Thamani kamili ya nambari a ni umbali kutoka asili hadi uhakika A(a).
Ili kuelewa ufafanuzi huu, wacha tubadilishe kutofautisha a nambari yoyote, kwa mfano 3 na ujaribu kuisoma tena:
Thamani kamili ya nambari 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika A(3 ).
Inakuwa wazi kuwa moduli sio zaidi ya umbali wa kawaida. Wacha tujaribu kuona umbali kutoka asili hadi kumweka A( 3 )
Umbali kutoka asili hadi uhakika A( 3 ) ni sawa na 3 (vizio vitatu au hatua tatu).
Moduli ya nambari inaonyeshwa na mistari miwili ya wima, kwa mfano:
Moduli ya nambari 3 imeashiriwa kama ifuatavyo: |3|
Moduli ya nambari 4 imeashiriwa kama ifuatavyo: |4|
Moduli ya nambari 5 imeashiriwa kama ifuatavyo: |5|
Tulitafuta moduli ya nambari 3 na tukagundua kuwa ni sawa na 3. Kwa hivyo tunaiandika:
Inasoma kama: "Moduli ya nambari tatu ni tatu"
Sasa hebu tujaribu kutafuta moduli ya nambari -3. Tena, tunarudi kwenye ufafanuzi na kubadilisha nambari -3 ndani yake. Badala ya nukta pekee A tumia nukta mpya B. Kusimama kamili A tayari tumetumia katika mfano wa kwanza.
Moduli ya nambari - 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika B(—3 ).
Umbali kutoka hatua moja hadi nyingine hauwezi kuwa mbaya. Kwa hiyo, moduli ya nambari yoyote hasi, kuwa umbali, pia haitakuwa mbaya. Moduli ya nambari -3 itakuwa nambari 3. Umbali kutoka kwa asili hadi hatua B(-3) pia ni sawa na vitengo vitatu:
Inasoma kama: "Moduli ya minus tatu ni tatu."
Moduli ya nambari 0 ni sawa na 0, kwani hatua iliyo na kuratibu 0 inalingana na asili, i.e. umbali kutoka asili hadi uhakika O(0) sawa na sifuri:
"Moduli ya sifuri ni sifuri"
Tunatoa hitimisho:
- Moduli ya nambari haiwezi kuwa mbaya;
- Kwa nambari nzuri na sifuri, moduli ni sawa na nambari yenyewe, na kwa nambari hasi - nambari tofauti;
- Nambari zinazopingana zina moduli sawa.
Nambari zinazopingana
Nambari ambazo hutofautiana tu kwa ishara zinaitwa kinyume. Kwa mfano, nambari −2 na 2 ni kinyume. Wanatofautiana kwa ishara tu. Nambari −2 ina ishara ya kuondoa, na 2 ina ishara ya kuongeza, lakini hatuioni, kwa sababu pamoja, kama tulivyosema hapo awali, haijaandikwa.
Mifano zaidi ya nambari tofauti:
Nambari zinazopingana zina moduli sawa. Kwa mfano, hebu tutafute moduli za −2 na 2
Takwimu inaonyesha kwamba umbali kutoka asili hadi pointi A(−2) Na B(2) sawa sawa na hatua mbili.
Ulipenda somo?
Jiunge na kikundi chetu kipya cha VKontakte na uanze kupokea arifa kuhusu masomo mapya
Moduli ni mojawapo ya mambo ambayo kila mtu anaonekana kuwa amesikia, lakini kwa kweli hakuna mtu anayeelewa. Kwa hivyo, leo kutakuwa na somo kubwa linalojitolea kutatua hesabu na moduli.
Nitasema mara moja: somo halitakuwa ngumu. Na kwa ujumla, moduli ni mada rahisi. "Ndio, kwa kweli, sio ngumu! Inaniumiza akili!” - wanafunzi wengi watasema, lakini mapumziko haya yote ya ubongo hutokea kutokana na ukweli kwamba watu wengi hawana ujuzi katika vichwa vyao, lakini aina fulani ya ujinga. Na lengo la somo hili ni kugeuza ujinga kuwa maarifa. :)
Nadharia kidogo
Kwa hiyo, twende. Wacha tuanze na jambo muhimu zaidi: moduli ni nini? Acha nikukumbushe kwamba moduli ya nambari ni nambari sawa, lakini imechukuliwa bila ishara ya kutoa. Hiyo ni, kwa mfano, $\left| -5 \kulia|=5$. Au $\kushoto| -129.5 \kulia|=$129.5.
Je, ni rahisi hivyo? Ndiyo, rahisi. Ni nini basi thamani kamili ya nambari chanya? Ni rahisi zaidi hapa: moduli ya nambari chanya ni sawa na nambari hii yenyewe: $\left| 5 \kulia|=5$; $\kushoto| 129.5 \kulia|=$129.5, nk.
Inageuka jambo la kushangaza: nambari tofauti zinaweza kuwa na moduli sawa. Kwa mfano: $\left| -5 \kulia|=\kushoto| 5 \kulia|=5$; $\kushoto| -129.5 \kulia|=\kushoto| 129.5\kulia|=$129.5. Ni rahisi kuona ni aina gani ya nambari hizi, ambazo moduli zao ni sawa: nambari hizi ni kinyume. Kwa hivyo, tunaona sisi wenyewe kuwa moduli za nambari tofauti ni sawa:
\[\kushoto| -a \kulia|=\kushoto| a\kulia|\]
Ukweli mwingine muhimu: moduli sio hasi kamwe. Nambari yoyote tunayochukua - iwe chanya au hasi - moduli yake kila wakati inageuka kuwa chanya (au, katika hali mbaya, sifuri). Hii ndiyo sababu moduli mara nyingi huitwa thamani kamili ya nambari.
Kwa kuongeza, ikiwa tunachanganya ufafanuzi wa moduli kwa nambari chanya na hasi, tunapata ufafanuzi wa kimataifa wa moduli kwa nambari zote. Yaani: moduli ya nambari ni sawa na nambari yenyewe ikiwa nambari ni chanya (au sifuri), au sawa na nambari inayopingana ikiwa nambari ni hasi. Unaweza kuandika hii kama fomula:
Pia kuna moduli ya sifuri, lakini daima ni sawa na sifuri. Kwa kuongeza, sifuri ni nambari pekee ambayo haina kinyume.
