Ufafanuzi: Kitendakazi cha nambari ni mawasiliano ambayo huhusisha kila nambari x kutoka kwa baadhi iliyotolewa na nambari moja y.

Uteuzi:

ambapo x ni kigezo huru (hoja), y ni kigezo tegemezi (kazi). Seti ya maadili ya x inaitwa kikoa cha kazi (iliyoashiria D(f)). Seti ya maadili ya y inaitwa anuwai ya maadili ya chaguo za kukokotoa (iliyoashiria E(f)). Grafu ya chaguo za kukokotoa ni seti ya alama kwenye ndege iliyo na viwianishi (x, f(x))

Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa.

1. njia ya uchambuzi (kwa kutumia formula ya hisabati);
2. njia ya tabular (kwa kutumia meza);
3. njia ya maelezo (kwa kutumia maelezo ya maneno);
4. njia ya picha (kwa kutumia grafu).

Tabia za msingi za kazi.

1. Hata na isiyo ya kawaida

Kazi inaitwa hata kama
- kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni ulinganifu kuhusu sifuri
f(-x) = f(x)

Grafu ya kitendakazi kisawazisha ina ulinganifu kuhusu mhimili 0y

Chaguo la kukokotoa linaitwa odd if
- kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni ulinganifu kuhusu sifuri
- kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi f(-x) = –f(x)

Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.

2. Mzunguko

Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa periodic na kipindi ikiwa kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Grafu ya chaguo za kukokotoa za muda huwa na vipande vinavyorudiarudia bila kikomo.

3. Monotony (kuongezeka, kupungua)

Kazi f(x) inaongezeka kwenye seti P ikiwa kwa x 1 na x 2 yoyote kutoka kwa seti hii kwamba x 1

Chaguo za kukokotoa f(x) hupungua kwa seti P ikiwa kwa x 1 na x 2 yoyote kutoka kwa seti hii, ili x 1 f(x 2) .

4. Uliokithiri

Nukta X max inaitwa upeo wa juu zaidi wa chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa kwa zote x kutoka eneo fulani la X max ukosefu wa usawa f(x) f(X max) umeridhika.

Thamani Y max =f(X max) inaitwa upeo wa chaguo la kukokotoa hili.

X max - kiwango cha juu
Kwa upeo - upeo

Pointi ya dakika X inaitwa sehemu ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa kwa zote x kutoka eneo fulani la dakika X, ukosefu wa usawa f(x) f(X min) umeridhika.

Thamani Y min =f(X min) inaitwa kiwango cha chini zaidi cha chaguo hili la kukokotoa.

Dakika X - kiwango cha chini
Dakika Y - kiwango cha chini

X dakika , X upeo - pointi za juu
Y min , Y max - extrema.

5. Zero za kazi

Sufuri ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni thamani ya hoja x ambapo chaguo za kukokotoa huwa sifuri: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 - zero za kazi y = f (x).

Kazi na vipimo juu ya mada "Sifa za kimsingi za kazi"

• Sifa za Kazi - Kazi za nambari za daraja la 9

  Masomo: Kazi 2: Mitihani 11: 1

• Tabia za logarithm - Utendaji wa kielelezo na logarithmic daraja la 11

  Masomo: Kazi 2: Majaribio 14: 1

• Kazi ya mizizi ya mraba, mali yake na grafu - Kazi ya mizizi ya mraba. Sifa za mzizi wa mraba daraja la 8

  Masomo: Kazi 1: Majaribio 9: 1

• Kazi za nguvu, mali zao na grafu - Digrii na mizizi. Kazi za nguvu za daraja la 11

  Masomo: Kazi 4: Majaribio 14: 1

• Kazi - Mada muhimu ya kukagua Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati

  Kazi: 24

Baada ya kusoma mada hii, unapaswa kupata kikoa cha ufafanuzi wa kazi mbalimbali, kuamua vipindi vya monotonicity ya kazi kwa kutumia grafu, na kuchunguza kazi kwa usawa na isiyo ya kawaida. Wacha tufikirie kutatua shida zinazofanana kwa kutumia mifano ifuatayo.

Mifano.

1. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi.

Suluhisho: uwanja wa ufafanuzi wa kazi hupatikana kutoka kwa hali

Kazi na mali zao

Kazi ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi za hisabati.Kazi Wanaita utegemezi kama huo wa kutofautisha y kwenye kigezo cha x ambamo kila thamani ya kigezo x inalingana na thamani moja ya tofauti y.

Inaweza kubadilika X kuitwa tofauti ya kujitegemea au hoja. Inaweza kubadilika katika kuitwa tofauti tegemezi. Pia wanasema hivyokutofautiana y ni kazi ya kutofautiana x. Thamani za kutofautisha tegemezi huitwamaadili ya kazi.

Ikiwa utegemezi wa kutofautianakatika kutoka kwa kutofautianaX ni kazi, basi inaweza kuandikwa kwa ufupi kama ifuatavyo:y= f( x ) (Soma:katika sawaf kutokaX .) Alamaf( x) ashiria thamani ya chaguo za kukokotoa inayolingana na thamani ya hoja iliyo sawa naX .

Thamani zote za fomu ya kutofautisha hurukikoa cha chaguo la kukokotoa . Thamani zote ambazo kigezo tegemezi huchukua fomusafu ya utendakazi .

Ikiwa fomula imebainishwa na kikoa chake cha ufafanuzi hakijabainishwa, basi kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa huchukuliwa kuwa na maadili yote ya hoja ambayo fomula inaeleweka.

