Y ni mizizi ya mchemraba 2 ya x. Muhimu wa utendaji kazi wa nguvu

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kazi za nguvu. Mizizi ya ujazo. Sifa za mzizi wa ujazo"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 9
Ugumu wa elimu 1C: "Matatizo ya aljebra na vigezo, darasa la 9-11" Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.0"

Ufafanuzi wa kazi ya nguvu - mizizi ya mchemraba

Jamani, tunaendelea kusoma kazi za nguvu. Leo tutazungumza juu ya kazi ya "Cubic root of x".
Mzizi wa mchemraba ni nini?
Nambari y inaitwa mchemraba wa x (mzizi wa shahada ya tatu) ikiwa usawa $y^3=x$ unashikilia.
Imebainishwa kama $\sqrt(x)$, ambapo x ni nambari kali, 3 ni kipeo.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Kama tunavyoona, mzizi wa mchemraba pia unaweza kutolewa kutoka kwa nambari hasi. Inabadilika kuwa mzizi wetu upo kwa nambari zote.
Mzizi wa tatu wa nambari hasi ni nambari hasi. Inapoinuliwa kwa nguvu isiyo ya kawaida, ishara huhifadhiwa; nguvu ya tatu ni isiyo ya kawaida.

Wacha tuangalie usawa: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Acha $\sqrt((-x))=a$ na $\sqrt(x)=b$. Wacha tuinue misemo yote miwili kwa nguvu ya tatu. $–x=a^3$ na $x=b^3$. Kisha $a^3=-b^3$ au $a=-b$. Kwa kutumia nukuu kwa mizizi tunapata utambulisho unaotaka.

Tabia za mizizi ya mchemraba

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Hebu tuthibitishe mali ya pili. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Tuligundua kuwa nambari $\sqrt(\frac(a)(b))$ cubed ni sawa na $\frac(a)(b)$ na kisha ni sawa na $\sqrt(\frac(a)(b))$ , ambayo na inahitajika kuthibitishwa.

Jamani, tutengeneze grafu ya kazi yetu.
1) Seti ya kikoa nambari za kweli.
2) Chaguo la kukokotoa si la kawaida, kwani $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Kisha, zingatia utendakazi wetu kwa $x≥0$, kisha uonyeshe grafu inayohusiana na asili.
3) Chaguo la kukokotoa huongezeka wakati $x≥0$. Kwa chaguo zetu za kukokotoa, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa, ambayo inamaanisha ongezeko.
4) Kazi sio mdogo kutoka juu. Kwa kweli, kutoka kwa yoyote idadi kubwa tunaweza kuhesabu mzizi wa tatu, na tunaweza kwenda hadi infinity, kutafuta kila kitu maadili makubwa hoja.
5) Kwa $x≥0$ thamani ndogo zaidi ni 0. Sifa hii ni dhahiri.
Wacha tujenge grafu ya chaguo la kukokotoa kwa alama katika x≥0.

Wacha tuunda grafu yetu ya chaguo la kukokotoa juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Kumbuka kwamba kazi yetu ni isiyo ya kawaida.

Sifa za kazi:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Kazi isiyo ya kawaida.
3) Huongezeka kwa (-∞;+∞).
4) Bila kikomo.
5) Hakuna thamani ya chini au ya juu.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convex kuelekea chini kwa (-∞;0), mbonyeo kuelekea juu kwa (0;+∞).

Mifano ya kutatua kazi za nguvu

Mifano
1. Tatua mlingano $\sqrt(x)=x$.
Suluhisho. Wacha tujenge grafu mbili kwenye moja kuratibu ndege$y=\sqrt(x)$ na $y=x$.

Kama unaweza kuona, grafu zetu zinaingiliana kwa pointi tatu.
Jibu: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Tengeneza grafu ya kazi. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Suluhisho. Grafu yetu inapatikana kutoka kwa grafu ya kazi $y=\sqrt(x)$, uhamisho sambamba vitengo viwili kulia na vitengo vitatu chini.

