Katika somo lililopita tulijifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Ili kufanya hivyo, ilikuwa ni lazima kuanzisha kitu kipya cha hisabati - kibaguzi. Ikiwa hukumbuka hii ni nini, napendekeza kurudi kwenye somo "Jinsi ya kutatua equations za quadratic".

Kuanza, ufafanuzi wa mlinganyo wa biquadratic ni nini kwa jumla ni usemi wowote ambapo utofauti upo katika mamlaka ya 4 na 2 pekee.

1) anzisha kigezo kipya $((x)^(2)))=t$. Katika kesi hii, tunapata pande zote mbili za equation hii

\[\anza(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\malizia(panga)\]

2) andika upya usemi wetu - $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) pata suluhu la mlinganyo unaotokana na upate vigeu $((t)_(1))$ na $((t)_(2))$ ikiwa kuna mizizi miwili.

4) tunafanya uingizwaji wa kinyume, yaani, tunakumbuka $t$ ni nini, tunapata miundo miwili: $((x)^(2))=((t)_(1))$ na $((x)^ (2))=((t)_(2))$.

5) suluhisha hesabu zinazosababishwa na upate X.

Changamoto za kweli

Mfano #1

Wacha tuone jinsi mpango huu unavyofanya kazi kwenye milinganyo halisi ya biquadratic.

Wacha tusuluhishe shida ya kwanza:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Tunatanguliza kigezo kipya na kuandika upya:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

Huu ni hesabu ya kawaida ya quadratic, wacha tuihesabu kwa kutumia kibaguzi:

Hii ni nambari nzuri. Mzizi ni 3.

Sasa tunapata thamani ya $t$:

\[\anza(safu)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\mwisho (safu)\]

Lakini kuwa mwangalifu, tumepata $t$ pekee - hii sio suluhisho, hii ni hatua ya tatu tu. Wacha tuendelee kwenye hatua ya nne - kumbuka $t$ ni nini na utatue:

\[\anza(linganisha)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \kushoto[ \anza(align)& x=2 \\& x=-2 \\\malizia(align) \kulia. \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo tumetatua sehemu ya kwanza. Wacha tuendelee kwa thamani ya pili ya $t$:

\[\anza(linganisha)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \kushoto[ \anza(align)& x=1 \\& x=-1 \\\malizia(align) \kulia. \\\mwisho(patanisha)\]

Kwa jumla, tulipata majibu manne: 2; -2; 1; -1, i.e. equation ya biquadratic inaweza kuwa na mizizi hadi minne.

Mfano Nambari 2

Wacha tuendelee kwenye mfano wa pili:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Sitaelezea kila kitu kwa undani hapa. Wacha tuamue kama tungefanya darasani.

Tunabadilisha:

Kisha tutapata:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Tunahesabu $D$:

Mzizi wa kibaguzi ni 7. Wacha tupate $t$:

\[\anza(safu)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\\mwisho (safu)\]

Hebu tukumbuke $t$ ni nini:

\[\anza(align)& ((x)^(2))=16 \\& \kushoto[ \anza(align)& x=4 \\& x=-4 \\\malizia(align) \kulia . \\\mwisho(linganisha)\]

Chaguo la pili:

\[\anza(align)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \anza(align)& x=3 \\& x=-3 \\\malizia(align) \kulia . \\\mwisho(linganisha)\]

Ni hayo tu. Tuna majibu manne tena: 4; -4; 3; -3.

Mfano Nambari 3

Wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa mwisho wa biquadratic:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Tena tunaanzisha uingizwaji:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Wacha tuzidishe pande zote mbili kwa 4 ili kuondoa tabia mbaya za sehemu:

Hebu tupate $D$:

Mizizi ya ubaguzi ni tatu:

\[\anza(safu)(·(35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ maandishi( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\mwisho(safu)\]

Tunahesabu X. Hebu tukumbuke $t$ ni nini:

\[\anza(align)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \anza(align)& x=1 \\& x=-1 \\\malizia(align) \kulia . \\\mwisho(linganisha)\]

Chaguo la pili ni ngumu zaidi:

\[\anza(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \anza(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\malizia(align) \kulia. \\\mwisho(linganisha)\]

Tulipata mizizi minne tena:

Hivi ndivyo milinganyo yote miwili miwili hutatuliwa. Bila shaka, hii sio njia ya haraka zaidi, lakini ni ya kuaminika zaidi. Jaribu kutatua mifano sawa na katika video hii mwenyewe. Katika jibu, maadili ya X lazima yaandikwe kutengwa na semicolon - hivi ndivyo nilivyoandika. Hii inahitimisha somo. Bahati njema!

