Na video hii ninaanza mfululizo mrefu wa masomo kuhusu milinganyo ya logarithmic. Sasa una mifano mitatu mbele yako, kwa misingi ambayo tutajifunza kutatua zaidi kazi rahisi, ambazo zinaitwa hivyo - protozoa.
logi 0.5 (3x - 1) = -3
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe kuwa equation rahisi zaidi ya logarithmic ni ifuatayo:
logi a f (x) = b
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba variable x iko tu ndani ya hoja, yaani, tu katika kazi f (x). Na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna vitendaji vyenye mabadiliko ya x.
Njia za msingi za suluhisho
Kuna njia nyingi za kutatua miundo kama hiyo. Kwa mfano, walimu wengi shuleni hutoa mbinu hii: Eleza mara moja chaguo la kukokotoa f (x) ukitumia fomula f ( x) = a b. Hiyo ni, unapokutana na ujenzi rahisi zaidi, unaweza kuendelea mara moja kwenye suluhisho bila vitendo vya ziada na ujenzi.
Ndiyo, bila shaka, uamuzi utakuwa sahihi. Walakini, shida ya fomula hii ni kwamba wanafunzi wengi sielewi, inatoka wapi na kwa nini tunainua herufi a hadi herufi b.
Matokeo yake, mara nyingi mimi huona makosa ya kukasirisha sana wakati, kwa mfano, barua hizi zinabadilishwa. Njia hii lazima ieleweke au kubatizwa, na njia ya pili husababisha makosa kwa wakati usiofaa na muhimu zaidi: wakati wa mitihani, majaribio, nk.
Ndio maana ninapendekeza kwa wanafunzi wangu wote kuachana na fomula ya kawaida ya shule na kutumia mbinu ya pili kutatua milinganyo ya logarithmic, ambayo, kama unavyokisia kutoka kwa jina, inaitwa. fomu ya kisheria.
Wazo la fomu ya kisheria ni rahisi. Wacha tuangalie shida yetu tena: upande wa kushoto tuna logi a, na kwa herufi a tunamaanisha nambari, na kwa hali yoyote hakuna kazi iliyo na nambari ya x. Kwa hiyo, barua hii inakabiliwa na vikwazo vyote vinavyowekwa kwa msingi wa logarithm. yaani:
1 ≠ a > 0
Kwa upande mwingine, kutoka kwa equation sawa tunaona kwamba logarithm lazima iwe sawa na nambari b , na hakuna vizuizi vilivyowekwa kwenye barua hii, kwa sababu inaweza kuchukua maadili yoyote - chanya na hasi. Yote inategemea ni maadili gani kazi f(x) inachukua.
Na hapa tunakumbuka sheria yetu nzuri kwamba nambari yoyote b inaweza kuwakilishwa kama logariti hadi msingi wa a hadi nguvu ya b:
b = logi a b
Jinsi ya kukumbuka formula hii? Ndiyo, rahisi sana. Wacha tuandike muundo ufuatao:
b = b 1 = b logi a
Bila shaka, katika kesi hii vikwazo vyote ambavyo tuliandika mwanzoni hutokea. Sasa hebu tutumie sifa ya msingi ya logarithm na tutambulishe kizidishi b kama nguvu ya a. Tunapata:
b = b 1 = b logi a = logi a b
Kama matokeo, equation ya asili itaandikwa tena kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a b → f (x) = a b
Ni hayo tu. Kipengele kipya haina logariti tena na inaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu sanifu za aljebra.
Bila shaka, mtu sasa atapinga: kwa nini ilikuwa ni lazima kuja na aina fulani ya fomula ya kisheria kabisa, kwa nini kufanya hatua mbili za ziada zisizohitajika ikiwa inawezekana kuondoka mara moja kutoka kwa muundo wa awali hadi kwa fomula ya mwisho? Ndiyo, ikiwa tu kwa sababu wanafunzi wengi hawaelewi fomula hii inatoka wapi na, kwa sababu hiyo, hufanya makosa mara kwa mara wanapoitumia.
Lakini mlolongo huu wa vitendo, unaojumuisha hatua tatu, hukuruhusu kutatua equation ya asili ya logarithmic, hata ikiwa hauelewi fomula ya mwisho inatoka wapi. Japo kuwa, fomula ya kisheria Ingizo hili linaitwa:
logi a f (x) = logi a a b
Urahisi wa fomu ya kisheria pia iko katika ukweli kwamba inaweza kutumika kutatua darasa pana sana la equations za logarithmic, na sio tu rahisi zaidi tunayozingatia leo.
Mifano ya ufumbuzi
Sasa hebu tuangalie mifano halisi. Kwa hivyo, wacha tuamue:
logi 0.5 (3x - 1) = -3
Wacha tuiandike tena kama hii:
gogo 0.5 (3x − 1) = logi 0.5 0.5 -3
Wanafunzi wengi wana haraka na wanajaribu kuinua mara moja nambari 0.5 kwa nguvu ambayo ilitujia kutoka kwa shida ya asili. Hakika, wakati tayari umefunzwa vizuri katika kutatua shida kama hizo, unaweza kufanya hatua hii mara moja.
Walakini, ikiwa sasa unaanza kusoma mada hii, ni bora usikimbilie popote ili kuzuia kufanya makosa ya kukasirisha. Kwa hivyo, tunayo fomu ya kisheria. Tuna:
3x − 1 = 0.5 -3
Huu sio tena mlinganyo wa logarithmic, lakini ni mstari kuhusiana na mabadiliko ya x. Ili kuitatua, hebu kwanza tuangalie nambari 0.5 kwa nguvu ya -3. Kumbuka kuwa 0.5 ni 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Wote desimali badilisha kuwa za kawaida unapotatua mlinganyo wa logarithmic.
Tunaandika tena na kupata:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Ni hayo tu, tumepata jibu. Tatizo la kwanza limetatuliwa.
Jukumu la pili
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kama tunavyoona, equation hii sio rahisi zaidi. Ikiwa tu kwa sababu kuna tofauti upande wa kushoto, na sio logarithm moja kwa msingi mmoja.
Kwa hiyo, tunahitaji kwa namna fulani kuondokana na tofauti hii. KATIKA kwa kesi hii kila kitu ni rahisi sana. Wacha tuangalie kwa karibu besi: upande wa kushoto ni nambari iliyo chini ya mzizi:
Mapendekezo ya jumla: katika hesabu zote za logarithmic, jaribu kuondoa radicals, i.e., kutoka kwa maingizo na mizizi na uendelee kazi za nguvu, kwa sababu tu vielelezo vya mamlaka haya hutolewa kwa urahisi nje ya ishara ya logariti na, hatimaye, nukuu kama hiyo hurahisisha na kuharakisha mahesabu. Hebu tuandike kama hii:
Sasa hebu tukumbuke mali ya ajabu ya logarithm: nguvu zinaweza kupatikana kutoka kwa hoja, na pia kutoka kwa msingi. Katika kesi ya msingi, yafuatayo hufanyika:
logi a k b = 1/k nembo b
Kwa maneno mengine, nambari iliyokuwa kwenye nguvu ya msingi inaletwa mbele na wakati huo huo inageuzwa, i.e. inakuwa. nambari ya kubadilishana. Kwa upande wetu, shahada ya msingi ilikuwa 1/2. Kwa hivyo, tunaweza kuiondoa kama 2/1. Tunapata:
5 2 logi 5 x - -gogo 5 x = 18
logi 10 5 x - -logi 5 x = 18
Tafadhali kumbuka: kwa hali yoyote unapaswa kuondoa logarithms katika hatua hii. Kumbuka hesabu ya daraja la 4-5 na utaratibu wa shughuli: kuzidisha hufanywa kwanza, na kisha tu kuongeza na kutoa. Katika kesi hii, tunaondoa moja ya vitu sawa kutoka kwa vitu 10:
9 kumbukumbu 5 x = 18
logi 5 x = 2
Sasa equation yetu inaonekana kama inavyopaswa. Huu ndio ujenzi rahisi zaidi, na tunasuluhisha kwa kutumia fomu ya kisheria:
kumbukumbu 5 x = kumbukumbu 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Ni hayo tu. Tatizo la pili limetatuliwa.
Mfano wa tatu
Wacha tuendelee kwenye kazi ya tatu:
logi (x + 3) = 3 + 2 logi 5
Acha nikukumbushe formula ifuatayo:
logi b = gogo 10 b
Ikiwa kwa sababu fulani umechanganyikiwa na logi ya nukuu b , basi wakati wa kufanya mahesabu yote unaweza kuandika tu logi 10 b . Unaweza kufanya kazi na logariti za desimali kwa njia sawa na zingine: chukua mamlaka, ongeza na uwakilishe nambari zozote katika fomu lg 10.
Ni mali hizi ambazo tutatumia sasa kutatua shida, kwani sio rahisi zaidi ambayo tuliandika mwanzoni mwa somo letu.
Kwanza, kumbuka kuwa kipengele cha 2 mbele ya lg 5 kinaweza kuongezwa na kuwa nguvu ya msingi 5. Kwa kuongeza, neno la bure la 3 linaweza pia kuwakilishwa kama logarithm - hii ni rahisi sana kuchunguza kutoka kwa nukuu yetu.
Jaji mwenyewe: nambari yoyote inaweza kuwakilishwa kama logi kwa msingi wa 10:
3 = kumbukumbu 10 10 3 = kumbukumbu 10 3
Wacha tuandike tena shida ya asili kwa kuzingatia mabadiliko yaliyopatikana:
logi (x - 3) = logi 1000 + logi 25
logi (x - 3) = logi 1000 25
logi (x - 3) = gogo 25,000
Tunayo fomu ya kisheria tena, na tuliipata bila kupitia hatua ya mabadiliko, yaani, mlinganyo rahisi wa logarithmic haukuonekana popote.
Hivi ndivyo nilivyozungumza mwanzoni kabisa mwa somo. Fomu ya kisheria inakuwezesha kutatua darasa pana la matatizo kuliko kiwango cha kawaida formula ya shule, ambayo hutolewa na walimu wengi wa shule.
Kweli, ndivyo hivyo, tunaondoa ishara ya logarithm ya decimal, na tunapata muundo rahisi wa mstari:
x + 3 = 25,000
x = 24,997
Wote! Tatizo linatatuliwa.