3. Grafu kazi na uisome. $\anza(kesi)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \mwisho(kesi)$.
Suluhisho. Wacha tujenge grafu mbili za kazi kwenye ndege moja ya kuratibu, kwa kuzingatia hali zetu. Kwa $x≥-1$ tunaunda grafu ya mzizi wa ujazo, kwa $x≤-1$ tunaunda grafu ya kitendakazi cha mstari.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Chaguo la kukokotoa si la kawaida wala lisilo la kawaida.
3) Hupungua kwa (-∞;-1), huongezeka kwa (-1;+∞).
4) Bila kikomo kutoka juu, mdogo kutoka chini.
5) Thamani kubwa zaidi Hapana. Thamani ya chini kabisa sawa na toa moja.
6) Kazi ni ya kuendelea kwenye mstari mzima wa nambari.
7) E(y)= (-1;+∞).

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

1. Tatua mlingano $\sqrt(x)=2-x$.
2. Tengeneza grafu ya chaguo za kukokotoa $y=\sqrt((x+1))+1$.
3.Panga grafu ya kazi na uisome. $\anza(kesi)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \mwisho(kesi)$.

Malengo ya msingi:

1) kuunda wazo la uwezekano wa utafiti wa jumla wa utegemezi wa idadi halisi kwa kutumia mfano wa idadi, kuunganishwa na uhusiano y=

2) kukuza uwezo wa kuunda grafu y = na mali zake;

3) kurudia na kuimarisha mbinu za mahesabu ya mdomo na maandishi, squaring, kuchimba mizizi ya mraba.

Vifaa, nyenzo za maonyesho: Kitini.

1. Algorithm:

2. Sampuli ya kukamilisha kazi katika vikundi:

3. Sampuli ya kujipima kwa kazi ya kujitegemea:

4. Kadi ya hatua ya kutafakari:

1) Nilielewa jinsi ya kuchora kazi y=.

2) Ninaweza kuorodhesha mali zake kwa kutumia grafu.

3) Sikufanya makosa katika kazi ya kujitegemea.

4) Nilifanya makosa katika kazi yangu ya kujitegemea (orodhesha makosa haya na uonyeshe sababu yao).

Wakati wa madarasa

1. Kujitolea kwa shughuli za elimu

Kusudi la hatua:

1) ni pamoja na wanafunzi katika shughuli za elimu;

2) kuamua yaliyomo kwenye somo: tunaendelea kufanya kazi na nambari halisi.

Shirika mchakato wa elimu katika hatua ya 1:

- Tulijifunza nini katika somo lililopita? (Tulisoma seti ya nambari halisi, shughuli pamoja nao, tuliunda algorithm kuelezea mali ya kazi, kazi zilizorudiwa zilizosomwa katika daraja la 7).

- Leo tutaendelea kufanya kazi na seti ya nambari halisi, kazi.

2. Kusasisha ugumu wa maarifa na kurekodi katika shughuli

Kusudi la hatua:

1) sasisha yaliyomo ya kielimu ambayo ni muhimu na ya kutosha kwa mtazamo wa nyenzo mpya: kazi, tofauti huru, kutofautisha tegemezi, grafu.

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) sasisha shughuli za kiakili muhimu na za kutosha kwa mtazamo wa nyenzo mpya: kulinganisha, uchambuzi, jumla;

3) rekodi dhana zote zinazorudiwa na algorithms kwa namna ya michoro na alama;

4) rekodi ugumu wa mtu binafsi katika shughuli, akionyesha kwa kiwango kikubwa cha kibinafsi ukosefu wa ujuzi uliopo.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 2:

1. Hebu tukumbuke jinsi unaweza kuweka utegemezi kati ya wingi? (Kwa kutumia maandishi, fomula, jedwali, grafu)

2. Kitendaji kinaitwaje? (Uhusiano kati ya kiasi mbili, ambapo kila thamani ya kutofautiana moja inalingana na thamani moja ya kutofautiana y = f (x)).

Jina la x ni nini? ( Tofauti huru - hoja)

Jina la y ni nini? (Kigezo tegemezi).

3. Katika darasa la 7 tulisoma kazi? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

Kazi ya mtu binafsi:

Je! ni grafu gani ya kazi y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Kutambua sababu za matatizo na kuweka malengo ya shughuli

Kusudi la hatua:

1) panga mwingiliano wa mawasiliano, wakati ambao mali tofauti kazi ambayo ilisababisha ugumu katika shughuli za kujifunza;

2) kukubaliana juu ya madhumuni na mada ya somo.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 3:

-Ni nini maalum kuhusu kazi hii? (Utegemezi unatolewa na formula y = ambayo bado hatujakutana nayo.)

