Unda ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano. Uwezekano wa jumla ya matukio ya pamoja

TAASISI YA ELIMU YA MANISPAA

GYMNASIUM Namba 6

juu ya mada "Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano."

Imekamilishwa na mwanafunzi wa darasa la 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Mwalimu wa hisabati: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Michezo mingi hutumia kete. Mchemraba una pande 6, kila upande una idadi tofauti ya dots zilizowekwa alama juu yake - kutoka 1 hadi 6. Mchezaji hupiga kete na kuangalia ni dots ngapi kwenye upande ulioanguka (upande ulio juu) . Mara nyingi, alama kwenye uso wa mchemraba hubadilishwa na nambari inayolingana na kisha wanazungumza juu ya kusambaza 1, 2 au 6. Kutupa kufa kunaweza kuzingatiwa kuwa jaribio, jaribio, jaribio, na matokeo yaliyopatikana ni. matokeo ya mtihani au tukio la msingi. Watu wana nia ya nadhani tukio la hili au tukio hilo na kutabiri matokeo yake. Je, ni ubashiri gani wanaweza kufanya wanapokunja kete? Kwa mfano, hizi:

  1. tukio A-nambari 1, 2, 3, 4, 5 au 6 imeviringishwa;
  2. tukio B-nambari 7, 8 au 9 imevingirwa;
  3. tukio C-nambari 1 inaonekana.

Tukio A, lililotabiriwa katika kesi ya kwanza, hakika litatokea. Kwa ujumla, tukio ambalo hakika litatokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la kuaminika.

Tukio B, lililotabiriwa katika kesi ya pili, halitatokea kamwe, haiwezekani. Kwa ujumla, tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio lisilowezekana.

Na tukio C, lililotabiriwa katika kesi ya tatu, litatokea au la? Hatuwezi kujibu swali hili kwa uhakika kamili, kwani 1 inaweza au isitoke. Tukio ambalo linaweza kutokea au haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la nasibu.

Wakati wa kufikiria juu ya tukio la tukio la kuaminika, uwezekano mkubwa hatutatumia neno "pengine". Kwa mfano, ikiwa leo ni Jumatano, basi kesho ni Alhamisi, hii ni tukio la kuaminika. Siku ya Jumatano hatutasema: "Labda kesho ni Alhamisi," tutasema kwa ufupi na wazi: "Kesho ni Alhamisi." Kweli, ikiwa tuna mwelekeo wa misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Kwa uwezekano wa asilimia mia moja ninasema kesho ni Alhamisi." Kinyume chake, ikiwa leo ni Jumatano, basi kuanza kwa Ijumaa kesho ni tukio lisilowezekana. Tukitathmini tukio hili Jumatano, tunaweza kusema hivi: "Nina hakika kwamba kesho sio Ijumaa." Au hii: "Inashangaza kwamba kesho ni Ijumaa." Kweli, ikiwa tunakabiliwa na misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Uwezekano kwamba kesho ni Ijumaa ni sifuri." Kwa hivyo, tukio la kuaminika ni tukio ambalo hufanyika chini ya hali fulani na uwezekano wa asilimia mia moja(yaani, kutokea katika kesi 10 kati ya 10, katika kesi 100 kati ya 100, nk). Tukio lisilowezekana ni tukio ambalo halijawahi kutokea chini ya hali fulani, tukio na uwezekano wa sifuri.

Lakini, kwa bahati mbaya (na labda kwa bahati nzuri), si kila kitu katika maisha ni wazi na sahihi: itakuwa daima (tukio fulani), haitakuwa kamwe (tukio lisilowezekana). Mara nyingi tunakabiliwa na matukio ya nasibu, ambayo baadhi yake yanawezekana zaidi, mengine yanawezekana kidogo. Kawaida watu hutumia maneno "uwezekano mkubwa" au "uwezekano mdogo", kama wanasema, kwa hiari, kutegemea kile kinachoitwa akili ya kawaida. Lakini mara nyingi makadirio kama haya yanageuka kuwa hayatoshi, kwani ni muhimu kujua kwa muda gani asilimia pengine tukio la nasibu au mara ngapi tukio moja la nasibu lina uwezekano zaidi kuliko lingine. Kwa maneno mengine, tunahitaji usahihi kiasi sifa, unahitaji kuwa na uwezo wa kubainisha uwezekano na nambari.

Tayari tumechukua hatua za kwanza katika mwelekeo huu. Tulisema kwamba uwezekano wa tukio fulani kutokea unaonyeshwa kama asilimia mia moja, na uwezekano wa tukio lisilowezekana kutokea ni kama sufuri. Ikizingatiwa kuwa 100% ni sawa na 1, watu walikubaliana juu ya yafuatayo:

  1. uwezekano wa tukio la kuaminika unachukuliwa kuwa sawa 1;
  2. uwezekano wa tukio lisilowezekana inachukuliwa kuwa sawa 0.

Jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio la nasibu? Baada ya yote, ilitokea bahati mbaya, kumaanisha kuwa haitii sheria, kanuni au kanuni. Inabadilika kuwa katika ulimwengu wa bahati nasibu sheria fulani zinatumika ambazo huruhusu mtu kuhesabu uwezekano. Hili ndilo tawi la hisabati linaloitwa - nadharia ya uwezekano.

Hisabati inahusika na mfano jambo fulani la ukweli unaotuzunguka. Kati ya mifano yote inayotumiwa katika nadharia ya uwezekano, tutajiwekea kikomo kwa rahisi zaidi.

Mpango wa kawaida wa uwezekano

Ili kupata uwezekano wa tukio A wakati wa kufanya jaribio fulani, unapaswa:

1) pata nambari N ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili;

2) kukubali dhana ya uwezekano sawa (uwezekano sawa) wa matokeo haya yote;

3) pata nambari N (A) ya matokeo hayo ya majaribio ambayo tukio A hutokea;

4) pata mgawo ; itakuwa sawa na uwezekano wa tukio A.

Ni desturi kuashiria uwezekano wa tukio A: P (A). Maelezo ya jina hili ni rahisi sana: neno "uwezekano" kwa Kifaransa ni uwezekano, kwa Kingereza- uwezekano.Jina linatumia herufi ya kwanza ya neno.

Kwa kutumia nukuu hii, uwezekano wa tukio A kulingana na mpango wa kitamaduni unaweza kupatikana kwa kutumia fomula

P(A)=.

Mara nyingi vidokezo vyote vya mpango wa uwezekano wa kitamaduni hapo juu huonyeshwa kwa kifungu kimoja kirefu.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

Uwezekano wa tukio A wakati wa jaribio fulani ni uwiano wa idadi ya matokeo kama matokeo ambayo tukio A hutokea kwa jumla ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili.

