Sheria za msingi za nadharia ya uwezekano. Nadharia ya uwezekano

Mafundisho ya sheria zinazoongoza kinachojulikana. matukio ya nasibu. Kamusi maneno ya kigeni, iliyojumuishwa katika lugha ya Kirusi. Chudinov A.N., 1910 ... Kamusi ya maneno ya kigeni ya lugha ya Kirusi

nadharia ya uwezekano- [L.G. Sumenko. Kamusi ya Kiingereza-Kirusi juu ya teknolojia ya habari. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Mada Teknolojia ya habari kwa ujumla nadharia ya uwezekano wa EN ya hesabu ya uwezekano ... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi

Nadharia ya uwezekano- ni sehemu ya hisabati ambayo inasoma uhusiano kati ya uwezekano (angalia Uwezekano na Takwimu) wa matukio mbalimbali. Wacha tuorodheshe nadharia muhimu zaidi zinazohusiana na sayansi hii. uwezekano wa moja ya kadhaa si matukio ya pamoja sawa...... Kamusi ya encyclopedic F. Brockhaus na I.A. Efron

NADHARIA YA UWEZEKANO- hisabati sayansi ambayo inaruhusu, kutoka kwa uwezekano wa baadhi ya matukio ya nasibu (tazama), kupata uwezekano wa matukio ya nasibu yanayohusiana na k.l. njia na wale wa kwanza. T.v ya kisasa kulingana na axiomatics (angalia njia ya Axiomatic) na A. N. Kolmogorov. Kwenye…… Encyclopedia ya Kijamii ya Kirusi

Nadharia ya uwezekano- tawi la hisabati ambalo, kwa kuzingatia uwezekano uliopewa wa matukio fulani ya nasibu, uwezekano wa matukio mengine yanayohusiana kwa namna fulani hadi ya kwanza hupatikana. Nadharia ya uwezekano pia inasoma vigeuzo nasibu na michakato ya nasibu. Moja ya kuu...... Dhana sayansi ya kisasa ya asili. Kamusi ya maneno ya kimsingi

nadharia ya uwezekano- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nadharia ya uwezekano vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. nadharia ya uwezekano, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Nadharia ya Uwezekano- ... Wikipedia

Nadharia ya uwezekano- taaluma ya hisabati ambayo inasoma mifumo ya matukio ya nasibu ... Mwanzo wa sayansi ya kisasa ya asili

NADHARIA YA UWEZEKANO- (nadharia ya uwezekano) tazama Uwezekano... Kamusi kubwa ya ufafanuzi ya sosholojia

Nadharia ya uwezekano na matumizi yake- ("Nadharia ya uwezekano na matumizi yake",) Jarida la Sayansi Idara ya Hisabati ya Chuo cha Sayansi cha USSR. Inachapisha makala asili na ujumbe mfupi kulingana na nadharia ya uwezekano, masuala ya jumla takwimu za hisabati na matumizi yake katika sayansi asilia na... ... Kubwa Ensaiklopidia ya Soviet

Vitabu

Nadharia ya uwezekano. , Ventzel E.S.. Kitabu hiki ni kitabu cha kiada kilichokusudiwa watu wanaofahamu hisabati katika upeo wa kozi ya kawaida ya chuo kikuu na wanaovutiwa na matumizi ya kiufundi ya nadharia ya uwezekano, katika... Nunua kwa 1993 UAH (Ukrainia pekee)
Nadharia ya uwezekano. , Ventzel E.S.. Kitabu hiki kitatolewa kwa mujibu wa agizo lako kwa kutumia teknolojia ya Print-on-Demand. Kitabu hiki ni kitabu cha kiada kilichokusudiwa kwa watu wanaofahamu hisabati katika mawanda ya kawaida...

Uainishaji wa matukio kuwa yanayowezekana, yanayowezekana na ya nasibu. Dhana za hafla rahisi na ngumu za kimsingi. Operesheni kwenye matukio. Ufafanuzi wa kawaida uwezekano wa tukio la nasibu na sifa zake. Vipengele vya combinatorics katika nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa kijiometri. Mihimili ya nadharia ya uwezekano.

Uainishaji wa tukio

Moja ya dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni dhana ya tukio. Chini ya tukio kuelewa ukweli wowote unaoweza kutokea kama matokeo ya uzoefu au mtihani. Chini ya uzoefu, au mtihani, inahusu utekelezaji wa seti fulani ya masharti.

Mifano ya matukio:

Kuna isitoshe mifano inayofanana. Matukio yameteuliwa kwa herufi kubwa Alfabeti ya Kilatini na kadhalika.

Tofautisha matukio ya pamoja Na zisizopatana. Matukio huitwa pamoja ikiwa tukio la mmoja wao halizuii tukio la mwingine. KATIKA vinginevyo matukio huitwa yasiokubaliana. Kwa mfano, kete mbili hutupwa. Tukio - kupata pointi tatu kwa kwanza kete, tukio ni kupoteza pointi tatu kwenye kufa kwa pili. na - matukio ya pamoja. Hebu duka lipokee kundi la viatu vya mtindo na ukubwa sawa, lakini rangi tofauti. Tukio - sanduku lililochukuliwa kwa nasibu litakuwa na viatu nyeusi, tukio - sanduku litakuwa na viatu Brown, na ni matukio yasiyolingana.

Tukio hilo linaitwa kuaminika, ikiwa ni hakika kutokea chini ya masharti ya jaribio fulani.

Tukio linaitwa haliwezekani ikiwa haliwezi kutokea chini ya hali ya uzoefu fulani. Kwa mfano, tukio ambalo sehemu ya kawaida itachukuliwa kutoka kwa kundi la sehemu za kawaida ni ya kuaminika, lakini sehemu isiyo ya kawaida haiwezekani.

Tukio hilo linaitwa inawezekana, au nasibu, ikiwa ni matokeo ya uzoefu inaweza kuonekana, lakini inaweza kuonekana. Mfano wa tukio la nasibu litakuwa kitambulisho cha kasoro za bidhaa wakati wa ukaguzi wa kundi bidhaa za kumaliza, tofauti kati ya saizi ya bidhaa iliyochakatwa na ile iliyoainishwa, kutofaulu kwa moja ya viungo mfumo wa kiotomatiki usimamizi.

Matukio hayo yanaitwa kwa usawa iwezekanavyo, ikiwa, kwa mujibu wa masharti ya mtihani, hakuna matukio haya yanawezekana zaidi kuliko mengine. Kwa mfano, acha duka lipewe balbu (na in kiasi sawa) viwanda kadhaa vya utengenezaji. Matukio yanayohusu ununuzi wa balbu kutoka kwa mojawapo ya viwanda hivi yanawezekana kwa usawa.

Dhana muhimu ni kundi kamili la matukio. Matukio kadhaa katika fomu hii ya majaribio kundi kamili, ikiwa angalau mmoja wao ana uhakika wa kuonekana kama matokeo ya jaribio. Kwa mfano, urn ina mipira kumi, sita kati yao ni nyekundu, minne ni nyeupe, na mipira mitano ina namba. - kuonekana kwa mpira nyekundu na kuteka moja, - kuonekana kwa mpira mweupe, - kuonekana kwa mpira na nambari. Matukio huunda kundi kamili la matukio ya pamoja.

Hebu tuanzishe dhana ya tukio la kinyume, au la ziada. Chini ya kinyume Tukio linaeleweka kama tukio ambalo lazima litokee ikiwa tukio fulani halitokei. Matukio yanayopingana hayaendani na yanawezekana pekee. Wanaunda kundi kamili la matukio. Kwa mfano, ikiwa kundi la bidhaa za viwandani lina bidhaa nzuri na zenye kasoro, basi wakati bidhaa moja imeondolewa, inaweza kugeuka kuwa tukio zuri, au kasoro - tukio.

Operesheni kwenye matukio

Wakati wa kuunda kifaa na mbinu ya kusoma matukio ya nasibu katika nadharia ya uwezekano, wazo la jumla na bidhaa ya matukio ni muhimu sana.

Jumla, au muungano, wa matukio kadhaa ni tukio linalojumuisha kutokea kwa angalau moja ya matukio haya.

Jumla ya matukio yanaonyeshwa kama ifuatavyo:

Kwa mfano, ikiwa tukio linapiga shabaha kwa risasi ya kwanza, tukio - na ya pili, basi tukio linapiga lengo kwa ujumla, haijalishi ni risasi gani - ya kwanza, ya pili au zote mbili.

Bidhaa, au makutano, ya matukio kadhaa ni tukio linalojumuisha tukio la pamoja la matukio haya yote.

