Malengo ya somo:
- kufundisha wanafunzi kutatua milinganyo digrii za juu kutumia mpango wa Horner;
- kuendeleza uwezo wa kufanya kazi kwa jozi;
- kuunda, kwa kushirikiana na sehemu kuu za kozi, msingi wa kukuza uwezo wa wanafunzi;
- msaidie mwanafunzi kutathmini uwezo wake, kukuza shauku katika hisabati, uwezo wa kufikiri, na kuzungumza juu ya mada.
Vifaa: kadi za kazi ya kikundi, bango lenye mchoro wa Horner.
Mbinu ya kufundisha: hotuba, hadithi, maelezo, kufanya mazoezi ya mafunzo.
Fomu ya udhibiti: kuangalia kazi uamuzi wa kujitegemea, kazi ya kujitegemea.
Wakati wa madarasa
1. Wakati wa shirika
2. Kusasisha maarifa ya wanafunzi
Ni nadharia gani hukuruhusu kuamua ikiwa nambari ni mzizi? kupewa equation(tengeneza nadharia)?
Nadharia ya Bezout. Salio la mgawanyo wa polynomial P(x) kwa binomial x-c ni sawa P(c), nambari c inaitwa mzizi wa polinomia P(x) ikiwa P(c)=0. Nadharia inaruhusu, bila kufanya operesheni ya mgawanyiko, kuamua ikiwa nambari iliyopewa mzizi wa polynomial.
Ni kauli gani hurahisisha kupata mizizi?
a) Ikiwa mgawo unaoongoza wa polynomial sawa na moja, basi mizizi ya polynomial inapaswa kutafutwa kati ya vigawanyiko vya neno huru.
b) Ikiwa jumla ya coefficients ya polynomial ni 0, basi moja ya mizizi ni 1.
c) Ikiwa jumla ya coefficients katika maeneo hata ni sawa na jumla ya coefficients katika maeneo isiyo ya kawaida, basi moja ya mizizi ni sawa na -1.
d) Ikiwa coefficients zote ni chanya, basi mizizi ya polynomial ni nambari hasi.
e) Polynomia ya digrii isiyo ya kawaida ina angalau moja mizizi halisi.
3. Kujifunza nyenzo mpya
Wakati wa kutatua nambari kamili milinganyo ya algebra lazima upate maadili ya mizizi ya polynomials. Operesheni hii inaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa ikiwa mahesabu yanafanywa kwa kutumia algorithm maalum inayoitwa mpango wa Horner. Mzunguko huu unaitwa baada ya mwanasayansi wa Kiingereza William George Horner. Mpango wa Horner ni algoriti ya kukokotoa mgawo na salio la kugawanya P(x) ya polynomial kwa x-c. Kwa ufupi jinsi inavyofanya kazi.
Acha polynomial ya kiholela P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n itolewe. Kugawanya polynomia hii kwa x-c ni uwakilishi wake katika fomu P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Sehemu g(x)=katika 0 x n-1 + katika n x n-2 +...+katika n-2 x + katika n-1, ambapo katika 0 =a 0, katika n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Salio r(x)= st n-1 +a n. Njia hii ya kuhesabu inaitwa mpango wa Horner. Neno "mpango" kwa jina la algorithm ni kwa sababu ya ukweli kwamba utekelezaji wake kawaida hurasimishwa. kwa njia ifuatayo. Kwanza, chora jedwali 2(n+2). Katika seli ya chini kushoto andika nambari c, na katika mstari wa juu coefficients ya polynomial P (x). Katika kesi hii, seli ya juu kushoto imesalia tupu.
katika 0 =a 0 |
katika 1 =st 1 +a 1 |
katika 2 = sv 1 + A 2 |
katika n-1 =st n-2 +a n-1 |
r(x)=f(c)=st n-1 +a n |
Nambari ambayo, baada ya kutekeleza algorithm, inageuka kuwa imeandikwa katika seli ya chini ya kulia ni salio la mgawanyiko wa polynomial P (x) na x-c. Nambari zingine katika 0, katika 1, katika 2, ... katika mstari wa chini ni coefficients ya mgawo.
Kwa mfano: Gawanya polinomia P(x)= x 3 -2x+3 kwa x-2.
Tunapata hiyo x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.
4. Kuunganishwa kwa nyenzo zilizojifunza
Mfano 1: Weka alama za polynomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 katika vipengele vilivyo na coefficients kamili.
Tunatafuta mizizi mzima kati ya vigawanyiko vya neno huru -1: 1; -1. Wacha tutengeneze meza:
X = -1 - mzizi
P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)
Wacha tuangalie 1/2.
X=1/2 - mzizi |
Kwa hivyo, P (x) ya polynomial inaweza kuwakilishwa katika fomu
P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)
Mfano 2: Tatua mlingano 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0
Kwa kuwa jumla ya coefficients ya polynomial iliyoandikwa upande wa kushoto wa equation ni sawa na sifuri, basi moja ya mizizi ni 1. Hebu tumia mpango wa Horner:
X=1 - mzizi |
Tunapata P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Tutatafuta mizizi kati ya vigawanyiko vya neno huru la 2.
Tuligundua kuwa hakukuwa na mizizi zaidi. Wacha tuangalie 1/2; -1/2.
X= -1/2 - mzizi |
Jibu: 1; -1/2.
Mfano 3: Tatua mlingano 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.
Tutatafuta mizizi ya mlingano huu miongoni mwa vigawanyo vya istilahi huru 5:1;-1;5;-5. x=1 ndio mzizi wa equation, kwa kuwa jumla ya coefficients ni sifuri. Wacha tutumie mpango wa Horner:
Hebu tuwasilishe equation kama bidhaa ya mambo matatu: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Kutatua equation ya quadratic 5x 2 -7x+5=0, tulipata D=49-100=-51, hakuna mizizi.
Kadi 1
- Sababu ya polynomial: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
- Tatua mlingano: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0
Kadi 2
- Sababu ya polynomial: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
- Tatua mlingano: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0
Kadi 3
- Weka alama katika: 2x 3 -21x 2 +37x+24
- Tatua mlingano: x 3 -2x 2 +4x-8=0
Kadi 4
- Weka alama katika: 5x 3 -46x 2 +79x-14
- Tatua mlingano: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0
5. Kujumlisha
Maarifa ya kupima wakati wa kutatua kwa jozi hufanywa darasani kwa kutambua njia ya hatua na jina la jibu.
Kazi ya nyumbani:
Tatua milinganyo:
a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0
b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0
c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2
d) x 4 +2x 3 -x-2=0
Fasihi
- N.Ya. Vilenkin et al., Aljebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 10 ( utafiti wa kina Hisabati): Mwangaza, 2005.
- U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Suluhisho la hesabu za digrii za juu: Volgograd, 2007.