- Kusudi la somo ni nini? (Ifahamishe chaguo za kukokotoa y =, sifa zake na grafu. Tumia chaguo za kukokotoa katika jedwali ili kubainisha aina ya utegemezi, tengeneza fomula na grafu.)

- Je, unaweza kuunda mada ya somo? (Kazi y=, sifa zake na grafu).

- Andika mada kwenye daftari lako.

4. Ujenzi wa mradi kwa ajili ya kutoka kwenye shida

Kusudi la hatua:

1) kuandaa mwingiliano wa mawasiliano ili kujenga njia mpya ya hatua ambayo huondoa sababu ya ugumu uliotambuliwa;

2) kurekebisha njia mpya vitendo kwa njia ya ishara, maneno na kutumia kiwango.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 4:

Kazi katika hatua hii inaweza kupangwa katika vikundi, kuviuliza vikundi kuunda grafu y =, kisha kuchambua matokeo. Vikundi pia vinaweza kuulizwa kuelezea sifa za kazi fulani kwa kutumia algoriti.

5. Uimarishaji wa msingi katika hotuba ya nje

Kusudi la hatua: kurekodi yaliyosomwa ya kielimu katika hotuba ya nje.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 5:

Tengeneza grafu ya y= - na ueleze sifa zake.

Sifa y= - .

1.Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa.

2. Msururu wa thamani za chaguo za kukokotoa.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 ikiwa x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Kuongeza, kupunguza utendaji.

Chaguo za kukokotoa hupungua kama x.

Wacha tujenge grafu ya y=.

Wacha tuchague sehemu yake kwenye sehemu. Kumbuka kwamba tuna = 1 kwa x = 1, na y max. =3 kwa x = 9.

Jibu: kwa jina letu. = 1, y max. =3

6. Kazi ya kujitegemea na mtihani wa kujitegemea kulingana na kiwango

Madhumuni ya hatua: kupima uwezo wako wa kutumia maudhui mapya ya elimu katika hali za kawaida kulingana na kulinganisha suluhisho lako na kiwango cha kujipima.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 6:

Wanafunzi hukamilisha kazi kwa kujitegemea, kufanya jaribio la kibinafsi dhidi ya kiwango, kuchambua na kusahihisha makosa.

Wacha tujenge grafu ya y=.

Kwa kutumia grafu, pata thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu.

7. Kuingizwa katika mfumo wa ujuzi na kurudia

Kusudi la hatua: kutoa mafunzo kwa ustadi wa kutumia yaliyomo mpya pamoja na yaliyosomwa hapo awali: 2) kurudia yaliyomo kwenye kielimu ambayo yatahitajika katika masomo yanayofuata.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 7:

Tatua mlingano kwa michoro: = x – 6.

Mwanafunzi mmoja yuko ubaoni, wengine wako kwenye madaftari.

8. Tafakari ya shughuli

Kusudi la hatua:

1) rekodi maudhui mapya uliyojifunza katika somo;

2) tathmini shughuli zako mwenyewe katika somo;

3) kuwashukuru wanafunzi wenzako ambao walisaidia kupata matokeo ya somo;

4) rekodi shida ambazo hazijatatuliwa kama maagizo ya shughuli za kielimu za siku zijazo;

5) jadili na uandike kazi yako ya nyumbani.

Shirika la mchakato wa elimu katika hatua ya 8:

- Guys, lengo letu lilikuwa nini leo? (Jifunze kazi y=, sifa zake na grafu).

- Ni ujuzi gani ulitusaidia kufikia lengo letu? (Uwezo wa kutafuta mifumo, uwezo wa kusoma grafu.)

- Chunguza shughuli zako darasani. (Kadi zilizo na tafakari)

Kazi ya nyumbani

aya ya 13 (kabla ya mfano 2) № 13.3, 13.4

Tatua mlinganyo kwa mchoro:

Unda grafu ya kazi na ueleze sifa zake.

Ambayo ni sawa na $a.$ Kwa maneno mengine, hii ndio suluhisho la equation $x^3\; =\; a$(kawaida masuluhisho ya kweli yana maana).