Mfano 1. Pata uwezekano kwamba katika kutupa moja ya kufa matokeo yatakuwa: a) 4; b) 5; c) idadi sawa ya pointi; d) idadi ya pointi zaidi ya 4; e) idadi ya pointi ambazo haziwezi kugawanywa na tatu.

Suluhisho. Kwa jumla kuna N=6 matokeo yanayowezekana: kuanguka nje ya uso wa mchemraba na idadi ya pointi sawa na 1, 2, 3, 4, 5 au 6. Tunaamini kwamba hakuna hata mmoja wao aliye na faida yoyote juu ya wengine, yaani sisi. kukubali dhana kwamba usawa wa matokeo haya.

a) Katika moja ya matokeo, tukio ambalo tunapendezwa nalo, A, litatokea-nambari ya 4 itatokea Hii ina maana kwamba N (A) = 1 na

P(A)= =.

b) Suluhu na jibu ni sawa na katika aya iliyotangulia.

c) Tukio B tunalovutiwa nalo litatokea katika visa vitatu haswa wakati idadi ya alama ni 2, 4 au 6. Hii inamaanisha.

N(B)=3 naP(B)==.

d) Tukio C tunalovutiwa nalo litatokea katika visa viwili haswa wakati idadi ya alama ni 5 au 6. Hii inamaanisha.

N(C) =2 na Р(С)=.

e) Kati ya nambari sita zinazowezekana zilizochorwa, nne (1, 2, 4 na 5) sio nyingi ya tatu, na mbili zilizobaki (3 na 6) zinaweza kugawanywa na tatu. Hii ina maana kwamba tukio la kupendeza kwetu hutokea katika matokeo manne kati ya sita yanayowezekana na yanayowezekana na kwa usawa matokeo ya jaribio. Kwa hivyo, jibu linageuka kuwa.

Jibu: a); b); V); G); d).

Kete halisi inaweza kutofautiana na mchemraba bora (mfano), kwa hivyo, kuelezea tabia yake, mfano sahihi zaidi na wa kina unahitajika, kwa kuzingatia faida za uso mmoja juu ya mwingine, uwepo wa uwezekano wa sumaku, nk. "shetani yuko katika maelezo," na usahihi zaidi huelekea kusababisha utata zaidi, na kupata jibu inakuwa tatizo. Tunajiwekea kikomo kwa kuzingatia mfano rahisi zaidi wa uwezekano, ambapo matokeo yote yanayowezekana yanawezekana kwa usawa.

Kumbuka 1. Hebu tuangalie mfano mwingine. Swali liliulizwa: "Kuna uwezekano gani wa kupata tatu kwenye safu moja ya kufa?" Mwanafunzi akajibu: "Uwezekano ni 0.5." Na akaeleza jibu lake: “Watatu watakuja au la. Hii ina maana kwamba kuna matokeo mawili kwa jumla na katika moja hasa tukio la maslahi kwetu hutokea. Kwa kutumia mpango wa uwezekano wa kitamaduni, tunapata jibu 0.5. Je, kuna makosa katika hoja hii? Kwa mtazamo wa kwanza, hapana. Hata hivyo, bado ipo, na kwa njia ya msingi. Ndio, kwa kweli, tatu zitakuja au la, i.e., na ufafanuzi huu wa matokeo ya toss N = 2. Pia ni kweli kwamba N (A) = 1 na, bila shaka, ni kweli kwamba = 0.5, yaani, pointi tatu za mpango wa uwezekano huzingatiwa, lakini utimilifu wa hatua ya 2) ni shaka. Kwa kweli, kutoka kwa maoni ya kisheria, tuna haki ya kuamini kuwa kusonga tatu kuna uwezekano sawa wa kutoanguka. Lakini je, tunaweza kufikiria hivyo bila kukiuka mawazo yetu wenyewe ya asili kuhusu "usawa" wa kingo? Bila shaka hapana! Hapa tunashughulika na hoja sahihi ndani ya mtindo fulani. Lakini mfano huu yenyewe ni "vibaya", sio sambamba na jambo halisi.

Kumbuka 2. Wakati wa kujadili uwezekano, usipoteze mtazamo wa hali zifuatazo muhimu. Tukisema kwamba wakati wa kurusha kete uwezekano wa kupata pointi moja ni sawa na nyakati, utapata pointi moja hasa mara tatu, nk. Neno hilo pengine ni la kubahatisha. Tunadhani kile kinachowezekana zaidi kutokea. Labda tukikunja kete mara 600, nukta moja itakuja mara 100, au karibu 100.

Nadharia ya uwezekano iliibuka katika karne ya 17 wakati wa kuchambua michezo mbali mbali ya bahati nasibu. Kwa hiyo, haishangazi kwamba mifano ya kwanza ni ya asili ya kucheza. Kutoka kwa mifano iliyo na kete, wacha tuendelee na kuvuta kadi za kucheza bila mpangilio kutoka kwa sitaha.

Mfano 2. Kutoka kwa staha ya kadi 36, kadi 3 huchorwa kwa nasibu kwa wakati mmoja. Kuna uwezekano gani kwamba hakuna malkia wa jembe kati yao?

Suluhisho. Tuna seti ya vipengele 36. Tunachagua vipengele vitatu, utaratibu ambao sio muhimu. Hii inamaanisha kuwa inawezekana kupata matokeo ya N=C. Tutachukua hatua kulingana na mpango wa uwezekano wa classical, yaani, tutafikiria kuwa matokeo haya yote yanawezekana kwa usawa.

Inabakia kuhesabu uwezekano unaohitajika kwa kutumia ufafanuzi wa classical:

Je, kuna uwezekano gani kwamba kati ya kadi tatu zilizochaguliwa kuna malkia wa jembe? Idadi ya matokeo kama haya sio ngumu kuhesabu; unahitaji tu kutoa kutoka kwa matokeo yote N matokeo yote ambayo hakuna malkia wa jembe, yaani, toa nambari N(A) inayopatikana katika Mfano wa 3. Kisha, kwa mujibu wa mpango wa uwezekano wa classical, tofauti hii N-N (A) inapaswa kugawanywa na N. Hii ndiyo tunayopata:

Tunaona kwamba kuna uhusiano fulani kati ya uwezekano wa matukio mawili. Ikiwa tukio A ni kukosekana kwa malkia wa jembe, na tukio B ni uwepo wake kati ya kadi tatu zilizochaguliwa, basi.

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Kwa bahati mbaya, katika usawa P(A)+P(B)=1 hakuna taarifa kuhusu uhusiano kati ya matukio A na B; tunapaswa kukumbuka uhusiano huu. Itakuwa rahisi zaidi kutoa tukio B jina na uteuzi mapema ambayo inaonyesha wazi uhusiano wake na A.

Ufafanuzi 1. Tukio B kuitwa kinyume na tukio A na kuashiria B=Ā ikiwa tukio B litatokea ikiwa tu tukio A halitokei.

