Mada ya somo: "Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous"
(darasa la 10)
Lengo: anzisha dhana ya homogeneous milinganyo ya trigonometric digrii za I na II; tengeneza na ufanyie kazi algorithm ya kutatua milinganyo ya trigonometric ya digrii I na II; kufundisha wanafunzi kutatua milinganyo ya trigonometric ya homogeneous ya digrii I na II; kukuza uwezo wa kutambua mifumo na jumla; kuchochea shauku katika somo, kuendeleza hisia ya mshikamano na ushindani wa afya.
Aina ya somo: somo katika malezi ya maarifa mapya.
Fomu: kazi katika vikundi.
Vifaa: kompyuta, ufungaji wa multimedia
Wakati wa madarasa
Wakati wa kuandaa
Kuwasalimu wanafunzi, kuhamasisha umakini.
Kwenye somo mfumo wa ukadiriaji tathmini ya maarifa (mwalimu anaelezea mfumo wa tathmini ya maarifa, akijaza karatasi ya tathmini na mtaalam wa kujitegemea aliyechaguliwa na mwalimu kutoka kwa wanafunzi). Somo linaambatana na uwasilishaji. .
Kusasisha maarifa ya kimsingi.
Kazi ya nyumbani inakaguliwa na kupangwa na mtaalam wa kujitegemea na washauri kabla ya darasa na kukamilika karatasi ya tathmini.
Mwalimu anahitimisha kazi ya nyumbani.
Mwalimu: Tunaendelea kusoma mada "Equations Trigonometric". Leo katika somo tutakuletea aina nyingine ya hesabu za trigonometric na njia za kuzitatua, na kwa hivyo tutarudia kile tulichojifunza. Wakati wa kutatua aina zote za equations trigonometric, wao ni kupunguzwa kwa kutatua equations rahisi trigonometric.
Kazi ya nyumbani ya mtu binafsi iliyofanywa kwa vikundi inaangaliwa. Ulinzi wa uwasilishaji "Suluhisho la hesabu rahisi zaidi za trigonometric"
(Kazi ya kikundi inatathminiwa na mtaalam wa kujitegemea)
Motisha ya kujifunza.
Mwalimu: Tuna kazi ya kufanya ili kutatua chemshabongo. Baada ya kuitatua, tutapata jina la aina mpya ya equations ambayo tutajifunza kutatua leo darasani.
Maswali yanaonyeshwa kwenye ubao. Wanafunzi wanakisia, na mtaalam wa kujitegemea anaingiza alama za wanafunzi wanaojibu kwenye karatasi ya alama.
Baada ya kusuluhisha fumbo la maneno, watoto watasoma neno "homogeneous".
Uhamasishaji wa maarifa mapya.
Mwalimu: Mada ya somo ni "Milinganyo ya trigonometric ya homogeneous."
Hebu tuandike mada ya somo kwenye daftari. Milinganyo ya trigonometriki ya homogeneous ni ya shahada ya kwanza na ya pili.
Hebu tuandike ufafanuzi mlinganyo wa homogeneous shahada ya kwanza. Ninaonyesha mfano wa kutatua aina hii ya equation; unaunda algoriti ya kusuluhisha mlinganyo wa trigonometric wa shahada ya kwanza.
Mlinganyo wa fomu A dhambi + b cosx = 0 inaitwa equation ya trigonometric homogeneous ya shahada ya kwanza.
Wacha tuzingatie suluhisho la equation wakati coefficients A Na V ni tofauti na 0.
Mfano: sinx + cosx = 0
R 
kugawa pande zote mbili za neno la equation na cosx, tunapata
Makini! Unaweza kugawanya kwa 0 ikiwa tu usemi huu haugeuki hadi 0 popote. Hebu tuchambue. Ikiwa kosine ni sawa na 0, basi sine pia itakuwa sawa na 0, ikizingatiwa kwamba coefficients ni tofauti na 0, lakini tunajua kwamba sine na cosine huenda hadi sifuri katika pointi mbalimbali. Kwa hiyo, operesheni hii inaweza kufanywa wakati wa kutatua aina hii ya equation.
Algorithm ya kutatua equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya kwanza: kugawanya pande zote mbili za equation na cosx, cosx 0.
Mlinganyo wa fomu A dhambi mx +b cos mx = 0 pia huitwa mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya kwanza na pia kutatua mgawanyiko wa pande zote mbili za equation na cosine mx.
Mlinganyo wa fomu a dhambi 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0 inaitwa equation ya trigonometric homogeneous ya shahada ya pili.
Mfano : dhambi 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0
Mgawo a ni tofauti na 0 na kwa hivyo, kama mlinganyo uliopita, cosx si sawa na 0, na kwa hivyo unaweza kutumia njia ya kugawanya pande zote mbili za equation na cos 2 x.