Ujumbe juu ya upeo
Hapa ningependa kutoa maoni muhimu kuhusu wigo wa ufafanuzi. Hakika sasa kutakuwa na wanafunzi na waalimu ambao watasema: "Tunapotatua misemo kwa logariti, lazima tukumbuke kwamba hoja f (x) lazima iwe kubwa kuliko sufuri!" Katika suala hili, swali la mantiki linatokea: kwa nini hatukuhitaji usawa huu kuridhika katika matatizo yoyote yaliyozingatiwa?
Usijali. Katika kesi hizi, hakuna mizizi ya ziada itaonekana. Na hii ni hila nyingine nzuri ambayo inakuwezesha kuharakisha suluhisho. Jua tu kwamba ikiwa katika shida kutofautisha x kunatokea katika sehemu moja tu (au tuseme, katika hoja moja ya logarithm moja), na hakuna mahali pengine katika kesi yetu tofauti x inaonekana, basi andika kikoa cha ufafanuzi. hakuna haja, kwa sababu itatekelezwa kiotomatiki.
Jaji mwenyewe: katika equation ya kwanza tulipata kwamba 3x - 1, yaani hoja inapaswa kuwa sawa na 8. Hii ina maana moja kwa moja kwamba 3x - 1 itakuwa kubwa kuliko sifuri.
Kwa mafanikio sawa tunaweza kuandika kwamba katika kesi ya pili x inapaswa kuwa sawa na 5 2, i.e. hakika ni kubwa kuliko sifuri. Na katika kesi ya tatu, ambapo x + 3 = 25,000, yaani, tena, ni wazi zaidi kuliko sifuri. Kwa maneno mengine, wigo huridhika kiotomatiki, lakini tu ikiwa x hutokea tu katika hoja ya logarithm moja tu.
Hiyo ndiyo yote unayohitaji kujua ili kutatua matatizo rahisi zaidi. Sheria hii pekee, pamoja na sheria za mabadiliko, itawawezesha kutatua darasa kubwa sana la matatizo.
Lakini hebu tuwe waaminifu: ili hatimaye kuelewa mbinu hii, kujifunza jinsi ya kutumia fomu ya kisheria ya equation ya logarithmic, haitoshi tu kutazama somo moja la video. Kwa hivyo pakua chaguzi sasa hivi kwa uamuzi wa kujitegemea, ambazo zimeambatishwa kwenye somo hili la video na kuanza kusuluhisha angalau moja ya kazi hizi mbili zinazojitegemea.
Itakuchukua dakika chache halisi. Lakini matokeo ya mafunzo kama haya yatakuwa ya juu zaidi kuliko ikiwa utatazama somo hili la video tu.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa milinganyo ya logarithmic. Tumia fomu ya kisheria, kurahisisha misemo kwa kutumia sheria za kufanya kazi na logarithms - na hautaogopa shida zozote. Hiyo ndiyo yote niliyo nayo kwa leo.
Kwa kuzingatia kikoa cha ufafanuzi
Sasa hebu tuzungumze juu ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya logarithmic, na jinsi hii inathiri suluhisho la milinganyo ya logarithmic. Fikiria muundo wa fomu
logi a f (x) = b
Usemi kama huo unaitwa rahisi zaidi - una kazi moja tu, na nambari a na b ni nambari tu, na kwa hali yoyote hakuna kazi ambayo inategemea kutofautisha x. Inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana. Unahitaji tu kutumia formula:
b = logi a b
Fomula hii ni moja wapo ya sifa kuu za logarithm, na tunapobadilisha katika usemi wetu wa asili tunapata yafuatayo:
logi a f (x) = logi a a b
f (x) = a b
Hii ni fomula inayojulikana kutoka vitabu vya shule. Wanafunzi wengi labda watakuwa na swali: kwa kuwa katika usemi wa asili kazi f (x) iko chini ya ishara ya kumbukumbu, vizuizi vifuatavyo vimewekwa juu yake:
f(x) > 0
Kizuizi hiki kinatumika kwa sababu logariti ya nambari hasi haipo. Kwa hivyo, labda, kama matokeo ya kizuizi hiki, ukaguzi wa majibu unapaswa kuletwa? Labda zinahitaji kuingizwa kwenye chanzo?
Hapana, katika milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic ukaguzi wa ziada sio lazima. Na ndiyo maana. Angalia fomula yetu ya mwisho:
f (x) = a b
Ukweli ni kwamba nambari a kwa hali yoyote ni kubwa kuliko 0 - hitaji hili pia linawekwa na logarithm. Nambari A ndio msingi. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari b. Lakini hii haijalishi, kwa sababu haijalishi tunainua nambari chanya kwa nguvu gani, bado tutapata nambari chanya kwenye pato. Kwa hivyo, hitaji la f (x) > 0 linaridhika kiotomatiki.
Kinachostahili kuangaliwa ni kikoa cha chaguo za kukokotoa chini ya ishara ya kumbukumbu. Kunaweza kuwa na miundo ngumu kabisa, na hakika unahitaji kuiangalia wakati wa mchakato wa suluhisho. Hebu tuangalie.
Jukumu la kwanza:
Hatua ya kwanza: badilisha sehemu iliyo kulia. Tunapata:
Tunaondoa ishara ya logarithm na kupata equation ya kawaida isiyo na maana:
Kati ya mizizi iliyopatikana, ya kwanza tu inafaa kwetu, kwani mzizi wa pili ni chini ya sifuri. Jibu pekee litakuwa namba 9. Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa. Hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika ili kuhakikisha kuwa usemi chini ya ishara ya logarithm ni kubwa kuliko 0, kwa sababu sio tu zaidi ya 0, lakini kulingana na hali ya equation ni sawa na 2. Kwa hiyo, mahitaji "kubwa kuliko sifuri." ” inaridhika kiotomatiki.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
Kila kitu ni sawa hapa. Tunaandika upya ujenzi, kuchukua nafasi ya tatu:
Tunaondoa ishara za logarithm na kupata equation isiyo na maana:
Tunaweka pande zote mbili kwa kuzingatia vikwazo na kupata:
4 − 6x − x 2 = (x -4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Tunatatua equation inayotokana na kibaguzi:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = -1
x 2 = -6
Lakini x = −6 haitufai, kwa sababu tukibadilisha nambari hii kwa usawa wetu, tunapata:
−6 + 4 = −2 < 0
Kwa upande wetu, inahitajika kuwa kubwa kuliko 0 au, katika hali mbaya, sawa. Lakini x = −1 inatufaa:
−1 + 4 = 3 > 0
Jibu pekee katika kesi yetu litakuwa x = -1. Hilo ndilo suluhisho. Hebu turejee mwanzo kabisa wa mahesabu yetu.
Jambo kuu la kuchukua kutoka kwa somo hili ni kwamba hauitaji kuangalia vizuizi kwenye chaguo la kukokotoa katika milinganyo rahisi ya logarithmic. Kwa sababu wakati wa mchakato wa ufumbuzi vikwazo vyote ni kuridhika moja kwa moja.
Walakini, hii haimaanishi kuwa unaweza kusahau juu ya kuangalia kabisa. Katika mchakato wa kufanya kazi kwenye equation ya logarithmic, inaweza kugeuka kuwa isiyo na maana, ambayo itakuwa na vikwazo na mahitaji yake kwa upande wa kulia, ambayo tumeona leo katika mifano miwili tofauti.
Jisikie huru kutatua matatizo kama haya na uwe mwangalifu haswa ikiwa kuna mzizi katika mabishano.
Milinganyo ya logarithmic yenye misingi tofauti
Tunaendelea kusoma hesabu za logarithmic na kuangalia mbinu mbili za kuvutia zaidi ambazo ni mtindo wa kutatua miundo ngumu zaidi. Lakini kwanza, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa:
logi a f (x) = b
Katika ingizo hili, a na b ni nambari, na katika kazi f (x) kigezo x lazima kiwepo, na pale tu, yaani, x lazima iwe tu kwenye hoja. Tutabadilisha milinganyo kama hii ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, kumbuka
b = logi a b
Aidha, b ni hoja haswa. Wacha tuandike tena usemi huu kama ifuatavyo:
logi a f (x) = logi a a b
Hili ndilo hasa tunalojaribu kufikia, ili kuwe na logarithm ya msingi wa kushoto na kulia. Katika kesi hii, tunaweza, kwa kusema kwa mfano, kuvuka ishara za logi, na kutoka kwa maoni ya hesabu tunaweza kusema kwamba tunasawazisha hoja:
f (x) = a b
Matokeo yake, tutapata usemi mpya ambao utakuwa rahisi sana kutatua. Wacha tuitumie sheria hii kwa shida zetu leo.
Kwa hivyo, muundo wa kwanza:
Kwanza kabisa, ninaona kuwa upande wa kulia ni sehemu ambayo dhehebu lake ni logi. Unapoona usemi kama huu, ni wazo nzuri kukumbuka sifa nzuri ya logarithms:
Ikitafsiriwa katika Kirusi, hii ina maana kwamba logariti yoyote inaweza kuwakilishwa kama mgawo wa logariti mbili na msingi wowote c. Bila shaka 0< с ≠ 1.
Kwa hivyo: formula hii ina moja ya ajabu kesi maalum, wakati variable c ni sawa na kutofautiana b. Katika kesi hii, tunapata muundo kama huu:
Huu ndio hasa ujenzi tunaouona kutoka kwa ishara upande wa kulia katika equation yetu. Wacha tubadilishe ujenzi huu na log a b , tunapata:
Kwa maneno mengine, kwa kulinganisha na kazi ya awali, tulibadilisha hoja na msingi wa logarithm. Badala yake, ilibidi tubadilishe sehemu hiyo.
Tunakumbuka kuwa digrii yoyote inaweza kutolewa kutoka kwa msingi kulingana na sheria ifuatayo:
Kwa maneno mengine, mgawo k, ambayo ni nguvu ya msingi, inaonyeshwa kama sehemu iliyogeuzwa. Wacha tuitoe kama sehemu iliyogeuzwa:
Sababu ya sehemu haiwezi kuachwa mbele, kwa sababu katika kesi hii hatutaweza kuwakilisha nukuu hii kama fomu ya kisheria (baada ya yote, katika fomu ya kisheria hakuna sababu ya ziada kabla ya logarithm ya pili). Kwa hivyo, wacha tuongeze sehemu 1/4 kwenye hoja kama nguvu:
Sasa tunalinganisha hoja ambazo misingi yake ni sawa (na misingi yetu ni sawa), na andika:
x + 5 = 1
x = -4
Ni hayo tu. Tulipata jibu la mlinganyo wa kwanza wa logarithmic. Tafadhali kumbuka: katika tatizo la awali, kutofautiana x inaonekana katika logi moja tu, na inaonekana katika hoja yake. Kwa hivyo, hakuna haja ya kuangalia kikoa, na nambari yetu x = -4 ndio jibu.