TNadharia 1. Ili kupata uwezekano wa tukio kinyume, toa uwezekano wa tukio lenyewe kutoka kwa umoja: P(Ā)= 1—P(A). Hakika,

Kwa mazoezi, wanahesabu kile ambacho ni rahisi kupata: ama P(A) au P(Ā). Baada ya hayo, tumia formula kutoka kwa nadharia na upate, kwa mtiririko huo, ama P (Ā) = 1 - P (A), au P (A) = 1 - P (Ā).

Njia ya kutatua shida fulani mara nyingi hutumiwa na "hesabu ya kesi", wakati hali ya shida imegawanywa katika kesi za kipekee, ambayo kila moja inazingatiwa tofauti. Kwa mfano, "ukienda kulia, utapoteza farasi wako, ukienda moja kwa moja, utasuluhisha shida katika nadharia ya uwezekano, ukienda kushoto, ...." Au unapounda grafu ya chaguo za kukokotoa y=│x+1│—│2x—5│zingatia matukio x

Mfano 3. Kati ya pointi 50, 17 ni rangi ya bluu na 13 ni rangi ya machungwa. Tafuta uwezekano kwamba sehemu iliyochaguliwa kwa nasibu itatiwa kivuli.

Suluhisho. Jumla ya pointi 30 kati ya 50 zimetiwa kivuli Hii ina maana kwamba uwezekano ni = 0.6.

Jibu: 0.6.

Wacha tuangalie, hata hivyo, mfano huu rahisi kwa karibu zaidi. Acha tukio A liwe kwamba sehemu iliyochaguliwa ni ya bluu, na tukio B liwe kwamba sehemu iliyochaguliwa ni ya machungwa. Kwa hali, matukio A na B hayawezi kutokea wakati huo huo.

Wacha tuonyeshe tukio la kupendeza kwetu na herufi C. Tukio C hutokea ikiwa tu na hutokea angalau moja ya matukio A au B. Ni wazi kwamba N(C)= N(A)+N(B).

Hebu tugawanye pande zote mbili za usawa huu kwa N-idadi ya matokeo yote ya uwezekano wa jaribio hili; tunapata

Kwa kutumia mfano rahisi, tulichambua hali muhimu na inayokutana mara kwa mara. Kuna jina maalum kwa ajili yake.

Ufafanuzi 2. Matukio A na B yanaitwa zisizopatana, ikiwa haziwezi kutokea wakati huo huo.

Nadharia 2. Uwezekano wa kutokea kwa angalau moja ya matukio mawili yasiyolingana ni sawa na jumla ya uwezekano wao.

Wakati wa kutafsiri nadharia hii katika lugha ya hisabati, kuna haja ya namna fulani kutaja na kubainisha tukio linalojumuisha kutokea kwa angalau tukio moja kati ya mawili yaliyotolewa A na B. Tukio kama hilo huitwa jumla ya matukio A na B na huonyeshwa. A + B.

Ikiwa A na B hazipatani, basi P(A+B)=P(A)+P(B).

Hakika,

Ni rahisi kuonyesha kutokubaliana kwa matukio A na B na mchoro. Ikiwa matokeo yote ya jaribio ni seti fulani ya alama kwenye takwimu, basi matukio A na B ni baadhi seti ndogo za seti fulani. Kutopatana kwa A na B kunamaanisha kuwa sehemu hizi mbili ndogo haziingiliani. Mfano wa kawaida wa matukio yasiyolingana ni tukio lolote A na tukio kinyume Ā.

Bila shaka, nadharia hii ni kweli kwa tatu, nne, na idadi yoyote ya kikomo ya matukio yasiooani kwa jozi. Uwezekano wa jumla ya idadi yoyote ya matukio yasiooani kwa jozi ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya. Taarifa hii muhimu inalingana kwa usahihi na njia ya "kesi kwa kesi" ya kutatua matatizo.

Huenda kukawa na baadhi ya mahusiano, tegemezi, miunganisho, n.k. kati ya matukio yanayotokea kutokana na uzoefu fulani na kati ya uwezekano wa matukio haya kwa mfano, matukio yanaweza "kuongezwa," na uwezekano wa jumla ya matukio yasiyolingana ni sawa kwa jumla ya uwezekano wao.

Kwa kumalizia, hebu tujadili swali la msingi lifuatalo: Je! thibitisha kwamba uwezekano wa kupata vichwa katika toss moja ya sarafu ni

Jibu ni hasi. Kwa ujumla, swali lenyewe si sahihi; maana halisi ya neno “thibitisha” haiko wazi. Baada ya yote, sisi daima kuthibitisha kitu ndani ya mfumo wa baadhi mifano, ambayo sheria, sheria, axioms, fomula, nadharia, nk. Ikiwa tunazungumza juu ya sarafu ya kufikiria, "bora", basi inachukuliwa kuwa bora kwa sababu. a-kipaumbele, uwezekano wa kupata "mikia" ni sawa na uwezekano wa kupata "vichwa". Na, kwa kanuni, tunaweza kuzingatia mfano ambao uwezekano wa "mikia" ya kuanguka ni mara mbili zaidi kuliko uwezekano wa "vichwa" vya kuanguka au mara tatu chini, nk Kisha swali linatokea: kwa sababu gani tunachagua kutoka. aina mbalimbali zinazowezekana za kutupwa kwa sarafu?

Jibu la moja kwa moja ni: "Lakini ni rahisi, wazi na asili zaidi kwetu!" Lakini pia kuna hoja za msingi zaidi. Wanatoka kwa mazoezi. Vitabu vingi sana vya nadharia ya uwezekano vinatoa mifano ya mwanasayansi wa asili wa Ufaransa J. Buffon (karne ya 18) na mwanahisabati na mwanatakwimu Mwingereza K. Pearson (mwishoni mwa karne ya 19), ambaye alirusha sarafu mara 4040 na 24000, mtawalia, na kuhesabu idadi ya vichwa vilivyokuja " au "mikia". Walitua vichwa mara 1992 na 11998, mtawaliwa. Ukihesabu mzunguko wa kupoteza"mikia", basi inageuka = ​​= 0.493069 ... kwa Buffon na = 0.4995 kwa Pearson. Asili hutokea dhana, kwamba kwa ongezeko la ukomo wa idadi ya sarafu za sarafu, mzunguko wa "mkia" unaoanguka, pamoja na mzunguko wa "vichwa" vinavyoanguka, utazidi kufikia 0.5. Ni dhana hii, kulingana na data ya vitendo, ambayo ni msingi wa kuchagua mfano na matokeo yanayowezekana sawa.

Sasa tunaweza kufupisha. Dhana ya msingi - uwezekano wa tukio la nasibu, ambayo imekokotolewa ndani ya modeli rahisi zaidi— mpango wa uwezekano wa classical. Dhana ni muhimu katika nadharia na katika mazoezi tukio kinyume na fomula P(Ā)= 1—P(A) ili kupata uwezekano wa tukio kama hilo.