Tunapata tg 2 x + 2tgx - 3 = 0
Tunasuluhisha kwa kuanzisha kigezo kipya let tgx = a, kisha tunapata mlinganyo
a 2 + 2a – 3 = 0
D = 4 – 4 (–3) = 16
a 1 = 1 a 2 = -3
Rudi kwa uingizwaji
Jibu:
Ikiwa mgawo a = 0, basi equation itachukua fomu 2sinx cosx - 3cos2x = 0, tunatatua kwa kutumia njia ya kutoa. kizidishi cha kawaida cosx nje ya mabano. Ikiwa mgawo c = 0, basi equation inachukua fomu sin2x +2sinx cosx = 0, tunatatua kwa kuchukua sababu ya kawaida sinx nje ya mabano. Algorithm ya kutatua equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya kwanza:
Angalia ikiwa mlinganyo una neno la asin2 x.
Iwapo neno asin2 x limo katika mlinganyo (yaani 0), basi mlinganyo huo unatatuliwa kwa kugawanya pande zote mbili za mlinganyo na cos2x na kisha kuanzisha kigezo kipya.
Ikiwa neno asin2 x halimo katika equation (yaani a = 0), basi equation inatatuliwa kwa factorization: cosx inatolewa nje ya mabano. Milinganyo ya homogeneous ya fomu sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 hutatuliwa kwa njia ile ile.
Algorithm ya kutatua milinganyo ya trigonometric ya homogeneous imeandikwa kwenye kitabu cha maandishi kwenye ukurasa wa 102.
Dakika ya elimu ya mwili
Uundaji wa ujuzi wa kutatua milinganyo ya trigonometric ya homogeneous
Kufungua vitabu vya matatizo ukurasa wa 53
Vikundi vya 1 na 2 vinaamua No. 361-v
Vikundi vya 3 na 4 vinaamua Na. 363-v
Onyesha suluhisho kwenye ubao, eleza, kamilisha. Mtaalam wa kujitegemea anatathmini.
Kutatua mifano kutoka kwa kitabu cha shida No. 361-v
sinx - 3cosx = 0
tunagawanya pande zote mbili za equation na cosx 0, tunapata 
Nambari 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
gawanya pande zote mbili za equation na cos2x, tunapata tg2x + tanx - 2 = 0
suluhisha kwa kuanzisha kigezo kipya
let tgx = a, kisha tunapata equation
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
kurudi kwenye uingizwaji
Kazi ya kujitegemea.
Tatua milinganyo.
2 cosx - 2 = 0
2cos2x - 3cosx +1 = 0
3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0
Baada ya kukamilika kazi ya kujitegemea kubadilisha kazi na kuangalia pande zote. Majibu sahihi yanaonyeshwa ubaoni.
Kisha wanaikabidhi kwa mtaalam wa kujitegemea.
Fanya suluhisho mwenyewe
Kwa muhtasari wa somo.
Je, ni aina gani ya milinganyo ya trigonometric tulijifunza kuihusu darasani?
Algorithm ya kutatua milinganyo ya trigonometric ya shahada ya kwanza na ya pili.
Kazi ya nyumbani: § 20.3 soma. Nambari 361(d), 363(b), kuongezeka kwa ugumu kwa kuongeza No. 380(a).
Maneno mtambuka.
Ukiingia maneno ya kweli, kisha unapata jina la mojawapo ya aina za milinganyo ya trigonometric.
Thamani ya tofauti inayogeuza mlinganyo kuwa usawa wa kweli? (Mzizi)
Kipimo cha kipimo cha pembe? (Radiani)
Sababu ya nambari katika bidhaa? (Mgawo)
Tawi la masomo ya hisabati kazi za trigonometric? (Trigonometry)
Ambayo mfano wa hisabati muhimu kwa ajili ya kuanzisha kazi za trigonometric? (Mduara)
Ni kazi gani ya trigonometric ni sawa? (Kosine)
Usawa wa kweli unaitwaje? (Utambulisho)
Usawa na kutofautiana? (Mlinganyo)
Equations kuwa mizizi inayofanana? (sawa)
Seti ya mizizi ya equation ? (Suluhisho)
Karatasi ya tathmini
№
n\n
Jina la mwisho, jina la kwanza la mwalimu
Wasilisho
Shughuli ya utambuzi
kusoma
Kutatua milinganyo
Kujitegemea
Kazi
Kazi ya nyumbani - pointi 12 (equations 3 4 x 3 = 12 zilipewa kazi ya nyumbani)
Uwasilishaji - pointi 1
Shughuli ya mwanafunzi - jibu 1 - pointi 1 (upeo wa pointi 4)
Kutatua milinganyo pointi 1
Kazi ya kujitegemea - pointi 4
Ukadiriaji wa kikundi:
"5" - pointi 22 au zaidi
"4" - 18 - 21 pointi
"3" - 12 - 17 pointi
Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.
Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi
Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.
Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.
Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.
Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:
- Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.
Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:
- Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
- Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
- Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani kama vile ukaguzi, uchambuzi wa data na masomo mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
- Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.
Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine
Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.
Vighairi:
- Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, V jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
- Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.
Ulinzi wa habari za kibinafsi
Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.
Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni
Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.
Maelezo ya mwisho, jinsi ya kutatua kazi C1 kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati - kusuluhisha milinganyo ya trigonometriki homogeneous. Tutakuambia jinsi ya kuyatatua katika somo hili la mwisho.
Equations hizi ni nini? Hebu tuandike ndani mtazamo wa jumla.
$$a\sin x + b\cos x = 0,$$
ambapo `a` na `b` ni baadhi ya viunga. Mlingano huu unaitwa mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya kwanza.
Mlinganyo wa trigonometric homogeneous wa shahada ya kwanza
Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kuigawanya kwa `\cos x`. Kisha itachukua fomu
$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$
Jibu la equation kama hiyo imeandikwa kwa urahisi kwa kutumia arctangent.
Kumbuka kuwa `\cos x ≠0`. Ili kuthibitisha hili, tunabadilisha sifuri badala ya cosine kwenye mlinganyo na kupata kwamba sine inapaswa pia kuwa. sawa na sifuri. Hata hivyo, hawawezi kuwa sawa na sifuri kwa wakati mmoja, ambayo ina maana kwamba cosine si sifuri.
Baadhi ya maswali kwenye mtihani halisi wa mwaka huu yalihusisha mlingano wa trigonometric homogeneous. Fuata kiungo cha. Tutachukua toleo lililorahisishwa kidogo la tatizo.
Mfano wa kwanza. Suluhisho la equation ya trigonometric homogeneous ya shahada ya kwanza
$$\sin x + \cos x = 0.$$
Gawanya kwa `\cos x`.
$$\tg x + 1 = 0,$$
$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$
Narudia, kazi kama hiyo ilikuwa kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja :) bila shaka, bado unahitaji kuchagua mizizi, lakini hii pia haipaswi kusababisha matatizo yoyote maalum.
Hebu sasa tuendelee aina inayofuata milinganyo.
Mlingano wa trigonometric homogeneous wa shahada ya pili
Kwa ujumla inaonekana kama hii:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$
ambapo `a, b, c` ni baadhi ya viambajengo.
Milinganyo kama hii hutatuliwa kwa kugawanya kwa `\cos^2 x` (ambayo tena si sifuri). Hebu tuangalie mfano mara moja.
Mfano wa pili. Suluhisho la equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya pili
$$\sin^2 x - 2\dhambi x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$
Gawanya kwa `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$
Hebu tubadilishe `t = \tg x`.
$$t^2 - 2t -3 = 0,$$
$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$
Reverse uingizwaji
$$\tg x = 3, \text( au ) \tg x = -1,$$
$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( au ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$
Jibu limepokelewa.
Mfano wa tatu. Suluhisho la equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya pili
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$
Kila kitu kitakuwa sawa, lakini mlingano huu sio sawa - `-2` iliyo upande wa kulia inatuingilia. Nini cha kufanya? Hebu tutumie utambulisho msingi wa trigonometric na tuandike `-2` tukitumia.
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$
$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$
$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$
Gawanya kwa `\cos^2 x`.
$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$
Uingizwaji `t= \tg x`.
$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$
$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$
Baada ya kufanya uingizwaji wa nyuma, tunapata:
$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( au ) \tg x = -\sqrt(3).$$
$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$
Hii mfano wa mwisho katika somo hili.
Kama kawaida, wacha nikukumbushe: mafunzo ndio kila kitu kwetu. Haijalishi mtu ni mzuri kiasi gani, ujuzi hautakua bila mafunzo. Wakati wa mtihani, hii imejaa wasiwasi, makosa, na kupoteza muda (endelea orodha hii mwenyewe). Hakikisha kusoma!
Kazi za mafunzo
Tatua milinganyo:
- `10^(\ dhambi x) = 2^(\dhambi x) \cdot 5^(-\cos x)`. Jukumu hili linatoka Mtihani halisi wa Jimbo la Umoja 2013. Hakuna mtu aliyeghairi ujuzi wa mali ya digrii, lakini ikiwa umesahau, angalia;
- `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Fomula kutoka kwa somo la saba itakuja kwa manufaa.
- `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.
Ni hayo tu. Na kama kawaida, mwishowe: uliza maswali kwenye maoni, kama, tazama video, jifunze jinsi ya kutatua Mtihani wa Jimbo la Umoja.
Milinganyo isiyo ya mstari na mbili zisizojulikana
Ufafanuzi 1. Acha A iwe fulani seti ya jozi za nambari (x; y). Wanasema kwamba seti A imetolewa utendakazi wa nambari z kutoka kwa vigezo viwili x na y , ikiwa sheria imeelezwa kwa msaada ambao kila jozi ya nambari kutoka kwa kuweka A inahusishwa na nambari fulani.
