NAMBA TATA XI
§ 256. Fomu ya trigonometric ya nambari changamano
Acha nambari changamano a + bi inalingana na vector O.A.> na kuratibu ( a, b ) (tazama Mchoro 332).
Wacha tuonyeshe urefu wa vekta hii kwa r , na pembe inayofanya na mhimili X , kupitia φ . Kwa ufafanuzi wa sine na cosine:
a / r =cos φ , b / r = dhambi φ .
Ndiyo maana A = r cos φ , b = r dhambi φ . Lakini katika kesi hii idadi tata a + bi inaweza kuandikwa kama:
a + bi = r cos φ + ir dhambi φ = r (cos φ + i dhambi φ ).
Kama unavyojua, mraba wa urefu wa vekta yoyote ni sawa na jumla ya miraba ya kuratibu zake. Ndiyo maana r 2 = a 2 + b 2, kutoka wapi r = √a 2 + b 2
Kwa hiyo, nambari yoyote changamano a + bi inaweza kuwakilishwa katika fomu :
a + bi = r (cos φ + i dhambi φ ), (1)
wapi r = √a 2 + b 2 na pembe φ imedhamiriwa kutoka kwa hali:
Njia hii ya kuandika nambari changamano inaitwa trigonometric.
Nambari r katika fomula (1) inaitwa moduli, na pembe φ - hoja, nambari changamano a + bi .
Ikiwa nambari changamano a + bi si sawa na sifuri, basi moduli yake ni chanya; kama a + bi = 0, basi a = b = 0 na kisha r = 0.
Moduli ya nambari yoyote changamano imebainishwa kipekee.
Ikiwa nambari changamano a + bi si sawa na sifuri, basi hoja yake imedhamiriwa na kanuni (2) hakika hadi pembe inayogawanywa na 2 π . Kama a + bi = 0, basi a = b = 0. Katika kesi hii r = 0. Kutoka kwa fomula (1) ni rahisi kuelewa kama hoja φ katika kesi hii, unaweza kuchagua angle yoyote: baada ya yote, kwa yoyote φ
0 (cos φ + i dhambi φ ) = 0.
Kwa hivyo hoja isiyo na maana haijafafanuliwa.
Moduli ya nambari changamano r wakati mwingine huashiria | z |, na hoja arg z . Hebu tuangalie mifano michache ya kuwakilisha namba changamano katika umbo la trigonometriki.
Mfano. 1. 1 + i .
Wacha tupate moduli r na hoja φ nambari hii.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Kwa hiyo dhambi φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kutoka wapi φ = π / 4 + 2nπ .
Hivyo,
1 + i = √ 2 ,
Wapi P - nambari yoyote. Kawaida, kutoka kwa seti isiyo na kikomo ya maadili ya hoja ya nambari changamano, moja huchaguliwa ambayo ni kati ya 0 na 2. π . Katika kesi hii, thamani hii ni π / 4 . Ndiyo maana
1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i dhambi π / 4)
Mfano 2. Andika nambari changamano katika umbo la trigonometric √ 3 - i . Tuna:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, dhambi φ = - 1 / 2
Kwa hivyo, hadi pembe inayogawanywa na 2 π , φ = 11 / 6 π ; hivyo,
√ 3 - i = 2 (cos 11 / 6 π + i dhambi 11/6 π ).
Mfano 3 Andika nambari changamano katika umbo la trigonometric i.
Nambari tata i inalingana na vector O.A.> , inayoishia kwenye hatua A ya mhimili katika na kuratibu 1 (Mchoro 333). Urefu wa vekta kama hiyo ni 1, na pembe inayofanya na mhimili wa x ni sawa na π / 2. Ndiyo maana
i =cos π / 2 + i dhambi π / 2 .
Mfano 4. Andika nambari changamano 3 katika umbo la trigonometriki.
Nambari changamano 3 inalingana na vekta O.A. > X abscissa 3 (Kielelezo 334).
Urefu wa vekta kama hiyo ni 3, na pembe inayofanya na mhimili wa x ni 0. Kwa hiyo.