Hatimaye tulikutana matukio yasiyolingana na fomula.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

hukuruhusu kupata uwezekano kiasi matukio kama hayo.

Bibliografia

1.Matukio. Uwezekano. Usindikaji wa takwimu za takwimu: Ziada. aya za kozi ya algebra 7-9. taasisi za elimu / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 4th ed.: Mnemosyna, 2006. - 112 pp.: mgonjwa.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk "Algebra. Vipengele vya takwimu na nadharia ya uwezekano.”—Moscow, “Prosveshchenie”, 2006.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano.

Kama ilivyoelezwa hapo juu, na idadi kubwa n frequency ya mtihani P*(A)=m/ n kutokea kwa tukio A ni thabiti na inatoa thamani ya takriban ya uwezekano wa tukio A , i.e. .

Hali hii huturuhusu kupata takriban uwezekano wa tukio kwa majaribio. Kwa mazoezi, njia hii ya kupata uwezekano wa tukio sio rahisi kila wakati. Baada ya yote, tunahitaji kujua mapema uwezekano wa tukio fulani, hata kabla ya majaribio. Hii ni heuristic, nafasi ya utabiri wa sayansi. Katika matukio kadhaa, uwezekano wa tukio unaweza kubainishwa kabla ya jaribio kwa kutumia dhana ya usawa wa matukio (au usawazishaji).

Matukio hayo mawili yanaitwa uwezekano sawa (au kwa usawa iwezekanavyo ), ikiwa hakuna sababu za lengo la kuamini kwamba mmoja wao anaweza kutokea mara nyingi zaidi kuliko nyingine.

Kwa hiyo, kwa mfano, kuonekana kwa kanzu ya silaha au uandishi wakati wa kutupa sarafu ni matukio yanayowezekana sawa.

Hebu tuangalie mfano mwingine. Waache watupe kete. Kutokana na ulinganifu wa mchemraba, tunaweza kudhani kwamba kuonekana kwa nambari yoyote 1, 2, 3, 4, 5 au 6 iwezekanavyo (sawa uwezekano).

Matukio katika jaribio hili wanaunda kikundi kamili , ikiwa angalau moja yao inapaswa kutokea kama matokeo ya jaribio. Kwa hiyo, katika mfano wa mwisho, kundi kamili la matukio lina matukio sita - kuonekana kwa namba 1, 2, 3, 4, 5 Na 6.

Ni wazi, tukio lolote A na tukio lake kinyume huunda kundi kamili.

Tukio B kuitwa nzuri tukio A , ikiwa tukio la tukio B inahusisha kutokea kwa tukio A . Kwa hivyo, ikiwa A - kuonekana kwa idadi hata ya pointi wakati wa kutupa kete, kisha kuonekana kwa nambari 4 inawakilisha tukio linalopendelea tukio A.

Wacha matukio katika jaribio hili tengeneza kundi kamili la matukio yanayowezekana kwa usawa na yasioani kwa jozi. Hebu tuwaite matokeo vipimo. Wacha tufikirie kuwa tukio hilo A kupendelea matokeo ya majaribio. Kisha uwezekano wa tukio hilo A katika jaribio hili inaitwa mtazamo. Kwa hivyo tunakuja kwa ufafanuzi ufuatao.

Uwezekano wa P(A) wa tukio katika jaribio fulani ni uwiano wa idadi ya matokeo ya majaribio yanayofaa kwa tukio A na jumla ya idadi ya matokeo ya majaribio ambayo yanaunda kundi kamili la matukio ambayo yanawezekana kwa jozi yasioani. .

Ufafanuzi huu wa uwezekano mara nyingi huitwa classic. Inaweza kuonyeshwa kuwa ufafanuzi wa classical unakidhi axioms ya uwezekano.

Mfano 1.1. Kundi kutoka 1000 fani. Niliingia kwenye kundi hili kwa bahati mbaya 30 fani ambazo hazikidhi kiwango. Amua uwezekano P(A) kwamba fani iliyochukuliwa bila mpangilio itageuka kuwa ya kawaida.

Suluhisho: Idadi ya fani za kawaida ni 1000-30=970 . Tutafikiri kwamba kila kuzaa kuna uwezekano sawa wa kuchaguliwa. Kisha kundi kamili la matukio lina matokeo yanayowezekana sawa, ambayo tukio hilo A kupendelea matokeo. Ndiyo maana .

Mfano 1.2. Katika urn 10 mipira: 3 nyeupe na 7 nyeusi. Mipira miwili inachukuliwa kutoka kwenye urn mara moja. Kuna uwezekano gani R kwamba mipira yote miwili inageuka kuwa nyeupe?

Suluhisho: Idadi ya matokeo yote ya mtihani yanayowezekana kwa usawa ni sawa na idadi ya njia ambazo kwayo 10 toa mipira miwili, i.e. idadi ya mchanganyiko kutoka 10 vipengele kwa 2 (kikundi kamili cha tukio):

Idadi ya matokeo mazuri (kwa njia ngapi mtu anaweza kuchagua 3 chagua mipira 2) : . Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika .

Kuangalia mbele, tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa njia nyingine.

Suluhisho: Uwezekano kwamba kwenye jaribio la kwanza (kuvuta mpira) mpira mweupe utatolewa ni sawa na (jumla ya mipira. 10 , wao 3 nyeupe). Uwezekano kwamba wakati wa jaribio la pili mpira mweupe utatolewa tena ni sawa na (jumla ya mipira ni sasa. 9, kwa sababu wakatoa moja, ikawa nyeupe 2, kwa sababu Wakatoa ile nyeupe). Kwa hiyo, uwezekano wa kuchanganya matukio ni sawa na bidhaa ya uwezekano wao, i.e. .

Mfano 1.3. Katika urn 2 kijani, 7 nyekundu, 5 kahawia na 10 mipira nyeupe. Je, kuna uwezekano gani wa kuonekana kwa mpira wa rangi?

Suluhisho: Tunapata, kwa mtiririko huo, uwezekano wa kuonekana kwa mipira ya kijani, nyekundu na kahawia:; ; . Kwa kuwa matukio yanayozingatiwa ni wazi hayaendani, basi, kwa kutumia axiom ya kuongeza, tunapata uwezekano wa kuonekana kwa mpira wa rangi:

Au, kwa njia nyingine. Uwezekano wa kutokea kwa mpira mweupe ni . Kisha uwezekano wa kuonekana kwa mpira usio na nyeupe (yaani rangi), i.e. uwezekano wa tukio kinyume ni sawa na .

Ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano. Ili kuondokana na hasara ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano (hautumiki kwa vipimo na idadi isiyo na kipimo ya matokeo), ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano huletwa - uwezekano wa hatua inayoanguka katika kanda (sehemu, sehemu ya ndege, na kadhalika.).