Mbinu za kubainisha kazi:

1.njia ya uchambuzi (kazi imebainishwa kwa kutumia fomula ya hisabati;

2.njia ya jedwali (kazi imebainishwa kwa kutumia jedwali)

3.njia ya maelezo (kazi inabainishwa na maelezo ya maneno)

4. njia ya mchoro (kazi imebainishwa kwa kutumia grafu).

Grafu ya kazi taja seti ya alama zote za ndege ya kuratibu, abscissas ambayo ni sawa na maadili ya hoja, na waratibu. - thamani zinazolingana za utendakazi.

MALI ZA MSINGI ZA KAZI

1. Kazi sufuri

Sufuri ya chaguo za kukokotoa ni thamani ya hoja ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri.

2. Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa

Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa ni seti za thamani za hoja ambazo thamani za chaguo za kukokotoa ni chanya au hasi tu.

3. Kuongeza (kupungua) kazi.

Kuongezeka katika muda fulani, chaguo la kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.

Kazi y = f ( x ) kuitwa kuongezeka kwa muda (A; b ), ikiwa kwa yoyote x 1 Na x 2 kutoka kwa muda huu kwambax 1 < x 2 , usawa ni kwelif ( x 1 )< f ( x 2 ).

Kushuka katika muda fulani, chaguo la kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Kazi katika = f ( x ) kuitwa kupungua kwa muda (A; b ) , ikiwa kwa yoyote x 1 Na x 2 kutoka kwa muda huu kwamba x 1 < x 2 , usawa ni kwelif ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Hata (isiyo ya kawaida) kazi

Hata kazi - kazi ambayo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyoteX kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa usawaf (- x ) = f ( x ) . Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu kuratibu.

Kwa mfano, y = x 2 - hata kazi.

Utendakazi usio wa kawaida- kazi ambayo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa ni kweli f (- x ) = - f (x ). Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.

Kwa mfano: y = x 3 - kazi isiyo ya kawaida .

Utendaji wa fomu ya jumla sio sawa au isiyo ya kawaida (y = x 2 +x ).

Sifa za baadhi ya vipengele na michoro zao

1. Utendakazi wa mstari inayoitwa kazi ya fomu , Wapi k Na b - nambari.

Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za mstari ni setiR nambari za kweli.

Grafu ya kitendakazi cha mstarikatika = kx + b ( k ≠ 0) ni mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye uhakika (0;b ) na sambamba na mstarikatika = kx .

Sawa, si sambamba na mhimiliOU, ni grafu ya kitendakazi cha mstari.

Sifa za kitendakazi cha mstari.

1. Wakati k > 0 kazi katika = kx + b

2. Wakati k < 0 kazi y = kx + b kupungua kwa kikoa cha ufafanuzi.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) ni mstari mzima wa nambari, i.e. kundi laR nambari za kweli.

Katika k = 0 seti ya maadili ya kaziy = kx + b inajumuisha nambari mojab .

3. Wakati b = 0 na k = 0 chaguo la kukokotoa si hata au la kawaida.

Katika k = 0 kitendakazi cha mstari kina fomuy = b na kwa b ≠ 0 ni sawa.

Katika k = 0 na b = 0 kitendakazi cha mstari kina fomuy = 0 na ni sawa na isiyo ya kawaida.

Grafu ya kitendakazi cha mstariy = b ni mstari ulionyooka kupita kwenye nukta (0; b ) na sambamba na mhimiliOh. Kumbuka kwamba wakati b = 0 grafu ya kaziy = b sanjari na mhimili Oh .

5. Wakati k > 0 tuna hiyo katika> 0, ikiwa na katika< 0 ikiwa. Katika k < 0 tuna hiyo y > 0 ikiwa na kwa< 0, если .

2. Kazi y = x 2

Rnambari za kweli.

Kutoa kutofautianaX maadili kadhaa kutoka kwa kikoa cha chaguo la kukokotoa na kuhesabu maadili yanayolinganakatika kulingana na formula y = x 2 , tunaonyesha grafu ya chaguo la kukokotoa.

Grafu ya kipengele y = x 2 kuitwa parabola.

Sifa za chaguo za kukokotoa y = x 2 .

1. Kama X= 0, basi y = 0, yaani. Parabola ina hatua ya kawaida na shoka za kuratibu (0; 0) - asili ya kuratibu.

2. Ikiwa x ≠ 0 , Hiyo katika > 0, yaani. pointi zote za parabola, isipokuwa asili, ziko juu ya mhimili wa x.

3. Seti ya maadili ya kazikatika = X 2 ni kazi ya spankatika = X 2 hupungua.

X

3.Kazi

Kikoa cha chaguo hili la kukokotoa ni kitendakazi cha muday = | x | hupungua.

7. Chaguo la kukokotoa huchukua thamani yake ndogo zaidi katika hatuaX, hiyo sawa na 0. Hakuna thamani kubwa zaidi.

6. Kazi

Upeo wa utendakazi: .

Masafa ya utendakazi: .

Grafu ni hyperbole.

1. Kazi zero.

y ≠ 0, hakuna sufuri.

2. Vipindi vya uthabiti wa ishara,

Kama k > 0, basi katika> 0 kwa X > 0; katika < 0 при X < О.

Kama k < 0, то katika < 0 при X > 0; katika> 0 kwa X < 0.

3. Vipindi vya kuongezeka na kupungua.

Kama k > 0, basi kitendakazi hupungua kama .

Kama k < 0, то функция возрастает при .

4. Hata (isiyo ya kawaida) kazi.

Chaguo la kukokotoa si la kawaida.

Utatu wa mraba

Mlinganyo wa fomu shoka 2 + bx + c = 0, wapi a , b Na Na - nambari kadhaa, naa≠ 0, kuitwa mraba.