- S.B. Gashkov, Mifumo ya nambari na matumizi yao.
Na kadhalika. ni ya asili ya elimu kwa ujumla na ina umuhimu mkubwa kusoma kozi YOTE hisabati ya juu. Leo tutarudia hesabu za "shule", lakini sio za "shule" tu - lakini zile zinazopatikana kila mahali kazi mbalimbali vyshmat. Kama kawaida, hadithi itaambiwa kwa njia iliyotumiwa, i.e. Sitazingatia ufafanuzi na uainishaji, lakini nitashiriki nawe haswa uzoefu wa kibinafsi ufumbuzi. Habari hiyo imekusudiwa kwa Kompyuta, lakini wasomaji wa hali ya juu zaidi watapata mengi kwao wenyewe. wakati wa kuvutia. Na bila shaka kutakuwa na nyenzo mpya, kwenda zaidi sekondari.
Kwa hivyo equation…. Wengi hukumbuka neno hili kwa kutetemeka. Je, ni milinganyo "ya kisasa" yenye thamani ya mizizi... ...sahau kuihusu! Kwa sababu basi utakutana na "wawakilishi" wasio na madhara zaidi wa aina hii. Au boring milinganyo ya trigonometric na kadhaa ya njia za suluhisho. Kwa kusema ukweli, mimi mwenyewe sikuwapenda ... Usiwe na wasiwasi! - basi wengi "dandelions" wanakungoja na suluhisho la wazi katika hatua 1-2. Ingawa "burdock" hakika inashikilia, unahitaji kuwa na lengo hapa.
Ajabu ya kutosha, katika hisabati ya juu ni kawaida zaidi kushughulika na hesabu za zamani kama vile. mstari milinganyo
Inamaanisha nini kutatua equation hii? Hii inamaanisha kupata thamani HIYO ya "x" (mizizi) inayoigeuza kuwa usawa wa kweli. Wacha tutupe "tatu" kulia na mabadiliko ya ishara:
na kuacha "mbili" kwa upande wa kulia (au, kitu kimoja - zidisha pande zote mbili kwa)
:
Ili kuangalia, hebu tubadilishe kombe lililoshinda kwenye mlinganyo wa asili: 
Usawa sahihi unapatikana, ambayo ina maana kwamba thamani iliyopatikana ndiyo mzizi wa mlinganyo huu. Au, kama wanasema, inakidhi equation hii.
Tafadhali kumbuka kuwa mzizi unaweza pia kuandikwa kwa fomu Nukta:
Na usijaribu kushikamana na mtindo huu mbaya! Nilirudia sababu zaidi ya mara moja, haswa, kwenye somo la kwanza algebra ya juu.
Kwa njia, equation pia inaweza kutatuliwa "kwa Kiarabu":
Na nini cha kufurahisha zaidi - kiingilio hiki kisheria kabisa! Lakini ikiwa wewe sio mwalimu, basi ni bora kutofanya hivi, kwa sababu uhalisi unaadhibiwa hapa =)
Na sasa kidogo kuhusu
njia ya suluhisho la picha
Equation ina fomu na mzizi wake ni "X" kuratibu pointi za makutano grafu ya utendakazi ya mstari na ratiba kazi ya mstari (x mhimili):
Inaweza kuonekana kuwa mfano huo ni wa msingi sana hivi kwamba hakuna kitu zaidi cha kuchambua hapa, lakini nuance moja zaidi isiyotarajiwa inaweza "kufinya" kutoka kwake: wacha tuwasilishe equation sawa katika fomu na tuunda grafu za kazi: 
Ambapo, tafadhali usichanganye dhana hizi mbili: mlinganyo ni mlinganyo, na kazi- hii ni kazi! Kazi msaada tu kupata mizizi ya equation. Ambayo kunaweza kuwa na mbili, tatu, nne, au hata nyingi sana. Mfano wa karibu zaidi katika maana hii ni unaojulikana sana mlinganyo wa quadratic, algorithm ya suluhisho ambayo ilipata aya tofauti fomula za shule "moto".. Na hii sio bahati mbaya! Ikiwa unaweza kutatua equation ya quadratic na ujue Nadharia ya Pythagorean, basi, mtu anaweza kusema, "nusu ya hisabati ya juu tayari iko katika mfuko wako" =) Inazidi, bila shaka, lakini si mbali na ukweli!
Kwa hivyo, tusiwe wavivu na kutatua equation ya quadratic kwa kutumia algorithm ya kawaida:
, ambayo ina maana kwamba equation ina mbili tofauti halali mzizi: 
Ni rahisi kuthibitisha kuwa maadili yote mawili yaliyopatikana yanakidhi mlinganyo huu: 
Nini cha kufanya ikiwa umesahau ghafla algorithm ya suluhisho, na hakuna njia / mikono ya kusaidia iliyo karibu? Hali hii inaweza kutokea, kwa mfano, wakati wa mtihani au mtihani. Tunatumia njia ya picha! Na kuna njia mbili: unaweza jenga nukta kwa nukta parabola 
, na hivyo kujua mahali inapokatiza mhimili (ikiwa itavuka kabisa). Lakini ni bora kufanya kitu cha ujanja zaidi: fikiria equation katika fomu, chora grafu zaidi kazi rahisi- Na "X" inaratibu maeneo yao ya makutano yanaonekana waziwazi! 
Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja unagusa parabola, basi equation ina mizizi miwili inayofanana (nyingi). Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja hauingii parabola, basi hakuna mizizi halisi.
Ili kufanya hivyo, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga grafu za kazi za msingi, lakini kwa upande mwingine, hata mtoto wa shule anaweza kufanya ujuzi huu.
Na tena - equation ni equation, na kazi , ni kazi ambazo ilisaidia tu kutatua equation!
Na hapa, kwa njia, itakuwa sahihi kukumbuka jambo moja zaidi: ikiwa coefficients zote za equation zinazidishwa na nambari isiyo ya sifuri, basi mizizi yake haitabadilika..
Kwa hivyo, kwa mfano, equation 
ina mizizi sawa. Kama "ushahidi" rahisi, nitatoa mara kwa mara kwenye mabano: 
na nitaiondoa bila maumivu (Nitagawanya sehemu zote mbili kwa "minus mbili"):
LAKINI! Ikiwa tutazingatia kazi 
, basi huwezi kuondokana na mara kwa mara hapa! Inaruhusiwa tu kutoa kizidishi kutoka kwenye mabano: 
.
Watu wengi hupuuza njia ya ufumbuzi wa kielelezo, kwa kuzingatia kuwa ni kitu "isiyo na heshima," na wengine hata kusahau kabisa juu ya uwezekano huu. Na hii kimsingi sio sawa, kwani kupanga njama wakati mwingine huokoa tu hali hiyo!