Hebu sehemu iwe sehemu ya sehemu. Hoja imewekwa kwa nasibu kwenye sehemu, ambayo inamaanisha kuwa mawazo yafuatayo yamefikiwa: hatua iliyowekwa inaweza kuwa wakati wowote kwenye sehemu, uwezekano wa hatua inayoanguka kwenye sehemu ni sawia na urefu wa sehemu hii na haifanyi. hutegemea eneo lake kuhusiana na sehemu. Chini ya mawazo haya, uwezekano wa pointi kuangukia kwenye sehemu huamuliwa na usawa

Ufafanuzi wa awali na wa takwimu wa uwezekano

Kwa shughuli za vitendo, ni muhimu kuweza kulinganisha matukio kulingana na kiwango cha uwezekano wa kutokea kwao. Hebu fikiria kesi ya classic. Kuna mipira 10 kwenye urn, 8 kati yao ni nyeupe, 2 ni nyeusi. Kwa wazi, tukio "mpira mweupe utatolewa kutoka kwa urn" na tukio "mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo" una viwango tofauti vya uwezekano wa kutokea kwao. Kwa hiyo, ili kulinganisha matukio, kipimo fulani cha kiasi kinahitajika.

Kipimo cha kiasi cha uwezekano wa tukio kutokea ni uwezekano . Ufafanuzi unaotumika sana wa uwezekano wa tukio ni wa kitakwimu na wa kitakwimu.

Ufafanuzi wa kawaida uwezekano unahusishwa na dhana ya matokeo mazuri. Hebu tuangalie hili kwa undani zaidi.

Hebu matokeo ya mtihani fulani kuunda kikundi kamili cha matukio na yanawezekana kwa usawa, i.e. ya kipekee iwezekanavyo, haiendani na inawezekana kwa usawa. Matokeo kama haya yanaitwa matokeo ya msingi, au kesi. Inasemekana kuwa mtihani unapungua hadi mpango wa kesi au" mpango wa urn", kwa sababu Tatizo lolote la uwezekano wa mtihani huo linaweza kubadilishwa na tatizo sawa na urns na mipira ya rangi tofauti.

Matokeo inaitwa nzuri tukio A, ikiwa kutokea kwa kesi hii kunahusisha tukio la tukio A.

Kulingana na ufafanuzi wa classical uwezekano wa tukio A ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili na jumla ya idadi ya matokeo, i.e.

, (1.1)

Wapi P(A)- uwezekano wa tukio A; m- idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio hilo A; n- jumla ya idadi ya kesi.

Mfano 1.1. Wakati wa kutupa kete, kuna matokeo sita yanayowezekana: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pointi. Kuna uwezekano gani wa kupata idadi sawa ya alama?

Suluhisho. Wote n= Matokeo 6 huunda kundi kamili la matukio na yanawezekana kwa usawa, i.e. ya kipekee iwezekanavyo, haiendani na inawezekana kwa usawa. Tukio A - "kuonekana kwa idadi sawa ya alama" - inapendekezwa na matokeo 3 (kesi) - upotezaji wa alama 2, 4 au 6. Kwa kutumia fomula ya kitamaduni ya uwezekano wa tukio, tunapata

P(A) = = . ◄

Kulingana na ufafanuzi wa kitamaduni wa uwezekano wa tukio, tunaona sifa zake:

1. Uwezekano wa tukio lolote liko kati ya sifuri na moja, i.e.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

3. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Kama ilivyoelezwa hapo awali, ufafanuzi wa classical wa uwezekano unatumika tu kwa matukio ambayo yanaweza kutokea kama matokeo ya vipimo ambavyo vina ulinganifu wa matokeo iwezekanavyo, i.e. inayoweza kupunguzwa kwa muundo wa kesi. Hata hivyo, kuna darasa kubwa la matukio ambayo uwezekano hauwezi kuhesabiwa kwa kutumia ufafanuzi wa classical.

Kwa mfano, ikiwa tunadhania kwamba sarafu imefungwa, basi ni dhahiri kwamba matukio "kuonekana kwa kanzu ya silaha" na "kuonekana kwa vichwa" haiwezi kuchukuliwa kuwa sawa. Kwa hiyo, formula ya kuamua uwezekano kulingana na mpango wa classical haitumiki katika kesi hii.

Hata hivyo, kuna mbinu nyingine ya kukadiria uwezekano wa matukio, kulingana na mara ngapi tukio fulani litatokea katika majaribio yaliyofanywa. Katika kesi hii, ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano hutumiwa.

Uwezekano wa takwimutukio A ni mzunguko wa jamaa (frequency) ya kutokea kwa tukio hili katika majaribio yaliyofanywa, i.e.

, (1.2)

Wapi P*(A)- uwezekano wa takwimu wa tukio A; w(A)- mzunguko wa jamaa wa tukio A; m- idadi ya majaribio ambayo tukio hilo lilitokea A; n- jumla ya idadi ya majaribio.

Tofauti na uwezekano wa hisabati P(A), inazingatiwa katika ufafanuzi wa classical, uwezekano wa takwimu P*(A) ni sifa uzoefu, majaribio. Kwa maneno mengine, uwezekano wa takwimu wa tukio A ni nambari ambayo masafa ya jamaa yameimarishwa (kuwekwa) w(A) na ongezeko lisilo na kikomo la idadi ya majaribio yaliyofanywa chini ya seti sawa ya masharti.

Kwa mfano, wanaposema kuhusu mpiga risasi kwamba anapiga lengo kwa uwezekano wa 0.95, hii ina maana kwamba kati ya mamia ya risasi zilizopigwa na yeye chini ya hali fulani (lengo sawa kwa umbali sawa, bunduki sawa, nk. ), kwa wastani kuna takriban 95 waliofaulu. Kwa kawaida, si kila mia itakuwa na risasi 95 zilizofanikiwa, wakati mwingine kutakuwa na wachache, wakati mwingine zaidi, lakini kwa wastani, wakati risasi inarudiwa mara nyingi chini ya hali sawa, asilimia hii ya hits itabaki bila kubadilika. Takwimu ya 0.95, ambayo hutumika kama kiashiria cha ustadi wa mpiga risasi, kawaida huwa sana imara, i.e. asilimia ya vibao katika upigaji mwingi itakuwa karibu sawa kwa mpiga risasi fulani, katika hali nadra tu atapotoka kwa kiasi kikubwa kutoka kwa thamani yake ya wastani.

Hasara nyingine ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano ( 1.1 ) kupunguza matumizi yake ni kwamba inachukua idadi maalum ya matokeo ya mtihani iwezekanavyo. Katika baadhi ya matukio, hasara hii inaweza kushinda kwa kutumia ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano, i.e. kutafuta uwezekano wa hatua kuanguka katika eneo fulani (sehemu, sehemu ya ndege, nk).

