Matatizo ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida. Kupunguza sehemu kwa dhehebu la chini kabisa, sheria, mifano, suluhisho

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Sehemu nina madhehebu sawa. Wanasema wanayo dhehebu la kawaida 25. Sehemu zina madhehebu tofauti, lakini zinaweza kupunguzwa kwa kawaida kwa kutumia mali ya msingi ya sehemu. Ili kufanya hivyo, tutapata nambari ambayo inaweza kugawanywa na 8 na 3, kwa mfano, 24. Hebu tulete sehemu kwa dhehebu 24, ili kufanya hivyo tunazidisha nambari na denominator ya sehemu kwa kizidishi cha ziada 3. Sababu ya ziada kawaida huandikwa upande wa kushoto juu ya nambari:

Zidisha nambari na dhehebu ya sehemu kwa kipengele cha ziada cha 8:

Wacha tulete sehemu kwa dhehebu la kawaida. Mara nyingi, sehemu ndogo hupunguzwa hadi denominator ya chini kabisa ya kawaida, ambayo ni kizidishi kidogo cha kawaida cha madhehebu ya sehemu zilizotolewa. Kwa kuwa LCM (8, 12) = 24, basi sehemu zinaweza kupunguzwa kwa denominator ya 24. Hebu tupate mambo ya ziada ya sehemu: 24: 8 = 3, 24:12 = 2. Kisha

Sehemu kadhaa zinaweza kupunguzwa kwa denominator ya kawaida.

Mfano. Wacha tulete sehemu kwa dhehebu la kawaida. Tangu 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, kisha LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Wacha tupate sababu za ziada za sehemu na kuzileta kwa dhehebu 150:

Ulinganisho wa sehemu

Katika Mtini. Mchoro 4.7 unaonyesha sehemu ya AB ya urefu 1. Imegawanywa katika sehemu 7 sawa. Sehemu ya AC ina urefu , na sehemu ya AD ina urefu .

Urefu wa sehemu ya AD ni kubwa kuliko urefu wa sehemu ya AC, i.e. sehemu ni kubwa kuliko sehemu.

Ya sehemu mbili zilizo na dhehebu la kawaida, moja iliyo na nambari kubwa ni kubwa zaidi, i.e.

Kwa mfano, au

Ili kulinganisha sehemu zote mbili, zipunguze kwa dhehebu la kawaida na kisha utumie sheria ya kulinganisha sehemu na denominator ya kawaida.

Mfano. Linganisha sehemu

Suluhisho. LCM (8, 14) = 56. Kisha Tangu 21> 20, basi

Ikiwa sehemu ya kwanza ni chini ya ya pili, na ya pili ni chini ya ya tatu, basi ya kwanza ni chini ya ya tatu.

Ushahidi. Acha sehemu tatu zitolewe. Wacha tuwalete kwenye dhehebu la kawaida. Wacha ionekane kama Kwa kuwa sehemu ya kwanza ni ndogo

pili, kisha r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Sehemu inaitwa sahihi, ikiwa nambari yake ni chini ya denominator yake.

Sehemu inaitwa vibaya, ikiwa nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator.

Kwa mfano, sehemu ni sawa na sehemu sio sawa.

Sehemu inayofaa ni chini ya 1, na sehemu isiyofaa ni kubwa kuliko au sawa na 1.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida (LCD) kati ya visehemu hivi visivyoweza kurekebishwa ni kizidishio kisichojulikana sana (LCM) cha vipunguzo vya sehemu hizi. ( tazama mada "Kupata nyingi zaidi ya kawaida":

Ili kupunguza sehemu hadi kiwango cha chini kabisa cha denominator, unahitaji: 1) kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha visehemu vya sehemu ulizopewa, kitakuwa kipunguzo cha kawaida zaidi. 2) tafuta kipengele cha ziada kwa kila sehemu kwa kugawanya denominator mpya na kiashiria cha kila sehemu. 3) kuzidisha nambari na denominator ya kila sehemu kwa sababu yake ya ziada.

Mifano. Punguza visehemu vifuatavyo hadi dhehebu lao la chini kabisa.