Sasa hebu tuendelee kwenye usemi wa pili:
gogo 56 = gogo 2 logi 2 7 − 3logi (x + 4)
Hapa, pamoja na logarithms ya kawaida, tutalazimika kufanya kazi na logi f (x). Jinsi ya kutatua equation kama hiyo? Kwa mwanafunzi ambaye hajajitayarisha inaweza kuonekana kama hii ni aina fulani ya kazi ngumu, lakini kwa kweli kila kitu kinaweza kutatuliwa kwa njia ya msingi.
Angalia kwa karibu neno lg 2 logi 2 7. Tunaweza kusema nini kuhusu hilo? Misingi na hoja za logi na lg ni sawa, na hii inapaswa kutoa maoni kadhaa. Wacha tukumbuke tena jinsi nguvu zinatolewa kutoka chini ya ishara ya logarithm:
log a b n = nlog a b
Kwa maneno mengine, nini ilikuwa nguvu ya b katika hoja inakuwa sababu mbele ya logi yenyewe. Hebu tutumie fomula hii kwa kujieleza lg 2 logi 2 7. Usiogope na lg 2 - hii ndiyo usemi wa kawaida zaidi. Unaweza kuiandika tena kama ifuatavyo:
Sheria zote zinazotumika kwa logarithm nyingine yoyote ni halali kwake. Hasa, jambo lililo mbele linaweza kuongezwa kwa kiwango cha hoja. Hebu tuandike:
Mara nyingi, wanafunzi hawaoni hatua hii moja kwa moja, kwa sababu si vizuri kuingiza logi moja chini ya ishara ya mwingine. Kwa kweli, hakuna kitu cha uhalifu kuhusu hili. Kwa kuongezea, tunapata fomula ambayo ni rahisi kuhesabu ikiwa unakumbuka sheria muhimu:
Fomula hii inaweza kuzingatiwa kama ufafanuzi na kama moja ya sifa zake. Kwa hali yoyote, ikiwa unabadilisha equation ya logarithmic, unapaswa kujua fomula hii kama vile ungejua uwakilishi wa logi wa nambari yoyote.
Wacha turudi kwenye kazi yetu. Tunaiandika upya kwa kuzingatia ukweli kwamba muhula wa kwanza upande wa kulia wa ishara sawa itakuwa sawa na lg 7. Tuna:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Wacha tuhamishe lg 7 kwenda kushoto, tunapata:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tunatoa misemo iliyo upande wa kushoto kwa sababu ina msingi sawa:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Sasa hebu tuangalie kwa karibu equation tuliyopata. Ni kivitendo fomu ya kisheria, lakini kuna kipengele -3 upande wa kulia. Wacha tuiongeze kwa hoja sahihi ya lg:
gogo 8 = gogo (x + 4) −3
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlinganyo wa logarithmic, kwa hivyo tunavuka alama za lg na kusawazisha hoja:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0.5
Ni hayo tu! Tulitatua mlingano wa pili wa logarithmic. Katika kesi hii, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika, kwa sababu katika tatizo la awali x lilikuwepo katika hoja moja tu.
Acha niorodheshe mambo muhimu ya somo hili tena.
Fomula kuu ambayo inafunzwa katika masomo yote kwenye ukurasa huu yaliyowekwa kwa ajili ya kutatua milinganyo ya logarithmic ni fomu ya kisheria. Na usiogope na ukweli kwamba katika vitabu vingi vya shule hufundishwa kutatua kazi zinazofanana tofauti. Chombo hiki hufanya kazi kwa ufanisi sana na hukuruhusu kutatua darasa pana zaidi la shida kuliko zile rahisi ambazo tulisoma mwanzoni mwa somo letu.
Kwa kuongeza, kutatua equations za logarithmic itakuwa muhimu kujua mali ya msingi. Yaani:
- Njia ya kuhamia kwenye msingi mmoja na kesi maalum wakati tunabadilisha logi (hii ilikuwa muhimu sana kwetu katika tatizo la kwanza);
- Mfumo wa kuongeza na kupunguza nguvu kutoka kwa ishara ya logariti. Hapa, wanafunzi wengi hukwama na hawaoni kwamba shahada iliyotolewa na kuletwa inaweza kuwa na logi f (x). Hakuna ubaya kwa hilo. Tunaweza kuanzisha logi moja kulingana na ishara ya nyingine na wakati huo huo kurahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho la tatizo, ambalo ndilo tunaloona katika kesi ya pili.
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza kwamba si lazima kuangalia uwanja wa ufafanuzi katika kila kesi hizi, kwa sababu kila mahali kutofautiana x iko katika ishara moja tu ya logi, na wakati huo huo ni katika hoja yake. Kama matokeo, mahitaji yote ya wigo yanatimizwa kiatomati.
Matatizo na msingi wa kutofautiana
Leo tutaangalia equations za logarithmic, ambazo kwa wanafunzi wengi zinaonekana zisizo za kawaida, ikiwa haziwezi kutatuliwa kabisa. Ni kuhusu kuhusu misemo kulingana na sio kwa nambari, lakini kwa vigezo na hata kazi. Tutasuluhisha ujenzi kama huo kwa kutumia mbinu yetu ya kawaida, ambayo ni kupitia fomu ya kisheria.
Kuanza na, hebu tukumbuke jinsi matatizo rahisi zaidi yanatatuliwa, kulingana na nambari za kawaida. Kwa hiyo, ujenzi rahisi zaidi unaitwa
logi a f (x) = b
Ili kutatua shida kama hizo, tunaweza kutumia formula ifuatayo:
b = logi a b
Tunaandika upya usemi wetu wa asili na kupata:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunalinganisha hoja, i.e. tunaandika:
f (x) = a b
Kwa hivyo, tunaondoa ishara ya logi na kutatua shida ya kawaida. Katika kesi hii, mizizi iliyopatikana kutoka kwa suluhisho itakuwa mizizi ya equation ya awali ya logarithmic. Kwa kuongeza, rekodi wakati kushoto na kulia ziko katika logarithm sawa na msingi sawa inaitwa kwa usahihi fomu ya kisheria. Ni kwa rekodi kama hiyo kwamba tutajaribu kupunguza miundo ya leo. Kwa hiyo, twende.
Jukumu la kwanza:
logi x - 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Badilisha 1 kwa logi x - 2 (x - 2) 1 . Kiwango tunachoona katika hoja ni nambari b iliyosimama upande wa kulia wa ishara sawa. Kwa hivyo, wacha tuandike tena usemi wetu. Tunapata:
gogo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = gogo x - 2 (x - 2)
Tunaona nini? Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic, kwa hivyo tunaweza kusawazisha hoja kwa usalama. Tunapata:
2x 2 - 13x + 18 = x -2
Lakini suluhisho haliishii hapo, kwa sababu mlinganyo huu sio sawa na ule wa asili. Baada ya yote, ujenzi unaozalishwa unajumuisha kazi ambazo zinafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari, na logarithms yetu ya awali haijafafanuliwa kila mahali na si mara zote.
Kwa hivyo, lazima tuandike kikoa cha ufafanuzi tofauti. Wacha tusigawanye nywele na kwanza tuandike mahitaji yote:
Kwanza, hoja ya kila logariti lazima iwe kubwa kuliko 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Pili, msingi lazima sio tu kuwa mkubwa kuliko 0, lakini pia tofauti na 1:
x − 2 ≠ 1
Kama matokeo, tunapata mfumo:
Lakini usifadhaike: wakati wa kusindika hesabu za logarithmic, mfumo kama huo unaweza kurahisishwa kwa kiasi kikubwa.
Jaji mwenyewe: kwa upande mmoja, tunatakiwa kwamba kazi ya quadratic iwe kubwa kuliko sifuri, na kwa upande mwingine, kazi hii ya quadratic ni sawa na fulani. usemi wa mstari, ambayo pia inahitajika kuwa kubwa kuliko sifuri.
Katika hali hii, ikiwa tunahitaji hiyo x - 2 > 0, basi hitaji la 2x 2 - 13x + 18 > 0 litatimizwa kiotomatiki. Kwa hivyo, tunaweza kuondoa kwa usalama ukosefu wa usawa ulio na kazi ya quadratic. Kwa hivyo, idadi ya misemo iliyo katika mfumo wetu itapunguzwa hadi tatu.
Bila shaka, tunaweza pia kuvuka usawa wa mstari, yaani, tambua x - 2 > 0 na kudai kwamba 2x 2 - 13x + 18 > 0. Lakini lazima ukubali kwamba kutatua usawa rahisi zaidi wa mstari ni haraka na rahisi zaidi kuliko quadratic, hata kama ni matokeo ya kutatua nzima. mfumo huu tutapata mizizi sawa.
Kwa ujumla, jaribu kuongeza mahesabu kila inapowezekana. Na katika kesi ya milinganyo ya logarithmic, ondoa tofauti ngumu zaidi.
Wacha tuandike upya mfumo wetu:
Hapa kuna mfumo wa maneno matatu, mawili ambayo sisi, kwa kweli, tayari tumeshughulikia. Hebu tuandike tofauti mlinganyo wa quadratic na tuitatue:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Imetolewa mbele yetu quadratic trinomial na, kwa hivyo, tunaweza kutumia fomula za Vieta. Tunapata:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Sasa tunarudi kwenye mfumo wetu na kupata kwamba x = 2 haitufai, kwa sababu tunatakiwa kwamba x iwe kubwa zaidi kuliko 2.
Lakini x = 5 inatufaa kikamilifu: nambari ya 5 ni kubwa kuliko 2, na wakati huo huo 5 si sawa na 3. Kwa hiyo, suluhisho pekee la mfumo huu litakuwa x = 5.
Hiyo ndiyo yote, tatizo linatatuliwa, ikiwa ni pamoja na kuzingatia ODZ. Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili. Mahesabu zaidi ya kuvutia na ya kuelimisha yanatungojea hapa:
Hatua ya kwanza: kama katika mara ya mwisho, tunaleta suala hili lote katika mfumo wa kisheria. Ili kufanya hivyo, tunaweza kuandika nambari 9 kama ifuatavyo.