Kwa hivyo, ikiwa tutazingatia kazi $y=\left| x \right|$ na ujaribu kuchora grafu yake, utapata kitu kama hiki:
Grafu ya modulus na mfano wa kusuluhisha mlingano
Kutoka kwa picha hii ni wazi mara moja kuwa $\left| -m \kulia|=\kushoto| m \kulia|$, na grafu ya moduli kamwe haianguki chini ya mhimili wa x. Lakini si hivyo tu: mstari mwekundu unaashiria mstari ulionyooka $y=a$, ambao, kwa chanya $a$, hutupatia mizizi miwili mara moja: $((x)_(1))$ na $((x) _(2)) $, lakini tutazungumzia hilo baadaye. :)
Mbali na ufafanuzi wa algebraic, kuna moja ya kijiometri. Wacha tuseme kuna alama mbili kwenye nambari ya nambari: $((x)_(1))$ na $((x)_(2))$. Katika kesi hii, usemi $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \kulia|$ ni umbali kati ya alama zilizobainishwa. Au, ukipenda, urefu wa sehemu inayounganisha nukta hizi:
Modulus ni umbali kati ya pointi kwenye mstari wa nambari Ufafanuzi huu pia unamaanisha kuwa moduli daima sio hasi. Lakini ufafanuzi na nadharia ya kutosha - wacha tuendelee kwenye hesabu halisi. :)
Msingi wa formula
Sawa, tumepanga ufafanuzi. Lakini hiyo haikufanya iwe rahisi zaidi. Jinsi ya kutatua hesabu zilizo na moduli hii?
Utulivu, utulivu tu. Hebu tuanze na mambo rahisi zaidi. Fikiria kitu kama hiki:
\[\kushoto| x\kulia|=3\]
Kwa hivyo moduli ya $x$ ni 3. $x$ inaweza kuwa sawa na nini? Kweli, kwa kuzingatia ufafanuzi, tunafurahiya sana $x=3$. Kweli:
\[\kushoto| 3\kulia|=3\]
Kuna nambari zingine? Cap inaonekana kuashiria kuwa kuna. Kwa mfano, $x=-3$ pia ni $\left| -3 \kulia|=3$, i.e. usawa unaohitajika umeridhika.
Kwa hivyo labda ikiwa tutatafuta na kufikiria, tutapata nambari zaidi? Lakini wacha tukabiliane nayo: hakuna nambari zaidi. Equation $\left| x \kulia|=3$ ina mizizi miwili pekee: $x=3$ na $x=-3$.
Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Wacha chaguo za kukokotoa $f\left(x \kulia)$ zing'ang'anie chini ya ishara ya moduli badala ya tofauti $x$, na uweke nambari ya kiholela $a$ badala ya tatu upande wa kulia. Tunapata equation:
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=a\]
Kwa hiyo tunawezaje kutatua hili? Acha nikukumbushe: $f\left(x \right)$ ni chaguo la kukokotoa kiholela, $a$ ni nambari yoyote. Wale. Chochote kabisa! Kwa mfano:
\[\kushoto| 2x+1 \kulia|=5\]
\[\kushoto| 10x-5 \kulia|=-65\]
Wacha tuangalie equation ya pili. Unaweza kusema mara moja juu yake: hana mizizi. Kwa nini? Kila kitu ni sahihi: kwa sababu inahitaji kwamba moduli iwe sawa na nambari hasi, ambayo haifanyiki kamwe, kwani tayari tunajua kuwa moduli daima ni nambari nzuri au, katika hali mbaya, sifuri.
Lakini kwa equation ya kwanza kila kitu ni furaha zaidi. Kuna chaguzi mbili: ama kuna usemi chanya chini ya ishara ya moduli, na kisha $\left| 2x+1 \kulia|=2x+1$, au usemi huu bado ni hasi, na kisha $\left| 2x+1 \kulia|=-\kushoto(2x+1 \kulia)=-2x-1$. Katika kesi ya kwanza, equation yetu itaandikwa upya kama ifuatavyo:
\[\kushoto| 2x+1 \kulia|=5\Mshale wa Kulia 2x+1=5\]
Na ghafla ikawa kwamba usemi wa submodular $2x+1$ ni chanya kweli - ni sawa na nambari 5. Hiyo ni. tunaweza kutatua equation hii kwa usalama - mzizi unaosababishwa utakuwa kipande cha jibu:
Wale ambao hawaaminiki wanaweza kujaribu kubadilisha mzizi uliopatikana kwenye mlinganyo wa asili na kuhakikisha kuwa kuna nambari chanya chini ya moduli.
Sasa hebu tuangalie kesi ya usemi hasi wa submodular:
\[\kushoto\( \anza(panga)& \kushoto| 2x+1 \kulia|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\mwisho(patanisha) \kulia.\Kulia -2x-1=5 \Mshale 2x+1=-5\]
Lo! Tena, kila kitu kiko wazi: tulidhani kwamba $2x+1 \lt 0$, na matokeo yake tukapata $2x+1=-5$ - hakika, usemi huu ni chini ya sifuri. Tunatatua equation inayosababishwa, wakati tayari tunajua kwa hakika kuwa mzizi uliopatikana utatufaa:
Kwa jumla, tulipokea tena majibu mawili: $x=2$ na $x=3$. Ndiyo, kiasi cha mahesabu kiligeuka kuwa kikubwa kidogo kuliko katika mlinganyo rahisi sana $\left| x \kulia|=3$, lakini hakuna kilichobadilika kimsingi. Kwa hivyo labda kuna aina fulani ya algorithm ya ulimwengu wote?
Ndio, algorithm kama hiyo ipo. Na sasa tutachambua.
Kuondoa ishara ya moduli
Wacha tupewe equation $\left| f\left(x \kulia) \kulia|=a$, na $a\ge 0$ (vinginevyo, kama tunavyojua tayari, hakuna mizizi). Basi unaweza kuondoa ishara ya moduli kwa kutumia sheria ifuatayo:
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=a\Mshale f\kushoto(x \kulia)=\pm a\]
Kwa hivyo, equation yetu na moduli hugawanyika katika mbili, lakini bila moduli. Hiyo ndiyo teknolojia yote! Wacha tujaribu kusuluhisha milinganyo kadhaa. Hebu tuanze na hili
\[\kushoto| 5x+4 \kulia|=10\Mshale wa Kulia 5x+4=\pm 10\]
Wacha tuzingatie kando wakati kuna kumi pamoja na kulia, na kando wakati kuna minus. Tuna:
\[\anza(linganisha)& 5x+4=10\Mshale wa kulia 5x=6\Mshale wa Kulia x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Mshale wa Kulia 5x=-14\Mshale wa Kulia x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\mwisho(linganisha)\]
Ni hayo tu! Tulipata mizizi miwili: $x=1.2$ na $x=-2.8$. Suluhisho lote lilichukua mistari miwili.