3 = 3 (cos 0 + i dhambi 0),
Mfano 5. Andika nambari changamano -5 katika fomu ya trigonometric.
Nambari changamano -5 inalingana na vekta O.A.> kuishia katika hatua ya mhimili X na abscissa -5 (Mchoro 335). Urefu wa vekta kama hiyo ni 5, na pembe inayounda na mhimili wa x ni sawa na π . Ndiyo maana
5 = 5 (cos π + i dhambi π ).
Mazoezi
2047. Andika nambari hizi changamano katika umbo la trigonometriki, ukifafanua moduli na hoja zao:
1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;
2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;
3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.
2048. Onyesha kwenye ndege seti ya pointi zinazowakilisha nambari changamano ambazo moduli r na hoja φ zinakidhi masharti:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Je, nambari zinaweza kuwa moduli ya nambari changamano kwa wakati mmoja? r Na - r ?
2050. Je, hoja ya nambari changamano inaweza kuwa pembe kwa wakati mmoja? φ Na - φ ?
Wasilisha nambari hizi changamano katika umbo la trigonometric, ukifafanua moduli na hoja zao:
2051*. 1 + cos α + i dhambi α . 2054*. 2(cos 20° - i dhambi 20 °).
2052*. dhambi φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i dhambi 15 °).
3.1. Kuratibu za polar
Mara nyingi hutumiwa kwenye ndege mfumo wa kuratibu polar . Inafafanuliwa ikiwa hatua O inatolewa, inayoitwa nguzo, na miale inayotoka kwenye nguzo (kwetu sisi huu ndio mhimili Ox) - mhimili wa polar. Msimamo wa uhakika M umewekwa na nambari mbili: radius (au radius vector) na angle φ kati ya mhimili wa polar na vector. Pembe φ inaitwa pembe ya polar; kupimwa kwa radiani na kuhesabiwa kinyume cha saa kutoka kwa mhimili wa polar.
Msimamo wa hatua katika mfumo wa kuratibu wa polar hutolewa na jozi ya namba zilizoagizwa (r; φ). Kwenye Pole r = 0, na φ haijafafanuliwa. Kwa pointi nyingine zote r > 0, na φ imefafanuliwa hadi neno ambalo ni kizidishio cha 2π. Katika kesi hii, jozi za nambari (r; φ) na (r 1; φ 1) zinahusishwa na hatua sawa ikiwa.
Kwa mfumo wa kuratibu wa mstatili xOy Kuratibu za Cartesian za nukta zinaonyeshwa kwa urahisi kulingana na kuratibu zake za polar kama ifuatavyo:
3.2. Tafsiri ya kijiometri ya nambari changamano
Wacha tuchunguze mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian kwenye ndege xOy.
Nambari yoyote changamano z=(a, b) inahusishwa na nukta kwenye ndege yenye viwianishi ( x, y), Wapi kuratibu x = a, i.e. sehemu halisi ya nambari changamano, na kuratibu y = bi ni sehemu ya kufikiria.
Ndege ambayo pointi zake ni nambari changamano ni ndege changamano.
Katika takwimu, nambari changamano z = (a, b) inalingana na uhakika M(x, y).
Zoezi.Chora nambari changamano kwenye ndege ya kuratibu:
3.3. Fomu ya trigonometric ya nambari changamano
Nambari changamano kwenye ndege ina viwianishi vya pointi M(x;y). Ambapo:
Kuandika nambari changamano 
- fomu ya trigonometric ya nambari changamano.
Nambari r inaitwa moduli
nambari changamano z na imeteuliwa. Modulus ni nambari halisi isiyo hasi. Kwa 
.
Moduli ni sifuri ikiwa na ikiwa tu z = 0, i.e. a = b = 0.
Nambari φ inaitwa hoja z na imeteuliwa. Hoja z inafafanuliwa kwa utata, kama pembe ya polar katika mfumo wa kuratibu wa polar, yaani hadi neno ambalo ni kizidishio cha 2π.