Kwanza milinganyo ya quadratic Wanahisabati wa Misri ya kale waliweza kutatua. Wababeli waliweza kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika, pamoja na aina fulani za milinganyo kamili ya quadratic karibu miaka elfu 2 KK. Wanahisabati wa Ugiriki wa kale waliweza kutatua aina fulani za hesabu za quadratic, kuzipunguza kwa ujenzi wa kijiometri. Mifano ya kusuluhisha milinganyo bila kutumia maarifa ya kijiometri inatolewa na Diophantus wa Alexandria (karne ya 3). Diophantus, katika vitabu vyake Arithmetic, alielezea njia ya kutatua milinganyo kamili ya quadratic, lakini vitabu hivi havijadumu. Huko Ulaya, fomula za kusuluhisha milinganyo ya quadratic zilianzishwa kwanza na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci mnamo 1202.

Kanuni ya jumla ya utatuzi wa milinganyo ya quadratic iliyogeuzwa kuwa fomu x 2 + bx = c, ilielezwa na mwanahisabati Mjerumani M. Stiefel. Mnamo 1544, alitunga kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria.
x 2 + bx + c = 0 na tofauti zote zinazowezekana za ishara na coefficients b na c.

François Viète alipata fomula za mlingano wa quadratic katika umbo la jumla, lakini alifanya kazi na nambari chanya pekee.

Tartaglia, Cardano, Bombelli ni wanasayansi wa Italia ambao walikuwa kati ya kwanza katika karne ya 16 kuzingatia, pamoja na chanya, mizizi hasi.

Viet ndiye aliyeunda fomula ya kutatua milinganyo ya jumla ya quadratic. Alifanya kauli moja tu kwa mizizi chanya (hakutambua nambari hasi).

Baada ya kazi za mwanahisabati wa Uholanzi Albert Girard, pamoja na Descartes na Newton, mbinu za kutatua equations za quadratic zilichukua fomu ya kisasa.

Milinganyo ya quadratic

1. Wacha tukumbuke njia ambazo tayari zimejulikana za kutatua na kusoma hesabu za quadratic:

• kuchagua mraba kamili;
• kutumia formula ya mizizi kwa equation ya quadratic;
• kwa nadharia ya Vieta;
• kulingana na sifa za kazi ya quadratic.

Katika mchakato wa kutatua equations, ni muhimu kufuatilia seti ya maadili yanayoruhusiwa ya haijulikani, kwa sababu. inaweza kubadilika. Katika kesi ya upanuzi wake, suluhisho lililopatikana linapaswa kuangaliwa ili kuona ikiwa ni ya nje kwa equation iliyotolewa. Ikiwa kupungua kumetokea, ni muhimu kuthibitisha ikiwa maadili yaliyopotea ya haijulikani ni suluhisho la equation hii. Mchakato wa kupata suluhisho la nasibu sio rahisi kila wakati, kwa hivyo inashauriwa kuzuia kupunguza seti ya maadili yanayokubalika ya haijulikani ya equation.

2. Makosa ya kawaida wakati wa kutatua milinganyo.

Kwa mujibu wa sheria, unaweza kubadilisha equation ya awali kuwa sawa, na unajua kwamba: pande zote mbili za equation zinaweza kugawanywa au kuzidishwa na nambari sawa isiyo ya sifuri.

1) Ikiwa equation ina fomu f(x) · g(x) = p(x) · g(x), kisha kugawanya pande zote mbili kwa kipengele sawa g(x) ni, kama sheria, haikubaliki. Hatua hii inaweza kusababisha upotevu wa mizizi: mizizi ya equation g (x) = 0 inaweza kupotea, ikiwa ipo.

Mfano 1.

Tatua mlingano 2(x – 3) = (x – 3)(x + 5).

Suluhisho.

Hapa huwezi kupunguza kwa sababu (x - 3).

2(x – 3) – (x – 3)(x + 5) = 0, ondoa mabano ya jumla:

(x – 3)(-x – 3) = 0, sasa

x – 3 = 0 au -x – 3 = 0;

x = 3 au x = -3.

Jibu: -3; 3.

