MFUATA WA NAMBA VI

§ l48. Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana

Hadi sasa, tunapozungumza juu ya hesabu, kila wakati tumekuwa tukifikiria kuwa idadi ya maneno katika hesabu hizi ni ya mwisho (kwa mfano, 2, 15, 1000, nk). Lakini wakati wa kutatua shida fulani (haswa hisabati ya juu) mtu anapaswa kushughulika na kiasi nambari isiyo na kikomo masharti

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Kiasi gani hizi? A-kipaumbele jumla ya idadi isiyo na kikomo ya masharti a 1 , a 2 , ..., a n , ... inaitwa kikomo cha jumla S n kwanza P nambari wakati P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Kikomo (2), bila shaka, kinaweza kuwepo au kisiwepo. Kwa hiyo, wanasema kwamba jumla (1) ipo au haipo.

Tunawezaje kujua kama jumla (1) ipo katika kila kisa mahususi? Uamuzi wa pamoja Suala hili linakwenda mbali zaidi ya upeo wa programu yetu. Hata hivyo, kuna moja muhimu kesi maalum, ambayo sasa tunapaswa kuzingatia. Tutazungumza juu ya muhtasari wa masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.

Hebu a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ni ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Hii ina maana kwamba | q |< 1. Сумма первых P masharti ya maendeleo haya ni sawa

Kutoka kwa nadharia kuu kuhusu mipaka vigezo(tazama § 136) tunapata:

Lakini 1 = 1, a qn = 0. Kwa hiyo

Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya kijiometri ambayo yanapungua sana ni sawa na muhula wa kwanza wa mwendelezo huu ikigawanywa na denominator moja toa ya mwendelezo huu.

1) Jumla ya maendeleo ya kijiometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ni sawa na

na jumla ya maendeleo ya kijiometri ni 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sawa

2) Rahisi sehemu ya mara kwa mara 0.454545 ... kubadilisha kwa kawaida.

Ili kutatua tatizo hili, hebu fikiria sehemu iliyotolewa kama jumla isiyo na kikomo:

Upande wa kulia wa usawa huu ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 45/100, na denominator ni 1/100. Ndiyo maana

Kutumia njia iliyoelezwa, inaweza pia kupatikana kanuni ya jumla ubadilishaji wa sehemu rahisi za muda hadi za kawaida (tazama Sura ya II, § 38):

Ili kubadilisha sehemu rahisi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida, unahitaji kufanya kwa njia ifuatayo: katika nambari weka muda wa sehemu ya decimal, na katika denominator - nambari inayojumuisha nines zilizochukuliwa mara nyingi kama kuna tarakimu katika kipindi cha sehemu ya decimal.

3) Badilisha sehemu iliyochanganywa ya upimaji 0.58333 .... kuwa sehemu ya kawaida.

Wacha tufikirie sehemu hii kama jumla isiyo na kikomo:

Kwa upande wa kulia wa usawa huu, masharti yote, kuanzia 3/1000, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 3/1000, na denominator ni 1/10. Ndiyo maana

Kwa kutumia njia iliyoelezwa, kanuni ya jumla ya kubadilisha sehemu zilizochanganywa za upimaji kuwa sehemu za kawaida zinaweza kupatikana (tazama Sura ya II, § 38). Kwa makusudi hatuiwasilishi hapa. Hakuna haja ya kukumbuka sheria hii ngumu. Ni muhimu zaidi kujua kwamba sehemu yoyote ya muda iliyochanganyika inaweza kuwakilishwa kama jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na nambari fulani. Na formula

kwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, lazima, bila shaka, ukumbuke.

Kama zoezi, tunashauri kwamba wewe, pamoja na shida Nambari 995-1000 zilizopewa hapa chini, ugeuke tena kwa shida Nambari 301 § 38.

Mazoezi

995. Ni nini kinachoitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana?

996. Pata hesabu za maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana:

997. Kwa maadili gani X mwendelezo

inapungua bila kikomo? Pata jumla ya maendeleo kama haya.

998.V pembetatu ya usawa na upande A iliyoandikwa kwa kuunganisha sehemu za katikati za pande zake pembetatu mpya; pembetatu mpya imeandikwa katika pembetatu hii kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum.

a) jumla ya mizunguko ya pembetatu hizi zote;

b) jumla ya maeneo yao.

999. Mraba na upande A iliyoandikwa kwa kuunganisha sehemu za katikati za pande zake mraba mpya; mraba umeandikwa katika mraba huu kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum. Tafuta jumla ya mizunguko ya miraba hii yote na jumla ya maeneo yao.

1000. Tunga ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hivi kwamba jumla yake ni sawa na 25/4, na jumla ya miraba ya masharti yake ni sawa na 625/24.

Maendeleo ya kijiometri-Hii mlolongo wa nambari, muhula wa kwanza ambao ni tofauti na sufuri, na kila neno linalofuata ni sawa na neno la awali lililozidishwa na lile lile. sawa na sifuri nambari.

Dhana ya maendeleo ya kijiometri

Ukuaji wa kijiometri unaashiria b1,b2,b3, …, bn, ….

Uwiano wa neno lolote la hitilafu ya kijiometri kwa muda wake wa awali ni sawa na idadi sawa, yaani, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi maendeleo ya hesabu. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri. Kawaida denominator ya maendeleo ya kijiometri inaonyeshwa na barua q.

Jumla ya maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo ya |q|<1

Mojawapo ya njia za kutaja maendeleo ya kijiometri ni kutaja muda wake wa kwanza b1 na denominator ya hitilafu ya kijiometri q. Kwa mfano, b1=4, q=-2. Masharti haya mawili yanafafanua maendeleo ya kijiometri 4, -8, 16, -32, ....

Ikiwa q>0 (q si sawa na 1), basi mwendelezo ni mlolongo wa monotonous. Kwa mfano, mlolongo, 2, 4,8,16,32, ... ni mlolongo wa kuongezeka kwa monotonically (b1=2, q=2).

Ikiwa denominator katika hitilafu ya kijiometri ni q = 1, basi masharti yote ya maendeleo ya kijiometri yatakuwa sawa kwa kila mmoja. Katika hali kama hizi, maendeleo yanasemekana kuwa mlolongo wa mara kwa mara.

Ili mlolongo wa nambari (bn) uwe maendeleo ya kijiometri, ni muhimu kwamba kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia pili, kuwa maana ya kijiometri ya wanachama wa jirani. Hiyo ni, ni muhimu kutimiza equation ifuatayo
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), kwa n>0 yoyote, ambapo n ni ya seti ya nambari za asili N.

Sasa hebu tuweke (Xn) - maendeleo ya kijiometri. Kiashiria cha maendeleo ya kijiometri q, na |q|∞).
Ikiwa sasa tutaashiria kwa S jumla ya maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo, basi fomula ifuatayo itatumika:
S=x1/(1-q).

Hebu tuangalie mfano rahisi:

Pata jumla ya maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Ili kupata S, tunatumia fomula ya jumla ya kuendelea kwa hesabu isiyo na kikomo. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Hebu fikiria mfululizo fulani.

7 28 112 448 1792...