Zoezi kazi ya nambari z kutoka kwa vigezo viwili x na y mara nyingi kuashiria Kwa hivyo:
Wapi f (x , y) - kitendaji chochote isipokuwa kitendakazi
f (x , y) = shoka+kwa+c ,
wapi a, b, c - nambari zilizopewa.
Ufafanuzi 3. Kutatua equation (2) piga jozi ya nambari ( x; y) , ambayo fomula (2) ni usawa wa kweli.
Mfano 1. Tatua mlinganyo
Kwa kuwa mraba wa nambari yoyote si hasi, inafuata kutoka kwa fomula (4) kwamba zisizojulikana x na y zinakidhi mfumo wa milinganyo.
suluhisho ambalo ni jozi ya nambari (6; 3).
Jibu: (6; 3)
Mfano 2. Tatua mlinganyo
Kwa hivyo, suluhisho la equation (6) ni seti isiyo na mwisho jozi za nambari aina
(1 + y ; y) ,
ambapo y ni nambari yoyote.
mstari
Ufafanuzi 4. Kutatua mfumo wa equations
piga jozi ya nambari ( x; y), wakati wa kuzibadilisha katika kila hesabu za mfumo huu, usawa sahihi hupatikana.
Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni ya mstari, ina fomu
g(x , y)
Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo
Suluhisho . Wacha tuelezee isiyojulikana y kutoka kwa mlingano wa kwanza wa mfumo (7) kupitia x isiyojulikana na tubadilishe usemi unaotokana na mlingano wa pili wa mfumo:
Kutatua equation
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
Kwa hivyo,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni homogeneous
Mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni homogeneous, ina fomu
ambapo a, b, c hupewa nambari, na g(x , y) - utendakazi wa viambajengo viwili x na y.
Mfano 6. Tatua mfumo wa milinganyo
Suluhisho . Wacha tusuluhishe equation ya homogeneous
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
kuchukulia kama mlinganyo wa quadratic kwa heshima na x isiyojulikana:
.
Iwapo x = - 5y, kutoka kwa equation ya pili ya mfumo (11) tunapata equation
5y 2 = - 20 ,
ambayo haina mizizi.
Iwapo
kutoka kwa equation ya pili ya mfumo (11) tunapata equation
,
ambao mizizi yake ni nambari y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Kupata kwa kila moja ya maadili haya y thamani inayolingana x, tunapata suluhisho mbili kwa mfumo: (- 2; 3), (2; - 3).
Jibu: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Mifano ya kutatua mifumo ya equations ya aina nyingine
Mfano 8. Tatua mfumo wa milinganyo (MIPT)
Suluhisho . Wacha tuanzishe mambo mapya yasiyojulikana u na v, ambayo yanaonyeshwa kupitia x na y kulingana na fomula:
Ili kuandika upya mfumo (12) kulingana na mambo mapya yasiyojulikana, kwanza tunaeleza yasiyojulikana x na y kulingana na u na v. Kutoka kwa mfumo (13) inafuata hiyo
Wacha tusuluhishe mfumo wa mstari (14) kwa kuondoa utofautishaji wa x kutoka kwa mlinganyo wa pili wa mfumo huu. Kwa kusudi hili, tunafanya mabadiliko yafuatayo kwenye mfumo (14):
- Tutaacha equation ya kwanza ya mfumo bila kubadilika;
- kutoka kwa equation ya pili tunaondoa equation ya kwanza na kuchukua nafasi ya equation ya pili ya mfumo na tofauti inayosababisha.
Kama matokeo, mfumo (14) unabadilishwa kuwa mfumo sawa
ambayo tunapata
Kwa kutumia fomula (13) na (15), tunaandika upya mfumo asilia (12) katika fomu.
Mlinganyo wa kwanza wa mfumo (16) ni wa mstari, kwa hivyo tunaweza kuelezea u haijulikani kutoka kwayo kupitia v isiyojulikana na kubadilisha usemi huu katika mlingano wa pili wa mfumo.
Leo tutasoma milinganyo ya trigonometric homogeneous. Kwanza, hebu tuangalie istilahi: ni nini usawa wa trigonometriki wa homogeneous. Ina sifa zifuatazo:
- lazima iwe na maneno kadhaa;
- masharti yote lazima yawe na shahada sawa;
- vipengele vyote vya kukokotoa vilivyojumuishwa katika utambulisho wa trigonometriki wa homogeneous lazima ziwe na hoja sawa.