2) Mlinganyo wa fomu f(x)/g(x) = 0 unaweza kubadilishwa na mfumo:

(f(x) = 0,
(g(x) ≠ 0.

Ni sawa na mlingano wa awali.

Au unaweza kutatua equation f(x) = 0, na kisha tu kuondoa mizizi iliyopatikana ambayo hufanya denominator g(x) kutoweka.

Kuna milinganyo ya kimantiki ambayo inapungua hadi milinganyo ya robo.

Mfano 2.

Tatua mlingano: (x + 3) / (x – 3) + (x – 3) / (x + 3) = 10/3 + 36/(x – 3)(x + 3).

Suluhisho.

Kwa kuzidisha pande zote mbili za equation kwa denominator ya kawaida na kubadilisha mlingano asilia na nambari kamili, tunapata mfumo sawa:

(3(x + 3) 2 + 3(x – 3) 2 = 10(x – 3)(x + 3) + 3 36;
((x – 3)(x +3) ≠ 0.

Matokeo yake, tunapata mizizi miwili: x = 3 au x = -3, lakini x ≠ 3 na x ≠ -3.

Jibu: equation haina mizizi.

Mfano 3.

Tatua mlingano: (x + 5)(x 2 + 4x - 5)/(x + 5)(x + 2) = 0.

Suluhisho.

Mara nyingi ni mdogo kwa suluhisho hili:

(x 2 + 4x – 5) / (x + 2) = 0.
(x = -5, x = 1,
(x ≠ -2.

Jibu: -5; 1.

Jibu sahihi: 1.

Mfano 4.

Wakati wa kufanya kazi za kawaida kusoma equation ya quadratic ya fomu ifuatayo: "Bila kuhesabu mizizi halisi x 1 na x 2 ya equation 2x 2 + 3x + 2 = 0, pata thamani ya x 1 2 + x 2 2" kutojali rahisi husababisha kosa kubwa.

Kwa kweli, kulingana na nadharia ya Vieta,

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – x 1 x 2 = (-3/2) 2 – 2 1 = 1/4.

Hata hivyo, theorem inaweza kutumika ikiwa kuna mizizi halisi. Katika mfano huu D< 0 и корней нет.

Jibu: Thamani x 1 2 + x 2 2 haipo.

Mfano 5.

Kuhesabu mgawo hasi b na mizizi ya equation x 2 + bx - 1 = 0, ikiwa kwa kuongezeka kwa kila mizizi hii kwa moja inakuwa mizizi ya equation x 2 - b 2 x - b = 0.

Suluhisho.

Acha x 1 na x 2 iwe mizizi ya equation x 2 + bx - 1 = 0. Kisha, kwa uhakika wa Vieta.

x 1 + x 2 = -b na x 1 x 2 = -1 (*). Kwa upande mwingine, kwa hali

(x 1 + 1) + (x 2 + 1) = b 2 na (x 1 + 1) (x 2 + 1) = -b.

Hebu tuandike upya:

x 1 + x 2 = b 2 – 2 na (x 1 + 1) (x 2 + 1) = -b.

Sasa, kwa kuzingatia masharti (*), tunapata b 2 - 2 = -b, kwa hivyo,

b 1 = -2, b 2 = 1. Kulingana na hali, b 1 = -2.

Hii ina maana kwamba equation ya awali ina fomu x 2 - 2x - 1 = 0, mizizi ni namba x 1,2 = 1 ± √2.

Jibu: b 1 = -2, x 1.2 = 1 ± √2.

Milinganyo imepunguzwa hadi quadratic. Milinganyo ya pande mbili

Milinganyo ya fomu shoka 4 + bx 2 + c = 0, ambapo ≠ 0, zinaitwa milinganyo miwili yenye kigezo kimoja.

Ili kutatua equation ya biquadratic, unahitaji kufanya mbadala x 2 = t, pata mizizi t 1 na t 2 ya equation ya quadratic saa 2 + bt + c = 0 na kutatua equations x 2 = t 1 na x 2 = t 2. Wana suluhisho tu katika kesi wakati t 1,2 ≥ 0.

Mfano 1.

Tatua mlingano x 4 + 5x 2 - 36 = 0.

Suluhisho.

Uingizwaji: x 2 = t.

t 2 + 5t - 36 = 0. Kulingana na uhakika Vieta t 1 = -9 na t 2 = 4.

x 2 = -9 au x 2 = 4.