Mzizi halisi

Fomu ya maonyesho

Mzizi wa nambari ngumu unaweza kufafanuliwa kama ifuatavyo:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

Ikiwa unafikiria $x$ Vipi

$x\; =\; r\backslash \; exp(i\backslash theta)$

basi formula ya nambari ya ujazo ni:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta).$

Hii kijiometri ina maana kwamba katika kuratibu za polar tunachukua mizizi ya mchemraba wa radius na kugawanya angle ya polar na tatu ili kuamua mizizi ya mchemraba. Hivyo kama $x$ tata, basi $sqrt(-8)$ itakuwa na maana si $-2$, Itakuwa $1\; +\; i\backslash sqrt(3).$

Katika msongamano wa mara kwa mara wa jambo, vipimo vya miili miwili inayofanana huhusiana kama mizizi ya mchemraba ya wingi wao. Kwa hivyo, ikiwa tikiti maji moja ina uzito mara mbili ya mwingine, basi kipenyo chake (pamoja na mduara wake) kitakuwa kidogo zaidi ya robo (26%) zaidi kuliko ya kwanza; na kwa jicho itaonekana kuwa tofauti ya uzito sio muhimu sana. Kwa hiyo, kwa kutokuwepo kwa mizani (kuuzwa kwa jicho), kwa kawaida ni faida zaidi kununua matunda makubwa.

Mbinu za kuhesabu

Safu

Kabla ya kuanza, unahitaji kugawanya nambari katika sehemu tatu (sehemu kamili - kutoka kulia kwenda kushoto, sehemu ya sehemu - kutoka kushoto kwenda kulia). Unapofikia hatua ya desimali, lazima uongeze alama ya desimali mwishoni mwa matokeo.

Algorithm ni kama ifuatavyo:

1. Tafuta nambari ambayo mchemraba wake ni mdogo kuliko kikundi cha kwanza cha nambari, lakini inapoongezeka kwa 1 inakuwa kubwa. Andika nambari unayopata upande wa kulia wa nambari uliyopewa. Andika nambari 3 chini yake.
2. Andika mchemraba wa nambari inayopatikana chini ya kundi la kwanza la nambari na uondoe. Andika matokeo baada ya kutoa chini ya subtrahend. Ifuatayo, ondoa kikundi kinachofuata cha nambari.
3. Ifuatayo, tunabadilisha jibu la kati lililopatikana na barua $a$. Kuhesabu kwa kutumia formula $$ nambari kama hiyo $x$ kwamba matokeo yake ni chini ya idadi ya chini, lakini inapoongezeka kwa 1 inakuwa kubwa. Andika kile unachopata $x$ upande wa kulia wa jibu. Ikiwa usahihi unaohitajika unapatikana, acha mahesabu.
4. Andika matokeo ya hesabu chini ya nambari ya chini kwa kutumia fomula $300\backslash mara\; ^2\backslash mara\; x+30\backslash mara\backslash marax^2+x^3$ na kufanya kutoa. Nenda kwa hatua ya 3.

Angalia pia

Andika hakiki juu ya kifungu "Mzizi wa ujazo"

Fasihi

• Korn G., Korn T. 1.3-3. Uwakilishi wa jumla, bidhaa na mgawo. Nguvu na mizizi // Kitabu cha hisabati. - Toleo la 4. - M.: Nauka, 1978. - P. 32-33.