Uzalishaji wa matukio umeonyeshwa

Kwa mfano, ikiwa tukio ni kwamba shabaha imepigwa kwa risasi ya kwanza, tukio ni kwamba shabaha inapigwa kwa risasi ya pili, basi tukio ni kwamba lengo lilipigwa kwa risasi zote mbili.

Dhana za jumla na bidhaa za matukio zina tafsiri wazi ya kijiometri. Acha tukio lijumuishe hatua ya kuingia katika eneo, tukio linajumuisha kuingia katika mkoa, kisha tukio linajumuisha hatua ya kuingia kwenye eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 1, na tukio ni wakati hatua inagonga eneo lenye kivuli kwenye Mtini. 2.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano wa tukio la nasibu

Ili kulinganisha matukio kulingana na kiwango cha uwezekano wa kutokea kwao, kipimo cha nambari kinaletwa, kinachoitwa uwezekano wa tukio.

Uwezekano wa tukio ni nambari inayoonyesha kipimo cha uwezekano wa lengo la kutokea kwa tukio.

Uwezekano wa tukio utaonyeshwa na ishara.

Uwezekano wa tukio ni sawa na uwiano wa idadi ya kesi zinazokubalika kwake, kati ya jumla ya kesi zinazowezekana, zinazowezekana kwa usawa na zisizolingana kwa idadi. i.e.

Huu ni ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano. Kwa hivyo, ili kupata uwezekano wa tukio, ni muhimu, baada ya kuzingatia matokeo mbalimbali ya mtihani, kupata seti ya kesi za kipekee zinazowezekana, zinazowezekana na zisizokubaliana, kuhesabu jumla ya idadi yao, idadi ya kesi zinazofaa kwa kupewa. tukio, na kisha fanya hesabu kwa kutumia formula (1.1).

Kutoka kwa fomula (1.1) inafuata kwamba uwezekano wa tukio ni nambari isiyo hasi na inaweza kutofautiana kutoka sifuri hadi moja kulingana na idadi inayofaa ya kesi ni ya jumla ya idadi ya kesi:

Sifa za Uwezekano

Mali 1. Ikiwa kesi zote zinafaa kwa tukio fulani, basi tukio hili hakika litatokea. Kwa hivyo, tukio linalohusika ni la kuaminika, na uwezekano wa kutokea kwake ni, kwani katika kesi hii.

Mali 2. Ikiwa hakuna kesi moja inayofaa kwa tukio fulani, basi tukio hili haliwezi kutokea kama matokeo ya uzoefu. Kwa hivyo, tukio linalohusika haliwezekani, na uwezekano wa kutokea kwake ni, kwani katika kesi hii:

Mali 3. Uwezekano wa kutokea kwa matukio ambayo huunda kundi kamili ni sawa na moja.

Mali 4. Uwezekano wa kutokea kwa tukio kinyume huamuliwa kwa njia sawa na uwezekano wa tukio la tukio:

ambapo ni idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio la kinyume. Kwa hivyo uwezekano wa tukio tofauti kutokea ni sawa na tofauti kati ya umoja na uwezekano wa tukio kutokea:

Faida muhimu ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano wa tukio ni kwamba kwa msaada wake uwezekano wa tukio unaweza kuamua bila kutumia uzoefu, lakini kwa kuzingatia hoja za kimantiki.

Mfano 1. Wakati wa kupiga nambari ya simu, mteja alisahau tarakimu moja na akaipiga bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba nambari sahihi imepigwa.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe tukio ambalo nambari inayohitajika inapigwa. Msajili anaweza kupiga nambari yoyote kati ya 10, kwa hivyo jumla ya nambari matokeo iwezekanavyo ni sawa na 10. Matokeo haya ndiyo pekee yanayowezekana (moja ya namba lazima iingizwe) na kwa usawa iwezekanavyo (nambari lazima iingizwe kwa nasibu). Tokeo moja tu linapendelea tukio (kuna nambari moja tu inayohitajika). Uwezekano unaohitajika ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio na idadi ya matokeo yote:

Vipengele vya combinatorics

Katika nadharia ya uwezekano, uwekaji, vibali na mchanganyiko hutumiwa mara nyingi. Ikiwa seti imetolewa, basi uwekaji (mchanganyiko) ya vipengele na ni seti ndogo yoyote iliyopangwa (isiyopangwa) ya vipengele vya seti. Inapowekwa inaitwa kupanga upya kutoka kwa vipengele.

Hebu, kwa mfano, upewe seti. Uwekaji wa vipengele vitatu vya seti hii ya mbili ni , , , , , ; mchanganyiko - , , .

Mchanganyiko mbili hutofautiana katika angalau kipengele kimoja, na uwekaji hutofautiana ama katika vipengele vyenyewe au kwa utaratibu ambao wanaonekana. Idadi ya mchanganyiko wa vipengele huhesabiwa na fomula

ni idadi ya uwekaji wa vipengele kwa; - idadi ya vibali vya vipengele.

Mfano 2. Katika kundi la sehemu 10 kuna 7 za kawaida. Tafuta uwezekano kwamba kati ya sehemu 6 zilizochukuliwa bila mpangilio kuna 4 haswa za kawaida.

Suluhisho. Jumla ya matokeo ya mtihani yanawezekana ni sawa na idadi ya njia ambazo sehemu 6 zinaweza kutolewa kutoka 10, yaani, sawa na idadi ya mchanganyiko wa vipengele 10 vya 6. Idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio (kati ya 6). sehemu zilizochukuliwa kuna zile 4 za kawaida) imedhamiriwa kama ifuatavyo: Sehemu 4 za kawaida zinaweza kuchukuliwa kutoka kwa sehemu 7 za kawaida kwa njia tofauti; katika kesi hii, sehemu zilizobaki lazima ziwe zisizo za kawaida; Kuna njia za kuchukua sehemu 2 zisizo za kawaida kutoka kwa sehemu zisizo za kawaida. Kwa hivyo, idadi ya matokeo mazuri ni sawa na . Uwezekano wa awali ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio na idadi ya matokeo yote:

Ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano

Fomula (1.1) inatumika kwa hesabu ya moja kwa moja uwezekano wa matukio tu wakati uzoefu umepunguzwa kwa muundo wa kesi. Katika mazoezi, ufafanuzi wa classical wa uwezekano mara nyingi hautumiki kwa sababu mbili: kwanza, ufafanuzi wa classical wa uwezekano unadhani kuwa jumla ya idadi ya kesi lazima iwe na mwisho. Kwa kweli, mara nyingi sio mdogo. Pili, mara nyingi haiwezekani kuwasilisha matokeo ya jaribio kwa namna ya matukio yanayowezekana na yasiyolingana.

Mzunguko wa kutokea kwa matukio wakati wa Majaribio yanayorudiwa huwa na utulivu karibu na thamani fulani isiyobadilika. Hivyo, baadhi thamani ya kudumu, ambayo masafa yameunganishwa na ambayo ni sifa ya uunganisho wa lengo kati ya seti ya masharti ambayo majaribio yanafanywa na tukio hilo.

Uwezekano wa tukio nasibu ni nambari ambayo masafa ya tukio hili huwekwa katika makundi kadri idadi ya majaribio inavyoongezeka.

Ufafanuzi huu wa uwezekano unaitwa takwimu.

Faida njia ya takwimu Ufafanuzi wa uwezekano ni kwamba unategemea jaribio la kweli. Hata hivyo, drawback yake muhimu ni kwamba kuamua uwezekano ni muhimu kufanya idadi kubwa uzoefu ambao mara nyingi huhusishwa nao gharama za nyenzo. Uamuzi wa kitakwimu wa uwezekano wa tukio, ingawa unaonyesha kikamilifu maudhui ya dhana hii, haufanyi iwezekane kukokotoa uwezekano huo.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano unazingatia kundi kamili nambari ya mwisho matukio yanayowezekana kwa usawa. Katika mazoezi, mara nyingi sana idadi ya matokeo ya mtihani iwezekanavyo ni usio. Katika hali kama hizi, ufafanuzi wa classical wa uwezekano hautumiki. Hata hivyo, wakati mwingine katika hali hiyo unaweza kutumia njia nyingine ya kuhesabu uwezekano. Kwa uhakika, tunajiwekea kikomo kwa kesi ya pande mbili.