Jibu: Hakuna mizizi katika equation ya kwanza, lakini kwa pili: x = ±2.

Mfano 2.

Tatua mlingano (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Suluhisho.

Uingizwaji: (2x – 1) 2 = t.

t 2 - 25t + 144 = 0. Kulingana na uhakika Vieta t 1 = 9 na t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 au (2x – 1) 2 = 16.

2x - 1 = ± 3 au 2x - 1 = ±4.

Kuna mizizi miwili kutoka kwa equation ya kwanza: x = 2 na x = -1, na kutoka kwa pili pia: x = 2.5 na x = -1.5.

Jibu: -1.5; -1; 2; 2.5.

Kwa hivyo, mchakato wa kutatua milinganyo yoyote inajumuisha kuchukua nafasi ya mlinganyo uliopeanwa na mwingine, sawa na rahisi zaidi.

Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
Somo la kwanza ni bure!

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Kila mtu amejua dhana kama milinganyo tangu shuleni. Mlinganyo ni usawa ulio na kigezo kimoja au zaidi. Kujua kwamba moja ya sehemu za usawa fulani ni sawa na nyingine, unaweza kutenganisha sehemu za kibinafsi za equation, kuhamisha baadhi ya vipengele vyake zaidi ya ishara sawa kulingana na sheria zilizoelezwa wazi. Unaweza kurahisisha mlingano kwa hitimisho la kimantiki linalohitajika katika fomu x=n, ambapo n ni nambari yoyote.

Kuanzia shule ya msingi, watoto wote hupitia kozi ya masomo ya ugumu tofauti. Baadaye katika programu hesabu ngumu zaidi za mstari zinaonekana - zile za quadratic, kisha hesabu za ujazo zinakuja. Kila aina inayofuata ya equations ina mbinu mpya za ufumbuzi, ambayo inakuwa vigumu zaidi kusoma na kurudia.

Walakini, baada ya hii swali linatokea juu ya kusuluhisha aina hii ya milinganyo, kama vile milinganyo miwili. Aina hii, licha ya ugumu wake unaoonekana, inatatuliwa kwa urahisi kabisa: jambo kuu ni kuwa na uwezo wa kuleta equations kama hizo kwa fomu sahihi. Suluhisho lao linasomwa katika somo moja au mbili pamoja na kazi za vitendo, ikiwa wanafunzi wana ujuzi wa msingi wa kutatua equations za quadratic.

Je, mtu anahitaji kujua nini anapokabiliwa na aina hii ya mlinganyo? Kuanza, ni pamoja na nguvu tu za kutofautisha "x": ya nne na, ipasavyo, ya pili. Ili equation ya biquadratic kutatuliwa, lazima iletwe kwa fomu Jinsi ya kufanya hivyo? Rahisi kutosha! Unahitaji tu kubadilisha "x" kwenye mraba na "y". Kisha "x" kwa nguvu ya nne, ambayo inatisha kwa watoto wengi wa shule, itageuka kuwa "y" ya mraba, na equation itachukua fomu ya quadratic ya kawaida.

Kisha inatatuliwa kama equation ya kawaida ya quadratic: imechangiwa, baada ya hapo thamani ya "y" ya ajabu hupatikana. Ili kutatua equation ya biquadratic hadi mwisho, unahitaji kupata kutoka kwa nambari "y" - hii itakuwa thamani inayotakiwa "x", baada ya kupata maadili ambayo unaweza kujipongeza kwa kukamilisha mafanikio ya mahesabu.

Je, unapaswa kukumbuka nini wakati wa kutatua milinganyo ya aina hii? Kwanza na muhimu zaidi: siwezi kuwa nambari hasi! Masharti ya kuwa mchezo ni mraba wa nambari X haijumuishi suluhisho kama hilo. Kwa hivyo, ikiwa, wakati wa kusuluhisha equation ya biquadratic, moja ya maadili ya "y" yanageuka kuwa chanya na ya pili ni hasi, lazima uchukue toleo lake chanya tu, vinginevyo equation ya biquadratic itatatuliwa vibaya. Ni bora mara moja kuanzisha sheria kwamba kutofautisha "y" ni kubwa kuliko au sawa na sifuri.