Mfano mwingine: tuseme hukumbuki mizizi ya equation rahisi zaidi ya trigonometric:. Fomula ya jumla iko ndani vitabu vya shule, katika vitabu vyote vya kumbukumbu juu ya hisabati ya msingi, lakini hazipatikani kwako. Walakini, kutatua equation ni muhimu (aka "mbili"). Kuna njia ya kutoka! - tengeneza grafu za kazi: 
baada ya hapo tunaandika kwa utulivu viwianishi vya "X" vya sehemu zao za makutano: 
Kuna mizizi mingi sana, na katika aljebra nukuu yao iliyofupishwa inakubaliwa:
, Wapi ( – seti ya nambari kamili)
.
Na, bila "kwenda", maneno machache kuhusu njia ya graphical ya kutatua kutofautiana na kutofautiana moja. Kanuni ni sawa. Kwa hiyo, kwa mfano, suluhisho la usawa ni "x" yoyote, kwa sababu Sinusoid iko karibu kabisa chini ya mstari wa moja kwa moja. Suluhisho la kukosekana kwa usawa ni seti ya vipindi ambavyo vipande vya sinusoid viko juu ya mstari wa moja kwa moja. (mhimili wa x):
au, kwa kifupi:
Lakini hapa kuna suluhisho nyingi za ukosefu wa usawa: tupu, kwa kuwa hakuna hatua ya sinusoid iko juu ya mstari wa moja kwa moja.
Je, kuna kitu ambacho huelewi? Jifunze kwa haraka masomo kuhusu seti Na kazi grafu!
Wacha tupate joto:
Zoezi 1
Tatua milinganyo ya trigonometriki ifuatayo kwa mchoro:
Majibu mwishoni mwa somo
Kama unaweza kuona, kusoma sayansi halisi Hakuna haja ya kukaza fomula na vitabu vya kumbukumbu! Aidha, hii ni mbinu ya kimsingi yenye kasoro.
Kama vile nilivyokuhakikishia mwanzoni kabisa mwa somo, milinganyo changamano ya trigonometric katika kozi ya kawaida ya hisabati ya juu inabidi kutatuliwa mara chache sana. Ugumu wote, kama sheria, huisha na hesabu kama , suluhisho ambalo ni vikundi viwili vya mizizi inayotokana na hesabu rahisi na. 
. Usijali sana juu ya kutatua mwisho - angalia kwenye kitabu au uipate kwenye Mtandao =)
Mbinu ya suluhu la picha inaweza pia kusaidia katika hali ndogo. Fikiria, kwa mfano, mlinganyo ufuatao wa "ragtag":
Matarajio ya suluhisho lake yanaonekana ... haionekani kama kitu chochote, lakini lazima tu ufikirie equation katika fomu, jenga. kazi grafu na kila kitu kitageuka kuwa rahisi sana. Kuna mchoro katikati ya kifungu kuhusu kazi zisizo na kikomo (itafungua kwenye kichupo kifuatacho).
Sawa njia ya picha unaweza kujua kwamba equation tayari ina mizizi miwili, na mmoja wao sawa na sifuri, na nyingine, inaonekana, isiyo na mantiki na ni ya sehemu. Imepewa mizizi inaweza kuhesabiwa takriban, kwa mfano, mbinu tangent. Kwa njia, katika matatizo fulani, hutokea kwamba huna haja ya kupata mizizi, lakini ujue zipo kabisa?. Na hapa, pia, kuchora inaweza kusaidia - ikiwa grafu haziingiliani, basi hakuna mizizi.
Mizizi ya busara ya polynomials na coefficients integer.
Mpango wa pembe
Na sasa ninakualika uelekeze macho yako kwa Enzi za Kati na uhisi hali ya kipekee ya algebra ya kawaida. Kwa ufahamu bora wa nyenzo, napendekeza usome angalau kidogo nambari ngumu.
Wao ni bora zaidi. Polynomials.
Kitu cha maslahi yetu kitakuwa polynomials ya kawaida ya fomu na mzima mgawo Nambari ya asili kuitwa shahada ya polynomial, nambari - mgawo wa shahada ya juu (au mgawo wa juu zaidi), na mgawo ni mwanachama huru.
Nitaashiria kwa kifupi hii polynomial na .
Mizizi ya polynomial piga mizizi ya equation
Ninapenda mantiki ya chuma =)
Kwa mifano, nenda mwanzoni mwa kifungu: 
Hakuna matatizo na kutafuta mizizi ya polynomials ya digrii 1 na 2, lakini unapoongeza kazi hii inakuwa ngumu zaidi na zaidi. Ingawa kwa upande mwingine, kila kitu kinavutia zaidi! Na hivi ndivyo sehemu ya pili ya somo itakavyotolewa.
Kwanza, nusu ya skrini ya nadharia:
1) Kulingana na muhtasari nadharia ya msingi ya algebra, digrii ya polynomial ina haswa changamano mizizi. Baadhi ya mizizi (au hata yote) inaweza kuwa hasa halali. Aidha, kati ya mizizi halisi kunaweza kuwa na mizizi inayofanana (nyingi). (chini mbili, vipande vya juu).
Ikiwa nambari changamano ndio mzizi wa polynomial, basi kuunganisha idadi yake pia lazima mzizi kupewa polynomial (kuunganisha mizizi tata Fanana ).
Mfano rahisi zaidi ni mlinganyo wa quadratic ambao ulionekana kwa mara ya kwanza mnamo 8 (kama) darasa, na ambalo hatimaye "tulimaliza" katika mada nambari ngumu. Acha nikukumbushe: equation ya quadratic ina mizizi miwili tofauti, au mizizi mingi, au kuunganisha mizizi changamano.
2) Kutoka Nadharia ya Bezout inafuata kwamba ikiwa nambari ndio mzizi wa equation, basi polynomial inayolingana inaweza kuzingatiwa:
, ambapo ni polynomial ya shahada.
Na tena, yetu mfano wa zamani: kwani ndio mzizi wa equation, basi. Baada ya hapo si vigumu kupata upanuzi unaojulikana wa "shule".
Mfuatano wa nadharia ya Bezout ina kubwa thamani ya vitendo: ikiwa tunajua mzizi wa equation ya shahada ya 3, basi tunaweza kuiwakilisha kwa fomu 
na kutoka mlinganyo wa quadratic ni rahisi kutambua mizizi iliyobaki. Ikiwa tunajua mzizi wa equation ya shahada ya 4, basi inawezekana kupanua upande wa kushoto katika bidhaa, nk.