Sawa, hakuna swali, wacha tuangalie jambo zito zaidi:
\[\kushoto| 7-5x\kulia|=13\]
Tena tunafungua moduli na plus na minus:
\[\anza(align)& 7-5x=13\ Rightarrow -5x=6\ Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Mshale wa Kulia -5x=-20\Mshale wa Kulia x=4. \\\mwisho(linganisha)\]
Mistari kadhaa tena - na jibu liko tayari! Kama nilivyosema, hakuna chochote ngumu kuhusu moduli. Unahitaji tu kukumbuka sheria chache. Kwa hivyo, tunaendelea na kuanza na kazi ngumu zaidi.
Kesi ya kigeugeu cha upande wa kulia
Sasa fikiria equation hii:
\[\kushoto| 3x-2 \kulia|=2x\]
Mlinganyo huu kimsingi ni tofauti na zile zote zilizopita. Vipi? Na ukweli kwamba upande wa kulia wa ishara sawa kuna usemi $2x$ - na hatuwezi kujua mapema ikiwa ni chanya au hasi.
Nini cha kufanya katika kesi hii? Kwanza, lazima tuelewe mara moja na kwa wote ikiwa upande wa kulia wa equation unageuka kuwa mbaya, basi equation haitakuwa na mizizi- tayari tunajua kuwa moduli haiwezi kuwa sawa na nambari hasi.
Na pili, ikiwa sehemu ya kulia bado ni chanya (au sawa na sifuri), basi unaweza kutenda kwa njia sawa na hapo awali: fungua moduli kando na ishara ya kuongeza na kando na ishara ya minus.
Kwa hivyo, tunaunda sheria ya kazi za kiholela $f\left(x \right)$ na $g\left(x \right)$ :
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=g\kushoto(x \kulia)\Kulia \kushoto\( \anza(align)& f\left(x \kulia)=\pm g\left(x \kulia ), \\& g\kushoto(x \kulia)\ge 0. \\\malizia(align) \kulia.\]
Kuhusiana na equation yetu tunapata:
\[\kushoto| 3x-2 \kulia|=2x\Mshale wa Kulia \kushoto\( \anza(linganisha)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\mwisho(panga) \kulia.\]
Naam, kwa namna fulani tutakabiliana na hitaji la $2x\ge 0$. Mwishowe, tunaweza kubadilisha kwa ujinga mizizi tunayopata kutoka kwa mlingano wa kwanza na kuangalia ikiwa ukosefu wa usawa unashikilia au la.
Kwa hivyo, wacha tusuluhishe equation yenyewe:
\[\anza(linganisha)& 3x-2=2\Mshale wa Kulia 3x=4\Mshale wa Kulia x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Mshale wa Kulia 3x=0\Mshale wa Kulia x=0. \\\mwisho(linganisha)\]
Kweli, ni ipi kati ya mizizi hii miwili inakidhi mahitaji $2x\ge 0$? Ndiyo wote wawili! Kwa hivyo, jibu litakuwa nambari mbili: $x=(4)/(3)\;$ na $x=0$. Hilo ndilo suluhisho. :)
Ninashuku kuwa baadhi ya wanafunzi tayari wameanza kuchoka? Kweli, wacha tuangalie equation ngumu zaidi:
\[\kushoto| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kulia|=x-((x)^(3))\]
Ingawa inaonekana mbaya, kwa kweli bado ni mlingano sawa wa fomu "modulus equals function":
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=g\kushoto(x \kulia)\]
Na inatatuliwa kwa njia ile ile:
\[\kushoto| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \kulia|=x-((x)^(3))\Mshale wa kulia \kushoto\( \anza( align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kushoto(x-((x)^(3))) \kulia), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\malizia(panga) \kulia.\]
Tutashughulika na usawa baadaye - ni kwa namna fulani mbaya sana (kwa kweli, ni rahisi, lakini hatutatua). Kwa sasa, ni bora kukabiliana na equations zinazosababisha. Wacha tuzingatie kesi ya kwanza - hii ndio wakati moduli inapanuliwa na ishara ya kuongeza:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Kweli, sio akili kwamba unahitaji kukusanya kila kitu kutoka kushoto, kuleta sawa na kuona kinachotokea. Na hii ndio hufanyika:
\[\anza(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\mwisho(linganisha)\]
Tunachukua kipengele cha kawaida $((x)^(2))$ kutoka kwenye mabano na kupata mlinganyo rahisi sana:
\[((x)^(2))\kushoto(2x-3 \kulia)=0\Kulia \kushoto[ \anza(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\mwisho(linganisha) \kulia.\]
\[((x)_(1)))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Hapa tulichukua faida ya mali muhimu ya bidhaa, kwa ajili ya ambayo tuliweka polynomial ya awali: bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya mambo ni sawa na sifuri.
Sasa hebu tushughulikie equation ya pili kwa njia ile ile, ambayo hupatikana kwa kupanua moduli na ishara ya minus:
\[\anza(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\kushoto(x-((x)^(3)) \kulia); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\kushoto(-3x+2 \kulia)=0. \\\mwisho(linganisha)\]
Tena kitu kimoja: bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Tuna:
\[\kushoto[ \anza(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\malizia(align) \kulia.\]
Naam, tulipata mizizi mitatu: $x=0$, $x=1.5$ na $x=(2)/(3)\;$. Kweli, ni ipi kati ya seti hii itaingia kwenye jibu la mwisho? Ili kufanya hivyo, kumbuka kuwa tunayo kizuizi cha ziada katika mfumo wa usawa:
Jinsi ya kuzingatia hitaji hili? Hebu tubadilishe mizizi iliyopatikana na tuangalie ikiwa ukosefu wa usawa unashikilia $x$ hizi au la. Tuna:
\[\anza(linganisha)& x=0\Mshale wa Kulia x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Mshale wa Kulia x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Mshale wa kulia x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\mwisho(linganisha)\]
Kwa hivyo, mzizi $x=1.5$ haufai sisi. Na kwa kujibu kutakuwa na mizizi miwili tu:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Kama unaweza kuona, hata katika kesi hii hakukuwa na chochote ngumu - hesabu na moduli hutatuliwa kila wakati kwa kutumia algorithm. Unahitaji tu kuwa na uelewa mzuri wa polynomials na usawa. Kwa hiyo, tunaendelea na kazi ngumu zaidi - tayari hakutakuwa na moja, lakini moduli mbili.
Milinganyo yenye moduli mbili
Hadi sasa, tumesoma hesabu rahisi tu - kulikuwa na moduli moja na kitu kingine. Tulituma "kitu kingine" hiki kwa sehemu nyingine ya usawa, mbali na moduli, ili mwishowe kila kitu kipunguzwe kwa equation ya fomu $\left| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=g\kushoto(x \kulia)$ au hata rahisi zaidi $\left| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=a$.