Nuance ya pili muhimu: nambari "X", kuwa mzizi wa mraba wa nambari "Y", inaweza kuwa chanya au hasi. Wacha tuseme ikiwa "y" ni sawa na nne, basi equation ya biquadratic itakuwa na suluhisho mbili: mbili na minus mbili. Hii hutokea kwa sababu nambari hasi iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni sawa na idadi ya moduli sawa, lakini ya ishara tofauti, iliyoinuliwa kwa nguvu sawa. Kwa hivyo, inafaa kukumbuka kila wakati jambo hili muhimu, vinginevyo unaweza kupoteza jibu moja au zaidi kwa equation. Ni bora kuandika mara moja kwamba "x" ni sawa na kuongeza au kuondoa mzizi wa mraba wa "y".

Kwa ujumla, kutatua equations mbili ni rahisi sana na hauhitaji muda mwingi. Masaa mawili ya masomo yanatosha kusoma mada hii katika mtaala wa shule - bila kuhesabu, bila shaka, marudio na majaribio. Milinganyo ya biquadratic ya fomu ya kawaida inaweza kutatuliwa kwa urahisi sana ikiwa unafuata sheria zilizoorodheshwa hapo juu. Kuwasuluhisha hakutakuwa ngumu kwako, kwa sababu imeelezewa kwa undani katika vitabu vya kiada vya hisabati. Bahati nzuri na masomo yako na mafanikio katika kutatua matatizo yoyote, si tu ya hisabati!

Kabla ya kusuluhisha hesabu za biquadratic, unahitaji kuelewa usemi huu ni nini. Kwa hivyo, hii ni equation ya shahada ya nne, ambayo inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: " (shoka 4) + (bx 2) + c = 0" Fomu yake ya jumla inaweza kuandikwa kama " Oh" Ili kutatua aina hii ya mlinganyo, unahitaji kutumia njia inayoitwa "badala ya haijulikani." Kulingana na yeye, usemi " x 2" lazima ibadilishwe na tofauti nyingine. Baada ya uingizwaji kama huo, equation rahisi ya quadratic hupatikana, suluhisho ambalo katika siku zijazo sio ngumu.

Muhimu:

- karatasi tupu;
- kalamu ya kuandika;
- ujuzi wa msingi wa hisabati.

Maagizo:

• Kwa hivyo, lazima kwanza uandike usemi kwenye kipande cha karatasi. Hatua ya kwanza ya suluhisho lake ni pamoja na utaratibu rahisi wa kuchukua nafasi ya usemi ". x 2 " kwa tofauti rahisi (kwa mfano " Kwa"). Baada ya kufanya hivi, unapaswa kuwa na mlinganyo mpya: “ (ak 2) – (bk) + c = 0».
• Ifuatayo, ili kutatua kwa usahihi equation ya biquadratic, lazima kwanza upate mizizi ya " (ak 2) - (bк) + с = 0", ambayo ulipata baada ya uingizwaji. Ili kufanya hivyo, itakuwa muhimu kuhesabu thamani ya kibaguzi kwa kutumia formula inayojulikana: " D = (b 2 ) − 4*ac" Aidha, vigezo hivi vyote ( A, b Na Na) ni mgawo wa mlinganyo ulio hapo juu.
• Wakati hesabu ya kibaguzi tunaweza kujua kama equation yetu ya biquadratic ina suluhu, kwa sababu ikiwa mwishowe thamani hii itageuka kuwa na alama ya minus, basi inaweza isiwe na suluhu katika siku zijazo. Ikiwa ubaguzi ni sawa na sifuri, basi tutakuwa na suluhisho moja, iliyofafanuliwa na fomula ifuatayo: " k = - (b / 2 * a)" Kweli, ikiwa kibaguzi wetu anageuka kuwa mkubwa kuliko sifuri, basi tutakuwa na suluhisho mbili. Ili kupata suluhisho mbili itakuwa muhimu kuchukua mzizi wa mraba wa " D"(yaani, kutoka kwa mbaguzi). Thamani inayotokana itahitaji kuandikwa kama kigezo " QD».
• Hatua inayofuata ni moja kwa moja kutatua equation ya quadratic , ambayo umepata. Ili kufanya hivyo, utahitaji kubadilisha maadili ambayo tayari yanajulikana kwenye fomula. Kwa moja ya suluhisho: ". k1 = (-b + QD) / 2 * a", na kwa mwingine:" k2 = (-b - QD) / 2 * a».
• Na mwishowe, hatua ya mwisho - kutafuta mizizi ya equation ya biquadratic . Kwa kufanya hivyo, itakuwa muhimu kuchukua mizizi ya mraba ya ufumbuzi uliopatikana hapo awali kwa equation ya kawaida ya quadratic. Ikiwa kibaguzi kilikuwa sawa na sifuri, na tulikuwa na suluhisho moja tu, basi katika kesi hii kutakuwa na mizizi miwili (pamoja na hasi na thamani nzuri ya mizizi ya mraba). Ipasavyo, ikiwa kibaguzi kilikuwa kikubwa kuliko sifuri, basi equation yetu ya biquadratic itakuwa na mizizi kama minne.

