (x) = 0.
Utafiti wa kazi kwa kutumia derivatives ni matumizi kuu ya nadharia ya nguvu. Aidha, D. na. hukuruhusu kukokotoa aina mbalimbali za vikomo vya chaguo za kukokotoa, hasa vikomo vya fomu 0/0 na ¥/¥ (tazama usemi usio na kikomo, sheria ya L'Hopital). D. na. Ni rahisi sana kusoma kazi za kimsingi, kwa sababu katika kesi hii, derivatives yao imeandikwa kwa uwazi.
D. na. kazi za vigezo vingi. Mbinu D. na. hutumiwa kusoma kazi za anuwai kadhaa. Kwa utendaji wa vigeu viwili vinavyojitegemea z = f (x, y), derivative ya sehemu kuhusiana na x ni derivative ya chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na x kwa y mara kwa mara. Nyingi ya sehemu hii inaashiria z"x, f"x (x, y), ╤z/╤x au ╤f (x, y)/╤x, hivyo
Sehemu inayotokana na z kwa heshima na y imefafanuliwa na kuonyeshwa vile vile. Ukubwa
Dz = f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y)
inaitwa ongezeko kamili la kazi z = f (x, y). Ikiwa inaweza kuwakilishwa katika fomu
Dz = ADx + ВDу + a,
ambapo ≈ isiyo na kikomo ya mpangilio wa juu kuliko umbali kati ya pointi (x, y) na (x + Dx, y + Dу), basi kazi z = f (x, y) inasemekana inaweza kutofautishwa. Maneno ADx + BDу huunda tofauti kamili dz ya chaguo za kukokotoa z = f (x, y), na A = z"x, B = z"y. Badala ya Dx na Dy kwa kawaida tunaandika dx na dy, hivyo
Kijiometri, tofauti ya kazi ya vigezo viwili ina maana kwamba grafu yake ina ndege ya tangent, na tofauti inawakilisha ongezeko la maombi ya ndege ya tangent wakati vigezo vinavyojitegemea vinapokea nyongeza dx na dy. Kwa kazi ya vigezo viwili, dhana ya tofauti ni muhimu zaidi na ya asili kuliko dhana ya derivatives ya sehemu. Tofauti na vitendakazi vya kigezo kimoja, kwa utendakazi wa vigeu viwili, kuwepo kwa viasili vya sehemu za mpangilio wa kwanza hakuhakikishi utofautishaji wa chaguo za kukokotoa. Walakini, ikiwa derivatives za sehemu pia zinaendelea, basi kazi inaweza kutofautishwa.
Baadhi ya derivatives ya maagizo ya juu hufafanuliwa vile vile. Viingilio vya sehemu ╤2f/╤x2 na ╤2f/╤у2, ambamo upambanuzi unafanywa kwa kuzingatia kigezo kimoja, huitwa safi, na viambajengo vya sehemu ╤2f/╤x╤y na ╤2f/╤у╤х ≈ mchanganyiko. Ikiwa mchanganyiko wa derivatives ya sehemu ni ya kuendelea, basi ni sawa kwa kila mmoja. Ufafanuzi huu wote na nukuu hubeba hadi kwenye kisa cha idadi kubwa ya vigeuzo.
Rejea ya kihistoria. Shida za kibinafsi juu ya kuamua tangents kwa curves na kupata viwango vya juu na vya chini vya anuwai vilitatuliwa na wanahisabati wa Ugiriki ya Kale. Kwa mfano, mbinu zilipatikana za kuunda tanjenti kwa sehemu za koni na baadhi ya mikondo mingine. Hata hivyo, mbinu zilizotengenezwa na wanahisabati wa kale zilitumika tu katika matukio maalum sana na zilikuwa mbali na mawazo ya D. na.
Enzi ya uumbaji wa D. na. Kama tawi la kujitegemea la hisabati, mtu anapaswa kuzingatia wakati ambapo ilieleweka kuwa shida hizi maalum, pamoja na idadi ya wengine (haswa shida ya kuamua kasi ya papo hapo), hutatuliwa kwa kutumia vifaa sawa vya hesabu - kwa msaada wa derivatives. na tofauti. Uelewa huu ulifikiwa na I. Newton na G. Leibniz.
Karibu 1666, I. Newton alianzisha njia ya fluxion (tazama calculus ya Fluxion). Newton alitengeneza kazi kuu kwa suala la mechanics: 1) kuamua kasi ya harakati kulingana na utegemezi unaojulikana wa njia kwa wakati; 2) uamuzi wa umbali uliosafirishwa wakati fulani kwa kutumia kasi inayojulikana. Newton aliita kigeu kinachoendelea kwa ufasaha (sasa), kasi yake ≈ fluxion. Kwa hivyo, dhana kuu za Newton zilikuwa derivative (fluxion) na kiungo kisichojulikana kama kizuia derivative (fluentia). Alijaribu kudhibitisha njia ya mabadiliko kwa msaada wa nadharia ya mipaka, ingawa mwisho huo ulionyeshwa tu na yeye.
Katikati ya miaka ya 70. Karne ya 17 G. Leibniz alitengeneza algoriti rahisi sana kwa D. na. Dhana kuu za Leibniz zilikuwa tofauti kama nyongeza isiyo na kikomo ya kigezo na kiunganishi dhahiri kama jumla ya idadi kubwa isiyo na kikomo ya tofauti. Leibniz anamiliki nukuu ya dx tofauti na òydx muhimu, idadi ya sheria za upambanuzi, ishara rahisi na rahisi, na, hatimaye, neno "kalkulasi tofauti" yenyewe. Maendeleo zaidi ya D. na. kwanza walifuata njia iliyoainishwa na Leibniz; Kazi za ndugu J. na I. Bernoulli, B. Taylor na wengine zilicheza jukumu kubwa katika hatua hii.
Hatua inayofuata katika maendeleo ya D. na. kulikuwa na kazi za L. Euler na J. Lagrange (karne ya 18). Euler kwanza alianza kuiwasilisha kama taaluma ya uchanganuzi, isiyotegemea jiometri na mechanics. Aliweka tena D. na. kama dhana ya msingi. derivative. Lagrange alijaribu kujenga D. na. algebra kwa kutumia upanuzi wa kazi katika mfululizo wa nguvu; Hasa, alikuwa na jukumu la kuanzishwa kwa neno "derivative" na jina y" au f" (x). Mwanzoni mwa karne ya 19. tatizo la kuthibitisha D. na lilitatuliwa kwa njia ya kuridhisha. kwa kuzingatia nadharia ya mipaka. Hili lilitimizwa hasa kutokana na kazi ya O. Cauchy, B. Bolzano na C. Gauss. Uchambuzi wa kina zaidi wa dhana za awali za D. na. ilihusishwa na maendeleo ya nadharia iliyowekwa na nadharia ya kazi za kutofautisha halisi mwishoni mwa karne ya 19 na mwanzoni mwa karne ya 20.
Lit.: Hadithi. Willeitner G., Historia ya hisabati kutoka Descartes hadi katikati ya karne ya 19, trans. kutoka Kijerumani, toleo la 2, M., 1966; Stroik D. Ya., Mchoro mfupi wa historia ya hisabati, trans. kutoka Kijerumani, toleo la 2, M., 1969; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3≈4, Lpz. ≈ V., 1901≈24.