Algorithm ya suluhisho
Hebu tuchague masharti
Na ikiwa kila kitu ni wazi na hatua ya kwanza, basi inafaa kuzungumza juu ya pili kwa undani zaidi. Nini maana yake shahada sawa masharti? Wacha tuangalie shida ya kwanza:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Neno la kwanza katika mlinganyo huu ni 3 kosx 3\cos x. Tafadhali kumbuka kuwa kuna kazi moja tu ya trigonometric hapa - cosx\cos x - na hakuna vipengele vingine vya trigonometric vilivyopo hapa, kwa hivyo kiwango cha neno hili ni 1. Sawa na pili - 5 sinx 5\sin x - sine pekee iko hapa, yaani kiwango cha neno hili pia ni sawa na moja. Kwa hiyo, tuna mbele yetu utambulisho unaojumuisha vipengele viwili, ambayo kila moja ina kazi ya trigonometric, na moja tu. Huu ni mlinganyo wa shahada ya kwanza.
Wacha tuendelee kwenye usemi wa pili:
4dhambi2 x+sin2x−3=0
4((\dhambi )^(2))x+\dhambi 2x-3=0
Mwanachama wa kwanza wa ujenzi huu ni 4dhambi2 x 4((\ dhambi )^(2))x.
Sasa tunaweza kuandika suluhisho lifuatalo:
dhambi2 x=sinx⋅sinx
((\dhambi )^(2))x=\dhambi x\cdot \dhambi x
Kwa maneno mengine, neno la kwanza lina kazi mbili za trigonometric, i.e. digrii yake ni mbili. Wacha tushughulike na kipengele cha pili - dhambi2x\ dhambi 2x. Wacha tukumbuke formula hii - formula pembe mbili:
sin2x=2sinx⋅cosx
\dhambi 2x=2\dhambi x\cdot \cos x
Na tena, katika formula inayosababisha tuna kazi mbili za trigonometric - sine na cosine. Kwa hivyo, thamani ya nguvu ya muda huu wa ujenzi pia ni sawa na mbili.
Hebu tuendelee kwenye kipengele cha tatu - 3. Kutoka kozi ya hisabati sekondari Tunakumbuka kuwa nambari yoyote inaweza kuzidishwa na 1, kwa hivyo tunaiandika:
˜ 3=3⋅1
Kitengo kinachotumia kuu kitambulisho cha trigonometric inaweza kuandikwa katika fomu ifuatayo:
1=dhambi2 x⋅ cos2 x
1=((\ dhambi )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x
Kwa hivyo, tunaweza kuandika tena 3 kama ifuatavyo:
3=3(dhambi2 x⋅ cos2 x)=3dhambi2 x+3 cos2 x
3=3\kushoto(((\dhambi )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \kulia)=3((\dhambi )^(2))x+3(( \cos )^(2))x
Kwa hivyo, neno letu la 3 limegawanywa katika vipengele viwili, ambavyo kila moja ni sawa na ina shahada ya pili. Sine katika muda wa kwanza hutokea mara mbili, cosine katika pili pia hutokea mara mbili. Kwa hivyo, 3 pia inaweza kuwakilishwa kama neno na kipeo cha nguvu cha mbili.
Jambo lile lile na usemi wa tatu:
dhambi3 x+ dhambi2 xcosx=2 cos3 x
Hebu tuangalie. Muda wa kwanza ni dhambi3 x((\sin )^(3))x ni utendakazi wa trigonometriki wa daraja la tatu. Kipengele cha pili - dhambi2 xcosx((\dhambi )^(2))x\cos x.
dhambi2 ((\sin )^(2)) ni kiunga chenye thamani ya nguvu mara mbili ikizidishwa cosx\cos x ni muhula wa kwanza. Kwa jumla, muda wa tatu pia una thamani ya nguvu ya tatu. Mwishowe, upande wa kulia kuna kiunga kingine - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x ni kipengele cha daraja la tatu. Kwa hivyo, tuna mbele yetu equation ya trigonometric ya homogeneous ya shahada ya tatu.
Tuna vitambulisho vitatu vilivyoandikwa digrii tofauti. Zingatia tena usemi wa pili. Katika rekodi ya awali, mmoja wa wajumbe ana hoja 2x 2x. Tunalazimika kuondoa hoja hii kwa kuibadilisha kwa kutumia fomula ya sine yenye pembe mbili, kwa sababu vipengele vyote vya kukokotoa vilivyojumuishwa katika utambulisho wetu lazima viwe na hoja sawa. Na hili ni hitaji la milinganyo ya trigonometric ya homogeneous.