Tunapata kizidishio cha kawaida cha chini kabisa cha madhehebu: LCM(5; 4) = 20, kwa kuwa 20 ndiyo nambari ndogo ambayo inaweza kugawanywa na 5 na 4. Tafuta kwa sehemu ya 1 kipengele cha 4 cha ziada (20). : 5=4). Kwa sehemu ya 2 sababu ya ziada ni 5 (20 : 4=5). Tunazidisha nambari na denominator ya sehemu ya 1 na 4, na nambari na kiashiria cha sehemu ya 2 kwa 5. Tumepunguza sehemu hizi hadi denominator ya chini kabisa ( 20 ).

Denominator ya chini kabisa ya sehemu hizi ni nambari 8, kwani 8 inaweza kugawanywa na 4 na yenyewe. Hakutakuwa na sababu ya ziada kwa sehemu ya 1 (au tunaweza kusema kuwa ni sawa na moja), kwa sehemu ya 2 sababu ya ziada ni 2 (8). : 4=2). Tunazidisha nambari na denominator ya sehemu ya 2 kwa 2. Tumepunguza sehemu hizi hadi denominator ya chini kabisa ( 8 ).

Sehemu hizi haziwezi kupunguzwa.

Wacha tupunguze sehemu ya 1 na 4, na tupunguze sehemu ya 2 na 2. ( tazama mifano ya kupunguza sehemu za kawaida: Ramani ya tovuti → 5.4.2. Mifano ya kupunguza sehemu za kawaida) Tafuta LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Kizidishi cha ziada cha sehemu ya 1 ni 5 (80 : 16=5). Sababu ya ziada ya sehemu ya 2 ni 4 (80 : 20=4). Tunazidisha nambari na denominator ya sehemu ya 1 kwa 5, na nambari na kiashiria cha sehemu ya 2 kwa 4. Tumepunguza sehemu hizi hadi nambari ya chini kabisa ya kawaida ( 80 ).

Tunapata dhehebu la chini kabisa la kawaida NCD(5 ; 6 na 15)=NOK(5 ; 6 na 15)=30. Sababu ya ziada kwa sehemu ya 1 ni 6 (30 : 5=6), kipengele cha ziada kwa sehemu ya 2 ni 5 (30 : 6=5), kipengele cha ziada kwa sehemu ya 3 ni 2 (30 : 15=2). Tunazidisha nambari na denominator ya sehemu ya 1 na 6, nambari na denominator ya sehemu ya 2 na 5, nambari na denominator ya sehemu ya 3 kwa 2. Tumepunguza sehemu hizi hadi denominator ya chini kabisa ( 30 ).

Nakala hii inaelezea jinsi ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida na jinsi ya kupata dhehebu la chini kabisa. Ufafanuzi hutolewa, sheria ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida hutolewa, na mifano ya vitendo inazingatiwa.

Ni nini kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida?

Sehemu za kawaida zinajumuisha nambari - sehemu ya juu, na denominator - sehemu ya chini. Ikiwa sehemu zina dhehebu sawa, inasemekana kupunguzwa hadi denominator ya kawaida. Kwa mfano, sehemu 11 14, 17 14, 9 14 zina dhehebu sawa 14. Kwa maneno mengine, wao hupunguzwa kwa kawaida.

Ikiwa sehemu zina madhehebu tofauti, basi zinaweza kupunguzwa kwa kawaida kwa kutumia hatua rahisi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha nambari na denominator kwa sababu fulani za ziada.

Ni dhahiri kwamba sehemu 4 5 na 3 4 hazijapunguzwa kwa denominator ya kawaida. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutumia mambo ya ziada ya 5 na 4 ili kuwaleta kwa denominator ya 20. Jinsi ya kufanya hivyo hasa? Zidisha nambari na denominator ya sehemu 4 5 kwa 4, na zidisha nambari na denominator ya sehemu 3 4 kwa 5. Badala ya sehemu 4 5 na 3 4, tunapata 16 20 na 15 20, mtawaliwa.

