Baada ya kusawazisha, tunapata kazi ya fomu ifuatayo: g (x) = x + 1 3 + 1 .
Tunaweza kukadiria data hii kwa kutumia uhusiano wa mstari y = a x + b kwa kuhesabu vigezo vinavyolingana. Ili kufanya hivyo, tutahitaji kutumia njia inayoitwa angalau mraba. Pia utahitaji kutengeneza mchoro ili kuangalia ni mstari upi utakaosawazisha data ya majaribio vyema.
Yandex.RTB R-A-339285-1
OLS ni nini (njia ya angalau mraba)
Jambo kuu tunalohitaji kufanya ni kupata mgawo kama huo wa utegemezi wa mstari ambao thamani ya kazi ya vigezo viwili F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itakuwa ndogo zaidi. Kwa maneno mengine, kwa maadili fulani ya a na b, jumla ya upungufu wa mraba wa data iliyowasilishwa kutoka kwa mstari wa moja kwa moja unaosababishwa utakuwa na thamani ya chini. Hii ndiyo maana ya mbinu ya angalau miraba. Tunachohitaji kufanya ili kutatua mfano ni kupata upeo wa kazi ya vigezo viwili.
Jinsi ya kupata fomula za kuhesabu coefficients
Ili kupata fomula za kuhesabu coefficients, unahitaji kuunda na kutatua mfumo wa equations na vigezo viwili. Ili kufanya hivyo, tunahesabu derivatives ya sehemu ya usemi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 kwa heshima na a na b na kuzilinganisha na 0.
δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = 1 n ay ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i
Ili kutatua mfumo wa equations, unaweza kutumia njia yoyote, kwa mfano, mbadala au njia ya Cramer. Kwa hivyo, tunapaswa kuwa na fomula zinazoweza kutumiwa kukokotoa vigawo kwa kutumia mbinu ya angalau miraba.
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n
Tumekokotoa thamani za viambajengo ambamo chaguo la kukokotoa
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 itachukua thamani ya chini. Katika aya ya tatu tutathibitisha kwa nini iko hivi hasa.
Huu ni utumiaji wa njia ya miraba ndogo katika mazoezi. Fomula yake, ambayo hutumika kupata kigezo a, inajumuisha ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, pamoja na parameta.
n - inaashiria kiasi cha data ya majaribio. Tunakushauri kuhesabu kila kiasi tofauti. Thamani ya mgawo b huhesabiwa mara baada ya a.
Hebu turudi kwenye mfano wa awali.
Mfano 1
Hapa tuna n sawa na tano. Ili iwe rahisi zaidi kuhesabu kiasi kinachohitajika kilichojumuishwa katika fomula za mgawo, hebu tujaze meza.
| mimi = 1 | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | ∑ i = 1 5 | |
| Xi | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 12 |
| y i | 2 , 1 | 2 , 4 | 2 , 6 | 2 , 8 | 3 | 12 , 9 |
| x i y i | 0 | 2 , 4 | 5 , 2 | 11 , 2 | 15 | 33 , 8 |
| x mimi 2 | 0 | 1 | 4 | 16 | 25 | 46 |
Suluhisho
Safu ya nne ni pamoja na data iliyopatikana kwa kuzidisha maadili kutoka safu ya pili na maadili ya tatu kwa kila mtu i. Mstari wa tano una data kutoka kwa pili, mraba. Safu wima ya mwisho inaonyesha jumla ya maadili ya safu mlalo mahususi.
Wacha tutumie njia ya miraba ndogo zaidi kukokotoa mgawo a na b tunayohitaji. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotakiwa kutoka kwa safu ya mwisho na uhesabu kiasi:
n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n x i n ⇒ 3, 8 5 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184
Inabadilika kuwa mstari wa moja kwa moja unaokaribia unaohitajika utaonekana kama y = 0, 165 x + 2, 184. Sasa tunahitaji kuamua ni mstari gani utakaokadiria data vizuri zaidi - g (x) = x + 1 3 + 1 au 0, 165 x + 2, 184. Wacha tukadirie kwa kutumia njia ya miraba kidogo zaidi.
Ili kuhesabu kosa, tunahitaji kupata jumla ya kupotoka kwa mraba wa data kutoka kwa mistari ya moja kwa moja σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 na σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) - g (x i)) 2, thamani ya chini itafanana na mstari unaofaa zaidi.
σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096
Jibu: tangu σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0.165 x + 2.184.
Njia ya miraba ndogo inaonyeshwa wazi katika mchoro wa picha. Mstari mwekundu unaashiria mstari wa moja kwa moja g (x) = x + 1 3 + 1, mstari wa bluu alama y = 0, 165 x + 2, 184. Data ya awali inaonyeshwa na dots pink.
Hebu tueleze ni kwa nini hasa makadirio ya aina hii yanahitajika.
Zinaweza kutumika katika kazi zinazohitaji kulainisha data, na vile vile katika zile ambapo data lazima iingizwe au kuongezwa. Kwa mfano, katika tatizo lililojadiliwa hapo juu, mtu anaweza kupata thamani ya kiasi kinachozingatiwa y kwa x = 3 au kwa x = 6. Tumetoa nakala tofauti kwa mifano kama hii.