Ni wazi kabisa kwamba thamani ya yoyote ya mambo yake ni hasa mara nne zaidi ya moja uliopita. Hii ina maana kwamba mfululizo huu ni maendeleo.

Maendeleo ya kijiometri ni mlolongo usio na mwisho wa nambari. kipengele kikuu ambayo ni kwamba nambari inayofuata hupatikana kutoka kwa ile iliyotangulia kwa kuzidisha kwa nambari fulani maalum. Hii inaonyeshwa na fomula ifuatayo.

a z +1 =a z ·q, ambapo z ni nambari ya kipengele kilichochaguliwa.

Kwa hiyo, z ∈ N.

Kipindi ambacho maendeleo ya kijiometri yanasomwa shuleni ni daraja la 9. Mifano itakusaidia kuelewa dhana:

0.25 0.125 0.0625...

Kulingana na fomula hii, denominator ya maendeleo inaweza kupatikana kama ifuatavyo:

Si q wala b z inaweza kuwa sifuri. Pia, kila moja ya vipengele vya maendeleo haipaswi kuwa sawa na sifuri.

Ipasavyo, ili kujua nambari inayofuata katika safu, unahitaji kuzidisha ya mwisho kwa q.

Ili kuweka uendelezaji huu, lazima ueleze kipengele chake cha kwanza na denominator. Baada ya hayo, inawezekana kupata masharti yoyote yafuatayo na jumla yao.

Aina mbalimbali

Kulingana na q na 1, maendeleo haya yamegawanywa katika aina kadhaa:

• Ikiwa zote mbili 1 na q zaidi ya moja, basi mlolongo huo huongezeka kwa kila mmoja kipengele kinachofuata maendeleo ya kijiometri. Mfano wa hii umewasilishwa hapa chini.

Mfano: a 1 =3, q=2 - vigezo vyote viwili ni kubwa kuliko kimoja.

Kisha mlolongo wa nambari unaweza kuandikwa kama hii:

3 6 12 24 48 ...

• Ikiwa |q| ni chini ya moja, yaani, kuzidisha nayo ni sawa na mgawanyiko, basi kuendelea na hali sawa ni kupungua kwa maendeleo ya kijiometri. Mfano wa hii umewasilishwa hapa chini.

Mfano: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ni kubwa kuliko moja, q ni kidogo.

Kisha mlolongo wa nambari unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

6 2 2/3 ... - kipengele chochote kipengele zaidi, kuifuata, mara 3.

• Ishara mbadala. Ikiwa q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Mfano: a 1 = -3, q = -2 - vigezo vyote viwili ni chini ya sifuri.

Kisha mlolongo wa nambari unaweza kuandikwa kama hii:

3, 6, -12, 24,...

Mifumo

Kuna njia nyingi za matumizi rahisi ya maendeleo ya kijiometri:

• Fomula ya muda wa Z. Inakuruhusu kuhesabu kipengele chini ya nambari maalum bila kuhesabu nambari za awali.

Mfano:q = 3, a 1 = 4. Inahitajika kuhesabu kipengele cha nne cha maendeleo.

Suluhisho:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumla ya vipengele vya kwanza ambavyo wingi wake ni sawa na z. Hukuruhusu kukokotoa jumla ya vipengele vyote vya mfuatano hadizpamoja.

Tangu (1-q) iko kwenye dhehebu, kisha (1 - q)≠ 0, kwa hivyo q si sawa na 1.

Kumbuka: ikiwa q=1, basi mwendelezo utakuwa msururu wa nambari zinazorudiwa bila kikomo.

Jumla ya maendeleo ya kijiometri, mifano:a 1 = 2, q= -2. Kuhesabu S5.

Suluhisho:S 5 = 22 - hesabu kwa kutumia formula.

• Kiasi kama |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Mfano:a 1 = 2 , q= 0.5. Tafuta kiasi.

Suluhisho:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Baadhi ya sifa:

• Mali ya tabia. Ikiwa hali ifuatayo inafanya kazi kwa yoyotez, kisha kupewa mfululizo wa nambari- Maendeleo ya kijiometri:

z 2 = z -1 · az+1

• Pia, mraba wa nambari yoyote katika maendeleo ya kijiometri hupatikana kwa kuongeza miraba ya nambari zingine mbili katika safu fulani, ikiwa ni za usawa kutoka kwa kipengele hiki.

z 2 = z - t 2 + z + t 2 , wapit- umbali kati ya nambari hizi.

• Vipengeletofauti katika qmara moja.
• Logarithmu za vipengele vya maendeleo pia huunda maendeleo, lakini moja ya hesabu, yaani, kila mmoja wao ni mkubwa zaidi kuliko uliopita kwa idadi fulani.

Mifano ya baadhi ya matatizo classic

Ili kuelewa vyema maendeleo ya kijiometri ni nini, mifano iliyo na suluhisho za darasa la 9 inaweza kusaidia.

• Masharti:a 1 = 3, a 3 = 48. Tafutaq.

Suluhisho: kila kipengele kinachofuata ni kikubwa kuliko kilichotanguliaq mara moja.Ni muhimu kueleza baadhi ya vipengele katika suala la wengine kwa kutumia denominator.

Kwa hivyo,a 3 = q 2 · a 1

Wakati wa kuchukua nafasiq= 4

• Masharti:a 2 = 6, a 3 = 12. Kokotoa S 6.

Suluhisho:Ili kufanya hivyo, pata tu q, kipengee cha kwanza na ukibadilishe kwenye fomula.

a 3 = q· a 2 , kwa hivyo,q= 2

a 2 = q · 1,Ndiyo maana a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Tafuta kipengele cha nne cha mwendelezo.

Suluhisho: kwa kufanya hivyo, inatosha kueleza kipengele cha nne kwa njia ya kwanza na kwa njia ya denominator.

a 4 = q 3· 1 = -80

Mfano wa maombi:

• Mteja wa benki aliweka amana kwa kiasi cha rubles 10,000, chini ya masharti ambayo kila mwaka mteja atakuwa na 6% yake iliyoongezwa kwa kiasi kikuu. Ni pesa ngapi zitakuwa kwenye akaunti baada ya miaka 4?

Suluhisho: Kiasi cha awali ni rubles elfu 10. Hii ina maana kwamba mwaka mmoja baada ya uwekezaji akaunti itakuwa na kiasi sawa na 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Ipasavyo, kiasi katika akaunti baada ya mwaka mwingine kitaonyeshwa kama ifuatavyo:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Hiyo ni, kila mwaka kiasi kinaongezeka kwa mara 1.06. Hii ina maana kwamba kupata kiasi cha fedha katika akaunti baada ya miaka 4, inatosha kupata kipengele cha nne cha maendeleo, ambacho kinatolewa na kipengele cha kwanza sawa na elfu 10 na denominator sawa na 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Mifano ya matatizo ya hesabu ya jumla:

Maendeleo ya kijiometri hutumiwa katika matatizo mbalimbali. Mfano wa kupata jumla unaweza kutolewa kama ifuatavyo:

a 1 = 4, q= 2, hesabuS 5.

Suluhisho: data zote muhimu kwa hesabu zinajulikana, unahitaji tu kuzibadilisha kwenye fomula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Kokotoa jumla ya vipengele sita vya kwanza.

