Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.
Kwanza tutaangalia equation ya quadratic ni nini na imeandikwaje mtazamo wa jumla, na tutatoa ufafanuzi kuhusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Wacha tuendelee kwenye suluhisho milinganyo kamili, tunapata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi wa equation ya quadratic na fikiria suluhisho. mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.
Urambazaji wa ukurasa.
Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao
Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.
Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.
Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.
Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.
Ufafanuzi.
Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .
Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Kumbuka kuwa wakati mgawo b na/au c ni hasi, kama ilivyo kwenye mfano uliopewa, basi fomu fupi kuandika mlinganyo wa quadratic wa fomu 5 x 2 -2 x−3=0, na si 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0.
Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo inatokana na sifa za kipekee za kuandika vile . Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.
Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa
Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. KATIKA vinginevyo quadratic equation ni haijaguswa.
Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 −3·x+1=0, x 2 −x-2/3=0, nk. - imepewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.
Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya quadratic ya awali isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.
Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.
Mfano.
Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.
Suluhisho.
Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.
Jibu:
Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic
Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.
Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c sawa na sifuri.
Kwa upande wake
Ufafanuzi.
Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.
Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.
Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika
Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
- a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
- a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
- na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.
Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.
a x 2 =0
Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.
Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.
Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kwa njia ifuatayo:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine na ishara kinyume, pamoja na kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya kawaida hutoa mlinganyo sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza yafuatayo mabadiliko sawa mlinganyo wa quadratic usio kamili a x 2 +c=0 :
- hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
- na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .
Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sifuri , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.
Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.
Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.
Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kutekeleza utoaji wa neno kwa neno wa kweli usawa wa nambari, kwa hivyo kutoa sehemu zinazolingana za usawa kunatoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .
Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao
- haina mizizi ikiwa,
- ina mizizi miwili na, ikiwa.
Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.
Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia una nambari hasi, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7 = 0 hauna mizizi.
Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Upande wa kulia ni nambari chanya, ambayo tunahitimisha kwamba au . Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.
a x 2 +b x=0
Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo isiyokamilika ya quadratic ya fomu x 2 + b x = 0 inakuwezesha kutatua njia ya factorization. Ni wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuiondoa kwenye mabano. kizidishi cha kawaida x. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.
Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.
Mfano.
Tatua mlinganyo.
Suluhisho.
Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Kutatua tulichopata mlinganyo wa mstari:, na kufanya mgawanyiko nambari iliyochanganywa juu sehemu ya kawaida, tunapata. Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .
Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:
Jibu:
x=0 , .
Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.
Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.
Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:
- Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
- Sasa tuangazie mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
- Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
- Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.
Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.
Tayari tumetatua milinganyo inayofanana katika umbo katika aya zilizopita walipoitenganisha. Hii inakuwezesha kufanya hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:
- ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halali;
- ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
- ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.
Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha kibaguzi kiko wazi - kulingana na thamani na ishara yake, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina. mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, nambari yao ni nini - moja au mbili.
Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:
- ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
- mwishowe, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kupunguza sehemu hadi dhehebu la kawaida tunapokea.
Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.
Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlinganyo wa quadratic. Na lini ubaguzi hasi tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na uchimbaji. kipeo kutoka kwa nambari hasi, ambayo hutupeleka zaidi na mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.
Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi
Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.
Hata hivyo, katika kozi ya shule algebra kawaida tunazungumzia sio juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi). na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.
Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:
- kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
- hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
- hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
- tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.
Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .
Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.
Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic
Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic na chanya, hasi na sawa na sifuri kibaguzi. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.
Mfano.
Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.
Suluhisho.
Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:
Jibu:
Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .
Suluhisho.
Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,
Jibu:
x=3.5.
Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.
Mfano.
Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.
Suluhisho.
Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.
Ikiwa unahitaji kuashiria mizizi tata, kisha tunaomba formula inayojulikana mizizi ya equation ya quadratic, na fanya vitendo na nambari ngumu
:
Jibu:
hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.
Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.
Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili
Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.
Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:
Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. 
, ambapo D 1 =n 2 −a·c.
Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.
Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji
- Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
- Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
- Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.
Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .
Suluhisho.
Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:
Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.
Jibu:
Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic
Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.
Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.
Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, kwa kawaida tunagawanya pande zote mbili za equation kwa maadili kamili mgawo wake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.
Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.
Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .
Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic
Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.
Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.
Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.
Bibliografia.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.
Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya
Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic
Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
mwalimu wa hisabati
kijiji cha Kopevo, 2007
1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic
1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale
1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic
1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India
1.4 Milinganyo ya quadratic na al-Khorezmi
1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII karne
1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta
2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic
Hitimisho
Fasihi
1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic
1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale
Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili katika nyakati za zamani ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kutafuta maeneo. viwanja vya ardhi na kazi za ardhini za asili ya kijeshi, na vile vile na ukuzaji wa unajimu na hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa karibu 2000 BC. e. Wababeli.
Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.
Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.
1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic.
Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.
Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.
Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.
Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96"
Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya shida inafuata kwamba nambari zinazohitajika si sawa, kwani ikiwa walikuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya nusu kiasi chao, i.e. 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .
Kwa hivyo equation:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni sawa na 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwani hisabati ya Kigiriki ilijua nambari chanya tu.
Ikiwa tutatatua shida hii kwa kuchagua nambari moja inayohitajika kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.
y(20 -y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).
1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India
Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla suluhu za milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa kwa fomu moja ya kisheria:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
Katika equation (1), coefficients, isipokuwa A, pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.
KATIKA India ya Kale mashindano ya umma katika kutatua yalikuwa ya kawaida kazi ngumu. Kitabu kimojawapo cha zamani cha Wahindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza itafunika utukufu wa mwingine makusanyiko ya watu, kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.
Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.
Tatizo 13.
"Kundi la nyani, na kumi na wawili karibu na mizabibu ...
Wakuu, baada ya kula, walifurahiya. Walianza kuruka, kunyongwa ...
Wapo kwenye mraba, sehemu ya nane.Kulikuwa na nyani wangapi?
Nilikuwa na furaha katika kusafisha. Niambie, katika pakiti hii?
Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kwamba mizizi ya equations ya quadratic ni ya thamani mbili (Mchoro 3).
Equation inayolingana na shida 13 ni:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara anaandika chini ya kivuli:
x 2 - 64x = -768
na kukamilisha upande wa kushoto ya equation hii kwa mraba, inaongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi
Katika maandishi ya aljebra ya al-Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:
1) "Mraba ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.
2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.
3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah = s.
4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.
5) "Mraba na mizizi ni sawa na namba", i.e. ah 2 + bx = s.
6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba," i.e. bx + c = shoka 2 .
Kwa al-Khorezmi, ambaye aliepuka matumizi nambari hasi, masharti ya kila moja ya milinganyo hii huongezwa, sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina maamuzi chanya. Mwandishi anaweka njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.
al-Khorezmi, kama wanahisabati wote hadi karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika maalum matatizo ya vitendo haijalishi. Wakati wa kutatua milinganyo kamili ya quadratic al-Khorezmi kwa sehemu mifano ya nambari huweka sheria za suluhisho na kisha vithibitisho vya kijiometri.
Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (ikimaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).
Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5 , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.
Risala ya al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.
1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII bb
Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mistari ya al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Kiitaliano Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, nchi zote za Kiislamu na Ugiriki ya Kale, hutofautishwa kwa ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi kwa kujitegemea aliendeleza mpya mifano ya algebra kutatua matatizo na alikuwa wa kwanza katika Ulaya kuanzisha idadi hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Matatizo mengi kutoka kwa Kitabu cha Abacus yalihamishiwa karibu yote Vitabu vya Ulaya Karne za XVI - XVII na sehemu ya XVIII.
Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:
x 2 + bx = c,
kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za mgawo b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.
Utoaji wa fomula ya kutatua mlingano wa quadratic kwa fomu ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Wanazingatia, pamoja na chanya, na mizizi hasi. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.
1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta
Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, iliyopewa jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D, ikizidishwa na A - A 2 , sawa BD, Hiyo A sawa KATIKA na sawa D ».
Ili kuelewa Vieta, tunapaswa kukumbuka hilo A, kama herufi yoyote ya vokali, ilimaanisha kisichojulikana (yetu X), vokali NDANI, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa kuna
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Kuonyesha uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kanuni za jumla iliyoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua milinganyo. Walakini, ishara ya Viet bado iko mbali muonekano wa kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ilikuwa chanya.
2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic
Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao hutegemea jengo kubwa algebra. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya nne kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.
Mafunzo ya video 2: Kutatua Milinganyo ya Quadratic
Mhadhara: Milinganyo ya quadratic
Mlinganyo
Mlinganyo- hii ni aina ya usawa katika maneno ambayo kuna kutofautiana.