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida ni kuzidisha kwa nambari na denominator ya sehemu kwa sababu ambazo matokeo yake ni sehemu zinazofanana na denominator sawa.

Denominator ya kawaida: ufafanuzi, mifano

Je! ni dhehebu gani la kawaida?

Denominator ya kawaida

Kiashiria cha kawaida cha sehemu ni nambari yoyote chanya ambayo ni kizidishio cha kawaida cha sehemu zote zilizotolewa.

Kwa maneno mengine, dhehebu la kawaida la seti fulani ya sehemu itakuwa nambari ya asili ambayo inaweza kugawanywa na madhehebu yote ya sehemu hizi bila salio.

Mfululizo wa nambari za asili hauna mwisho, na kwa hiyo, kwa ufafanuzi, kila seti ya sehemu za kawaida ina idadi isiyo na kipimo ya madhehebu ya kawaida. Kwa maneno mengine, kuna vizidishi vingi vya kawaida vya madhehebu yote ya seti asili ya sehemu.

Denominator ya kawaida kwa sehemu kadhaa ni rahisi kupata kwa kutumia ufafanuzi. Acha kuwe na sehemu 1 6 na 3 5. Kiashiria cha kawaida cha sehemu kitakuwa kizidishio chochote cha kawaida cha nambari 6 na 5. Vizidishi vyema vile vya kawaida ni nambari 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, na kadhalika.

Hebu tuangalie mfano.

Mfano 1. Denominator ya kawaida

Je, sehemu 1 3, 21 6, 5 12 zinaweza kuletwa kwa dhehebu moja, ambayo ni 150?

Ili kujua ikiwa hii ndio kesi, unahitaji kuangalia ikiwa 150 ni mgawo wa kawaida wa madhehebu ya sehemu, ambayo ni, kwa nambari 3, 6, 12. Kwa maneno mengine, nambari 150 lazima igawanywe na 3, 6, 12 bila salio. Hebu tuangalie:

150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12.5

Hii ina maana kwamba 150 sio dhehebu la kawaida la sehemu hizi.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida

Nambari ndogo zaidi ya asili kati ya madhehebu mengi ya kawaida ya seti ya sehemu inaitwa denominator ya kawaida zaidi.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida

Kiwango cha chini kabisa cha kawaida cha sehemu ni nambari ndogo zaidi kati ya madhehebu yote ya kawaida ya sehemu hizo.

Kigawanyaji cha kawaida zaidi cha seti fulani ya nambari ni kizidishio cha kawaida zaidi (LCM). LCM ya madhehebu yote ya sehemu ni denominator ndogo ya kawaida ya sehemu hizo.

Jinsi ya kupata dhehebu la chini kabisa la kawaida? Kuipata inakuja chini ya kupata idadi ndogo ya kawaida ya sehemu. Hebu tuangalie mfano:

Mfano 2: Tafuta dhehebu la chini kabisa la kawaida

Tunahitaji kupata kiashiria cha chini kabisa cha kawaida cha sehemu 1 10 na 127 28.

Tunatafuta LCM ya nambari 10 na 28. Wacha tuzingatie kwa sababu rahisi na tupate:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Jinsi ya kupunguza sehemu hadi denominator ya chini kabisa

Kuna sheria inayoelezea jinsi ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida. Kanuni ina pointi tatu.

Sheria ya kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Tafuta sehemu ya chini kabisa ya kawaida ya sehemu.
Tafuta sababu ya ziada kwa kila sehemu. Ili kupata kipengele, gawanya kiashiria cha chini kabisa cha kawaida kwa kiashiria cha kila sehemu.
Zidisha nambari na denominata kwa kipengele cha ziada kilichopatikana.

Hebu fikiria matumizi ya sheria hii kwa kutumia mfano maalum.

Mfano 3: Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida

Kuna sehemu 3 14 na 5 18. Wacha tuwapunguze hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida.

Kulingana na sheria, kwanza tunapata LCM ya madhehebu ya sehemu.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 N O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Tunahesabu vipengele vya ziada kwa kila sehemu. Kwa 3 14 kipengele cha ziada ni 126 ÷ 14 = 9, na kwa sehemu 5 18 kipengele cha ziada ni 126 ÷ 18 = 7.

