Tulikutana kwa mara ya kwanza katika kozi ya algebra ya darasa la 7. Kuangalia grafu ya kazi, tulichukua habari inayolingana: ikiwa, tukisonga kando ya grafu kutoka kushoto kwenda kulia, wakati huo huo tunasonga kutoka chini kwenda juu (kana kwamba tunapanda kilima), basi tulitangaza kazi hiyo. kuongezeka (Mchoro 124); ikiwa tunatoka juu hadi chini (kwenda chini ya kilima), basi tulitangaza kazi ya kupungua (Mchoro 125).
Walakini, wanahisabati hawapendi sana njia hii ya kusoma mali ya kazi. Wanaamini kuwa ufafanuzi wa dhana haupaswi kutegemea mchoro - mchoro unapaswa kuonyesha tu mali moja au nyingine ya kazi kwenye yake. michoro. Wacha tutoe ufafanuzi madhubuti wa dhana za kuongeza na kupunguza kazi.
Ufafanuzi 1.
Chaguo za kukokotoa y = f(x) inasemekana kuongezeka kwa muda wa X ikiwa, kutoka kwa ukosefu wa usawa x 1.< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Ufafanuzi 2. Chaguo za kukokotoa y = f(x) inasemekana kupungua kwa muda X ikiwa ukosefu wa usawa x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ukosefu wa usawa f(x 1) > f(x 2).
Katika mazoezi, ni rahisi zaidi kutumia michanganyiko ifuatayo:
chaguo za kukokotoa huongezeka ikiwa thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa;
chaguo za kukokotoa hupungua ikiwa thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.
Kwa kutumia ufafanuzi huu na sifa zilizobainishwa katika § 33 usawa wa nambari, tutaweza kuhalalisha hitimisho kuhusu ongezeko au kupungua kwa kazi zilizosomwa hapo awali.
1. Kitendaji cha mstari y = kx +m
Ikiwa k > 0, basi kazi huongezeka kote (Mchoro 126); ikiwa k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Ushahidi. Acha f(x) = kx +m. Ikiwa x 1< х 2 и k >Oh, basi, kwa mujibu wa mali ya usawa 3 wa nambari (tazama § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. mstari kazi y = kx+ m.
Ikiwa x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , na kwa mujibu wa mali 2, kutoka kx 1 > kx 2 inafuata kwamba kx 1 + m> kx 2 + i.e.
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Hii ina maana kupungua kwa kazi y = f (x), i.e. kazi ya mstari y = kx + m.
Ikiwa chaguo za kukokotoa huongezeka (hupungua) katika kikoa chake chote cha ufafanuzi, basi inaweza kuitwa kuongezeka (kupungua) bila kuonyesha muda. Kwa mfano, kuhusu kazi y = 2x - 3 tunaweza kusema kwamba inaongezeka kwenye mstari mzima wa nambari, lakini tunaweza pia kusema kwa ufupi zaidi: y = 2x - 3 - kuongezeka.
kazi.
2. Kazi y = x2
1. Fikiria kazi y = x 2 kwenye ray. Wacha tuchukue nambari mbili zisizo chanya x 1 na x 2 ili x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >-x 2. Kwa kuwa nambari - x 1 na - x 2 sio hasi, basi kwa kupiga pande zote mbili za usawa wa mwisho, tunapata usawa wa maana sawa (-x 1) 2 > (-x 2) 2, i.e. Hii ina maana kwamba f(x 1) > f(x 2).
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).
Kwa hiyo, kazi y = x 2 inapungua kwenye ray (- 00, 0] (Mchoro 128).
1. Fikiria chaguo la kukokotoa kwenye muda (0, + 00).
Hebu x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). Hii ina maana kwamba kazi inapungua kwenye ray wazi (0, + 00) (Mchoro 129).
2. Fikiria chaguo la kukokotoa kwenye muda (-oo, 0). Acha x 1< х 2 , х 1 и х 2 - nambari hasi. Kisha - x 1 > - x 2, na pande zote mbili za usawa wa mwisho ni nambari nzuri, na kwa hiyo (tulitumia tena usawa uliothibitishwa katika mfano 1 kutoka § 33). Ifuatayo tunayo, tunatoka wapi.
Kwa hivyo, kutoka kwa usawa x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) i.e. kazi hupungua kwenye ray wazi (- 00 , 0)
Kawaida maneno "kazi ya kuongezeka" na "kazi inayopungua" huunganishwa chini ya kazi ya monotonic ya jina la jumla, na uchunguzi wa kazi ya kuongezeka na kupungua inaitwa utafiti wa kazi kwa monotonicity.
Suluhisho.
1) Wacha tupange kazi y = 2x2 na tuchukue tawi la parabola hii kwa x< 0 (рис. 130).
2) Jenga na uchague sehemu yake kwenye sehemu (Mchoro 131).
3) Hebu tujenge hyperbola na kuchagua sehemu yake kwenye ray wazi (4, + 00) (Mchoro 132).
4) Hebu tuonyeshe "vipande" vyote vitatu katika mfumo mmoja wa kuratibu - hii ni grafu ya kazi y = f (x) (Mchoro 133).
Hebu tusome grafu ya kazi y = f (x).
1. Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni mstari mzima wa nambari.
2. y = 0 kwa x = 0; y > 0 kwa x > 0.
3. Kazi hupungua kwenye ray (-oo, 0], huongezeka kwenye sehemu, hupungua kwenye ray, ni convex juu ya sehemu, convex chini kwenye ray)