Na kuna maswali mawili hapa:
Swali moja. Jinsi ya kupata mzizi huu sana? Kwanza kabisa, hebu tufafanue asili yake: katika matatizo mengi ya hisabati ya juu ni muhimu kupata busara, hasa mzima mizizi ya polynomials, na katika suala hili, zaidi tutavutiwa nao .... ...ni wazuri sana, ni wepesi sana hivi kwamba unataka tu kuwapata! =)
Jambo la kwanza linalokuja akilini ni njia ya uteuzi. Fikiria, kwa mfano, equation. Kukamata hapa ni kwa neno la bure - ikiwa ingekuwa sawa na sifuri, basi kila kitu kingekuwa sawa - tunachukua "x" nje ya mabano na mizizi yenyewe "huanguka" juu ya uso: 
Lakini neno letu la bure ni sawa na "tatu", na kwa hivyo tunaanza kuchukua nafasi ya equation nambari tofauti, akidai kuwa "mzizi". Kwanza kabisa, uingizwaji unapendekeza yenyewe maadili moja. Hebu tubadilishe: 
Imepokelewa si sahihi usawa, kwa hivyo, kitengo "hakikufaa." Kweli, sawa, wacha tubadilishe: 
Imepokelewa kweli usawa! Hiyo ni, thamani ni mzizi wa equation hii.
Ili kupata mizizi ya polynomial ya shahada ya 3, kuna njia ya uchambuzi (kinachojulikana formula za Cardano), lakini sasa tunavutiwa na kazi tofauti kidogo.
Kwa kuwa - ndio mzizi wa polynomial yetu, polynomial inaweza kuwakilishwa kwa fomu na kutokea Swali la pili: jinsi ya kupata "ndugu mdogo"?
Mazingatio rahisi zaidi ya aljebra yanapendekeza kwamba ili kufanya hivi tunahitaji kugawanya kwa . Jinsi ya kugawanya polynomial na polynomial? Sawa mbinu ya shule pamoja nambari za kawaida- "katika safu"! Mbinu hii Niliijadili kwa undani katika mifano ya kwanza ya somo Mipaka Changamano, na sasa tutaangalia njia nyingine, ambayo inaitwa Mpango wa pembe.
Kwanza tunaandika polynomial "ya juu zaidi". na kila mtu
, ikiwa ni pamoja na coefficients sifuri:
, baada ya hapo tunaingiza coefficients hizi (madhubuti kwa mpangilio) kwenye safu ya juu ya jedwali:
Tunaandika mzizi upande wa kushoto:
Mara moja nitafanya uhifadhi kwamba mpango wa Horner pia hufanya kazi ikiwa nambari "nyekundu". Sivyo ndio mzizi wa polynomial. Hata hivyo, tusikimbilie mambo.
Tunaondoa mgawo unaoongoza kutoka juu:
Mchakato wa kujaza seli za chini ni ukumbusho wa embroidery, ambapo "minus moja" ni aina ya "sindano" ambayo huingia katika hatua zinazofuata. Tunazidisha nambari "iliyobebwa" kwa (-1) na kuongeza nambari kutoka seli ya juu hadi kwa bidhaa:
Tunazidisha thamani iliyopatikana na "sindano nyekundu" na kuongeza mgawo wa equation ufuatao kwa bidhaa:
Na mwishowe, thamani inayosababishwa "inasindika" tena na "sindano" na mgawo wa juu:
Sufuri katika seli ya mwisho inatuambia kwamba polynomia imegawanywa katika bila kuwaeleza (kama inavyopaswa kuwa), ilhali migawo ya upanuzi "imeondolewa" moja kwa moja kutoka kwenye mstari wa chini wa jedwali:
Kwa hivyo, kutoka kwa equation tulihamia equation sawa na kwa mizizi miwili iliyobaki kila kitu kiko wazi (V kwa kesi hii tunapata mizizi tata).
Equation, kwa njia, inaweza pia kutatuliwa graphically: njama "umeme" 
na uone kwamba grafu inavuka mhimili wa x ()
kwa uhakika. Au hila ile ile ya "ujanja" - tunaandika tena equation katika fomu, kuchora graphics za msingi na ugundue uratibu wa "X" wa sehemu yao ya makutano.
Kwa njia, grafu ya kazi-polynomial yoyote ya digrii ya 3 inapita mhimili angalau mara moja, ambayo inamaanisha kuwa equation inayolingana ina. angalau moja halali mzizi. Ukweli huu halali kwa utendaji wowote wa polinomia wa digrii isiyo ya kawaida.
Na hapa ningependa pia kukaa hatua muhimu ambayo inahusu istilahi: polynomial Na kazi ya polynomial – si kitu kimoja! Lakini katika mazoezi mara nyingi huzungumza, kwa mfano, kuhusu "graph ya polynomial," ambayo, bila shaka, ni uzembe.
Walakini, wacha turudi kwenye mpango wa Horner. Kama nilivyosema hivi majuzi, mpango huu unafanya kazi kwa nambari zingine, lakini ikiwa nambari Sivyo ndio mzizi wa equation, kisha nyongeza isiyo ya sifuri (salio) inaonekana kwenye fomula yetu:
Hebu "tuendeshe" thamani "isiyofanikiwa" kulingana na mpango wa Horner. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia meza sawa - andika "sindano" mpya upande wa kushoto, songa mgawo unaoongoza kutoka juu. (mshale wa kijani wa kushoto), na tunaondoka: 
Kuangalia, hebu tufungue mabano na tuwasilishe masharti yanayofanana:
, SAWA.
Ni rahisi kuona kwamba salio (“sita”) ndiyo thamani kamili ya nambari nyingi katika . Na kwa kweli - ni kama nini: 
, na hata nzuri zaidi - kama hii:
Kutoka kwa mahesabu hapo juu ni rahisi kuelewa kwamba mpango wa Horner hauruhusu tu kuzingatia polynomial, lakini pia kutekeleza uteuzi "wa kistaarabu" wa mizizi. Ninapendekeza uunganishe algorithm ya hesabu mwenyewe na kazi ndogo:
Jukumu la 2
Kwa kutumia mpango wa Horner, pata mzizi mzima equation na sababu ya polynomial sambamba
Kwa maneno mengine, hapa unahitaji kuangalia kwa mpangilio nambari 1, -1, 2, -2, ... - hadi salio la sifuri "linachorwa" kwenye safu wima ya mwisho. Hii itamaanisha kwamba "sindano" ya mstari huu ni mzizi wa polynomial
Ni rahisi kupanga mahesabu katika meza moja. Suluhisho la kina na jibu mwishoni mwa somo.
Njia ya kuchagua mizizi ni nzuri kwa kiasi kesi rahisi, lakini ikiwa viambajengo na/au kiwango cha polynomial ni kubwa, basi mchakato unaweza kuchukua muda mrefu zaidi. Au labda kuna maadili kutoka kwa orodha sawa 1, -1, 2, -2 na hakuna maana ya kuzingatia? Na, zaidi ya hayo, mizizi inaweza kugeuka kuwa ya sehemu, ambayo itasababisha poking isiyo ya kisayansi kabisa.