Kazi za waanzilishi na classics ya D. na. Newton I., Kazi za hisabati, trans. kutoka Kilatini, M. ≈ L., 1937; Leibniz G., Nukuu zilizochaguliwa kutoka kwa kazi za hisabati, trans. kutoka Kilatini, "Maendeleo katika Sayansi ya Hisabati", 1948, gombo la 3, karne. 1; L'Hopital G. F. de, Uchambuzi wa infinitesimals, iliyotafsiriwa kutoka Kifaransa, M. ≈ Leningrad, 1935; Euler L., Utangulizi wa uchambuzi wa infinitesimals, iliyotafsiriwa kutoka Kilatini, toleo la 2, gombo la 1, M., 1961; yake , Calculus tofauti, iliyotafsiriwa kutoka Kilatini, M. ≈ Leningrad, 1949; Cauchy O. L., Muhtasari wa masomo juu ya tofauti na calculus muhimu, iliyotafsiriwa kutoka Kifaransa, St. .
Vitabu vya kiada na vifaa vya kufundishia juu ya D. na. Khinchin A. Ya., Kozi fupi katika uchambuzi wa hisabati, toleo la 3, M., 1957; na yeye, Mihadhara Nane juu ya Uchambuzi wa Hisabati, toleo la 3, M. ≈ Leningrad, 1948; Smirnov V.I., Kozi ya Hisabati ya Juu, toleo la 22, toleo la 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Kozi ya calculus tofauti na muhimu, toleo la 7, vol. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Kozi ya uchambuzi wa infinitesimals, trans. kutoka kwa Kifaransa, juzuu ya 1, L. ≈ M., 1933; Kurant R., Kozi ya calculus tofauti na muhimu, trans. pamoja naye. na Kiingereza, toleo la 4, gombo la 1, M., 1967; Banach S., Calculus tofauti na muhimu, trans. kutoka Kipolishi, toleo la 2, M., 1966; Rudin U., Misingi ya uchambuzi wa hisabati, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1966.
Imeandaliwa na S. B. Stechkin.
Wikipedia
Hesabu tofauti
Hesabu tofauti- tawi la uchanganuzi wa hesabu ambalo husoma dhana za derivative na tofauti na jinsi zinavyotumika katika masomo ya kazi.
DIFFERENTIAL CALCULUS, tawi la uchanganuzi wa hisabati ambalo huchunguza derivatives, tofauti na matumizi yake katika utafiti wa kazi. Calculus tofauti ilikuzwa kama taaluma inayojitegemea katika nusu ya 2 ya karne ya 17 chini ya ushawishi wa kazi za I. Newton na G. W. Leibniz, ambamo walitengeneza kanuni za msingi za calculus tofauti na walibaini asili ya kutofautisha ya utofautishaji na ujumuishaji. Tangu wakati huo, calculus tofauti imeundwa kwa uhusiano wa karibu na calculus muhimu, ikijumuisha pamoja nayo sehemu kuu ya uchanganuzi wa hisabati (au uchanganuzi usio na kikomo). Uundaji wa hesabu tofauti na muhimu ulifungua enzi mpya katika ukuzaji wa hesabu, ulijumuisha kuibuka kwa taaluma mpya za hesabu (nadharia ya safu, nadharia ya hesabu tofauti, jiometri tofauti, hesabu ya tofauti, uchambuzi wa kazi) na kwa kiasi kikubwa kupanua uwezekano wa matumizi ya hisabati kwa masuala ya sayansi asilia na teknolojia.
Hesabu tofauti inategemea dhana za kimsingi kama nambari halisi, kazi, kikomo, mwendelezo. Dhana hizi zilichukua fomu ya kisasa wakati wa maendeleo ya calculus tofauti na muhimu. Mawazo ya kimsingi na dhana za hesabu za kutofautisha zinahusishwa na uchunguzi wa kazi katika ndogo, i.e., katika vitongoji vidogo vya vidokezo vya mtu binafsi, ambayo inahitaji uundaji wa vifaa vya hisabati vya kusoma kazi ambazo tabia yake katika kitongoji kidogo cha kutosha cha kila nukta. uwanja wao wa ufafanuzi ni karibu na tabia ya kazi ya mstari au polynomial. Kifaa hiki kinategemea dhana ya derivative na tofauti. Dhana ya derivative iliondoka kuhusiana na idadi kubwa ya matatizo mbalimbali katika sayansi ya asili na hisabati, na kusababisha hesabu ya mipaka ya aina moja. Muhimu zaidi kati ya kazi hizi ni kuamua kasi ya harakati ya sehemu ya nyenzo kwenye mstari wa moja kwa moja na kuunda tangent kwa curve. Wazo la kutofautisha linahusishwa na uwezekano wa kukadiria kazi katika kitongoji kidogo cha hatua inayozingatiwa na kazi ya mstari. Tofauti na dhana ya derivative ya kitendakazi cha kigezo halisi, dhana ya utofautishaji inaweza kuhamishwa kwa urahisi hadi kwa utendaji wa hali ya jumla zaidi, ikijumuisha uchoraji wa nafasi moja ya Euclidean hadi nyingine, uchoraji ramani wa nafasi za Banach katika nafasi zingine za Banach, na hutumika kama mojawapo ya dhana za msingi za uchanganuzi wa kiutendaji.
Derivative. Acha sehemu ya nyenzo isogee kwenye mhimili wa Oy, na x inaashiria muda uliohesabiwa kutoka wakati fulani wa mwanzo. Maelezo ya harakati hii hutolewa na kazi y = f (x), ambayo inapeana kila wakati wa wakati x uratibu y wa hatua ya kusonga. Kazi hii katika mechanics inaitwa sheria ya mwendo. Tabia muhimu ya mwendo (hasa ikiwa haina usawa) ni kasi ya hatua ya kusonga kwa kila wakati wa wakati x (kasi hii pia inaitwa kasi ya papo hapo). Ikiwa nukta inasogea kwenye mhimili wa Oy kulingana na sheria y = f(x), basi kwa wakati wa kiholela x ina kuratibu f(x), na kwa sasa x + Δx - kuratibu f( x + Δx), ambapo Δx ni nyongeza ya wakati . Nambari Δy = f(x + Δx) - f(x), inayoitwa ongezeko la chaguo la kukokotoa, inawakilisha njia iliyosafirishwa na hatua ya kusogea wakati wa kutoka x hadi x + Δx. Mtazamo
inayoitwa uwiano wa tofauti, ni kasi ya wastani ya mwendo wa uhakika katika muda wa muda kutoka x hadi x + Δx. Kasi ya papo hapo (au kasi tu) ya sehemu ya kusogea kwa wakati x ni kikomo ambacho kasi ya wastani (1) huelekea kadri muda wa Δx unavyokaribia sifuri, yaani kikomo (2)
Dhana ya kasi ya papo hapo inaongoza kwa dhana ya derivative. Nyingine ya chaguo za kukokotoa kiholela y = f(x) katika sehemu maalum x inaitwa kikomo (2) (mradi kikomo hiki kipo). Nyingine ya chaguo za kukokotoa y = f(x) katika sehemu fulani x inaonyeshwa na mojawapo ya alama f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Uendeshaji wa kutafuta derivative (au kusonga kutoka kazi hadi derivative yake) inaitwa tofauti.
Tatizo la kujenga tangent kwa curve ya ndege, iliyofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oxy na equation y = f (x), wakati fulani M (x, y) (Mchoro.) pia husababisha kikomo (2). Baada ya kutoa hoja ya x nyongeza ya Δx na kuchukua nukta M' kwenye curve na viwianishi (x + Δx, f(x) + Δx)), tanjenti katika nukta M imedhamiriwa kama nafasi ya kuzuia ya sekunde MM' kama nukta M' inaelekea M (yaani .kama Δx inaelekea sifuri). Kwa kuwa hatua ya M ambayo tangent hupita inatolewa, ujenzi wa tangent hupunguzwa ili kuamua mgawo wake wa angular (yaani, tangent ya angle ya mwelekeo wake kwa mhimili wa Ox). Kwa kuchora mstari wa moja kwa moja wa MR sambamba na mhimili wa Ox, tunapata kwamba mgawo wa angular wa secant MM' ni sawa na uwiano.