Hebu takwimu ya gorofa g hufanya sehemu ya sura ya gorofa G(Mchoro 1.1). Inafaa G nukta hutupwa bila mpangilio. Hii ina maana kwamba pointi zote katika kanda G"haki sawa" kuhusiana na iwapo hatua iliyotupwa bila mpangilio itaigusa. Kwa kuchukulia kwamba uwezekano wa tukio A- hatua iliyopigwa inapiga takwimu g- ni sawia na eneo la takwimu hii na haitegemei eneo lake kuhusiana na G, wala kutoka kwa fomu g, tutapata

Matatizo juu ya uamuzi wa classical wa uwezekano.
Mifano ya ufumbuzi

Katika somo la tatu tutaangalia matatizo mbalimbali yanayohusisha matumizi ya moja kwa moja ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano. Ili kujifunza kwa ufanisi nyenzo katika makala hii, ninapendekeza ujitambulishe na dhana za msingi nadharia ya uwezekano Na misingi ya combinatorics. Jukumu la kuamua kimsingi uwezekano na uwezekano wa kutunza moja litakuwepo katika kazi yako ya kujitegemea/udhibiti kwenye terver, kwa hivyo hebu tujitayarishe kwa kazi nzito. Unaweza kuuliza, ni nini zito kuhusu hili? ...fomula moja tu ya awali. Ninakuonya dhidi ya ujinga - kazi za mada ni tofauti kabisa, na nyingi zinaweza kukuchanganya kwa urahisi. Katika suala hili, pamoja na kufanya kazi kupitia somo kuu, jaribu kusoma kazi za ziada kwenye mada ambayo iko kwenye benki ya nguruwe. ufumbuzi tayari kwa hisabati ya juu. Mbinu za ufumbuzi ni mbinu za ufumbuzi, lakini "marafiki" bado "wanahitaji kujulikana kwa kuona," kwa sababu hata mawazo ya tajiri ni mdogo na pia kuna kazi za kutosha za kawaida. Kweli, nitajaribu kutatua nyingi iwezekanavyo kwa ubora mzuri.

Hebu tukumbuke classics ya aina:

Uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio fulani ni sawa na uwiano , ambapo:

- jumla ya idadi ya wote kwa usawa iwezekanavyo, msingi matokeo ya mtihani huu, ambayo ni kundi kamili la matukio;

- wingi msingi matokeo mazuri kwa hafla hiyo.

Na mara moja kuacha shimo. Je, unaelewa maneno yaliyopigiwa mstari? Hii inamaanisha wazi, sio uelewa wa angavu. Ikiwa sivyo, basi bado ni bora kurudi kwenye kifungu cha 1 nadharia ya uwezekano na tu baada ya hapo kuendelea.

Tafadhali usiruke mifano ya kwanza - ndani yao nitarudia jambo moja muhimu, na pia kukuambia jinsi ya kuunda suluhisho kwa usahihi na kwa njia gani hii inaweza kufanywa:

Tatizo 1

Mkojo una mipira 15 nyeupe, 5 nyekundu na 10 nyeusi. Mpira 1 hutolewa kwa nasibu, pata uwezekano kwamba itakuwa: a) nyeupe, b) nyekundu, c) nyeusi.

Suluhisho: Sharti muhimu zaidi la kutumia ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano ni uwezo wa kuhesabu jumla ya matokeo.

Kuna jumla ya mipira 15 + 5 + 10 = 30 kwenye urn, na ni wazi ukweli ufuatao ni kweli:

- kurudisha mpira wowote kunawezekana kwa usawa (fursa sawa matokeo), wakati matokeo msingi na fomu kundi kamili la matukio (yaani, kama matokeo ya jaribio, moja ya mipira 30 hakika itaondolewa).

Kwa hivyo, jumla ya matokeo:

Fikiria tukio hilo: - mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo. Tukio hili limependelewa msingi matokeo, kwa hivyo, kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Kwa kushangaza, hata katika kazi rahisi kama hii mtu anaweza kufanya usahihi mkubwa, ambao tayari nilizingatia katika makala ya kwanza. nadharia ya uwezekano. Mtego uko wapi hapa? Si sahihi kubishana hapa kwamba "Kwa kuwa nusu ya mipira ni nyeupe, basi uwezekano wa kuchora mpira mweupe» . Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano unarejelea ELEMENTARY matokeo, na sehemu lazima iandikwe!

Pamoja na mambo mengine, vile vile, fikiria matukio yafuatayo:

- mpira nyekundu utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Tukio hupendelewa na matokeo 5 ya msingi, na tukio hupendelewa na matokeo 10 ya msingi. Kwa hivyo uwezekano unaolingana ni:

Cheki ya kawaida ya kazi nyingi za seva hufanywa kwa kutumia nadharia juu ya jumla ya uwezekano wa matukio kuunda kikundi kamili. Kwa upande wetu, matukio huunda kikundi kamili, ambayo ina maana jumla ya uwezekano unaofanana lazima lazima iwe sawa na moja:.

Wacha tuangalie ikiwa hii ni kweli: ndivyo nilitaka kuhakikisha.

Jibu:

Kimsingi, jibu linaweza kuandikwa kwa undani zaidi, lakini kibinafsi, nimezoea kuweka nambari tu hapo - kwa sababu unapoanza "kuondoa" shida kwa mamia na maelfu, unajaribu kupunguza maandishi. suluhisho kadiri inavyowezekana. Kwa njia, kuhusu ufupi: kwa mazoezi, chaguo la "high-speed" la kubuni ni la kawaida ufumbuzi:

Jumla: 15 + 5 + 10 = mipira 30 kwenye urn. Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- uwezekano kwamba mpira nyekundu utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- uwezekano kwamba mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Jibu:

Walakini, ikiwa kuna alama kadhaa katika hali hiyo, basi mara nyingi ni rahisi zaidi kuunda suluhisho kwa njia ya kwanza, ambayo inachukua muda kidogo zaidi, lakini wakati huo huo "huweka kila kitu kwenye rafu" na kuifanya iwe rahisi. kuabiri tatizo.

Wacha tupate joto:

Tatizo 2

Duka hilo lilipokea jokofu 30, tano kati ya hizo zina kasoro ya utengenezaji. Jokofu moja huchaguliwa kwa nasibu. Je, kuna uwezekano gani kwamba itakuwa bila kasoro?

Chagua chaguo sahihi cha kubuni na uangalie sampuli chini ya ukurasa.

Katika mifano rahisi zaidi, idadi ya kawaida na idadi ya matokeo mazuri hulala juu ya uso, lakini katika hali nyingi unapaswa kuchimba viazi mwenyewe. Mfululizo wa kisheria wa shida kuhusu mteja aliyesahau:

Tatizo 3

Wakati wa kupiga nambari ya simu, msajili alisahau nambari mbili za mwisho, lakini anakumbuka kuwa moja yao ni sifuri na nyingine ni isiyo ya kawaida. Tafuta uwezekano kwamba atapiga nambari sahihi.