Nukuu inayoonyesha mzizi wa mchemraba

Kufikia saa tisa asubuhi, wakati askari walikuwa tayari wamehamia Moscow, hakuna mtu mwingine aliyekuja kuuliza maagizo ya hesabu. Kila mtu ambaye angeweza kwenda alifanya hivyo kwa hiari yake mwenyewe; wale waliosalia waliamua wenyewe kile walichopaswa kufanya.
Hesabu hiyo iliamuru farasi waletwe kwenda Sokolniki, na, akikunja uso, manjano na kimya, na mikono iliyokunjwa, akaketi ofisini kwake.
Katika nyakati za utulivu, sio za dhoruba, inaonekana kwa kila msimamizi kwamba ni kwa juhudi zake tu kwamba watu wote walio chini ya udhibiti wake wanasonga, na katika ufahamu huu wa hitaji lake, kila msimamizi anahisi thawabu kuu kwa kazi na juhudi zake. Ni wazi kwamba maadamu bahari ya kihistoria imetulia, mtawala-mtawala, na boti yake dhaifu ikiegemeza nguzo yake dhidi ya meli ya watu na yeye mwenyewe kusonga mbele, lazima aonekane kwake kwamba kwa juhudi zake meli anayopumzika dhidi yake. kusonga. Lakini mara tu dhoruba inapotokea, bahari huchafuka na meli yenyewe inasonga, basi udanganyifu hauwezekani. Meli inasonga kwa kasi yake kubwa, inayojitegemea, nguzo haifikii meli inayosonga, na mtawala ghafla huenda kutoka kwa nafasi ya mtawala, chanzo cha nguvu, hadi mtu asiye na maana, asiye na maana na dhaifu.
Rastopchin alihisi hii, na ilimkasirisha. Mkuu wa polisi, ambaye alisimamishwa na umati, pamoja na msaidizi, ambaye alikuja kuripoti kwamba farasi walikuwa tayari, waliingia kwenye hesabu. Wote wawili walikuwa wamepauka, na mkuu wa polisi, akiripoti kutekelezwa kwa mgawo wake, alisema kwamba katika ua wa hesabu kulikuwa na umati mkubwa wa watu ambao walitaka kumuona.
Rastopchin, bila kujibu neno lolote, alisimama na haraka akaingia kwenye sebule yake ya kifahari, yenye kung'aa, akatembea hadi kwenye mlango wa balcony, akashika mpini, akaiacha na kuelekea dirishani, ambayo umati wote ungeweza kuonekana wazi zaidi. Jamaa mmoja mrefu alisimama kwenye safu za mbele na kwa uso mkali, akipunga mkono wake, alisema kitu. Yule mhunzi aliyemwaga damu alisimama karibu yake na sura ya huzuni. Hum ya sauti ilisikika kupitia madirisha yaliyofungwa.
- Je, wafanyakazi tayari? - alisema Rastopchin, akienda mbali na dirisha.
"Tayari, Mheshimiwa," msaidizi alisema.
Rastopchin tena akakaribia mlango wa balcony.
- Wanataka nini? - aliuliza mkuu wa polisi.
- Mheshimiwa, wanasema kwamba wangeenda kinyume na Wafaransa kwa amri yako, walipiga kelele kuhusu uhaini. Lakini umati wa watu wenye jeuri, Mtukufu. Niliondoka kwa nguvu. Mheshimiwa, nathubutu kupendekeza...
"Ikiwa tafadhali, nenda, najua la kufanya bila wewe," Rostopchin alifoka kwa hasira. Alisimama kwenye mlango wa balcony, akitazama umati wa watu. "Hivi ndivyo walivyoifanyia Urusi! Hivi ndivyo walivyonifanyia!” - alifikiria Rostopchin, akihisi hasira isiyoweza kudhibitiwa ikipanda katika nafsi yake dhidi ya mtu ambaye anaweza kuhusishwa na sababu ya kila kitu kilichotokea. Kama kawaida kwa watu wenye hasira kali, hasira tayari ilikuwa imemshika, lakini alikuwa akitafuta somo lingine kwa hilo. “La voila la populace, la lie du peuple,” aliwaza, akiutazama umati, “la plebe qu”ils ont soulevee par leur sottise.” idadi ya watu, waombaji, ambao waliwalea kwa ujinga wao! Wanahitaji mwathirika."] - ilimjia, akimtazama yule mtu mrefu akipunga mkono. Na kwa sababu hiyo hiyo ikamjia akilini kwamba yeye mwenyewe alihitaji mwathirika huyu. , kitu hiki kwa hasira yake.
- Je, wafanyakazi tayari? - aliuliza mara nyingine.
- Tayari, Mheshimiwa. Unaagiza nini kuhusu Vereshchagin? "Anasubiri barazani," msaidizi akajibu.
- A! - Rostopchin alilia, kana kwamba alipigwa na kumbukumbu isiyotarajiwa.
Na, akafungua mlango haraka, akatoka kwenye balcony kwa hatua kali. Mazungumzo yalisimama ghafla, kofia na kofia zilitolewa, na macho yote yaliinuka kwa hesabu waliotoka.
- Hello guys! - hesabu ilisema haraka na kwa sauti kubwa. - Asante kwa kuja. Nitakuja kwako sasa, lakini kwanza kabisa tunahitaji kushughulika na mhalifu. Tunahitaji kuadhibu villain ambaye aliua Moscow. Nisubiri! "Na hesabu ilirudi haraka kwenye vyumba vyake, akipiga mlango kwa nguvu.
Manung'uniko ya furaha yalipita katikati ya umati. “Yaani atawadhibiti wabaya wote! Na unasema Kifaransa ... atakupa umbali wote! - watu walisema, kana kwamba walikuwa wakitukana wao kwa wao kwa kukosa imani.