Tunatumia fomula ya kitambulisho kikuu cha trigonometric na kuandika suluhisho la mwisho
Tumepanga masharti, wacha tuendelee kwenye suluhisho. Bila kujali kiongeza nguvu, kutatua usawa wa aina hii kila wakati hufanywa kwa hatua mbili:
1) thibitisha hilo
cosx≠0
\cos x\ne 0. Ili kufanya hivyo, inatosha kukumbuka fomula ya kitambulisho kikuu cha trigonometric. (dhambi2 x⋅ cos2 x=1)\kushoto(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \kulia) na ubadilishe katika fomula hii cosx=0\cos x=0. Tutapata usemi ufuatao:
dhambi2 x=1sinx=±1
\anza(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\malizia(align)
Kubadilisha maadili yaliyopatikana, i.e. badala ya cosx\cos x ni sifuri, na badala yake sinx\ dhambi x - 1 au -1, katika usemi asilia, tutapata makosa usawa wa nambari. Huu ndio uthibitisho kwamba
cosx≠0
2) hatua ya pili inafuata kimantiki kutoka ya kwanza. Kwa sababu ya
cosx≠0
\cos x\ne 0, tunagawanya pande zetu zote mbili za muundo cosn x((\cos )^(n))x, wapi n n - ndivyo hivyo kipeo cha nguvu mlinganyo wa trigonometric homogeneous. Hii inatupa nini:
\[\anza(safu)(·(35)(l))
sinxcosx=tgxcosxcosx=1
\anza(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\malizia(align) \\() \\ \mwisho(safu)\]
Shukrani kwa hili, ujenzi wetu mbaya wa awali umepunguzwa kwa equation n n-shahada kwa heshima na tangent, suluhisho ambalo linaweza kuandikwa kwa urahisi kwa kutumia mabadiliko ya kutofautisha. Hiyo ni algorithm nzima. Wacha tuone jinsi inavyofanya kazi katika mazoezi.
Tunatatua matatizo ya kweli
Kazi nambari 1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Tayari tumegundua kuwa huu ni mlinganyo wa trigonometriki wa homogeneous na kipeo cha nguvu sawa na kimoja. Kwa hiyo, kwanza kabisa, hebu tujue hilo cosx≠0\cos x\ne 0. Tuseme kinyume, hiyo
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Tunabadilisha thamani inayotokana na usemi wetu, tunapata:
3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0
\anza(pangilia)& 3\cdot 0+5\cdot \kushoto(\pm 1 \kulia)=0 \\& \pm 5=0 \\\malizia(panga)
Kulingana na hili tunaweza kusema hivyo cosx≠0\cos x\ne 0. Gawanya mlingano wetu kwa cosx\cos x, kwa sababu usemi wetu wote una thamani ya nguvu, sawa na moja. Tunapata:
3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5
\anza(panga)& 3\kushoto(\frac(\cos x)(\cos x) \kulia)+5\kushoto(\frac(\sin x)(\cos x) \kulia)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\malizia(panga)
Hii sio thamani ya jedwali, kwa hivyo jibu litajumuisha arctx arctgx:
x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\kushoto(-\frac(3)(5) \kulia)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z
Kwa sababu ya arctg arctg arctg ni kazi isiyo ya kawaida, tunaweza kuchukua "minus" nje ya hoja na kuiweka mbele ya arctg. Tunapata jibu la mwisho:
x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\katika Z
Kazi nambari 2
4dhambi2 x+sin2x−3=0
4((\dhambi )^(2))x+\dhambi 2x-3=0
Kama unavyokumbuka, kabla ya kuanza kuisuluhisha, unahitaji kufanya mabadiliko kadhaa. Tunafanya mabadiliko:
4dhambi2 x+2sinxcosx−3 (dhambi2 x+ cos2 x)=0 4dhambi2 x+2sinxcosx−3 dhambi2 x−3 cos2 x=0dhambi2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0
\anza(pangilia)& 4((\ dhambi )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \kulia)=0 \\& 4((\dhambi )^(2))x+2\dhambi x\cos x-3((\dhambi )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\ dhambi )^(2))x+2\dhambi x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\mwisho (panga)
Tulipokea muundo unaojumuisha vipengele vitatu. Katika muhula wa kwanza tunaona dhambi2 ((\sin )^(2)), yaani thamani yake ya nguvu ni mbili. Katika muhula wa pili tunaona sinx\ dhambi x na cosx\cos x - tena kuna kazi mbili, zinazidishwa, hivyo shahada ya jumla ni tena mbili. Katika kiungo cha tatu tunaona cos2 x((\cos )^(2))x - sawa na thamani ya kwanza.
Hebu tuthibitishe hilo cosx=0\cos x=0 sio suluhisho la ujenzi huu. Ili kufanya hivyo, wacha tufikirie kinyume:
\[\anza(safu)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\dhambi x=\pm 1 \\1+2\cdot \kushoto(\pm 1 \kulia)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\mwisho(safu)\]
Tumethibitisha hilo cosx=0\cos x=0 haiwezi kuwa suluhu. Wacha tuendelee kwenye hatua ya pili - tugawanye usemi wetu wote cos2 x((\cos )^(2))x. Kwa nini mraba? Kwa sababu kipeo cha nguvu cha mlingano huu wa homogeneous ni sawa na mbili:
dhambi2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0
\anza(align)& \frac(((\dhambi )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\) cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\malizia(panganisha)
Je, inawezekana kuamua usemi huu kwa kutumia mbaguzi? Bila shaka unaweza. Lakini ninapendekeza kukumbuka nadharia inayozungumza na nadharia ya Vieta, na tunapata hiyo kupewa polynomial Wacha tuwakilishe katika mfumo wa polynomia mbili rahisi, ambazo ni:
(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\anza(align)& \kushoto(tgx+3 \kulia)\kushoto(tgx-1 \kulia)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ maandishi( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\malizia(align)
Wanafunzi wengi huuliza ikiwa inafaa kuandika hesabu tofauti kwa kila kikundi cha suluhu za vitambulisho au kutosumbua na kuandika zile zile kila mahali. Binafsi, nadhani ni bora na ya kuaminika zaidi kutumia barua tofauti ili ikitokea unaingia kwenye serious chuo kikuu cha ufundi Na vipimo vya ziada katika hisabati, watahini hawakupata makosa katika jibu.
