Ili kuelewa mada hii, hebu tuchunguze kazi iliyoonyeshwa kwenye grafu // Wacha tuonyeshe jinsi grafu ya kazi hukuruhusu kuamua mali yake.
Wacha tuangalie sifa za kazi kwa kutumia mfano
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni urefu [3.5; 5.5].
Msururu wa thamani za chaguo za kukokotoa ni muda [ 1; 3].
1. Saa x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, thamani ya kazi ni sifuri.
Thamani ya hoja ambayo thamani ya chaguo la kukokotoa ni sifuri inaitwa chaguo za kukokotoa sifuri.
//hizo. kwa kazi hii namba ni -3;-1;1.5; 4.5 ni sufuri.
2. Katika vipindi [4.5; 3) na (1; 1.5) na (4.5; 5.5] grafu ya fomula f iko juu ya mhimili wa abscissa, na katika vipindi (-3; -1) na (1.5; 4.5) chini ya mhimili abscissa, hii inafafanuliwa kama ifuatavyo: kwenye vipindi [4.5; 3) na (1; 1.5) na (4.5; 5.5] chaguo la kukokotoa huchukua maadili chanya, na kwa vipindi (-3; -1) na (1.5; 4.5) hasi.
Kila moja ya vipindi vilivyoonyeshwa (ambapo kazi huchukua maadili ya ishara sawa) inaitwa muda wa ishara ya mara kwa mara ya kazi f.//i.e. kwa mfano, ikiwa tunachukua muda (0; 3), basi sio muda wa ishara ya mara kwa mara ya kazi hii.
Katika hisabati, wakati wa kutafuta vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi, ni desturi ya kuonyesha vipindi vya urefu wa juu. //Hizo. muda (2; 3) ni muda wa kudumu wa ishara kazi f, lakini jibu linapaswa kujumuisha muda [4.5; 3) iliyo na muda (2; 3).
3. Ikiwa unasonga kwenye mhimili wa x kutoka 4.5 hadi 2, utaona kwamba grafu ya kazi inashuka, yaani, maadili ya kazi hupungua. // Katika hisabati ni desturi kusema kwamba kwa muda [4.5; 2] kazi hupungua.
Wakati x inavyoongezeka kutoka 2 hadi 0, grafu ya kazi inakwenda juu, i.e. maadili ya kazi huongezeka. // Katika hisabati ni desturi kusema kwamba kwa muda [ 2; 0] kazi huongezeka.
Chaguo za kukokotoa f huitwa ikiwa kwa thamani zozote mbili za hoja x1 na x2 kutoka kwa muda huu kwamba x2 > x1, ukosefu wa usawa f (x2) > f (x1) hushikilia. // au kazi inaitwa kuongezeka kwa muda fulani, ikiwa kwa thamani zozote za hoja kutoka kwa muda huu, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.//i.e. zaidi x, zaidi y.
Kazi f inaitwa kupungua kwa muda fulani, ikiwa kwa maadili yoyote mawili ya hoja x1 na x2 kutoka kwa muda huu kwamba x2 > x1, ukosefu wa usawa f(x2) unapungua kwa muda fulani, ikiwa kwa maadili yoyote ya hoja kutoka kwa muda huu thamani kubwa zaidi. ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa. //hizo. zaidi x, chini y.
Ikiwa kazi inaongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, basi inaitwa kuongezeka.
Ikiwa kazi itapungua juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, basi inaitwa kupungua.
Mfano 1. grafu ya kuongeza na kupunguza utendaji kwa mtiririko huo.
Mfano 2.
Bainisha jambo. Je, kazi ya mstari f(x) = 3x + 5 inaongezeka au inapungua?
Ushahidi. Hebu tumia ufafanuzi. Wacha x1 na x2 ziwe maadili ya kiholela ya hoja, na x1< x2., например х1=1, х2=7
Sehemu hiyo ina nyenzo za kumbukumbu juu ya kazi kuu za msingi na mali zao. Uainishaji wa kazi za msingi hutolewa. Chini ni viungo vya vifungu vidogo vinavyojadili sifa za kazi maalum - grafu, fomula, derivatives, antiderivatives (muunganisho), upanuzi wa mfululizo, usemi kupitia vigezo changamano.
Kurasa za marejeleo kwa vipengele vya msingi
Uainishaji wa kazi za kimsingi
Utendaji wa algebra ni chaguo la kukokotoa ambalo linakidhi mlinganyo:
,
iko wapi polynomia katika kigezo tegemezi y na kigezo huru x. Inaweza kuandikwa kama:
,
polynomials ziko wapi.