Uthibitisho wa njia ya OLS
Ili kazi kuchukua thamani ya chini wakati a na b zinahesabiwa, ni muhimu kwamba katika hatua fulani matrix ya fomu ya quadratic ya tofauti ya kazi ya fomu F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ni chanya uhakika. Hebu tuonyeshe jinsi inapaswa kuonekana.
Mfano 2
Tuna tofauti ya mpangilio wa pili wa fomu ifuatayo:
d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b
Suluhisho
δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n
Kwa maneno mengine, tunaweza kuiandika hivi: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.
Tulipata matrix ya fomu ya quadratic M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n.
Katika kesi hii, maadili ya vitu vya mtu binafsi hayatabadilika kulingana na a na b . Je! tumbo hili ni chanya? Ili kujibu swali hili, hebu tuangalie ikiwa watoto wake wa angular ni chanya.
Tunahesabu ndogo ya angular ya utaratibu wa kwanza: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0. Kwa kuwa pointi x silingani, ukosefu wa usawa ni mkali. Tutazingatia hili katika mahesabu zaidi.
Tunahesabu agizo la pili la angular:
d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2
Baada ya hayo, tunaendelea kuthibitisha ukosefu wa usawa n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 kwa kutumia uingizaji wa hisabati.
- Wacha tuangalie ikiwa ukosefu huu wa usawa ni halali kwa n kiholela. Wacha tuchukue 2 na tuhesabu:
2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0
Tumepata usawa sahihi (ikiwa thamani x 1 na x 2 hazilingani).
- Hebu tufanye dhana kwamba usawa huu utakuwa wa kweli kwa n, i.e. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 - kweli.
- Sasa tutathibitisha uhalali wa n + 1, i.e. kwamba (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, ikiwa n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .
Tunahesabu:
(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0
Usemi ulioambatanishwa katika viunga vya curly utakuwa mkubwa kuliko 0 (kulingana na kile tulichofikiri katika hatua ya 2), na maneno yaliyobaki yatakuwa makubwa kuliko 0, kwa kuwa yote ni miraba ya nambari. Tumethibitisha ukosefu wa usawa.
Jibu: kupatikana a na b italingana na thamani ndogo zaidi ya kazi F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, ambayo ina maana kwamba ni vigezo vinavyohitajika vya mbinu ya angalau mraba. (LSM).
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Njia ya angalau mraba inayotumika kukadiria vigezo vya mlinganyo wa rejista.Mojawapo ya njia za kusoma uhusiano wa stochastic kati ya sifa ni uchambuzi wa urejeshaji.
Uchanganuzi wa urejeshi ni utokezaji wa mlinganyo wa urejeshi, kwa usaidizi ambao thamani ya wastani ya kigeuzo bila mpangilio (sifa ya matokeo) hupatikana ikiwa thamani ya vigeu vingine (au vingine) (factor-sifa) inajulikana. Inajumuisha hatua zifuatazo:
- uteuzi wa fomu ya uunganisho (aina ya equation ya regression ya uchambuzi);
- makadirio ya vigezo vya equation;
- tathmini ya ubora wa mlinganyo wa urejeleaji wa uchanganuzi.
Katika kesi ya uhusiano wa jozi ya mstari, mlinganyo wa kurejesha utachukua fomu: y i =a+b·x i +u i . Vigezo a na b vya mlingano huu vinakadiriwa kutoka kwa data ya uchunguzi wa takwimu x na y. Matokeo ya tathmini kama hii ni equation: , ambapo , ni makadirio ya vigezo a na b , ni thamani ya sifa inayotokana (kigeu) kilichopatikana kutoka kwa mlingano wa kurejesha (thamani iliyohesabiwa).
Mara nyingi hutumika kukadiria vigezo njia ya angalau mraba (LSM).
Mbinu ya miraba ya uchache zaidi hutoa makadirio bora zaidi (ya thabiti, bora na yasiyo na upendeleo) ya vigezo vya mlingano wa rejista. Lakini ikiwa tu mawazo fulani kuhusu neno la nasibu (u) na tofauti huru (x) yanatimizwa (angalia mawazo ya OLS).
Tatizo la kukadiria vigezo vya mlingano wa jozi ya mstari kwa kutumia mbinu ya angalau miraba ni kama ifuatavyo: kupata makadirio kama haya ya vigezo , , ambayo jumla ya kupotoka kwa mraba ya maadili halisi ya tabia ya matokeo - y i kutoka kwa maadili yaliyohesabiwa - ni ndogo.
Rasmi Mtihani wa OLS inaweza kuandikwa kama hii: 
.
Uainishaji wa mbinu za angalau miraba
- Njia ya angalau mraba.
- Mbinu ya uwezekano wa kiwango cha juu (kwa modeli ya kawaida ya urejeshaji ya mstari wa kawaida, hali ya kawaida ya mabaki ya urejeleaji huwekwa).
- Njia ya jumla ya miraba ya OLS hutumiwa katika kesi ya urekebishaji wa makosa na katika kesi ya heteroscedasticity.
- Njia ya miraba yenye uzani mdogo (kesi maalum ya OLS iliyo na mabaki ya heteroscedastic).