Katika equation ya quadraticshoka 2 + bx + c = mgawo 0 A kuitwa mgawo wa kwanza b - mgawo wa pili, na - mwanachama huru.

Njia ya mizizi ya equation ya quadratic ni:

.

Usemi huo unaitwa kibaguzi equation ya quadratic na inaonyeshwa naD .

Kama D = 0, basi kuna nambari moja tu inayotosheleza mlinganyo shoka 2 + bx + c = 0. Hata hivyo, tulikubaliana kusema kwamba katika kesi hii equation ya quadratic ina mizizi miwili sawa, na nambari yenyewe. kuitwa mizizi mara mbili.

Kama D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Kama D > 0, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili tofauti halisi.

Acha equation ya quadratic itoleweshoka 2 + bx + c = 0. Tangu a≠ 0, kisha kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwaA, tunapata equation . Kuamini Na , tunafika kwenye equation , ambayo mgawo wa kwanza ni sawa na 1. Mlinganyo huu unaitwakupewa.

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic hapo juu ni:

.

Milinganyo ya fomu

A x 2 + bx = 0, shoka 2 + s = 0, A x 2 = 0

zinaitwa milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika hutambulishwa kwa kuweka upande wa kushoto wa mlinganyo.

Nadharia ya Vieta .

Jumla ya mizizi ya equation ya quadratic ni sawa na uwiano wa mgawo wa pili hadi wa kwanza, kuchukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni uwiano wa muda wa bure kwa mgawo wa kwanza, i.e.

Nadharia ya mazungumzo.

Ikiwa jumla ya nambari mbiliX 1 Na X 2 sawa na , na bidhaa zao ni sawa, basi nambari hizi ni mizizi ya equation ya quadraticOh 2 + b x + c = 0.

Kazi ya fomu Oh 2 + b x + c kuitwa mraba trinomial. Mizizi ya chaguo hili la kukokotoa ni mizizi ya equation ya quadratic inayolinganaOh 2 + b x + c = 0.

Ikiwa kibaguzi cha utatu wa quadratic ni zaidi ya sifuri, basi trinomia hii inaweza kuwakilishwa kama:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Wapi X 1 Na X 2 - mizizi ya trinomial

Ikiwa kibaguzi cha utatu wa quadratic ni sifuri, basi trinomia hii inaweza kuwakilishwa kama:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Wapi X 1 - mzizi wa trinomial.

Kwa mfano, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Mlinganyo wa fomu Oh 4 + b X 2 + s= 0 inaitwa ya pande mbili. Kutumia uingizwaji tofauti kwa kutumia fomulaX 2 = y inapunguza kwa equation ya quadraticA y 2 + kwa + c = 0.

Utendaji wa Quadratic

Utendaji wa Quadratic ni kazi ambayo inaweza kuandikwa kwa fomula ya fomuy = shoka 2 + bx + c , Wapi x - tofauti huru,a , b Na c - nambari kadhaa, naa ≠ 0.

Sifa za kazi na aina ya grafu yake imedhamiriwa hasa na maadili ya mgawoa na kibaguzi.

Sifa za kazi ya quadratic

Kikoa:R;

Msururu wa maadili:

katika A > 0 [- D/(4 a); ∞)

katika A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Hata, isiyo ya kawaida:

katika b = 0 kazi sawa

katika b ≠ Chaguo 0 sio sawa na isiyo ya kawaida

katika D> 0 sufuri mbili:,

katika D= 0 sifuri moja:

katika D < 0 нулей нет

Saini vipindi vya kudumu:

ikiwa > 0, D> 0, basi

ikiwa > 0, D= 0, basi

e ikiwa > 0, D < 0, то

ikiwa a< 0, D> 0, basi

ikiwa a< 0, D= 0, basi

ikiwa a< 0, D < 0, то

- Vipindi vya monotoni

kwa > 0

kwa a< 0

Grafu ya kitendakazi cha quadratic niparabola – curve linganifu kuhusu mstari ulionyooka , kupita kwenye vertex ya parabola (vertex ya parabola ni hatua ya makutano ya parabola na mhimili wa ulinganifu).

Ili kuchora utendaji wa quadratic, unahitaji:

1) pata kuratibu za vertex ya parabola na uweke alama kwenye ndege ya kuratibu;

2) kujenga pointi kadhaa zaidi za parabola;

3) kuunganisha pointi zilizowekwa na mstari wa laini.

Kuratibu za vertex ya parabola imedhamiriwa na fomula:

; .

Kubadilisha grafu za kazi

1. Kunyoosha sanaa za michoroy = x 2 kando ya mhimilikatika V|a| nyakati (saa|a| < 1 ni mgandamizo wa 1/|a| mara moja).

Kama, na< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (matawi ya parabola yataelekezwa chini).

Matokeo: grafu ya kipengeley = ah 2 .

2. Uhamisho sambamba kazi graphicsy = ah 2 kando ya mhimiliX juu| m | (kulia wakati

m > 0 na kushoto liniT< 0).

Matokeo: grafu ya kaziy = a(x - t) 2 .

3. Uhamisho sambamba kazi graphics kando ya mhimilikatika juu| n | (juu kwap> 0 na chini kwaP< 0).

Matokeo: grafu ya kaziy = a(x - t) 2 + uk.

Ukosefu wa usawa wa quadratic

Ukosefu wa usawa wa fomuOh 2 + b x + c > 0 naOh 2 + bx + c< 0, wapiX - kutofautiana,a , b NaNa - nambari kadhaa, naa≠ 0 huitwa kutofautiana kwa shahada ya pili na kutofautiana moja.