Suluhisho:

Katika geom. kuendelea, kila kipengele kinachofuata ni mara q zaidi ya kilichotangulia, yaani, kuhesabu jumla unayohitaji kujua kipengele.a 1 na dhehebuq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Vile vile, unahitaji kupataa 1 , kujuaa 2 Naq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Ukuaji wa kijiometri, pamoja na kuendelea kwa hesabu, ni safu muhimu ya nambari ambayo inasomwa katika kozi ya aljebra ya shule katika daraja la 9. Katika makala hii tutaangalia denominator ya maendeleo ya kijiometri na jinsi thamani yake inathiri mali zake.

Ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri

Kwanza, hebu tupe ufafanuzi wa safu hii ya nambari. Mfululizo huo unaitwa maendeleo ya kijiometri nambari za busara, ambayo huundwa kwa kuzidisha kwa mfuatano kipengele chake cha kwanza kwa nambari isiyobadilika inayoitwa denominator.

Kwa mfano, nambari katika mfululizo wa 3, 6, 12, 24, ... ni maendeleo ya kijiometri, kwa sababu ukizidisha 3 (kipengele cha kwanza) na 2, utapata 6. Ukizidisha 6 kwa 2, utapata. 12, na kadhalika.

Washiriki wa mfuatano unaozingatiwa kwa kawaida huonyeshwa kwa ishara ai, ambapo i ni nambari kamili inayoonyesha nambari ya kipengele katika mfululizo.

Ufafanuzi wa hapo juu wa kuendelea unaweza kuandikwa katika lugha ya hisabati kama ifuatavyo: an = bn-1 * a1, ambapo b ni denominator. Ni rahisi kuangalia formula hii: ikiwa n = 1, basi b1-1 = 1, na tunapata a1 = a1. Ikiwa n = 2, basi = b * a1, na tunakuja tena kwenye ufafanuzi wa mfululizo wa nambari zinazohusika. Hoja kama hiyo inaweza kuendelea kwa maadili makubwa ya n.

Denominator ya maendeleo ya kijiometri

Nambari b huamua kabisa mfuatano mzima wa nambari utakuwa na mhusika gani. Alama ya b inaweza kuwa chanya, hasi, au kubwa kuliko au chini ya moja. Chaguzi zote hapo juu husababisha mlolongo tofauti:

• b > 1. Kuna mfululizo unaoongezeka wa nambari za mantiki. Kwa mfano, 1, 2, 4, 8, ... Ikiwa kipengele a1 ni hasi, basi mlolongo mzima utaongezeka tu kwa thamani kamili, lakini itapungua kulingana na ishara ya namba.
• b = 1. Mara nyingi kesi hii haiitwa maendeleo, kwa kuwa kuna mfululizo wa kawaida wa nambari za busara zinazofanana. Kwa mfano, -4, -4, -4.

Formula kwa kiasi

Kabla hatujaangalia kazi maalum kwa kutumia dhehebu la aina ya maendeleo inayozingatiwa, mtu anapaswa kutoa formula muhimu kwa jumla ya vipengele vyake vya kwanza vya n. Fomula inaonekana kama: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Unaweza kupata usemi huu mwenyewe ikiwa utazingatia mlolongo unaojirudia wa masharti ya mwendelezo. Pia kumbuka kuwa katika formula hapo juu inatosha kujua tu kipengele cha kwanza na denominator kupata jumla nambari yoyote wanachama.

Mlolongo unaopungua sana

Ufafanuzi ulitolewa hapo juu ni nini. Sasa, kwa kujua fomula ya Sn, wacha tuitumie kwa safu hii ya nambari. Kwa kuwa nambari yoyote ambayo moduli yake haizidi 1, inapopandishwa hadi digrii kubwa inaelekea sifuri, yaani, b∞ => 0 ikiwa -1

Kwa kuwa tofauti (1 - b) itakuwa chanya kila wakati, bila kujali thamani ya denominator, ishara ya jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana S∞ huamuliwa kipekee na ishara ya kipengele chake cha kwanza a1.

Sasa hebu tuangalie matatizo kadhaa ambapo tutaonyesha jinsi ya kutumia ujuzi uliopatikana kwenye nambari maalum.

Kazi Nambari 1. Uhesabuji wa vipengele visivyojulikana vya maendeleo na jumla

Kutokana na maendeleo ya kijiometri, denominator ya maendeleo ni 2, na kipengele chake cha kwanza ni 3. Maneno yake ya 7 na 10 yatakuwa sawa na nini, na ni jumla gani ya vipengele vyake saba vya awali?

Hali ya shida ni rahisi sana na inadhaniwa matumizi ya moja kwa moja fomula hapo juu. Kwa hivyo, kuhesabu nambari ya kipengele n, tunatumia usemi an = bn-1 * a1. Kwa kipengele cha 7 tunayo: a7 = b6 * a1, kuchukua nafasi ya data inayojulikana, tunapata: a7 = 26 * 3 = 192. Tunafanya vivyo hivyo kwa muda wa 10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Wacha tutumie fomula inayojulikana ya jumla na tuamue dhamana hii kwa vitu 7 vya kwanza vya safu. Tunayo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tatizo namba 2. Kuamua jumla ya vipengele vya kiholela vya maendeleo

Acha -2 dhehebu sawa maendeleo ya kijiometri bn-1 * 4, ambapo n ni nambari kamili. Inahitajika kuamua jumla kutoka kwa 5 hadi 10 ya safu hii, ikijumuisha.

Tatizo lililotolewa haliwezi kutatuliwa moja kwa moja kwa kutumia fomula zinazojulikana. Inaweza kutatuliwa kwa njia 2 mbinu mbalimbali. Kwa ukamilifu wa uwasilishaji wa mada, tunawasilisha zote mbili.

Njia ya 1. Wazo ni rahisi: unahitaji kuhesabu hesabu mbili zinazofanana za maneno ya kwanza, na kisha uondoe nyingine kutoka kwa moja. Tunahesabu kiasi kidogo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sasa hebu tuhesabu kiasi kikubwa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Kumbuka kwamba katika usemi wa mwisho Masharti 4 tu yalifupishwa, kwani ya 5 tayari imejumuishwa kwa kiasi kinachohitajika kuhesabiwa kulingana na hali ya shida. Hatimaye, tunachukua tofauti: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Njia ya 2. Kabla ya kubadilisha nambari na kuhesabu, unaweza kupata fomula ya jumla kati ya masharti ya m na n ya mfululizo unaohusika. Tunafanya sawa na katika njia ya 1, tu kwanza tunafanya kazi na uwakilishi wa mfano wa kiasi. Tunayo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Unaweza kuchukua nafasi ya usemi unaosababisha nambari zinazojulikana na kuhesabu matokeo ya mwisho: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tatizo Nambari 3. Je, denominator ni nini?

Hebu a1 = 2, pata denominator ya maendeleo ya kijiometri, mradi tu kiasi kisicho na mwisho ni 3, na tunajua kuwa huu ni msururu wa nambari zinazoshuka.