Lakini shule ya chekechea imekwisha - ni wakati wa kuzingatia jambo kubwa zaidi. Wacha tuanze na equations kama hii:
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=\kushoto| g\kushoto(x \kulia) \kulia|\]
Huu ni mlinganyo wa fomu "modulus sawa na moduli". Jambo la msingi ni kutokuwepo kwa masharti na mambo mengine: moduli moja tu upande wa kushoto, moduli moja zaidi upande wa kulia - na hakuna zaidi.
Mtu sasa atafikiri kwamba milinganyo kama hii ni ngumu zaidi kusuluhisha kuliko yale ambayo tumesoma hadi sasa. Lakini hapana: milinganyo hii ni rahisi hata kutatua. Hii ndio fomula:
\[\kushoto| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=\kushoto| g\kushoto(x \kulia) \kulia|\Mshale wa kulia f\kushoto(x \kulia)=\pm g\left(x \kulia)\]
Wote! Tunalinganisha semi ndogo za moduli kwa kuweka ishara ya kuongeza au kutoa mbele ya mojawapo. Na kisha tunatatua equations mbili zinazosababisha - na mizizi iko tayari! Hakuna vikwazo vya ziada, hakuna usawa, nk. Kila kitu ni rahisi sana.
Hebu jaribu kutatua tatizo hili:
\[\kushoto| 2x+3 \kulia|=\kushoto| 2x-7 \kulia|\]
Watson wa Msingi! Kupanua moduli:
\[\kushoto| 2x+3 \kulia|=\kushoto| 2x-7 \kulia|\Mshale wa kulia 2x+3=\pm \kushoto(2x-7 \kulia)\]
Wacha tuzingatie kila kesi kando:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\kushoto(2x-7 \kulia)\Kulia 2x+3=-2x+7. \\\mwisho(linganisha)\]
Equation ya kwanza haina mizizi. Kwa sababu ni lini $3=-7$? Kwa thamani gani za $x$? "$x$ ni nini? Je, unapigwa mawe? Hakuna $x$ huko kabisa," unasema. Na utakuwa sahihi. Tumepata usawa ambao hautegemei mabadiliko ya $x$, na wakati huo huo usawa wenyewe sio sahihi. Ndio maana hakuna mizizi. :)
Na equation ya pili, kila kitu kinavutia zaidi, lakini pia ni rahisi sana:
Kama unavyoona, kila kitu kilitatuliwa kihalisi katika mistari michache - hatukutarajia kitu kingine chochote kutoka kwa equation ya mstari. :)
Kama matokeo, jibu la mwisho ni: $x=1$.
Hivyo jinsi gani? Ngumu? Bila shaka hapana. Wacha tujaribu kitu kingine:
\[\kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| ((x)^(2))-3x+2 \kulia|\]
Tena tuna equation ya fomu $\left| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=\kushoto| g\kushoto(x \kulia) \kulia|$. Kwa hivyo, tunaandika tena mara moja, tukifunua ishara ya moduli:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \kushoto(x-1 \kulia)\]
Labda mtu sasa atauliza: "Halo, upuuzi gani? Kwa nini "plus-minus" inaonekana kwenye usemi wa mkono wa kulia na si wa kushoto?" Tulia, nitaelezea kila kitu sasa. Hakika, kwa njia nzuri tunapaswa kuandika upya mlinganyo wetu kama ifuatavyo:
Kisha unahitaji kufungua mabano, uhamishe masharti yote kwa upande mmoja wa ishara sawa (kwani equation, kwa wazi, itakuwa mraba katika kesi zote mbili), na kisha kupata mizizi. Lakini lazima ukubali: wakati "plus-minus" inaonekana kabla ya maneno matatu (hasa wakati mojawapo ya maneno haya ni maneno ya quadratic), kwa namna fulani inaonekana ngumu zaidi kuliko hali wakati "plus-minus" inaonekana kabla ya maneno mawili tu.
Lakini hakuna kinachotuzuia kuandika tena mlinganyo wa asili kama ifuatavyo:
\[\kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| ((x)^(2))-3x+2 \kulia|\Mshale \kushoto| ((x)^(2))-3x+2 \kulia|=\kushoto| x-1 \kulia|\]
Nini kimetokea? Hakuna maalum: walibadilishana tu pande za kushoto na kulia. Kitu kidogo ambacho hatimaye kitafanya maisha yetu kuwa rahisi kidogo. :)
Kwa ujumla, tunatatua equation hii, kwa kuzingatia chaguzi na plus na minus:
\[\anza(linganisha)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Mshale wa Kulia ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\kushoto(x-1 \kulia)\Mshale wa Kulia ((x)^(2))-2x+1=0. \\\mwisho(linganisha)\]
Mlinganyo wa kwanza una mizizi $x=3$ na $x=1$. Ya pili kwa ujumla ni mraba kamili:
\[((x)^(2))-2x+1=((\kushoto(x-1 \kulia))^(2))\]
Kwa hivyo, ina mzizi mmoja tu: $x=1$. Lakini tayari tumepata mzizi huu mapema. Kwa hivyo, nambari mbili tu ndizo zitaingia kwenye jibu la mwisho:
\[((x)_(1)))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Dhamira Imekamilika! Unaweza kuchukua pai kutoka kwenye rafu na kula. Kuna 2 kati yao, yako ni ya kati. :)
Kumbuka Muhimu. Uwepo wa mizizi inayofanana kwa anuwai tofauti za upanuzi wa moduli inamaanisha kuwa polynomia za asili zimeainishwa, na kati ya mambo haya hakika kutakuwa na moja ya kawaida. Kweli:
\[\anza(linganisha)& \kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| ((x)^(2))-3x+2 \kulia|; \\& \kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| \kushoto(x-1 \kulia)\kushoto(x-2 \kulia) \kulia|. \\\mwisho(linganisha)\]
Moja ya mali ya moduli: $\left| a\cdot b \kulia|=\kushoto| a \kulia|\cdot \kushoto| b \kulia|$ (yaani moduli ya bidhaa ni sawa na bidhaa ya moduli), kwa hivyo mlingano wa asili unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:
\[\kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| x-1 \kulia|\cdot \kushoto| x-2 \kulia|\]
Kama unaweza kuona, kwa kweli tuna sababu ya kawaida. Sasa, ikiwa unakusanya moduli zote kwa upande mmoja, unaweza kuondoa kipengele hiki kwenye mabano:
\[\anza(linganisha)& \kushoto| x-1 \kulia|=\kushoto| x-1 \kulia|\cdot \kushoto| x-2 \kulia|; \\& \kushoto| x-1 \kulia|-\kushoto| x-1 \kulia|\cdot \kushoto| x-2 \kulia|=0; \\& \kushoto| x-1 \kulia|\cdot \kushoto(1-\left| x-2 \kulia| \kulia)=0. \\\mwisho(linganisha)\]
Kweli, sasa kumbuka kuwa bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri:
\[\kushoto[ \anza(align)& \left| x-1 \kulia|=0, \\& \kushoto| x-2 \kulia|=1. \\\mwisho(linganisha) \kulia.\]
Kwa hivyo, mlinganyo wa asili na moduli mbili umepunguzwa hadi milinganyo miwili rahisi zaidi ambayo tulizungumza mwanzoni mwa somo. Equations kama hizo zinaweza kutatuliwa halisi katika mistari michache. :)
Usemi huu unaweza kuonekana kuwa tata na hautumiki kimatendo. Walakini, kwa ukweli, unaweza kukutana na shida ngumu zaidi kuliko zile tunazoangalia leo. Ndani yao, moduli zinaweza kuunganishwa na polynomials, mizizi ya hesabu, logarithms, nk. Na katika hali kama hizi, uwezo wa kupunguza kiwango cha jumla cha equation kwa kuchukua kitu nje ya mabano inaweza kuwa muhimu sana. :)
Sasa ningependa kuangalia equation nyingine, ambayo kwa mtazamo wa kwanza inaweza kuonekana kuwa wazimu. Wanafunzi wengi hukwama juu yake, hata wale wanaofikiria kuwa wana ufahamu mzuri wa moduli.