Maagizo

Ubadilishaji MethodExpress kigezo kimoja na ukibadilishe katika mlinganyo mwingine. Unaweza kueleza tofauti yoyote kwa hiari yako. Kwa mfano, eleza y kutoka kwa mlinganyo wa pili:
x-y=2 => y=x-2Kisha ubadilishe kila kitu kwenye mlinganyo wa kwanza:
2x+(x-2)=10 Hamisha kila kitu bila “x” hadi upande wa kulia na uhesabu:
2x+x=10+2
3x=12 Ifuatayo, ili kupata x, gawanya pande zote mbili za equation na 3:
x=4. Kwa hivyo, umepata “x. Tafuta "y. Ili kufanya hivyo, badilisha "x" kwenye mlinganyo ambao ulionyesha "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Fanya ukaguzi. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yanayotokana na hesabu:
2*4+2=10
4-2=2
Wasiojulikana wamepatikana kwa usahihi!

Njia ya kuongeza au kupunguza milinganyo Ondoa tofauti yoyote mara moja. Kwa upande wetu, hii ni rahisi kufanya na "y.
Kwa kuwa katika "y" kuna ishara "+", na katika pili "-", basi unaweza kufanya operesheni ya kuongeza, i.e. kunja upande wa kushoto na wa kushoto, na wa kulia na wa kulia:
2x+y+(x-y)=10+2Geuza:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Badilisha “x” kwenye mlinganyo wowote na utafute “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Kwa mbinu ya 1 unaweza kuona kwamba zilipatikana kwa usahihi.

Ikiwa hakuna vigezo vilivyoelezwa wazi, basi ni muhimu kubadilisha kidogo equations.
Katika equation ya kwanza tunayo "2x", na ya pili tunayo "x". Ili x ipunguzwe wakati wa kuongeza, zidisha equation ya pili na 2:
x-y=2
2x-2y=4Kisha toa ya pili kutoka kwa mlinganyo wa kwanza:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Kumbuka kwamba ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi baada ya kufungua, ibadilishe kwa kinyume:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
pata y=2x kwa kueleza kutoka kwa mlinganyo wowote, i.e.
x=4

Video kwenye mada

Kidokezo cha 2: Jinsi ya kutatua equation ya mstari katika vigezo viwili

Mlinganyo, iliyoandikwa kwa umbo la jumla ax+bу+c=0, inaitwa mlingano wa mstari na mbili vigezo. Equation kama hiyo yenyewe ina idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, kwa hivyo katika shida huongezewa kila wakati na kitu - equation nyingine au masharti ya kupunguza. Kulingana na masharti yaliyotolewa na shida, suluhisha equation ya mstari na mbili vigezo hufuata kwa njia tofauti.

Utahitaji

• - usawa wa mstari na vigezo viwili;
• - equation ya pili au masharti ya ziada.

Maagizo

Kwa kuzingatia mfumo wa milinganyo miwili ya mstari, isuluhishe kama ifuatavyo. Chagua mojawapo ya milinganyo ambayo migawo iko vigezo ndogo na kueleza moja ya vigezo, kwa mfano, x. Kisha ubadilishe thamani hii iliyo na y kwenye mlinganyo wa pili. Katika equation inayosababisha kutakuwa na tofauti moja tu y, songa sehemu zote na y upande wa kushoto, na za bure kwa kulia. Tafuta y na ubadilishe katika milinganyo yoyote ya asili ili kupata x.