Kulingana na hali ya shida, si ngumu kukisia ni fomula gani inapaswa kutumika kulitatua. Kwa kweli, kwa jumla ya maendeleo yanapungua sana. Tunayo: S∞ = a1 / (1 - b). Kutoka ambapo tunaelezea denominator: b = 1 - a1 / S∞. Kilichobaki ni kuchukua nafasi maadili yanayojulikana na upate nambari inayotakiwa: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 au -0.333 (3). Tunaweza kuangalia matokeo haya kwa ubora ikiwa tutakumbuka kwamba kwa aina hii ya mfuatano moduli b haipaswi kwenda zaidi ya 1. Kama inavyoonekana, |-1 / 3|

Kazi Nambari 4. Kurejesha mfululizo wa nambari

Hebu vipengele 2 vya mfululizo wa nambari vipewe, kwa mfano, ya 5 ni sawa na 30 na ya 10 ni sawa na 60. Ni muhimu kuunda upya mfululizo mzima kutoka kwa data hizi, kwa kujua kwamba inakidhi mali ya maendeleo ya kijiometri.

Ili kutatua tatizo, lazima kwanza uandike usemi unaolingana kwa kila neno linalojulikana. Tunayo: a5 = b4 * a1 na a10 = b9 * a1. Sasa gawanya usemi wa pili na wa kwanza, tunapata: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Kuanzia hapa tunaamua denominator kwa kuchukua mzizi wa tano wa uwiano wa maneno yanayojulikana kutoka kwa taarifa ya tatizo, b = 1.148698. Tunabadilisha nambari inayotokana na moja ya misemo ya kipengele kinachojulikana, tunapata: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kwa hiyo, tulipata denominator ya maendeleo bn, na maendeleo ya kijiometri bn-1 * 17.2304966 = an, ambapo b = 1.148698.

Maendeleo ya kijiometri hutumiwa wapi?

Ikiwa hapangekuwa na matumizi ya vitendo ya mfululizo huu wa nambari, basi utafiti wake ungepunguzwa kwa maslahi ya kinadharia tu. Lakini maombi kama hayo yapo.

Ifuatayo ni mifano 3 maarufu zaidi:

• Kitendawili cha Zeno, ambapo Achilles mahiri hawawezi kupatana na kobe mwepesi, hutatuliwa kwa kutumia dhana ya mlolongo wa nambari unaopungua sana.
• Ikiwa unaweka nafaka za ngano kwenye kila mraba wa chessboard ili kwenye mraba wa 1 uweke nafaka 1, ya 2 - 2, ya 3 - 3, na kadhalika, kisha kujaza viwanja vyote vya bodi utahitaji. 18446744073709551615 nafaka!
• Katika mchezo "Mnara wa Hanoi", ili kuhamisha disks kutoka fimbo moja hadi nyingine, ni muhimu kufanya shughuli 2n - 1, yaani, idadi yao inakua kwa kasi na idadi n ya disks kutumika.

Kiwango cha kwanza

Maendeleo ya kijiometri. Mwongozo wa kina na mifano (2019)

Mlolongo wa nambari

Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:

Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:

Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.

Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.

Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa nth wa mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Kwa upande wetu:

Aina za kawaida za maendeleo ni hesabu na kijiometri. Katika mada hii tutazungumza juu ya aina ya pili - maendeleo ya kijiometri.

Kwa nini maendeleo ya kijiometri inahitajika na historia yake?

Hata katika nyakati za kale, mtawa Mitalia wa mwanahisabati Leonardo wa Pisa (aliyejulikana zaidi kuwa Fibonacci) alishughulikia mahitaji halisi ya biashara. Mtawa huyo alikabiliwa na kazi ya kuamua kwa msaada wa ipi kiasi kidogo uzito unaweza kupima bidhaa? Katika kazi zake, Fibonacci anathibitisha kuwa mfumo kama huo wa uzani ni bora: Hii ni moja ya hali ya kwanza ambayo watu walilazimika kushughulika na maendeleo ya kijiometri, ambayo labda tayari umesikia juu yake na unayo angalau. dhana ya jumla. Mara tu unapoelewa mada kikamilifu, fikiria kwa nini mfumo kama huo ni bora?

Hivi sasa, katika mazoezi ya maisha, maendeleo ya kijiometri inajidhihirisha wakati wa kuwekeza fedha katika benki, wakati kiasi cha riba kinakusanywa kwa kiasi kilichokusanywa katika akaunti kwa kipindi cha awali. Kwa maneno mengine, ikiwa utaweka pesa kwenye amana ya muda katika benki ya akiba, basi baada ya mwaka amana itaongezeka kwa kiasi cha awali, i.e. kiasi kipya kitakuwa sawa na mchango unaozidishwa na. Katika mwaka mwingine, kiasi hiki kitaongezeka kwa, i.e. kiasi kilichopatikana wakati huo kitazidishwa tena na kadhalika. Hali sawa ilivyoelezwa katika matatizo ya kuhesabu kinachojulikana maslahi ya kiwanja- asilimia inachukuliwa kila wakati kutoka kwa kiasi kilicho kwenye akaunti, kwa kuzingatia maslahi ya awali. Tutazungumza juu ya kazi hizi baadaye kidogo.

Kuna mengi zaidi kesi rahisi, ambapo maendeleo ya kijiometri hutumiwa. Kwa mfano, kuenea kwa mafua: mtu aliambukiza mtu mwingine, wao, kwa upande wake, waliambukiza mtu mwingine, na hivyo wimbi la pili la maambukizi ni mtu, na wao, kwa upande wake, waliambukiza mwingine ... na kadhalika. .

Kwa njia, piramidi ya kifedha, MMM sawa, ni hesabu rahisi na kavu kulingana na mali ya maendeleo ya kijiometri. Inavutia? Hebu tufikirie.

Maendeleo ya kijiometri.

Wacha tuseme tunayo mlolongo wa nambari:

Utajibu mara moja kwamba hii ni rahisi na jina la mlolongo huo ni maendeleo ya hesabu na tofauti ya masharti yake. Vipi kuhusu hii:

Ukiondoa ile iliyotangulia kutoka kwa nambari inayofuata, utaona kila wakati unapopata tofauti mpya(n.k.), lakini mlolongo hakika upo na ni rahisi kugundua - kila moja nambari inayofuata mara zaidi ya ile iliyopita!

Aina hii ya mlolongo wa nambari inaitwa maendeleo ya kijiometri na imeteuliwa.

Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila muda, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, umeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Vizuizi ambavyo muhula wa kwanza ( ) si sawa na sio nasibu. Wacha tufikirie kuwa hakuna, na neno la kwanza bado ni sawa, na q ni sawa na, hmm .. iwe hivyo, basi inageuka:

Kubali kuwa hii sio maendeleo tena.

Kama unavyoelewa, tutapata matokeo sawa ikiwa kuna nambari yoyote isipokuwa sifuri, a. Katika visa hivi, hakutakuwa na maendeleo, kwani safu nzima ya nambari itakuwa zero zote, au nambari moja, na zingine zote zitakuwa sifuri.

Sasa hebu tuzungumze kwa undani zaidi juu ya denominator ya maendeleo ya kijiometri, yaani, o.

Wacha turudie: - hii ndio nambari kila neno linalofuata linabadilika mara ngapi? maendeleo ya kijiometri.

Unafikiri inaweza kuwa nini? Hiyo ni kweli, chanya na hasi, lakini sio sifuri (tulizungumza juu ya hii juu kidogo).