Katika kikomo, kama Δx → 0, mgawo wa angular wa secant hugeuka kuwa mgawo wa angular wa tangent, ambayo inageuka kuwa sawa na kikomo (2), yaani, derivative f'(x).
Idadi ya matatizo mengine katika sayansi ya asili pia kusababisha dhana ya derivative. Kwa mfano, nguvu ya sasa katika kondakta inafafanuliwa kama kikomo lim Δt→0 Δq/Δt, ambapo Δq ni chaji chanya ya umeme inayohamishwa kupitia sehemu ya msalaba ya kondakta kwa wakati Δt, kiwango cha mmenyuko wa kemikali hufafanuliwa kama lim Δt→0 ΔQ/Δt, ambapo ΔQ ni badiliko la wingi wa dutu baada ya muda Δt na, kwa ujumla, derivative ya kiasi fulani cha kimwili kuhusiana na muda ni kasi ya mabadiliko ya kiasi hiki.
Ikiwa kazi y = f(x) imefafanuliwa katika hatua x yenyewe na katika kitongoji chake, na ina derivative katika hatua x, basi chaguo hili la kukokotoa linaendelea katika hatua x. Mfano wa chaguo za kukokotoa y = |x|, iliyofafanuliwa katika kitongoji chochote cha nukta x = 0, inayoendelea katika hatua hii, lakini bila kuwa na derivative kwa x = 0, inaonyesha kuwa mwendelezo wa chaguo la kukokotoa katika hatua fulani haufanyi. , kwa ujumla, inaashiria kuwepo katika hatua hii derivative. Zaidi ya hayo, kuna vitendaji ambavyo vinaendelea katika kila nukta ya kikoa chao cha ufafanuzi, lakini hazina derivative wakati wowote katika kikoa hiki cha ufafanuzi.
Katika kesi wakati kazi y = f (x) imefafanuliwa tu kwa kulia au kushoto tu kwa nukta x (kwa mfano, wakati x ni sehemu ya mpaka ya sehemu ambayo kazi hii imefafanuliwa), dhana ya viasili vya kulia na kushoto vya chaguo za kukokotoa y = f(x) vinatambulishwa. kwa uhakika x. Njiwa ya kulia ya chaguo za kukokotoa y = f(x) katika nukta x inafafanuliwa kuwa kikomo (2) mradi Δx inaelekea kuwa sufuri huku ikisalia kuwa chanya, na kiingilio cha kushoto kinafafanuliwa kama kikomo (2) mradi Δx inaelekea sifuri wakati iliyobaki hasi. Chaguo za kukokotoa y = f(x) ina derivative katika nukta x ikiwa na tu ikiwa ina viasili sawa vya kulia na kushoto katika hatua hii. Chaguo za kukokotoa hapo juu y =|x| ina katika hatua x = 0 derivative ya kulia sawa na 1 na derivative ya kushoto sawa na -1, na kwa kuwa derivatives ya kulia na kushoto si sawa kwa kila mmoja, kazi hii haina derivative katika uhakika x = 0. Katika darasa la vitendakazi ambavyo vina kiingilio, upambanuzi wa operesheni ni wa mstari, yaani (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), na (αf(x))' = αf'(x) kwa nambari yoyote α. Kwa kuongezea, sheria zifuatazo za kutofautisha ni halali:
Derivatives ya baadhi ya vipengele vya msingi ni:
α - nambari yoyote, x > 0;
n = 0, ±1, ±2,
n = 0, ±1, ±2,
Derivative ya kazi yoyote ya msingi tena ni kazi ya msingi.
Ikiwa derivative f'(x), kwa upande wake, ina derivative katika hatua fulani x, basi derivative ya chaguo za kukokotoa f'(x) inaitwa derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa y = f(x) katika nukta x. na inaonyeshwa na mojawapo ya alama f''(x ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).
Kwa sehemu ya nyenzo inayosonga kwenye mhimili wa Oy kulingana na sheria y = f (x), derivative ya pili inawakilisha kuongeza kasi ya hatua hii kwa wakati x. Vinyago vya mpangilio kamili n vinafafanuliwa vivyo hivyo, vinaonyeshwa na alama f (n) (x), y (n), d (n) f/dx (n), d (n) y/dx (n), D. (n) f (x).
Tofauti. Chaguo za kukokotoa y = f(x), kikoa ambacho kina kitongoji fulani cha nukta x, inaitwa kutofautishwa katika hatua x ikiwa nyongeza yake katika hatua hii inalingana na ongezeko la hoja Δx, yaani thamani Δy = f. (x + Δx) - f (x) inaweza kuwakilishwa katika fomu Δy = AΔх + αΔх, ambapo A = A(x), α = α(x, Δх) → 0 kama Δх → 0. Katika kesi hii, usemi AΔх unaitwa tofauti ya chaguo za kukokotoa f(x) katika nukta x na inaonyeshwa na ishara dy au df(x). Kijiometri, kwa thamani isiyobadilika ya x na ongezeko linalobadilika Δx, tofauti ni nyongeza ya mratibu wa tangent, yaani, sehemu ya RM" (Mtini.). Dy ya kutofautisha ni kazi ya nukta x na nukta. ongezeko Δx Tofauti inaitwa sehemu kuu ya mstari wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa, kwani kwa thamani isiyobadilika ya x, thamani dy ni kazi ya mstari wa Δx, na tofauti Δу - dy ni ndogo ikilinganishwa na Δx kwa Δx. → 0. Kwa chaguo za kukokotoa f(x) = x, kwa ufafanuzi dx = Δx, yaani, utofautishaji wa kigezo huru dx sanjari na ongezeko lake Δx Hii hukuruhusu kuandika upya usemi wa utofautishaji katika umbo dy=Adx. .
Kwa kazi ya kutofautisha moja, dhana ya kutofautisha inahusiana kwa karibu na dhana ya derivative: ili kazi y = f (x) iwe na tofauti katika hatua x, ni muhimu na inatosha kuwa ina mwisho. derivative f'(x) katika hatua hii, na usawa dy = f'(x)dx. Maana ya kuona ya taarifa hii ni kwamba tangent kwa curve y = f (x) katika hatua na abscissa x sio tu nafasi ya kizuizi ya secant, lakini pia mstari wa moja kwa moja, ambao katika kitongoji kisicho na kikomo cha uhakika. x inaambatana na mkunjo y = f(x ) kwa nguvu zaidi kuliko mstari mwingine wowote ulionyooka. Kwa hivyo, A(x) kila wakati = f'(x) na nukuu dy/dx inaweza kueleweka sio tu kama jina la derivative f'(x), lakini pia kama uwiano wa tofauti za chaguo la kukokotoa na hoja. . Kwa sababu ya usawa dy = f’(x)dx, sheria za kupata tofauti hufuata moja kwa moja kutoka kwa kanuni zinazolingana za viini. Tofauti za amri ya pili na ya juu pia huzingatiwa.