Kazi nambari 3
dhambi3 x+ dhambi2 xcosx=2 cos3 x
((\dhambi )^(3))x+((\dhambi )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x
Tayari tunajua kuwa huu ni mlinganyo wa trigonometriki wa digrii ya tatu, hakuna fomula maalum zinazohitajika, na kinachohitajika kwetu ni kuhamisha neno. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x upande wa kushoto. Hebu tuandike upya:
dhambi3 x+ dhambi2 xcosx-2 cos3 x=0
((\dhambi )^(3))x+((\dhambi )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0
Tunaona kwamba kila kipengele kina kazi tatu za trigonometric, kwa hivyo mlingano huu una thamani ya nguvu ya tatu. Hebu tuitatue. Kwanza kabisa, tunahitaji kuthibitisha hilo cosx=0\cos x=0 sio mzizi:
\[\anza(safu)(·(35)(l))
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\mwisho(safu)\]
Wacha tubadilishe nambari hizi kwenye muundo wetu wa asili:
(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0
\anza(patanisha)& ((\kushoto(\pm 1 \kulia))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\malizia(panga)
Kwa hivyo, cosx=0\cos x=0 sio suluhisho. Tumethibitisha hilo cosx≠0\cos x\ne 0. Sasa kwa kuwa tumethibitisha hili, hebu tugawanye mlingano wetu wa asili kwa cos3 x((\cos )^(3))x. Kwa nini katika mchemraba? Kwa sababu tumethibitisha kwamba mlinganyo wetu wa asili una nguvu ya tatu:
dhambi3 xcos3 x+dhambi2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x+t g2 x−2=0
\anza(align)& \frac(((\dhambi )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\mwisho(linganisha)
Wacha tuanzishe kigezo kipya:
tgx=t
Wacha tuandike tena muundo:
t3 +t2 −2=0
((t)^(3))+((t)^(2))-2=0
Mbele yetu mlinganyo wa ujazo. Jinsi ya kutatua? Hapo awali, nilipokuwa nikiweka pamoja mafunzo haya ya video, nilipanga kwanza kuzungumza juu ya uundaji wa polynomials na mbinu zingine. Lakini katika kwa kesi hii kila kitu ni rahisi zaidi. Angalia, utambulisho wetu umetolewa, pamoja na neno na kwa kiwango kikubwa zaidi gharama 1. Kwa kuongeza, coefficients zote ni integers. Hii ina maana kwamba tunaweza kutumia muhtasari kutoka kwa nadharia ya Bezout, ambayo inasema kwamba mizizi yote ni vigawanyiko vya nambari -2, yaani neno lisilolipishwa.
Swali linatokea: -2 imegawanywa na nini? Kwa kuwa 2 ni nambari kuu, hakuna chaguzi nyingi. Inaweza kuwa nambari zifuatazo: 1; 2; -1; -2. Mizizi hasi kutoweka mara moja. Kwa nini? Kwa sababu zote mbili ni kubwa kuliko 0 kwa thamani kamili, kwa hivyo t3 ((t)^(3)) itakuwa kubwa zaidi katika moduli kuliko t2 ((t)^(2)). Na kwa kuwa mchemraba ni kazi isiyo ya kawaida, kwa hiyo nambari katika mchemraba itakuwa mbaya, na t2 ((t)^(2)) - chanya, na ujenzi huu wote, na t=−1 t=-1 na t=−2 t=-2, haitakuwa zaidi ya 0. Ondoa -2 kutoka kwayo na upate nambari ambayo kwa hakika ni chini ya 0. Zimesalia 1 na 2 tu. Hebu tubadilishe kila moja ya nambari hizi:
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0
Tumepata usawa sahihi wa nambari. Kwa hivyo, t=1 t=1 ndio mzizi.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0
t=2 t=2 sio mzizi.