Wacha tuchukue kuwa yetu ni chanya. Hebu kwa upande wetu, a. Je, muhula wa pili una thamani gani na? Unaweza kujibu kwa urahisi kwamba:

Hiyo ni sawa. Ipasavyo, ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya mwendelezo yana ishara sawa- Wao ni chanya.

Je, ikiwa ni hasi? Kwa mfano, a. Je, muhula wa pili una thamani gani na?

Hii ni hadithi tofauti kabisa

Jaribu kuhesabu masharti ya maendeleo haya. Ulipata kiasi gani? Nimewahi. Kwa hivyo, ikiwa, basi ishara za masharti ya maendeleo ya kijiometri hubadilishana. Hiyo ni, ikiwa unaona maendeleo na ishara za kubadilishana kwa wanachama wake, basi denominator yake ni mbaya. Ujuzi huu unaweza kukusaidia kujijaribu wakati wa kutatua shida kwenye mada hii.

Sasa hebu tufanye mazoezi kidogo: jaribu kubainisha ni mlolongo wa nambari gani ni mwendelezo wa kijiometri na ni upi maendeleo ya hesabu:

Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:

• Maendeleo ya kijiometri - 3, 6.
• Maendeleo ya hesabu - 2, 4.
• Sio hesabu au maendeleo ya kijiometri - 1, 5, 7.

Hebu turudi kwenye mwendelezo wetu wa mwisho na tujaribu kutafuta mwanachama wake, kama tu katika hesabu. Kama unavyoweza kukisia, kuna njia mbili za kuipata.

Tunazidisha kila muhula kwa mfululizo.

Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya kijiometri iliyoelezewa ni sawa na.

Kama ulivyokisia tayari, sasa wewe mwenyewe utapata formula ambayo itakusaidia kupata mwanachama yeyote wa maendeleo ya kijiometri. Au tayari umejitengenezea mwenyewe, ukielezea jinsi ya kupata mwanachama wa hatua kwa hatua? Ikiwa ndivyo, basi angalia usahihi wa hoja yako.

Wacha tuonyeshe hili kwa mfano wa kupata muhula wa maendeleo haya:

Kwa maneno mengine:

Pata thamani ya muda wa maendeleo uliyopewa ya kijiometri mwenyewe.

Imetokea? Wacha tulinganishe majibu yetu:

Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na katika njia ya awali, tulipozidisha mfululizo kwa kila neno la awali la maendeleo ya kijiometri.
Hebu jaribu "depersonalize" formula hii- Wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:

Fomula inayotokana ni kweli kwa thamani zote - chanya na hasi. Angalia hili mwenyewe kwa kuhesabu masharti ya maendeleo ya kijiometri na masharti yafuatayo:, A.

Je, ulihesabu? Wacha tulinganishe matokeo:

Kubali kwamba itawezekana kupata muda wa kuendelea kwa njia sawa na neno, hata hivyo, kuna uwezekano wa kuhesabu vibaya. Na ikiwa tayari tumepata neno la th la maendeleo ya kijiometri, basi ni nini kinachoweza kuwa rahisi zaidi kuliko kutumia sehemu "iliyopunguzwa" ya formula.

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri.

Hivi majuzi, tulizungumza juu ya kile kinachoweza kuwa kikubwa au chini ya sifuri, hata hivyo, kuna maana maalum ambayo maendeleo ya kijiometri inaitwa kupungua kabisa.

Unafikiri kwa nini jina hili limepewa?
Kwanza, hebu tuandike maendeleo ya kijiometri inayojumuisha istilahi.
Hebu tuseme, basi:

Tunaona kwamba kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita kwa sababu fulani, lakini kutakuwa na nambari yoyote? Utajibu mara moja - "hapana". Ndio maana inapungua sana - inapungua na inapungua, lakini kamwe inakuwa sifuri.

Ili kuelewa wazi jinsi hii inaonekana kuibua, hebu jaribu kuchora grafu ya maendeleo yetu. Kwa hivyo, kwa upande wetu, formula inachukua fomu ifuatayo:

Kwenye grafu tumezoea kupanga utegemezi, kwa hivyo:

Kiini cha usemi hakijabadilika: katika ingizo la kwanza tulionyesha utegemezi wa thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri kwenye nambari yake ya kawaida, na katika ingizo la pili tulichukua tu thamani ya mshiriki wa maendeleo ya kijiometri kama. , na kuteua nambari ya ordinal sio kama, lakini kama. Kinachobaki kufanywa ni kutengeneza grafu.
Hebu tuone una nini. Hii ndio grafu niliyokuja nayo:

Je, unaona? Kazi hupungua, huwa na sifuri, lakini haivuki kamwe, kwa hiyo inapungua sana. Wacha tuweke alama alama zetu kwenye grafu, na wakati huo huo kuratibu na inamaanisha nini:

Jaribu kuonyesha kimkakati grafu ya maendeleo ya kijiometri ikiwa muhula wake wa kwanza pia ni sawa. Chunguza ni tofauti gani na grafu yetu ya awali?

Je, uliweza? Hii ndio grafu niliyokuja nayo:

Sasa kwa kuwa umeelewa kikamilifu misingi ya mada ya maendeleo ya kijiometri: unajua ni nini, unajua jinsi ya kupata muda wake, na pia unajua ni nini maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa ukomo, hebu tuendelee kwenye mali yake kuu.

Mali ya maendeleo ya kijiometri.

Je, unakumbuka mali ya masharti ya maendeleo ya hesabu? Ndio, ndio, jinsi ya kupata thamani nambari fulani maendeleo, wakati kuna maadili ya awali na ya baadaye ya wanachama wa maendeleo haya. Unakumbuka? Hii:

Sasa tunakabiliwa na swali sawa kwa masharti ya maendeleo ya kijiometri. Ili kujiondoa formula sawa, wacha tuanze kuchora na kutoa hoja. Utaona, ni rahisi sana, na ukisahau, unaweza kujiondoa mwenyewe.

Hebu tuchukue maendeleo mengine rahisi ya kijiometri, ambayo tunajua na. Jinsi ya kupata? Kwa maendeleo ya hesabu ni rahisi na rahisi, lakini vipi kuhusu hapa? Kwa kweli, hakuna chochote ngumu katika jiometri - unahitaji tu kuandika kila thamani tuliyopewa kulingana na fomula.

Unaweza kuuliza, tufanye nini kuhusu hilo sasa? Ndiyo, rahisi sana. Kwanza, hebu tuonyeshe fomula hizi kwenye picha na tujaribu kufanya ghiliba kadhaa nazo ili kufikia thamani.

Wacha tuchukue kutoka kwa nambari ambazo tumepewa, wacha tuzingatie usemi wao kupitia fomula. Tunahitaji kupata thamani iliyoangaziwa machungwa, kujua wanachama walio karibu nayo. Hebu jaribu kuzalisha nao vitendo mbalimbali, kama matokeo ambayo tunaweza kupata.

Nyongeza.
Wacha tujaribu kuongeza misemo miwili na tupate:

Kutoka kujieleza, kama unavyoona, hatuwezi kuielezea kwa njia yoyote, kwa hivyo, tutajaribu chaguo jingine - kutoa.

Kutoa.