Maombi. Kalkulasi tofauti huanzisha miunganisho kati ya sifa za chaguo za kukokotoa f(x) na viasili vyake (au tofauti zake), ambavyo vinajumuisha maudhui ya nadharia kuu za kalkulasi tofauti. Miongoni mwa nadharia hizi ni taarifa kwamba sehemu kuu zote za chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa f(x) zilizo ndani ya kikoa chake cha ufafanuzi ni miongoni mwa mizizi ya mlinganyo f'(x) = 0, na fomula ya nyongeza inayotumika mara nyingi (Lagrange formula) f(b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), ambapo a<ξ
Calculus tofauti ya kazi za vigezo kadhaa. Mbinu tofauti za calculus hutumiwa kusoma kazi za anuwai kadhaa. Kwa kitendakazi cha viambajengo viwili u = f(x, y), sehemu yake inayotokana na x katika hatua ya M (x, y) ni derivative ya chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na x kwa y isiyobadilika, inayofafanuliwa kama.
na kuashiria kwa mojawapo ya alama f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x au ∂f(x,y)’/∂x. Sehemu ya derivative ya chaguo za kukokotoa u = f(x,y) kuhusiana na y imefafanuliwa na kuashiria vivyo hivyo. Kiasi Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) inaitwa ongezeko la jumla la kazi katika hatua M (x, y). Ikiwa kiasi hiki kinaweza kuwakilishwa katika fomu
ambapo A na B hazitegemei Δх na Δу, na α huwa na sifuri kama
basi kazi u = f(x, y) inasemekana inaweza kutofautishwa katika hatua M(x, y). Jumla ya AΔx + BΔy inaitwa tofauti ya jumla ya chaguo za kukokotoa u = f(x, y) katika hatua ya M(x, y) na inaonyeshwa na ishara du. Kwa kuwa A = f'x(x, y), B = f'y(x, y), na nyongeza Δx na Δy zinaweza kuchukuliwa sawa na tofauti zao dx na dy, basi jumla ya tofauti du inaweza kuandikwa katika fomu
Kijiometri, utofautishaji wa kazi ya vigeu viwili u = f(x, y) katika hatua fulani M (x, y) inamaanisha kuwa grafu yake ina ndege ya tangent katika hatua hii, na tofauti ya kazi hii ni ongezeko la applicate ya hatua ya tangent ndege sambamba na nyongeza dx na dy vigezo huru. Kwa kazi ya vigezo viwili, dhana ya tofauti ni muhimu zaidi na ya asili kuliko dhana ya derivatives ya sehemu. Tofauti na kitendakazi cha kigeu kimoja, kwa kazi ya vigeu viwili u = f(x, y) kuweza kutofautishwa katika sehemu fulani M(x, y), haitoshi kuwepo katika hatua hii ya viingilio finyu vya sehemu f. 'x(x, y), na f' y(x, y). Hali ya lazima na ya kutosha kwa utofautishaji wa chaguo za kukokotoa u = f(x, y) katika hatua ya M (x, y) ni kuwepo kwa viasili finyu f'x(x, y) na f'y(x, y) na kuelekea sifuri
kiasi
Nambari ya idadi hii hupatikana ikiwa kwanza tunachukua nyongeza ya chaguo za kukokotoa f(x, y), inayolingana na nyongeza Δx ya hoja yake ya kwanza, na kisha kuchukua nyongeza ya tofauti inayosababisha f(x + Δx, y) - f(x, y), sambamba na nyongeza Δy ya hoja zake za pili. Hali rahisi ya kutosha kwa utofautishaji wa chaguo za kukokotoa u = f(x, y) katika uhakika M(x, y) ni kuwepo kwa viambajengo vinavyoendelea vya sehemu f'x(x, y) na f'y(x, y) ) katika hatua hii.
Baadhi ya derivatives ya maagizo ya juu hufafanuliwa vile vile. Viingilio vya sehemu ∂ 2 f/∂х 2 na ∂ 2 f/∂у 2, ambapo tofauti zote mbili zinafanywa kwa kuzingatia kigezo kimoja, huitwa safi, na derivatives za sehemu ∂ 2 f/∂х∂у na ∂ 2 f/∂у∂х - mchanganyiko. Katika kila hatua ambayo derivatives zote mbili zilizochanganywa zinaendelea, ni sawa kwa kila mmoja. Ufafanuzi huu na nukuu huendelea hadi kwenye kesi ya idadi kubwa ya vigeu.
Mchoro wa kihistoria. Shida tofauti za kuamua tangents kwa curves na kupata viwango vya juu na vya chini vya anuwai vilitatuliwa na wanahisabati wa Ugiriki ya Kale. Kwa mfano, mbinu zilipatikana za kuunda tanjenti kwa sehemu za koni na baadhi ya mikondo mingine. Hata hivyo, mbinu zilizotengenezwa na wanahisabati wa kale zilikuwa mbali na mawazo ya calculus tofauti na zinaweza kutumika tu katika kesi maalum sana. Kufikia katikati ya karne ya 17, ikawa wazi kuwa shida nyingi zilizotajwa, pamoja na zingine (kwa mfano, shida ya kuamua kasi ya papo hapo) zinaweza kutatuliwa kwa kutumia vifaa sawa vya hesabu, kwa kutumia derivatives na tofauti. Karibu 1666, I. Newton alianzisha njia ya fluxion (tazama calculus ya Fluxion). Newton alizingatia, hasa, matatizo mawili ya mechanics: tatizo la kuamua kasi ya papo hapo ya harakati kutoka kwa utegemezi unaojulikana wa njia kwa wakati na tatizo la kuamua umbali uliosafiri wakati fulani kutoka kwa kasi inayojulikana ya papo hapo. Newton aitwaye kazi zinazoendelea za wataalam wa wakati, na viwango vya mabadiliko yao - fluxions. Kwa hivyo, dhana kuu za Newton zilikuwa derivative (fluxion) na indefinite integral (fluentia). Alijaribu kuthibitisha njia ya fluxion kwa kutumia nadharia ya mipaka, ambayo wakati huo haikuendelezwa vya kutosha.
Katikati ya miaka ya 1670, G. W. Leibniz alitengeneza algoriti zinazofaa kwa hesabu za kutofautisha. Dhana kuu za Leibniz zilikuwa tofauti kama nyongeza isiyo na kikomo ya chaguo za kukokotoa na kiunganishi dhahiri kama jumla ya idadi kubwa isiyo na kikomo ya tofauti. Alianzisha nukuu ya kutofautisha na muhimu, neno "hesabu tofauti", akapata sheria kadhaa za kutofautisha, na akapendekeza ishara rahisi. Ukuzaji zaidi wa hesabu tofauti katika karne ya 17 ulifuata hasa njia iliyoainishwa na Leibniz; Kazi za J. na I. Bernoulli, B. Taylor na wengine zilicheza jukumu kubwa katika hatua hii.
Hatua inayofuata katika maendeleo ya calculus tofauti inahusishwa na kazi za L. Euler na J. Lagrange (karne ya 18). Euler alianza kwanza kuwasilisha calculus tofauti kama taaluma ya uchanganuzi, isiyotegemea jiometri na mechanics. Alitumia tena derivative kama dhana ya msingi ya calculus tofauti. Lagrange ilijaribu kuunda calculus tofauti kwa algebra, kwa kutumia upanuzi wa kazi katika mfululizo wa nguvu; alianzisha neno “derivative” na nukuu y’ na f’(x). Mwanzoni mwa karne ya 19, tatizo la kuthibitisha calculus tofauti kwa misingi ya nadharia ya mipaka ilitatuliwa kwa kiasi kikubwa, hasa kutokana na kazi ya O. Cauchy, B. Bolzano na C. Gauss. Uchambuzi wa kina wa dhana za awali za calculus tofauti ulihusishwa na maendeleo ya nadharia iliyowekwa na nadharia ya kazi za vigezo halisi mwishoni mwa karne ya 19 na mapema ya 20.