Kumbuka : sifuri ni nambari sawa (inayogawanywa na 2 bila salio)

Suluhisho: Kwanza tunapata jumla ya idadi ya matokeo. Kwa hali, msajili anakumbuka kuwa moja ya nambari ni sifuri, na nambari nyingine ni isiyo ya kawaida. Hapa ni busara zaidi kutokuwa na ujanja na combinatorics na matumizi njia ya kuorodhesha matokeo ya moja kwa moja . Hiyo ni, wakati wa kutengeneza suluhisho, tunaandika tu mchanganyiko wote:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Na tunazihesabu - kwa jumla: matokeo 10.

Kuna matokeo moja tu mazuri: nambari sahihi.

Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mteja atapiga nambari sahihi

Jibu: 0,1

Sehemu za decimal zinaonekana sawa katika nadharia ya uwezekano, lakini unaweza pia kuambatana na mtindo wa jadi wa Vyshmatov, unaofanya kazi tu na sehemu za kawaida.

Kazi ya hali ya juu ya suluhisho la kujitegemea:

Tatizo 4

Msajili amesahau nambari ya siri ya SIM kadi yake, lakini anakumbuka kuwa ina "tano" tatu, na moja ya nambari ni "saba" au "nane". Kuna uwezekano gani wa idhini iliyofanikiwa kwenye jaribio la kwanza?

Hapa unaweza pia kukuza wazo la uwezekano kwamba aliyejiandikisha atakabiliwa na adhabu kwa njia ya nambari ya puk, lakini, kwa bahati mbaya, hoja hiyo itaenda zaidi ya upeo wa somo hili.

Suluhisho na jibu ni hapa chini.

Wakati mwingine kuorodhesha mchanganyiko hugeuka kuwa kazi yenye uchungu sana. Hasa, hii ndio kesi katika kundi linalofuata, ambalo sio maarufu sana la shida, ambapo kete 2 zimevingirwa (chini ya mara nyingi - idadi kubwa):

Tatizo 5

Pata uwezekano kwamba wakati wa kutupa kete mbili jumla ya nambari itakuwa:

a) pointi tano;
b) si zaidi ya pointi nne;
c) kutoka kwa pointi 3 hadi 9 pamoja.

Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:

Njia za upande wa kufa wa 1 zinaweza kuanguka Na kwa njia tofauti upande wa mchemraba wa 2 unaweza kuanguka; Na sheria ya kuzidisha mchanganyiko Jumla: michanganyiko inayowezekana. Kwa maneno mengine, kila mmoja uso wa mchemraba wa 1 unaweza kuwa kuamuru wanandoa na kila mmoja makali ya mchemraba wa 2. Wacha tukubaliane kuandika jozi kama hiyo katika fomu, nambari iliyovingirishwa kwenye kifo cha 1 iko wapi, ni nambari iliyovingirishwa kwenye kifo cha 2. Kwa mfano:

– kete ya kwanza ilipata pointi 3, kete ya pili ilipata pointi 5, jumla ya pointi: 3 + 5 = 8;
– kete ya kwanza ilipata pointi 6, kete ya pili ilipata pointi 1, jumla ya pointi: 6 + 1 = 7;
- Pointi 2 zimefungwa kwenye kete zote mbili, jumla: 2 + 2 = 4.

Kwa wazi, kiasi kidogo zaidi hutolewa na jozi, na kubwa zaidi kwa "sita" mbili.

a) Zingatia tukio: - wakati wa kurusha kete mbili, alama 5 zitaonekana. Hebu tuandike na kuhesabu idadi ya matokeo ambayo yanapendelea tukio hili:

Jumla: matokeo 4 mazuri. Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano unaohitajika.

b) Zingatia tukio: - sio zaidi ya alama 4 zitakunjwa. Hiyo ni, ama 2, au 3, au 4 pointi. Tena tunaorodhesha na kuhesabu mchanganyiko mzuri, upande wa kushoto nitaandika jumla ya nambari, na baada ya koloni - jozi zinazofaa:

Jumla: michanganyiko 6 inayofaa. Hivyo:
- uwezekano kwamba si zaidi ya pointi 4 zitakunjwa.

c) Zingatia tukio: - Alama 3 hadi 9 zitapita, zikiwemo. Hapa unaweza kuchukua barabara moja kwa moja, lakini ... kwa sababu fulani hutaki. Ndiyo, baadhi ya jozi tayari zimeorodheshwa katika aya zilizopita, lakini bado kuna kazi nyingi za kufanywa.

Ni ipi njia bora ya kuendelea? Katika hali kama hizi, njia ya kuzunguka inageuka kuwa ya busara. Hebu tuzingatie tukio kinyume: – 2 au 10 au 11 au 12 pointi zitakunjwa.

Kuna maana gani? Tukio la kinyume linapendelewa na idadi ndogo sana ya wanandoa:

Jumla: matokeo 7 mazuri.

Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba utasonga chini ya alama tatu au zaidi ya 9.

Mbali na kuorodhesha moja kwa moja na kuhesabu matokeo, anuwai fomula za mchanganyiko. Na tena shida kubwa juu ya lifti:

Tatizo 7

Watu 3 waliingia kwenye lifti ya jengo la orofa 20 kwenye ghorofa ya kwanza. Na twende. Tafuta uwezekano kwamba:

a) watatoka kwenye sakafu tofauti
b) wawili watatoka kwenye sakafu moja;
c) kila mtu atashuka kwenye sakafu moja.

Somo letu la kusisimua limefikia mwisho, na mwishowe, ninapendekeza tena kwa nguvu kwamba ikiwa haitasuluhisha, basi angalau ujue. matatizo ya ziada juu ya uamuzi wa classical wa uwezekano. Kama nilivyoona tayari, "kuweka pedi kwa mikono" ni muhimu pia!

Zaidi kwenye kozi - Ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano Na Nadharia za kuongeza na kuzidisha uwezekano na ... bahati katika jambo kuu!

Suluhu na Majibu:

Kazi ya 2: Suluhisho: 30 - 5 = friji 25 hazina kasoro.