Kwa bahati nzuri, kuna nadharia mbili zenye nguvu ambazo zinaweza kupunguza sana utaftaji wa maadili ya "mgombea" katika mizizi ya busara:
Nadharia 1 Hebu tuzingatie isiyoweza kupunguzwa sehemu, wapi. Ikiwa nambari ni mzizi wa equation, basi neno la bure linagawanywa na mgawo unaoongoza umegawanywa na.
Hasa, ikiwa mgawo unaoongoza ni , basi mzizi huu wa busara ni nambari kamili:
Na tunaanza kutumia nadharia kwa maelezo haya ya kitamu tu:
Wacha turudi kwenye equation. Kwa kuwa mgawo wake unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza kuwa kamili pekee, na neno huria lazima lazima ligawanywe katika mizizi hii bila salio. Na "tatu" inaweza tu kugawanywa katika 1, -1, 3 na -3. Hiyo ni, tuna "wagombea wa mizizi" 4 tu. Na, kulingana na Nadharia 1, nyingine nambari za busara haiwezi kuwa mizizi ya mlingano huu KATIKA KANUNI.
Kuna "washindani" zaidi katika equation: neno la bure limegawanywa katika 1, -1, 2, - 2, 4 na -4.
Tafadhali kumbuka kuwa nambari 1, -1 ni "kawaida" ya orodha ya mizizi inayowezekana (matokeo dhahiri ya nadharia) na wengi chaguo bora kwa ukaguzi wa kipaumbele.
Wacha tuendelee kwenye mifano yenye maana zaidi:
Tatizo 3
Suluhisho: kwa kuwa mgawo unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza tu kuwa kamili, na lazima lazima iwe vigawanyiko vya neno huru. "Minus arobaini" imegawanywa katika jozi zifuatazo za nambari:
- jumla ya "wagombea" 16.
Na hapa mawazo ya kumjaribu yanaonekana mara moja: inawezekana kupalilia hasi au mizizi yote nzuri? Katika baadhi ya matukio inawezekana! Nitaunda ishara mbili:
1) Kama Wote Ikiwa coefficients ya polynomial sio hasi, basi haiwezi kuwa na mizizi nzuri. Kwa bahati mbaya, hii sio kesi yetu (Sasa, ikiwa tulipewa equation - basi ndio, wakati wa kubadilisha thamani yoyote ya polynomial, thamani ya polynomial ni chanya kabisa, ambayo inamaanisha kuwa kila kitu. nambari chanya (na wasio na akili pia) haiwezi kuwa mizizi ya equation.
2) Ikiwa mgawo wa nguvu zisizo za kawaida sio hasi, na kwa nguvu zote hata (pamoja na mwanachama huru) ni hasi, basi polynomial haiwezi kuwa nayo mizizi hasi. Hii ni kesi yetu! Ukiangalia kwa karibu, unaweza kuona kwamba unapobadilisha "X" yoyote hasi kwenye equation upande wa kushoto itakuwa hasi kabisa, ambayo inamaanisha kuwa mizizi hasi hupotea
Kwa hivyo, kuna nambari 8 zilizobaki kwa utafiti:
"Tunawatoza" kwa mlolongo kulingana na mpango wa Horner. Natumaini tayari umeweza mahesabu ya akili:
Bahati ilingojea wakati wa kujaribu "mbili". Hivyo, ni mzizi wa equation inayozingatiwa, na
Inabakia kusoma equation 
. Hii ni rahisi kufanya kupitia kibaguzi, lakini nitafanya jaribio la kielelezo kwa kutumia mpango huo huo. Kwanza, hebu tukumbuke kwamba neno la bure ni sawa na 20, ambayo ina maana Nadharia 1 nambari 8 na 40 zinatoka kwenye orodha ya mizizi inayowezekana, na kuacha maadili ya utafiti (moja iliondolewa kulingana na mpango wa Horner).
Tunaandika coefficients ya trinomial katika safu ya juu ya meza mpya na Tunaanza kuangalia na "mbili" sawa. Kwa nini? Na kwa sababu mizizi inaweza kuwa nyingi, tafadhali: - mlinganyo huu una 10 mizizi inayofanana. Lakini tusikengeushwe: 
Na hapa, bila shaka, nilikuwa nikilala kidogo, nikijua kwamba mizizi ni ya busara. Baada ya yote, ikiwa hawakuwa na maana au ngumu, basi ningekabiliwa na hundi isiyofanikiwa ya nambari zote zilizobaki. Kwa hiyo, katika mazoezi, uongozwe na kibaguzi.
Jibu: mizizi ya busara: 2, 4, 5
Tulikuwa na bahati katika tatizo tulilochambua, kwa sababu: a) walianguka mara moja maadili hasi, na b) tulipata mzizi haraka sana (na kinadharia tunaweza kuangalia orodha nzima).
Lakini kwa kweli hali ni mbaya zaidi. Ninakualika kutazama mchezo wa kusisimua yenye kichwa " Shujaa wa Mwisho»:
Tatizo 4
Pata mizizi ya busara ya equation
Suluhisho: Kwa Nadharia 1 nambari za dhahania mizizi ya busara lazima kukidhi hali (tunasoma "kumi na mbili imegawanywa na el"), na madhehebu yanalingana na hali. Kulingana na hili, tunapata orodha mbili:
"orodha el":
na "orodha um": (kwa bahati nzuri, nambari hapa ni za asili).
Sasa hebu tufanye orodha ya mizizi yote inayowezekana. Kwanza, tunagawanya "el list" na. Ni wazi kabisa kwamba nambari sawa zitapatikana. Kwa urahisi, wacha tuwaweke kwenye meza:
Sehemu nyingi zimepunguzwa, na kusababisha maadili ambayo tayari yako kwenye "orodha ya mashujaa." Tunaongeza tu "wapya": 
Vile vile, tunagawanya "orodha" sawa na: 
na hatimaye
Kwa hivyo, timu ya washiriki katika mchezo wetu imekamilika: 
Kwa bahati mbaya, polynomial katika tatizo hili haikidhi kigezo cha "chanya" au "hasi", na kwa hiyo hatuwezi kutupa safu ya juu au ya chini. Utalazimika kufanya kazi na nambari zote.
Unajisikiaje? Njoo, inua kichwa chako - kuna nadharia nyingine ambayo inaweza kuitwa kwa mfano "nadharia ya muuaji". ...“wagombea”, bila shaka =)
Lakini kwanza unahitaji kuvinjari mchoro wa Horner kwa angalau moja yote nambari. Kijadi, wacha tuchukue moja. Kwenye mstari wa juu tunaandika coefficients ya polynomial na kila kitu ni kama kawaida:
Kwa kuwa nne ni wazi si sifuri, thamani sio mzizi wa polynomial katika swali. Lakini atatusaidia sana.