Lit.: Historia ya hisabati: Katika juzuu 3. M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Historia ya hisabati. 2 ed. M., 1974; Nikolsky S. M. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. 6 ed. M., 2001: Zorich V. A. Uchambuzi wa hisabati: Sehemu ya 2, toleo la 4. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kozi ya uchambuzi wa hisabati: Katika juzuu 3, toleo la 5. M., 2003-2006; Fikhtengolts G. M. Kozi ya calculus tofauti na muhimu: Katika juzuu 3. Toleo la 8. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Misingi ya uchambuzi wa hisabati. 7 ed. M., 2004. Sehemu ya 1. Toleo la 5. M., 2004. Sehemu ya 2; Ilyin V. A., Sadovnichy V. A., Sendov Bl. X. Uchambuzi wa hisabati. Toleo la 3. M., 2004. Sehemu ya 1. Toleo la 2. M., 2004. Sehemu ya 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Hisabati ya Juu. 2 ed. M., 2005.
katika taaluma huru ya hisabati inahusishwa na majina ya I. Newton na G. Leibniz (nusu ya pili ya karne ya 17). Walitengeneza masharti makuu Hesabu tofauti na ilionyesha kwa uwazi asili ya kinyume cha utendakazi wa upambanuzi na ujumuishaji. Kuanzia sasa Hesabu tofauti yanaendelea katika uhusiano wa karibu na hesabu muhimu , pamoja na ambayo huunda sehemu kuu ya uchambuzi wa hisabati (au uchambuzi usio na kikomo). Uundaji wa hesabu tofauti na muhimu ulifungua enzi mpya katika ukuzaji wa hesabu. Ilihusisha kuibuka kwa idadi ya taaluma za hisabati: nadharia ya mfululizo, nadharia ya milinganyo tofauti, jiometri tofauti na calculus ya tofauti. Mbinu za uchambuzi wa hisabati zimepata matumizi katika matawi yote ya hisabati. Uga wa matumizi ya hisabati kwa maswali ya sayansi asilia na teknolojia umepanuka sana. "Ni calculus tofauti pekee inayoipa sayansi asili fursa ya kuonyesha kihisabati sio tu hali, lakini pia michakato: mwendo" (F. Engels, ona K. Marx na F. Engels, Soch., toleo la 2, gombo la 20, uk. 587 )Hesabu tofauti inategemea dhana zifuatazo muhimu zaidi za hisabati, ufafanuzi na utafiti ambao ni mada ya utangulizi wa uchambuzi wa hisabati: nambari za kweli (mstari wa nambari), kazi , kikomo , mwendelezo . Dhana hizi zote ziliangaziwa na kupokea maudhui ya kisasa wakati wa ukuzaji na uhalalishaji wa hesabu tofauti na muhimu. wazo kuu Hesabu tofauti inajumuisha kusoma kazi katika ndogo. Usahihi zaidi: Hesabu tofauti hutoa kifaa cha kusomea vitendaji ambavyo tabia yake katika kitongoji kidogo cha kutosha cha kila nukta iko karibu na tabia ya utendaji wa mstari au polynomial. Kifaa hiki kinatolewa na dhana kuu Hesabu tofauti: derivative na tofauti. Dhana ya derivative ilitoka kwa idadi kubwa ya matatizo katika sayansi ya asili na hisabati ambayo inaongoza kwa hesabu ya mipaka ya aina moja. Muhimu zaidi kati yao ni kuamua kasi ya mwendo wa mstari wa nukta na kuunda tanjiti kwa ukingo. Dhana ya utofautishaji ni usemi wa kihisabati wa ukaribu wa chaguo za kukokotoa kwa mstari katika kitongoji kidogo cha hatua inayochunguzwa. Tofauti na derivative, inahamishiwa kwa urahisi kwa michoro ya nafasi moja ya Euclidean hadi nyingine na kwa uchoraji ramani wa nafasi holela za mstari na ni moja wapo ya dhana za kimsingi za kisasa zisizo za mstari. uchambuzi wa kazi .
Derivative. Hebu iwe muhimu kuamua kasi ya hatua ya nyenzo ya kusonga kwa rectilinearly. Ikiwa harakati ni sare, basi njia iliyosafirishwa na hatua ni sawa na wakati wa harakati; kasi ya mwendo huo inaweza kufafanuliwa kuwa njia inayosafirishwa kwa kila kitengo cha wakati, au kama uwiano wa njia iliyosafirishwa kwa kipindi fulani cha muda hadi muda wa muda huu. Ikiwa harakati haina usawa, basi njia zinazopitiwa na hatua katika vipindi sawa vya wakati, kwa ujumla, zitakuwa tofauti. Mfano wa mwendo usio na usawa hutolewa na mwili unaoanguka kwa uhuru katika utupu. Sheria ya mwendo wa mwili kama huo inaonyeshwa na fomula s = gt 2/2, wapi s- umbali uliosafiri tangu mwanzo wa vuli (katika mita), t- wakati wa kuanguka (katika sekunde), g- thamani ya mara kwa mara, kuongeza kasi ya kuanguka bure, g»9.81 m/sekunde 2. Wakati wa sekunde ya kwanza ya kuanguka mwili utasafiri karibu 4.9 m, kwa pili - kuhusu 14.7 m, na kwa sehemu ya kumi - kuhusu 93.2 m, yaani kuanguka hutokea bila usawa. Kwa hiyo, ufafanuzi hapo juu wa kasi haukubaliki hapa. Katika kesi hii, kasi ya wastani ya harakati inazingatiwa kwa muda fulani baada ya (au kabla) ya muda uliowekwa t; inafafanuliwa kuwa uwiano wa urefu wa njia iliyosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi muda wake. Kasi hii ya wastani inategemea sio wakati tu t, lakini pia juu ya uchaguzi wa kipindi cha muda. Katika mfano wetu, kiwango cha wastani cha kuanguka kwa kipindi cha muda kutoka t kabla t+D t sawa na
Usemi huu wa kupungua bila kikomo katika muda wa D t inakaribia thamani GT, ambayo inaitwa kasi ya harakati kwa wakati wa wakati t. Kwa hivyo, kasi ya harakati kwa wakati wowote inafafanuliwa kuwa kikomo cha kasi ya wastani wakati kipindi cha muda kinapungua kwa muda usiojulikana.
Kwa ujumla, mahesabu haya lazima yafanyike kwa wakati wowote kwa wakati. t, kipindi cha muda kuanzia t kabla t+D t na sheria ya mwendo iliyoonyeshwa na fomula s = f(t) Kisha kasi ya wastani ya harakati kwa kipindi cha muda kutoka t kabla t+D t imetolewa na formula /D t, ambapo D s = f(t+D t) - f(t), na kasi ya harakati wakati wa wakati t sawa na
Faida kuu ya kasi kwa wakati fulani, au kasi ya papo hapo, juu ya kasi ya wastani ni kwamba, kama sheria ya mwendo, ni kazi ya wakati. t, sio kitendakazi cha muda ( t, t+D t) Kwa upande mwingine, kasi ya papo hapo ni uondoaji fulani, kwani ni wastani, sio kasi ya papo hapo ambayo inaweza kupimwa moja kwa moja.
Shida pia husababisha usemi wa aina (*) (tazama. mchele. ) ujenzi tangent kwa kona ya ndege wakati fulani M. Acha curve Г iwe grafu ya chaguo la kukokotoa katika = f(x) Nafasi ya tanjiti itabainishwa ikiwa mgawo wake wa angular utapatikana, yaani, tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjiti yenye mhimili. Ng'ombe. Wacha tuonyeshe kwa x 0 hatua ya abscissa M, na kupitia x 1 = x 0+D X- abscissa ya uhakika M 1. Mgawo wa angular wa secant MM 1 sawa
Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti. Kwenye darasa la chaguo za kukokotoa ambazo zina derivative, operesheni hii ni ya mstari.
Jedwali la kanuni na kanuni za utofautishaji
Mapendekezo haya yanaruhusu mbinu Hesabu tofauti fanya uchunguzi wa kina wa tabia ya kazi ambazo ni laini vya kutosha (ambayo ni, kuwa na derivatives ya mpangilio wa juu wa kutosha). Kwa njia hii inawezekana kuchunguza kiwango cha ulaini, convexity na concavity , kuongeza na kupunguza utendaji , wao uliokithiri , wapate asymptotes , pointi za inflection (angalia hatua ya inflection), hesabu mkunjo curve, gundua asili yake pointi za umoja na kadhalika. Kwa mfano, hali f"(x) > 0 inahusisha ongezeko (kali) la chaguo la kukokotoa katika = f(x), na hali f"(x) > 0 - mnyumbuliko wake (mkali). Pointi zote za mwisho za kazi inayoweza kutofautishwa ya mambo ya ndani ya kikoa chake cha ufafanuzi ziko kati ya mizizi ya equation. f"(x) = 0.