Hebu eneo fulani la eneo , ambalo lina eneo lingine la eneo, lipewe kwenye ndege (Mchoro 3). Kitone hutupwa kwenye eneo bila mpangilio. Kuna uwezekano gani kwamba hatua itaanguka katika mkoa? Inachukuliwa kuwa hatua iliyotupwa bila mpangilio inaweza kugonga hatua yoyote katika mkoa, na uwezekano wa kupiga sehemu yoyote ya mkoa ni sawia na eneo la sehemu hiyo na haitegemei eneo na sura yake. Katika kesi hii, uwezekano wa kuingia katika eneo hilo

Kwa hivyo, katika kesi ya jumla, ikiwa uwezekano wa kuonekana kwa random ya uhakika ndani ya eneo fulani kwenye mstari wa moja kwa moja, ndege au katika nafasi imedhamiriwa si kwa nafasi ya eneo hili na mipaka yake, lakini tu kwa ukubwa wake, yaani urefu, eneo au kiasi, basi hit uwezekano hatua ya nasibu ndani ya eneo fulani hufafanuliwa kama uwiano wa saizi ya eneo hili na saizi ya eneo lote ambalo linaweza kuonekana. kupewa point. Iko pale ufafanuzi wa kijiometri uwezekano.

Mfano 3. Lengo la pande zote linazunguka na mara kwa mara kasi ya angular. Moja ya tano ya lengo ni rangi ya kijani, na wengine ni nyeupe (Mchoro 4). Risasi inapigwa kwenye shabaha kwa namna ambayo kugonga shabaha ni tukio la kutegemewa. Inahitajika kubainisha uwezekano wa kugonga sekta inayolengwa iliyotiwa rangi rangi ya kijani.

Suluhisho. Wacha tuashiria "risasi iligonga sekta ya rangi ya kijani." Kisha. Uwezekano unapatikana kama uwiano wa eneo la sehemu ya lengo lililopakwa rangi ya kijani kwa eneo lote la lengo, kwani kugonga kwa sehemu yoyote ya lengo kunawezekana kwa usawa.

Mihimili ya nadharia ya uwezekano

Kutoka ufafanuzi wa takwimu uwezekano wa tukio nasibu inafuata kwamba uwezekano wa tukio ni nambari ambayo masafa yaliyotazamwa kwa majaribio ya tukio hili yamepangwa. Kwa hiyo, axioms ya nadharia ya uwezekano huletwa ili uwezekano wa tukio uwe na sifa za msingi za mzunguko.

Axiom 1. Kila tukio linalingana nambari fulani, kukidhi hali na kuitwa uwezekano wake.

Mama aliosha sura

Mwishoni mwa muda mrefu likizo za majira ya joto ni wakati wa kurudi polepole kwa hisabati ya juu na kufungua faili tupu ya Verdov ili kuanza kuunda sehemu mpya - . Ninakubali, mistari ya kwanza sio rahisi, lakini hatua ya kwanza ni nusu ya njia, kwa hivyo ninapendekeza kila mtu asome kwa uangalifu. makala ya utangulizi, baada ya hapo kusimamia mada itakuwa rahisi mara 2! Mimi si kutia chumvi hata kidogo. …Katika usiku wa kuamkia Septemba 1 ijayo, nakumbuka darasa la kwanza na darasa la kwanza…. Herufi huunda silabi, silabi kuwa maneno, maneno ndani sentensi fupi- Mama aliosha sura. Kukabiliana na terver na takwimu za hisabati rahisi kama kujifunza kusoma! Hata hivyo, kwa hili unahitaji kujua maneno muhimu, dhana na uteuzi, pamoja na baadhi sheria maalum, ambayo somo hili limetolewa.

Lakini kwanza, tafadhali ukubali pongezi zangu juu ya mwanzo (mwendelezo, kukamilika, kumbuka inavyofaa) mwaka wa shule na ukubali zawadi. Zawadi bora ni kitabu, na kwa kazi ya kujitegemea Ninapendekeza fasihi ifuatayo:

1) Gmurman V.E. Nadharia ya Uwezekano na Takwimu za Hisabati

Hadithi mafunzo, ambayo ilipitia nakala zaidi ya kumi. Inatofautishwa na ufahamu wake na uwasilishaji rahisi sana wa nyenzo, na sura za kwanza zinapatikana kabisa, nadhani, tayari kwa wanafunzi katika darasa la 6-7.

2) Gmurman V.E. Mwongozo wa kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati

Kitabu cha suluhisho na Vladimir Efimovich sawa na mifano ya kina na shida.

LAZIMA pakua vitabu vyote viwili kutoka kwa Mtandao au upate nakala zao za karatasi! Toleo la miaka ya 60 na 70 pia litafanya kazi, ambayo ni bora zaidi kwa dummies. Ingawa maneno "nadharia ya uwezekano wa dummies" inasikika kama ujinga, kwani karibu kila kitu ni mdogo kwa msingi. shughuli za hesabu. Wanaruka, hata hivyo, katika maeneo derivatives Na viungo, lakini hii ni katika maeneo tu.

Nitajaribu kufikia uwazi sawa wa uwasilishaji, lakini lazima nionye kwamba kozi yangu inalenga kutatua tatizo na mahesabu ya kinadharia yanawekwa kwa kiwango cha chini. Kwa hivyo, ikiwa unahitaji nadharia ya kina, uthibitisho wa nadharia (nadharia-nadharia!), tafadhali rejelea kitabu cha kiada. Naam, nani anataka jifunze kutatua matatizo katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati zaidi muda mfupi , Nifuate!

Inatosha kuanza =)

Unaposoma makala, inashauriwa kujijulisha (angalau kwa ufupi) na kazi za ziada aina zinazozingatiwa. Kwenye ukurasa Suluhisho zilizotengenezwa tayari kwa hisabati ya juu Pdf zinazolingana na mifano ya suluhisho zitatumwa. Usaidizi mkubwa pia utatolewa IDZ 18.1 Ryabushko(rahisi) na ilitatua IDZ kulingana na mkusanyiko wa Chudesenko(ngumu zaidi).

1) Kiasi matukio mawili na tukio linaitwa ambalo ni kwamba litatokea au tukio au tukio au matukio yote mawili kwa wakati mmoja. Katika tukio hilo matukio zisizopatana, chaguo la mwisho hupotea, yaani, inaweza kutokea au tukio au tukio.

Sheria pia inatumika kwa kiasi kikubwa masharti, kwa mfano, tukio ndicho kitakachotokea hata moja kutoka kwa matukio , A ikiwa matukio hayaendani – basi jambo moja na jambo moja tu tukio kutoka kwa kiasi hiki: au tukio, au tukio, au tukio, au tukio, au tukio.

Kuna mifano mingi:

Matukio (wakati wa kutupa kete, pointi 5 hazitaonekana) ni nini kitaonekana au 1, au 2, au 3, au 4, au 6 pointi.

Tukio (itashuka hakuna zaidi pointi mbili) ni kwamba 1 itaonekana au 2pointi.

Tukio (mapenzi idadi sawa pointi) ndio kitakachovingirishwa au 2 au 4 au 6 pointi.

Tukio hilo ni kwamba kadi nyekundu (moyo) itatolewa kutoka kwenye staha au ngoma), na tukio - kwamba "picha" itatolewa (jack au mwanamke au mfalme au ace).

Kinachovutia zaidi ni kesi na matukio ya pamoja:

Tukio ni kwamba klabu itatolewa kutoka kwenye staha au saba au saba za vilabu Kulingana na ufafanuzi uliotolewa hapo juu, angalau kitu- au klabu yoyote au saba au "makutano" yao - saba ya vilabu. Ni rahisi kuhesabu kwamba tukio hili linalingana na matokeo 12 ya msingi (kadi 9 za klabu + 3 zilizobaki saba).

Tukio ni kwamba kesho saa 12.00 itakuja ANGALAU MOJA ya matukio ya pamoja yanayoweza kufahamika, yaani:

- au kutakuwa na mvua tu / tu na radi / jua tu;
- au tu baadhi ya matukio yatatokea (mvua + radi / mvua + jua / radi + jua);
- au matukio yote matatu yatatokea kwa wakati mmoja.

Hiyo ni, tukio hilo linajumuisha matokeo 7 iwezekanavyo.

Nguzo ya pili ya aljebra ya matukio:

2) Kazi matukio mawili na kuita tukio ambalo linajumuisha kutokea kwa pamoja kwa matukio haya, kwa maneno mengine, kuzidisha kunamaanisha kuwa chini ya hali fulani kutakuwa na Na tukio, Na tukio. Taarifa kama hiyo ni kweli kwa idadi kubwa ya matukio, kwa mfano, kazi inamaanisha kuwa chini ya hali fulani itatokea. Na tukio, Na tukio, Na tukio,…, Na tukio.

Fikiria jaribio ambalo sarafu mbili hutupwa na matukio yafuatayo:

- vichwa vitaonekana kwenye sarafu ya 1;
- sarafu ya 1 itatua vichwa;
- vichwa vitaonekana kwenye sarafu ya 2;
- sarafu ya 2 itatua vichwa.

Kisha:
Na juu ya 2) vichwa vitaonekana;
- tukio ni kwamba kwenye sarafu zote mbili (tarehe 1 Na tarehe 2) itakuwa vichwa;
- tukio ni kwamba sarafu ya 1 itatua vichwa Na sarafu ya 2 ni mikia;
- tukio ni kwamba sarafu ya 1 itatua vichwa Na kwenye sarafu ya 2 kuna tai.