Kama unavyoona, hatuwezi kuelezea hii pia, kwa hivyo, wacha tujaribu kuzidisha misemo hii kwa kila mmoja.

Kuzidisha.

Sasa angalia kwa uangalifu kile tulicho nacho kwa kuzidisha masharti ya maendeleo ya kijiometri tuliyopewa kwa kulinganisha na kile kinachohitajika kupatikana:

Nadhani ninazungumzia nini? Hiyo ni kweli, kupata tunahitaji kuchukua Kipeo kutoka kwa nambari za maendeleo za kijiometri zilizo karibu na zinazohitajika zikizidishwa kwa kila mmoja:

Haya basi. Wewe mwenyewe ulipata mali ya maendeleo ya kijiometri. Jaribu kuandika fomula hii ndani mtazamo wa jumla. Imetokea?

Umesahau hali ya? Fikiria kwa nini ni muhimu, kwa mfano, jaribu kuhesabu mwenyewe. Nini kitatokea katika kesi hii? Hiyo ni kweli, upuuzi kamili kwa sababu fomula inaonekana kama hii:

Ipasavyo, usisahau kizuizi hiki.

Sasa hebu tuhesabu ni nini sawa

Jibu sahihi - ! Ikiwa haukusahau ya pili wakati wa kuhesabu maana inayowezekana, basi wewe ni mtu mzuri na unaweza kuendelea na mafunzo mara moja, na ikiwa umesahau, soma kile kinachojadiliwa hapa chini na uangalie kwa nini ni muhimu kuandika mizizi yote katika jibu.

Hebu tuchore maendeleo yetu yote ya kijiometri - moja ikiwa na thamani na nyingine yenye thamani na tuangalie ikiwa zote mbili zina haki ya kuwepo:

Ili kuangalia ikiwa maendeleo kama haya ya kijiometri yapo au la, ni muhimu kuona ikiwa ni sawa kati ya yote. waliopewa wanachama? Piga hesabu q kwa kesi ya kwanza na ya pili.

Unaona kwa nini tunapaswa kuandika majibu mawili? Kwa sababu ishara ya neno unalotafuta inategemea ikiwa ni chanya au hasi! Na kwa kuwa hatujui ni nini, tunahitaji kuandika majibu yote kwa pamoja na minus.

Sasa kwa kuwa umefahamu mambo makuu na kupata fomula ya mali ya maendeleo ya kijiometri, pata, kujua na

Linganisha majibu yako na yaliyo sahihi:

Unafikiria nini, ikiwa hatungepewa maadili ya masharti ya maendeleo ya kijiometri karibu na nambari inayotaka, lakini sawa na hiyo. Kwa mfano, tunahitaji kupata, na kupewa na. Je, tunaweza kutumia fomula tuliyopata katika kesi hii? Jaribu kuthibitisha au kukanusha uwezekano huu kwa njia ile ile, ukielezea kila thamani inajumuisha nini, kama ulivyofanya ulipopata fomula hapo awali.
Ulipata nini?

Sasa angalia tena kwa makini.
na sambamba:

Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa fomula inafanya kazi sio tu na jirani na masharti yaliyohitajika ya maendeleo ya kijiometri, lakini pia na usawa kutoka kwa kile ambacho wanachama wanatafuta.

Kwa hivyo, formula yetu ya awali inachukua fomu:

Hiyo ni, ikiwa katika kesi ya kwanza tulisema hivyo, sasa tunasema kwamba inaweza kuwa sawa na yoyote nambari ya asili, ambayo ni ndogo. Jambo kuu ni kwamba ni sawa kwa nambari zote mbili zilizopewa.

Fanya mazoezi mifano maalum, tu kuwa makini sana!

1. , . Tafuta.
2. , . Tafuta.
3. , . Tafuta.

Aliamua? Natumai ulikuwa makini sana na umeona samaki mdogo.

Hebu tulinganishe matokeo.

Katika visa viwili vya kwanza, tunatumia fomula hapo juu kwa utulivu na kupata maadili yafuatayo:

Katika kesi ya tatu, juu ya uchunguzi wa karibu nambari za serial nambari tulizopewa, tunaelewa kuwa sio sawa kutoka kwa nambari tunayotafuta: ni tarehe iliyopita, lakini huondolewa kwenye nafasi, kwa hiyo haiwezekani kutumia formula.

Jinsi ya kutatua? Kwa kweli sio ngumu kama inavyoonekana! Wacha tuandike ni nini kila nambari tuliyopewa na nambari tunayotafuta inajumuisha.

Kwa hivyo tunayo na. Hebu tuone nini tunaweza kufanya nao? Ninapendekeza kugawanya kwa. Tunapata:

Tunabadilisha data yetu katika fomula:

Hatua inayofuata tunaweza kupata - kwa hili tunahitaji kuchukua mizizi ya mchemraba kutoka kwa nambari inayotokana.

Sasa tuangalie tena tulichonacho. Tunayo, lakini tunahitaji kuipata, nayo, kwa upande wake, ni sawa na:

Tulipata data zote muhimu kwa hesabu. Badilisha katika fomula:

Jibu letu: .

Jaribu kutatua shida nyingine kama hiyo mwenyewe:
Imetolewa:,
Tafuta:

Ulipata kiasi gani? Nina -.

Kama unaweza kuona, kimsingi unahitaji kumbuka formula moja tu-. Unaweza kuondoa wengine wote mwenyewe bila ugumu wowote wakati wowote. Ili kufanya hivyo, andika tu maendeleo rahisi ya kijiometri kwenye kipande cha karatasi na uandike ni nini kila nambari yake ni sawa, kulingana na fomula iliyoelezwa hapo juu.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.

Sasa hebu tuangalie fomula zinazoturuhusu kuhesabu haraka jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri katika muda fulani:

Ili kupata fomula ya jumla ya masharti ya kuendelea kwa kijiometri yenye ukomo, zidisha sehemu zote za mlinganyo ulio hapo juu kwa. Tunapata:

Angalia kwa makini: fomula mbili za mwisho zinafanana nini? Hiyo ni kweli, wanachama wa kawaida, kwa mfano, na kadhalika, isipokuwa kwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho. Wacha tujaribu kutoa 1 kutoka kwa mlinganyo wa 2. Ulipata nini?

Sasa eleza neno la maendeleo ya kijiometri kupitia fomula na ubadilishe usemi unaotokana na fomula yetu ya mwisho:

Panga usemi. Unapaswa kupata:

Kinachobaki kufanywa ni kueleza:

Ipasavyo, katika kesi hii.

Nini kama? Ni formula gani inafanya kazi basi? Hebu fikiria maendeleo ya kijiometri katika. Mwanamke huyo anafananaje? Safu mlalo sahihi nambari zinazofanana, ipasavyo formula itaonekana kama hii:

Kuna hadithi nyingi kuhusu maendeleo ya hesabu na kijiometri. Mmoja wao ni hadithi ya Set, muundaji wa chess.

Watu wengi wanajua kuwa mchezo wa chess ulizuliwa nchini India. Mfalme wa Kihindu alipokutana naye, alifurahishwa na akili yake na nyadhifa mbalimbali zinazowezekana ndani yake. Baada ya kujua kwamba ilivumbuliwa na mmoja wa raia wake, mfalme aliamua kumtuza kibinafsi. Alimwita mvumbuzi kwake na kumwamuru amuulize kila kitu anachotaka, akiahidi kutimiza hata hamu ya ustadi zaidi.