Nadharia 2 Ikiwa kwa baadhi kwa ujumla thamani ya polynomial ni nonzero: , basi mizizi yake ya busara (kama wapo) kukidhi hali
Kwa upande wetu na kwa hiyo mizizi yote inayowezekana lazima ikidhi hali hiyo (wacha tuiite Condition No. 1). Wanne hawa watakuwa "muuaji" wa "wagombea" wengi. Kama onyesho, nitaangalia hundi chache:
Wacha tuangalie "mgombea". Ili kufanya hivyo, hebu tuwakilishe bandia kwa namna ya sehemu, ambayo inaonekana wazi kuwa. Wacha tuhesabu tofauti ya mtihani: . Nne imegawanywa na "minus mbili":, ambayo ina maana kwamba mzizi unaowezekana umepita mtihani.
Hebu tuangalie thamani. Hapa kuna tofauti ya mtihani: 
. Kwa kweli, na kwa hivyo "somo" la pili pia linabaki kwenye orodha.
Rudi mbele
Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.
Aina ya somo: Somo la kufahamu na kuunganisha maarifa ya msingi.
Kusudi la somo:
- Wajulishe wanafunzi dhana ya mizizi ya polynomia na wafundishe jinsi ya kuipata. Boresha ustadi wa kutumia mpango wa Horner wa kupanua polynomial kwa mamlaka na kugawanya polynomial na binomial.
- Jifunze kupata mizizi ya equation kwa kutumia mpango wa Horner.
- Kuza mawazo ya kufikirika.
- Kukuza utamaduni wa kompyuta.
- Maendeleo ya uhusiano kati ya taaluma mbalimbali.
Wakati wa madarasa
1. Wakati wa shirika.
Fahamisha mada ya somo, tengeneza malengo.
2. Kukagua kazi za nyumbani.
3. Kusoma nyenzo mpya.
Acha Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynomial kwa x ya shahada n, ambapo 0 , a 1 ,..., a n hupewa nambari, na 0 si sawa na 0. Ikiwa nambari ya polynomial F n (x) imegawanywa na salio kwa binomial x-a, basi mgawo (mgawo usio kamili) ni nambari ya nambari nyingi Q n-1 (x) ya digrii n-1, R iliyobaki ni nambari, na usawa ni kweli. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Nambari ya aina nyingi F n (x) inaweza kugawanywa kwa binomial (x-a) katika hali ya R=0 pekee.
Nadharia ya Bezout: R iliyosalia kutoka kwa kugawanya polinomia F n (x) na binomial (x-a) ni sawa na thamani ya polinomia F n (x) kwa x=a, i.e. R=Pn(a).
Historia kidogo. Nadharia ya Bezout, licha ya unyenyekevu na udhahiri wake, ni mojawapo ya nadharia za kimsingi nadharia ya polynomial. Nadharia hii inahusiana na sifa za aljebra za polynomia (ambazo huturuhusu kufanya kazi na polynomia kama nambari kamili) na sifa za kazi(ambayo inaruhusu polynomials kutibiwa kama kazi). Njia moja ya kusuluhisha milinganyo ya digrii ya juu ni kuangazia polynomial upande wa kushoto wa mlinganyo. Hesabu ya mgawo wa polynomial na salio imeandikwa kwa namna ya jedwali linaloitwa mpango wa Horner.
Mpango wa Horner ni algorithm ya kugawanya polynomial, iliyoandikwa kwa kesi maalum wakati mgawo ni sawa na binomial. x–a.
Horner William George (1786 - 1837), mtaalamu wa hisabati wa Kiingereza. Utafiti mkuu unahusu nadharia ya milinganyo ya aljebra. Ilitengeneza mbinu ya takriban suluhu ya milinganyo ya shahada yoyote. Mnamo 1819 alianzisha njia muhimu ya algebra ya kugawanya polynomial na binomial x - a (mpango wa Horner).
Hitimisho formula ya jumla kwa mpango wa Horner.
Kugawanya nambari f(x) na salio kwa binomial (x-c) kunamaanisha kupata nambari q(x) na nambari r kiasi kwamba f(x)=(x-c)q(x)+r
Wacha tuandike usawa huu kwa undani:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Wacha tulinganishe coefficients kwa digrii sawa:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Maonyesho ya mzunguko wa Horner kwa kutumia mfano.
Zoezi 1. Kwa kutumia mpango wa Horner, tunagawanya polynomial f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 na salio na binomial x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ambapo g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 salio.
Upanuzi wa polynomial katika nguvu za binomial.
Kwa kutumia mpango wa Horner, tunapanua polynomial f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 katika uwezo wa binomial (x+2).
Kwa hivyo, tunapaswa kupata upanuzi f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Mpango wa Horner hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua equations ya digrii ya tatu, ya nne na ya juu, wakati ni rahisi kupanua polynomial kwenye x-a ya binomial. Nambari a kuitwa mzizi wa polynomial F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ikiwa saa x=a thamani ya polynomial F n (x) ni sawa na sifuri: F n (a)=0, i.e. ikiwa polynomial inaweza kugawanywa na binomial x-a.
Kwa mfano, nambari 2 ni mzizi wa polynomial F 3 (x) = 3x 3 -2x-20, tangu F 3 (2) = 0. inamaanisha. Kwamba uboreshaji wa polynomial hii ina sababu x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Aina yoyote ya F n(x) ya digrii n 1 hawezi kuwa na zaidi n mizizi halisi.
Kizizi chochote kamili cha mlingano chenye hesabu kamili ni kigawanyo cha neno lake lisilolipishwa.
Ikiwa mgawo unaoongoza wa equation ni 1, basi mizizi yote ya busara ya equation, ikiwa ipo, ni nambari kamili.
Ujumuishaji wa nyenzo zilizosomwa.
Ili kuunganisha nyenzo mpya, wanafunzi wanaalikwa kukamilisha nambari kutoka kwa kitabu cha kiada 2.41 na 2.42 (uk. 65).
(Wanafunzi 2 wanatatua kwenye ubao, na wengine, baada ya kuamua, angalia kazi kwenye daftari na majibu ubaoni).
Kufupisha.