Ni rahisi kuona matukio hayo zisizopatana (kwa sababu, kwa mfano, haiwezi kuwa vichwa 2 na mikia 2 kwa wakati mmoja) na fomu kundi kamili (tangu kuzingatiwa Wote matokeo yanayowezekana ya kurusha sarafu mbili). Hebu tufanye muhtasari wa matukio haya:. Jinsi ya kutafsiri ingizo hili? Rahisi sana - njia ya kuzidisha kiunganishi cha kimantiki NA, na nyongeza - AU. Kwa hivyo kiasi ni rahisi kusoma na kueleweka lugha ya binadamu: “vichwa viwili vitatokea au vichwa viwili au sarafu ya 1 itatua vichwa Na kwenye mikia ya 2 au sarafu ya 1 itatua vichwa Na kwenye sarafu ya 2 kuna tai"

Huu ulikuwa mfano wakati katika mtihani mmoja vitu kadhaa vinahusika, kwa kesi hii- sarafu mbili. Mwingine wa kawaida katika matatizo ya vitendo oh mchoro ni kupima tena , wakati, kwa mfano, kufa sawa hupigwa mara 3 mfululizo. Kama onyesho, zingatia matukio yafuatayo:

- katika kutupa 1 utapata pointi 4;
- katika kutupa 2 utapata pointi 5;
- katika kutupa 3 utapata pointi 6.

Kisha tukio ni kwamba katika kutupa 1 utapata pointi 4 Na katika kutupa 2 utapata pointi 5 Na kwenye safu ya 3 utapata alama 6. Ni wazi, katika kesi ya mchemraba kutakuwa na mchanganyiko zaidi (matokeo) kuliko ikiwa tungetupa sarafu.

...Naelewa kuwa labda hawaelewi vizuri mifano ya kuvutia, lakini haya ni mambo ambayo mara nyingi hukutana na matatizo na hakuna kuepuka kutoka kwao. Kwa kuongezea sarafu, mchemraba na staha ya kadi, mikoba iliyo na mipira ya rangi nyingi, watu kadhaa wasiojulikana wakifyatua shabaha, na mfanyakazi asiyechoka ambaye anasaga kila wakati maelezo fulani yanakungoja =)

Uwezekano wa tukio

Uwezekano wa tukio ni dhana kuu ya nadharia ya uwezekano. ...Jambo la kimantiki la kuua, lakini ilitubidi kuanza mahali fulani =) Kuna njia kadhaa za ufafanuzi wake:

;
Ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano ;
Ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano .

Katika makala hii nitazingatia ufafanuzi wa classical wa uwezekano, ambao hutumiwa sana katika kazi za elimu.

Uteuzi. Uwezekano wa tukio fulani umeonyeshwa kama juu Barua ya Kilatini, na tukio lenyewe linachukuliwa kwenye mabano, likifanya kama aina ya hoja. Kwa mfano:

Pia, herufi ndogo hutumiwa sana kuashiria uwezekano. Hasa, unaweza kuachana na uteuzi mbaya wa matukio na uwezekano wao kwa ajili ya mtindo ufuatao:

- uwezekano kwamba sarafu itasababisha vichwa;
- uwezekano kwamba roll ya kete itasababisha alama 5;
- uwezekano kwamba kadi ya suti ya klabu itachorwa kutoka kwenye sitaha.

Chaguo hili maarufu wakati wa kutatua matatizo ya vitendo, kwa vile inakuwezesha kupunguza kwa kiasi kikubwa kurekodi kwa suluhisho. Kama ilivyo katika kesi ya kwanza, ni rahisi kutumia "kuzungumza" subscripts / superscripts hapa.

Kila mtu amekisia kwa muda mrefu nambari ambazo nimeandika hapo juu, na sasa tutajua jinsi zilivyotokea:

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano:

Uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio fulani huitwa ratio , ambapo:

- jumla ya idadi ya wote kwa usawa iwezekanavyo, msingi matokeo ya mtihani huu, ambayo ni kundi kamili la matukio;

- wingi msingi matokeo, nzuri tukio.

Wakati wa kutupa sarafu, vichwa au mikia inaweza kuanguka - matukio haya huunda kundi kamili, hivyo, jumla ya idadi ya matokeo; wakati huo huo, kila mmoja wao msingi Na kwa usawa iwezekanavyo. Tukio hilo linapendelewa na matokeo (vichwa). Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano: .

Vile vile, kama matokeo ya kutupa kifo, matokeo ya msingi yanayowezekana yanaweza kuonekana, na kuunda kikundi kamili, na tukio hilo linapendekezwa na matokeo moja (kusonga tano). Ndiyo maana: HII HAIKUBALIKI KUFANYA (ingawa hairuhusiwi kukadiria asilimia kichwani mwako).

Ni kawaida kutumia sehemu za kitengo, na, kwa wazi, uwezekano unaweza kutofautiana ndani ya . Aidha, kama , basi tukio ni haiwezekani, Kama - kuaminika, na kama , basi tunazungumzia nasibu tukio.

! Ikiwa, wakati wa kutatua shida yoyote, unapata dhamana nyingine ya uwezekano, tafuta kosa!

Katika mbinu ya classical ili kuamua uwezekano, maadili yaliyokithiri (sifuri na moja) hupatikana kupitia hoja sawa. Ruhusu mpira 1 uchorwe bila mpangilio kutoka kwa urn fulani iliyo na mipira 10 nyekundu. Fikiria matukio yafuatayo:

katika jaribio moja tukio la uwezekano mdogo halitatokea.

Hii ndio sababu hautapiga jackpot kwenye bahati nasibu ikiwa uwezekano wa tukio hili ni, sema, 0.00000001. Ndiyo, ndiyo, ni wewe - na tiketi pekee katika mzunguko fulani. Walakini, idadi kubwa ya tikiti na idadi kubwa ya michoro haitakusaidia sana. ...Ninapowaambia wengine kuhusu hili, karibu kila mara nasikia nikijibu: “lakini mtu anashinda.” Sawa, basi tufanye jaribio lifuatalo: tafadhali nunua tikiti ya bahati nasibu yoyote leo au kesho (usichelewe!). Na ikiwa unashinda ... vizuri, angalau zaidi ya kilorubles 10, hakikisha kujiandikisha - nitaelezea kwa nini hii ilitokea. Kwa asilimia, bila shaka =) =)

Lakini hakuna haja ya kuwa na huzuni, kwa sababu kuna kanuni kinyume: ikiwa uwezekano wa tukio fulani ni karibu sana na moja, basi katika jaribio moja itakuwa. karibu uhakika itatokea. Kwa hiyo, kabla ya kuruka na parachute, hakuna haja ya kuogopa, kinyume chake, tabasamu! Baada ya yote, hali zisizofikirika kabisa na za ajabu lazima zitokee kwa parachuti zote mbili kushindwa.

Ingawa haya yote ni maneno, kwani kulingana na yaliyomo kwenye hafla hiyo, kanuni ya kwanza inaweza kugeuka kuwa ya kufurahisha, na ya pili - ya kusikitisha; au hata zote mbili ziko sambamba.

Labda hiyo inatosha kwa sasa, darasani Matatizo ya uwezekano wa classical tutafaidika zaidi na fomula. Katika sehemu ya mwisho ya makala hii tutazingatia moja nadharia muhimu:

Jumla ya uwezekano wa matukio ambayo huunda kikundi kamili ni sawa na moja. Kwa kusema, ikiwa matukio yanaunda kikundi kamili, basi kwa uwezekano wa 100% moja yao kutokea. Katika sana kesi rahisi kikundi kamili huundwa na matukio tofauti, kwa mfano:

- kama matokeo ya sarafu ya sarafu, vichwa vitatokea;
- matokeo ya kutupwa kwa sarafu yatakuwa vichwa.

Kulingana na nadharia:

Ni wazi kabisa kwamba matukio haya yanawezekana kwa usawa na uwezekano wao ni sawa .

Kwa sababu ya usawa wa uwezekano, matukio yanayowezekana kwa usawa mara nyingi huitwa uwezekano sawa . Na hapa kuna kizunguzungu cha ulimi kwa kuamua kiwango cha ulevi =)

Mfano na mchemraba: matukio ni kinyume, kwa hiyo .