Hebu tuonyeshe jambo hilo mbinu ya miraba ya kiwango cha chini kigraphic. Ili kufanya hivyo, tutaunda njama ya kutawanya kulingana na data ya uchunguzi (x i, y i, i = 1;n) katika mfumo wa kuratibu wa mstatili (njama hiyo ya kutawanya inaitwa uwanja wa uwiano). Wacha tujaribu kuchagua mstari wa moja kwa moja ambao uko karibu na vidokezo vya uwanja wa uunganisho. Kwa mujibu wa njia ya angalau mraba, mstari huchaguliwa ili jumla ya mraba wa umbali wa wima kati ya pointi za uwanja wa uwiano na mstari huu ni mdogo. 
Nukuu za hisabati kwa tatizo hili: 
.
Thamani za y i na x i =1...n zinajulikana kwetu; hizi ni data za uchunguzi. Katika kazi ya S wanawakilisha mara kwa mara. Vigezo katika kazi hii ni makadirio yanayotakiwa ya vigezo - , . Ili kupata kiwango cha chini cha kazi ya vigezo viwili, ni muhimu kuhesabu derivatives ya sehemu ya kazi hii kwa kila moja ya vigezo na kuwafananisha na sifuri, i.e. 
.
Kama matokeo, tunapata mfumo wa milinganyo 2 ya kawaida ya mstari: 
Kutatua mfumo huu, tunapata makadirio ya parameta inayohitajika: 
Usahihi wa hesabu ya vigezo vya equation ya regression inaweza kuangaliwa kwa kulinganisha kiasi (kunaweza kuwa na tofauti fulani kutokana na kuzunguka kwa mahesabu).
Ili kuhesabu makadirio ya vigezo, unaweza kuunda Jedwali 1.
Ishara ya mgawo wa urejeshaji b inaonyesha mwelekeo wa uhusiano (ikiwa b > 0, uhusiano ni wa moja kwa moja, ikiwa b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Hapo awali, thamani ya parameta a ni thamani ya wastani ya y na x sawa na sifuri. Ikiwa kipengele cha sifa hakina na hakiwezi kuwa na thamani ya sifuri, basi tafsiri ya hapo juu ya parameta haina maana.
Tathmini ya ukaribu wa uhusiano kati ya sifa
kutekelezwa kwa kutumia mgawo wa uunganisho wa jozi ya mstari - r x,y. Inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: 
. Kwa kuongezea, mgawo wa uunganisho wa jozi ya mstari unaweza kubainishwa kupitia mgawo wa rejista b: 
.
Aina mbalimbali za thamani zinazokubalika za mgawo wa uunganisho wa jozi ya mstari ni kutoka -1 hadi +1. Ishara ya mgawo wa uwiano inaonyesha mwelekeo wa uhusiano. Ikiwa r x, y > 0, basi uunganisho ni wa moja kwa moja; ikiwa r x, y<0, то связь обратная.
Ikiwa mgawo huu uko karibu na umoja kwa ukubwa, basi uhusiano kati ya sifa unaweza kufasiriwa kama mstari wa karibu sana. Ikiwa moduli yake ni sawa na ê r x , y ê =1, basi uhusiano kati ya sifa ni mstari wa kazi. Ikiwa vipengele vya x na y vinajitegemea kimstari, basi r x,y iko karibu na 0.
Ili kukokotoa r x,y, unaweza pia kutumia Jedwali 1.
Jedwali 1
| N uchunguzi | Xi | y i | x i ∙y i | ||
| 1 | x 1 | y 1 | x 1 y 1 | ||
| 2 | x 2 | y 2 | x 2 y 2 | ||
| ... | |||||
| n | x n | y n | x n y n | ||
| Jumla ya Safu | ∑x | ∑y | ∑xy | ||
| Thamani ya wastani |
 |
 |
,
ambapo d 2 ni tofauti ya y iliyoelezewa na mlinganyo wa kurejesha;
e 2 - mabaki (isiyoelezewa na usawa wa regression) tofauti ya y;
s 2 y - jumla (jumla) tofauti ya y.
Mgawo wa uamuzi unabainisha uwiano wa tofauti (mtawanyiko) wa sifa tokeo y iliyofafanuliwa na urejeshaji (na, kwa hiyo, sababu x) katika tofauti ya jumla (mtawanyiko) y. Mgawo wa uamuzi R 2 yx huchukua maadili kutoka 0 hadi 1. Ipasavyo, thamani 1-R 2 yx inaashiria uwiano wa tofauti y unaosababishwa na ushawishi wa mambo mengine ambayo hayajazingatiwa katika mfano na makosa ya vipimo.
Kwa urejeshaji wa mstari uliooanishwa, R 2 yx =r 2 yx.
Inatumika sana katika uchumi kwa namna ya tafsiri ya wazi ya kiuchumi ya vigezo vyake.
Urejeshaji wa mstari huja chini kupata mlingano wa fomu
au 
Mlinganyo wa fomu 
inaruhusu kulingana na maadili maalum ya parameta X kuwa na maadili ya kinadharia ya tabia ya matokeo, ikibadilisha maadili halisi ya jambo hilo ndani yake. X.
Ujenzi wa urejeshaji wa mstari unakuja chini kwa kukadiria vigezo vyake - A Na V. Makadirio ya parameta ya urejeshaji wa mstari yanaweza kupatikana kwa kutumia mbinu tofauti.
Mbinu ya kitamaduni ya kukadiria vigezo vya rejista ya mstari inategemea njia ya angalau mraba(MNC).