Kazi za aljebra zimegawanywa katika polynomials (kazi zote za busara), kazi za busara na kazi zisizo na maana.
Utendaji mzima wa busara, ambayo pia inaitwa polynomial au polynomial, hupatikana kutoka kwa mabadiliko ya x na idadi ya mwisho ya nambari kwa kutumia shughuli za hesabu za kuongeza (kutoa) na kuzidisha. Baada ya kufungua mabano, polynomial hupunguzwa hadi fomu ya kisheria:
.
Utendaji wa busara wa sehemu, au kwa urahisi kazi ya busara, hupatikana kutoka kwa variable x na idadi ya mwisho ya nambari kwa kutumia shughuli za hesabu za kuongeza (kutoa), kuzidisha na kugawanya. Kazi ya busara inaweza kupunguzwa kwa fomu
,
wapi na ni polynomials.
Utendaji usio na mantiki ni kazi ya aljebra ambayo si ya kimantiki. Kama sheria, kazi isiyo na maana inaeleweka kama mizizi na nyimbo zao na kazi za busara. Mzizi wa shahada n hufafanuliwa kama suluhu la mlinganyo
.
Imeteuliwa kama ifuatavyo:
.
Kazi za kupita maumbile huitwa kazi zisizo za algebra. Hizi ni kielelezo, trigonometric, hyperbolic na kazi zao kinyume.
Muhtasari wa kazi za kimsingi za kimsingi
Kazi zote za kimsingi zinaweza kuwakilishwa kama idadi maalum ya shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha na mgawanyiko unaofanywa kwa usemi wa fomu:
z t.
Vitendaji kinyume vinaweza pia kuonyeshwa kulingana na logariti. Kazi za kimsingi za kimsingi zimeorodheshwa hapa chini.
Utendaji wa nguvu:
y(x) = x p ,
ambapo p ni kielelezo. Inategemea msingi wa shahada x.
Kinyume cha kazi ya nguvu pia ni kazi ya nguvu:
.
Kwa thamani kamili isiyo hasi ya kipeo p, ni nambari nyingi. Kwa thamani kamili p - kazi ya busara. Kwa maana ya busara - kazi isiyo na maana.
Kazi za kupita maumbile
Utendakazi wa kielelezo :
y(x) = a x ,
ambapo a ni msingi wa shahada. Inategemea kipeo x.
Chaguo za kukokotoa kinyume ni logariti ya msingi wa:
x = logi a y.
Kielelezo, e kwa nguvu ya x:
y(x) = e x ,
Hili ni chaguo la kukokotoa la kielelezo ambalo deivati yake ni sawa na chaguo za kukokotoa zenyewe:
.
Msingi wa kipeo ni nambari e:
≈ 2,718281828459045...
.
Chaguo za kukokotoa kinyume ni logariti asilia - logariti hadi msingi wa nambari e:
x = ln y ≡ logi e y.
Vipengele vya Trigonometric:
Sine:;
Kosini:;
Tanji:;
Cotangent:;
Hapa ni kitengo cha kufikiria, i 2 = -1.
Utendakazi kinyume cha trigonometric:
Arcsine: x = arcsin y,
;
Arc cosine: x = arccos y,
;
Arctangent: x = arctan y,
;
Tanjiti ya safu: x = arcctg y,
.
Mipaka na mwendelezo
Seti
Chini ya nyingi inaeleweka kama mkusanyiko wa vitu vyenye homogeneous. Vitu vinavyounda seti vinaitwa vipengele au nukta ya umati huu. Seti zinaonyeshwa kwa herufi kubwa na vitu vyake kwa herufi ndogo. Kama a ni kipengele cha seti A, basi kiingilio kinatumika aÎ A. Kama b sio kipengele cha seti A, basi imeandikwa hivi: b Ï A. Seti ambayo haina kipengele kimoja inaitwa seti tupu na inaashiriwa kama ifuatavyo: Ø.
Ikiwa seti B linajumuisha sehemu ya vipengele vya kuweka A au sanjari na hayo, kisha kuweka B kuitwa kikundi kidogo seti na kuashiria BÌ A.
Seti mbili zinaitwa sawa, ikiwa zinajumuisha vipengele sawa.
Muungano seti mbili A Na B inayoitwa seti C, inayojumuisha vipengele vyote vya angalau seti moja: C=AÈ B.
Kwa kuvuka seti mbili A Na B inayoitwa seti C, inayojumuisha vipengele vyote vya kila moja ya seti hizi: C=AÇ B.
Kwa tofauti seti A Na B inayoitwa seti E A, ambayo si ya seti B: .
Nyongeza seti AÌ B inayoitwa seti C, inayojumuisha vipengele vyote vya kuweka B, sio mali A.
Seti ambazo vipengele vyake ni nambari halisi huitwa nambari:
Ambapo NÌ ZÌ QÌ R, IÌ R Na R=IÈ Q.
Kundi la X, ambao vipengele vyake vinakidhi usawa huitwa sehemu(sehemu) na inaonyeshwa na [ a; b]; ukosefu wa usawa a<x<b – muda na imeashiriwa na (); ukosefu wa usawa na - vipindi vya nusu na zinaashiriwa na na kwa mtiririko huo. Pia mara nyingi unapaswa kushughulika na vipindi visivyo na mwisho na vipindi vya nusu: , , , na . Ni rahisi kuwaita wote kwa vipindi .
Muda, i.e. seti ya pointi zinazokidhi ukosefu wa usawa (wapi), inaitwa -jirani ya uhakika a.
Dhana ya kazi. Sifa za kimsingi za kitendakazi
Ikiwa kila kipengele x seti X kipengele kimoja kinalinganishwa y seti Y, kisha wanasema hivyo kwenye seti X kupewa kazi y=f(x) Ambapo x kuitwa tofauti ya kujitegemea au hoja, A y – tofauti tegemezi au kazi, A f inaashiria sheria ya mawasiliano. Kundi la X kuitwa uwanja wa ufafanuzi kazi, na seti Y – anuwai ya maadili kazi.
Kuna njia kadhaa za kutaja kazi.
1) Njia ya uchambuzi - kazi inatolewa na fomula ya fomu y=f(x).
2) Njia ya jedwali - kazi imeainishwa na jedwali iliyo na maadili ya hoja na maadili yanayolingana ya kazi. y=f(x).
3) Njia ya mchoro - inayoonyesha grafu ya kazi, i.e. seti ya pointi ( x; y) kuratibu ndege, abscissas ambayo inawakilisha maadili ya hoja, na waratibu wanawakilisha maadili yanayolingana ya kazi. y=f(x).
4) Njia ya maneno - kazi inaelezewa na sheria kwa muundo wake. Kwa mfano, kitendakazi cha Dirichlet kinachukua thamani 1 ikiwa x ni nambari ya kimantiki na 0 ikiwa x- nambari isiyo na maana.
Sifa kuu zifuatazo za kazi zinajulikana.
1 Sawa na isiyo ya kawaida Kazi y=f(x) inaitwa hata, ikiwa kwa maadili yoyote x kutoka kwa kikoa chake cha ufafanuzi imeridhika f(–x)=f(x), na isiyo ya kawaida, Kama f(–x)=–f(x) Ikiwa hakuna usawa ulioorodheshwa unaoridhika, basi y=f(x) inaitwa kazi ya jumla. Grafu ya kitendakazi kisawazisha ina ulinganifu kuhusu mhimili Oy, na grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.
2 Monotony Kazi y=f(x) inaitwa kuongezeka (kupungua) kwa muda X, ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa zaidi (ndogo). Hebu x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Kisha kazi huongezeka kwa muda X, Kama f(x 2)>f(x 1), na hupungua ikiwa f(x 2)<f(x 1).
Pamoja na kazi zinazoongezeka na zinazopungua, kazi zisizopungua na zisizozidi zinazingatiwa. Kazi inaitwa yasiyo ya kupungua (yasiyo ya kuongezeka), ikiwa ni x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 kutokuwepo kwa usawa f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).
Kazi za kuongezeka na kupungua, pamoja na kazi zisizozidi na zisizopungua huitwa monotonic.
3 Kikomo Kazi y=f(x) inaitwa imefungwa kwa muda X, ikiwa kuna nambari chanya M>0, nini | f(x)|≤M kwa mtu yeyote xÎ X. Vinginevyo kazi hiyo inasemekana haina mipaka X.
4 Mzunguko Kazi y=f(x) inaitwa periodic na kipindi T≠0, ikiwa ni yoyote x kutoka kwa kikoa cha chaguo la kukokotoa f(x+T)=f(x) Katika kile kinachofuata, kwa kipindi tunamaanisha kipindi chanya kidogo zaidi cha chaguo la kukokotoa.
Kazi inaitwa wazi, ikiwa imetolewa na fomula ya fomu y=f(x) Ikiwa kazi imetolewa na equation F(x, y)=0, hairuhusiwi kuhusiana na kigezo tegemezi y, basi inaitwa wazi.
Hebu y=f(x) ni kazi ya kigezo huru kinachofafanuliwa kwenye seti X na masafa Y. Hebu tulinganishe kila mmoja yÎ Y maana moja xÎ X, ambapo f(x)=y.Kisha kazi inayotokana x=φ (y), iliyofafanuliwa kwenye seti Y na masafa X, kuitwa kinyume na imeteuliwa y=f –1 (x) Grafu za vitendakazi vilivyo kinyume zina ulinganifu kwa heshima na sehemu-mbili ya robo ya kwanza na ya tatu ya kuratibu.
Hebu kazi y=f(u) ni kazi ya kigeu u, iliyofafanuliwa kwenye seti U na masafa Y, na kutofautiana u kwa upande wake ni kazi u=φ (x), iliyofafanuliwa kwenye seti X na masafa U. Kisha hutolewa kwenye seti X kazi y=f(φ (x)) inaitwa kazi tata(muundo wa kazi, superposition ya kazi, kazi ya kazi).
Kazi za msingi
Kazi kuu za msingi ni pamoja na:
- kazi ya nguvu y=x n; y=x–n Na y=x 1/ n;
- utendaji wa kielelezo y=a x;
- kazi ya logarithmic y=logi a x;
- kazi za trigonometric y=dhambi x, y=cos x, y=tg x Na y=ctg x;
- kazi za trigonometric kinyume y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x Na y= arcctg x.
Kutoka kwa kazi za kimsingi za kimsingi, vitendaji vipya vinaweza kupatikana kwa kutumia oparesheni za aljebra na usimamiaji wa vitendaji.
Kazi zinazoundwa kutoka kwa vitendaji vya kimsingi kwa kutumia idadi kamili ya shughuli za aljebra na idadi ya ukomo ya shughuli za upainia huitwa. msingi.
Algebraic ni chaguo la kukokotoa ambapo idadi mahususi ya utendakazi wa aljebra hufanywa kwenye hoja. Vipengele vya algebraic ni pamoja na:
· utendaji mzima wa busara (polynomial au polynomial)
· Utendakazi wa kimantiki wa kimantiki (uwiano wa polima mbili)
· utendakazi usio na mantiki (ikiwa utendakazi kwenye hoja unajumuisha kutoa mzizi).
Kazi yoyote isiyo ya algebra inaitwa kupita maumbile. Utendakazi wa Transcendental ni pamoja na vitendaji vya kipeo, logarithmic, trigonometric, na vitendaji kinyume vya trigonometriki.
Gymnasium ya Kirusi
MUHTASARI
Imekamilika
mwanafunzi wa darasa la 10 "F" Burmistrov Sergey
Msimamizi
mwalimu wa hisabati
Yulina O.A.
Nizhny Novgorod
Kazi na sifa zake
Kazi- utegemezi wa kutofautiana katika kutoka kwa kutofautiana x , ikiwa kila thamani X inalingana na thamani moja katika .
Tofauti x- tofauti huru au hoja.
Tofauti y- tofauti tegemezi
Thamani ya kazi- maana katika, inayolingana na thamani iliyobainishwa X .
Upeo wa kazi ni maadili yote ambayo tofauti huru inachukua.
Masafa ya kazi (seti ya maadili) - thamani zote ambazo chaguo la kukokotoa linakubali.
Kazi ni sawa- ikiwa kwa mtu yeyote X f(x)=f(-x)
Kazi ni isiyo ya kawaida- ikiwa kwa mtu yeyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa usawa f(-x)=-f(x)
Kuongeza kazi - ikiwa kwa yoyote x 1 Na x 2, vile vile x 1
<
x 2, ukosefu wa usawa unashikilia f(
x 1
)
Kupunguza utendaji - ikiwa kwa yoyote x 1 Na x 2, vile vile x 1 < x 2, ukosefu wa usawa unashikilia f( x 1 )>f( x 2 )
Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa
¨ Ili kufafanua chaguo za kukokotoa, unahitaji kubainisha njia ambayo, kwa kila thamani ya hoja, thamani inayolingana ya chaguo za kukokotoa inaweza kupatikana. Njia ya kawaida ya kubainisha chaguo za kukokotoa ni kutumia fomula katika =f(x), Wapi f(x)- kujieleza kwa kutofautiana X. Katika kesi hii, wanasema kwamba kazi inatolewa na formula au kwamba kazi inatolewa kiuchambuzi.
¨ Katika mazoezi mara nyingi hutumiwa tabular njia ya kutaja kitendakazi. Kwa njia hii, jedwali hutolewa inayoonyesha thamani za kazi kwa thamani za hoja zinazopatikana kwenye jedwali. Mifano ya kazi za meza ni meza ya mraba na meza ya cubes.
Aina za kazi na mali zao
1) Utendaji wa kila mara- kazi iliyotolewa na formula y= b , Wapi b- nambari fulani. Grafu ya kitendakazi kisichobadilika y=b ni mstari ulionyooka sambamba na mhimili wa abscissa na kupita kwa uhakika (0;b) kwenye mhimili wa kuratibu.
2) Uwiano wa moja kwa moja - kazi iliyotolewa na formula y= kx , ambapo k¹0. Nambari k kuitwa kipengele cha uwiano .
Tabia za kazi y=kx :
1. Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya nambari zote halisi
2. y=kx- kazi isiyo ya kawaida
3. Wakati k>0 kazi huongezeka, na wakati k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Utendaji wa mstari- kazi, ambayo imetolewa na formula y=kx+b, Wapi k Na b - nambari za kweli. Ikiwa hasa k=0, basi tunapata kazi ya mara kwa mara y=b; Kama b=0, basi tunapata uwiano wa moja kwa moja y=kx .
Tabia za kazi y=kx+b :
1. Kikoa - seti ya nambari zote halisi
2. Kazi y=kx+b fomu ya jumla, i.e. si hata wala isiyo ya kawaida.
3. Wakati k>0 kazi huongezeka, na wakati k<0 убывает на всей числовой прямой
Grafu ya kazi ni moja kwa moja .
4)Uwiano kinyume- kazi iliyotolewa na formula y=k /X, ambapo k¹0 Nambari k kuitwa mgawo wa uwiano kinyume.
Tabia za kazi y=k / x:
1. Kikoa - seti ya nambari zote za kweli isipokuwa sifuri
2. y=k / x - kazi isiyo ya kawaida
3. Ikiwa k>0, basi kazi hupungua kwa muda (0 +¥) na kwa muda (-¥;0). Ikiwa k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Grafu ya kazi ni hyperbola .
5)Kazi y=x2
Tabia za kazi y=x2:
2. y=x2 - kazi hata
3. Kwa muda kazi hupungua
Grafu ya kazi ni parabola .
6)Kazi y=x 3
Tabia za kazi y=x 3:
1. Kikoa cha ufafanuzi - mstari mzima wa nambari
2. y=x 3 - kazi isiyo ya kawaida
3. Kazi huongezeka kwenye mstari mzima wa nambari
Grafu ya kazi ni parabola za ujazo
7)Utendaji wa nguvu na kipeo asilia - kazi iliyotolewa na formula y=xn, Wapi n- nambari ya asili. Wakati n=1 tunapata chaguo za kukokotoa y=x, sifa zake hujadiliwa katika aya ya 2. Kwa n=2;3 tunapata vitendakazi y=x 2 ; y=x 3 . Tabia zao zimejadiliwa hapo juu.
Hebu n iwe nambari ya kiholela hata kubwa kuliko mbili: 4,6,8... Katika kesi hii, kazi y=xn ina sifa sawa na kazi y=x 2. Grafu ya chaguo za kukokotoa inafanana na parabola y=x 2, matawi ya grafu pekee ya |x|>1 yanapanda zaidi ya n kubwa zaidi, na kwa |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Hebu n iwe nambari isiyo ya kawaida ya kiholela kubwa kuliko tatu: 5,7,9... Katika kesi hii, kazi y=xn ina sifa sawa na kazi y=x 3 . Grafu ya kazi inafanana na parabola ya ujazo.
8)Utendakazi wa nguvu na kipeo kamili cha nambari hasi - kazi iliyotolewa na formula y=x -n , Wapi n- nambari ya asili. Kwa n=1 tunapata y=1/x; sifa za chaguo hili za kukokotoa zimejadiliwa katika aya ya 4.
Hebu n iwe nambari isiyo ya kawaida zaidi ya moja: 3,5,7 ... Katika kesi hii, kazi y=x -n kimsingi ina sifa sawa na chaguo la kukokotoa y=1/x.
Wacha n iwe nambari sawa, kwa mfano n=2.
Tabia za kazi y=x -2 :
1. Chaguo za kukokotoa zimefafanuliwa kwa zote x¹0
2. y=x -2 - kazi hata
3. Chaguo za kukokotoa hupungua kwa (0+¥) na huongezeka kwa (-¥;0).
Vitendaji vyovyote vilivyo na n kubwa zaidi ya mbili vina sifa sawa.
9)Kazi y= Ö X
Tabia za kazi y= Ö X :
1. Kikoa cha ufafanuzi - ray)