Nadharia inayozingatiwa ni rahisi kwa kuwa hukuruhusu kupata haraka uwezekano wa tukio la kinyume. Kwa hivyo, ikiwa uwezekano kwamba tano imevingirwa inajulikana, ni rahisi kuhesabu uwezekano kwamba haijavingirishwa:

Hii ni rahisi zaidi kuliko muhtasari wa uwezekano wa matokeo matano ya kimsingi. Kwa matokeo ya msingi, kwa njia, nadharia hii pia ni kweli:
. Kwa mfano, ikiwa kuna uwezekano kwamba mpiga risasi atapiga lengo, basi kuna uwezekano kwamba atakosa.

! Katika nadharia ya uwezekano, haifai kutumia herufi kwa madhumuni mengine yoyote.

Kwa heshima ya Siku ya Maarifa, sitauliza kazi ya nyumbani=), lakini ni muhimu sana kwamba unaweza kujibu maswali yanayofuata:

- Ni aina gani za matukio zilizopo?
- Ni nini nafasi na uwezekano sawa wa tukio?
- Je, unaelewaje masharti ya utangamano/kutopatana kwa matukio?
- Je! ni kundi gani kamili la matukio, matukio kinyume?
- Je, kujumlisha na kuzidisha matukio kunamaanisha nini?
- Ni nini kiini cha ufafanuzi wa classical wa uwezekano?
- Kwa nini nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio ambayo huunda kikundi kamili ni muhimu?

Hapana, hauitaji kulazimisha chochote, haya ni misingi tu ya nadharia ya uwezekano - aina ya primer ambayo itatoshea haraka kichwani mwako. Na kwa hili kutokea haraka iwezekanavyo, napendekeza ujitambulishe na masomo

UTANGULIZI

Mambo mengi hatuyaelewi si kwa sababu dhana zetu ni dhaifu;
lakini kwa sababu mambo haya hayajajumuishwa katika anuwai ya dhana zetu.
Kozma Prutkov

Kusudi kuu la kusoma hisabati katika taasisi za elimu ya sekondari ni kuwapa wanafunzi seti ya maarifa na ustadi wa hisabati muhimu kwa kusoma taaluma zingine za programu zinazotumia hesabu kwa digrii moja au nyingine, kwa uwezo wa kufanya mahesabu ya vitendo, kwa malezi na maendeleo. ya kufikiri kimantiki.

Katika kazi hii, dhana zote za msingi za sehemu ya hisabati "Misingi ya Nadharia ya Uwezekano na Takwimu za Hisabati", iliyotolewa na programu na Viwango vya Kielimu vya Jimbo la Elimu ya Sekondari ya Ufundi (Wizara ya Elimu ya Shirikisho la Urusi. M., 2002). ), huletwa mara kwa mara, nadharia kuu zimeundwa, ambazo nyingi hazijathibitishwa. Shida kuu na njia za kuzitatua na teknolojia za kutumia njia hizi kutatua shida za vitendo zinazingatiwa. Uwasilishaji unaambatana na maoni ya kina na mifano mingi.

Maagizo ya kimbinu yanaweza kutumika kwa kufahamiana kwa awali na nyenzo zinazosomwa, wakati wa kuchukua maelezo juu ya mihadhara, kujiandaa kwa madarasa ya vitendo, kuunganisha maarifa, ujuzi na uwezo uliopatikana. Kwa kuongezea, mwongozo huo pia utakuwa muhimu kwa wanafunzi wa shahada ya kwanza kama zana ya kumbukumbu, kuwaruhusu kukumbuka haraka kile kilichosomwa hapo awali.

Mwishoni mwa kazi kuna mifano na kazi ambazo wanafunzi wanaweza kufanya katika hali ya kujidhibiti.

Miongozo hiyo inalenga wanafunzi wa muda na wa kutwa.

DHANA ZA MSINGI

Nadharia ya uwezekano inachunguza mwelekeo wa lengo la matukio mengi ya nasibu. Yeye hutokea kuwa msingi wa kinadharia kwa takwimu za hisabati, ambayo inahusika na maendeleo ya mbinu za kukusanya, kuelezea na usindikaji wa matokeo ya uchunguzi. Kupitia uchunguzi (vipimo, majaribio), i.e. uzoefu katika kwa maana pana maneno, ujuzi wa matukio ya ulimwengu wa kweli hutokea.

Kwake shughuli za vitendo Mara nyingi tunakutana na matukio ambayo matokeo yake hayawezi kutabiriwa, matokeo ambayo inategemea bahati.

Tukio la nasibu linaweza kuwa na sifa ya uwiano wa idadi ya matukio yake kwa idadi ya majaribio, katika kila moja ambayo, chini ya hali sawa ya majaribio yote, inaweza kutokea au kutofanyika.

Nadharia ya uwezekano ni tawi la hisabati ambamo matukio ya nasibu (matukio) huchunguzwa na ruwaza hutambulika yanaporudiwa kwa wingi.

Takwimu za hisabati ni tawi la hisabati ambalo hujishughulisha na utafiti wa mbinu za kukusanya, kupanga, kuchakata na kutumia data za takwimu kupata hitimisho la kisayansi na kufanya maamuzi.

Katika kesi hii, data ya takwimu inaeleweka kama seti ya nambari zinazowakilisha sifa za kiasi cha sifa za vitu vinavyosomwa ambavyo vinatuvutia. Data ya takwimu hupatikana kama matokeo ya majaribio na uchunguzi maalum iliyoundwa.

Takwimu za takwimu kwa asili yao inategemea nyingi sababu za nasibu Kwa hiyo, takwimu za hisabati zinahusiana kwa karibu na nadharia ya uwezekano, ambayo ni msingi wake wa kinadharia.

I. UWEZEKANO. NADHARIA ZA KUONGEZA NA KUZIDISHA UWEZO

1.1. Dhana za kimsingi za combinatorics

Katika tawi la hisabati, ambalo linaitwa combinatorics, baadhi ya matatizo yanayohusiana na kuzingatia seti na muundo wa mchanganyiko mbalimbali wa vipengele vya seti hizi hutatuliwa. Kwa mfano, ikiwa tutachukua nambari 10 tofauti 0, 1, 2, 3,: , 9 na kufanya mchanganyiko wao, tutapata. nambari tofauti, kwa mfano 143, 431, 5671, 1207, 43, nk.

Tunaona kwamba baadhi ya mchanganyiko huu hutofautiana tu kwa utaratibu wa tarakimu (kwa mfano, 143 na 431), wengine - katika tarakimu zilizojumuishwa ndani yao (kwa mfano, 5671 na 1207), na wengine pia hutofautiana katika idadi ya tarakimu. (kwa mfano, 143 na 43).

Kwa hivyo, mchanganyiko unaotokana hukidhi hali mbalimbali.

Kulingana na sheria za muundo, aina tatu za mchanganyiko zinaweza kutofautishwa: vibali, uwekaji, mchanganyiko.

Hebu kwanza tufahamiane na dhana ya kiwandani.

Bidhaa ya wote nambari za asili kutoka 1 hadi n pamoja huitwa n-kipengele na kuandika.

Kuhesabu: a) ; b); V) .

Suluhisho. A) .

b) Tangu , basi tunaweza kuiweka nje ya mabano

Kisha tunapata

V) .

Mipangilio upya.

Mchanganyiko wa vipengele vya n ambavyo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa utaratibu wa vipengele huitwa permutation.

Ruhusa zinaonyeshwa na ishara P n , ambapo n ni idadi ya vipengele vilivyojumuishwa katika kila kibali. ( R- barua ya kwanza ya neno la Kifaransa ruhusa- kupanga upya).

Idadi ya vibali inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula

au kwa kutumia factorial:

Tukumbuke hilo 0!=1 na 1!=1.

Mfano 2. Ni kwa njia ngapi vitabu sita tofauti vinaweza kupangwa kwenye rafu moja?

Suluhisho. Nambari inayotakiwa ya njia ni sawa na idadi ya vibali vya vipengele 6, i.e.

Nafasi.

Machapisho kutoka m vipengele katika n katika kila mmoja, misombo hiyo inaitwa ambayo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja ama kwa vipengele wenyewe (angalau moja), au kwa utaratibu wa mpangilio wao.

Uwekaji unaonyeshwa na ishara, wapi m- idadi ya vitu vyote vinavyopatikana, n- idadi ya vipengele katika kila mchanganyiko. ( A- barua ya kwanza Neno la Kifaransa mpangilio, ambayo ina maana "kuweka, kuweka kwa utaratibu").

Wakati huo huo, inaaminika kuwa nm.

Idadi ya uwekaji inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula

hizo. idadi ya nafasi zote zinazowezekana kutoka m vipengele kwa n ni sawa na bidhaa n nambari kamili zinazofuatana, ambazo kubwa zaidi ni m.

Wacha tuandike fomula hii kwa fomu ya ukweli:

Mfano 3. Ni chaguzi ngapi za kusambaza vocha tatu kwa sanatoriums za wasifu mbalimbali zinaweza kukusanywa kwa waombaji watano?