Njia ya angalau miraba huturuhusu kupata makadirio kama haya ya vigezo A Na V, ambapo jumla ya mikengeuko ya mraba ya maadili halisi ya sifa ya matokeo (y) kutoka kwa mahesabu (kinadharia) kiwango cha chini:
Ili kupata kiwango cha chini cha chaguo za kukokotoa, unahitaji kuhesabu sehemu ya sehemu kwa kila kigezo A Na b na kuziweka sawa na sifuri.
Hebu kuashiria 
kupitia S, kisha:
Kubadilisha fomula, tunapata mfumo ufuatao wa milinganyo ya kawaida ya kukadiria vigezo A Na V:
Kutatua mfumo wa hesabu za kawaida (3.5) ama kwa njia ya uondoaji wa mlolongo wa vigezo au kwa njia ya viashiria, tunapata makadirio yanayotakiwa ya vigezo. A Na V.
Kigezo V inayoitwa mgawo wa urejeshaji. Thamani yake inaonyesha mabadiliko ya wastani katika matokeo na mabadiliko ya kipengele kwa kitengo kimoja.
Equation ya urejeshaji daima huongezewa na kiashiria cha ukaribu wa muunganisho. Wakati wa kutumia urejeshaji wa mstari, kiashiria kama hicho ni mgawo wa uunganisho wa mstari. Kuna marekebisho tofauti ya fomula ya mgawo wa uunganisho wa mstari. Baadhi yao wamepewa hapa chini:
Kama inavyojulikana, mgawo wa uunganisho wa mstari uko ndani ya mipaka: -1 ≤ ≤ 1.
Ili kutathmini ubora wa uteuzi wa kazi ya mstari, mraba huhesabiwa
Mgawo wa uunganisho wa mstari unaoitwa mgawo wa uamuzi. Mgawo wa uamuzi ni sifa ya uwiano wa kutofautiana kwa sifa inayotokana y, iliyoelezewa na rejista, katika tofauti ya jumla ya sifa inayosababishwa:
Ipasavyo, thamani 1 inaashiria sehemu ya tofauti y, unasababishwa na ushawishi wa mambo mengine ambayo hayajazingatiwa katika mfano.
Maswali ya kujidhibiti
1. Kiini cha mbinu ya angalau miraba?
2. Je, urejeshaji rejea wa jozi hutoa vigeu vingapi?
3. Ni mgawo gani huamua ukaribu wa uhusiano kati ya mabadiliko?
4. Ndani ya mipaka gani mgawo wa uamuzi umeamua?
5. Makadirio ya parameta b katika uchanganuzi wa urejeleaji wa uunganisho?
1. Christopher Dougherty. Utangulizi wa uchumi. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 p.
2. S.A. Borodich. Uchumi. Minsk LLC "Maarifa Mpya" 2001.
3. R.U. Rakhmetova Kozi fupi katika uchumi. Mafunzo. Almaty. 2004. -78p.
4. I.I. Eliseeva, Uchumi. - M.: "Fedha na Takwimu", 2002
5. Taarifa za kila mwezi na gazeti la uchambuzi.
Mifano ya kiuchumi isiyo ya mstari. Miundo ya urejeshaji isiyo ya mstari. Mabadiliko ya vigezo.
Miundo ya kiuchumi isiyo ya mstari..
Mabadiliko ya vigezo.
Mgawo wa elasticity.
Ikiwa kuna uhusiano usio na mstari kati ya matukio ya kiuchumi, basi huonyeshwa kwa kutumia kazi zinazofanana zisizo za mstari: kwa mfano, hyperbola ya usawa. 
,
parabolas ya shahada ya pili 
na nk.
Kuna aina mbili za rejista zisizo za mstari:
1. Marekebisho ambayo hayana mstari kuhusiana na vigezo vya maelezo vilivyojumuishwa katika uchanganuzi, lakini vinafuatana kwa kuzingatia vigezo vilivyokadiriwa, kwa mfano:
Polynomials za digrii mbalimbali - 
, ;
Hyperbola ya usawa -;
Kazi ya semilogarithmic -.
2. Marekebisho ambayo hayana mstari katika vigezo vinavyokadiriwa, kwa mfano:
Nguvu -;
Kuonyesha -;
Kielelezo -.
Jumla ya mikengeuko ya mraba ya maadili ya mtu binafsi ya tabia inayosababisha katika kutoka kwa thamani ya wastani husababishwa na ushawishi wa sababu nyingi. Wacha tugawanye kwa masharti seti nzima ya sababu katika vikundi viwili: kipengele chini ya utafiti x Na mambo mengine.
Ikiwa sababu haiathiri matokeo, basi mstari wa rejista kwenye grafu ni sambamba na mhimili. Oh Na 
Kisha tofauti nzima ya tabia inayotokana ni kutokana na ushawishi wa mambo mengine na jumla ya jumla ya kupotoka kwa mraba itafanana na mabaki. Ikiwa mambo mengine hayaathiri matokeo, basi y amefungwa Na X kiutendaji na jumla iliyobaki ya miraba ni sifuri. Katika kesi hii, jumla ya mikengeuko ya mraba iliyoelezewa na urejeshaji ni sawa na jumla ya miraba.