Tatua mlinganyo- inamaanisha kupata nambari badala ya kigezo ambacho kitaileta katika usawa sahihi.
Mlinganyo unaweza kuwa na suluhu moja, kadhaa, au hakuna kabisa.
Ili kutatua equation yoyote, inapaswa kurahisishwa iwezekanavyo kwa fomu:
Linear: a*x = b;
Mraba: a*x 2 + b*x + c = 0.
Hiyo ni, milinganyo yoyote lazima ibadilishwe hadi fomu ya kawaida kabla ya kusuluhishwa.
Equation yoyote inaweza kutatuliwa kwa njia mbili: uchambuzi na graphical.
Kwenye grafu, suluhisho la equation inachukuliwa kuwa pointi ambazo grafu inaingiliana na mhimili wa OX.
Milinganyo ya quadratic
Equation inaweza kuitwa quadratic ikiwa, inaporahisishwa, inachukua fomu:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Ambapo a, b, c ni coefficients ya equation ambayo ni tofauti na sifuri. A "X"- mzizi wa equation. Inaaminika kuwa equation ya quadratic ina mizizi miwili au haiwezi kuwa na suluhisho kabisa. Mizizi inayotokana inaweza kuwa sawa.
"A"- mgawo unaosimama mbele ya mzizi wa mraba.
"b"- anasimama mbele ya haijulikani katika shahada ya kwanza.
"Pamoja na" ni neno huru la equation.
Ikiwa, kwa mfano, tunayo equation ya fomu:
2x 2 -5x+3=0
Ndani yake, "2" ni mgawo wa muda unaoongoza wa equation, "-5" ni mgawo wa pili, na "3" ni neno la bure.
Kutatua equation ya quadratic
Ipo aina kubwa njia za kutatua equation ya quadratic. Hata hivyo, katika kozi ya hisabati ya shule, suluhisho linasomwa kwa kutumia nadharia ya Vieta, pamoja na kutumia kibaguzi.
Suluhisho la ubaguzi:
Wakati wa kutatua na njia hii inahitajika kuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula:
Ikiwa wakati wa mahesabu yako utapata kwamba kibaguzi ni chini ya sifuri, hii ina maana kwamba equation hii haina ufumbuzi.
Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi equation ina mbili ufumbuzi sawa. Katika hali hii, polynomial inaweza kukunjwa kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha katika mraba wa jumla au tofauti. Kisha itatatue kama mlinganyo wa mstari. Au tumia formula:
Ikiwa ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, basi lazima utumie njia ifuatayo:
Nadharia ya Vieta
Ikiwa equation imepewa, ambayo ni, mgawo wa neno linaloongoza ni sawa na moja, basi unaweza kutumia. Nadharia ya Vieta.
Kwa hivyo wacha tufikirie equation ni:
Mizizi ya equation hupatikana kama ifuatavyo:
Mlinganyo wa quadratic usio kamili
Kuna chaguzi kadhaa za kupata equation isiyo kamili ya quadratic, fomu ambayo inategemea uwepo wa coefficients.
1. Ikiwa mgawo wa pili na wa tatu ni sifuri (b = 0, c = 0), basi equation ya quadratic itaonekana kama:
Equation hii itakuwa na uamuzi pekee. Usawa utakuwa wa kweli tu ikiwa suluhisho la equation ni sifuri.
Mlinganyo wa fomu
Kujieleza D= b 2
- 4 ac kuitwa kibaguzi mlinganyo wa quadratic. KamaD = 0, basi equation ina mzizi mmoja halisi; ikiwa D> 0, basi equation ina mizizi miwili halisi.
Iwapo D = 0
, wakati mwingine inasemekana kwamba equation ya quadratic ina mizizi miwili inayofanana.
Kwa kutumia nukuu D= b 2
- 4 ac, tunaweza kuandika upya fomula (2) katika fomu
Kama b= 2k, kisha formula (2) inachukua fomu:
Wapi k= b / 2
.
Njia ya mwisho ni rahisi sana katika hali ambapo b / 2
- nambari kamili, i.e. mgawo b - idadi sawa.
Mfano 1: Tatua mlinganyo 2
x 2
-
5 x +
2
=
0
. Hapa a = 2, b = -5, c = 2. Tuna D= b 2
-
4 ac =
(-5) 2-
4*2*2
=
9
. Kwa sababu D >
0
, basi equation ina mizizi miwili. Wacha tuzitafute kwa kutumia fomula (2)
Hivyo x 1
=(5 + 3) / 4 = 2, x 2
=(5 - 3) / 4 = 1 / 2
,
hiyo ni x 1
=
2
Na x 2
=
1
/
2
- mizizi kwa kupewa equation.