Suluhisho. Nambari inayotakiwa ya chaguo ni sawa na idadi ya uwekaji wa vipengele 5 vya vipengele 3, i.e.

Mchanganyiko.

Mchanganyiko wote ni mchanganyiko unaowezekana wa m vipengele kwa n, ambayo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa angalau kipengele kimoja (hapa m Na n- nambari za asili, na n m).

Idadi ya mchanganyiko wa m vipengele kwa n zinaashiriwa na ( NA- herufi ya kwanza ya neno la Kifaransa mchanganyiko- mchanganyiko).

Kwa ujumla, idadi ya m vipengele kwa n sawa na idadi ya uwekaji kutoka m vipengele kwa n, imegawanywa na idadi ya vibali kutoka n vipengele:

Kwa kutumia fomula za ukweli kwa nambari za uwekaji na vibali, tunapata:

Mfano 4. Katika timu ya watu 25, unahitaji kutenga wanne kufanya kazi katika eneo fulani. Je, hili linaweza kufanywa kwa njia ngapi?

Suluhisho. Kwa kuwa utaratibu wa watu wanne waliochaguliwa haijalishi, kuna njia za kufanya hivyo.

Tunapata kwa kutumia fomula ya kwanza

Kwa kuongezea, wakati wa kutatua shida, fomula zifuatazo hutumiwa, kuelezea mali ya msingi ya mchanganyiko:

(kwa ufafanuzi wanadhani na);

1.2. Kutatua matatizo ya pamoja

Kazi 1. Kuna masomo 16 yaliyosomwa katika kitivo. Unahitaji kuweka masomo 3 kwenye ratiba yako ya Jumatatu. Je, hili linaweza kufanywa kwa njia ngapi?

Suluhisho. Kuna njia nyingi za kuratibu vitu vitatu kati ya 16 unavyoweza kupanga uwekaji wa vipengee 16 kwa 3.

Kazi ya 2. Kati ya vitu 15, unahitaji kuchagua vitu 10. Je, hili linaweza kufanywa kwa njia ngapi?

Kazi ya 3. Timu nne zilishiriki katika mashindano. Ni chaguzi ngapi za kusambaza viti kati yao zinawezekana?

Tatizo la 4. Je, doria ya askari watatu na afisa mmoja inaweza kuundwa kwa njia ngapi ikiwa kuna askari 80 na maafisa 3?

Suluhisho. Unaweza kuchagua askari kwenye doria

njia, na maafisa kwa njia. Kwa kuwa afisa yeyote anaweza kwenda na kila timu ya askari, kuna njia nyingi tu.

Kazi ya 5. Tafuta, kama inajulikana hivyo.

Tangu, tunapata

Kwa ufafanuzi wa mchanganyiko inafuata kwamba , . Hiyo. .

1.3. Dhana ya tukio la nasibu. Aina za matukio. Uwezekano wa tukio

Kitendo chochote, uzushi, uchunguzi na matokeo kadhaa tofauti, yanayotekelezwa chini ya seti fulani ya masharti, itaitwa. mtihani.

Matokeo ya kitendo hiki au uchunguzi unaitwa tukio .

Ikiwa tukio kupewa masharti inaweza kutokea au isitokee, inaitwa nasibu . Wakati tukio ni hakika kutokea, inaitwa kuaminika , na katika kesi wakati ni wazi haiwezi kutokea, - haiwezekani.

Matukio hayo yanaitwa zisizopatana , ikiwa ni mmoja tu anayewezekana kuonekana kila wakati.

Matukio hayo yanaitwa pamoja , ikiwa, chini ya hali fulani, tukio la moja ya matukio haya halizuii tukio la mwingine wakati wa mtihani huo.

Matukio hayo yanaitwa kinyume , ikiwa chini ya hali ya mtihani wao, kuwa matokeo pekee, hayaendani.

Matukio kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa za alfabeti ya Kilatini: A, B, C, D, : .

Mfumo kamili wa matukio A 1, A 2, A 3, :, A n ni seti ya matukio yasiyolingana, tukio la angalau moja ambayo ni wajibu wakati wa mtihani uliotolewa.

Ikiwa mfumo kamili una matukio mawili yasiyolingana, basi matukio hayo huitwa kinyume na huteuliwa A na .

Mfano. Sanduku lina mipira 30 yenye nambari. Amua ni matukio gani kati ya yafuatayo hayawezekani, ya kuaminika, au kinyume:

akatoa mpira wa namba (A);

alipata mpira na nambari sawa (NDANI);

alipata mpira na nambari isiyo ya kawaida (NA);

alipata mpira bila nambari (D).

Ni nani kati yao anayeunda kundi kamili?

Suluhisho . A- tukio la kuaminika; D- tukio lisilowezekana;

Katika na NA- matukio kinyume.

Kundi kamili la matukio linajumuisha A Na D, V Na NA.

Uwezekano wa tukio unazingatiwa kama kipimo cha uwezekano wa lengo la kutokea kwa tukio la nasibu.

1.4. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

Nambari inayoonyesha kipimo cha uwezekano wa lengo la tukio kutokea inaitwa uwezekano tukio hili na inaonyeshwa na ishara R (A).

Ufafanuzi. Uwezekano wa tukio A inaitwa uwiano wa idadi ya matokeo m yanayofaa kwa shambulio hilo ya tukio hili A, kwa nambari n matokeo yote (yasiyokubaliana, inawezekana tu na kwa usawa iwezekanavyo), i.e. .

Kwa hivyo, ili kupata uwezekano wa tukio, ni muhimu, baada ya kuzingatia matokeo mbalimbali ya mtihani, kuhesabu matokeo yote yanayoweza kutofautiana. n, chagua idadi ya matokeo m tunayopendezwa nayo na uhesabu uwiano m Kwa n.

Tabia zifuatazo zinafuata kutoka kwa ufafanuzi huu:

Uwezekano wa jaribio lolote ni nambari isiyo hasi isiyozidi moja.

Hakika, nambari ya m ya matukio yanayohitajika iko ndani ya . Kugawanya sehemu zote mbili ndani n, tunapata

2. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja, kwa sababu .

3. Uwezekano tukio lisilowezekana ni sawa na sifuri kwa sababu .

Tatizo 1. Katika bahati nasibu ya tikiti 1000, kuna 200 zilizoshinda. Tikiti moja hutolewa bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba tikiti hii ni mshindi?

Suluhisho. Jumla ya idadi ya matokeo tofauti ni n=1000. Idadi ya matokeo yanayofaa kushinda ni m=200. Kulingana na formula, tunapata

Tatizo 2. Katika kundi la sehemu 18 kuna 4 zenye kasoro. Sehemu 5 huchaguliwa kwa nasibu. Tafuta uwezekano kwamba sehemu mbili kati ya hizi 5 zitakuwa na kasoro.

Suluhisho. Idadi ya matokeo huru yanayowezekana kwa usawa n sawa na idadi ya mchanganyiko wa 18 kwa 5 i.e.

Wacha tuhesabu nambari m inayopendelea tukio A. Kati ya sehemu 5 zilizochukuliwa bila mpangilio, lazima kuwe na 3 nzuri na 2 zenye kasoro. Idadi ya njia za kuchagua sehemu mbili zenye kasoro kutoka kwa zilizopo 4 zenye kasoro ni sawa na idadi ya mchanganyiko wa 4 kwa 2:

Idadi ya njia za kuchagua sehemu tatu za ubora kutoka sehemu 14 zilizopo za ubora ni sawa na

Kikundi chochote cha sehemu nzuri kinaweza kuunganishwa na kikundi chochote cha sehemu zenye kasoro, hivyo jumla ya idadi ya mchanganyiko m kiasi cha

Uwezekano unaohitajika wa tukio A ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo m yanayokubalika kwa tukio hili na nambari n ya matokeo huru yanayowezekana kwa usawa:

Jumla ya idadi maalum ya matukio ni tukio linalojumuisha kutokea kwa angalau moja yao.

Jumla ya matukio mawili yanaonyeshwa na ishara A+B, na jumla n matukio yenye ishara A 1 +A 2 + : +A n.

Nadharia ya kuongeza uwezekano.

Uwezekano wa jumla ya matukio mawili yasiyolingana ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya.

Muhimu 1. Ikiwa tukio A 1 , A 2 , : ,A n fomu mfumo kamili, basi jumla ya uwezekano wa matukio haya ni sawa na moja.

Corollary 2. Jumla ya uwezekano wa matukio kinyume na ni sawa na moja.

Tatizo 1. Kuna tikiti 100 za bahati nasibu. Inajulikana kuwa tikiti 5 zinashinda rubles 20,000, tikiti 10 zinashinda rubles 15,000, tikiti 15 zinashinda rubles 10,000, tikiti 25 zinashinda rubles 2,000. na hakuna chochote kwa wengine. Pata uwezekano kwamba tikiti iliyonunuliwa itapata ushindi wa angalau rubles 10,000.