Kwa kuwa sio alama zote za uwanja wa uunganisho ziko kwenye mstari wa rejista, kutawanya kwao kila wakati hufanyika kama matokeo ya ushawishi wa sababu. X, yaani kurudi nyuma katika Na X, na kusababishwa na sababu nyingine (tofauti isiyoelezeka). Utoshelevu wa safu ya rejista kwa utabiri inategemea ni sehemu gani ya tofauti ya jumla ya sifa katika akaunti kwa tofauti iliyoelezwa
Ni wazi, ikiwa jumla ya mikengeuko ya mraba kwa sababu ya kurudi nyuma ni kubwa kuliko jumla iliyobaki ya miraba, basi mlinganyo wa rejista ni muhimu kitakwimu na sababu X ina athari kubwa kwa matokeo u.
, yaani, na idadi ya uhuru wa tofauti huru ya sifa. Idadi ya digrii za uhuru inahusiana na idadi ya vitengo vya idadi ya watu n na idadi ya viwango vilivyoamuliwa kutoka kwayo. Kuhusiana na shida inayochunguzwa, idadi ya digrii za uhuru inapaswa kuonyesha ni mikengeuko mingapi ya kujitegemea kutoka P
Tathmini ya umuhimu wa mlinganyo wa kurejesha kwa ujumla hutolewa kwa kutumia F-Kigezo cha wavuvi. Katika kesi hii, hypothesis isiyofaa inawekwa mbele kwamba mgawo wa regression ni sawa na sifuri, i.e. b = 0, na kwa hivyo sababu X haiathiri matokeo u.
Hesabu ya haraka ya jaribio la F hutanguliwa na uchanganuzi wa tofauti. Mahali pa kati ndani yake huchukuliwa na mtengano wa jumla ya upungufu wa mraba wa kutofautisha. katika kutoka kwa thamani ya wastani katika katika sehemu mbili - "iliyoelezewa" na "isiyoelezewa":
- jumla ya kupotoka kwa mraba;
- jumla ya kupotoka kwa mraba iliyoelezewa na regression;
- Jumla ya mabaki ya mikengeuko ya mraba.
Jumla ya mikengeuko ya mraba inahusiana na idadi ya digrii za uhuru , yaani, na idadi ya uhuru wa tofauti huru ya sifa. Idadi ya digrii za uhuru inahusiana na idadi ya vitengo vya idadi ya watu n na kwa idadi ya viunga vilivyoamuliwa kutoka kwayo. Kuhusiana na shida inayochunguzwa, idadi ya digrii za uhuru inapaswa kuonyesha ni mikengeuko mingapi ya kujitegemea kutoka P iwezekanavyo inahitajika kuunda jumla fulani ya mraba.
Mtawanyiko kwa kiwango cha uhuruD.
Uwiano wa F (Jaribio la F): 
Ikiwa nadharia tupu ni kweli, basi sababu na tofauti za mabaki hazitofautiani kutoka kwa kila mmoja. Kwa H 0, kukanusha ni muhimu ili mtawanyiko wa sababu uzidi utawanyiko wa mabaki mara kadhaa. Mtaalamu wa takwimu wa Kiingereza Snedekor alitengeneza majedwali ya maadili muhimu F-mahusiano katika viwango tofauti vya umuhimu wa nadharia tupu na idadi tofauti ya digrii za uhuru. Thamani ya jedwali F-kigezo ni thamani ya juu zaidi ya uwiano wa tofauti zinazoweza kutokea katika kesi ya mseto wa nasibu kwa kiwango fulani cha uwezekano wa kuwepo kwa dhana potofu. Thamani iliyohesabiwa F-mahusiano huchukuliwa kuwa ya kuaminika ikiwa o ni kubwa kuliko jedwali.
Katika kesi hii, dhana potofu juu ya kukosekana kwa uhusiano kati ya ishara inakataliwa na hitimisho hutolewa juu ya umuhimu wa uhusiano huu: F ukweli > F jedwali H 0 imekataliwa.
Ikiwa thamani ni ndogo kuliko ilivyoonyeshwa kwenye jedwali F ukweli ‹, F jedwali, basi uwezekano wa nadharia tupu ni ya juu kuliko kiwango maalum na haiwezi kukataliwa bila hatari kubwa ya kutoa hitimisho lisilo sahihi kuhusu uwepo wa uhusiano. Katika kesi hii, equation ya regression inachukuliwa kuwa isiyo na maana kitakwimu. Lakini yeye hageuki.
Hitilafu ya kawaida ya mgawo wa kurejesha
Ili kutathmini umuhimu wa mgawo wa urekebishaji, thamani yake inalinganishwa na hitilafu yake ya kawaida, i.e. thamani halisi imedhamiriwa t- Mtihani wa mwanafunzi: 
ambayo basi inalinganishwa na thamani ya jedwali katika kiwango fulani cha umuhimu na idadi ya digrii za uhuru ( n- 2).
Hitilafu ya kigezo cha kawaida A:
Umuhimu wa mgawo wa uunganisho wa mstari huangaliwa kulingana na ukubwa wa hitilafu. mgawo wa uwiano t r:
Tofauti ya jumla ya sifa X: 
Urejeshaji wa Mistari Nyingi
Jengo la mfano
Rejea nyingi inawakilisha mrejesho wa sifa faafu yenye vipengele viwili au zaidi, yaani kielelezo cha umbo
Kurudi nyuma kunaweza kutoa matokeo mazuri katika uundaji wa mfano ikiwa ushawishi wa mambo mengine yanayoathiri kitu cha utafiti unaweza kupuuzwa. Tabia ya vigezo vya kiuchumi vya mtu binafsi haiwezi kudhibitiwa, i.e. haiwezekani kuhakikisha usawa wa hali zingine zote za kutathmini ushawishi wa jambo moja chini ya utafiti. Katika kesi hii, unapaswa kujaribu kutambua ushawishi wa mambo mengine kwa kuwaanzisha katika mfano, i.e., tengeneza equation nyingi za rejista: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .
Lengo kuu la regression nyingi ni kujenga mfano na idadi kubwa ya mambo, wakati wa kuamua ushawishi wa kila mmoja wao tofauti, pamoja na athari zao za pamoja kwenye kiashiria cha mfano. Uainishaji wa modeli ni pamoja na safu mbili za maswala: uteuzi wa sababu na uchaguzi wa aina ya mlinganyo wa rejista.
Njia ya angalau mraba
Njia ya angalau mraba ( OLS, OLS, Viwanja Vidogo vya Kawaida) - mojawapo ya mbinu za msingi za uchanganuzi wa urejeshi kwa kukadiria vigezo visivyojulikana vya mifano ya urejeshi kwa kutumia data ya sampuli. Njia hiyo inategemea kupunguza jumla ya miraba ya mabaki ya rejista.
Ikumbukwe kwamba mbinu ya miraba ndogo yenyewe inaweza kuitwa njia ya kutatua tatizo katika eneo lolote ikiwa suluhisho liko au kukidhi baadhi ya kigezo cha kupunguza jumla ya miraba ya baadhi ya kazi za vigezo vinavyohitajika. Kwa hivyo, njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika kwa uwakilishi wa takriban (ukadirio) wa chaguo la kukokotoa lililotolewa na vitendakazi vingine (rahisi), wakati wa kutafuta seti ya kiasi ambacho kinakidhi hesabu au vikwazo, idadi ambayo inazidi idadi ya kiasi hiki. , na kadhalika.
Asili ya MNC
Acha mfano fulani wa (parametric) wa uhusiano wa uwezekano (regression) kati ya kutofautisha (iliyoelezewa) itolewe. y na mambo mengi (vigezo vya maelezo) x
iko wapi vekta ya vigezo vya mfano visivyojulikana
- hitilafu ya mfano wa nasibu.Wacha pia kuwe na uchunguzi wa sampuli wa maadili ya anuwai hizi. Wacha iwe nambari ya uchunguzi (). Kisha ni maadili ya vigezo katika uchunguzi th. Halafu, kwa maadili yaliyopewa ya vigezo b, inawezekana kuhesabu maadili ya kinadharia (mfano) ya tofauti iliyoelezewa y:
Saizi ya mabaki inategemea maadili ya vigezo b.
Kiini cha mbinu ya angalau miraba (ya kawaida, ya kawaida) ni kupata vigezo b ambavyo jumla ya miraba ya mabaki (eng. Jumla ya Mabaki ya Mraba) itakuwa ndogo:
Katika hali ya jumla, shida hii inaweza kutatuliwa kwa njia za uboreshaji wa nambari (kupunguza). Katika kesi hii, wanazungumza miraba isiyo ya mstari isiyo na mstari(NLS au NLLS - Kiingereza) Viwanja Vidogo Visivyo na Linear) Katika hali nyingi inawezekana kupata suluhisho la uchambuzi. Ili kutatua tatizo la kupunguza, ni muhimu kupata pointi za stationary za kazi kwa kutofautisha kwa heshima na vigezo visivyojulikana b, kusawazisha derivatives kwa sifuri na kutatua mfumo unaosababishwa wa equations:
Ikiwa hitilafu za nasibu za modeli zinasambazwa kwa kawaida, zina tofauti sawa, na hazijaunganishwa, makadirio ya vigezo vya OLS ni sawa na makadirio ya uwezekano wa juu zaidi (MLM).
OLS katika kesi ya mfano wa mstari
Wacha utegemezi wa rejista uwe wa mstari:
Hebu y ni vekta ya safu ya uchunguzi wa utofauti ulioelezewa, na ni matrix ya uchunguzi wa sababu (safu za matrix ni vekta za maadili ya sababu katika uchunguzi fulani, safu ni vekta ya maadili ya jambo fulani. katika uchunguzi wote). Uwakilishi wa matrix ya mfano wa mstari ni:
Halafu vekta ya makadirio ya utofauti ulioelezewa na vekta ya mabaki ya rejista itakuwa sawa.
Ipasavyo, jumla ya miraba ya mabaki ya rejista itakuwa sawa na
Kutofautisha kazi hii kwa heshima na vekta ya vigezo na kusawazisha derivatives kwa sifuri, tunapata mfumo wa equations (katika fomu ya tumbo):
.Suluhisho la mfumo huu wa equations hutoa fomula ya jumla ya makadirio ya miraba angalau kwa mfano wa mstari:
Kwa madhumuni ya uchambuzi, uwakilishi wa mwisho wa fomula hii ni muhimu. Ikiwa katika muundo wa rejista data iliyozingatia, basi katika uwakilishi huu matrix ya kwanza ina maana ya sampuli covariance matrix ya mambo, na ya pili ni vekta ya covariances ya mambo na variable tegemezi. Ikiwa kwa kuongeza data ni pia kawaida kwa MSE (hiyo ni, hatimaye sanifu), basi matrix ya kwanza ina maana ya matrix ya uunganisho wa sampuli ya mambo, vekta ya pili - vekta ya uunganisho wa sampuli ya mambo na kutofautisha tegemezi.