Kutatua ukosefu wa usawa wa shahada ya pili katika kigezo kimoja kunaweza kuzingatiwa kama kutafuta vipindi ambapo utendaji wa quadratic unaolingana huchukua maadili chanya au hasi.

Ili kutatua usawa wa fomuOh 2 + bx + c > 0 naOh 2 + bx + c< 0 endelea kama ifuatavyo:

1) pata kibaguzi cha utatu wa quadratic na ujue ikiwa trinomial ina mizizi;

2) ikiwa trinomial ina mizizi, basi alama kwenye mhimiliX na kupitia alama zilizowekwa parabola huchorwa kwa mpangilio, matawi ambayo yanaelekezwa juuA > 0 au chini wakatiA< 0; ikiwa utatu hauna mizizi, basi onyesha kimkakati parabola iliyoko kwenye nusu ya juu ya ndege.A > 0 au chini kwaA < 0;

3) kupatikana kwenye mhimiliX vipindi ambavyo pointi za parabola ziko juu ya mhimiliX (ikiwa ukosefu wa usawa utatatuliwaOh 2 + bx + c > 0) au chini ya mhimiliX (ikiwa ukosefu wa usawa utatatuliwaOh 2 + bx + c < 0).

Mfano:

Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa .

Fikiria kazi

Grafu yake ni parabola, matawi ambayo yanaelekezwa chini (tangu ).

Wacha tujue jinsi grafu iko karibu na mhimiliX. Wacha tusuluhishe equation kwa hili . Tunapata hilox = 4. Mlinganyo una mzizi mmoja. Hii ina maana kwamba parabola inagusa mhimiliX.

Kwa kuonyesha kimkakati parabola, tunapata kwamba chaguo za kukokotoa huchukua maadili hasi kwa yoyoteX, isipokuwa 4.

Jibu linaweza kuandikwa kama hii:X - nambari yoyote isiyo sawa na 4.

Kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda

mchoro wa suluhisho

1. Tafuta sifuri fanya kazi upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa.

2. Weka alama kwenye nafasi ya zero kwenye mhimili wa nambari na uamua wingi wao (Kamak i ni sawa, basi sifuri ni ya msururu hata kamak i isiyo ya kawaida ni isiyo ya kawaida).

3. Pata ishara za kazi katika vipindi kati ya sifuri zake, kuanzia muda wa kulia kabisa: katika muda huu kazi ya upande wa kushoto wa usawa daima ni chanya. kwa aina fulani ya ukosefu wa usawa. Wakati wa kupita kutoka kulia kwenda kushoto kupitia sifuri ya chaguo la kukokotoa kutoka kwa muda mmoja hadi wa karibu, mtu anapaswa kuzingatia:

ikiwa sifuri ni isiyo ya kawaida kuzidisha, ishara ya kazi inabadilika,

ikiwa sifuri ni sawa wingi, ishara ya kazi imehifadhiwa.

4. Andika jibu.

Mfano:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Sufuri za kukokotoa zimepatikana. Wao ni sawa:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Hebu tuweke alama za zero za kazi kwenye mstari wa kuratibuf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Wacha tupate ishara za utendaji huu katika kila vipindi (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) na

Ni wazi kutokana na takwimu kwamba seti ya ufumbuzi wa ukosefu wa usawa ni muungano wa vipindi (-∞; -6) na (-1; 4).

Jibu: (-∞ ; -6) na (-1; 4).

Njia inayozingatiwa ya kutatua usawa inaitwanjia ya muda.

Kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya thamani za chaguo la kukokotoa. Katika hisabati ya msingi, kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi R.Hii inamaanisha kuwa hoja ya chaguo za kukokotoa inaweza kuchukua tu zile thamani halisi ambazo fomula ya kukokotoa imefafanuliwa, i.e. pia inakubali tu maadili halisi. Kundi la X thamani zote halali za hoja x, ambayo kazi y= f(x) iliyofafanuliwa, inayoitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa. Kundi la Y maadili yote halisi y, ambayo kazi inakubali, inaitwa safu ya utendakazi. Sasa tunaweza kutoa ufafanuzi sahihi zaidi wa kazi: kanuni(sheria) ya mawasiliano kati ya seti X na Y, kulingana na ambayo kwa kila kipengele kutoka kwa setiX inaweza kupata kipengele kimoja na kimoja tu kutoka kwa seti ya Y, inayoitwa kazi.

Kutoka kwa ufafanuzi huu inafuata kwamba chaguo la kukokotoa linazingatiwa kufafanuliwa ikiwa:

Kikoa cha chaguo za kukokotoa kimebainishwa X ;

Masafa ya utendakazi yamebainishwa Y ;

Kanuni (sheria) ya mawasiliano inajulikana, na vile vile kwa kila mmoja

Thamani moja tu ya chaguo za kukokotoa inaweza kupatikana kwa thamani ya hoja.

Mahitaji haya ya upekee wa kazi ni ya lazima.

Kazi ya monotoniki. Ikiwa kwa maadili yoyote mawili ya hoja x 1 na x 2 ya hali x 2 > x 1 inafuata f(x 2) > f(x 1), kisha kitendakazi f(x) inaitwa kuongezeka; ikiwa kwa yoyote x 1 na x 2 ya hali x 2 > x 1 inafuata f(x 2) < f(x 1), kisha kitendakazi f(x) inaitwa kupungua. Chaguo la kukokotoa linaloongezeka au kupungua tu linaitwa monotonous.

Utendaji mdogo na usio na kikomo. Kazi inaitwa mdogo, ikiwa kuna nambari chanya kama hiyo M nini | f(x) | M kwa maadili yote x. Ikiwa nambari kama hiyo haipo, basi kazi ni isiyo na kikomo.

MIFANO.