Kulingana na mfululizo na nadharia hiyo hiyo ya Bezout, polynomial yoyote ambayo mzizi wake ni x0 ((x)_(0)), iwakilishe katika fomu:
Q(x)=(x= x0 P(x)
Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)
Kwa upande wetu, katika jukumu x x ni kigeugeu t t, na katika jukumu x0 ((x)_(0)) ni mzizi sawa na 1. Tunapata:
t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)
((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)
Jinsi ya kupata polynomial P (t) P\kushoto(t\kulia)? Ni wazi, unahitaji kufanya yafuatayo:
P(t)= t3 +t2 −2 t-1
P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)
Wacha tubadilishe:
t3 +t2 +0⋅t−2t-1=t2 +2t+2
\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2
Kwa hivyo, polynomial yetu ya asili imegawanywa bila salio. Kwa hivyo, tunaweza kuandika upya usawa wetu wa asili kama:
(t-1)( t2 +2t+2)=0
(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0
Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Tayari tumezingatia kizidishi cha kwanza. Hebu tuangalie ya pili:
t2 +2t+2=0
((t)^(2))+2t+2=0
Wanafunzi wenye ujuzi labda tayari wamegundua kuwa ujenzi huu hauna mizizi, lakini hebu bado tuhesabu kibaguzi.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Kibaguzi ni chini ya 0, kwa hivyo usemi hauna mizizi. Kwa jumla, ujenzi mkubwa ulipunguzwa hadi usawa wa kawaida:
\[\anza(safu)(·(35)(l))
t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\katika Z \\\mwisho(safu)\]
Kwa kumalizia, ningependa kuongeza maoni kadhaa juu ya kazi ya mwisho:
- hali hiyo itatoshelezwa daima? cosx≠0\cos x\ne 0, na je, inafaa kutekeleza hundi hii hata kidogo? Bila shaka, si mara zote. Katika kesi ambapo cosx=0\cos x=0 ni suluhu la usawa wetu; tunapaswa kuiondoa kwenye mabano, na kisha mlinganyo kamili wa homogeneous utabaki kwenye mabano.
- Ni nini kinachogawanya polynomial na polynomial. Hakika, shule nyingi hazisomi hili, na wanafunzi wanapoona muundo kama huo kwa mara ya kwanza, wanapata mshtuko mdogo. Lakini, kwa kweli, hii ni mbinu rahisi na nzuri ambayo inafanya kutatua equations rahisi zaidi digrii za juu. Bila shaka, mafunzo tofauti ya video yatajitolea kwake, ambayo nitachapisha hivi karibuni.
Pointi muhimu
Milinganyo ya trigonometric isiyo na usawa ni mada inayopendwa katika kila aina ya vipimo. Wanaweza kutatuliwa kwa urahisi sana - fanya mazoezi mara moja tu. Ili kuweka wazi kile tunachozungumzia, hebu tuanzishe ufafanuzi mpya.
Mlinganyo wa trigonometriki wa homogeneous ni moja ambapo kila neno lisilo la sufuri lina idadi sawa ya vipengele vya trigonometriki. Hizi zinaweza kuwa sines, cosines, au mchanganyiko wake - njia ya ufumbuzi daima ni sawa.
Kiwango cha mlingano wa trigonometriki wa homogeneous ni idadi ya vipengele vya trigonometriki vilivyojumuishwa katika istilahi zisizo za sufuri. Mifano:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text( cos )x=0 - utambulisho wa shahada ya 1;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text( dhambi)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2nd degree;
sin3x+2sinxcos2x=0
\dhambi 3x+2\dhambi x\cos 2x=0 - digrii ya 3;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 - na equation hii sio homogeneous, kwa kuwa kuna kitengo upande wa kulia - neno lisilo la sifuri ambalo hakuna mambo ya trigonometric;
sin2x+2sinx−3=0
\dhambi 2x+2\dhambi x-3=0 - pia mlinganyo usio na usawa. Kipengele dhambi2x\sin 2x ni ya shahada ya pili (kwani inaweza kuwakilishwa
sin2x=2sinxcosx
\dhambi 2x=2\dhambi x\cos x), 2 sinx 2\sin x ndio ya kwanza, na istilahi 3 kwa ujumla ni sifuri, kwani hakuna sines au kosini ndani yake.
Mpango wa suluhisho la jumla
Mpango wa suluhisho daima ni sawa:
Hebu tujifanye hivyo cosx=0\cos x=0. Kisha sinx=±1\sin x=\pm 1 - hii inafuata kutoka kwa utambulisho mkuu. Hebu tubadilishe sinx\ dhambi x na cosx\cos x kwenye usemi asilia, na ikiwa matokeo ni upuuzi (kwa mfano, usemi 5=0 5=0), nenda kwa nukta ya pili;
Tunagawanya kila kitu kwa nguvu ya cosine: cosx, cos2x, cos3x ... - inategemea thamani ya nguvu ya equation. Tunapata usawa wa kawaida na tangenti, ambazo zinaweza kutatuliwa kwa usalama baada ya kuchukua nafasi ya tgx=t.
tgx=tMizizi itakayopatikana itakuwa jibu la usemi asilia.