Sifa muhimu ya makadirio ya OLS kwa mifano na mara kwa mara- mstari wa urekebishaji uliojengwa hupitia katikati ya mvuto wa data ya sampuli, ambayo ni, usawa umeridhika:
Hasa, katika hali mbaya, wakati regressor pekee ni mara kwa mara, tunaona kwamba makadirio ya OLS ya parameter pekee (mara kwa mara yenyewe) ni sawa na thamani ya wastani ya kutofautiana iliyoelezwa. Hiyo ni, maana ya hesabu, inayojulikana kwa mali zake nzuri kutoka kwa sheria za idadi kubwa, pia ni makadirio ya mraba - inakidhi kigezo cha jumla ya upungufu wa mraba kutoka kwake.
Mfano: urejeshaji rahisi zaidi (wa jozi).
Katika kesi ya urekebishaji wa mstari uliooanishwa, fomula za hesabu hurahisishwa (unaweza kufanya bila algebra ya matrix):
Sifa za wakadiriaji wa OLS
Kwanza kabisa, tunaona kuwa kwa mifano ya mstari, makadirio ya OLS ni makadirio ya mstari, kama ifuatavyo kutoka kwa fomula hapo juu. Kwa makadirio ya OLS yasiyo na upendeleo, ni muhimu na ya kutosha kutimiza hali muhimu zaidi ya uchanganuzi wa urejeshaji: matarajio ya hisabati ya hitilafu ya nasibu, yenye masharti ya vipengele, lazima iwe sawa na sifuri. Hali hii, hasa, imeridhika ikiwa
- matarajio ya hisabati ya makosa ya nasibu ni sifuri, na
- sababu na makosa ya nasibu ni vigeu huru vya nasibu.
Hali ya pili - hali ya exogeneity ya mambo - ni ya msingi. Ikiwa mali hii haijafikiwa, basi tunaweza kudhani kuwa karibu makadirio yoyote yatakuwa ya kuridhisha sana: hayatakuwa sawa (yaani, hata idadi kubwa ya data hairuhusu kupata makadirio ya hali ya juu katika kesi hii. ) Katika kesi ya classical, dhana yenye nguvu zaidi inafanywa juu ya uamuzi wa mambo, kinyume na hitilafu ya random, ambayo ina maana moja kwa moja kwamba hali ya exogeneity imekutana. Katika hali ya jumla, kwa uwiano wa makadirio, inatosha kukidhi hali ya exogeneity pamoja na muunganiko wa tumbo hadi baadhi ya matrix isiyo ya umoja kadiri saizi ya sampuli inavyoongezeka hadi infinity.
Ili, pamoja na uthabiti na kutokuwa na upendeleo, makadirio ya (ya kawaida) miraba ndogo kuwa na ufanisi pia (bora zaidi katika darasa la makadirio yasiyo na upendeleo), sifa za ziada za makosa ya nasibu lazima zitimizwe:
Mawazo haya yanaweza kutengenezwa kwa matrix ya udadisi ya vekta ya makosa bila mpangilio
Mfano wa mstari unaokidhi masharti haya unaitwa classical. Makadirio ya OLS ya urejeleaji wa mstari wa kitamaduni hayana upendeleo, thabiti na makadirio bora zaidi katika darasa la makadirio yote yasiyopendelea upande wowote (katika fasihi ya Kiingereza ufupisho wakati mwingine hutumiwa. BLUU (Mkadiriaji Bora wa Linear Bila Msingi) - makadirio bora ya mstari usio na upendeleo; katika fasihi ya Kirusi nadharia ya Gauss-Markov inatajwa mara nyingi). Kama ilivyo rahisi kuonyesha, matrix ya udadisi ya vekta ya makadirio ya mgawo itakuwa sawa na:
OLS ya jumla
Njia ya miraba ndogo inaruhusu ujanibishaji mpana. Badala ya kupunguza jumla ya miraba ya mabaki, mtu anaweza kupunguza aina fulani chanya ya quadratic ya vekta ya mabaki, ambapo kuna matrix fulani ya uzani chanya ya ulinganifu. Mraba mdogo wa kawaida ni kesi maalum ya mbinu hii, ambapo matrix ya uzito ni sawia na matrix ya utambulisho. Kama inavyojulikana kutoka kwa nadharia ya matrices ya ulinganifu (au waendeshaji), kwa matiti kama hayo kuna mtengano. Kwa hivyo, kazi iliyoainishwa inaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo, ambayo ni kwamba, utendaji huu unaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba ya "mabaki" kadhaa yaliyobadilishwa. Kwa hivyo, tunaweza kutofautisha darasa la njia ndogo za mraba - njia za LS (Mraba Mdogo).
Imethibitishwa (nadharia ya Aitken) kwamba kwa modeli ya urejeshaji ya laini ya jumla (ambayo hakuna vikwazo vinavyowekwa kwenye matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), yenye ufanisi zaidi (katika darasa la makadirio ya mstari usio na upendeleo) ni yale yanayoitwa makadirio. Viwanja Vidogo vya jumla vya jumla (GLS - Viwanja Vidogo vya Jumla)- Mbinu ya LS yenye matrix ya uzani sawa na matrix ya udadisi kinyume cha makosa ya nasibu: .