Kisha tunakubali: , ambapo φ ndio thamani ndogo zaidi ya hoja. Ni dhahiri kwamba
.
Wakati wa kusoma mada kwa undani zaidi, hoja ya msaidizi φ* inaletwa, kama hiyo
Mfano 1. Pata fomu ya trigonometric ya nambari changamano.
Suluhisho. 1) fikiria moduli:;
2) kutafuta φ: 
;
3) fomu ya trigonometric: 
Mfano 2. Tafuta muundo wa aljebra wa nambari changamano 
.
Hapa inatosha kuchukua nafasi ya maadili ya kazi za trigonometric na kubadilisha usemi:
Mfano 3. Tafuta moduli na hoja ya nambari changamano;
1) 
;
2); φ - katika robo 4:
3.4. Uendeshaji na nambari changamano katika fomu ya trigonometric
· Kuongeza na kutoa Ni rahisi zaidi kufanya na nambari changamano katika muundo wa aljebra:
· Kuzidisha- kwa kutumia mabadiliko rahisi ya trigonometric inaweza kuonyeshwa kuwa Wakati wa kuzidisha, moduli za nambari zinazidishwa, na hoja zinaongezwa: ;
2.3. Fomu ya trigonometric ya nambari changamano
Acha vekta ibainishwe kwenye ndege changamano kwa nambari .
Hebu tuonyeshe kwa φ angle kati ya Ox ya nusu ya chanya na vector (angle φ inachukuliwa kuwa chanya ikiwa inapimwa kinyume na saa, na hasi vinginevyo).
Hebu tuonyeshe urefu wa vector kwa r. Kisha. Pia tunaashiria
Kuandika nambari changamano isiyo sifuri z katika fomu
inaitwa umbo la trigonometric ya nambari changamano z. Nambari r inaitwa moduli ya nambari changamano z, na nambari φ inaitwa hoja ya nambari hii changamano na inaonyeshwa na Arg z.
Njia ya utatuzi wa kuandika nambari changamano - (Mchanganyiko wa Euler) - aina ya kielelezo cha kuandika nambari changamano:
Nambari changamano z ina hoja nyingi sana: ikiwa φ0 ni hoja yoyote ya nambari z, basi zingine zote zinaweza kupatikana kwa kutumia fomula.
Kwa nambari changamano, hoja na fomu ya trigonometric haijafafanuliwa.
Kwa hivyo, hoja ya nambari isiyo ya sifuri ni suluhisho lolote kwa mfumo wa equations:
(3)
Thamani φ ya hoja ya nambari changamano z, inayokidhi ukosefu wa usawa, inaitwa thamani kuu na inaonyeshwa na arg z.
Hoja Arg z na arg z zinahusiana na
, (4)
Fomula (5) ni tokeo la mfumo (3), kwa hivyo hoja zote za nambari changamano zinakidhi usawa (5), lakini si masuluhisho yote φ ya mlingano (5) ni hoja za nambari z.
Thamani kuu ya hoja ya nambari changamano isiyo ya sifuri inapatikana kulingana na fomula:
Njia za kuzidisha na kugawanya nambari changamano katika fomu ya trigonometric ni kama ifuatavyo.
. (7)
Wakati wa kuinua nambari changamano kwa nguvu asilia, fomula ya Moivre hutumiwa:
Wakati wa kutoa mzizi wa nambari changamano, formula hutumiwa:
, (9)
ambapo k=0, 1, 2, …, n-1.
Tatizo 54. Piga hesabu wapi.
Hebu tuwasilishe suluhisho la usemi huu kwa njia ya kielelezo cha kuandika nambari changamano: .
Ikiwa, basi.
Kisha, 
. Kwa hiyo, basi 
Na 
, Wapi.
Jibu: , katika .
Tatizo 55. Andika nambari changamano katika umbo la trigonometric:
A); b); V); G); d); e) 
; na).
Kwa kuwa muundo wa trigonometric wa nambari changamano ni , basi:
a) Katika nambari changamano: .
,
Ndiyo maana 
b) 
, wapi,
G) 
, wapi,
e) 
.
na) 
, A 
, Hiyo.