Mfano 2: Tatua mlinganyo 2
x 2
- 3 x + 5 = 0
. Hapa a = 2, b = -3, c = 5. Kutafuta mbaguzi D= b 2
-
4 ac =
(-3) 2- 4*2*5 = -31
. Kwa sababu D 0
, basi equation haina mizizi halisi.
Milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Ikiwa katika equation ya quadratic shoka 2
+bx+c =0
mgawo wa pili b au mwanachama huru c ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic inaitwa haijakamilika. Milinganyo isiyo kamili zimetengwa kwa sababu kupata mizizi sio lazima utumie fomula ya mizizi ya equation ya quadratic - ni rahisi kutatua equation kwa kuweka upande wake wa kushoto.
Mfano 1: kutatua equation 2
x 2
- 5 x = 0
.
Tuna x(2 x - 5) = 0
. Hivyo aidha x = 0
, au 2
x - 5 = 0
, hiyo ni x =
2.5
. Kwa hivyo equation ina mizizi miwili: 0
Na 2.5
Mfano 2: kutatua equation 3
x 2
- 27 = 0
.
Tuna 3
x 2
= 27
. Kwa hiyo, mizizi ya equation hii ni 3
Na -3
.
Nadharia ya Vieta. Ikiwa equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q =0 ina mizizi halisi, basi jumla yao ni sawa na - uk, na bidhaa ni sawa q, hiyo ni
x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q
(jumla ya mizizi ya equation ya juu ya quadratic ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure).
Tu. Kulingana na kanuni na sheria wazi, rahisi. Katika hatua ya kwanza
muhimu kupewa equation kuongoza kwa mtazamo wa kawaida, i.e. kwa fomu:
Ikiwa equation tayari imepewa kwako katika fomu hii, huna haja ya kufanya hatua ya kwanza. Jambo muhimu zaidi ni kuifanya kwa usahihi
kuamua coefficients zote, A, b Na c.
Mfumo wa kutafuta mizizi ya mlingano wa quadratic.
Usemi chini ya ishara ya mizizi inaitwa kibaguzi . Kama unaweza kuona, kupata X, sisi
tunatumia tu a, b na c. Wale. coefficients kutoka mlinganyo wa quadratic. Weka kwa uangalifu tu
maadili a, b na c Tunahesabu katika fomula hii. Tunabadilisha na zao ishara!
Kwa mfano, katika mlinganyo:
A =1; b = 3; c = -4.
Tunabadilisha maadili na kuandika:
Mfano unakaribia kutatuliwa:
Hili ndilo jibu.
Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b Na Na. Au tuseme, kwa uingizwaji
maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Rekodi ya kina ya fomula itakusaidia hapa
Na nambari maalum. Ikiwa una shida na mahesabu, fanya hivyo!
Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:
Hapa a = -6; b = -5; c = -1
Tunaelezea kila kitu kwa undani, kwa uangalifu, bila kukosa chochote na ishara na mabano yote:
Milinganyo ya quadratic mara nyingi huonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:
Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa.
Uteuzi wa kwanza. Usiwe mvivu hapo awali kutatua equation ya quadratic ifikishe katika hali ya kawaida.
Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:
Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganywa a, b na c.
Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:
Ondoa minus. Vipi? Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:
Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano.
Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.
Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Na Nadharia ya Vieta.
Ili kutatua milinganyo ya quadratic iliyotolewa, i.e. ikiwa mgawo
x 2 +bx+c=0,
Kishax 1 x 2 =c
x 1 +x 2 =−b
Kwa equation kamili ya quadratic ambayo a≠1:
x 2 +bx+c=0,
gawanya mlinganyo mzima kwa A:
→ 
→
Wapi x 1 Na x 2 - mizizi ya equation.
Mapokezi ya tatu. Ikiwa equation yako ina tabia mbaya za sehemu, - ondoa sehemu! Zidisha
equation na denominator ya kawaida.
Hitimisho. Ushauri wa vitendo:
1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.
2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha kila kitu
milinganyo kwa -1.
3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima na inayolingana.
sababu.
4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake ni sawa na moja, suluhisho linaweza kuchunguzwa kwa urahisi