Sio lazima kugusa msingi na mzizi, lakini ni bora kubadilisha hoja. Twende kutoka mizizi hadi nguvu c kiashiria cha busara. Hebu tuandike:
Acha nisiandike upya mlinganyo wetu wote mkubwa wa logarithmic, lakini nisawazishe hoja mara moja:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Mbele yetu kuna utatu mpya uliopunguzwa wa quadratic, hebu tutumie fomula za Vieta na tuandike:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Kwa hivyo, tulipata mizizi, lakini hakuna mtu aliyetuhakikishia kwamba ingefaa mlinganyo wa asili wa logarithmic. Baada ya yote, ishara za logi zinaweka vikwazo vya ziada (hapa tunapaswa kuandika mfumo, lakini kutokana na hali mbaya ya muundo mzima, niliamua kuhesabu uwanja wa ufafanuzi tofauti).
Kwanza kabisa, kumbuka kuwa hoja lazima ziwe kubwa kuliko 0, ambazo ni:
Haya ni mahitaji yaliyowekwa na upeo wa ufafanuzi.
Wacha tuangalie mara moja kwamba kwa kuwa tunalinganisha maneno mawili ya kwanza ya mfumo kwa kila mmoja, tunaweza kuvuka yoyote kati yao. Hebu tuchunguze ya kwanza kwa sababu inaonekana ya kutisha kuliko ya pili.
Kwa kuongezea, kumbuka kuwa suluhisho la usawa wa pili na wa tatu litakuwa seti sawa (mchemraba wa nambari fulani ni kubwa kuliko sifuri, ikiwa nambari hii yenyewe ni kubwa kuliko sifuri; vivyo hivyo, na mzizi wa digrii ya tatu - usawa huu. zinafanana kabisa, kwa hivyo tunaweza kuiondoa).
Lakini kwa usawa wa tatu hii haitafanya kazi. Wacha tuondoe ishara kali upande wa kushoto kwa kuinua sehemu zote mbili hadi mchemraba. Tunapata:
Kwa hivyo tunapata mahitaji yafuatayo:
− 2 ≠ x > −3
Ni ipi kati ya mizizi yetu: x 1 = −3 au x 2 = −1 inakidhi mahitaji haya? Ni wazi, ni x = −1 pekee, kwa sababu x = −3 haikidhi usawa wa kwanza (kwani ukosefu wetu wa usawa ni mkali). Kwa hivyo, tukirudi kwenye shida yetu, tunapata mzizi mmoja: x = -1. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Kwa mara nyingine tena, mambo muhimu ya kazi hii:
- Jisikie huru kutumia na kutatua milinganyo ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Wanafunzi wanaoandika hivi, badala ya kwenda moja kwa moja kutoka kwa shida ya asili kwenda kwa ujenzi kama logi a f (x) = b, ruhusu mengi. makosa kidogo kuliko wale ambao wana haraka mahali fulani, wakiruka hatua za kati za mahesabu;
- Mara tu msingi wa kutofautisha unapoonekana kwenye logarithm, shida huacha kuwa rahisi zaidi. Kwa hivyo, wakati wa kuisuluhisha, ni muhimu kuzingatia kikoa cha ufafanuzi: hoja lazima ziwe kubwa kuliko sifuri, na misingi haipaswi kuwa kubwa kuliko 0 tu, lakini pia haipaswi kuwa sawa na 1.
Mahitaji ya mwisho yanaweza kutumika kwa majibu ya mwisho kwa njia tofauti. Kwa mfano, unaweza kutatua mfumo mzima ulio na mahitaji yote ya kikoa cha ufafanuzi. Kwa upande mwingine, unaweza kwanza kutatua tatizo yenyewe, na kisha kumbuka kikoa cha ufafanuzi, ufanyie kazi tofauti katika mfumo wa mfumo na uitumie kwenye mizizi iliyopatikana.
Ni njia gani ya kuchagua wakati wa kusuluhisha mlinganyo fulani wa logarithmic ni juu yako. Kwa hali yoyote, jibu litakuwa sawa.
Video za mwisho katika mfululizo mrefu wa masomo kuhusu kutatua milinganyo ya logarithmic. Wakati huu tutafanya kazi hasa na ODZ ya logarithm - ni kwa sababu ya kuzingatia vibaya (au hata kupuuza) kwa uwanja wa ufafanuzi kwamba makosa mengi hutokea wakati wa kutatua matatizo hayo.
Katika somo hili fupi la video, tutaangalia matumizi ya fomula za kuongeza na kutoa logariti, na pia kushughulikia milinganyo ya kimantiki, ambayo wanafunzi wengi pia wana shida nayo.
Kuhusu nini tutazungumza? Njia kuu ambayo ningependa kuelewa inaonekana kama hii:
log a (f g ) = log a f + log a g
Huu ni mpito wa kawaida kutoka kwa bidhaa hadi jumla ya logarithms na nyuma. Labda unajua fomula hii tangu mwanzo wa kusoma logarithms. Hata hivyo, kuna hitch moja.
Maadamu vigeu a, f na g ni nambari za kawaida, hakuna shida zinazotokea. Fomula hii inafanya kazi vizuri.
Hata hivyo, mara tu kazi zinapoonekana badala ya f na g, tatizo la kupanua au kupunguza kikoa cha ufafanuzi hutokea kulingana na mwelekeo gani wa kubadilisha. Jaji mwenyewe: katika logarithm iliyoandikwa upande wa kushoto, kikoa cha ufafanuzi ni kama ifuatavyo.
fg> 0
Lakini kwa kiasi kilichoandikwa kulia, kikoa cha ufafanuzi tayari ni tofauti:
f > 0
g> 0
Seti hii ya mahitaji ni ngumu zaidi kuliko ile ya asili. Katika kesi ya kwanza, tutaridhika na chaguo f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 inatekelezwa).
Kwa hiyo, wakati wa kuhamia kutoka kwa ujenzi wa kushoto kwenda kwa moja ya haki, kupungua kwa kikoa cha ufafanuzi hutokea. Ikiwa mwanzoni tulikuwa na jumla, na tunaandika tena kwa namna ya bidhaa, basi kikoa cha ufafanuzi kinapanuka.
Kwa maneno mengine, katika kesi ya kwanza tunaweza kupoteza mizizi, na kwa pili tunaweza kupata ziada. Hii lazima izingatiwe wakati wa kutatua milinganyo halisi ya logarithmic.
Kwa hivyo, kazi ya kwanza:
[Maelezo ya picha] Upande wa kushoto tunaona jumla ya logariti kwa kutumia msingi sawa. Kwa hivyo, logarithm hizi zinaweza kuongezwa:
[Maelezo ya picha] Kama unaweza kuona, upande wa kulia tulibadilisha sifuri kwa kutumia fomula:
a = logi b b a
Wacha tupange upya equation yetu zaidi kidogo:
logi 4 (x - 5) 2 = logi 4 1
Mbele yetu kuna aina ya kisheria ya mlingano wa logarithmic; tunaweza kuvuka alama ya kumbukumbu na kusawazisha hoja:
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Tafadhali kumbuka: moduli ilitoka wapi? Acha nikukumbushe kwamba mzizi wa mraba halisi ni sawa na moduli:
[Maelezo ya picha] Kisha tunatatua equation ya classical na moduli:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x - 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Hapa kuna majibu mawili ya mtahiniwa. Je! ni suluhisho la mlinganyo wa asili wa logarithmic? Hapana!
Hatuna haki ya kuacha kila kitu kama hivyo na kuandika jibu. Angalia hatua ambapo tunabadilisha jumla ya logariti na logariti moja ya bidhaa ya hoja. Shida ni kwamba katika misemo ya asili tunayo kazi. Kwa hivyo, unapaswa kuhitaji:
x(x - 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Tulipobadilisha bidhaa, kupata mraba halisi, mahitaji yalibadilika:
(x − 5) 2 > 0
Sharti hili linatimizwa lini? Ndio, karibu kila wakati! Isipokuwa kwa kesi wakati x - 5 = 0. Hiyo ni ukosefu wa usawa utapunguzwa hadi sehemu moja iliyochomwa:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Kama unavyoona, wigo wa ufafanuzi umepanuka, ambayo ndio tulizungumza mwanzoni mwa somo. Kwa hiyo, kunaweza kuwa mizizi ya ziada.
Unawezaje kuzuia mizizi hii ya ziada kuonekana? Ni rahisi sana: tunaangalia mizizi yetu iliyopatikana na kulinganisha na uwanja wa ufafanuzi wa equation ya awali. Wacha tuhesabu:
x (x − 5) > 0
Tutasuluhisha kwa kutumia njia ya muda:
x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Tunaashiria nambari zinazosababisha kwenye mstari. Pointi zote hazipo kwa sababu usawa ni mkali. Chukua nambari yoyote kubwa kuliko 5 na ubadilishe:
[Maelezo ya picha] Tunavutiwa na vipindi (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Ikiwa tutaweka mizizi yetu kwenye sehemu, tutaona kwamba x = 4 haifai sisi, kwa sababu mzizi huu upo nje ya kikoa cha ufafanuzi wa mlinganyo wa asili wa logarithmic.
Tunarudi kwa jumla, vuka mzizi x = 4 na uandike jibu: x = 6. Hili ndilo jibu la mwisho kwa equation ya awali ya logarithmic. Hiyo ndiyo yote, shida imetatuliwa.
Wacha tuendelee kwenye hesabu ya pili ya logarithmic:
[Maelezo ya picha] Hebu tuitatue. Kumbuka kwamba neno la kwanza ni sehemu, na ya pili ni sehemu sawa, lakini inverted. Usiogope na usemi lgx - ni logarithm ya decimal tu, tunaweza kuiandika:
lgx = logi 10 x
Kwa kuwa tuna sehemu mbili zilizogeuzwa, ninapendekeza kuanzishwa kwa tofauti mpya:
[Maelezo ya picha] Kwa hivyo, equation yetu inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:
t + 1/t = 2;
t + 1/t - 2 = 0;
(t 2 - 2t + 1) / t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Kama unaweza kuona, nambari ya sehemu ni mraba kamili. Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari yake sawa na sifuri, na denominator ni tofauti na sifuri:
(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0
Wacha tusuluhishe equation ya kwanza:
t - 1 = 0;
t = 1.