Seta aliomba muda wa kufikiria, na siku iliyofuata Seta alipotokea mbele ya mfalme, alimshangaza mfalme kwa unyenyekevu usio na kifani wa ombi lake. Aliuliza kutoa nafaka ya ngano kwa mraba wa kwanza wa chessboard, nafaka ya ngano kwa pili, nafaka ya ngano kwa tatu, nne, nk.

Mfalme alikasirika na kumfukuza Sethi, akisema kwamba ombi la mtumishi halistahili ukarimu wa mfalme, lakini aliahidi kwamba mtumishi angepokea nafaka zake kwa viwanja vyote vya bodi.

Na sasa swali: kwa kutumia formula kwa jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri, uhesabu ni nafaka ngapi Seth inapaswa kupokea?

Hebu tuanze hoja. Kwa kuwa, kulingana na hali hiyo, Seth aliomba nafaka ya ngano kwa mraba wa kwanza wa chessboard, kwa pili, kwa tatu, kwa nne, nk, basi tunaona kwamba katika tatizo. tunazungumzia kuhusu maendeleo ya kijiometri. Je, ni sawa katika kesi hii?
Haki.

Jumla ya mraba wa chessboard. Kwa mtiririko huo,. Tuna data zote, kilichobaki ni kuziba kwenye fomula na kuhesabu.

Kufikiria angalau takriban "kiwango" nambari iliyopewa, badilisha kwa kutumia sifa za shahada:

Bila shaka, ikiwa unataka, unaweza kuchukua calculator na kuhesabu nambari gani unayomaliza, na ikiwa sio, itabidi kuchukua neno langu kwa hilo: thamani ya mwisho ya kujieleza itakuwa.
Hiyo ni:

trilioni quadrillion bilioni milioni elfu.

Phew) Ikiwa ungependa kufikiria ukubwa wa nambari hii, basi kadiria ni ghala kubwa kiasi gani lingehitajika kuchukua kiasi kizima cha nafaka.
Ikiwa ghalani ni m juu na m upana, urefu wake ungepaswa kupanua km, i.e. mara mbili ya umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua.

Ikiwa mfalme alikuwa na nguvu katika hisabati, angeweza kumwalika mwanasayansi mwenyewe kuhesabu nafaka, kwa sababu kuhesabu nafaka milioni, angehitaji angalau siku ya kuhesabu bila kuchoka, na kutokana na kwamba ni muhimu kuhesabu quintillions, nafaka. itabidi ihesabiwe katika maisha yake yote.

Sasa hebu tutatue tatizo rahisi linalohusisha jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.
Mwanafunzi wa darasa la 5A Vasya aliugua homa, lakini anaendelea kwenda shule. Kila siku Vasya huwaambukiza watu wawili, ambao, kwa upande wake, huwaambukiza watu wawili zaidi, na kadhalika. Kuna watu tu darasani. Je! ni siku ngapi darasa zima litakuwa wagonjwa na mafua?

Kwa hiyo, muda wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni Vasya, yaani, mtu. Muda wa th wa maendeleo ya kijiometri ni watu wawili aliowaambukiza siku ya kwanza ya kuwasili kwake. Jumla wanachama wa maendeleo ni sawa na idadi ya wanafunzi katika 5A. Ipasavyo, tunazungumza juu ya maendeleo ambayo:

Wacha tubadilishe data yetu katika fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri:

Darasa zima litaugua ndani ya siku chache. Je, huamini kanuni na nambari? Jaribu kuonyesha "maambukizi" ya wanafunzi mwenyewe. Imetokea? Angalia jinsi inavyoonekana kwangu:

Jihesabu mwenyewe ni siku ngapi itachukua kwa wanafunzi kuugua homa ikiwa kila mmoja angemwambukiza mtu, na kulikuwa na mtu mmoja tu darasani.

Ulipata thamani gani? Ilibadilika kuwa kila mtu alianza kuugua baada ya siku.

Kama unavyoona, kazi sawa na kuchora kwake kunafanana na piramidi, ambayo kila baadae "huleta" watu wapya. Hata hivyo, mapema au baadaye wakati unakuja wakati mwisho hauwezi kuvutia mtu yeyote. Kwa upande wetu, ikiwa tunafikiria kuwa darasa limetengwa, mtu kutoka hufunga mnyororo (). Kwa hivyo, ikiwa mtu alihusika katika piramidi ya kifedha, ambayo pesa ilitolewa ikiwa utaleta washiriki wengine wawili, basi mtu (au kesi ya jumla) haingeleta mtu yeyote, na kwa hivyo wangepoteza kila kitu walichowekeza katika kashfa hii ya kifedha.

Kila kitu kilichosemwa hapo juu kinarejelea kupungua au kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri, lakini, kama unavyokumbuka, tunayo. aina maalum- maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana. Jinsi ya kuhesabu jumla ya wanachama wake? Na kwa nini aina hii ya maendeleo ina vipengele fulani? Hebu tufikirie pamoja.

Kwa hivyo, kwanza, hebu tuangalie tena mchoro huu wa ukuaji wa kijiometri unaopungua sana kutoka kwa mfano wetu:

Sasa hebu tuangalie fomula ya jumla ya maendeleo ya kijiometri, inayotokana mapema kidogo:
au

Je, tunajitahidi nini? Hiyo ni kweli, grafu inaonyesha kuwa inaelekea sifuri. Hiyo ni, saa, itakuwa karibu sawa, kwa mtiririko huo, wakati wa kuhesabu usemi tutapata karibu. Katika suala hili, tunaamini kwamba wakati wa kuhesabu jumla ya maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa kiasi kikubwa, bracket hii inaweza kupuuzwa, kwa kuwa itakuwa sawa.

- fomula ni jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inatamka wazi kwamba tunahitaji kupata jumla. usio na mwisho idadi ya wanachama.

Ikiwa nambari maalum n imebainishwa, basi tunatumia fomula ya jumla ya maneno n, hata kama au.

Sasa tujizoeze.

1. Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri na.
2. Tafuta jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na na.

Natumai ulikuwa makini sana. Wacha tulinganishe majibu yetu:

Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri, na ni wakati wa kuondoka kutoka kwa nadharia hadi mazoezi. Matatizo ya kawaida ya maendeleo ya kijiometri yaliyopatikana kwenye mtihani ni matatizo ya kuhesabu riba kiwanja. Hawa ndio tutazungumza.

Matatizo katika kukokotoa riba kiwanja.

Pengine umewahi kusikia kuhusu formula inayoitwa kiwanja cha riba. Unaelewa maana yake? Ikiwa sivyo, hebu tufikirie, kwa sababu mara tu unapoelewa mchakato yenyewe, utaelewa mara moja ni nini maendeleo ya kijiometri yanahusiana nayo.

Sote tunaenda benki na tunajua kuwa wapo hali tofauti juu ya amana: hii ni muda, na huduma ya ziada, na riba na mbili njia tofauti mahesabu yake - rahisi na ngumu.