Ndiyo maana 
Jibu: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Tatizo la 56. Tafuta fomu ya trigonometric ya nambari changamano
.
Acha, 
.
Kisha, 
, .
Tangu na 
,, basi, na
Kwa hivyo, kwa hivyo
Jibu: 
, Wapi.
Tatizo 57. Kwa kutumia fomu ya trigonometric ya nambari changamano, fanya vitendo vifuatavyo: .
Hebu fikiria namba na 
kwa fomu ya trigonometric.
1), wapi 
Kisha
Tafuta thamani ya hoja kuu:
Wacha tubadilishe maadili na kwa usemi, tunapata 
2) , wapi basi 
Kisha 
3) Wacha tupate mgawo
Kwa kudhani k=0, 1, 2, tunapata maadili matatu tofauti ya mzizi unaotaka:
Ikiwa, basi 
kama, basi 
kama, basi 
.
Jibu::
:
: .
Tatizo la 58. Hebu , , , ziwe namba changamano tofauti na 
. Thibitisha hilo
nambari 
ni nambari chanya halisi;
b) usawa unashikilia:
a) Wacha tuwakilishe nambari hizi changamano katika umbo la trigonometric:
Kwa sababu.
Wacha tujifanye hivyo. Kisha 
.
Usemi wa mwisho ni nambari chanya, kwani ishara za sine zina nambari kutoka kwa muda.
tangu nambari halisi na chanya. Hakika, ikiwa a na b ni nambari changamano na ni halisi na kubwa kuliko sifuri, basi .
Mbali na hilo,
kwa hiyo, usawa unaohitajika unathibitishwa.
Tatizo la 59. Andika nambari katika mfumo wa aljebra 
.
Wacha tuwakilishe nambari katika umbo la trigonometric kisha tupate umbo lake la aljebra. Tuna 
. Kwa 
tunapata mfumo:
Hii inamaanisha usawa: 
.
Kutumia formula ya Moivre:,
tunapata
Fomu ya trigonometric ya nambari iliyotolewa inapatikana.
Wacha sasa tuandike nambari hii katika muundo wa algebra:
.
Jibu: 
.
Tatizo 60. Tafuta jumla , ,
Hebu fikiria kiasi
Kutumia formula ya Moivre, tunapata
Jumla hii ni jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri na denominator 
na mjumbe wa kwanza 
.
Kutumia fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo kama haya, tunayo
Kutenga sehemu ya kufikiria katika usemi wa mwisho, tunapata
Kutenga sehemu halisi, tunapata pia formula ifuatayo: , , .
Tatizo 61. Tafuta jumla:
A) 
; b) .
Kulingana na fomula ya Newton ya ufafanuzi, tunayo
Kwa kutumia formula ya Moivre tunapata:
Kusawazisha sehemu halisi na za kuwaziwa za misemo inayotokana na , tuna:
Na 
.
Fomula hizi zinaweza kuandikwa katika fomu ya kompakt kama ifuatavyo:
,
, iko wapi sehemu kamili ya nambari a.
Tatizo 62. Tafuta zote, kwa ajili yake.
Kwa sababu ya 
, basi, kwa kutumia fomula
, 
Ili kuchimba mizizi, tunapata 
,
Kwa hivyo, 
, 
,
, 
.
Pointi zinazolingana na nambari ziko kwenye wima ya mraba iliyoandikwa kwenye mduara wa radius 2 na katikati kwenye hatua (0; 0) (Mchoro 30).
Jibu: , ,
, .
Tatizo 63. Tatua mlingano 
, .
Kwa hali; kwa hiyo, equation hii haina mzizi, na kwa hiyo ni sawa na equation.
Ili nambari z iwe mzizi wa mlingano huu, nambari lazima iwe mzizi wa nambari 1.
Kuanzia hapa tunahitimisha kuwa mlinganyo wa asili una mizizi iliyoamuliwa kutoka kwa usawa
, 
Hivyo, 
,
i.e. 
,
Jibu: 
.