Thamani hii inakidhi hitaji la pili. Kwa hiyo, tunaweza kusema kwamba tumetatua equation yetu kabisa, lakini tu kwa heshima ya kutofautiana t. Sasa hebu tukumbuke ni nini:
[Maelezo ya picha]Tulipata uwiano:
logx = 2 logx + 1
2 logx − logx = -1
logx = -1
Tunaleta equation hii kwa fomu yake ya kisheria:
logx = logi 10 -1
x = 10 −1 = 0.1
Matokeo yake, tulipokea mzizi mmoja, ambao, kwa nadharia, ni suluhisho la equation ya awali. Walakini, wacha tuifanye salama na tuandike kikoa cha ufafanuzi wa mlinganyo wa asili:
[Maelezo ya picha] Kwa hiyo, mizizi yetu inakidhi mahitaji yote. Tumepata suluhu la mlingano asilia wa logarithmic. Jibu: x = 0.1. Tatizo linatatuliwa.
Kuna jambo moja tu muhimu katika somo la leo: unapotumia formula ya kuhamia kutoka kwa bidhaa hadi kwa jumla na nyuma, hakikisha kuzingatia kwamba upeo wa ufafanuzi unaweza kupungua au kupanua kulingana na mwelekeo gani mpito unafanywa.
Jinsi ya kuelewa kinachotokea: contraction au upanuzi? Rahisi sana. Ikiwa mapema kazi zilikuwa pamoja, lakini sasa zinajitenga, basi upeo wa ufafanuzi umepungua (kwa sababu kuna mahitaji zaidi). Ikiwa mara ya kwanza kazi zilisimama tofauti, na sasa ziko pamoja, basi kikoa cha ufafanuzi kinapanuliwa (mahitaji machache yanawekwa kwenye bidhaa kuliko kwa sababu za kibinafsi).
Kwa kuzingatia maoni haya, ningependa kutambua kwamba equation ya pili ya logarithmic haihitaji mabadiliko haya hata kidogo, yaani, hatuongezi au kuzidisha hoja popote. Walakini, hapa ningependa kuteka mawazo yako kwa mbinu nyingine nzuri ambayo inaweza kurahisisha suluhisho kwa kiasi kikubwa. Ni kuhusu kuchukua nafasi ya kutofautiana.
Walakini, kumbuka kuwa hakuna vibadala hutuweka huru kutoka kwa wigo wa ufafanuzi. Ndiyo maana baada ya mizizi yote kupatikana, hatukuwa wavivu na tukarudi kwenye equation ya awali ili kupata ODZ yake.
Mara nyingi, wakati wa kuchukua nafasi ya kutofautiana, hitilafu ya kukasirisha hutokea wakati wanafunzi wanapata thamani ya t na kufikiri kuwa suluhisho limekamilika. Hapana!
Mara tu unapopata thamani ya t, unahitaji kurudi kwenye mlinganyo wa asili na uone ni nini hasa tulimaanisha na herufi hii. Matokeo yake, tunapaswa kutatua equation moja zaidi, ambayo, hata hivyo, itakuwa rahisi zaidi kuliko ya awali.
Hii ndio hasa hatua ya kuanzisha kigezo kipya. Tunagawanya equation ya asili katika mbili za kati, ambayo kila moja ina suluhisho rahisi zaidi.
Jinsi ya kutatua hesabu za logarithmic "zilizowekwa".
Leo tunaendelea kusoma milinganyo ya logariti na tutachanganua miundo wakati logariti moja iko chini ya ishara ya logariti nyingine. Tutasuluhisha milinganyo yote miwili kwa kutumia fomu ya kisheria.
Leo tunaendelea kusoma milinganyo ya logarithmic na tutachambua miundo wakati logariti moja iko chini ya ishara ya nyingine. Tutasuluhisha milinganyo yote miwili kwa kutumia fomu ya kisheria. Acha nikukumbushe kwamba ikiwa tunayo equation rahisi zaidi ya logarithmic ya fomu log a f (x) = b, basi kutatua equation kama hiyo tunayofanya. hatua zinazofuata. Kwanza kabisa, tunahitaji kubadilisha nambari b :
b = logi a b
Kumbuka: b ni hoja. Vile vile, katika mlinganyo wa asili, hoja ni chaguo la kukokotoa f(x). Kisha tunaandika tena equation na kupata ujenzi huu:
logi a f (x) = logi a a b
Kisha tunaweza kufanya hatua ya tatu - ondoa ishara ya logarithm na uandike tu:
f (x) = a b
Kama matokeo, tunapata equation mpya. Katika kesi hii, hakuna vikwazo vinavyowekwa kwenye kazi f (x). Kwa mfano, mahali pake kunaweza pia kuwa kazi ya logarithmic. Na kisha tutapata tena equation ya logarithmic, ambayo tutapunguza tena kwa fomu yake rahisi na kutatua kupitia fomu ya kisheria.
Hata hivyo, maneno ya kutosha. Hebu tutatue tatizo halisi. Kwa hivyo, nambari ya kazi 1:
logi 2 (1 + 3 kumbukumbu 2 x ) = 2
Kama unaweza kuona, tunayo mlinganyo rahisi wa logarithmic. Jukumu la f (x) ni ujenzi 1 + 3 logi 2 x, na jukumu la namba b ni namba 2 (jukumu la a pia linachezwa na mbili). Wacha tuandike tena hizi mbili kama ifuatavyo:
Ni muhimu kuelewa kwamba mbili za kwanza zilitujia kutoka kwa msingi wa logarithm, i.e. ikiwa kungekuwa na 5 katika equation ya asili, basi tungepata 2 = logi 5 5 2. Kwa ujumla, msingi unategemea tu logarithm ambayo hapo awali ilitolewa kwenye shida. Na kwa upande wetu hii ndio nambari 2.
Kwa hivyo, tunaandika upya mlingano wetu wa logarithmic kwa kuzingatia ukweli kwamba hizo mbili zilizo upande wa kulia pia ni logariti. Tunapata:
logi 2 (1 + 3 logi 2 x ) = logi 2 4
Wacha tuendelee kwenye hatua ya mwisho ya mpango wetu - kuondoa fomu ya kisheria. Unaweza kusema, tunavuka tu ishara za logi. Walakini, kutoka kwa maoni ya hesabu, haiwezekani "kuvuka logi" - itakuwa sahihi zaidi kusema kwamba tunalinganisha hoja:
1 + 3 kumbukumbu 2 x = 4
Kuanzia hapa tunaweza kupata kwa urahisi logi 3 2 x:
3 kumbukumbu 2 x = 3
logi 2 x = 1
Tumepata tena mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic, wacha tuirejeshe kwa fomu ya kisheria. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kufanya mabadiliko yafuatayo:
1 = logi 2 2 1 = logi 2 2
Kwa nini kuna mbili kwenye msingi? Kwa sababu katika mlingano wetu wa kisheria upande wa kushoto kuna logarithm kwa usahihi kwa msingi wa 2. Tunaandika upya tatizo kwa kuzingatia ukweli huu:
logi 2 x = logi 2 2
Tena tunaondoa ishara ya logarithm, i.e. tunasawazisha hoja. Tuna haki ya kufanya hivi kwa sababu besi ni sawa, na hakuna vitendo vya ziada vilivyofanywa ama kulia au kushoto:
Ni hayo tu! Tatizo linatatuliwa. Tumepata suluhu la mlinganyo wa logarithmic.
Kumbuka! Ingawa mabadiliko x yanaonekana katika hoja (yaani, kuna mahitaji ya kikoa cha ufafanuzi), hatutafanya mahitaji yoyote ya ziada.
Kama nilivyosema hapo juu, hundi hii haitumiki tena ikiwa kutofautisha kunatokea katika hoja moja tu ya logarithm moja. Kwa upande wetu, x inaonekana tu kwenye hoja na chini ya ishara moja ya logi. Kwa hivyo, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika.
Walakini, ikiwa huna imani njia hii, basi unaweza kuthibitisha kwa urahisi kuwa x = 2 kweli ni mzizi. Inatosha kubadilisha nambari hii kwenye mlinganyo wa asili.
Wacha tuendelee kwenye equation ya pili, inavutia zaidi:
logi 2 (logi 1/2 (2x - 1) + logi 2 4) = 1
Ikiwa tunateua usemi ndani logarithm kubwa kazi f (x), tunapata mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ambao tulianza nao somo la video la leo. Kwa hivyo, tunaweza kutumia fomu ya kisheria, ambayo tutalazimika kuwakilisha kitengo katika logi ya fomu 2 2 1 = logi 2 2.
Wacha tuandike tena mlinganyo wetu mkubwa:
gogo 2 (logi 1/2 (2x - 1) + logi 2 4) = logi 2 2
Wacha tuachane na ishara ya logarithm, tukilinganisha hoja. Tuna haki ya kufanya hivyo, kwa sababu wote upande wa kushoto na wa kulia besi ni sawa. Kwa kuongeza, kumbuka kuwa logi 2 4 = 2:
logi 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
logi 1/2 (2x − 1) = 0
Mbele yetu tena kuna mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic wa logi ya fomu f (x) = b. Wacha tuendelee kwenye fomu ya kisheria, ambayo ni, tunawakilisha sifuri katika logi ya fomu 1/2 (1/2)0 = logi 1/2 1.
Tunaandika tena equation yetu na kuondokana na ishara ya logi, tukilinganisha hoja:
gogo 1/2 (2x − 1) = logi 1/2 1
2x − 1 = 1
Tena, tulipokea jibu mara moja. Hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika kwa sababu katika mlingano wa asili ni logariti moja pekee iliyo na chaguo la kukokotoa kama hoja.
Kwa hivyo, hakuna ukaguzi wa ziada unaohitajika. Tunaweza kusema kwa usalama kuwa x = 1 ndio mzizi pekee wa mlinganyo huu.
Lakini ikiwa katika logarithm ya pili kulikuwa na kazi fulani ya x badala ya nne (au 2x haikuwa katika hoja, lakini kwa msingi) - basi itakuwa muhimu kuangalia uwanja wa ufafanuzi. Vinginevyo, kuna nafasi kubwa ya kukimbia kwenye mizizi ya ziada.
Mizizi hii ya ziada inatoka wapi? Jambo hili lazima lieleweke kwa uwazi sana. Angalia milinganyo ya asili: kila mahali chaguo za kukokotoa x iko chini ya ishara ya logariti. Kwa hiyo, kwa kuwa tuliandika logi 2 x, tunaweka moja kwa moja mahitaji x > 0. Vinginevyo kiingilio hiki Haileti maana.