NA maslahi rahisi kila kitu kiko wazi zaidi au kidogo: riba hukusanywa mara moja mwishoni mwa muda wa kuweka akiba. Hiyo ni, ikiwa tunasema kwamba tunaweka rubles 100 kwa mwaka, basi watahesabiwa tu mwishoni mwa mwaka. Ipasavyo, mwisho wa amana tutapokea rubles.

Maslahi ya pamoja- hii ni chaguo ambalo hutokea mtaji wa riba, i.e. kuongeza kwao kwa kiasi cha amana na hesabu inayofuata ya mapato sio kutoka kwa awali, lakini kutoka kwa kiasi cha amana kilichokusanywa. Mtaji haufanyiki kila mara, lakini kwa masafa fulani. Kama sheria, vipindi kama hivyo ni sawa na mara nyingi benki hutumia mwezi, robo au mwaka.

Hebu tufikiri kwamba tunaweka rubles sawa kila mwaka, lakini kwa mtaji wa kila mwezi wa amana. Tunafanya nini?

Unaelewa kila kitu hapa? Ikiwa sivyo, hebu tufikirie hatua kwa hatua.

Tulileta rubles kwa benki. Kufikia mwisho wa mwezi, tunapaswa kuwa na kiasi katika akaunti yetu inayojumuisha rubles zetu pamoja na riba kwao, ambayo ni:

Kubali?

Tunaweza kuiondoa kwenye mabano kisha tukapata:

Kukubaliana, fomula hii tayari inafanana zaidi na ile tuliyoandika mwanzoni. Kilichobaki ni kujua asilimia

Katika taarifa ya tatizo tunaambiwa kuhusu viwango vya kila mwaka. Kama unavyojua, hatuzidishi kwa - tunabadilisha asilimia kuwa desimali, hiyo ni:

Haki? Sasa unaweza kuuliza, nambari ilitoka wapi? Rahisi sana!
Narudia: taarifa ya tatizo inasema kuhusu MWAKA maslahi yanayoongezeka MWEZI. Kama unavyojua, katika mwaka wa miezi, ipasavyo, benki itatutoza sehemu ya riba ya kila mwaka kwa mwezi:

Je, umeitambua? Sasa jaribu kuandika jinsi sehemu hii ya fomula ingeonekana kama ningesema kwamba riba inakokotolewa kila siku.
Je, uliweza? Wacha tulinganishe matokeo:

Umefanya vizuri! Wacha turudi kwenye kazi yetu: andika ni kiasi gani kitakachowekwa kwa akaunti yetu katika mwezi wa pili, kwa kuzingatia kwamba riba inakusanywa kwa kiasi cha amana kilichokusanywa.
Hivi ndivyo nilipata:

Au, kwa maneno mengine:

Nadhani tayari umeona muundo na kuona maendeleo ya kijiometri katika haya yote. Andika ni kiasi gani mwanachama wake atakuwa sawa na, au, kwa maneno mengine, ni kiasi gani cha pesa tutapokea mwishoni mwa mwezi.
Je! Hebu tuangalie!

Kama unaweza kuona, ikiwa utaweka pesa katika benki kwa mwaka kwa kiwango cha riba rahisi, utapokea rubles, na ikiwa kwa kiwango cha riba ya kiwanja, utapokea rubles. Faida ni ndogo, lakini hii hutokea tu katika mwaka wa th, lakini kwa zaidi muda mrefu mtaji ni faida zaidi:

Wacha tuangalie aina nyingine ya shida: maslahi ya kiwanja. Baada ya kile ulichogundua, itakuwa ya msingi kwako. Kwa hivyo, jukumu:

Kampuni ya Zvezda ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka wa 2000, ikiwa na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2001, imepata faida ambayo ni sawa na mtaji wa mwaka uliopita. Je, kampuni ya Zvezda itapokea faida ngapi mwishoni mwa 2003 ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2000.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2001.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2002.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2003.

Au tunaweza kuandika kwa ufupi:

Kwa kesi yetu:

2000, 2001, 2002 na 2003.

Mtawalia:
rubles
Tafadhali kumbuka kuwa katika tatizo hili hatuna mgawanyiko ama kwa au kwa, kwa kuwa asilimia hutolewa MWAKA na inakokotolewa MWAKA. Hiyo ni, wakati wa kusoma shida juu ya riba ya kiwanja, makini na asilimia gani inayotolewa na katika kipindi gani imehesabiwa, na kisha tu kuendelea na mahesabu.
Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri.

Mafunzo.

1. Pata muda wa maendeleo ya kijiometri ikiwa inajulikana kuwa, na
2. Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri ikiwa inajulikana kuwa, na
3. Kampuni ya MDM Capital ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka wa 2003, ikiwa na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2004, imepata faida ambayo ni sawa na mtaji wa mwaka uliopita. kampuni ya MSK Mtiririko wa pesa“alianza kuwekeza kwenye sekta hiyo mwaka 2005 kwa kiasi cha dola 10,000, na kuanza kupata faida mwaka 2006 kiasi cha. Je, ni kwa dola ngapi mtaji wa kampuni moja ni mkubwa kuliko nyingine mwishoni mwa 2007, ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Majibu:

1. Kwa kuwa taarifa ya shida haisemi kuwa maendeleo hayana mwisho na unahitaji kupata jumla nambari maalum wanachama wake, basi hesabu hufanywa kulingana na formula:
2. 
   Kampuni ya MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - huongezeka kwa 100%, yaani, mara 2.
   Mtawalia:
   rubles
   Kampuni ya MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - huongezeka kwa, yaani, kwa nyakati.
   Mtawalia:
   rubles
   rubles

Hebu tufanye muhtasari.

1) Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila muda, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, umeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

2) Mlinganyo wa masharti ya maendeleo ya kijiometri ni.

3) inaweza kuchukua maadili yoyote isipokuwa na.

• ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya maendeleo yana ishara sawa - wao ni chanya;
• ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya mwendelezo ishara mbadala;
• wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

4) , na - mali ya maendeleo ya kijiometri (maneno ya karibu)

au
, kwa (masharti ya usawa)

Unapoipata, usisahau hilo kuwe na majibu mawili.

Kwa mfano,

5) Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri huhesabiwa na formula:
au

Ikiwa maendeleo yanapungua sana, basi:
au

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inasema wazi kwamba tunahitaji kupata jumla ya idadi isiyo na kikomo ya maneno.

6) Matatizo yanayohusisha riba ya mchanganyiko pia hukokotwa kwa kutumia fomula ya muhula wa kijiometri, mradi tu fedha taslimu hazijaondolewa kutoka kwa mzunguko:

MAENDELEO YA JIometri. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Maendeleo ya kijiometri( ) ni mlolongo wa nambari, neno la kwanza ambalo ni tofauti na sifuri, na kila neno, kuanzia la pili, ni sawa na la awali, lililozidishwa na nambari sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Denominator ya maendeleo ya kijiometri inaweza kuchukua thamani yoyote isipokuwa na.

• Ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya maendeleo yana ishara sawa - ni chanya;
• ikiwa, basi wanachama wote wanaofuata wa ishara za maendeleo hubadilishana;
• wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

Equation ya masharti ya maendeleo ya kijiometri - .

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri imehesabiwa kwa formula:
au