Baada ya kuelewa muundo na kanuni ya uendeshaji wa mpango wa Horner, inaweza pia kutumika katika masomo ya sayansi ya kompyuta, wakati suala la kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya decimal hadi mfumo wa binary na kinyume chake inazingatiwa. Msingi wa kuhamisha kutoka kwa nambari moja hadi nyingine ni nadharia ya jumla ifuatayo
Nadharia. Ili kubadilisha nambari nzima Ap kutoka uk- mfumo wa nambari hadi mfumo wa nambari ya msingi d muhimu Ap gawanya kwa mpangilio na salio kwa nambari d, iliyoandikwa sawa uk mfumo wa -ary mpaka mgawo unaotokana unakuwa sawa na sifuri. Salio kutoka kwa mgawanyiko huo watakuwa d- tarakimu za nambari Tangazo, kuanzia kategoria ya vijana hadi ya wakubwa zaidi. Vitendo vyote lazima vifanyike ndani uk- mfumo wa nambari. Kwa mtu, sheria hii ni rahisi tu wakati uk= 10, i.e. wakati wa kutafsiri kutoka mfumo wa desimali. Kama ilivyo kwa kompyuta, badala yake, ni "rahisi zaidi" kwake kufanya mahesabu mfumo wa binary. Kwa hiyo, kubadili "2 hadi 10", mgawanyiko wa mlolongo na kumi katika mfumo wa binary hutumiwa, na "10 hadi 2" ni kuongeza ya nguvu za kumi. Ili kuboresha mahesabu ya utaratibu wa "10 kwa 2", kompyuta hutumia mpango wa kompyuta wa kiuchumi wa Horner.
Kazi ya nyumbani. Inapendekezwa kukamilisha kazi mbili.
1. Kwa kutumia mpango wa Horner, gawanya polima f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 na binomial (x-3).
2. Tafuta mizizi kamili ya polinomia f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (ikizingatiwa kwamba mzizi kamili wa mlingano wenye viambajengo kamili ni kigawanyo cha neno lake lisilolipishwa)
Fasihi.
- Kurosh A.G. "Kozi ya Algebra ya Juu."
- Nikolsky S.M., Potapov M.K. Daraja la 10 "Aljebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Slaidi ya 3
Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mtaalamu wa hisabati wa Kiingereza. Mzaliwa wa Bristol. Alisoma na kufanya kazi huko, kisha katika shule za Bath. Kazi za msingi kwenye algebra. Mnamo 1819 ilichapisha mbinu ya kukadiria hesabu ya mizizi halisi ya polynomial, ambayo sasa inaitwa njia ya Ruffini-Horner (njia hii ilijulikana kwa Wachina huko nyuma katika karne ya 13) Mpango wa kugawanya polynomial na binomial x-a inaitwa jina baada ya Horner.
Slaidi ya 4
MPANGO WA HORNER
Mbinu ya mgawanyiko nth polynomial shahada kwenye mstari wa binomial - a, kwa kuzingatia ukweli kwamba mgawo wa mgawo usio kamili na salio unahusiana na mgawo wa polimanomia inayoweza kugawanywa na kwa fomula:
Slaidi ya 5
Mahesabu kulingana na mpango wa Horner huwekwa kwenye meza:
Mfano 1. Gawanya Sehemu ya sehemu ni x3-x2+3x - 13 na iliyobaki ni 42=f(-3).
Slaidi 6
Faida kuu ya njia hii ni kuunganishwa kwa kurekodi na uwezo mgawanyiko wa haraka polynomial hadi binomial. Kwa kweli, mpango wa Horner ni aina nyingine ya kurekodi njia ya kambi, ingawa, tofauti na mwisho, sio ya kuona kabisa. Jibu (factorization) linapatikana hapa peke yake, na hatuoni mchakato wa kuipata. Hatutashiriki katika uthibitisho mkali wa mpango wa Horner, lakini tutaonyesha tu jinsi unavyofanya kazi.
Slaidi 7
Mfano 2.
Wacha tuthibitishe kuwa nambari ya polynomial P(x)=x4-6x3+7x-392 inaweza kugawanywa na x-7, na tupate mgawo wa mgawanyiko. Suluhisho. Kutumia mpango wa Horner, tunapata P (7): Kutoka hapa tunapata P (7) = 0, i.e. salio wakati wa kugawanya polima kwa x-7 ni sawa na sifuri na, kwa hiyo, polinomia P(x) ni mgawo wa (x-7). mgawo wa P(x) umegawanywa na (x-7), kwa hiyo P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).
Slaidi ya 8
Weka alama ya polynomial x3 - 5x2 - 2x + 16.
Polynomia hii ina coefficients kamili. Ikiwa integer ni mzizi wa polynomial hii, basi ni mgawanyiko wa nambari 16. Kwa hivyo, ikiwa polynomial iliyotolewa ina mizizi kamili, basi hizi zinaweza tu kuwa namba ± 1; ±2; ±4; ±8; ±16. Kwa uthibitishaji wa moja kwa moja tuna hakika kwamba nambari 2 ndio mzizi wa polynomial hii, ambayo ni, x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), ambapo Q (x) ni polynomial ya shahada ya pili.
Slaidi 9
Nambari zinazosababisha 1, -3, -8 ni coefficients ya polynomial, ambayo hupatikana kwa kugawanya polynomial ya awali na x - 2. Hii ina maana kwamba matokeo ya mgawanyiko ni: 1 x2 + (–3) x + ( -8) = x2 - 3x - 8. Kiwango cha polinomia kinachotokana na mgawanyiko daima ni 1 chini ya shahada ya awali. Kwa hiyo: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).
Mpango wa Horner - njia ya kugawanya polynomial
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldets+a_(n-1)x+a_n$$
kwenye binomial $x-a$. Utalazimika kufanya kazi na jedwali, safu ya kwanza ambayo ina mgawo wa polynomial fulani. Kipengele cha kwanza cha mstari wa pili kitakuwa nambari $a$, iliyochukuliwa kutoka kwa binomial $x-a$:
Baada ya kugawanya polynomial ya shahada ya nth na binomial $x-a$, tunapata polynomial ambayo shahada yake ni moja chini ya ile ya awali, i.e. ni sawa na $n-1$. Utumiaji wa moja kwa moja wa mpango wa Horner ni rahisi kuonyesha kwa mifano.
Mfano Nambari 1
Gawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ kwa $x-1$ ukitumia mpango wa Horner.
Hebu tufanye jedwali la mistari miwili: katika mstari wa kwanza tunaandika coefficients ya polynomial $5x^4+5x^3+x^2-11$, iliyopangwa kwa utaratibu wa kushuka wa nguvu za kutofautiana $x$. Kumbuka kwamba polynomial hii haina $x$ hadi digrii ya kwanza, i.e. mgawo wa $x$ kwa nguvu ya kwanza ni 0. Kwa kuwa tunagawanya kwa $x-1$, tunaandika moja katika mstari wa pili:
Hebu tuanze kujaza seli tupu kwenye mstari wa pili. Katika seli ya pili ya mstari wa pili tunaandika nambari $5$, tukisonga kutoka kwa seli inayolingana ya mstari wa kwanza:
Wacha tujaze kisanduku kifuatacho kulingana na kanuni hii: $1\cdot 5+5=10$:
Wacha tujaze kisanduku cha nne cha mstari wa pili kwa njia ile ile: $1\cdot 10+1=11$:
Kwa kisanduku cha tano tunapata: $1\cdot 11+0=11$:
Na hatimaye, kwa seli ya mwisho, ya sita, tuna: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Shida imetatuliwa, kilichobaki ni kuandika jibu:
Kama unavyoona, nambari zilizo katika mstari wa pili (kati ya moja na sifuri) ni coefficients ya polynomia iliyopatikana baada ya kugawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ na $x-1$. Kwa kawaida, kwa kuwa kiwango cha polima asili $5x^4+5x^3+x^2-11$ kilikuwa sawa na nne, kiwango cha matokeo ya polinomia $5x^3+10x^2+11x+11$ ni moja. kidogo, yaani. sawa na tatu. Nambari ya mwisho katika mstari wa pili (sifuri) inamaanisha salio wakati wa kugawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ na $x-1$. Kwa upande wetu, salio ni sifuri, i.e. polynomials zinagawanywa kwa usawa. Matokeo haya pia yanaweza kubainishwa kama ifuatavyo: thamani ya polinomia $5x^4+5x^3+x^2-11$ kwa $x=1$ ni sawa na sifuri.