Walakini, tunaposuluhisha mlinganyo wa logarithmic, tunaondoa alama zote za kumbukumbu na kupata miundo rahisi. Hakuna vikwazo vilivyowekwa hapa tena, kwa sababu kazi ya mstari imefafanuliwa kwa thamani yoyote ya x.
Hili ndilo tatizo hasa wakati kazi ya mwisho inafafanuliwa kila mahali na kila wakati, lakini ile ya asili haiko kila mahali na sio kila wakati, na ndio sababu mizizi ya ziada mara nyingi huibuka katika kutatua milinganyo ya logarithmic.
Lakini narudia mara nyingine tena: hii hutokea tu katika hali ambapo kazi iko katika logarithms kadhaa au chini ya mmoja wao. Katika matatizo ambayo tunazingatia leo, kuna, kimsingi, hakuna matatizo na kupanua uwanja wa ufafanuzi.
Kesi za sababu tofauti
Somo hili limejitolea kwa zaidi miundo tata. Logariti katika milinganyo ya leo haitatatuliwa tena mara moja; mabadiliko fulani yatahitaji kufanywa kwanza.
Tunaanza kusuluhisha milinganyo ya logarithmic na besi tofauti kabisa, ambazo sio nguvu kamili za kila mmoja. Usiruhusu shida kama hizi zikuogopeshe - sio ngumu zaidi kusuluhisha kuliko miundo rahisi ambayo tulijadili hapo juu.
Lakini kabla ya kuhamia moja kwa moja kwa shida, wacha nikukumbushe fomula ya kutatua milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic kwa kutumia fomu ya kisheria. Fikiria shida kama hii:
logi a f (x) = b
Ni muhimu kwamba kitendakazi f (x) ni kitendakazi tu, na jukumu la nambari a na b linapaswa kuwa nambari (bila vigezo vyovyote x). Kwa kweli, kwa kweli kwa dakika moja tutaangalia kesi kama hizo wakati badala ya vigeu a na b kuna kazi, lakini hiyo sio juu ya hilo sasa.
Kama tunavyokumbuka, nambari b lazima ibadilishwe na logarithm kwa msingi sawa a, ambao uko upande wa kushoto. Hii inafanywa kwa urahisi sana:
b = logi a b
Kwa kweli, maneno "nambari yoyote b" na "nambari yoyote a" inamaanisha maadili ambayo yanakidhi wigo wa ufafanuzi. Hasa, katika equation hii tunazungumzia msingi pekee a > 0 na a ≠ 1.
Hata hivyo, hitaji hili linatimizwa kiotomatiki, kwa sababu tatizo la awali tayari lina logarithm ya msingi a - hakika itakuwa kubwa kuliko 0 na si sawa na 1. Kwa hivyo, tunaendelea kutatua mlingano wa logarithmic:
logi a f (x) = logi a a b
Ufafanuzi kama huo unaitwa fomu ya kisheria. Urahisi wake upo katika ukweli kwamba tunaweza kujiondoa mara moja ishara ya logi kwa kusawazisha hoja:
f (x) = a b
Ni mbinu hii ambayo tutatumia sasa kutatua milinganyo ya logarithmic msingi wa kutofautiana. Kwa hiyo, twende!
logi 2 (x 2 + 4x + 11) = logi 0.5 0.125
Nini kinafuata? Mtu sasa atasema kwamba unahitaji kuhesabu logarithm sahihi, au kupunguza kwa msingi sawa, au kitu kingine. Na kwa kweli, sasa tunahitaji kuleta besi zote mbili kwa fomu sawa - ama 2 au 0.5. Lakini hebu tujifunze sheria ifuatayo mara moja na kwa wote:
Ikiwa kuna desimali katika mlinganyo wa logarithmic, hakikisha umebadilisha sehemu hizo kutoka nukuu ya desimali kwa kawaida. Mabadiliko haya yanaweza kurahisisha sana suluhisho.
Mpito kama huo lazima ufanyike mara moja, hata kabla ya kufanya vitendo au mabadiliko yoyote. Hebu tuangalie:
logi 2 (x 2 + 4x + 11) = logi 1 /2 1/8
Rekodi kama hiyo inatupa nini? Tunaweza kuwakilisha 1/2 na 1/8 kama mamlaka ya c kiashiria hasi:
[Maelezo ya picha] Mbele yetu ni fomu ya kisheria. Tunasawazisha hoja na kupata mlinganyo wa kawaida wa quadratic:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Tunayo mlinganyo wa quadratic ufuatao, ambao unaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta. Katika shule ya upili, unapaswa kuona maonyesho sawa kwa mdomo:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Ni hayo tu! Mlinganyo wa asili wa logarithmic umetatuliwa. Tuna mizizi miwili.
Napenda kukukumbusha kwamba katika kesi hii si lazima kuamua kikoa cha ufafanuzi, kwa kuwa kazi na variable x iko katika hoja moja tu. Kwa hiyo, upeo wa ufafanuzi unafanywa moja kwa moja.
Kwa hivyo, equation ya kwanza inatatuliwa. Wacha tuendelee kwa pili:
logi 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = logi 3 1/9
logi 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = logi 3 9 −1
Sasa kumbuka kuwa hoja ya logariti ya kwanza inaweza pia kuandikwa kama nguvu yenye kipeo hasi: 1/2 = 2 -1. Basi unaweza kuchukua nguvu kwa pande zote mbili za equation na kugawa kila kitu kwa -1:
[Maelezo ya picha] Na sasa tumefanikiwa sana hatua muhimu katika kutatua mlingano wa logarithmic. Labda mtu hakugundua kitu, kwa hivyo wacha nieleze.
Angalia equation yetu: wote upande wa kushoto na wa kulia kuna ishara ya logi, lakini upande wa kushoto kuna logarithm kwa msingi 2, na upande wa kulia kuna logarithm kwa msingi 3. Tatu sio nguvu kamili ya mbili na, kinyume chake, huwezi kuandika kwamba 2 ni 3 katika digrii kamili.
Kwa hivyo, hizi ni logariti zilizo na besi tofauti ambazo haziwezi kupunguzwa kwa kila mmoja kwa kuongeza nguvu tu. njia pekee Suluhisho la shida kama hizi ni kuondoa moja ya logarithm hizi. Katika kesi hii, kwa kuwa bado tunazingatia shida rahisi, logarithm iliyo upande wa kulia ilihesabiwa tu, na tukapata equation rahisi zaidi - ile tuliyozungumza mwanzoni mwa somo la leo.
Wacha tuwakilishe nambari ya 2, ambayo iko upande wa kulia, kama logi 2 2 2 = logi 2 4. Kisha tunaondoa ishara ya logarithm, baada ya hapo tunaachwa tu na equation ya quadratic:
logi 2 (5x 2 + 9x + 2) = logi 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Tunayo equation ya kawaida ya quadratic mbele yetu, lakini haijapunguzwa kwa sababu mgawo wa x 2 ni tofauti na umoja. Kwa hivyo, tutasuluhisha kwa kutumia kibaguzi:
D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = -2
Ni hayo tu! Tumepata mizizi yote miwili, ambayo ina maana kwamba tumepata suluhu la mlinganyo wa asili wa logarithmic. Hakika, katika shida ya asili, chaguo la kukokotoa lenye kutofautisha x lipo katika hoja moja tu. Kwa hivyo, hakuna ukaguzi wa ziada kwenye kikoa cha ufafanuzi unaohitajika - mizizi yote ambayo tumepata hakika inakidhi vizuizi vyote vinavyowezekana.
Huu unaweza kuwa mwisho wa somo la video la leo, lakini kwa kumalizia ningependa kusema tena: hakikisha kuwa umebadilisha sehemu zote za desimali kuwa sehemu za kawaida wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic. Katika hali nyingi, hii hurahisisha sana suluhisho lao.
Mara chache, mara chache sana, hukutana na shida ambazo kuondoa sehemu za desimali hutatiza mahesabu. Walakini, katika hesabu kama hizo, kama sheria, ni wazi hapo awali kuwa hakuna haja ya kuondoa sehemu za decimal.
Katika visa vingine vingi (haswa ikiwa ndio unaanza kufanya mazoezi ya kusuluhisha milinganyo ya logarithmic), jisikie huru kuondoa desimali na kuzibadilisha kuwa za kawaida. Kwa sababu mazoezi yanaonyesha kuwa kwa njia hii utarahisisha kwa kiasi kikubwa suluhisho na mahesabu yafuatayo.
Hila na hila za suluhisho
Leo tunaendelea na zaidi kazi ngumu na tutasuluhisha equation ya logarithmic, ambayo msingi wake sio nambari, lakini kazi.
Na hata kama kazi hii ni ya mstari, itabidi uongeze mabadiliko madogo, maana ambayo inajitokeza mahitaji ya ziada, iliyowekwa juu juu ya kikoa cha ufafanuzi wa logariti.
Kazi ngumu
Mafunzo haya yatakuwa marefu sana. Ndani yake tutachambua milinganyo miwili mikubwa ya logarithmic, wakati wa kutatua ambayo wanafunzi wengi hufanya makosa. Wakati wa mazoezi yangu kama mwalimu wa hesabu, mara kwa mara nilikutana na aina mbili za makosa:
- Kuonekana kwa mizizi ya ziada kutokana na upanuzi wa kikoa cha ufafanuzi wa logarithms. Ili kuzuia makosa kama haya, fuatilia kwa uangalifu kila mabadiliko;
- Kupoteza mizizi kutokana na ukweli kwamba mwanafunzi alisahau kuzingatia baadhi ya kesi "hila" - hizi ndizo hali ambazo tutazingatia leo.
Hii somo la mwisho, iliyowekwa kwa milinganyo ya logarithmic. Itakuwa ndefu, tutachambua milinganyo changamano ya logarithmic. Jitayarishe vizuri, jitayarishe chai, na tuanze.
Equation ya kwanza inaonekana ya kawaida kabisa:
logi x + 1 (x - 0.5) = gogo x - 0.5 (x + 1)
Wacha tukumbuke mara moja kuwa logariti zote mbili ni nakala zilizogeuzwa za kila mmoja. Hebu tukumbuke formula ya ajabu:
logi a b = 1/logi b a
Walakini, fomula hii ina idadi ya mapungufu ambayo hutokea ikiwa badala ya nambari a na b kuna kazi za kutofautisha x:
b> 0
1 ≠ a > 0
Mahitaji haya yanatumika kwa msingi wa logarithm. Kwa upande mwingine, katika sehemu tunatakiwa kuwa na 1 ≠ a > 0, kwani sio tu kutofautisha a katika hoja ya logariti (kwa hivyo > 0), lakini logariti yenyewe iko kwenye dhehebu la sehemu. . Lakini logi b 1 = 0, na dhehebu lazima lisiwe sifuri, kwa hivyo a ≠ 1.