Utafiti wa kazi kwa kutumia derivatives ni maombi kuu Hesabu tofauti Mbali na hilo, Hesabu tofauti hukuruhusu kukokotoa aina mbalimbali za vikomo vya utendakazi, haswa vikomo vya fomu 0/0 na ¥/¥ (ona. Usemi usiobainishwa , Utawala wa L'Hopital ). Hesabu tofauti Ni rahisi sana kusoma kazi za kimsingi, kwa sababu katika kesi hii, derivatives yao imeandikwa kwa uwazi.
Hesabu tofauti kazi za vigezo vingi. Mbinu Hesabu tofauti hutumiwa kusoma kazi za anuwai kadhaa. Kwa kazi ya vigezo viwili vinavyojitegemea z = f (X, katika) sehemu ya derivative kwa heshima na X derivative ya kazi hii kwa heshima na X kwa mara kwa mara katika. Sehemu hii ya derivative inaashiria z"x, f"x(x, y), ¶ z/¶ X au ¶ f(x, y)/¶ x, Kwa hiyo
Sehemu ya derivative imefafanuliwa na kuashiria vivyo hivyo z Na katika. Ukubwa
D z = f(x+D x, y+D y) - f(x, y)
inaitwa ongezeko kamili la kazi z = f(x, y) Ikiwa inaweza kuwakilishwa katika fomu
D z = A D x + KATIKA D katika+ a,
ambapo a ni infinitesimal ya utaratibu wa juu kuliko umbali kati ya pointi ( X, katika) Na ( X+D X, katika+D katika), kisha wanasema kwamba kazi z = f(x, y) inaweza kutofautishwa. Vipengele A D X + KATIKA D katika kuunda tofauti kamili dz kazi z = f(x, y), na A = z"x, = z" y. Badala ya D x na D y kawaida kuandika dx Na dy, Kwa hiyo
Kijiometri, utofautishaji wa kazi ya vigeu viwili humaanisha kwamba grafu yake ina ndege ya tanjiti, na tofauti hiyo inawakilisha ongezeko la matumizi ya ndege ya tanjiti wakati vigeu vinavyojitegemea vinapokea nyongeza. dx Na dy. Kwa kazi ya vigezo viwili, dhana ya tofauti ni muhimu zaidi na ya asili kuliko dhana ya derivatives ya sehemu. Tofauti na vitendakazi vya kigezo kimoja, kwa utendakazi wa vigeu viwili, kuwepo kwa viasili vya sehemu za mpangilio wa kwanza hakuhakikishi utofautishaji wa chaguo za kukokotoa. Walakini, ikiwa derivatives za sehemu pia zinaendelea, basi kazi inaweza kutofautishwa.
Baadhi ya derivatives ya maagizo ya juu hufafanuliwa vile vile. Viingilio kwa sehemu ¶ 2 f/¶ x 2 Na ¶ 2 f/¶ saa 2, ambamo upambanuzi unafanywa kuhusiana na kigezo kimoja, huitwa viambajengo safi, na sehemu ¶ 2 f/¶ x¶ y Na ¶ 2 f/¶ katika¶ X- mchanganyiko. Ikiwa mchanganyiko wa derivatives ya sehemu ni ya kuendelea, basi ni sawa kwa kila mmoja. Ufafanuzi huu wote na nukuu hubeba hadi kwenye kisa cha idadi kubwa ya vigeuzo.
Rejea ya kihistoria. Shida za kibinafsi juu ya kuamua tangents kwa curves na kupata viwango vya juu na vya chini vya anuwai vilitatuliwa na wanahisabati wa Ugiriki ya Kale. Kwa mfano, mbinu zilipatikana za kuunda tanjenti kwa sehemu za koni na baadhi ya mikondo mingine. Walakini, njia zilizotengenezwa na wanahisabati wa zamani zilitumika tu katika hali maalum na ziko mbali na maoni Hesabu tofauti
Enzi ya uumbaji Hesabu tofauti Kama tawi la kujitegemea la hisabati, mtu anapaswa kuzingatia wakati ambapo ilieleweka kuwa shida hizi maalum, pamoja na idadi ya wengine (haswa shida ya kuamua kasi ya papo hapo), hutatuliwa kwa kutumia vifaa sawa vya hesabu - kwa kutumia derivatives na tofauti. Uelewa huu ulifikiwa na I. Newton na G. Leibniz.
Karibu 1666 I. Newton alitengeneza njia ya kubadilika (tazama. Hesabu ya Fluxion ) Newton alitengeneza kazi kuu kwa suala la mechanics: 1) kuamua kasi ya harakati kulingana na utegemezi unaojulikana wa njia kwa wakati; 2) uamuzi wa umbali uliosafirishwa wakati fulani kwa kutumia kasi inayojulikana. Newton aitwaye kuendelea kutofautiana kwa ufasaha (sasa), kasi yake - fluxion. Kwa hivyo, dhana kuu za Newton zilikuwa derivative (fluxion) na kiungo kisichojulikana kama kizuia derivative (fluentia). Alijaribu kudhibitisha njia ya mabadiliko kwa msaada wa nadharia ya mipaka, ingawa mwisho huo ulionyeshwa tu na yeye.
Katikati ya miaka ya 70. Karne ya 17 G. Leibniz alitengeneza algoriti rahisi sana Hesabu tofauti Dhana kuu za Leibniz zilikuwa tofauti kama nyongeza isiyo na kikomo ya kigezo na kiunganishi dhahiri kama jumla ya idadi kubwa isiyo na kikomo ya tofauti. Nukuu ya Leibniz ya tofauti hiyo dx na muhimu ò ydx, idadi ya sheria za kutofautisha, ishara rahisi na rahisi na, hatimaye, neno "calculus tofauti" yenyewe. Maendeleo zaidi Hesabu tofauti kwanza walifuata njia iliyoainishwa na Leibniz; Kazi za ndugu Ya. na mimi zilicheza jukumu kubwa katika hatua hii. Bernoulli , B. Taylor na nk.
Hatua inayofuata katika maendeleo Hesabu tofauti Kulikuwa na kazi za L. Euler na J. Lagrange (karne ya 18). Euler kwanza alianza kuiwasilisha kama taaluma ya uchanganuzi, isiyotegemea jiometri na mechanics. Aliweka tena kama dhana ya msingi Hesabu tofauti derivative. Lagrange alijaribu kujenga Hesabu tofauti algebra kwa kutumia upanuzi wa kazi katika mfululizo wa nguvu; Hasa, alikuwa na jukumu la kuanzishwa kwa neno "derivative" na jina y" au f"(x) Mwanzoni mwa karne ya 19. tatizo la kuhesabiwa haki lilitatuliwa kwa njia ya kuridhisha Hesabu tofauti kwa kuzingatia nadharia ya mipaka. Hii ilikamilishwa hasa kutokana na kazi ya O. Cauchy , B. Bolzano na K. Gauss . Uchambuzi wa kina wa dhana asilia Hesabu tofauti ilihusishwa na maendeleo ya nadharia iliyowekwa na nadharia ya kazi za kutofautisha halisi mwishoni mwa karne ya 19 na mwanzoni mwa karne ya 20.