Kazi iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 3 ni mdogo, lakini sio monotonic. Kazi katika Mchoro wa 4 ni kinyume chake, monotonic, lakini ukomo. (Fafanua hili tafadhali!).

Kazi zinazoendelea na zisizoendelea. Kazi y = f (x) inaitwa kuendelea kwa uhakikax = a, Kama:

1) kazi hufafanuliwa wakati x = a, i.e. f (a) ipo;

2) ipo yenye mwisho kikomo lim f (x) ;

x→a

(angalia Vikomo vya Kazi)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Ikiwa angalau moja ya masharti haya haipatikani, basi kazi inaitwa kulipuka kwa uhakika x = a.

Ikiwa kitendakazi kinaendelea wakati kila mtu pointi za kikoa chake cha ufafanuzi, basi inaitwa utendakazi endelevu.

Kazi za usawa na zisizo za kawaida. Ikiwa kwa yoyote x f(- x) = f (x), basi kazi inaitwa hata; ikiwa itatokea: f(- x) = - f (x), basi kazi inaitwa isiyo ya kawaida. Grafu ya utendaji sawa ulinganifu kuhusu mhimili wa Y(Mchoro 5), grafu ya kazi isiyo ya kawaida Simmetric kwa heshima na asili(Mchoro 6).

Utendaji wa mara kwa mara. Kazi f (x) - mara kwa mara, ikiwa kitu kama hicho kipo isiyo ya sifuri nambari T kwa nini yoyote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f (x + T) = f (x) Hii angalau nambari inaitwa kipindi cha kazi. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara.

Mfano 1. Thibitisha dhambi hiyo x ina muda wa 2.

Suluhu: Tunajua kwamba dhambi ( x+ 2n) = dhambi x, Wapi n= 0, ± 1, ± 2, ...

Kwa hivyo, nyongeza 2 n sio kwa hoja ya sine

Inabadilisha maana yake. Kuna nambari nyingine na hii

Mali sawa?

Hebu kujifanya hivyo P- nambari kama hiyo, i.e. usawa:

Dhambi ( x+P) = dhambi x,

Inatumika kwa thamani yoyote x. Lakini basi imekuwa

Mahali na wakati x= / 2, i.e.

Dhambi (/2 + P) = dhambi / 2 = 1.

Lakini kulingana na formula ya kupunguza dhambi (/ 2 + P) = cos P. Kisha

Kutoka kwa usawa mbili za mwisho inafuata kwamba cos P= 1, lakini sisi

Tunajua kwamba hii ni kweli wakati tu P = 2n. Tangu ndogo

Nambari isiyo ya sifuri kutoka 2 n ni 2, basi nambari hii

Na kuna dhambi ya kipindi x. Inaweza kuthibitishwa kwa njia sawa kwamba 2 kutoka n ni , hivyo hiki ndicho kipindi cha dhambi 2 x.

Kazi sufuri. Thamani ya hoja ambayo kazi ni sawa na 0 inaitwa sufuri (mzizi) kazi. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na sufuri nyingi. Kwa mfano, chaguo la kukokotoa y = x (x + 1) (x-3) ina sufuri tatu: x= 0, x= -1, x= 3. Kijiometri null kazi - hii ni abscissa ya hatua ya makutano ya grafu ya kazi na mhimili X .

Mchoro wa 7 unaonyesha mchoro wa chaguo za kukokotoa na sufuri: x= a, x = b Na x= c.

Asymptote. Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa inakaribia mstari fulani kwa muda usiojulikana inaposogea mbali na asili, basi mstari huu unaitwa. kutokuwa na dalili.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Nyenzo hii ya kufundishia ni ya marejeleo pekee na inahusiana na mada mbalimbali. Nakala hiyo inatoa muhtasari wa grafu za kazi za kimsingi na inazingatia suala muhimu zaidi - jinsi ya kujenga grafu kwa usahihi na kwa HARAKA. Wakati wa kusoma hisabati ya juu bila ufahamu wa grafu za kazi za kimsingi za kimsingi, itakuwa ngumu, kwa hivyo ni muhimu kukumbuka jinsi grafu za parabola, hyperbola, sine, cosine, n.k. zinavyoonekana, na kukumbuka zingine. ya maana za kazi. Pia tutazungumzia kuhusu baadhi ya mali ya kazi kuu.

Sidai ukamilifu na ukamilifu wa kisayansi wa nyenzo; mkazo utawekwa, kwanza kabisa, juu ya mazoezi - mambo ambayo mtu hukutana kihalisi katika kila hatua, katika mada yoyote ya hisabati ya juu. Chati za dummies? Mtu anaweza kusema hivyo.

Kwa sababu ya maombi mengi kutoka kwa wasomaji jedwali la yaliyomo inayoweza kubofya:

Kwa kuongeza, kuna muhtasari mfupi zaidi juu ya mada
- bwana wa aina 16 za chati kwa kusoma kurasa SITA!

Kweli, sita, hata mimi nilishangaa. Muhtasari huu una michoro iliyoboreshwa na unapatikana kwa ada ya kawaida; toleo la onyesho linaweza kutazamwa. Ni rahisi kuchapisha faili ili grafu ziwe karibu kila wakati. Asante kwa kuunga mkono mradi!

Na wacha tuanze mara moja:

Jinsi ya kuunda shoka za kuratibu kwa usahihi?

Katika mazoezi, majaribio ni karibu kila mara kukamilika na wanafunzi katika daftari tofauti, lined katika mraba. Kwa nini unahitaji alama za checkered? Baada ya yote, kazi, kwa kanuni, inaweza kufanywa kwenye karatasi za A4. Na ngome ni muhimu kwa muundo wa hali ya juu na sahihi wa michoro.