Kwa hivyo, vizuizi vya kutofautisha vinabaki. Lakini nini kinatokea kwa b kutofautiana? Kwa upande mmoja, msingi unamaanisha b > 0, kwa upande mwingine, kutofautiana b ≠ 1, kwa sababu msingi wa logarithm lazima iwe tofauti na 1. Kwa jumla, kutoka upande wa kulia wa formula inafuata kwamba 1 ≠ b> 0.
Lakini hapa ni tatizo: mahitaji ya pili (b ≠ 1) haipo kutoka kwa usawa wa kwanza, ambayo inahusika na logarithm ya kushoto. Kwa maneno mengine, wakati wa kufanya mabadiliko haya lazima angalia tofauti, kwamba hoja b ni tofauti na moja!
Basi hebu tuangalie. Wacha tutumie fomula yetu:
[Maelezo ya picha] 1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Kwa hivyo tulipata kwamba tayari kutoka kwa mlingano asilia wa logarithmic inafuata kwamba a na b lazima ziwe kubwa kuliko 0 na zisiwe sawa na 1. Hii ina maana kwamba tunaweza kugeuza mlinganyo wa logarithmic kwa urahisi:
Ninapendekeza kuanzisha muundo mpya:
logi x + 1 (x - 0.5) = t
Katika kesi hii, muundo wetu utaandikwa tena kama ifuatavyo:
(t 2 − 1)/t = 0
Kumbuka kuwa katika nambari tuna tofauti za mraba. Tunafunua tofauti ya miraba kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari yake ni sifuri na denominator yake sio sifuri. Lakini nambari ina bidhaa, kwa hivyo tunalinganisha kila sababu na sifuri:
t 1 = 1;
t 2 = -1;
t ≠ 0.
Kama tunavyoona, maadili yote mawili ya kutofautisha yanafaa kwetu. Walakini, suluhisho haliishii hapo, kwa sababu tunahitaji kupata sio t, lakini dhamana ya x. Tunarudi kwenye logarithm na kupata:
logi x + 1 (x - 0.5) = 1;
logi x + 1 (x - 0.5) = -1.
Wacha tuweke kila moja ya milinganyo hii katika mfumo wa kisheria:
logi x + 1 (x - 0.5) = gogo x + 1 (x + 1) 1
gogo x + 1 (x - 0.5) = gogo x + 1 (x + 1) −1
Tunaondoa ishara ya logarithm katika kesi ya kwanza na kusawazisha hoja:
x - 0.5 = x + 1;
x - x = 1 + 0.5;
Equation kama hiyo haina mizizi, kwa hivyo equation ya kwanza ya logarithmic pia haina mizizi. Lakini na equation ya pili kila kitu kinavutia zaidi:
(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)
Kutatua uwiano, tunapata:
(x - 0.5)(x + 1) = 1
Acha nikukumbushe kwamba wakati wa kusuluhisha hesabu za logarithmic ni rahisi zaidi kutumia sehemu zote za desimali kama zile za kawaida, kwa hivyo wacha tuandike tena hesabu yetu kama ifuatavyo:
(x - 1/2) (x + 1) = 1;
x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Tunayo equation ya quadratic hapa chini, inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia fomula za Vieta:
(x + 3/2) (x - 1) = 0;
x 1 = -1.5;
x 2 = 1.
Tuna mizizi miwili - ni watahiniwa wa kusuluhisha mlinganyo wa asili wa logarithmic. Ili kuelewa ni mizizi gani itaingia kwenye jibu, wacha turudi kwenye shida ya asili. Sasa tutaangalia kila mizizi yetu ili kuona ikiwa inafaa ndani ya kikoa cha ufafanuzi:
1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.
Mahitaji haya ni sawa na usawa maradufu:
1 ≠ x > 0.5
Kuanzia hapa tunaona mara moja kwamba mzizi x = -1.5 haifai sisi, lakini x = 1 inatufaa kabisa. Kwa hivyo x = 1 - uamuzi wa mwisho mlinganyo wa logarithmic.
Wacha tuendelee kwenye kazi ya pili:
logi x 25 + logi 125 x 5 = logi 25 x 625
Kwa mtazamo wa kwanza inaweza kuonekana kuwa logarithms zote sababu tofauti na hoja tofauti. Nini cha kufanya na miundo kama hii? Kwanza kabisa, kumbuka kuwa nambari 25, 5 na 625 ni nguvu za 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Sasa hebu tumia mali ya ajabu logarithm Jambo ni kwamba unaweza kutoa nguvu kutoka kwa hoja katika mfumo wa mambo:
logi a b n = n ∙ logi a b
Mabadiliko haya pia yanakabiliwa na vikwazo katika kesi ambapo b inabadilishwa na chaguo la kukokotoa. Lakini kwetu, b ni nambari tu, na hakuna vikwazo vya ziada haitokei. Wacha tuandike tena equation yetu:
2 ∙ gogo x 5 + gogo 125 x 5 = 4 ∙ gogo 25 x 5
Tumepata mlinganyo wenye maneno matatu yaliyo na ishara ya kumbukumbu. Zaidi ya hayo, hoja za logariti zote tatu ni sawa.
Ni wakati wa kubadili logarithms ili kuwaleta kwa msingi sawa - 5. Kwa kuwa kutofautiana b ni mara kwa mara, hakuna mabadiliko katika uwanja wa ufafanuzi hutokea. Tunaandika tena:
[Maelezo ya picha] Kama inavyotarajiwa, logariti sawa zilionekana kwenye dhehebu. Ninapendekeza kuchukua nafasi ya kutofautisha:
logi 5 x = t
Katika kesi hii, equation yetu itaandikwa tena kama ifuatavyo:
Wacha tuandike nambari na tufungue mabano:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12
Wacha turudi kwenye sehemu yetu. Nambari lazima iwe sifuri:
[Maelezo ya picha] Na dhehebu ni tofauti na sifuri:
t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2
Mahitaji ya mwisho yanatimizwa moja kwa moja, kwa kuwa wote "wamefungwa" kwa nambari kamili, na majibu yote hayana mantiki.
Kwa hiyo, mlinganyo wa kimantiki wa sehemu kutatuliwa, maadili ya kutofautisha t hupatikana. Wacha turudi kusuluhisha hesabu ya logarithmic na tukumbuke t ni nini:
[Maelezo ya picha] Tunaleta equation hii kwa fomu ya kisheria, tunapata nambari shahada isiyo na mantiki. Usiruhusu hili likuchanganye - hata hoja kama hizo zinaweza kusawazishwa:
[Maelezo ya picha] Tuna mizizi miwili. Kwa usahihi, majibu mawili ya mgombea - wacha tuyaangalie kwa kufuata kikoa cha ufafanuzi. Kwa kuwa msingi wa logarithm ni kutofautisha x, tunahitaji yafuatayo:
1 ≠ x > 0;
Kwa mafanikio sawa tunasisitiza kuwa x ≠ 1/125, vinginevyo msingi wa logarithm ya pili utageuka kuwa umoja. Hatimaye, x ≠ 1/25 kwa logariti ya tatu.
Kwa jumla, tulipokea vikwazo vinne:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Sasa swali ni: je mizizi yetu inakidhi mahitaji haya? Bila shaka wanatosheleza! Kwa sababu 5 kwa nguvu yoyote itakuwa kubwa kuliko sifuri, na hitaji la x > 0 litaridhika kiotomatiki.
Kwa upande mwingine, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 -3, ambayo ina maana kwamba vikwazo hivi kwa mizizi yetu (ambayo, napenda kukukumbusha, ina nambari isiyo na mantiki) pia wameridhika, na majibu yote mawili ni suluhisho la shida.
Kwa hivyo, tuna jibu la mwisho. Mambo Muhimu Kuna mbili katika shida hii:
- Kuwa mwangalifu unapogeuza logariti hoja na msingi zinapobadilishwa. Mabadiliko kama haya yanaweka vizuizi visivyo vya lazima kwa wigo wa ufafanuzi.
- Usiogope kubadilisha logarithm: huwezi kuzigeuza tu, lakini pia kuzifungua kwa kutumia fomula ya jumla na kwa ujumla kuzibadilisha kwa kutumia fomula zozote ulizosoma wakati wa kusuluhisha. maneno ya logarithmic. Walakini, kumbuka kila wakati: mabadiliko kadhaa hupanua wigo wa ufafanuzi, na wengine hupunguza.
Katika somo hili tutapitia ukweli wa kimsingi wa kinadharia kuhusu logariti na kuzingatia kusuluhisha milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic.
Wacha tukumbuke ufafanuzi wa kati - ufafanuzi wa logarithm. Inahusiana na uamuzi mlingano wa kielelezo. Mlingano huu ina mzizi mmoja, inaitwa logarithm ya b kuweka msingi a:
Ufafanuzi:
Logariti ya b hadi msingi a ni kipeo ambacho msingi lazima uinulishwe ili kupata b.
Hebu tukumbushe kitambulisho cha msingi cha logarithmic.
Usemi (maneno 1) ndio mzizi wa mlinganyo (maneno 2). Badilisha thamani x kutoka kwa usemi 1 badala ya x kwenye usemi 2 na upate kitambulisho kikuu cha logarithmic:
Kwa hivyo tunaona kwamba kila thamani inahusishwa na thamani. Tunaashiria b kwa x(), c na y, na kwa hivyo kupata kazi ya logarithmic:
Kwa mfano: 
Hebu tukumbuke mali ya msingi ya kazi ya logarithmic.
Wacha tuzingatie tena, hapa, kwani chini ya logarithm kunaweza kuwa na usemi mzuri kabisa, kama msingi wa logarithm.
Mchele. 1. Grafu ya kazi ya logarithmic yenye besi tofauti
Grafu ya chaguo la kukokotoa imeonyeshwa kwa rangi nyeusi. Mchele. 1. Hoja ikiongezeka kutoka sufuri hadi infinity, chaguo za kukokotoa huongezeka kutoka minus hadi plus infinity.
Grafu ya chaguo la kukokotoa imeonyeshwa kwa rangi nyekundu. Mchele. 1.