Tatizo 64. Tatua mlingano katika seti ya nambari changamano.
Kwa kuwa nambari sio mzizi wa mlinganyo huu, basi kwa mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo.
Hiyo ni, equation.
Mizizi yote ya mlingano huu hupatikana kutoka kwa fomula (tazama tatizo 62):
; 
; ; 
; 
.
Tatizo 65. Chora kwenye ndege tata seti ya pointi zinazokidhi ukosefu wa usawa: 
. (Njia ya 2 ya kutatua tatizo 45)
Hebu 
.
Nambari tata zilizo na moduli zinazofanana zinalingana na alama kwenye ndege iliyo kwenye duara inayozingatia asili, kwa hivyo ukosefu wa usawa. 
kukidhi pointi zote za pete ya wazi iliyofungwa na miduara yenye kituo cha kawaida kwenye asili na radii na (Mchoro 31). Acha sehemu fulani ya ndege changamano ilingane na nambari w0. Nambari 
, ina moduli ndogo mara kadhaa kuliko moduli w0, na hoja kubwa kuliko hoja w0. Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, hatua inayolingana na w1 inaweza kupatikana kwa kutumia homothety na kituo katika asili na mgawo, pamoja na mzunguko wa jamaa na asili kwa pembe kinyume cha saa. Kwa matokeo ya kutumia mabadiliko haya mawili kwa pointi za pete (Mchoro 31), mwisho utabadilika kuwa pete iliyofungwa na miduara yenye kituo sawa na radii 1 na 2 (Mchoro 32).
Uongofu 
kutekelezwa kwa kutumia uhamishaji sambamba kwa vekta. Kwa kuhamisha pete na kituo kwenye hatua kwa vector iliyoonyeshwa, tunapata pete ya ukubwa sawa na kituo kwenye hatua (Mchoro 22).
Njia iliyopendekezwa, ambayo hutumia wazo la mabadiliko ya kijiometri ya ndege, labda sio rahisi kuelezea, lakini ni ya kifahari sana na yenye ufanisi.
Tatizo 66. Tafuta kama 
.
Hebu, basi na. Usawa wa awali utachukua fomu 
. Kutoka kwa hali ya usawa wa nambari mbili ngumu tunapata , , ambayo , . Hivyo,.
Wacha tuandike nambari z katika fomu ya trigonometric:
, wapi,. Kulingana na fomula ya Moivre, tunapata .
Jibu: - 64.
Tatizo 67. Kwa nambari changamano, tafuta nambari zote changamano kama vile , na 
.
Wacha tuwakilishe nambari katika fomu ya trigonometric:
. Kuanzia hapa,. Kwa nambari tunayopata, inaweza kuwa sawa na au.
Katika kesi ya kwanza 
, katika pili
.
Jibu:, 
.
Tatizo 68. Tafuta jumla ya nambari kama hizo. Tafadhali onyesha moja ya nambari hizi.
Kumbuka kwamba kutokana na uundaji wa tatizo sana inaweza kueleweka kwamba jumla ya mizizi ya equation inaweza kupatikana bila kuhesabu mizizi wenyewe. Hakika, jumla ya mizizi ya equation 
ni mgawo wa , iliyochukuliwa na ishara kinyume (nadharia ya jumla ya Vieta), i.e.
Wanafunzi, nyaraka za shule, hupata hitimisho kuhusu kiwango cha ujuzi wa dhana hii. Fanya muhtasari wa masomo ya sifa za fikra za kihesabu na mchakato wa malezi ya dhana ya nambari changamano. Maelezo ya mbinu. Utambuzi: Hatua ya I. Mazungumzo hayo yalifanywa na mwalimu wa hisabati ambaye hufundisha aljebra na jiometri katika darasa la 10. Mazungumzo hayo yalifanyika baada ya muda kupita tangu mwanzo...