Mchoro wowote wa grafu ya kazi huanza na shoka za kuratibu.

Michoro inaweza kuwa mbili-dimensional au tatu-dimensional.

Hebu kwanza fikiria kesi ya pande mbili Mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian:

1) Chora shoka za kuratibu. Mhimili unaitwa mhimili wa x , na mhimili ni mhimili y . Daima tunajaribu kuwachora nadhifu na sio kombo. Mishale pia haipaswi kufanana na ndevu za Papa Carlo.

2) Tunasaini shoka na herufi kubwa "X" na "Y". Usisahau kuweka lebo kwenye shoka.

3) Weka mizani kando ya shoka: chora sifuri na mbili. Wakati wa kufanya kuchora, kiwango cha urahisi zaidi na kinachotumiwa mara kwa mara ni: kitengo 1 = seli 2 (kuchora upande wa kushoto) - ikiwezekana, shikamana nayo. Hata hivyo, mara kwa mara hutokea kwamba kuchora haifai kwenye karatasi ya daftari - basi tunapunguza kiwango: kitengo 1 = kiini 1 (kuchora upande wa kulia). Ni nadra, lakini hutokea kwamba kiwango cha kuchora kinapaswa kupunguzwa (au kuongezeka) hata zaidi

HAKUNA HAJA ya "machine gun" ...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Kwa ndege ya kuratibu si monument kwa Descartes, na mwanafunzi si njiwa. Tunaweka sufuri Na vitengo viwili pamoja na shoka. Mara nyingine badala ya vitengo, ni rahisi "kuashiria" maadili mengine, kwa mfano, "mbili" kwenye mhimili wa abscissa na "tatu" kwenye mhimili wa kuratibu - na mfumo huu (0, 2 na 3) pia utafafanua gridi ya kuratibu kipekee.

Ni bora kukadiria vipimo vilivyokadiriwa vya mchoro KABLA ya kuunda mchoro. Kwa hiyo, kwa mfano, ikiwa kazi inahitaji kuchora pembetatu na vertices , , , basi ni wazi kabisa kwamba kiwango maarufu cha kitengo 1 = seli 2 haitafanya kazi. Kwa nini? Wacha tuangalie hatua - hapa itabidi kupima sentimita kumi na tano chini, na, kwa wazi, mchoro hautafaa (au haufai kabisa) kwenye karatasi ya daftari. Kwa hiyo, sisi huchagua mara moja kiwango kidogo: kitengo 1 = 1 kiini.

Kwa njia, kuhusu sentimita na seli za daftari. Je, ni kweli kwamba seli 30 za daftari zina sentimita 15? Kwa kujifurahisha, pima sentimita 15 kwenye daftari yako na rula. Katika USSR, hii inaweza kuwa kweli ... Inashangaza kutambua kwamba ikiwa unapima sentimita hizi sawa kwa usawa na kwa wima, matokeo (katika seli) yatakuwa tofauti! Kwa kusema, daftari za kisasa hazijachunguzwa, lakini ni za mstatili. Hii inaweza kuonekana kuwa isiyo na maana, lakini kuchora, kwa mfano, mduara na dira katika hali kama hizi ni ngumu sana. Kuwa waaminifu, kwa wakati kama huo unaanza kufikiria juu ya usahihi wa Comrade Stalin, ambaye alipelekwa kambini kwa kazi ya utapeli katika uzalishaji, bila kutaja tasnia ya magari ya ndani, ndege zinazoanguka au mitambo ya kulipuka.

Kuzungumza juu ya ubora, au pendekezo fupi juu ya vifaa vya kuandika. Leo, daftari nyingi zinazouzwa ni, kusema kidogo, ujinga kamili. Kwa sababu wanapata mvua, na sio tu kutoka kwa kalamu za gel, bali pia kutoka kwa kalamu za mpira! Wanaokoa pesa kwenye karatasi. Ili kukamilisha vipimo, ninapendekeza kutumia daftari kutoka kwa Pulp na Karatasi ya Arkhangelsk (karatasi 18, mraba) au "Pyaterochka", ingawa ni ghali zaidi. Inashauriwa kuchagua kalamu ya gel, hata kujaza gel kwa bei nafuu zaidi ya Kichina ni bora zaidi kuliko kalamu ya mpira, ambayo huchoma au kurarua karatasi. Kalamu pekee ya "ushindani" ninayoweza kukumbuka ni Erich Krause. Anaandika kwa uwazi, kwa uzuri na kwa uthabiti - iwe kwa msingi kamili au kwa karibu tupu.

Zaidi ya hayo: Maono ya mfumo wa kuratibu wa mstatili kupitia macho ya jiometri ya uchanganuzi yamefunikwa katika makala Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors, maelezo ya kina kuhusu robo za kuratibu yanaweza kupatikana katika aya ya pili ya somo Ukosefu wa usawa wa mstari.

Kesi ya 3D

Ni karibu sawa hapa.

1) Chora shoka za kuratibu. Kawaida: mhimili unafaa - kuelekezwa juu, mhimili - kuelekezwa kwa haki, mhimili - kuelekezwa chini kwenda kushoto madhubuti kwa pembe ya digrii 45.

2) Weka alama kwenye shoka.

3) Weka mizani kando ya shoka. Mizani kando ya mhimili ni ndogo mara mbili kuliko mizani kando ya shoka zingine. Pia kumbuka kuwa katika mchoro sahihi nilitumia "notch" isiyo ya kawaida kwenye mhimili (uwezekano huu tayari umetajwa hapo juu). Kwa mtazamo wangu, hii ni sahihi zaidi, haraka na ya kupendeza zaidi - hakuna haja ya kutafuta katikati ya seli chini ya darubini na "kuchonga" kitengo karibu na asili ya kuratibu.