Kuna njia nyingine ya kutatua mfumo wa equations mbili. Zidisha moja ya milinganyo kwa nambari ili mgawo wa mojawapo ya vigeuzo, kama vile x, iwe sawa katika milinganyo yote miwili. Kisha toa moja ya milinganyo kutoka kwa nyingine (ikiwa upande wa kulia sio sawa na 0, kumbuka kutoa pande za kulia kwa njia ile ile). Utaona kwamba utofauti wa x umetoweka na ni moja tu ya y iliyobaki. Tatua mlingano unaotokana, na ubadilishe thamani iliyopatikana ya y kwa usawa wowote asili. Tafuta x.

Njia ya tatu ya kutatua mfumo wa milinganyo miwili ya mstari ni ya kielelezo. Chora mfumo wa kuratibu na uchore mistari miwili iliyonyooka ambayo milinganyo yake imetolewa kwenye mfumo wako. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili yoyote mawili ya x kwenye equation na upate y inayolingana - hizi zitakuwa kuratibu za alama za mstari. Njia rahisi zaidi ya kupata makutano na shoka za kuratibu ni kubadilisha tu maadili x=0 na y=0. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari hii miwili itakuwa kazi.

Ikiwa kuna equation moja tu ya mstari katika hali ya shida, basi umepewa masharti ya ziada ambayo unaweza kupata suluhisho. Soma tatizo kwa uangalifu ili kupata hali hizi. Kama vigezo x na y zinaonyesha umbali, kasi, uzito - jisikie huru kuweka kikomo x≥0 na y≥0. Inawezekana kabisa kwamba x au y huficha idadi ya apples, nk. - basi maadili yanaweza tu kuwa . Ikiwa x ni umri wa mtoto, ni wazi kuwa hawezi kuwa mzee kuliko baba yake, kwa hivyo onyesha hii katika hali ya shida.

Vyanzo:

• jinsi ya kutatua equation na variable moja

Pekee yake mlinganyo na watatu haijulikani ina masuluhisho mengi, kwa hivyo mara nyingi huongezewa na milinganyo au masharti mawili zaidi. Kulingana na data ya awali ni nini, mwendo wa uamuzi utategemea sana.

Utahitaji

• - mfumo wa equations tatu na haijulikani tatu.

Maagizo

Ikiwa mifumo miwili kati ya mitatu ina mbili tu kati ya tatu zisizojulikana, jaribu kuelezea vigeu kadhaa kulingana na vingine na ubadilishe katika mlinganyo na watatu haijulikani. Lengo lako katika kesi hii ni kuibadilisha kuwa ya kawaida mlinganyo na mtu asiyejulikana. Ikiwa hii ni , suluhu zaidi ni rahisi sana - badilisha thamani iliyopatikana katika milinganyo mingine na upate zisizojulikana zingine zote.

Baadhi ya mifumo ya milinganyo inaweza kupunguzwa kutoka kwa mlinganyo mmoja hadi mwingine. Angalia ikiwa inawezekana kuzidisha moja au kigezo ili mambo mawili yasiyojulikana yaghairiwe mara moja. Ikiwa kuna fursa kama hiyo, tumia fursa hiyo; uwezekano mkubwa, suluhisho linalofuata halitakuwa ngumu. Kumbuka kwamba wakati wa kuzidisha kwa nambari, lazima uzidishe upande wa kushoto na wa kulia. Vivyo hivyo, wakati wa kutoa milinganyo, lazima ukumbuke kuwa upande wa kulia lazima pia utolewe.

Ikiwa njia za awali hazikusaidia, tumia njia ya jumla ya kutatua equations yoyote na tatu haijulikani. Ili kufanya hivyo, andika upya milinganyo katika fomu a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sasa unda matrix ya coefficients ya x (A), matrix ya haijulikani (X) na matriki ya vigezo vya bure (B). Tafadhali kumbuka kuwa kwa kuzidisha matrix ya mgawo kwa matrix ya haijulikani, utapata matrix ya maneno ya bure, ambayo ni, A*X=B.

Pata matrix A kwa nguvu (-1) kwa kutafuta kwanza, kumbuka kuwa haipaswi kuwa sawa na sifuri. Baada ya hayo, zidisha matrix inayotokana na matrix B, kama matokeo utapokea matrix inayotaka X, ikionyesha maadili yote.