Lit.: Hadithi. Willeitner G., Historia ya hisabati kutoka Descartes hadi katikati ya karne ya 19, trans. kutoka Kijerumani, toleo la 2, M., 1966; Stroik D. Ya., Mchoro mfupi wa historia ya hisabati, trans. kutoka Kijerumani, toleo la 2, M., 1969; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - V., 1901-24.
Kazi za waanzilishi na classics Hesabu tofauti Newton I., Kazi za hisabati, trans. kutoka Kilatini, M. - L., 1937; Leibniz G., Nukuu zilizochaguliwa kutoka kwa kazi za hisabati, trans. kutoka Kilatini, "Maendeleo katika Sayansi ya Hisabati", 1948, gombo la 3, karne. 1; L'Hopital G. F. de, Uchambuzi wa infinitesimals, iliyotafsiriwa kutoka kwa Kifaransa, M. - Leningrad, 1935; Euler L., Utangulizi wa uchambuzi wa infinitesimals, iliyotafsiriwa kutoka Kilatini, toleo la 2, gombo la 1, M., 1961; yake mwenyewe, calculus tofauti, iliyotafsiriwa kutoka Kilatini, M. - L., 1949; Cauchy O. L., Muhtasari wa masomo juu ya tofauti na calculus muhimu, iliyotafsiriwa kutoka Kifaransa, St. Petersburg, 1831; , 1864.
Vitabu vya kiada na mafunzo juu ya Hesabu tofauti Khinchin A. Ya., Kozi fupi katika uchambuzi wa hisabati, toleo la 3, M., 1957; na yeye, Mihadhara nane juu ya uchambuzi wa hisabati, 3rd ed., M. - L., 1948; Smirnov V.I., Kozi ya Hisabati ya Juu, toleo la 22, toleo la 1, M., 1967; Fikhtengolts G. M., Kozi ya calculus tofauti na muhimu, toleo la 7, vol. 1, M., 1969; La Vallée-Poussin C. J. de, Kozi ya uchambuzi wa infinitesimals, trans. kutoka Kifaransa, gombo la 1, L. - M., 1933; Kurant R., Kozi ya calculus tofauti na muhimu, trans. pamoja naye. na Kiingereza, toleo la 4, gombo la 1, M., 1967; Banach S., Calculus tofauti na muhimu, trans. kutoka Kipolishi, toleo la 2, M., 1966; Rudin U., Misingi ya uchambuzi wa hisabati, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1966.
Imeandaliwa na S. B. Stechkin.
Makala kuhusu neno " Hesabu tofauti" katika Great Soviet Encyclopedia imesomwa mara 24,920
Wizara ya Sayansi na Elimu
Idara "I&VT"
MAELEZO
Kwa kazi bila shaka
Somo: Hisabati ya juu
Juu ya mada: Calculus tofauti
Taldykorgan 2008
Utangulizi
1. Somo la hisabati na vipindi kuu vya maendeleo yake. Hisabati ni mojawapo ya sayansi muhimu zaidi za kimsingi. Neno "hisabati" linatokana na neno la Kigiriki "hisabati", ambalo linamaanisha maarifa. Hisabati iliibuka katika hatua za kwanza kabisa za ukuaji wa mwanadamu kuhusiana na shughuli za vitendo za watu. Tangu nyakati za kale, watu, wakifanya kazi mbalimbali, wamekuwa wanakabiliwa na haja ya kujitenga na kuunda seti fulani za vitu, mashamba ya ardhi, mahitaji ya makazi ya vitu, majengo ya makazi.
Kwanza, katika matukio haya yote ilikuwa ni lazima kuanzisha makadirio ya kiasi cha seti zinazozingatiwa, kupima maeneo na kiasi chao, kulinganisha, kuhesabu, na kubadilisha. Kulingana na ufafanuzi uliotolewa na F. Engels:
HISABATI ni sayansi ambayo inasoma uhusiano wa kiasi na aina za anga za ulimwengu wa kweli.
2. Dhana za kimsingi za hisabati kama vile nambari, takwimu za kijiometri, utendaji kazi, derivative, muhimu, tukio la nasibu na uwezekano wake, n.k. Kwa historia yake, hisabati, ambayo ilikua katika uhusiano wa karibu na maendeleo ya shughuli za uzalishaji wa watu na tamaduni ya kijamii, iligeuka kuwa sayansi yenye usawa, iliyowasilishwa kama kifaa chenye nguvu cha kusoma ulimwengu unaotuzunguka.
Mwanataaluma A.N. Kalinov aligundua maendeleo manne kuu katika historia ya hisabati.
Ya kwanza ni kipindi cha kuzaliwa kwa hisabati, ambayo mwanzo wake iko na kupotea katika kina cha maelfu ya miaka ya historia ya mwanadamu na inaendelea hadi karne ya 6 - 5 KK. Katika kipindi hiki, hesabu iliundwa, pamoja na kanuni za jiometri. Habari ya hisabati ya kipindi hiki ina hasa seti ya sheria za kutatua matatizo mbalimbali ya vitendo.
Kipindi cha pili ni cha hisabati ya msingi, i.e. hisabati, kiasi cha mara kwa mara (VI - V karne BC - karne ya XVII AD). Tayari mwanzoni mwa kipindi hiki (karibu 300 KK), Euclid anaunda nadharia ya vitabu vitatu ("Euclid's Element" - ya kwanza ya masomo makubwa ya kinadharia katika hisabati ambayo yametujia), ambayo, haswa, mfumo wa axioms ni alisoma deductively jiometri yote ya msingi. Kazi ya Al-Khwarizmi "Kibat al-Jarap al-Mukabana", iliyochapishwa katika karne ya 9, ina njia za jumla za kutatua matatizo ambayo hupunguza udhibiti wa digrii za kwanza na za pili. Katika karne ya 15, badala ya maneno ya sauti kubwa, walianza kutumia ishara + na -, ishara za digrii, mizizi, na mabano. Katika karne ya 16, F. Viet alitumia barua kuashiria data na kiasi kisichojulikana. Kufikia katikati ya karne ya 17, ishara za kisasa za aljebra zilikuwa zimekuzwa kimsingi, na hii iliunda misingi ya lugha rasmi ya hisabati.
Kipindi cha tatu ni kipindi cha kuundwa kwa hisabati ya kiasi cha kutofautiana (karne ya XVII - katikati ya karne ya XIX). Kuanzia karne ya 17, kuhusiana na utafiti wa mahusiano ya kiasi katika mchakato wa mabadiliko yao, dhana ya wingi na kazi ya kutofautiana yaliletwa mbele. Katika kipindi hiki, katika kazi za R. Descartes, jiometri ya uchambuzi iliundwa kwa misingi ya utafiti wa ulimwengu wa njia ya kuratibu za mfumo. Katika kazi za I. Newton na G. W. Leibniz, alikamilisha uundaji wa hesabu muhimu tofauti.
Kipindi cha nne ni wanahisabati wa kisasa. Mwanzo wake unapaswa kuhusishwa na miaka ya ishirini ya karne ya 19 - kipindi hiki kinaanza na kazi za E. Gauss, ambazo zilikuwa na mawazo ya nadharia ya miundo ya algebra, V.I. Lobachevsky, ambaye aligundua jiometri ya kwanza isiyo ya Euclidean - jiometri ya Lobachevsky.
Baadaye, njia ya axiomatic ilienea, na kazi ya uthibitishaji wa hisabati, mantiki ya hisabati, na uundaji wa hesabu iliingia katika awamu mpya. Uundaji wa kompyuta katikati ya karne iliyopita haukuongoza tu kwa matumizi ya kina na mapana ya hisabati katika nyanja zingine za maarifa, katika sayansi ya kiufundi, katika maswala ya shirika na usimamizi wa uzalishaji, lakini pia kwa kuibuka kwa maendeleo ya teknolojia. maeneo mapya ya kazi za kinadharia na matumizi ya hisabati. Kupenya kwa njia za hisabati za kisasa na kompyuta katika sayansi na mazoezi mengine ni ya ulimwengu wote na ya kina kwamba moja ya uwezo wa hatua ya sasa ya maendeleo ya utamaduni wa mwanadamu inachukuliwa kuwa mchakato wa hisabati ya maarifa na kompyuta ya nyanja zote za kazi. na maisha ya watu.