Wakati wa kufanya mchoro wa 3D, tena, toa kipaumbele kwa kiwango
Kitengo 1 = seli 2 (kuchora upande wa kushoto).

Sheria hizi zote ni za nini? Sheria zinawekwa ili kuvunjwa. Hiyo ndiyo nitafanya sasa. Ukweli ni kwamba michoro inayofuata ya makala itafanywa na mimi katika Excel, na axes za kuratibu zitaonekana kuwa sahihi kutoka kwa mtazamo wa kubuni sahihi. Ningeweza kuchora grafu zote kwa mkono, lakini inatisha kuzichora kwani Excel inasita kuzichora kwa usahihi zaidi.

Grafu na mali ya msingi ya kazi za msingi

Utendakazi wa mstari hutolewa na mlinganyo. Grafu ya kazi za mstari ni moja kwa moja. Ili kujenga mstari wa moja kwa moja, inatosha kujua pointi mbili.

Mfano 1

Tengeneza grafu ya chaguo za kukokotoa. Hebu tupate pointi mbili. Ni faida kuchagua sifuri kama moja ya pointi.

Ikiwa, basi

Wacha tuchukue hoja nyingine, kwa mfano, 1.

Ikiwa, basi

Wakati wa kukamilisha kazi, kuratibu za vidokezo kawaida hufupishwa katika jedwali:

Na maadili yenyewe huhesabiwa kwa mdomo au kwenye rasimu, kikokotoo.

Pointi mbili zimepatikana, wacha tufanye mchoro:

Wakati wa kuandaa mchoro, tunasaini picha kila wakati.

Itakuwa muhimu kukumbuka kesi maalum za kazi ya mstari:

Angalia jinsi nilivyoweka saini, saini haipaswi kuruhusu kutofautiana wakati wa kusoma kuchora. Katika kesi hii, ilikuwa haifai sana kuweka saini karibu na hatua ya makutano ya mistari, au chini kulia kati ya grafu.

1) Kazi ya mstari wa fomu () inaitwa uwiano wa moja kwa moja. Kwa mfano, . Grafu ya uwiano wa moja kwa moja daima hupitia asili. Kwa hivyo, kujenga mstari wa moja kwa moja hurahisishwa - inatosha kupata nukta moja tu.

2) Equation ya fomu inabainisha mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili, hasa, mhimili yenyewe hutolewa na equation. Grafu ya kazi inajengwa mara moja, bila kupata pointi yoyote. Hiyo ni, ingizo linapaswa kueleweka kama ifuatavyo: "y daima ni sawa na -4, kwa thamani yoyote ya x."

3) Equation ya fomu inabainisha mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili, hasa, mhimili yenyewe hutolewa na equation. Grafu ya kazi pia imepangwa mara moja. Ingizo linapaswa kueleweka kama ifuatavyo: "x daima, kwa thamani yoyote ya y, ni sawa na 1."

Wengine watauliza, kwa nini ukumbuke darasa la 6?! Ndivyo ilivyo, labda ni hivyo, lakini kwa miaka mingi ya mazoezi nimekutana na wanafunzi kadhaa wazuri ambao walichanganyikiwa na kazi ya kuunda grafu kama au.

Kujenga mstari wa moja kwa moja ni hatua ya kawaida wakati wa kufanya michoro.

Mstari wa moja kwa moja unajadiliwa kwa undani katika mwendo wa jiometri ya uchambuzi, na wale wanaopenda wanaweza kutaja makala Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege.

Grafu ya kazi ya quadratic, cubic, grafu ya polynomial

Parabola. Grafu ya utendaji wa quadratic () inawakilisha parabola. Fikiria kesi maarufu:

Hebu tukumbuke baadhi ya sifa za kazi.

Kwa hiyo, suluhisho la equation yetu: - ni katika hatua hii kwamba vertex ya parabola iko. Kwa nini hii ni hivyo inaweza kupatikana katika makala ya kinadharia juu ya derivative na somo juu ya mwisho wa kazi. Kwa sasa, hebu tuhesabu thamani inayolingana ya "Y":

Kwa hivyo, vertex iko kwenye hatua

Sasa tunapata vidokezo vingine, huku tukitumia kwa ujasiri ulinganifu wa parabola. Ikumbukwe kwamba kazi – sio hata, lakini, hata hivyo, hakuna mtu aliyeghairi ulinganifu wa parabola.

Kwa utaratibu gani wa kupata alama zilizobaki, nadhani itakuwa wazi kutoka kwa jedwali la mwisho:

Algorithm hii ya ujenzi inaweza kuitwa kwa mfano "shuttle" au kanuni ya "nyuma na nje" na Anfisa Chekhova.

Wacha tufanye mchoro:

Kutoka kwa grafu zilizochunguzwa, kipengele kingine muhimu kinakuja akilini:

Kwa kazi ya quadratic () yafuatayo ni kweli:

Ikiwa , basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu.

Ikiwa , basi matawi ya parabola yanaelekezwa chini.

Ujuzi wa kina juu ya curve unaweza kupatikana katika somo la Hyperbola na parabola.

Parabola ya ujazo inatolewa na kazi. Hapa kuna mchoro unaojulikana kutoka shuleni:

Hebu tuorodhe mali kuu ya kazi

Grafu ya kipengele

Inawakilisha moja ya matawi ya parabola. Wacha tufanye mchoro:

Sifa kuu za kazi:

Katika kesi hii, mhimili ni asymptote ya wima kwa grafu ya hyperbola katika .