Inaweza kuonyeshwa kuwa fomula ya makadirio ya GLS ya vigezo vya mfano wa mstari ina fomu
Matrix ya ushirikiano wa makadirio haya itakuwa sawa na
Kwa kweli, kiini cha OLS kiko katika mabadiliko fulani (ya mstari) (P) ya data asilia na matumizi ya OLS ya kawaida kwa data iliyobadilishwa. Madhumuni ya mabadiliko haya ni kwamba kwa data iliyobadilishwa, makosa ya nasibu tayari yanakidhi mawazo ya zamani.
OLS iliyopimwa
Kwa upande wa matrix ya uzani wa mshazari (na kwa hivyo matrix ya udadisi ya makosa ya nasibu), tunayo kinachojulikana kuwa Mraba Mdogo (WLS) yenye uzani. Katika kesi hii, jumla ya uzani wa miraba ya mabaki ya mfano hupunguzwa, yaani, kila uchunguzi hupokea "uzito" ambao ni kinyume na tofauti ya hitilafu ya nasibu katika uchunguzi huu: . Kwa kweli, data hubadilishwa kwa kupima uchunguzi (kugawanya kwa kiasi sawia na makadirio ya kupotoka kwa kawaida ya makosa ya nasibu), na OLS ya kawaida inatumika kwa data iliyopimwa.
Baadhi ya matukio maalum ya kutumia MNC katika mazoezi
Ukadiriaji wa utegemezi wa mstari
Wacha tuzingatie kesi hiyo wakati, kama matokeo ya kusoma utegemezi wa idadi fulani ya scalar kwa kiasi fulani cha scalar (Hii inaweza kuwa, kwa mfano, utegemezi wa voltage kwa nguvu ya sasa: , wapi thamani ya mara kwa mara, upinzani wa conductor), vipimo vya idadi hii vilifanywa, kama matokeo ya ambayo maadili na maadili yao yanayolingana. Data ya kipimo lazima irekodiwe kwenye jedwali.
Jedwali. Matokeo ya kipimo.
| Nambari ya kipimo. | ||
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 |
Swali ni: ni thamani gani ya mgawo inaweza kuchaguliwa ili kuelezea vyema utegemezi? Kulingana na njia ya angalau miraba, thamani hii inapaswa kuwa kiasi kwamba jumla ya mikengeuko ya mraba ya thamani kutoka kwa maadili.
ilikuwa ndogo
Jumla ya mikengeuko ya mraba ina upeo mmoja - kiwango cha chini, ambayo inaruhusu sisi kutumia fomula hii. Wacha tupate kutoka kwa fomula hii thamani ya mgawo. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha upande wake wa kushoto kama ifuatavyo:
Fomula ya mwisho inatuwezesha kupata thamani ya mgawo, ambayo ndiyo ilihitajika katika tatizo.
Hadithi
Hadi mwanzoni mwa karne ya 19. wanasayansi hawakuwa na sheria fulani za kutatua mfumo wa equations ambayo idadi ya haijulikani ni chini ya idadi ya equations; Hadi wakati huo, mbinu za kibinafsi zilitumiwa ambazo zilitegemea aina ya equations na juu ya akili ya calculator, na kwa hiyo calculator tofauti, kulingana na data sawa ya uchunguzi, walikuja kwa hitimisho tofauti. Gauss (1795) alikuwa wa kwanza kutumia njia hiyo, na Legendre (1805) aliigundua kwa uhuru na kuichapisha chini ya jina lake la kisasa (Kifaransa. Méthode des moindres quarrés ). Laplace alihusisha mbinu na nadharia ya uwezekano, na mwanahisabati wa Marekani Adrain (1808) alizingatia matumizi yake ya uwezekano wa nadharia. Njia hiyo ilienea na kuboreshwa na utafiti zaidi wa Encke, Bessel, Hansen na wengine.
Matumizi mbadala ya OLS
Wazo la njia ya miraba ndogo pia inaweza kutumika katika hali zingine ambazo hazihusiani moja kwa moja na uchanganuzi wa rejista. Ukweli ni kwamba jumla ya miraba ni mojawapo ya hatua za kawaida za ukaribu kwa vekta ( Metric ya Euclidean katika nafasi zenye ukomo-dimensional).
Utumizi mmoja ni "suluhisho" la mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya milinganyo ni kubwa kuliko idadi ya vigeu.
ambapo matrix sio mraba, lakini saizi ya mstatili.
Mfumo kama huo wa equations, kwa ujumla, hauna suluhisho (ikiwa kiwango ni kikubwa zaidi kuliko idadi ya vigezo). Kwa hiyo, mfumo huu unaweza "kutatuliwa" tu kwa maana ya kuchagua vector vile ili kupunguza "umbali" kati ya vectors na. Kwa kufanya hivyo, unaweza kutumia kigezo cha kupunguza jumla ya mraba wa tofauti kati ya pande za kushoto na za kulia za equations za mfumo, yaani. Ni rahisi kuonyesha kwamba kutatua tatizo hili la kupunguza husababisha kutatua mfumo wafuatayo wa equations