Tunazidisha nambari na denominator ya sehemu kwa sababu za ziada na kupata:

3 · 9 14 · 9 = 27,126, 5 · 7 18 · 7 = 35,126.

Kupunguza sehemu nyingi hadi denominator yao ya chini kabisa

Kwa mujibu wa sheria inayozingatiwa, si tu jozi za sehemu, lakini pia idadi kubwa zaidi yao inaweza kupunguzwa kwa kawaida.

Hebu tutoe mfano mwingine.

Mfano 4: Kupunguza sehemu hadi kwa dhehebu la kawaida

Punguza sehemu 3 2 , 5 6 , 3 8 na 17 18 hadi denominator yao ya chini kabisa.

Wacha tuhesabu LCM ya madhehebu. Pata LCM ya nambari tatu au zaidi:

NOK (2, 6) = 6 NOK (6, 8) = 24 NOK (24, 18) = 72 NOK (2, 6, 8, 18) = 72

Kwa 3 2 sababu ya ziada ni 72 ÷ 2 = 36, kwa 5 6 sababu ya ziada ni 72 ÷ 6 = 12, kwa 3 8 sababu ya ziada ni 72 ÷ 8 = 9, hatimaye, kwa 17 18 sababu ya ziada ni 72 ÷ 18 = 4.

Tunazidisha sehemu kwa sababu za ziada na kwenda kwa dhehebu la chini kabisa:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Katika somo hili tutaangalia kupunguza sehemu kwa dhehebu moja na kutatua matatizo juu ya mada hii. Wacha tufafanue wazo la dhehebu la kawaida na sababu ya ziada, na ukumbuke juu ya nambari kuu. Hebu tufafanue dhana ya denominator ya chini kabisa (LCD) na kutatua matatizo kadhaa ili kuipata.

Mada: Kuongeza na kutoa sehemu na madhehebu tofauti

Somo: Kupunguza sehemu hadi dhehebu la kawaida

Kurudia. Mali kuu ya sehemu.

Ikiwa nambari na denominator ya sehemu zinazidishwa au kugawanywa na nambari sawa ya asili, unapata sehemu sawa.

Kwa mfano, nambari na denominator ya sehemu inaweza kugawanywa na 2. Tunapata sehemu. Operesheni hii inaitwa kupunguza sehemu. Unaweza pia kufanya mabadiliko ya kinyume kwa kuzidisha nambari na denominator ya sehemu na 2. Katika kesi hii, tunasema kwamba tumepunguza sehemu hadi denominator mpya. Nambari ya 2 inaitwa sababu ya ziada.

Hitimisho. Sehemu inaweza kupunguzwa hadi denominator yoyote ambayo ni mgawo wa kipunguzo cha sehemu iliyotolewa. Ili kuleta sehemu kwa denominator mpya, nambari yake na denominator huzidishwa na sababu ya ziada.

1. Punguza sehemu hadi dhehebu 35.

Nambari ya 35 ni mgawo wa 7, ambayo ni, 35 inaweza kugawanywa na 7 bila salio. Hii ina maana kwamba mabadiliko haya yanawezekana. Hebu tutafute sababu ya ziada. Ili kufanya hivyo, gawanya 35 kwa 7. Tunapata 5. Zidisha nambari na denominator ya sehemu ya asili na 5.

2. Punguza sehemu iwe denominata 18.

Hebu tutafute sababu ya ziada. Ili kufanya hivyo, gawanya denominator mpya na ile ya asili. Tunapata 3. Zidisha nambari na denominator ya sehemu hii kwa 3.

3. Punguza sehemu iwe dhehebu ya 60.

Kugawanya 60 kwa 15 kunatoa sababu ya ziada. Ni sawa na 4. Zidisha nambari na denomina kwa 4.

4. Punguza sehemu hadi dhehebu 24

Katika hali rahisi, kupunguzwa kwa denominator mpya hufanywa kiakili. Ni kawaida tu kuashiria sababu ya ziada nyuma ya mabano kidogo kulia na juu ya sehemu ya asili.