Itakuwa kosa kubwa ikiwa, wakati wa kuchora mchoro, bila kujali unaruhusu grafu kuingiliana na asymptote.

Pia mipaka ya upande mmoja inatuambia kwamba hyperbola sio mdogo kutoka juu Na sio mdogo kutoka chini.

Wacha tuchunguze kazi kwa infinity:, ambayo ni, ikiwa tutaanza kusonga kando ya mhimili kwenda kushoto (au kulia) hadi infinity, basi "michezo" itakuwa katika hatua ya utaratibu. karibu sana karibia sifuri, na, ipasavyo, matawi ya hyperbola karibu sana karibia mhimili.

Hivyo mhimili ni asymptote ya usawa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa, ikiwa "x" inaelekea kuongeza au kutoa infinity.

kazi ni isiyo ya kawaida, na, kwa hiyo, hyperbola ni ulinganifu kuhusu asili. Ukweli huu ni dhahiri kutoka kwa mchoro, kwa kuongeza, inathibitishwa kwa urahisi uchambuzi: .

Grafu ya utendaji wa fomu () inawakilisha matawi mawili ya hyperbola.

Ikiwa , basi hyperbola iko katika robo ya kwanza na ya tatu ya kuratibu(tazama picha hapo juu).

Ikiwa , basi hyperbola iko katika robo ya pili na ya nne ya kuratibu.

Mchoro ulioonyeshwa wa makazi ya hyperbola ni rahisi kuchambua kutoka kwa mtazamo wa mabadiliko ya kijiometri ya grafu.

Mfano 3

Tengeneza tawi sahihi la hyperbola

Tunatumia njia ya busara ya ujenzi, na ni faida kuchagua maadili ili yaweze kugawanywa kwa ujumla:

Wacha tufanye mchoro:

Haitakuwa ngumu kuunda tawi la kushoto la hyperbola; tabia isiyo ya kawaida ya kazi itasaidia hapa. Kwa kusema, katika jedwali la ujenzi wa busara, tunaongeza kiakili minus kwa kila nambari, kuweka alama zinazolingana na kuchora tawi la pili.

Maelezo ya kina ya kijiometri kuhusu mstari unaozingatiwa yanaweza kupatikana katika makala Hyperbola na parabola.

Grafu ya Kazi ya Kipengele

Katika sehemu hii, nitazingatia mara moja kazi ya kielelezo, kwa kuwa katika matatizo ya hisabati ya juu katika 95% ya kesi ni kielelezo kinachoonekana.

Napenda kukukumbusha kwamba hii ni nambari isiyo na maana: , hii itahitajika wakati wa kujenga grafu, ambayo, kwa kweli, nitajenga bila sherehe. Pengine pointi tatu zinatosha:

Hebu tuache grafu ya chaguo pekee kwa sasa, zaidi juu yake baadaye.

Sifa kuu za kazi:

Grafu za kazi, nk, zinaonekana sawa kimsingi.

Lazima niseme kwamba kesi ya pili hutokea mara kwa mara katika mazoezi, lakini hutokea, kwa hiyo niliona kuwa ni muhimu kuijumuisha katika makala hii.

Grafu ya kazi ya logarithmic

Zingatia chaguo la kukokotoa lenye logariti asilia.
Wacha tufanye mchoro wa hatua kwa hatua:

Ikiwa umesahau logarithm ni nini, tafadhali rejelea vitabu vya shule yako.

Sifa kuu za kazi:

Kikoa:

Msururu wa maadili:.

Chaguo la kukokotoa sio mdogo kutoka juu: , ingawa polepole, lakini tawi la logarithm huenda hadi infinity.
Wacha tuchunguze tabia ya chaguo la kukokotoa karibu na sifuri upande wa kulia: . Hivyo mhimili ni asymptote ya wima kwa grafu ya chaguo za kukokotoa kama "x" huwa na sifuri kutoka kulia.

Ni muhimu kujua na kukumbuka thamani ya kawaida ya logarithm: .

Kimsingi, grafu ya logarithm kwa msingi inaonekana sawa: , , (logarithm ya decimal hadi msingi 10), nk. Zaidi ya hayo, msingi mkubwa, grafu itakuwa nzuri zaidi.

Hatutazingatia kesi hiyo; sikumbuki mara ya mwisho nilitengeneza grafu kwa msingi kama huo. Na logarithm inaonekana kuwa mgeni adimu sana katika shida za hisabati ya juu.

Mwishoni mwa aya hii nitasema ukweli mmoja zaidi: Utendakazi wa kipeo na utendakazi wa logarithmic- hizi ni kazi mbili kinyume. Ikiwa unatazama kwa karibu grafu ya logarithm, unaweza kuona kwamba hii ni kielelezo sawa, iko tu tofauti kidogo.

Grafu za kazi za trigonometric

Mateso ya trigonometric huanza wapi shuleni? Haki. Kutoka kwa sine

Hebu tupange kazi

Mstari huu unaitwa sinusoid.

Acha nikukumbushe kwamba "pi" ni nambari isiyo na maana:, na katika trigonometry hufanya macho yako yang'ae.

Sifa kuu za kazi:

Kazi hii ni mara kwa mara na kipindi. Ina maana gani? Wacha tuangalie sehemu. Kwa upande wa kushoto na kulia wake, kipande sawa cha grafu kinarudiwa bila mwisho.

Kikoa: , yaani, kwa thamani yoyote ya "x" kuna thamani ya sine.

Msururu wa maadili:. kazi ni mdogo: , yaani, "michezo" yote hukaa madhubuti katika sehemu.
Hii haifanyiki: au, kwa usahihi, hutokea, lakini equations hizi hazina suluhisho.