3. Dhana ya mfano wa hisabati. Wakati wa kusoma sifa za kiasi cha vitu ngumu na michakato ya matukio, njia ya modeli ya hesabu hutumiwa, ambayo inajumuisha ukweli kwamba mifumo inayozingatiwa huundwa kwa lugha ya hisabati na kusoma kwa kutumia njia zinazofaa za hesabu. Moduli ya hisabati ya kitu kinachosomwa imeandikwa kwa kutumia alama za hisabati na ina seti ya equations, usawa, fomula, algorithms ya programu (kwa kompyuta), ambayo ni pamoja na idadi ya kutofautiana na ya mara kwa mara, shughuli mbalimbali, kazi, labda derivatives yao, na wengine. dhana za hisabati. Njia ya kutunga mifano rahisi zaidi ya hisabati ni njia inayojulikana kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule ya sekondari, njia ya kutatua matatizo kwa kutumia equations na mifumo ya equations - kusababisha equation au mfumo wa equations ni mfano wa hisabati wa tatizo fulani. Hizi zilikuwa mifano ya shida zilizo na suluhisho moja - shida za kuamua. Hata hivyo, mara nyingi kuna matatizo ambayo yana ufumbuzi mwingi. Katika hali hiyo, katika mazoezi swali linatokea la kutafuta suluhisho ambalo linafaa zaidi kwa mtazamo fulani. Suluhisho kama hizo huitwa suluhisho bora.
Suluhisho mojawapo hufafanuliwa kama suluhisho ambalo kazi fulani, inayoitwa kazi ya lengo, inachukua maadili makubwa na madogo chini ya vikwazo vilivyotolewa. Kazi ya lengo inaundwa na hali ya shida, na inaonyesha dhamana ambayo inahitaji kuboreshwa (yaani, kuongeza au kupunguza) - kwa mfano, faida iliyopokelewa, gharama, rasilimali, n.k.
Inabadilika kuwa darasa pana, hasa matatizo ya udhibiti, lina matatizo katika mifano ya hisabati ambayo hali ya vigezo huunda usawa au usawa. Nadharia na mbinu za kutatua matatizo hayo hufanyiza tawi la hisabati linalojulikana kama "Upangaji wa Hisabati."
Ikiwa vikwazo na kazi ya lengo ni nyingi ya shahada ya kwanza (linear), basi matatizo hayo yanajumuisha tawi la programu ya hisabati.
Mifano ya hisabati ya mifumo mikubwa ya derivative, kama sheria, ina muundo tata. Hasa, ndani yao idadi ya vigezo na usawa au equations inaweza kuhesabu makumi kadhaa au hata mamia ya mamlaka na kuwa na fomu ngumu zaidi. Matatizo hayo yanatatuliwa katika vituo vya kompyuta kwa kutumia kompyuta kubwa.
Kufuatia A.N. Tikhonov, katika mchakato wa kutatua shida za kweli kwa kutumia njia ya modeli ya hesabu, tunahesabu hatua tano zifuatazo:
1. Ujenzi wa mfano wa ubora, i.e. kuzingatia matukio, utambuzi wa mambo makuu na uanzishwaji wa mifumo ambayo hufanyika katika jambo lifuatalo.
2. Ujenzi wa mfano wa hisabati, i.e. tafsiri katika lugha ya majimbo ya hisabati, imeanzisha mifumo ya ubora wa matukio. Katika hatua sawa ya serikali, kazi ya lengo, i.e. tabia hiyo ya nambari ya vigezo, thamani kubwa au ndogo zaidi ambayo inalingana na hali bora kutoka kwa mtazamo wa uamuzi uliopita.
3. Suluhisho la tatizo linalosababisha. Kwa sababu ya ukweli kwamba mifano ya hisabati mara nyingi ni kubwa kabisa, mahesabu hufanywa kwa kutumia kompyuta kwenye vituo vya kompyuta.
4. Ulinganisho wa matokeo ya hesabu haifai, kisha uendelee kwenye mzunguko wa pili wa mchakato wa mfano, i.e. kurudia hatua 1, 2, 3 na ufafanuzi unaofaa wa habari hadi makubaliano ya kuridhisha yafikiwe na data inayopatikana kuhusu kitu kilichobadilishwa.
Mbinu za hisabati lazima zitumike katika kutatua matatizo makubwa, kama vile: mahusiano ya kifedha, mipango ya kiuchumi ya kitaifa, matumizi ya nishati ya atomiki kwa madhumuni mapana, uundaji wa anga kubwa na vyombo vya anga kwa madhumuni mbalimbali, kuhakikisha uendeshaji wa muda mrefu wa safari za kisayansi nchini. nafasi, nk.
Hata hivyo, itakuwa ni kosa kufikiri kwamba mbinu za hisabati zinahitajika tu kwa kutatua matatizo makubwa. Tunaposoma sayansi katika shule ya upili, tunakutana na matumizi ya mbinu na mahesabu ya hisabati katika kutatua matatizo mahususi. Kazi zinazofanana zinapatikana katika kazi ya kila siku ya wataalam wa kiufundi, wachumi, na wanateknolojia. Kwa hivyo, wafanyikazi katika uchumi wa kitaifa, bila kujali ni uwanja gani wanafanya kazi, lazima wawe na ujuzi wa mbinu za kimsingi za utafiti na mbinu za hesabu, hesabu za mdomo, maandishi na mashine. Wataalamu lazima wawe na ufahamu kamili wa uwezo wa kompyuta ya kisasa.
Katika shule ya upili tulifahamiana na nadharia za kimsingi za milinganyo, mifumo yao, vekta, kalkulasi tofauti na muhimu na matumizi yao katika kutatua matatizo ya vitendo.
Madhumuni ya kusoma hisabati katika taasisi maalum za sekondari ni kuongeza maarifa katika sehemu zilizosomwa na kufahamiana na sehemu mpya za hesabu (jiometri ya uchanganuzi, nadharia ya uwezekano, n.k.), ambayo inaboresha tamaduni ya jumla, kukuza fikra za kimantiki, na zinaenea sana. kutumika katika modeli za hisabati za matatizo ambayo mtaalamu wa kisasa hukutana nayo katika shughuli zake za kila siku.
Mtaala wa mfano
Mtaala wa mfano ni hati iliyokusudiwa kutekeleza mahitaji ya serikali kwa kiwango cha chini cha yaliyomo na kiwango cha mafunzo ya taasisi za elimu za wahitimu wa elimu ya sekondari maalum. Inafafanua orodha ya jumla ya taaluma, na muda unaohitajika wa utekelezaji wao, aina na muda wa chini wa mazoezi, orodha ya takriban ya madarasa, maabara na warsha. Mtaala huo pia hutoa muundo wa kozi katika taaluma zisizozidi tatu katika kipindi chote cha masomo. Aina za mafunzo ya vitendo na muda wao imedhamiriwa kwa mujibu wa mazoezi ya kawaida ya elimu kwa utaalam fulani. Ratiba ya mchakato wa elimu ni ya asili ya pendekezo na inaweza kubadilishwa na taasisi ya elimu, chini ya utunzaji wa lazima wa muda wa mafunzo ya kinadharia, vikao vya mitihani, pamoja na wakati wa likizo ya majira ya baridi na majira ya joto ambayo huisha mwaka wa kitaaluma. (tazama Jedwali 1).