Walakini, mlinganyo huu ni rahisi zaidi kusuluhisha kuliko tulivyoangalia hapo awali. Na ukielewa ni kwa nini, utapata hila nyingine ya kutatua milinganyo kwa haraka na moduli.
Kwa hivyo equation ni:
\[\kushoto| x-((x)^(3)) \kulia|+\kushoto| ((x)^(2))+x-2 \kulia|=0\]
Hapana, hii sio typo: ni nyongeza kati ya moduli. Na tunahitaji kupata $x$ jumla ya moduli mbili ni sawa na sifuri. :)
Tatizo ni nini hata hivyo? Lakini shida ni kwamba kila moduli ni nambari nzuri, au, katika hali mbaya, sifuri. Nini kitatokea ukiongeza nambari mbili chanya? Ni wazi nambari chanya tena:
\[\anza(linganisha)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\malizia(panga)\]
Mstari wa mwisho unaweza kukupa wazo: wakati pekee jumla ya moduli ni sifuri ni ikiwa kila moduli ni sifuri:
\[\kushoto| x-((x)^(3)) \kulia|+\kushoto| ((x)^(2))+x-2 \kulia|=0\Mshale wa Kulia \kushoto\( \anza(panga)& \kushoto| x-((x)^(3)) \kulia|=0, \\& \kushoto| ((x)^(2))+x-2 \kulia|=0. \\\mwisho(panga) \kulia.\]
Na ni wakati gani moduli ni sawa na sifuri? Katika kesi moja tu - wakati usemi wa submodular ni sawa na sifuri:
\[(x)^(2))+x-2=0\Mshale wa kulia \kushoto(x+2 \kulia)\kushoto(x-1 \kulia)=0\Mshale wa kulia \kushoto[ \anza(align)& x=-2 \\& x=1 \\\mwisho(patanisha) \kulia.\]
Kwa hivyo, tuna pointi tatu ambazo moduli ya kwanza imewekwa upya hadi sifuri: 0, 1 na -1; pamoja na pointi mbili ambapo moduli ya pili imewekwa upya hadi sifuri: -2 na 1. Hata hivyo, tunahitaji moduli zote mbili ziwekwe upya hadi sifuri kwa wakati mmoja, kwa hivyo kati ya nambari zilizopatikana tunahitaji kuchagua zile ambazo zimejumuishwa seti zote mbili. Ni wazi, kuna nambari moja tu kama hii: $x=1$ - hili litakuwa jibu la mwisho.
Mbinu ya kugawanyika
Kweli, tayari tumeshughulikia rundo la shida na tumejifunza mbinu nyingi. Je, unafikiri ni hayo tu? Lakini hapana! Sasa tutaangalia mbinu ya mwisho - na wakati huo huo muhimu zaidi. Tutazungumza juu ya kugawanya equations na moduli. Tutazungumza nini hata? Wacha turudi nyuma kidogo na tuangalie mlinganyo rahisi. Kwa mfano hii:
\[\kushoto| 3x-5 \kulia|=5-3x\]
Kimsingi, tayari tunajua jinsi ya kutatua equation kama hiyo, kwa sababu ni muundo wa kawaida wa fomu $\left| f\kushoto(x \kulia) \kulia|=g\kushoto(x \kulia)$. Lakini hebu tujaribu kuangalia equation hii kutoka pembe tofauti kidogo. Kwa usahihi zaidi, fikiria usemi chini ya ishara ya moduli. Acha nikukumbushe kwamba moduli ya nambari yoyote inaweza kuwa sawa na nambari yenyewe, au inaweza kuwa kinyume na nambari hii:
\[\kushoto| a \kulia|=\kushoto\( \anza(panga)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\malizia(align) \kulia.\]
Kwa kweli, utata huu ndio shida nzima: kwa kuwa nambari iliyo chini ya moduli inabadilika (inategemea kutofautisha), sio wazi kwetu ikiwa ni chanya au hasi.
Lakini vipi ikiwa mwanzoni unahitaji kwamba nambari hii iwe chanya? Kwa mfano, tunahitaji hiyo $3x-5 \gt 0$ - katika kesi hii tumehakikishiwa kupata nambari chanya chini ya ishara ya moduli, na tunaweza kuondoa kabisa moduli hii:
Kwa hivyo, equation yetu itageuka kuwa ya mstari, ambayo inaweza kutatuliwa kwa urahisi:
Kweli, mawazo haya yote yana mantiki tu chini ya hali $3x-5 \gt 0$ - sisi wenyewe tulianzisha hitaji hili ili kufichua moduli bila utata. Kwa hivyo, wacha tubadilishe iliyopatikana $x=\frac(5)(3)$ katika hali hii na angalia:
Inabadilika kuwa kwa thamani maalum ya $x$ mahitaji yetu haipatikani, kwa sababu usemi uligeuka kuwa sawa na sifuri, na tunahitaji kuwa kubwa zaidi kuliko sifuri. Inasikitisha. :(
Lakini ni sawa! Baada ya yote, kuna chaguo jingine $3x-5 \lt 0$. Zaidi ya hayo: pia kuna kesi $3x-5=0$ - hii pia inahitaji kuzingatiwa, vinginevyo ufumbuzi hautakuwa kamili. Kwa hivyo, fikiria kesi $3x-5 \lt 0$:
Ni wazi, moduli itafungua na ishara ya kuondoa. Lakini basi hali ya kushangaza inatokea: upande wa kushoto na kulia katika equation ya asili usemi huo utabaki nje:
Nashangaa ni $x$ gani usemi $5-3x$ utakuwa sawa na usemi $5-3x$? Hata Kapteni Obviousness angesonga mate yake kutokana na milinganyo kama hii, lakini tunajua: mlinganyo huu ni utambulisho, i.e. ni kweli kwa thamani yoyote ya kutofautisha!