Mali ya msingi ya kazi ya nguvu hutolewa, ikiwa ni pamoja na kanuni na mali ya mizizi. Upanuzi wa msururu wa nishati, upanuzi wa msururu wa nguvu, na nambari changamano ya chaguo za kukokotoa za nishati huwasilishwa.

Ufafanuzi

Ufafanuzi
Kitendaji cha nguvu chenye kipeo uk ni kazi f (x) = x uk, thamani ambayo katika nukta x ni sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa za kipeo na msingi x katika ncha uk.
Aidha, f (0) = 0 p = 0 kwa p > 0 .

Kwa maadili asilia ya kipeo, kazi ya nguvu ni bidhaa ya nambari n sawa na x:
.
Inafafanuliwa kwa zote halali.

Kwa maadili chanya ya kielelezo, kazi ya nguvu ni bidhaa ya n mizizi ya digrii m ya nambari x:
.
Kwa m isiyo ya kawaida, imefafanuliwa kwa x zote halisi. Kwa hata m, kazi ya nguvu inafafanuliwa kwa zisizo hasi.

Kwa negative , kazi ya nguvu imedhamiriwa na fomula:
.
Kwa hiyo, haijafafanuliwa kwa uhakika.

Kwa maadili yasiyo ya maana ya kielelezo p, kazi ya nguvu imedhamiriwa na formula:
,
ambapo a ni nambari chanya ya kiholela isiyo sawa na moja: .
Wakati , imefafanuliwa kwa .
Wakati , kitendakazi cha nguvu kinafafanuliwa kwa .

Mwendelezo. Kitendaji cha nguvu kinaendelea katika kikoa chake cha ufafanuzi.

Sifa na fomula za utendakazi wa nguvu za x ≥ 0

Hapa tutazingatia sifa za kazi ya nguvu kwa maadili yasiyo hasi ya hoja x. Kama ilivyoelezwa hapo juu, kwa maadili fulani ya kipeo p, kazi ya nguvu pia imefafanuliwa kwa maadili hasi ya x. Katika kesi hii, mali zake zinaweza kupatikana kutoka kwa mali ya , kwa kutumia hata au isiyo ya kawaida. Kesi hizi zinajadiliwa na kuonyeshwa kwa undani kwenye ukurasa "".

Kitendaji cha nguvu, y = x p, chenye kipeo p kina sifa zifuatazo:
(1.1) imefafanuliwa na inayoendelea kwenye seti
katika ,
katika ;
(1.2) ina maana nyingi
katika ,
katika ;
(1.3) inaongezeka madhubuti na,
madhubuti hupungua kama;
(1.4) katika ;
katika ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Uthibitisho wa mali umetolewa kwenye ukurasa "Kitendaji cha nguvu (uthibitisho wa mwendelezo na mali)"

Mizizi - ufafanuzi, kanuni, mali

Ufafanuzi
Mzizi wa nambari x ya digrii n ni nambari ambayo inapoinuliwa kwa nguvu n inatoa x:
.
Hapa n = 2, 3, 4, ... - nambari ya asili zaidi ya moja.

Unaweza pia kusema kuwa mzizi wa nambari x ya digrii n ndio mzizi (yaani suluhisho) la mlinganyo.
.
Kumbuka kuwa chaguo la kukokotoa ni kinyume cha chaguo la kukokotoa.

Mzizi wa mraba wa x ni mzizi wa shahada 2:.

Mzizi wa mchemraba wa x ni mzizi wa shahada 3: .

Hata shahada

Kwa nguvu hata n = 2 m, mzizi umefafanuliwa kwa x ≥ 0 . Fomula ambayo hutumiwa mara nyingi ni halali kwa x chanya na hasi:
.
Kwa mizizi ya mraba:
.