- uwezekano kwamba jokofu iliyochaguliwa kwa nasibu haina kasoro.
Jibu :

Kazi ya 4: Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:
njia unaweza kuchagua mahali ambapo nambari ya shaka iko na kwa kila Kati ya maeneo haya 4, tarakimu 2 (saba au nane) zinaweza kupatikana. Kulingana na kanuni ya kuzidisha mchanganyiko, jumla ya matokeo: .
Vinginevyo, suluhisho linaweza kuorodhesha tu matokeo yote (kwa bahati nzuri ni machache):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Kuna matokeo moja tu mazuri (msimbo sahihi wa pini).
Kwa hivyo, kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mteja huingia kwenye jaribio la 1
Jibu :

Kazi ya 6: Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:
nambari kwenye kete 2 zinaweza kuonekana kwa njia tofauti.

a) Fikiria tukio: - wakati wa kutupa kete mbili, bidhaa ya pointi itakuwa sawa na saba. Hakuna matokeo mazuri kwa tukio fulani, kulingana na ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano:
, i.e. tukio hili haliwezekani.

b) Zingatia tukio: - unapotupa kete mbili, bidhaa ya pointi itakuwa angalau 20. Matokeo yafuatayo yanafaa kwa tukio hili:

Jumla: 8
Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano unaohitajika.

c) Fikiria matukio kinyume:
- bidhaa za pointi zitakuwa sawa;
- bidhaa ya pointi itakuwa isiyo ya kawaida.
Wacha tuorodheshe matokeo yote yanayofaa kwa hafla hiyo:

Jumla: matokeo 9 mazuri.
Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:
Matukio pinzani huunda kundi kamili, kwa hivyo:
- uwezekano unaohitajika.

Jibu :

Tatizo la 8: Suluhisho: hebu tuhesabu jumla ya idadi ya matokeo: Sarafu 10 zinaweza kuanguka kwa njia tofauti.
Njia nyingine: njia ambazo sarafu ya 1 inaweza kuanguka Na njia ambazo sarafu ya 2 inaweza kuanguka Na … Na njia ambazo sarafu ya 10 inaweza kuanguka. Kulingana na sheria ya kuzidisha mchanganyiko, sarafu 10 zinaweza kuanguka njia.
a) Fikiria tukio: - vichwa vitaonekana kwenye sarafu zote. Tukio hili linapendekezwa na matokeo moja, kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:.
b) Fikiria tukio hilo: - Sarafu 9 zitatua vichwa, na sarafu moja itatua mikia.
Kuna sarafu ambazo zinaweza kutua kwenye vichwa. Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano: .
c) Fikiria tukio: - vichwa vitaonekana kwenye nusu ya sarafu.
Ipo mchanganyiko wa kipekee wa sarafu tano ambazo zinaweza kutua vichwa. Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:
Jibu :

Uwezekano wa tukio unaeleweka kama tabia fulani ya nambari ya uwezekano wa kutokea kwa tukio hili. Kuna njia kadhaa za kuamua uwezekano.

Uwezekano wa tukio A inaitwa uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili kwa jumla ya idadi ya matokeo yote ya kimsingi yasiyolingana ambayo yanaunda kikundi kamili. Kwa hivyo, uwezekano wa tukio hilo A imedhamiriwa na formula

Wapi m- idadi ya matokeo mazuri ya msingi A, n- idadi ya matokeo yote ya mtihani wa msingi.

Mfano 3.1. Katika jaribio linalohusisha kurusha kufa, idadi ya matokeo yote n sawa na 6 na zote zinawezekana kwa usawa. Acha tukio A inamaanisha kuonekana kwa nambari sawa. Kisha kwa tukio hili, matokeo mazuri yatakuwa kuonekana kwa namba 2, 4, 6. Idadi yao ni 3. Kwa hiyo, uwezekano wa tukio hilo. A sawa na

Mfano 3.2. Je, kuna uwezekano gani kwamba nambari ya tarakimu mbili iliyochaguliwa bila mpangilio ina tarakimu sawa?

Nambari za nambari mbili ni nambari kutoka 10 hadi 99, kuna nambari 90 kama hizo kwa jumla zina nambari zinazofanana (hizi ni nambari 11, 22, ..., 99). Tangu katika kesi hii m=9, n=90, basi

Wapi A- tukio, "nambari yenye tarakimu sawa."

Mfano 3.3. Katika kundi la sehemu 10, 7 ni za kawaida. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu sita zilizochukuliwa bila mpangilio, 4 ni za kawaida.

Idadi ya jumla ya matokeo ya mtihani wa kimsingi ni sawa na idadi ya njia ambazo sehemu 6 zinaweza kutolewa kutoka 10, yaani, idadi ya mchanganyiko wa vipengele 10 vya vipengele 6 kila moja. Wacha tuamue idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio la kupendeza kwetu A(kati ya sehemu sita zilizochukuliwa kuna 4 za kawaida). Sehemu nne za kawaida zinaweza kuchukuliwa kutoka sehemu saba za kawaida kwa njia tofauti; wakati huo huo, sehemu 6-4 = 2 iliyobaki lazima iwe isiyo ya kawaida, lakini unaweza kuchukua sehemu mbili zisizo za kawaida kutoka kwa 10-7 = 3 sehemu zisizo za kawaida kwa njia tofauti. Kwa hivyo, idadi ya matokeo mazuri ni sawa na .

Kisha uwezekano unaohitajika ni sawa na

Vipengele vifuatavyo vinafuata kutoka kwa ufafanuzi wa uwezekano:

1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

Hakika, ikiwa tukio ni la kuaminika, basi kila matokeo ya msingi ya mtihani yanapendelea tukio hilo. Katika kesi hii m=n, kwa hiyo

2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Hakika, ikiwa tukio haliwezekani, basi hakuna matokeo yoyote ya msingi ya jaribio yanapendelea tukio hilo. Katika kesi hii ina maana

3. Uwezekano wa tukio la nasibu ni nambari chanya kati ya sifuri na moja.

Hakika, ni sehemu tu ya jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi ya jaribio ambayo hupendelewa na tukio la nasibu. Kwa kesi hii< m< n, ina maana 0 < m/n < 1, yaani 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству


Uundaji wa nadharia kamili ya kimantiki ya uwezekano unatokana na ufafanuzi wa axiomatic wa tukio la nasibu na uwezekano wake. Katika mfumo wa axioms uliopendekezwa na A. N. Kolmogorov, dhana zisizofafanuliwa ni tukio la msingi na uwezekano. Hapa kuna axioms zinazofafanua uwezekano:

1. Kila tukio A imepewa nambari halisi isiyo hasi P(A). Nambari hii inaitwa uwezekano wa tukio A.

2. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

3. Uwezekano wa kutokea kwa angalau moja ya matukio yasiooani kwa jozi ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya.

Kulingana na axioms hizi, sifa za uwezekano na utegemezi kati yao huchukuliwa kama nadharia.

Maswali ya kujipima

1. Jina la sifa ya nambari ya uwezekano wa tukio kutokea ni nini?

2. Kuna uwezekano gani wa tukio?

3. Kuna uwezekano gani wa tukio la kutegemewa?

4. Kuna uwezekano gani wa tukio lisilowezekana?

5. Je, kuna mipaka gani ya uwezekano wa tukio la nasibu?

6. Je, ni mipaka gani ya uwezekano wa tukio lolote?

7. Ni ufafanuzi gani wa uwezekano unaoitwa classical?