Resonance" (!)), ambayo pia inajumuisha tathmini ya tabia ya mtu mwenyewe. 4. Tathmini muhimu ya uelewa wa mtu wa hali (mashaka) 5. Hatimaye, matumizi ya mapendekezo kutoka kwa saikolojia ya kisheria (mwanasheria anazingatia kisaikolojia). vipengele vya hatua za kitaaluma zilizofanywa - utayari wa kitaaluma wa kisaikolojia) Hebu sasa tufikirie uchambuzi wa kisaikolojia wa ukweli wa kisheria ...
Hisabati ya uingizwaji wa trigonometric na kupima ufanisi wa mbinu ya ufundishaji iliyotengenezwa. Hatua za kazi: 1. Maendeleo ya kozi ya hiari juu ya mada: "Matumizi ya uingizwaji wa trigonometric kwa kutatua matatizo ya algebraic" na wanafunzi katika madarasa na hisabati ya juu. 2. Kuendesha kozi ya uchaguzi iliyoandaliwa. 3. Kufanya kipimo cha uchunguzi...
Kazi za utambuzi zinakusudiwa tu kukamilisha visaidizi vya kufundishia vilivyopo na lazima ziwe katika mchanganyiko unaofaa na njia zote za kitamaduni na vipengele vya mchakato wa elimu. Tofauti kati ya shida za kielimu katika kufundisha ubinadamu na zile halisi, kutoka kwa shida za hesabu, ni kwamba katika shida za kihistoria hakuna fomula, algorithms kali, nk, ambayo inachanganya suluhisho lao. ...
MhadharaFomu ya trigonometric ya nambari changamano
Mpango
1. Uwakilishi wa kijiometri wa namba tata.
2. Nukuu ya Trigonometric ya nambari changamano.
3. Vitendo kwenye nambari changamano katika fomu ya trigonometric.
Uwakilishi wa kijiometri wa nambari changamano.
a) Nambari ngumu zinawakilishwa na vidokezo kwenye ndege kulingana na sheria ifuatayo: a + bi = M ( a ; b ) (Mchoro 1).
Picha 1
b) Nambari changamano inaweza kuwakilishwa na vekta inayoanzia kwenye uhakikaKUHUSU na mwisho kwa hatua fulani (Mchoro 2).
Kielelezo cha 2
Mfano 7. Tengeneza alama zinazowakilisha nambari changamano:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Mchoro 3).
Kielelezo cha 3
Nukuu za trigonometriki za nambari changamano.
Nambari tataz = a + bi inaweza kubainishwa kwa kutumia vekta ya radius na kuratibu( a ; b ) (Mchoro 4).
Kielelezo cha 4
Ufafanuzi . Urefu wa Vector , inayowakilisha nambari changamanoz , inaitwa moduli ya nambari hii na inaashiria aur .
Kwa nambari yoyote changamanoz moduli yaker = | z | imedhamiriwa kipekee na fomula .
Ufafanuzi . Ukubwa wa pembe kati ya mwelekeo mzuri wa mhimili halisi na vector , inayowakilisha nambari changamano, inaitwa hoja ya nambari hii changamano na inaashiriaA rg z auφ .
Hoja Changamano ya Nambariz = 0 isiyofafanuliwa. Hoja Changamano ya Nambariz≠ 0 - kiasi cha thamani nyingi na imedhamiriwa ndani ya muda2pk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Wapiarg z - thamani kuu ya hoja iliyo katika muda(-π; π] , hiyo ni-π < arg z ≤ π (wakati mwingine thamani ya muda inachukuliwa kama thamani kuu ya hoja .
Formula hii linir =1 mara nyingi huitwa formula ya Moivre:
(cos φ + nafanya dhambi φ) n = cos (nφ) + i dhambi (nφ), n N .
Mfano 11: Hesabu(1 + i ) 100 .
Wacha tuandike nambari changamano1 + i kwa fomu ya trigonometric.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , dhambi φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + ninafanya dhambi )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + natenda dhambi · 100) = = 2 50 (cos 25π + i dhambi 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Kuchimbua mzizi wa mraba wa nambari changamano.
Wakati wa kuchukua mizizi ya mraba ya nambari changamanoa + bi tuna kesi mbili:
Kamab
>o
, Hiyo 
;