Unaweza pia kupata suluhisho kwa mfumo wa hesabu tatu kwa kutumia njia ya Cramer. Ili kufanya hivyo, pata kibainishi cha mpangilio wa tatu ∆ sambamba na matrix ya mfumo. Kisha mtawalia pata viambajengo vitatu zaidi ∆1, ∆2 na ∆3, ukibadilisha maadili ya istilahi zisizolipishwa badala ya maadili ya safuwima zinazolingana. Sasa tafuta x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Vyanzo:

• suluhisho kwa milinganyo na tatu zisizojulikana

Kutatua mfumo wa milinganyo ni changamoto na kusisimua. Mfumo mgumu zaidi, ndivyo unavyovutia zaidi kutatua. Mara nyingi katika hisabati ya shule ya sekondari kuna mifumo ya equations na mbili haijulikani, lakini katika hisabati ya juu kunaweza kuwa na vigezo zaidi. Mifumo inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia kadhaa.

Maagizo

Njia ya kawaida ya kutatua mfumo wa equations ni uingizwaji. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuelezea tofauti moja kwa suala la mwingine na kuibadilisha kwa pili mlinganyo mifumo, hivyo kuongoza mlinganyo kwa kutofautiana moja. Kwa mfano, kutokana na milinganyo ifuatayo: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Kutoka kwa usemi wa pili ni rahisi kuelezea moja ya vigezo, kusonga kila kitu kwa upande wa kulia wa usemi, bila kusahau kubadilisha ishara ya mgawo: x = 3-y.

Fungua mabano: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Tunabadilisha thamani inayotokana na y kwenye usemi: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Katika usemi wa kwanza, maneno yote ni 2, unaweza kuchukua 2 nje ya mabano hadi mali ya usambazaji ya kuzidisha: 2*(2x-y-3)=0. Sasa sehemu zote mbili za usemi zinaweza kupunguzwa kwa nambari hii, na kisha kuonyeshwa kama y, kwani mgawo wa moduli ni sawa na moja: -y = 3-2x au y = 2x-3.

Kama ilivyo katika kesi ya kwanza, tunabadilisha usemi huu hadi wa pili mlinganyo na tunapata: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Badilisha thamani inayotokana na usemi: y=2x -3;y=4-3=1.

Tunaona kwamba mgawo wa y ni sawa kwa thamani, lakini tofauti katika ishara, kwa hivyo, ikiwa tutaongeza milinganyo hii, tutaondoa kabisa y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2. Badilisha thamani ya x katika milinganyo yoyote kati ya mbili za mfumo na upate y=1.

Video kwenye mada

Biquadratic mlinganyo inawakilisha mlinganyo shahada ya nne, fomu ya jumla ambayo inawakilishwa na kujieleza ax^4 + bx^2 + c = 0. Suluhisho lake linategemea matumizi ya njia ya uingizwaji wa haijulikani. Katika kesi hii, x ^ 2 inabadilishwa na tofauti nyingine. Kwa hivyo, matokeo ni mraba wa kawaida mlinganyo, ambayo inahitaji kutatuliwa.

Maagizo

Tatua quadratic mlinganyo, kutokana na uingizwaji. Ili kufanya hivyo, kwanza uhesabu thamani kwa mujibu wa formula: D = b^2? 4ac. Katika kesi hii, vigezo a, b, c ni coefficients ya equation yetu.

Pata mizizi ya equation ya biquadratic. Kwa kufanya hivyo, chukua mizizi ya mraba ya ufumbuzi uliopatikana. Ikiwa kulikuwa na suluhisho moja, basi kutakuwa na mbili - thamani nzuri na hasi ya mizizi ya mraba. Ikiwa kulikuwa na suluhisho mbili, equation ya biquadratic itakuwa na mizizi minne.

Video kwenye mada

Mojawapo ya njia za kitamaduni za kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ni njia ya Gauss. Inajumuisha uondoaji wa mlolongo wa vigezo, wakati mfumo wa equations kwa kutumia mabadiliko rahisi hubadilishwa kuwa mfumo wa hatua, ambayo vigezo vyote hupatikana kwa mfululizo, kuanzia na mwisho.

Maagizo

Kwanza, kuleta mfumo wa equations katika fomu ambapo haijulikani wote ni katika utaratibu madhubuti defined. Kwa mfano, X zote zisizojulikana zitaonekana kwanza kwenye kila mstari, zote za Y zitakuja baada ya X, Z zote zitakuja baada ya Y, na kadhalika. Haipaswi kuwa na haijulikani kwenye upande wa kulia wa kila mlinganyo. Akili kuamua coefficients mbele ya kila haijulikani, pamoja na coefficients upande wa kulia wa kila equation.