Suluhisho. Acha A, B, na C iwe matukio yanayojumuisha ukweli kwamba tikiti iliyonunuliwa inapata ushindi sawa na rubles 20,000, 15,000, na 10,000, mtawaliwa. kwani matukio A, B na C hayaendani, basi

Kazi 2. Imewashwa za ziada shule ya ufundi hupokea majaribio katika hisabati kutoka mijini A, B Na NA. Uwezekano wa kupokea mtihani kutoka kwa jiji A sawa na 0.6, kutoka mji KATIKA- 0.1. Tafuta uwezekano kwamba ijayo mtihani watakuja kutoka mjini NA.

Wengi, wanapokabiliwa na dhana ya "nadharia ya uwezekano," wanaogopa, wakifikiri kwamba ni kitu kikubwa, ngumu sana. Lakini kila kitu kwa kweli sio cha kusikitisha sana. Leo tutaangalia dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano na kujifunza jinsi ya kutatua matatizo kwa kutumia mifano maalum.

Sayansi

Tawi la hisabati kama "nadharia ya uwezekano" linasoma nini? Anabainisha muundo na kiasi. Wanasayansi walianza kupendezwa na suala hili nyuma katika karne ya kumi na nane, waliposoma kamari. Dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio. Ni ukweli wowote unaothibitishwa na uzoefu au uchunguzi. Lakini uzoefu ni nini? Dhana nyingine ya msingi ya nadharia ya uwezekano. Ina maana kwamba seti hii ya hali iliundwa si kwa bahati, lakini kwa kusudi maalum. Kuhusu uchunguzi, hapa mtafiti mwenyewe hashiriki katika majaribio, lakini ni shahidi tu wa matukio haya; yeye haiathiri kile kinachotokea kwa njia yoyote.

Matukio

Tulijifunza kwamba dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio, lakini hatukuzingatia uainishaji. Wote wamegawanywa katika makundi yafuatayo:

Kutegemewa.
Haiwezekani.
Nasibu.

Bila kujali ni aina gani ya matukio, kuzingatiwa au kuundwa wakati wa uzoefu, wote wako chini ya uainishaji huu. Tunakualika ufahamiane na kila aina tofauti.

Tukio la kuaminika

Hii ni hali ambayo seti muhimu ya hatua imechukuliwa. Ili kuelewa kiini vizuri, ni bora kutoa mifano michache. Fizikia, kemia, uchumi, na hisabati ya juu. Nadharia ya uwezekano inajumuisha hii dhana muhimu kama tukio la kuaminika. Hapa kuna baadhi ya mifano:

Tunafanya kazi na kupokea fidia kwa njia ya mshahara.
Tulifaulu mitihani vizuri, tukafaulu mashindano, kwa hili tunapokea thawabu kwa njia ya kuandikishwa taasisi ya elimu.
Tuliwekeza pesa kwenye benki, na ikiwa ni lazima, tutazirudisha.

Matukio kama haya ni ya kuaminika. Ikiwa tumekamilisha kila kitu masharti muhimu, basi hakika tutapata matokeo yanayotarajiwa.

Matukio yasiyowezekana

Sasa tunazingatia vipengele vya nadharia ya uwezekano. Tunapendekeza kuendelea na maelezo ya aina inayofuata ya tukio, ambayo ni haiwezekani. Kuanza, hebu tueleze zaidi kanuni muhimu- uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Mtu hawezi kuachana na uundaji huu wakati wa kutatua matatizo. Kwa ufafanuzi, hapa kuna mifano ya matukio kama haya:

Maji yaliganda kwa joto la pamoja na kumi (hii haiwezekani).
Ukosefu wa umeme hauathiri uzalishaji kwa njia yoyote (kama haiwezekani kama katika mfano uliopita).

Haifai kutoa mifano zaidi, kwani zile zilizoelezewa hapo juu zinaonyesha wazi kiini cha kitengo hiki. Tukio lisilowezekana halitawahi kutokea wakati wa jaribio chini ya hali yoyote.

Matukio Nasibu

Kusoma vipengele vya nadharia ya uwezekano, Tahadhari maalum thamani ya kuzingatia aina hii matukio. Hawa ndio anasoma sayansi hii. Kama matokeo ya uzoefu, kitu kinaweza kutokea au kutofanyika. Kwa kuongeza, mtihani unaweza kufanywa idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Mifano wazi inaweza kutumika:

Kurushwa kwa sarafu ni uzoefu au mtihani, kutua kwa vichwa ni tukio.
Kutoa mpira nje ya begi kwa upofu ni mtihani; kupata mpira mwekundu ni tukio, na kadhalika.

Kunaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya mifano hiyo, lakini, kwa ujumla, kiini kinapaswa kuwa wazi. Kwa muhtasari na kupanga maarifa yaliyopatikana kuhusu matukio, jedwali limetolewa. Nadharia ya uwezekano inachunguza aina ya mwisho tu ya yote yaliyowasilishwa.

Jina	ufafanuzi
Kutegemewa	Matukio ambayo hutokea kwa dhamana ya 100% ikiwa hali fulani zimetimizwa.	Kuandikishwa kwa taasisi ya elimu baada ya kufaulu mtihani wa kuingia vizuri.
Haiwezekani	Matukio ambayo hayatawahi kutokea kwa hali yoyote.	Kuna theluji kwenye joto la hewa la nyuzi joto thelathini zaidi.
Nasibu	Tukio ambalo linaweza kutokea au lisitokee wakati wa jaribio/jaribio.	Kupiga au kukosa wakati wa kurusha mpira wa vikapu kwenye hoop.

Sheria

Nadharia ya uwezekano ni sayansi inayochunguza uwezekano wa tukio kutokea. Kama wengine, ina sheria fulani. Kuna sheria zifuatazo za nadharia ya uwezekano:

Muunganiko wa mfuatano wa vigeu vya nasibu.
Sheria ya idadi kubwa.

Wakati wa kuhesabu uwezekano wa kitu ngumu, unaweza kutumia seti ya matukio rahisi ili kufikia matokeo kwa njia rahisi na ya haraka. Kumbuka kuwa sheria zinaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia fulani. Tunashauri kwamba kwanza ujue sheria ya kwanza.

Muunganiko wa mfuatano wa vigeu vya nasibu

Kumbuka kuwa kuna aina kadhaa za muunganisho:

Mlolongo wa vigeu vya nasibu huungana katika uwezekano.
Karibu haiwezekani.
Maana ya muunganiko wa mraba.
Muunganiko wa usambazaji.

Kwa hivyo, mara moja, ni ngumu sana kuelewa kiini. Hapa kuna ufafanuzi ambao utakusaidia kuelewa mada hii. Wacha tuanze na mtazamo wa kwanza. Mlolongo unaitwa kuungana kwa uwezekano, ikiwa imekutana hali inayofuata: n huwa na ukomo, nambari ambayo mlolongo huelekea ni kubwa kuliko sifuri na karibu na moja.

Hebu tuendelee mtazamo unaofuata,karibu hakika. Mlolongo huo unasemekana kuungana karibu hakika kwa kutofautisha nasibu na n kuelekeza kwa infinity na P kuelekeza thamani karibu na umoja.

Aina inayofuata ni maana ya muunganiko wa mraba. Wakati wa kutumia muunganisho wa SC, kusoma vekta michakato ya nasibu inakuja chini ya kusoma michakato yao ya kuratibu nasibu.

Aina ya mwisho inabaki, hebu tuiangalie kwa ufupi ili tuweze kusonga moja kwa moja kutatua matatizo. Muunganisho katika usambazaji una jina lingine - "dhaifu", na tutaelezea kwa nini baadaye. Muunganiko dhaifu ni muunganisho wa chaguo za kukokotoa za usambazaji katika sehemu zote za mwendelezo wa chaguo za kukokotoa za usambazaji.

Kwa hakika tutatimiza ahadi yetu: muunganiko hafifu hutofautiana na yote yaliyo hapo juu kwa hilo thamani ya nasibu haijafafanuliwa kwenye nafasi ya uwezekano. Hii inawezekana kwa sababu hali huundwa kwa kutumia vitendaji vya usambazaji pekee.

Sheria ya Nambari Kubwa

Nadharia za nadharia ya uwezekano, kama vile:

Ukosefu wa usawa wa Chebyshev.
Nadharia ya Chebyshev.
Nadharia ya jumla ya Chebyshev.
Nadharia ya Markov.