Agizo ambalo shughuli zinafanywa ni muhimu hapa - ambayo ni, kwanza mraba unafanywa, na kusababisha nambari isiyo hasi, na kisha mzizi huchukuliwa kutoka kwake (mzizi wa mraba unaweza kuchukuliwa kutoka kwa nambari isiyo hasi. ) Ikiwa tungebadilisha mpangilio: , basi kwa hasi x mzizi haungefafanuliwa, na nayo usemi mzima haungefafanuliwa.

Shahada isiyo ya kawaida

Kwa nguvu zisizo za kawaida, mzizi umefafanuliwa kwa x zote:
;
.

Mali na fomula za mizizi

Mzizi wa x ni kazi ya nguvu:
.
Wakati x ≥ 0 fomula zifuatazo zinatumika:
;
;
, ;
.

Njia hizi pia zinaweza kutumika kwa maadili hasi ya anuwai. Unahitaji tu kuhakikisha kuwa usemi mkali wa nguvu hata sio mbaya.

Maadili ya kibinafsi

Mzizi wa 0 ni 0:.
Mzizi 1 ni sawa na 1:.
Mzizi wa mraba wa 0 ni 0: .
Mzizi wa mraba wa 1 ni 1:.

Mfano. Mzizi wa mizizi

Wacha tuangalie mfano wa mzizi wa mraba wa mizizi:
.
Wacha tubadilishe mzizi wa ndani wa mraba kwa kutumia fomula hapo juu:
.
Sasa wacha tubadilishe mzizi asili:
.
Kwa hiyo,
.

y = x p kwa maadili tofauti ya kielelezo p.

Hapa kuna grafu za chaguo za kukokotoa za thamani zisizo hasi za hoja x. Grafu za kazi ya nguvu iliyofafanuliwa kwa maadili hasi ya x hutolewa kwenye ukurasa "Kazi ya nguvu, mali yake na grafu"

Kitendaji kinyume

Kinyume cha chaguo za kukokotoa chenye kipeo p ni kitendakazi cha nguvu kilicho na kipeo 1/p.

Ikiwa, basi.

Inatokana na utendaji kazi wa nguvu

Inatokana na agizo la nth:
;

Kuunda fomula >>>

Muhimu wa utendaji kazi wa nguvu

P ≠ - 1 ;
.

Upanuzi wa mfululizo wa nguvu

Katika - 1 < x < 1 mtengano ufuatao hufanyika:

Vielezi kwa kutumia nambari changamano

Fikiria kazi ya tofauti changamano z:
f (z) = z t.
Wacha tueleze tofauti changamano z kulingana na moduli r na hoja φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Tunawakilisha nambari changamano t katika umbo la sehemu halisi na za kuwaziwa:
t = p + i q.
Tuna:

Ifuatayo, tunazingatia kwamba hoja φ haijafafanuliwa kipekee:
,

Hebu fikiria kesi wakati q = 0 , yaani, kipeo ni nambari halisi, t = p. Kisha
.

Ikiwa p ni nambari kamili, basi kp ni nambari kamili. Halafu, kwa sababu ya upimaji wa kazi za trigonometric:
.
Hiyo ni, chaguo za kukokotoa za kielelezo chenye kipeo kamili, kwa z fulani, ina thamani moja tu na kwa hivyo haina utata.

Ikiwa p haina mantiki, basi bidhaa kp kwa k yoyote haitoi nambari kamili. Kwa kuwa k inapitia mfululizo usio na kikomo wa maadili k = 0, 1, 2, 3, ..., basi kazi z p ina maadili mengi sana. Wakati wowote hoja z inapoongezwa 2p(zamu moja), tunahamia kwenye tawi jipya la kazi.