Hii ina maana kwamba $x$ yoyote itatufaa. Walakini, tuna kizuizi:
Kwa maneno mengine, jibu halitakuwa nambari moja, lakini muda wote:
Hatimaye, kuna kesi moja zaidi iliyosalia ya kuzingatia: $3x-5=0$. Kila kitu ni rahisi hapa: chini ya moduli kutakuwa na sifuri, na moduli ya sifuri pia ni sawa na sifuri (hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi):
Lakini basi equation asili $\left| 3x-5 \kulia|=5-3x$ itaandikwa upya kama ifuatavyo:
Tayari tumepata mzizi huu hapo juu tulipozingatia kesi ya $3x-5 \gt 0$. Zaidi ya hayo, mzizi huu ni suluhisho la equation $3x-5=0$ - hiki ndicho kizuizi ambacho sisi wenyewe tulianzisha ili kuweka upya moduli. :)
Kwa hivyo, pamoja na muda, pia tutaridhika na nambari iliyo mwishoni mwa muda huu:
Kuchanganya mizizi katika milinganyo ya modulo Jumla ya jibu la mwisho: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Si kawaida sana kuona upuuzi kama huo katika jibu la mlinganyo rahisi (kimsingi wa mstari) na modulus , Kweli, izoea: ugumu wa moduli ni kwamba majibu katika milinganyo kama hii inaweza kugeuka kuwa isiyotabirika kabisa.
Kitu kingine ni muhimu zaidi: tumechambua algorithm ya ulimwengu kwa kutatua mlingano na moduli! Na algorithm hii ina hatua zifuatazo:
- Sawazisha kila moduli katika mlinganyo hadi sufuri. Tunapata equations kadhaa;
- Tatua hesabu hizi zote na uweke alama kwenye mizizi kwenye mstari wa nambari. Matokeo yake, mstari wa moja kwa moja utagawanywa katika vipindi kadhaa, kwa kila moja ambayo modules zote zinafunuliwa kipekee;
- Tatua mlingano asilia kwa kila kipindi na uchanganye majibu yako.
Ni hayo tu! Kuna swali moja tu lililobaki: nini cha kufanya na mizizi iliyopatikana katika hatua ya 1? Wacha tuseme tuna mizizi miwili: $x=1$ na $x=5$. Watagawanya mstari wa nambari katika vipande 3:
Kugawanya mstari wa nambari katika vipindi kwa kutumia pointi Kwa hivyo ni vipi vipindi? Ni wazi kuwa kuna tatu kati yao:
- Ya kushoto kabisa: $x \lt 1$ - kitengo yenyewe haijajumuishwa katika muda;
- Kati: $1\le x \lt 5$ - hapa moja imejumuishwa katika muda, lakini tano haijajumuishwa;
- Kulia kabisa: $x\ge 5$ - tano imejumuishwa hapa pekee!
Nadhani tayari umeelewa muundo. Kila muda unajumuisha mwisho wa kushoto na haujumuishi kulia.
Kwa mtazamo wa kwanza, ingizo kama hilo linaweza kuonekana kuwa lisilofaa, lisilo na mantiki na kwa ujumla aina fulani ya wazimu. Lakini niniamini: baada ya mazoezi kidogo, utaona kwamba njia hii ni ya kuaminika zaidi na haiingilii na kufungua moduli bila shaka. Ni bora kutumia mpango kama huo kuliko kufikiria kila wakati: toa mwisho wa kushoto / kulia kwa muda wa sasa au "utupe" kwenye inayofuata.
Kutatua milinganyo na usawa kwa kutumia moduli mara nyingi husababisha matatizo. Walakini, ikiwa unaelewa vizuri ni nini thamani kamili ya nambari, Na jinsi ya kupanua misemo iliyo na ishara ya moduli kwa usahihi, basi uwepo katika equation kujieleza chini ya ishara ya moduli, huacha kuwa kikwazo kwa suluhisho lake.
Nadharia kidogo. Kila nambari ina sifa mbili: thamani kamili ya nambari na ishara yake.
Kwa mfano, nambari +5, au 5 tu, ina ishara "+" na thamani kamili ya 5.
Nambari -5 ina ishara "-" na thamani kamili ya 5.
Thamani kamili za nambari 5 na -5 ni 5.
Thamani kamili ya nambari x inaitwa moduli ya nambari na inaonyeshwa na |x|.
Kama tunavyoona, moduli ya nambari ni sawa na nambari yenyewe ikiwa nambari hii ni kubwa kuliko au sawa na sifuri, na kwa nambari hii iliyo na ishara tofauti ikiwa nambari hii ni hasi.
Vile vile hutumika kwa misemo yoyote inayoonekana chini ya ishara ya moduli.
Sheria ya upanuzi wa moduli inaonekana kama hii:
|f(x)|= f(x) ikiwa f(x) ≥ 0, na
|f(x)|= - f(x), ikiwa f(x)< 0
Kwa mfano |x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0 na |x-3|=-(x-3)=3-x, ikiwa x-3<0.
Ili kutatua equation iliyo na usemi chini ya ishara ya moduli, lazima kwanza panua moduli kulingana na kanuni ya upanuzi wa moduli.
Kisha usawa wetu au usawa unakuwa katika milinganyo miwili tofauti iliyopo kwenye vipindi viwili tofauti vya nambari.
Mlinganyo mmoja upo kwenye muda wa nambari ambapo usemi chini ya ishara ya moduli sio hasi.
Na mlinganyo wa pili upo kwenye muda ambao usemi chini ya ishara ya moduli ni hasi.
Hebu tuangalie mfano rahisi.