Sehemu inaweza kupunguzwa hadi dhehebu ya 15 na sehemu inaweza kupunguzwa hadi denominator ya 15. Visehemu pia vina kiashiria cha kawaida cha 15.

Kiashiria cha kawaida cha sehemu kinaweza kuwa kizidishio chochote cha kawaida cha madhehebu yao. Kwa unyenyekevu, sehemu ndogo hupunguzwa hadi denominator yao ya chini kabisa. Ni sawa na kizidishio kidogo cha kawaida cha madhehebu ya sehemu zilizotolewa.

Mfano. Punguza hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida cha sehemu na .

Kwanza, hebu tutafute kizidishio kidogo cha kawaida cha madhehebu ya sehemu hizi. Nambari hii ni 12. Hebu tupate sababu ya ziada kwa sehemu ya kwanza na ya pili. Ili kufanya hivyo, gawanya 12 kwa 4 na 6. Tatu ni sababu ya ziada kwa sehemu ya kwanza, na mbili ni ya pili. Wacha tulete sehemu kwenye dhehebu 12.

Tulileta sehemu kwa dhehebu la kawaida, ambayo ni, tulipata sehemu sawa ambazo zina dhehebu sawa.

Kanuni. Ili kupunguza sehemu kwa dhehebu lao la chini kabisa, lazima

Kwanza, tafuta kizidishio kidogo zaidi cha madhehebu ya sehemu hizi, itakuwa dhehebu lao lisilo la kawaida;

Pili, gawanya dhehebu la kawaida la chini kabisa na dhehebu la sehemu hizi, i.e. pata sababu ya ziada kwa kila sehemu.

Tatu, zidisha nambari na denominator ya kila sehemu kwa sababu yake ya ziada.

a) Punguza sehemu na kwa dhehebu moja.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida ni 12. Sababu ya ziada ya sehemu ya kwanza ni 4, kwa pili - 3. Tunapunguza sehemu hadi denominator 24.

b) Punguza sehemu na kwa dhehebu moja.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida ni 45. Kugawanya 45 kwa 9 kwa 15 hutoa 5 na 3, mtawalia. Tunapunguza sehemu hadi denominator 45.

c) Punguza sehemu na kwa dhehebu moja.

Denominator ya kawaida ni 24. Sababu za ziada ni 2 na 3, kwa mtiririko huo.

Wakati mwingine inaweza kuwa vigumu kupata kwa maneno kizidishio kidogo cha kawaida cha visehemu vilivyotolewa. Kisha dhehebu la kawaida na mambo ya ziada hupatikana kwa kutumia factorization kuu.

Punguza sehemu na kwa denominator ya kawaida.

Wacha tuzingatie nambari 60 na 168 kwa sababu kuu. Wacha tuandike upanuzi wa nambari 60 na uongeze sababu zinazokosekana 2 na 7 kutoka kwa upanuzi wa pili. Hebu tuzidishe 60 kwa 14 na kupata denominator ya kawaida ya 840. Sababu ya ziada ya sehemu ya kwanza ni 14. Sababu ya ziada ya sehemu ya pili ni 5. Hebu tulete sehemu kwa denominator ya kawaida ya 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. na wengine Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Hisabati darasa la 6. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nyuma ya kurasa za kitabu cha hisabati. - Mwangaza, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Kazi za kozi ya hisabati kwa darasa la 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Hisabati 5-6. Mwongozo kwa wanafunzi wa darasa la 6 katika shule ya mawasiliano ya MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. na wengine Hisabati: Kitabu cha kiada-interlocutor kwa madarasa 5-6 ya shule ya sekondari. Maktaba ya mwalimu wa hisabati. - Mwangaza, 1989.

Unaweza kupakua vitabu vilivyoainishwa katika kifungu cha 1.2. ya somo hili.

Kazi ya nyumbani

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. na wengine Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (kiungo tazama 1.2)

Kazi ya nyumbani: Nambari 297, Nambari 298, Nambari 300.

Kazi zingine: Nambari 270, Nambari 290