Hitimisho pia linaweza kutayarishwa kwa namna hii: kwa kuwa thamani ya polinomia $5x^4+5x^3+x^2-11$ katika $x=1$ ni sawa na sifuri, basi umoja ndio mzizi wa upolimia. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Mfano Nambari 2
Gawanya $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ya polinomia kwa $x+3$ ukitumia mpango wa Horner.
Hebu tuweke masharti mara moja kwamba usemi $x+3$ lazima uwasilishwe katika fomu $x-(-3)$. Mpango wa Horner utahusisha hasa $-3$. Kwa kuwa kiwango cha polima asilia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ni sawa na nne, basi kama matokeo ya mgawanyiko tunapata polynomial ya shahada ya tatu:
Matokeo yake yanamaanisha hivyo
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
Katika hali hii, salio unapogawanya $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ kwa $x+3$ ni $4$. Au, ni nini sawa, thamani ya polinomia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ kwa $x=-3$ ni sawa na $4$. Kwa njia, hii ni rahisi kuangalia mara mbili kwa kubadilisha moja kwa moja $x=-3$ kwenye polynomial iliyotolewa:
$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdoti (-3)^3-5 \cdoti (-3)-47=4.$$
Wale. Mpango wa Horner unaweza kutumika ikiwa ni muhimu kupata thamani ya polynomial kuweka thamani kutofautiana. Ikiwa lengo letu ni kupata mizizi yote ya polynomial, basi mpango wa Horner unaweza kutumika mara kadhaa mfululizo hadi tumemaliza mizizi yote, kama ilivyojadiliwa katika mfano Na.
Mfano Nambari 3
Pata mizizi yote kamili ya polynomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ukitumia mpango wa Horner.
Vigawo vya polinomia vinavyozingatiwa ni nambari kamili, na mgawo kabla shahada ya juu kutofautisha (yaani kabla ya $x^6$) ni sawa na moja. Katika kesi hii, mizizi kamili ya polynomial lazima itafutwa kati ya wagawanyiko wa neno la bure, i.e. kati ya wagawanyiko wa nambari 45. Kwa polynomial iliyotolewa, mizizi hiyo inaweza kuwa namba $ 45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 $ na $ -45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Wacha tuangalie, kwa mfano, nambari $1$:
Kama unavyoona, thamani ya polinomia $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ na $x=1$ ni sawa na $192$ (nambari ya mwisho kwenye mstari wa pili), na sio $0 $, kwa hivyo umoja sio mzizi wa polynomial hii. Kwa kuwa hundi ya moja imeshindwa, hebu tuangalie thamani $x=-1$. Jedwali jipya Kwa kusudi hili hatutakusanya, lakini tutaendelea kutumia meza. Nambari 1, akiongeza mstari mpya (wa tatu) kwake. Mstari wa pili, ambao thamani ya $1$ iliangaliwa, itaangaziwa kwa rangi nyekundu na haitatumika katika majadiliano zaidi.
Unaweza, bila shaka, kuandika tena meza tena, lakini kuijaza kwa mikono itachukua muda mwingi. Zaidi ya hayo, kunaweza kuwa na nambari kadhaa ambazo uthibitishaji wake utashindwa, na ni vigumu kuandika meza mpya kila wakati. Wakati wa kuhesabu "kwenye karatasi", mistari nyekundu inaweza kuvuka tu.
Kwa hivyo, thamani ya polinomia $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ katika $x=-1$ ni sawa na sifuri, i.e. nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial hii. Baada ya kugawanya $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ya polinomia kwa minomial $x-(-1)=x+1$ tunapata $x ya polinomia ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, migawo ambayo inachukuliwa kutoka safu mlalo ya tatu ya jedwali. Nambari 2 (tazama mfano No. 1). Matokeo ya mahesabu yanaweza pia kuwasilishwa katika fomu hii:
\anza(equation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2) +69x+45)\mwisho(mlinganyo)
Wacha tuendelee kutafuta mizizi kamili. Sasa tunahitaji kutafuta mizizi ya polynomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Tena, mizizi kamili ya polynomial hii inatafutwa kati ya vigawanyiko vya muda wake wa bure, nambari $45$. Hebu tujaribu kuangalia nambari $-1$ tena. Hatutaunda jedwali jipya, lakini tutaendelea kutumia jedwali lililotangulia. Nambari 2, i.e. Wacha tuongeze mstari mmoja zaidi kwake:
Kwa hivyo, nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Matokeo haya yanaweza kuandikwa kama hii:
\anza(equation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \mwisho(mlinganyo)
Kwa kuzingatia usawa (2), usawa (1) unaweza kuandikwa upya katika fomu ifuatayo:
\anza(equation)\anza(iliyopangwa) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\mwisho(zilizopangiliwa)\mwisho(mlinganyo)
Sasa tunahitaji kutafuta mizizi ya polynomial $x^4-22x^2+24x+45$ - kwa kawaida, kati ya wagawanyiko wa muda wake wa bure (nambari $45$). Wacha tuangalie nambari $-1$ tena:
Nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial $x^4-22x^2+24x+45$. Matokeo haya yanaweza kuandikwa kama hii:
\anza(equation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \mwisho(mlinganyo)
Kwa kuzingatia usawa (4), tunaandika upya usawa (3) katika fomu ifuatayo:
\anza(equation)\anza(iliyopangwa) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\mwisho(zilizopangiliwa)\mwisho(mlingano)
Sasa tunatafuta mizizi ya polynomial $x^3-x^2-21x+45$. Wacha tuangalie nambari $-1$ tena:
Cheki iliisha bila kushindwa. Wacha tuangazie mstari wa sita kwa nyekundu na jaribu kuangalia nambari nyingine, kwa mfano, nambari $3$:
Salio ni sifuri, kwa hivyo nambari $3$ ndio mzizi wa polynomial inayozungumziwa. Kwa hivyo, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Sasa usawa (5) unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo.