Kutatua milinganyo kamili ya quadratic. Milinganyo ya quadratic

", yaani, milinganyo ya shahada ya kwanza. Katika somo hili tutaangalia kile kinachoitwa mlinganyo wa quadratic na jinsi ya kulitatua.

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Muhimu!

Kiwango cha mlinganyo huamuliwa na kiwango cha juu zaidi ambacho kisichojulikana kinasimama.

Ikiwa nguvu ya juu ambayo haijulikani ni "2", basi una equation ya quadratic.

Mifano ya milinganyo ya quadratic

  • 5x 2 - 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
  • x 2 + 0.25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Muhimu! Fomu ya jumla ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" na "c" hupewa nambari.
  • "a" ni mgawo wa kwanza au wa juu zaidi;
  • "b" ni mgawo wa pili;
  • "c" ni mwanachama huru.

Ili kupata "a", "b" na "c" unahitaji kulinganisha equation yako na fomu ya jumla ya equation ya quadratic "shoka 2 + bx + c = 0".

Hebu tufanye mazoezi ya kuamua coefficients "a", "b" na "c" katika milinganyo ya quadratic.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +
Mlingano Odd
  • a = 5
  • b = -14
  • c = 17
  • a = -7
  • b = -13
  • c = 8
1
3
= 0
  • a = -1
  • b = 1
  • c =
    1
    3
x 2 + 0.25x = 0
  • a = 1
  • b = 0.25
  • c = 0
x 2 − 8 = 0
  • a = 1
  • b = 0
  • c = -8

Jinsi ya Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Tofauti na milinganyo ya mstari, njia maalum hutumiwa kutatua milinganyo ya quadratic. formula ya kutafuta mizizi.

Kumbuka!

Ili kutatua equation ya quadratic unahitaji:

  • kuleta equation ya quadratic kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0". Hiyo ni, "0" tu inapaswa kubaki upande wa kulia;
  • tumia formula kwa mizizi:

Wacha tuangalie mfano wa jinsi ya kutumia fomula kupata mizizi ya equation ya quadratic. Wacha tusuluhishe equation ya quadratic.

X 2 − 3x − 4 = 0


Equation "x 2 - 3x - 4 = 0" tayari imepunguzwa kwa fomu ya jumla "ax 2 + bx + c = 0" na hauhitaji kurahisisha zaidi. Ili kutatua, tunahitaji tu kuomba formula ya kutafuta mizizi ya equation ya quadratic.

Wacha tujue coefficients "a", "b" na "c" kwa mlinganyo huu.


x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Inaweza kutumika kutatua equation yoyote ya quadratic.

Katika fomula "x 1;2 =" usemi mkali mara nyingi hubadilishwa
“b 2 − 4ac” kwa herufi “D” na inaitwa kibaguzi. Dhana ya kibaguzi imejadiliwa kwa undani zaidi katika somo la "Mbaguzi ni nini".

Wacha tuangalie mfano mwingine wa equation ya quadratic.

x 2 + 9 + x = 7x

Katika fomu hii, ni ngumu sana kuamua coefficients "a", "b" na "c". Wacha kwanza tupunguze equation kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sasa unaweza kutumia formula kwa mizizi.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6
2

x = 3
Jibu: x = 3

Kuna nyakati ambapo milinganyo ya quadratic haina mizizi. Hali hii hutokea wakati fomula ina nambari hasi chini ya mzizi.

Katika jamii ya kisasa, uwezo wa kufanya shughuli na milinganyo iliyo na tofauti ya mraba inaweza kuwa muhimu katika maeneo mengi ya shughuli na hutumiwa sana katika mazoezi katika maendeleo ya kisayansi na kiufundi. Ushahidi wa hili unaweza kupatikana katika muundo wa vyombo vya baharini na mto, ndege na makombora. Kutumia mahesabu hayo, trajectories ya harakati ya aina mbalimbali za miili, ikiwa ni pamoja na vitu vya nafasi, imedhamiriwa. Mifano na ufumbuzi wa equations quadratic hutumiwa si tu katika utabiri wa kiuchumi, katika kubuni na ujenzi wa majengo, lakini pia katika hali ya kawaida ya kila siku. Huenda zikahitajika kwenye safari za kupanda mlima, kwenye hafla za michezo, madukani unapofanya ununuzi na katika hali nyinginezo za kawaida.

Wacha tuvunje usemi huo katika vipengele vyake vya vipengele

Kiwango cha mlingano hubainishwa na thamani ya juu zaidi ya kiwango cha kigezo ambacho usemi huwa. Ikiwa ni sawa na 2, basi equation kama hiyo inaitwa quadratic.

Ikiwa tunazungumza kwa lugha ya fomula, basi maneno yaliyoonyeshwa, haijalishi yanaonekanaje, yanaweza kuletwa kwa fomu wakati upande wa kushoto wa usemi una maneno matatu. Miongoni mwao: shoka 2 (yaani, kutofautisha kwa mraba na mgawo wake), bx (isiyojulikana bila mraba na mgawo wake) na c (sehemu ya bure, ambayo ni, nambari ya kawaida). Yote hii upande wa kulia ni sawa na 0. Katika kesi wakati polynomial kama hiyo inakosa moja ya masharti yake ya msingi, isipokuwa shoka 2, inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili. Mifano na suluhisho la shida kama hizo, maadili ya anuwai ambayo ni rahisi kupata, inapaswa kuzingatiwa kwanza.

Ikiwa usemi unaonekana kama una istilahi mbili upande wa kulia, kwa usahihi zaidi shoka 2 na bx, njia rahisi zaidi ya kupata x ni kwa kuweka utofautishaji nje ya mabano. Sasa equation yetu itaonekana kama hii: x(ax+b). Ifuatayo, inakuwa dhahiri kuwa ama x=0, au shida inakuja kupata kigezo kutoka kwa usemi ufuatao: ax+b=0. Hii inaagizwa na moja ya sifa za kuzidisha. Sheria inasema kuwa bidhaa ya mambo mawili husababisha 0 tu ikiwa moja yao ni sifuri.

Mfano

x=0 au 8x - 3 = 0

Kama matokeo, tunapata mizizi miwili ya equation: 0 na 0.375.

Equations za aina hii zinaweza kuelezea harakati za miili chini ya ushawishi wa mvuto, ambayo ilianza kusonga kutoka kwa hatua fulani kuchukuliwa kama asili ya kuratibu. Hapa nukuu ya hisabati inachukua fomu ifuatayo: y = v 0 t + gt 2 /2. Kwa kubadilisha maadili muhimu, kusawazisha upande wa kulia hadi 0 na kutafuta haijulikani iwezekanavyo, unaweza kujua wakati unaopita kutoka wakati mwili unapoinuka hadi unapoanguka, pamoja na idadi nyingine nyingi. Lakini tutazungumza juu ya hili baadaye.

Kuanzisha Kujieleza

Sheria iliyoelezwa hapo juu inafanya uwezekano wa kutatua matatizo haya katika kesi ngumu zaidi. Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic ya aina hii.

X 2 - 33x + 200 = 0

Utatu huu wa quadratic umekamilika. Kwanza, hebu tubadilishe usemi huo na kuuzingatia. Kuna mbili kati yao: (x-8) na (x-25) = 0. Matokeo yake, tuna mizizi miwili 8 na 25.

Mifano na kutatua equations za quadratic katika daraja la 9 kuruhusu njia hii kupata kutofautiana kwa maneno sio tu ya pili, lakini hata ya amri ya tatu na ya nne.

Kwa mfano: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wakati wa kuzingatia upande wa kulia katika vipengele na kutofautiana, kuna tatu kati yao, yaani, (x+1), (x-3) na (x+) 3).

Matokeo yake, inakuwa dhahiri kwamba equation hii ina mizizi mitatu: -3; -1; 3.

Kipeo

Kesi nyingine ya mlingano wa mpangilio wa pili ambao haujakamilika ni usemi unaowakilishwa katika lugha ya herufi kwa njia ambayo upande wa kulia umeundwa kutoka kwa vipengee vya ax 2 na c. Hapa, ili kupata thamani ya kutofautiana, neno la bure linahamishiwa upande wa kulia, na baada ya hapo mzizi wa mraba hutolewa kutoka pande zote mbili za usawa. Ikumbukwe kwamba katika kesi hii kuna kawaida mizizi miwili ya equation. Vighairi pekee vinaweza kuwa usawa ambao hauna neno na neno kabisa, ambapo kigezo ni sawa na sufuri, pamoja na vibadala vya misemo wakati upande wa kulia unageuka kuwa hasi. Katika kesi ya mwisho, hakuna ufumbuzi kabisa, kwani vitendo hapo juu haviwezi kufanywa na mizizi. Mifano ya ufumbuzi wa equations ya quadratic ya aina hii inapaswa kuzingatiwa.

Katika kesi hii, mizizi ya equation itakuwa nambari -4 na 4.

Uhesabuji wa eneo la ardhi

Uhitaji wa aina hii ya mahesabu ilionekana katika nyakati za kale, kwa sababu maendeleo ya hisabati katika nyakati hizo za mbali ilitambuliwa kwa kiasi kikubwa na haja ya kuamua kwa usahihi mkubwa maeneo na mzunguko wa mashamba ya ardhi.

Tunapaswa pia kuzingatia mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic kulingana na matatizo ya aina hii.

Kwa hiyo, hebu sema kuna njama ya mstatili wa ardhi, ambayo urefu wake ni mita 16 zaidi ya upana. Unapaswa kupata urefu, upana na mzunguko wa tovuti ikiwa unajua kuwa eneo lake ni 612 m2.

Ili kuanza, hebu kwanza tutengeneze mlinganyo unaohitajika. Hebu tuonyeshe kwa x upana wa eneo hilo, basi urefu wake utakuwa (x + 16). Kutoka kwa kile kilichoandikwa inafuata kwamba eneo hilo limedhamiriwa na msemo x(x+16), ambayo, kwa mujibu wa masharti ya tatizo letu, ni 612. Hii ina maana kwamba x(x+16) = 612.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic, na usemi huu ndio hasa, hauwezi kufanywa kwa njia sawa. Kwa nini? Ingawa upande wa kushoto bado una mambo mawili, bidhaa zao sio sawa na 0 hata kidogo, kwa hivyo njia tofauti hutumiwa hapa.

Mbaguzi

Kwanza kabisa, tutafanya mabadiliko muhimu, kisha kuonekana kwa usemi huu kutaonekana kama hii: x 2 + 16x - 612 = 0. Hii ina maana kwamba tumepokea usemi huo kwa fomu inayofanana na kiwango kilichowekwa hapo awali, ambapo a=1, b=16, c= -612.

Huu unaweza kuwa mfano wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi. Hapa mahesabu muhimu yanafanywa kulingana na mpango: D = b 2 - 4ac. Kiasi hiki cha msaidizi sio tu kinachowezekana kupata kiasi kinachohitajika katika usawa wa pili, huamua idadi ya chaguo iwezekanavyo. Ikiwa D>0, kuna mbili kati yao; kwa D=0 kuna mzizi mmoja. Katika kesi ya D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kuhusu mizizi na muundo wao

Kwa upande wetu, kibaguzi ni sawa na: 256 - 4(-612) = 2704. Hii inaonyesha kwamba tatizo letu lina jibu. Ikiwa unajua k, suluhu ya milinganyo ya quadratic lazima iendelee kwa kutumia fomula iliyo hapa chini. Inakuwezesha kuhesabu mizizi.

Hii ina maana kwamba katika kesi iliyowasilishwa: x 1 =18, x 2 =-34. Chaguo la pili katika shida hii haiwezi kuwa suluhisho, kwa sababu vipimo vya njama ya ardhi haiwezi kupimwa kwa kiasi hasi, ambayo ina maana x (yaani, upana wa njama) ni m 18. Kutoka hapa tunahesabu urefu: 18 +16=34, na mzunguko 2(34+ 18)=104(m2).

Mifano na kazi

Tunaendelea na utafiti wetu wa milinganyo ya quadratic. Mifano na ufumbuzi wa kina wa kadhaa wao utapewa hapa chini.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Hebu tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto wa usawa, tufanye mabadiliko, yaani, tutapata aina ya equation ambayo kawaida huitwa kiwango, na kuifananisha na sifuri.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Kuongeza sawa, tunaamua kibaguzi: D = 49 - 48 = 1. Hii inamaanisha kuwa equation yetu itakuwa na mizizi miwili. Wacha tuzihesabu kulingana na fomula hapo juu, ambayo inamaanisha kuwa ya kwanza itakuwa sawa na 4/3, na ya pili hadi 1.

2) Sasa hebu tutatue mafumbo ya aina tofauti.

Wacha tujue ikiwa kuna mizizi yoyote hapa x 2 - 4x + 5 = 1? Ili kupata jibu la kina, hebu tupunguze polynomial kwa fomu inayolingana ya kawaida na tuhesabu kibaguzi. Katika mfano hapo juu, si lazima kutatua equation ya quadratic, kwa sababu hii sio kiini cha tatizo kabisa. Katika kesi hii, D = 16 - 20 = -4, ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Ni rahisi kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula zilizo hapo juu na kibaguzi, wakati mzizi wa mraba unachukuliwa kutoka kwa thamani ya mwisho. Lakini hii haifanyiki kila wakati. Walakini, kuna njia nyingi za kupata maadili ya anuwai katika kesi hii. Mfano: kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta. Amepewa jina la ambaye aliishi katika karne ya 16 huko Ufaransa na akafanya kazi nzuri sana kutokana na talanta yake ya hisabati na uhusiano mahakamani. Picha yake inaweza kuonekana katika makala.

Mfano ambao Mfaransa huyo maarufu aliona ulikuwa kama ifuatavyo. Alithibitisha kuwa mizizi ya mlinganyo huongezwa kwa nambari hadi -p=b/a, na bidhaa yake inalingana na q=c/a.

Sasa hebu tuangalie kazi maalum.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Kwa unyenyekevu, wacha tubadilishe usemi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Hebu tumia nadharia ya Vieta, hii itatupa zifuatazo: jumla ya mizizi ni -7, na bidhaa zao ni -18. Kuanzia hapa tunapata kwamba mizizi ya equation ni nambari -9 na 2. Baada ya kuangalia, tutahakikisha kwamba maadili haya ya kutofautiana yanafaa kabisa katika usemi.

Parabola grafu na equation

Dhana za utendakazi wa quadratic na milinganyo ya quadratic zinahusiana kwa karibu. Mifano ya hii tayari imetolewa mapema. Sasa hebu tuangalie baadhi ya mafumbo ya hisabati kwa undani zaidi. Equation yoyote ya aina iliyoelezwa inaweza kuwakilishwa kwa macho. Uhusiano kama huo, unaotolewa kama grafu, unaitwa parabola. Aina zake mbalimbali zinawasilishwa kwenye takwimu hapa chini.

Parabola yoyote ina vertex, yaani, hatua ambayo matawi yake yanatoka. Ikiwa a>0, huenda juu hadi isiyo na mwisho, na wakati a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Uwasilishaji unaoonekana wa chaguo za kukokotoa husaidia kutatua milinganyo yoyote, ikijumuisha zile za quadratic. Njia hii inaitwa graphical. Na thamani ya utofauti wa x ni uratibu wa abscissa katika sehemu ambazo mstari wa grafu huingiliana na 0x. Viwianishi vya kipeo vinaweza kupatikana kwa kutumia fomula iliyotolewa hivi punde x 0 = -b/2a. Na kwa kubadilisha thamani inayosababisha katika equation ya awali ya kazi, unaweza kujua y 0, yaani, uratibu wa pili wa vertex ya parabola, ambayo ni ya mhimili wa kuratibu.

Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa

Kuna mifano mingi ya kusuluhisha hesabu za quadratic, lakini pia kuna mifumo ya jumla. Hebu tuwaangalie. Ni wazi kwamba makutano ya grafu na mhimili 0x kwa a>0 inawezekana tu ikiwa 0 inachukua maadili hasi. Na kwa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Vinginevyo D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Kutoka kwenye grafu ya parabola unaweza pia kuamua mizizi. Kinyume chake pia ni kweli. Hiyo ni, ikiwa si rahisi kupata uwakilishi wa kuona wa kazi ya quadratic, unaweza kusawazisha upande wa kulia wa kujieleza kwa 0 na kutatua equation inayosababisha. Na kujua pointi za makutano na mhimili wa 0x, ni rahisi zaidi kuunda grafu.

Kutoka kwa historia

Kwa kutumia equations zenye kutofautiana kwa mraba, katika siku za zamani hawakufanya tu mahesabu ya hisabati na kuamua maeneo ya takwimu za kijiometri. Wazee walihitaji hesabu kama hizo kwa uvumbuzi mkubwa katika nyanja za fizikia na unajimu, na vile vile kufanya utabiri wa unajimu.

Kama wanasayansi wa kisasa wanavyopendekeza, wakaaji wa Babeli walikuwa kati ya wa kwanza kutatua milinganyo ya quadratic. Hii ilitokea karne nne kabla ya zama zetu. Kwa kweli, mahesabu yao yalikuwa tofauti kabisa na yale yaliyokubaliwa kwa sasa na yaligeuka kuwa ya zamani zaidi. Kwa mfano, wanahisabati wa Mesopotamia hawakujua kuhusu kuwepo kwa nambari hasi. Pia hawakujua hila zingine ambazo mtoto yeyote wa kisasa wa shule anajua.

Labda hata mapema zaidi ya wanasayansi wa Babeli, mwenye hekima kutoka India Baudhayama alianza kutatua milinganyo ya roboduara. Hii ilitokea karibu karne nane kabla ya enzi ya Kristo. Kweli, hesabu za mpangilio wa pili, njia za kusuluhisha ambazo alitoa, zilikuwa rahisi zaidi. Mbali na yeye, wanahisabati wa China pia walipendezwa na maswali kama hayo katika siku za zamani. Huko Uropa, hesabu za quadratic zilianza kutatuliwa tu mwanzoni mwa karne ya 13, lakini baadaye zilitumiwa katika kazi zao na wanasayansi wakubwa kama Newton, Descartes na wengine wengi.

Kwa programu hii ya hesabu unaweza kutatua equation ya quadratic.

Programu haitoi tu jibu la shida, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho kwa njia mbili:
- kutumia kibaguzi
- kwa kutumia nadharia ya Vieta (ikiwezekana).

Kwa kuongezea, jibu linaonyeshwa kama halisi, sio makadirio.
Kwa mfano, kwa equation \(81x^2-16x-1=0\) jibu linaonyeshwa katika fomu ifuatayo:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ na si kama hii: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule za sekondari katika shule za elimu ya jumla wakati wa kuandaa mitihani na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, na kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kutatua matatizo kikiongezeka.

Ikiwa hujui sheria za kuingia polynomial ya quadratic, tunapendekeza ujitambulishe nao.

Sheria za kuingia polynomial ya quadratic

Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), nk.

Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya decimal, lakini pia katika mfumo wa sehemu ya kawaida.

Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Katika sehemu za desimali, sehemu ya sehemu inaweza kutengwa kutoka kwa sehemu nzima kwa kipindi au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingiza sehemu za desimali kama hii: 2.5x - 3.5x^2

Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.

Denominator haiwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima imetenganishwa na sehemu na ishara ya ampersand: &
Ingizo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Matokeo: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Wakati wa kuingiza usemi unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, wakati wa kutatua equation ya quadratic, usemi ulioanzishwa hurahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Amua

Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

JavaScript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.

Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...


Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.



Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Quadratic equation na mizizi yake. Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Kila moja ya milinganyo
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
inaonekana kama
\(shoka^2+bx+c=0, \)
ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari.
Katika equation ya kwanza a = -1, b = 6 na c = 1.4, kwa pili a = 8, b = -7 na c = 0, katika tatu a = 1, b = 0 na c = 4/9. Milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic inaitwa mlinganyo wa fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari fulani, na \(a \neq 0 \).

Nambari a, b na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Nambari a inaitwa mgawo wa kwanza, nambari b ni mgawo wa pili, na nambari c ni neno la bure.

Katika kila milinganyo ya fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo \(a\neq 0\), nguvu kubwa zaidi ya kigezo x ni mraba. Kwa hivyo jina: quadratic equation.

Kumbuka kwamba equation ya quadratic pia inaitwa equation ya shahada ya pili, kwani upande wake wa kushoto ni polynomial ya shahada ya pili.

Mlinganyo wa quadratic ambapo mgawo wa x 2 ni sawa na 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, milinganyo ya quadratic iliyotolewa ni milinganyo
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ikiwa katika equation ya quadratic ax 2 +bx+c=0 angalau moja ya coefficients b au c ni sawa na sifuri, basi equation kama hiyo inaitwa. equation ya quadratic isiyo kamili. Kwa hivyo, milinganyo -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Katika ya kwanza yao b=0, ya pili c=0, ya tatu b=0 na c=0.

Kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
1) shoka 2 +c=0, ambapo \(c \neq 0 \);
2) shoka 2 +bx=0, ambapo \(b \neq 0 \);
3) shoka 2 =0.

Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo ya kila moja ya aina hizi.

Ili kusuluhisha mlingano wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 +c=0 kwa \(c \neq 0 \), sogeza neno lake lisilolipishwa hadi upande wa kulia na ugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Mshale wa kulia x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Tangu \(c \neq 0 \), basi \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ikiwa \(-\frac(c)(a)>0\), basi equation ina mizizi miwili.

Iwapo \(-\frac(c)(a) Ili kutatua mlinganyo wa kiduara usio kamili wa fomu shoka 2 +bx=0 na \(b \neq 0 \) kuashiria upande wake wa kushoto na kupata mlinganyo huo.
\(x(shoka+b)=0 \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza(safu)(l) x=0 \\ shoka+b=0 \mwisho(safu) \kulia. \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza (safu)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \mwisho(safu) \kulia. \)

Hii ina maana kwamba mlinganyo wa robo nne usio kamili wa fomu ax 2 +bx=0 kwa \(b \neq 0 \) huwa na mizizi miwili kila wakati.

Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 =0 ni sawa na equation x 2 =0 na kwa hivyo ina mzizi mmoja 0.

Mfumo wa mizizi ya equation ya quadratic

Hebu sasa tuchunguze jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic ambayo coefficients zote mbili za zisizojulikana na neno la bure ni nonzero.

Hebu tutatue equation ya quadratic kwa fomu ya jumla na matokeo yake tunapata formula ya mizizi. Kisha fomula hii inaweza kutumika kutatua mlingano wowote wa quadratic.

Tatua shoka la quadratic equation 2 +bx+c=0

Kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata mlingano wa quadratic uliopunguzwa sawa
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Wacha tubadilishe equation hii kwa kuchagua mraba wa binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^2- \kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Mshale wa Kulia \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^ 2 - \frac(c)(a) \Mshale wa kulia \) \(\kushoto(x+\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Mshale wa kulia \kushoto(x+\frac(b)(2a)\kulia)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Mshale wa Kulia \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Mshale wa kulia x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Mshale wa Kulia \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Usemi mkali unaitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic shoka 2 +bx+c=0 (“kibaguzi” kwa Kilatini - kibaguzi). Inateuliwa na barua D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sasa, kwa kutumia nukuu ya kibaguzi, tunaandika upya fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ambapo \(D= b^2-4ac \)

Ni dhahiri kwamba:
1) Ikiwa D>0, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili.
2) Ikiwa D=0, basi equation ya quadratic ina mzizi mmoja \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ikiwa D Hivyo, kulingana na thamani ya kibaguzi, equation ya quadratic inaweza kuwa na mizizi miwili (kwa D > 0), mzizi mmoja (kwa D = 0) au haina mizizi (kwa D Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia hii. formula, inashauriwa kufanya yafuatayo:
1) kuhesabu kibaguzi na kulinganisha na sifuri;
2) ikiwa kibaguzi ni chanya au sawa na sifuri, basi tumia fomula ya mizizi; ikiwa kibaguzi ni hasi, basi andika kwamba hakuna mizizi.

Nadharia ya Vieta

Shoka la quadratic equation 2 -7x+10=0 lina mizizi 2 na 5. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa ni 10. Tunaona kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na kinyume chake. ishara, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Equation yoyote iliyopunguzwa ya quadratic ambayo ina mizizi ina mali hii.

Jumla ya mizizi ya equation ya juu ya quadratic ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.

Wale. Nadharia ya Vieta inasema kwamba mizizi x 1 na x 2 ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q=0 ina mali:
\(\kushoto\( \anza(safu)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \mwisho(safu) \kulia. \)


Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.

Kwanza, tutaangalia equation ya quadratic ni nini, jinsi imeandikwa kwa fomu ya jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Ifuatayo, tutaendelea kusuluhisha milinganyo kamili, kupata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, na kuzingatia masuluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao

Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.

Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.

Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.

Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.

Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .

Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Tafadhali kumbuka kuwa wakati viambatanisho b na/au c ni hasi, kama ilivyo katika mfano uliotolewa hivi karibuni, aina fupi ya mlinganyo wa quadratic ni 5 x 2 -2 x−3=0 , badala ya 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo inatokana na sifa za kipekee za kuandika vile . Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.

Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa

Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Vinginevyo equation ya quadratic ni haijaguswa.

Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 -3·x+1=0, x 2 -x-2/3=0, nk. - ikipewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza ni sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.

Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya quadratic ya awali isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.

Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.

Mfano.

Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.

Suluhisho.

Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.

Jibu:

Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic

Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.

Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c ni sawa na sifuri.

Kwa upande wake

Ufafanuzi.

Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.

Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.

Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.

Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

  • a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
  • a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
  • na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.

Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.

a x 2 =0

Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.

Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.

Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa mlinganyo hadi mwingine kwa ishara kinyume, na pia kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya sifuri, kunatoa mlingano sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0:

  • hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
  • na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .

Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sifuri , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.

Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.

Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.

Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .

Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao

  • haina mizizi ikiwa,
  • ina mizizi miwili na, ikiwa.

Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.

Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia una nambari hasi, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7 = 0 hauna mizizi.

Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Kwa upande wa kulia kuna nambari nzuri, ambayo tunahitimisha kuwa au. Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.

a x 2 +b x=0

Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya fomu a x 2 + b x = 0 hukuruhusu kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunasuluhisha usawa wa mstari unaosababishwa: , na kwa kugawa nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida, tunapata . Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .

Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:

Jibu:

x=0 , .

Ubaguzi, fomula ya mizizi ya mlingano wa quadratic

Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.

Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:

  • Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
  • Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
  • Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
  • Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.

Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.

Tayari tumetatua hesabu zinazofanana katika fomu katika aya zilizopita, tulipochunguza. Hii inaruhusu sisi kupata hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:

  • ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
  • ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
  • ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.

Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha ubaguzi ni wazi - kulingana na thamani yake na ishara, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, ni nini idadi yao - moja au mbili.

Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:

  • ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
  • hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida tunayopata.

Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.

Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlingano wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na kutoa mzizi wa mraba wa nambari hasi, ambayo hutupeleka nje ya upeo wa mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi

Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.

Walakini, katika kozi ya algebra ya shule kawaida hatuzungumzii juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi). na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.

Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:

  • kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
  • hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
  • hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
  • tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.

Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .

Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.

Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic

Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic yenye kibaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.

Suluhisho.

Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:

Jibu:

Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .

Suluhisho.

Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,

Jibu:

x=3.5.

Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.

Mfano.

Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.

Suluhisho.

Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.

Ikiwa unahitaji kuonyesha mizizi ngumu, basi tunatumia fomula inayojulikana ya mizizi ya equation ya quadratic, na kutekeleza. shughuli na nambari changamano:

Jibu:

hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.

Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.

Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili

Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.

Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:

Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. , ambapo D 1 =n 2 −a·c.

Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.

Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji

  • Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
  • Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
  • Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.

Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .

Suluhisho.

Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:

Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.

Jibu:

Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic

Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.

Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.

Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, pande zote mbili za equation kawaida hugawanywa na maadili kamili ya coefficients yake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.

Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.

Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .

Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.

Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.

Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.

Bibliografia.

  • Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu kabisa.

Mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma njia maalum za suluhisho, kumbuka kuwa hesabu zote za quadratic zinaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

  1. Usiwe na mizizi;
  2. Kuwa na mzizi mmoja;
  3. Wana mizizi miwili tofauti.

Hii ni tofauti muhimu kati ya equations za quadratic na zile za mstari, ambapo mzizi huwa daima na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Acha shoka la quadratic equation 2 + bx + c = 0. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac tu.

Unahitaji kujua formula hii kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

  1. Ikiwa D< 0, корней нет;
  2. Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
  3. Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanaamini. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Kazi. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

  1. x 2 - 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wacha tuandike coefficients ya equation ya kwanza na tupate kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia sawa:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho iliyobaki ni:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Tafadhali kumbuka kuwa migawo imeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni muda mrefu, ndiyo, ni wa kuchosha, lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na kufanya makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa unapata hutegemea, baada ya muda hutahitaji kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 kutatuliwa - kwa ujumla, sio sana.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho lenyewe. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - utapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 - 2x - 3 = 0;
  2. 15 - 2x - x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlinganyo wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na unaweza kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati wa kubadilisha coefficients hasi kwenye fomula. Hapa tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, andika kila hatua - na hivi karibuni utaondoa makosa.

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Ni rahisi kutambua kwamba milinganyo hii inakosa mojawapo ya istilahi. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi hata kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b = c = 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 = 0. Ni wazi, equation vile ina mizizi moja: x. = 0.

Hebu fikiria kesi zilizobaki. Hebu b = 0, kisha tupate equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0. Hebu tuibadilishe kidogo:

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa hesabu upo tu wa nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu kwa (−c /a) ≥ 0. Hitimisho:

  1. Ikiwa katika equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0 usawa (-c / a) ≥ 0 imeridhika, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
  2. Ikiwa (−c /a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika-hakuna hesabu changamano hata kidogo katika milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (-c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa kuna nambari nzuri, kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa ni hasi, hakutakuwa na mizizi kabisa.

Sasa hebu tuangalie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuzingatia polynomial:

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, wacha tuangalie baadhi ya milinganyo hii:

Kazi. Tatua milinganyo ya quadratic:

  1. x 2 - 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.