Ikiwa p ni ya busara, basi inaweza kuwakilishwa kama:
, wapi m, n- nambari kamili ambazo hazina vigawanyiko vya kawaida. Kisha
.
Thamani za kwanza za n, na k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, toa n maadili tofauti ya kp:
.
Walakini, maadili yanayofuata hutoa maadili ambayo yanatofautiana na yale ya awali kwa nambari kamili. Kwa mfano, wakati k = k 0+n tuna:
.
Vitendo vya trigonometric ambavyo hoja zake hutofautiana kwa wingi wa 2p, kuwa na maadili sawa. Kwa hivyo, kwa ongezeko zaidi la k, tunapata maadili sawa ya z p kama k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa za kielezio na kipeo busara huzidishwa na huwa na maadili n (matawi). Wakati wowote hoja z inapoongezwa 2p(zamu moja), tunahamia kwenye tawi jipya la kazi. Baada ya n mapinduzi kama haya tunarudi kwenye tawi la kwanza ambalo hesabu ya kurudi ilianza.

Hasa, mzizi wa digrii n una maadili ya n. Kama mfano, zingatia mzizi wa nth wa nambari halisi chanya z = x. Katika kesi hii φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Kwa hiyo, kwa mizizi ya mraba, n = 2 ,
.
Kwa hata k, (- 1 ) k = 1. Kwa k isiyo ya kawaida, (- 1 ) k = - 1.
Hiyo ni, mzizi wa mraba una maana mbili: + na -.

Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.

Jamani, tunaendelea kusoma kazi za nguvu. Mada ya somo la leo itakuwa kazi - mzizi wa ujazo wa x. Mzizi wa mchemraba ni nini? Nambari y inaitwa mzizi wa mchemraba wa x (mzizi wa shahada ya tatu) ikiwa usawa umeridhika.Imeteuliwa na:, ambapo x ni nambari ya radical, 3 ni kipeo.

Kama tunavyoona, mzizi wa mchemraba pia unaweza kutolewa kutoka kwa nambari hasi. Inabadilika kuwa mzizi wetu upo kwa nambari zote. Mzizi wa tatu wa nambari hasi ni sawa na nambari hasi. Inapoinuliwa kwa nguvu isiyo ya kawaida, ishara huhifadhiwa; nguvu ya tatu ni isiyo ya kawaida. Wacha tuangalie usawa: Acha. Wacha tuinue misemo yote miwili hadi nguvu ya tatu. Kisha au Katika nukuu ya mizizi tunapata utambulisho unaohitajika.

Jamani, hebu sasa tujenge mchoro wa kazi yetu. 1) Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya nambari halisi. 2) Kazi ni isiyo ya kawaida, tangu Ifuatayo tutazingatia kazi yetu kwa x 0, kisha tutaonyesha grafu inayohusiana na asili. 3) Chaguo za kukokotoa huongezeka kama x 0. Kwa chaguo zetu za kukokotoa, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa, ambayo inamaanisha ongezeko. 4) Kazi sio mdogo kutoka juu. Kwa kweli, kutoka kwa idadi kubwa kiholela tunaweza kuhesabu mzizi wa tatu, na tunaweza kusonga juu kwa muda usiojulikana, tukipata maadili makubwa zaidi ya hoja. 5) Wakati x 0 thamani ndogo ni 0. Sifa hii ni dhahiri.

Wacha tuunda grafu yetu ya chaguo la kukokotoa juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi. Kumbuka kwamba kazi yetu ni isiyo ya kawaida. Sifa za chaguo za kukokotoa: 1) D(y)=(-;+) 2) Chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida. 3) Huongezeka kwa (-;+) 4) Bila kikomo. 5) Hakuna thamani ya chini au ya juu. 6) Kazi ni ya kuendelea kwenye mstari mzima wa nambari. 7) E(y)= (-;+). 8) Convex kuelekea chini kwa (-;0), mbonyeo kuelekea juu kwa (0 +).

Mfano. Chora grafu ya chaguo la kukokotoa na uisome. Suluhisho. Wacha tujenge grafu mbili za kazi kwenye ndege moja ya kuratibu, kwa kuzingatia hali zetu. Kwa x-1 tunajenga grafu ya mizizi ya ujazo, na kwa x-1 tunajenga grafu ya kazi ya mstari. 1) D(y)=(-;+) 2) Chaguo la kukokotoa si hata wala la kawaida. 3) Hupungua kwa (-;-1), huongezeka kwa (-1;+) 4) Bila kikomo kutoka juu, mdogo kutoka chini. 5) Hakuna thamani kubwa zaidi. Thamani ndogo ni minus moja. 6) Kazi ni ya kuendelea kwenye mstari mzima wa nambari. 7) E(y)= (-1;+)