Wacha tusuluhishe equation:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Hebu tufungue moduli.
|x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0, i.e. ikiwa x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x ikiwa x-3<0, т.е. если х<3
2. Tulipokea vipindi viwili vya nambari: x≥3 na x<3.
Wacha tuchunguze ni milinganyo gani ambayo equation asili inabadilishwa kwa kila kipindi:
A) Kwa x≥3 |x-3|=x-3, na kujeruhiwa kwetu kuna namna:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x≥3!
Wacha tufungue mabano na tuwasilishe maneno sawa:
na kutatua equation hii.
Equation hii ina mizizi:
x 1 =0, x 2 =3
Makini! kwa kuwa equation x-3=-x 2 +4x-3 ipo tu kwenye muda wa x≥3, tunavutiwa tu na mizizi ambayo ni ya muda huu. Hali hii inatimizwa tu na x 2 =3.
B) Katika x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x<3!
Hebu tufungue mabano na tuwasilishe masharti sawa. Tunapata equation:
x 1 =2, x 2 =3
Makini! kwa kuwa mlinganyo 3-x=-x 2 +4x-3 upo tu kwenye muda wa x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Kwa hiyo: kutoka kwa muda wa kwanza tunachukua tu mizizi x = 3, kutoka kwa pili - mizizi x = 2.
Moduli ni thamani kamili ya usemi. Ili kuonyesha moduli kwa namna fulani, ni desturi kutumia mabano ya moja kwa moja. Thamani iliyoambatanishwa katika mabano hata ni thamani inayochukuliwa modulo. Mchakato wa kutatua moduli yoyote inajumuisha kufungua mabano ya moja kwa moja, ambayo kwa lugha ya hisabati huitwa mabano ya kawaida. Ufunuo wao hutokea kulingana na idadi fulani ya sheria. Pia, katika mpangilio wa kutatua moduli, seti za maadili ya misemo ambayo yalikuwa kwenye mabano ya kawaida hupatikana. Katika hali nyingi, moduli hupanuliwa kwa njia ambayo usemi ambao ulikuwa submodular hupokea maadili chanya na hasi, pamoja na sifuri ya thamani. Ikiwa tunaanza kutoka kwa mali iliyoanzishwa ya moduli, basi katika mchakato hesabu mbalimbali au usawa kutoka kwa usemi wa awali hukusanywa, ambayo inahitaji kutatuliwa. Wacha tujue jinsi ya kutatua moduli.
Mchakato wa suluhisho
Kutatua moduli huanza kwa kuandika equation asili na moduli. Ili kujibu swali la jinsi ya kutatua equations na moduli, unahitaji kuifungua kabisa. Ili kutatua equation kama hiyo, moduli inapanuliwa. Semi zote za moduli lazima zizingatiwe. Inahitajika kuamua kwa maadili gani ya idadi isiyojulikana iliyojumuishwa katika muundo wake, usemi wa kawaida kwenye mabano huwa sifuri. Ili kufanya hivyo, inatosha kusawazisha usemi katika mabano ya kawaida hadi sifuri, na kisha uhesabu suluhisho kwa equation inayosababisha. Thamani zilizopatikana lazima zirekodiwe. Kwa njia hiyo hiyo, unahitaji pia kuamua thamani ya vigezo vyote visivyojulikana kwa modules zote katika equation hii. Ifuatayo, unahitaji kuanza kufafanua na kuzingatia kesi zote za kuwepo kwa vigezo katika maneno wakati ni tofauti na sifuri ya thamani. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuandika mfumo fulani wa kutofautiana unaofanana na moduli zote katika usawa wa awali. Ukosefu wa usawa lazima uandikwe ili kufunika maadili yote yanayopatikana na yanayowezekana kwa mabadiliko ambayo yanapatikana kwenye nambari ya nambari. Kisha unahitaji kuchora mstari huu wa nambari kwa taswira, ambayo baadaye kupanga maadili yote yaliyopatikana.
Karibu kila kitu sasa kinaweza kufanywa kwenye mtandao. Moduli sio ubaguzi kwa sheria. Unaweza kuitatua mtandaoni kwenye mojawapo ya rasilimali nyingi za kisasa. Thamani hizo zote za kutofautisha ambazo ziko kwenye moduli ya sifuri zitakuwa kizuizi maalum ambacho kitatumika katika mchakato wa kutatua equation ya kawaida. Katika equation ya asili, unahitaji kufungua mabano yote ya kawaida yanayopatikana, huku ukibadilisha ishara ya usemi ili maadili ya kutofautisha unayotaka sanjari na maadili ambayo yanaonekana kwenye nambari ya nambari. Equation inayotokana lazima isuluhishwe. Thamani ya kutofautisha ambayo itapatikana wakati wa kusuluhisha equation lazima iangaliwe dhidi ya kizuizi ambacho kimeainishwa na moduli yenyewe. Ikiwa thamani ya kutofautiana inakidhi kikamilifu hali hiyo, basi ni sahihi. Mizizi yote ambayo itapatikana wakati wa ufumbuzi wa equation, lakini haifai vikwazo, lazima iondokewe.
Kikokotoo hiki cha hesabu mtandaoni kitakusaidia suluhisha mlingano au usawa na moduli. Mpango kwa kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli sio tu inatoa jibu la shida, inaongoza ufumbuzi wa kina na maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kupata matokeo.
Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule za sekondari katika shule za elimu ya jumla wakati wa kuandaa mitihani na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, na kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kutatua matatizo kikiongezeka.
|x| au abs(x) - moduli xWeka mlingano au ukosefu wa usawa ukitumia moduli
Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.
Michezo yetu, puzzles, emulators:
Nadharia kidogo.
Milinganyo na ukosefu wa usawa na moduli
Katika kozi ya msingi ya aljebra ya shule, unaweza kukutana na milinganyo rahisi zaidi na ukosefu wa usawa na moduli. Ili kuzitatua, unaweza kutumia mbinu ya kijiometri kulingana na ukweli kwamba \(|x-a| \) ni umbali kwenye mstari wa nambari kati ya pointi x na a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Kwa mfano, ili kutatua equation \(|x-3|=2\) unahitaji kupata pointi kwenye mstari wa nambari ambazo ziko mbali kutoka kwa pointi 3 kwa umbali wa 2. Kuna pointi mbili kama hizo: \(x_1=1 \) na \(x_2=5\) .
Kutatua ukosefu wa usawa \(|2x+7| 
Lakini njia kuu ya kutatua hesabu na usawa na moduli inahusishwa na kile kinachojulikana kama "ufunuo wa moduli kwa ufafanuzi":
ikiwa \(a \geq 0 \), basi \(|a|=a \);
ikiwa \(a Kama sheria, mlingano (kutokuwa na usawa) na moduli hupunguzwa hadi seti ya milinganyo (kutokuwa na usawa) ambayo haina ishara ya moduli.