Sifa za kipengele hiki:
Kikoa:;
Msururu wa maadili:;
Kazi ni monotonic katika kikoa chake chote cha ufafanuzi. Wakati monotonically (madhubuti) huongezeka, thamani ya juu hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa. Wakati monotonically (madhubuti) inapungua, thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo la kukokotoa.
Sifa za kitendakazi cha logarithmic ndio ufunguo wa kusuluhisha aina mbalimbali za milinganyo ya logarithmic.
Wacha tuzingatie equation rahisi zaidi ya logarithmic; hesabu zingine zote za logarithmic, kama sheria, hupunguzwa kwa fomu hii.
Kwa kuwa misingi ya logariti na logariti zenyewe ni sawa, kazi zilizo chini ya logariti pia ni sawa, lakini hatupaswi kukosa kikoa cha ufafanuzi. Nambari chanya pekee inaweza kuonekana chini ya logarithm, tuna:
Tuligundua kuwa kazi za f na g ni sawa, kwa hivyo inatosha kuchagua usawa wowote ili kuzingatia ODZ.
Kwa hivyo, tuna mfumo mchanganyiko ambao kuna usawa na usawa:
Kama sheria, sio lazima kusuluhisha usawa; inatosha kutatua equation na kubadilisha mizizi iliyopatikana kwa usawa, na hivyo kufanya ukaguzi.
Wacha tutengeneze njia ya kutatua hesabu rahisi zaidi za logarithmic:
Sawazisha misingi ya logarithms;
Sawazisha kazi za sublogarithmic;
Fanya ukaguzi.
Hebu tuangalie mifano maalum.
Mfano 1 - suluhisha equation:
Misingi ya logariti ni sawa hapo awali, tuna haki ya kusawazisha misemo ya sublogarithmic, usisahau kuhusu ODZ, tunachagua logarithm ya kwanza kutunga usawa:
Mfano wa 2 - suluhisha equation:
Equation hii inatofautiana na ile ya awali kwa kuwa misingi ya logariti ni chini ya moja, lakini hii haiathiri suluhisho kwa njia yoyote:
Wacha tupate mzizi na tuibadilishe kwa usawa:
Tulipokea usawa usio sahihi, ambayo ina maana kwamba mzizi uliopatikana haukidhi ODZ.
Mfano wa 3 - suluhisha equation:
Misingi ya logarithms hapo awali ni sawa, tuna haki ya kusawazisha misemo ya sublogarithmic, usisahau kuhusu ODZ, tunachagua logarithm ya pili kutunga usawa:
Wacha tupate mzizi na tuibadilishe kwa usawa:
Kwa wazi, mizizi ya kwanza tu inakidhi ODZ.
Utangulizi
Logariti zilivumbuliwa ili kuharakisha na kurahisisha hesabu. Wazo la logarithm, ambayo ni, wazo la kuelezea nambari kama nguvu za msingi sawa, ni mali ya Mikhail Stiefel. Lakini katika wakati wa Stiefel, hisabati haikuendelezwa sana na wazo la logarithm halikuendelezwa. Logarithms baadaye ilivumbuliwa wakati huo huo na bila kujitegemea na mwanasayansi wa Scotland John Napier (1550-1617) na Uswisi Jobst Burgi (1552-1632) Napier alikuwa wa kwanza kuchapisha kazi hiyo mwaka wa 1614. yenye kichwa "Maelezo ya jedwali la kushangaza la logarithmu", nadharia ya Napier ya logariti ilitolewa kwa kutosha. kwa ukamilifu, mbinu ya kuhesabu logariti inapewa rahisi zaidi, kwa hiyo sifa za Napier katika uvumbuzi wa logarithmu ni kubwa zaidi kuliko za Bürgi. Bürgi alifanya kazi kwenye meza wakati huo huo kama Napier, lakini kwa muda mrefu aliziweka siri na kuzichapisha mnamo 1620 tu. Napier alifahamu wazo la logarithm karibu 1594. ingawa majedwali yalichapishwa miaka 20 baadaye. Mwanzoni aliita logarithmu zake "nambari za bandia" na ndipo tu akapendekeza kuziita "nambari za bandia" kwa neno moja "logarithm", ambalo lilitafsiriwa kutoka kwa Kigiriki linamaanisha "nambari zinazohusiana", ikichukuliwa moja kutoka kwa maendeleo ya hesabu, na nyingine kutoka kwa hesabu. maendeleo ya kijiometri yaliyochaguliwa mahususi kwa ajili yake. Jedwali la kwanza la Kirusi lilichapishwa mnamo 1703. na ushiriki wa mwalimu mzuri wa karne ya 18. L. F. Magnitsky. Katika maendeleo ya nadharia ya logarithms umuhimu mkubwa ilikuwa na kazi za msomi wa St. Petersburg Leonhard Euler. Alikuwa wa kwanza kuzingatia logariti kama kinyume cha kuinua kwa nguvu; alianzisha maneno "msingi wa logarithm" na "mantissa." Briggs alikusanya majedwali ya logarithmu na msingi wa 10. Jedwali la decimal ni rahisi zaidi kwa matumizi ya vitendo, nadharia yao ni rahisi zaidi kuliko ile ya logariti za Napier. Ndiyo maana logariti za desimali wakati mwingine huitwa brigs. Neno "tabia" lilianzishwa na Briggs.
Katika nyakati hizo za mbali, wakati wahenga walianza kufikiria juu ya usawa ulio na idadi isiyojulikana, labda hakukuwa na sarafu au pochi. Lakini kulikuwa na chungu, pamoja na sufuria na vikapu, ambavyo vilikuwa vyema kwa jukumu la caches za kuhifadhi ambazo zinaweza kushikilia idadi isiyojulikana ya vitu. Katika watu wa kale matatizo ya hisabati Mesopotamia, India, Uchina, Ugiriki, idadi isiyojulikana ilionyesha idadi ya tausi kwenye bustani, idadi ya ng'ombe kwenye kundi, jumla ya vitu vilivyozingatiwa wakati wa kugawanya mali. Waandishi, maafisa na waanzilishi waliofunzwa vyema katika sayansi ya hesabu maarifa ya siri Makuhani walikabiliana kwa mafanikio na kazi kama hizo.
Vyanzo ambavyo vimetufikia vinaonyesha kuwa wanasayansi wa zamani walimiliki baadhi mbinu za jumla kutatua matatizo na kiasi kisichojulikana. Hata hivyo, hakuna papyrus moja au kibao cha udongo kilicho na maelezo ya mbinu hizi. Waandishi mara kwa mara walitoa hesabu zao za nambari na maoni ya haraka kama vile: "Angalia!", "Fanya hivi!", "Umepata moja sahihi." Kwa maana hii, isipokuwa ni "Hesabu" ya mwanahisabati wa Kigiriki Diophantus wa Alexandria (karne ya III) - mkusanyiko wa matatizo ya kutunga equations na uwasilishaji wa utaratibu wa ufumbuzi wao.
Walakini, mwongozo wa kwanza wa kutatua shida ambao ulijulikana sana ulikuwa kazi ya mwanasayansi wa Baghdad wa karne ya 9. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Neno "al-jabr" kutoka kwa jina la Kiarabu la mkataba huu - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitabu cha urejesho na upinzani") - baada ya muda liligeuka kuwa neno linalojulikana sana "algebra", na al- Kazi ya Khwarizmi yenyewe ilitumikia mahali pa kuanzia katika maendeleo ya sayansi ya utatuzi wa milinganyo.
Milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa
1. Milinganyo ya logarithmic
Mlinganyo ulio na kisichojulikana chini ya ishara ya logarithmu au chini yake inaitwa mlinganyo wa logarithmic.
Mlinganyo rahisi zaidi wa logarithmic ni mlinganyo wa fomu
logi a x = b . (1)
Taarifa 1. Ikiwa a > 0, a≠ 1, mlingano (1) kwa uhalisi wowote b Ina uamuzi pekee x = a b .
Mfano 1. Tatua milinganyo:
a) logi 2 x= 3, b) kumbukumbu 3 x= -1, c)
Suluhisho. Kwa kutumia Taarifa ya 1, tunapata a) x= 2 3 au x= 8; b) x= 3 -1 au x= 1/3; c)
au x = 1.Wacha tuonyeshe sifa za msingi za logarithm.
P1. Utambulisho wa msingi wa logarithmic:
Wapi a > 0, a≠ 1 na b > 0.
P2. Logarithm ya bidhaa ya mambo mazuri sawa na jumla logarithm ya mambo haya:
logi a N 1 · N 2 = gogo a N 1 + logi a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).
Maoni. Kama N 1 · N 2 > 0, basi mali P2 inachukua fomu
logi a N 1 · N 2 = gogo a |N 1 | + logi a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).
P3. Logariti ya mgawo wa nambari mbili chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko.
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Maoni. Kama
, (ambayo ni sawa N 1 N 2 > 0) kisha mali P3 inachukua fomu
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Logarithm ya shahada nambari chanya sawa na bidhaa kipeo kwa kila logariti ya nambari hii:
logi a N k = k logi a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Maoni. Kama k - idadi sawa (k = 2s), Hiyo
logi a N 2s = 2s logi a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Mfumo wa kuhamia msingi mwingine:
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
hasa kama N = b, tunapata
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)Kutumia mali P4 na P5, ni rahisi kupata mali zifuatazo
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
na, ikiwa katika (5) c- idadi sawa ( c = 2n), hutokea
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Hebu tuorodhe mali kuu ya kazi ya logarithmic f (x) = logi a x :
1. Kikoa cha ufafanuzi wa kitendakazi cha logarithmic ni seti ya nambari chanya.
2. Msururu wa thamani za kitendakazi cha logarithmic ni seti ya nambari halisi.
3. Wakati a> Kitendaji 1 cha logarithmic kinaongezeka sana (0< x 1 < x 2 logi a x 1 < loga x 2), na kwa 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 logi a x 1 > kumbukumbu a x 2).
4.logi a 1 = 0 na logi a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Ikiwa a> 1, basi kitendakazi cha logarithmic ni hasi wakati x(0;1) na chanya katika x(1;+∞), na ikiwa 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) na hasi katika x (1;+∞).
6. Kama a> 1, basi kitendakazi cha logarithmic ni mbonyeo kwenda juu, na ikiwa a(0;1) - convex kuelekea chini.
Taarifa zifuatazo (tazama, kwa mfano,) hutumiwa wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic.
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.