Ikiwa tutazingatia nadharia hizi zote, basi swali hili inaweza kudumu kwa karatasi kadhaa. Kazi yetu kuu ni kutumia nadharia ya uwezekano katika vitendo. Tunapendekeza ufanye hivi sasa hivi. Lakini kabla ya hapo, wacha tuangalie axioms ya nadharia ya uwezekano; watakuwa wasaidizi wakuu katika kutatua shida.

Axioms

Tayari tulikutana na wa kwanza tulipozungumza juu ya tukio lisilowezekana. Hebu tukumbuke: uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri. Tulitoa mfano wazi sana na wa kukumbukwa: theluji ilianguka kwenye joto la hewa la digrii thelathini za Celsius.

Ya pili inasikika kwa njia ifuatayo: tukio fulani hutokea kwa uwezekano, sawa na moja. Sasa tutaonyesha jinsi ya kuandika hii kwa kutumia lugha ya hisabati: P(B)=1.

Cha tatu: Tukio la nasibu inaweza au isitokee, lakini uwezekano daima ni kati ya sifuri hadi moja. Vipi thamani ya karibu kwa moja, nafasi kubwa zaidi; ikiwa thamani inakaribia sifuri, uwezekano ni mdogo sana. Wacha tuandike hii kwa lugha ya hisabati: 0<Р(С)<1.

Wacha tuchunguze axiom ya mwisho, ya nne, ambayo inasikika kama hii: uwezekano wa jumla ya matukio mawili ni sawa na jumla ya uwezekano wao. Tunaiandika kwa lugha ya hisabati: P(A+B)=P(A)+P(B).

Axioms ya nadharia ya uwezekano ni sheria rahisi ambazo si vigumu kukumbuka. Wacha tujaribu kutatua shida kadhaa kulingana na maarifa ambayo tayari tumeshapata.

Tikiti ya bahati nasibu

Kwanza, hebu tuangalie mfano rahisi zaidi - bahati nasibu. Fikiria kuwa umenunua tikiti moja ya bahati nasibu kwa bahati nzuri. Je, ni uwezekano gani kwamba utashinda angalau rubles ishirini? Kwa jumla, tikiti elfu zinashiriki katika mzunguko, moja ambayo ina tuzo ya rubles mia tano, kumi kati yao wana rubles mia kila mmoja, hamsini wana tuzo ya rubles ishirini, na mia moja wana tuzo ya tano. Matatizo ya uwezekano ni msingi wa kutafuta uwezekano wa bahati. Sasa pamoja tutachambua suluhisho la kazi hapo juu.

Ikiwa tunatumia barua A ili kuashiria ushindi wa rubles mia tano, basi uwezekano wa kupata A utakuwa sawa na 0.001. Tulipataje hili? Unahitaji tu kugawanya idadi ya tikiti za "bahati" kwa jumla ya nambari zao (katika kesi hii: 1/1000).

B ni ushindi wa rubles mia moja, uwezekano utakuwa 0.01. Sasa tulitenda kwa kanuni sawa na katika hatua ya awali (10/1000)

C - ushindi ni rubles ishirini. Tunapata uwezekano, ni sawa na 0.05.

Hatupendezwi na tikiti zilizosalia, kwani hazina yao ya zawadi ni ndogo kuliko ile iliyoainishwa katika hali. Hebu tutumie axiom ya nne: Uwezekano wa kushinda angalau rubles ishirini ni P (A) + P (B) + P (C). Herufi P inaashiria uwezekano wa kutokea kwa tukio fulani; tayari tumezipata katika vitendo vya awali. Kilichobaki ni kuongeza data muhimu, na jibu tunalopata ni 0.061. Nambari hii itakuwa jibu la swali la kazi.

Kitanda cha kadi

Matatizo katika nadharia ya uwezekano yanaweza kuwa magumu zaidi; kwa mfano, hebu tuchukue kazi ifuatayo. Mbele yako ni staha ya kadi thelathini na sita. Kazi yako ni kuteka kadi mbili mfululizo bila kuchanganya stack, kadi ya kwanza na ya pili lazima aces, suti haijalishi.

Kwanza, hebu tupate uwezekano kwamba kadi ya kwanza itakuwa ace, kwa hili tunagawanya nne na thelathini na sita. Wakaiweka pembeni. Tunachukua kadi ya pili, itakuwa ace na uwezekano wa thelathini na tano. Uwezekano wa tukio la pili inategemea kadi gani tulichora kwanza, tunashangaa ikiwa ilikuwa ace au la. Inafuata kutokana na hili kwamba tukio B linategemea tukio A.

Hatua inayofuata ni kupata uwezekano wa tukio la wakati mmoja, yaani, tunazidisha A na B. Bidhaa zao hupatikana kama ifuatavyo: tunazidisha uwezekano wa tukio moja kwa uwezekano wa masharti ya mwingine, ambayo tunahesabu, kwa kudhani kuwa ya kwanza. tukio lilitokea, yaani, tulichora ace na kadi ya kwanza.

Ili kuweka kila kitu wazi, wacha tutoe jina la kitu kama matukio. Inakokotolewa ikizingatiwa kuwa tukio A limetokea. Imehesabiwa kama ifuatavyo: P (B/A).

Hebu tuendelee kutatua tatizo letu: P(A * B) = P(A) * P(B/A) au P(A *B) = P(B) *P(A/B). Uwezekano ni sawa na (4/36) * ((3/35)/(4/36).Tunakokotoa kwa kuzungusha hadi mia moja iliyo karibu.Tuna: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09. Uwezekano kwamba tutachora ekari mbili kwa safu ni mia tisa. Thamani ni ndogo sana, basi uwezekano wa tukio kutokea ni mdogo sana.

Nambari iliyosahaulika

Tunapendekeza kuchanganua anuwai kadhaa zaidi za kazi ambazo zinasomwa na nadharia ya uwezekano. Tayari umeona mifano ya kutatua baadhi yao katika makala hii. Hebu jaribu kutatua tatizo lifuatalo: kijana alisahau tarakimu ya mwisho ya namba ya simu ya rafiki yake, lakini kwa kuwa simu ilikuwa muhimu sana, alianza kupiga kila kitu moja kwa moja. . Tunahitaji kuhesabu uwezekano kwamba hataita zaidi ya mara tatu. Suluhisho la tatizo ni rahisi zaidi ikiwa kanuni, sheria na mihimili ya nadharia ya uwezekano inajulikana.

Kabla ya kuangalia suluhisho, jaribu kutatua mwenyewe. Tunajua kuwa nambari ya mwisho inaweza kuwa kutoka sifuri hadi tisa, ambayo ni, maadili kumi kwa jumla. Uwezekano wa kupata moja sahihi ni 1/10.

Ifuatayo, tunahitaji kuzingatia chaguzi za asili ya tukio, tuseme kwamba mvulana alikisia sawa na mara moja akaandika sahihi, uwezekano wa tukio kama hilo ni 1/10. Chaguo la pili: simu ya kwanza inakosa, na ya pili iko kwenye lengo. Wacha tuhesabu uwezekano wa tukio kama hilo: kuzidisha 9/10 na 1/9, na matokeo yake pia tunapata 1/10. Chaguo la tatu: simu za kwanza na za pili ziligeuka kuwa kwenye anwani mbaya, tu na ya tatu mvulana alifika mahali alipotaka. Tunahesabu uwezekano wa tukio kama hilo: 9/10 ikizidishwa na 8/9 na 1/8, na kusababisha 1/10. Hatuna nia ya chaguzi nyingine kulingana na hali ya tatizo, kwa hiyo tunapaswa tu kuongeza matokeo yaliyopatikana, mwisho tunayo 3/10. Jibu: uwezekano kwamba mvulana ataita si zaidi ya mara tatu ni 0.3.

Kadi zilizo na nambari

Kuna kadi tisa mbele yako, ambayo kila nambari kutoka kwa moja hadi tisa imeandikwa, nambari hazirudiwa. Waliwekwa kwenye sanduku na kuchanganywa vizuri. Unahitaji kuhesabu uwezekano huo

nambari ya usawa itaonekana;
tarakimu mbili.

Kabla ya kuendelea na suluhisho, hebu tufafanue kwamba m ni idadi ya kesi zilizofanikiwa, na n ni jumla ya chaguo. Wacha tupate uwezekano kwamba nambari itakuwa sawa. Haitakuwa vigumu kuhesabu kuwa kuna namba nne hata, hii itakuwa m yetu, kuna chaguzi tisa zinazowezekana kwa jumla, yaani, m = 9. Kisha uwezekano ni 0.44 au 4/9.

Hebu fikiria kesi ya pili: idadi ya chaguzi ni tisa, na hawezi kuwa na matokeo mafanikio wakati wote, yaani, m sawa na sifuri. Uwezekano kwamba kadi iliyochorwa itakuwa na nambari ya tarakimu mbili pia ni sifuri.