Mbali na ufafanuzi hapo juu, kauli zifuatazo hutumiwa:
1) Ikiwa \(c > 0\), basi equation \(|f(x)|=c \) ni sawa na seti ya milinganyo: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \mwisho(safu)\kulia. \)
2) Ikiwa \(c > 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| 3) Ikiwa \(c \geq 0 \), basi ukosefu wa usawa \(|f(x)| > c \) sawa na seti ya ukosefu wa usawa : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Ikiwa pande zote mbili za ukosefu wa usawa \(f(x) MFANO 1. Tatua mlingano \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Ikiwa \(x-1 \geq 0\), basi \(|x-1| = x-1\) na mlinganyo uliotolewa huchukua fomu.
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 +2x -8 = 0 \).
Ikiwa \(x-1 \(x^2 -2(x-1)) -6 = 0 \Mshale wa kulia x^2 -2x -4 = 0 \).
Kwa hivyo, equation iliyotolewa inapaswa kuzingatiwa tofauti katika kila kesi mbili zilizoonyeshwa.
1) Hebu \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). Kutoka kwa mlinganyo \(x^2 +2x -8 = 0\) tunapata \(x_1=2, \; x_2=-4\). Hali \(x \geq 1 \) inatoshelezwa na thamani \(x_1=2\) pekee).
2) Hebu \(x-1 Jibu: \(2; \;\; 1-\sqrt(5)) \)
MFANO 2. Tatua mlingano \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Njia ya kwanza(upanuzi wa moduli kwa ufafanuzi).
Kuzingatia kama katika mfano 1, tunafikia hitimisho kwamba equation iliyotolewa inahitaji kuzingatiwa kando ikiwa masharti mawili yametimizwa: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) au \(x^2-6x+7)
1) Ikiwa \(x^2-6x+7 \geq 0 \), basi \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) na mlinganyo uliotolewa huchukua fomu \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Mshale wa kulia 3x^2-23x+30=0 \). Baada ya kusuluhisha mlinganyo huu wa quadratic, tunapata: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Hebu tujue kama thamani \(x_1=6\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0\). Ili kufanya hivyo, badilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) ni ukosefu wa usawa wa kweli. Hii inamaanisha kuwa \(x_1=6\) ndio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.
Hebu tujue kama thamani \(x_2=\frac(5)(3)\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 \geq 0\). Ili kufanya hivyo, badilisha thamani iliyoonyeshwa kwenye usawa wa quadratic. Tunapata: \(\ kushoto(\frac(5)(3) \kulia)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ni usawa usio sahihi. Hii ina maana kwamba \(x_2=\frac(5)(3)\) sio mzizi wa mlinganyo uliotolewa.
2) Ikiwa \(x^2-6x+7 Thamani \(x_3=3\) inakidhi hali \(x^2-6x+7 Thamani \(x_4=\frac(4)(3) \) haikidhi hali \ (x^2-6x+7 Kwa hivyo, equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6, \; x=3 \).
Njia ya pili. Ikiwa equation \(|f(x)| = h(x) \) imetolewa, basi na \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \mwisho(safu)\kulia. \)
Equation hizi zote mbili zilitatuliwa hapo juu (kwa kutumia njia ya kwanza ya kusuluhisha equation iliyotolewa), mizizi yake ni kama ifuatavyo: \(6,\; \frac(5)(3),\;3,\;\frac(4) )(3)\). Hali \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ya maadili haya manne inatoshelezwa na mbili tu: 6 na 3. Hii ina maana kwamba equation iliyotolewa ina mizizi miwili: \(x=6) , \; x=3 \ ).
Njia ya tatu(mchoro).
1) Wacha tujenge grafu ya chaguo la kukokotoa \(y = |x^2-6x+7| \). Kwanza, hebu tutengeneze parabola \(y = x^2-6x+7\). Tuna \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = (x-3)^2-2\) inaweza kupatikana kutoka kwa grafu ya chaguo za kukokotoa \(y = x^2\) kwa kuihamisha mizani 3 kulia (kando ya x-mhimili) na vitengo 2 vya mizani chini ( kando ya mhimili wa y). Mstari wa moja kwa moja x=3 ni mhimili wa parabola tunayovutiwa nayo. Kama sehemu za udhibiti wa kupanga njama sahihi zaidi, ni rahisi kuchukua hatua (3; -2) - kipeo cha parabola, ncha (0; 7) na uhakika (6; 7) ulinganifu kwake kuhusiana na mhimili wa parabola. .
Ili sasa kuunda grafu ya kazi \(y = |x^2-6x+7| \\), unahitaji kuacha bila kubadilika sehemu hizo za parabola iliyojengwa ambayo haiko chini ya mhimili wa x, na kuakisi sehemu hiyo ya parabola ambayo iko chini ya mhimili wa x unaohusiana na mhimili wa x.
2) Wacha tujenge grafu ya kitendakazi cha mstari \(y = \frac(5x-9)(3)\). Ni rahisi kuchukua pointi (0; -3) na (3; 2) kama pointi za udhibiti.
Ni muhimu kwamba hatua x = 1.8 ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa abscissa iko upande wa kulia wa hatua ya kushoto ya makutano ya parabola na mhimili wa abscissa - hii ndiyo hatua \(x=3-\). sqrt(2) \) (kwa kuwa \(3-\sqrt(2 ) 3) Kwa kuzingatia mchoro, grafu hupishana katika sehemu mbili - A(3; 2) na B(6; 7).Kuchukua nafasi ya abscissas hizi. pointi x = 3 na x = 6 katika equation iliyotolewa, tuna hakika kwamba wote Katika thamani nyingine, usawa sahihi wa nambari hupatikana.Hii ina maana kwamba hypothesis yetu ilithibitishwa - equation ina mizizi miwili: x = 3 na x = 6. Jibu: 3; 6.
Maoni. Njia ya graphical, kwa uzuri wake wote, sio ya kuaminika sana. Katika mfano uliozingatiwa, ilifanya kazi tu kwa sababu mizizi ya equation ni nambari kamili.
MFANO 3. Tatua mlingano \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Njia ya kwanza
Usemi 2x-4 unakuwa 0 kwenye hatua x = 2, na usemi x + 3 inakuwa 0 kwenye hatua x = -3. Pointi hizi mbili zinagawanya mstari wa nambari katika vipindi vitatu: \(x
Fikiria muda wa kwanza: \((-\infty; \; -3) \).
Ikiwa x Fikiria muda wa pili: \([-3; \; 2) \).
Ikiwa \(-3 \leq x Fikiria muda wa tatu: \()